Методы финитного управления на основе теории однородных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Зименко, Константин Александрович

• Зименко, Константин Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Зименко, Константин Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Основные определения и обзор существующих решений

1.1 Финитная устойчивость

1.2 Управление со скользящими режимами

1.3 Однородные системы

1.3.1 Взвешенная однородность

1.3.2 Обобщенная однородность

1.4 Метод неявной функции Ляпунова

Глава 2 Алгоритмы финитного управления одноканальными системами

2.1 Постановка задачи

2.2 Синтез алгоритмов финитного управления на основе применения метода неявной функции Ляпунова

2.3 Синтез алгоритмов финитного управления на основе применения метода явно определенной функции Ляпунова

2.4 Выводы по главе

Глава 3 Гомогенизация и стабилизация линейных многоканальных систем

3.1 Постановка задачи

3.2 Синтез алгоритма управления

3.3 Выводы по главе

Глава 4 Устойчивость по входу-состоянию однородных систем с отри-

цательной степенью при наличии запаздывания

4.1 Понятие однородности в пространстве С—,0]

4.2 Устойчивость однородных систем при наличии запаздывания

4.3 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

• R+ = {х Е R: х > 0}, где R - множество вещественных чисел;

• 1, т - последовательность целых чисел 1,..., т.

• положительная (отрицательная) определенность (полуопределенность) симметрической матрицы Р = РТ Е Rnxn обозначена как Р > 0 (Р < 0,Р >

0,Р < 0);

• | • |2 - евклидова норма в пространстве Rn, т.е. |ж|2 = \J+ • • • + х2п для

ж Е Rn;

• | • | - взвешенная евклидова норма в пространстве Rn при п > 2 (т.е. |ж| = л/хт Рх для х Е Rn и некоторой положительно определенной матрицы Р = Рт Е Rnxn), при п = 1 запись | • | обозначает абсолютную величину;

• IAIa = sup^R» ^ для л Е Rnxn;

• 1п Е Rnxn - единичная матрица;

• diag {А^}™=1 - диагональная матрица с элементами Xi на главной диагонали;

наименьшее и наибольшее собственные числа симметрической матрицы Р = Рт обозначены как Amin(P) и Amax(P), соответственно;

• R(A) обозначает действительную часть комплексного числа А;

• множество n-гладких функций обозначается как Сп;

• С[_Т;о] - банахово пространство непрерывных функций ф : [_т, 0] ^ Rn с равномерной нормой ЦфЦ = sup_T<<0 1ф(я)|;

• Втр = {ф Е С'[_Т;0] : ЦфЦг < р} - замкнутый шар с радиусом р > 0, где ||0||г -однородная норма в С[_Т;0];

• С - пространство функций, интегрируемых по Лебегу;

• Сж - пространство измеримых почти всюду ограниченных функций;

• непрерывная функция а : ^ принадлежит к классу К, если функция строго возрастающая и а (0) = 0;

• функция а : ^ принадлежит классу если а Е 1С и функция радиально неограниченная;

• непрерывная функция (3 : х ^ принадлежит классу КС, если /3(•,£) Е при любом фиксированном I Е К+, /3(в, •) - монотонно убывающая функция при любом фиксированном й е

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы финитного управления на основе теории однородных систем»

ВВЕДЕНИЕ

Современный уровень развития автоматических и автоматизированных систем актуализировал ряд задач в теории систем управления, связанных с финитным и сверхфинитным управлением объектов. Особенностью финитного управления является достижение системой своего положения равновесия за конечное время [1], [2]. При сверхфинитном управлении время достижения системой положения равновесия не зависит от начальных условий системы и ограничено некоторой константой.

Современные алгоритмы финитного управления базируются на применении скользящих режимов высокого порядка и/или на приведении систем к классу однородных с отрицательной степенью (см., например, [3], [4], [5], [6], [7] и др.). Однородностью называется свойство объекта сохранять свои характеристики при некоторых растяжениях. Впервые стандартный тип однородности был введен Л. Эйлером в XVII веке, где объект /(х) (например, функция, векторное поле, оператор и т.д.), обладает свойством /(Ах) = А/(х), УА > 0. Позднее были введены и другие типы однородности: взвешенная [62], обобщенная [20] и геометрическая [68], [67]. Интерес к однородным системам объясняется тем, что данное свойство может эффективно использоваться при анализе устойчивости, робастности и синтезе алгоритмов управления (в том числе финитного) для динамических систем. Например, если система однородна с отрицательной степенью и локально устойчива, тогда данная система глобально финитно устойчива. В частности, разработка алгоритмов финитного управления, основанных на применении теории однородных систем, востребованы в робототехнике, аэрокосмических приложениях, при управлении подводными и наземными мобильными системами, управлении мультиагентными системами (например, движение группы мобильных роботов в заданном построении) и т.д. (см., например, [3], [8], [9], [10], [11], [12], [13] и др.). Одним из наиболее ярких приме-

ров на практике, требующих финитную стабилизацию, является захват цели за требуемое время (захват груза манипулятором на конвейерной ленте, система наведения ракетных установок, стыковка космических аппаратов и др.). Другая наглядная задача относится к управлению движениями шагающего робота, где для обеспечения устойчивости движений во время ходьбы необходимо предустановленное время переходного процесса.

Степень разработанности темы исследования. Работы, посвященные теории финитно устойчивых систем, появились еще в 1950-1960 гг. (см., например, [37], [38], [39], [40], [41] и др.). Тем не менее, развитие вычислительных систем и высокоточной техники привели к тому, что проблемы финитной устойчивости и финитной стабилизации стали объектом интенсивных исследований в последние годы ( [1], [2], [19] и др.).

Использование существующих алгоритмов финитного управления на практике осложнено ввиду следующих причин:

применение большинства алгоритмов финитного управления ограничено узким классом систем, характеризующихся относительной простотой и/или строго детерминированной математической моделью (см., например, [14], [15], [16]);

• многие законы финитного управления разрывны (как, например, в [17], [18]);

некоторые законы финитного управления предназначены для систем, действующих в условиях отсутствия параметрических неопределенностей, возмущающих воздействий, запаздывания и т.п.;

многие алгоритмы финитного управления сложны в реализации: например, требуют выполнения дополнительных вычислительных процедур в режиме реального времени (например, [5], [19], [20]);

синтезируемые финитные регуляторы являются узкоспециализированными, а настройка их параметров является длительным трудоемким процессом, требующим глубоких знаний и инженерного опыта (как, например, в работах [21], [22], [23]).

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов финитного управления для одноканальных и многоканальных систем, функционирующих в условиях внешних возмущающих воздействий, параметрических неопределенностей, канальных ограничений.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработаны алгоритмы финитного управления одноканальными системами, функционирующими в условиях внешних возмущающих воздействий, канальных ограничений и неопределенностей.

2. Разработаны алгоритмы финитного управления линейными многоканальными системами, функционирующими в условиях внешних возмущающих воздействий и неопределенностей.

3. Разработан алгоритм увеличения скорости сходимости финитно стабилизируемой замкнутой системы.

4. Исследованы свойства робастности устойчивых однородных систем с отрицательной степенью при наличии запаздывания.

5. Проведены математическое моделирование и экспериментальные исследования разработанных законов управления, которые демонстрируют эффективность и работоспособность полученных результатов.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертационной работе рассматривается задача синтеза алгоритмов финитной стабилизации для одно-канальных и многоканальных систем, управляемых посредством обратной связи по состоянию и функционирующих в условиях наличия внешних возмуща-

ющих воздействий, параметрических неопределенностей и канальных ограничений [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]. Также показано, что сверхфинитная устойчивость может быть достигнута при синтезе алгоритмов управления с переключающейся структурой, где обеспечивается переключение степени однородности замкнутой системы с положительной на отрицательную [28]. Стоит отметить, что разработанные алгоритмы управления просты в реализации, не требуют выполнения дополнительных вычислительных процедур, а настройка параметров представлена в виде решения линейных матричных неравенств. При наличии в системе запаздывания, ряд представленных решений позволяет обеспечить устойчивость замкнутой системы по входу-состоянию.

Представленные алгоритмы финитной стабилизации делают замкнутую систему однородной с отрицательной степенью, что обеспечивает ряд робастност-ных свойств системы (например, обеспечение устойчивости по входу-состоянию [34]). Для класса однородных систем и локально однородных систем с отрицательной степенью были исследованы свойства робастности (в смысле устойчивости по входу-состоянию) при наличии в системе запаздывания [35], [36]. На основе проведенного анализа показано, что если рассматриваемая система является однородной с отрицательной степенью и асимптотически устойчивой (т.е. система финитно устойчива) в отсутствии запаздывания, то свойства устойчивости сохраняются относительно некоторого компактного множества для любого значения запаздывания. Таким образом, применяя данный результат к полученным алгоритмам управления, можно сделать вывод, что разработанные алгоритмы финитного управления являются робастными (в смысле устойчивости по входу-состоянию) по отношению к любому ограниченному запаздыванию.

Для подтверждения эффективности полученных результатов в работе приведен ряд примеров с численным моделированием. Компьютерное моделирование разработанных подходов и алгоритмов проводилось с использованием программной среды МаНаЪ^шиНпк. Также была проведена экспериментальная

апробация алгоритмов управления на мехатронном стенде Twin Rotor MIMO System.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были разработаны новые методы и подходы синтеза алгоритмов финитного управления с использованием метода неявной функции Ляпунова, теории однородных систем, параметрической настройки с помощью решения линейных матричных неравенств и др. В частности, были развиты результаты, полученные в работах [5], [19], для создания таких нелинейных законов управления, которые позволяют сделать систему однородной с отрицательной степенью и гарантировать финитную и сверхфинитную устойчивость и робастность замкнутой системы.

Стоит отметить, что идеи теории однородных систем лежат в основе метода неявной функции Ляпунова. Этот метод предполагает использование для анализа устойчивости системы функцию Ляпунова, которая определена в неявном виде, например, в виде алгебраического уравнения. При этом анализ устойчивости и оценка скорости сходимости системы не требуют решения данного уравнения, а достаточно проанализировать лишь свойства алгебраического уравнения и правой части дифференциального уравнения, описывающего систему.

Сочетание метода неявной функции Ляпунова с теорией однородных систем позволяет формализовать алгоритмы настройки параметров управления (даже в случае существенно нелинейных обратных связей) в виде линейных матричных неравенств. Метод линейных матричных неравенств является одним из наиболее эффективных вычислительных подходов к синтезу законов управления и позволяет существенно упростить построение робастных регуляторов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны методы синтеза алгоритмов финитного управления для одно-канальных и многоканальных систем, функционирующих в условиях внешних возмущающих воздействий, канальных ограничений, неопределенно-

стей. Настройка параметров представлена в виде решения линейных матричных неравенств.

2. Получены оценки функций времени установления.

3. Разработан алгоритм увеличения скорости сходимости для предложенных алгоритмов финитного управления.

4. Для класса систем с отрицательной степенью однородности доказано, что если система является локально устойчивой в случае отсутствия запаздывания, тогда при наличии любого ограниченного запаздывания система является асимптотически устойчивой по отношению к некоторому компактному множеству, содержащему начало координат.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Алгоритмы финитного управления одноканальными системами, функционирующими в условиях внешних возмущающих воздействий и параметрических неопределенностей.

2. Алгоритмы финитного управления линейными многоканальными системами, функционирующими в условиях внешних возмущающих воздействий и параметрических неопределенностей.

3. Алгоритм увеличения скорости сходимости финитно стабилизируемой замкнутой системы.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. 17th annual European Control Conference. г. Лимассол, Кипр. 12.06.2018— 15.06.2018.

2. 10th Nonlinear Control System Symposium, г. Монтерей, США. 23.08.201625.08.2016.

3. 15th annual European Control Conference, г. Ольборг, Дания. 29.06.201601.07.2016.

4. 54th IEEE Conference on Decision and Control, г. Осака, Япония. 15.12.201518.12.2015.

5. XLVI научная и учебно-методическая Конференция Университета ИТМО, г. Санкт-Петербург, Россия. 31.01.2017-03.02.2017.

6. V Всероссийский конгресс молодых ученых, г. Санкт-Петербург, Россия. 12.04.2016-15.04.2016.

Достоверность полученных результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается:

1. строгостью постановок задач и доказательств утверждений, корректным использованием математического аппарата;

2. представленными в диссертационной работе результатами численного моделирования в программной среде MATLAB/Simulink;

3. представленными в диссертационной работе результатами экспериментальных исследований на мехатронном стенде Twin Rotor MIMO System;

4. печатными работами, а также статьями в сборниках трудов международных конференций (14 опубликованных трудов, из них 10 публикаций в изданиях, рецензируемых Web of Science или Scopus, 4 публикации в журналах из перечня ВАК);

5. тремя свидетельствами о государственной регистрации программ ЭВМ.

Результаты работы использовались при выполнении следующих НИОКР:

1. Программа повышения конкурентоспособности Университета ИТМО, субсидия 08-08 «Управление киберфизическими системами».

2. Проект № 14Z50.31.0031 «Робастные и адаптивные системы управления, коммуникации и вычисления», выполненный в рамках 220 Постановления Правительства Российской Федерации.

3. Грант Российского научного фонда, проект 17-19-01422 «Разработка методов финитного управления сложными динамическими системами».

4. Грант Президента Российской Федерации № НШ-9281.2016.8. «Методы адаптивного и робастного управления нелинейными неопределенными динамическими системами в условиях возмущающих воздействий, запаздывания и нестационарной окружающей среды».

5. Госзадание № 8.8885.2017/ 8.9 «Идентификационные методы синтеза наблюдателей в задачахадаптивного управления нелинейными системами».

Глава 1

Основные определения и обзор существующих решений

Первые работы в области теории финитно устойчивых систем появились еще в 1950-1960 гг. (см., например, [37], [38], [39], [40], [41] и др.). Тем не менее, развитие вычислительных систем и высокоточной техники привели к тому, что проблемы финитной устойчивости и финитной стабилизации стали объектом интенсивных исследований в последние годы (см., например, [1], [5], [19], [42], [43] и др.). В рамках данной главы диссертационной работы представлен обзор существующих подходов и методов синтеза алгоритмов финитного управления, а также приведены основные определения, используемые в работе.

1.1 Финитная устойчивость

Рассмотрим систему

Х = / (Ъ,х), х(0) = Хо, (1.1)

где х е - вектор состояния, / е х ^ - нелинейное векторное поле, которое может быть разрывным по отношению к переменной состояния. В таком случае решение системы (1.1) понимается в рамках теории Филиппова [44].

Определение 1.1 [1], [2] Система (1.1) является глобально финитно устойчивой в точке начала координат, если система глобально асимптотически устойчива и любое решение х0) системы (1.1) достигает точки равновесия за конечный интервал времени, т.е., Х(Ь, х0) = 0, У£ > Т(х0), где Т: ^ и {0} называется функцией времени установления.

В качестве примера финитно устойчивой системы можно привести скалярную систему х(Ъ) = — sign(x(t)), х(10) = х0 е К, где функция времени установления соответствует выражению Т(х0) = |ж0| [40].

Случай финитной устойчивости, когда верхняя граница функции времени установления не зависит от начальных условий системы, называется сверхфинитной устойчивостью.

Определение 1.2 [45] Система (1.1) является глобально сверхфинитно устойчивой в точке начала координат, если система глобально финитно устойчива и функция времени установления Т(х0) ограничена, т.е., ЗТшах > 0: Т(х0) < Тюк, Ухо е

Соответствующие утверждения можно сделать и об аттрактивности замкнутого множества.

Определение 1.3 [45] Замкнутое множество М называется глобально финитно аттрактивным для системы (1.1), если ее решение Х(1, х0) достигает множество М в некоторый конечный момент времени Ь = Т(х0) и остается в нем УЬ > Т(х0), где Т: ^ и {0} - функция времени установления.

Определение 1.4 [45] Замкнутое множество М называется глобально сверхфинитно аттрактивным для системы (1.1), если множество глобально финитно аттрактивно и функция времени установления Т(х0) глобально ограничено некоторым числом Тшах > 0.

Задачу синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих финитную устойчивость динамической системы (1.1) принято называть задачей синтеза финитного управления.

Решением таких задач, как правило, являются законы программного управления, при этом рассматривая задачу на конечном интервале времени и оставляя без внимания вопросы устойчивости и робастности. Одним из наиболее распространенных таких решений является алгоритм оптимального управления "разгон-торможение", основанного на теореме Фельдбаума [39], который, за исключением случаев малой размерности (см., например, реализацию с использованием скользящих режимов [8], [46]) реализуется без использования обратной связи.

Поскольку целью данной работы являетя разработка алгоритмов робастно-го управления в условиях внешних возмущающих воздействий, параметрических неопределенностей и запаздывания, то в дальнейшем будут рассматриваться только методы с использованием обратной связи. Методы синтеза финитного управления с обратной связью в большей мере связаны с алгоритмами управления со скользящими режимами и теорией однородных систем, которым будет уделено отдельное внимание в дальнейшем.

Следующая теорема объединяет метод функций Ляпунова с финитной устойчивостью.

Теорема 1.1 [1], [17] Пусть существует положительно определенная С1 функция V, определенная в открытой окрестности начала координат В с Кп, и числа С > 0, а > 0 такие, что выполняется следующее условие для системы (1.1)

У(х) < -СУа(х), х(Ъ) е В \ {0}.

Тогда в зависимости от значения а система устойчива в начале координат с различными типами сходимости:

• если а = 1, система экспоненциально устойчива;

• если 0 < а < 1, система финитно устойчива и

Т (х*) < со=7) ^'

где У0 = V(х0);

• если а > 1 система (1.1) асимптотически устойчива, и для любого е, множество В(0,е) = {х е В: V(х) < е} сверхфинитно аттрактивно с

Т = 1

С (а - 1)е

а-1 •

Если И = и функция V радиально неограничена, тогда система (1.1) глобально устойчива.

1.2 Управление со скользящими режимами

История управления со скользящими режимами берет начало с работы Г. Никольского [47], где понятие «скользящий режим» было введено в контексте релейной системы управления. Действительно, зависимое от вектора состояния управляемое реле может переключаться с высокой частотой (теоретически бесконечно большой), вызывая движение вдоль кривой разрыва, называемое режимом скольжения [48], [49]. Позднее, в 1950-1960 гг., получили широкое развитие исследования в области управления со скользящими режимами, связанные с применением алгоритма «разгон-торможение» (см., например, [50], [51] и др.).

Разработка алгоритмов управления со скользящими режимами состоит из двух этапов:

• синтез скользящей поверхности;

создание закона управления (разрывного или нет), который гарантирует, что все траектории системы будут «скользить» вдоль синтезированной скользящей поверхности.

Таким образом, при управлении со скользящим режимом движение системы можно разделить на две фазы: фаза достижение поверхности скольжения и фаза скольжения.

Такие алгоритмы управления обладают рядом преимуществ при реализации на практике: относительная простота, инвариантность по отношению к внешним возмущениям, широкое разнообразие областей применения (например, регулирование, слежение за траекторией [52], построение наблюдателей [53] и т.д.).

Первое поколение алгоритмов управления со скользящими режимами (19601990 гг.) называется классическими скользящими режимами или скользящими

режимами первого порядка. Такие алгоритмы управления обладают следующими свойствами:

Плюсы:

- уменьшение порядка системы на поверхности скольжения;

- финитный тип сходимости;

- робастность по отношению к параметрическим и/или согласованным возмущениям при условии, что амплитуда управления может быть достаточно большой.

Минусы:

- присутствие высокочастотных колебаний (эффект чаттеринга);

- чувствительность к шумам;

- неробастность по отношению к несогласованным возмущениям.

При дальнейшем развитии теории управления со скользящими режимами было уделено особое внимание к движению скольжения, которое может иметь разный порядок «гладкости» (позволяет избавиться от эффекта чаттеринга). Такой тип скользящих режимов называется скользящими режимами высокого порядка и был впервые введен А. Левантом в 1985 году (см., например, работы, цитируемые в [54]).

Стоит отметить, что задача синтеза алгоритмов финитного управления со скользящими режимами до сих пор остается весьма актуальной: задачи, посвященные финитной сходимости ( [55], [56], [2] и др.), задачи синтеза регулятора со скользящими режимами ( [57], [58] и др.), задачи построения наблюдателей ( [55], [59], [60] и др.), задачи управления по выходу ( [21], [61] и др.).

1.3 Однородные системы

Однородностью называется свойство объекта сохранять свои характеристики при некоторых растяжениях (диляциях). Впервые стандартный тип однородности был введен Л. Эйлером в XVII веке, где объект / (х) (например, функция, векторное поле, оператор и т.д.), обладающий свойством /(Ах) = А/(х), УА > 0. Позднее были введены и другие типы однородности (взвешенная [62], [63], [64], обобщенная [65], [20], [66], геометрическая [67], [68]). Интерес к однородным системам объясняется тем, что данное свойство может эффективно использоваться при исследовании нелинейных систем, в том числе при анализе устойчивости (в частности, финитной устойчивости) (см., например, [1], [40], [64] и др.) и робастности системы ( [34], [69], [19] и др.).

1.3.1 Взвешенная однородность

Приведем основные понятия и сведения, касающиеся взвешенной однородности, которая используется в рамках данной работы.

Для Г{ Е К+, г = 1,п, р > 0 и А > 0 обозначим вектор весов г = ..., г^ , матрицу растяжения Бг(А) = ¿гад{АГ1 }™=1 и однородную норму

Иг = (еЫ^ . (1.2)

Заметим, что однородная норма (1.2) не является нормой в классическом смысле, так как неравенство треугольника не выполняется. Для всех х Е евклидова норма |ж| соотносится с однородной следующим образом [35]:

для некоторых аг ,аг Е

& г (Ы г) <ы 2 < ^г (Ы г) (1.3)

Определение 1.5 [62] Функция д: ^ К (векторное поле /: ^ Кп) называется г-однородной со степенью (I, если д(Иг(Х)х) = Х3,д(х) (/(Иг(Х)х) = Х(1Ог(X)/(х)) для фиксированного вектора весов г, всех Л > 0 и х е

Очевидно, что однородная норма г-однородна со степенью 1. Введем компактное множество §г = {х е : |ж|г = 1}, называемое однородной сферой. В таком случае для любого х е существует у е §г такой, что х = Иг(Х)у при Л = |ж| г.

Теорема 1.2 [64] Пусть /: ^ - непрерывное г-однородное векторное поле со степенью V (V < 0). Если точка начала координат системы

х = / (х) (1.4)

является асимптотически устойчивой, тогда система (1.4) глобально асимптотически устойчива (глобально финитно устойчива) и существует непрерывно дифференцируемая г-однородная функция Ляпунова V со степенью т > —V.

Согласно определению однородности [64] существуют такие константы

с1,с2 е К+, что

С1Иуг < V(х) < С2|ж|уг. (1.5)

Основываясь на Теореме 1.2, при синтезе финитных регуляторов зачастую целесообразна разработка таких законов управления, которые делают замкнутую систему г-однородной с отрицательной степенью (см., например, [2], [7], [19] и др.). Помимо этого, связь однородности и систем со скользящими режимами описана в работах [7], [49], [70] и др.

В работах [34], [62], [71] была представлена локальная концепция однородности, где свойство однородности выполняется на некоторой аппроксимации.

Отметим, что помимо исследования устойчивости систем, свойство однородности позволяет осуществлять анализ робастности системы. Рассмотрим систему

x(t) = f (x(t),d(t)), t> 0, x(0) = ж0 e Rn, (1.6)

где x(t) - вектор состояния, d(t) e di(^) e Сж - вектор внешних возмущающих воздействий, f: Rn х Rp ^ Rn - векторное поле, которое может быть разрывным [49].

Представим свойство робастности, называемое устойчивостью по входу-состоянию.

Определение 1.6 [72] Система (1.6) называется устойчивой по входу-состоянию (Input-to-State Stable), если для любого xq e Rn и любого d e С

00

неравенство \x(t,xo)| < ft(|жо\,t) + 7 ess sup|d(r)| I выполнено при всех t e R+

V ^e[0,t) J

на любом решении задачи Коши x(t, xq) системы (1.6), где /3 e КС и 7 e К. Введем более слабое свойство робастности.

Определение 1.7 [72] Система (1.6) называется интегрально устойчивой по входу-состоянию (Integral Input-to-State Stable), если для любого х0 e Rn и лю-

выполнено

бого d e Сж неравенство a(\x(t,x0)\) < ft(\x0\,t) + /0 7 (\d(r)ldr) при всех t e R+ на любом решении x(t,x0) системы (1.6), где a e Кж, ft e КС и 7 e К.

Тогда справедлива следующая теорема о робастности однородных систем по отношению к возмущающим воздействиям.

Теорема 1.3 [34] Если выполняются следующие положения:

• нулевое решение системы (1.6) при d = 0 является асимптотически устойчивым;

• векторное поле в отсутствии возмущений f (•, 0): Rn ^ Rn является г-однородным со степенью v > — mini<i<n г,,;

• существует вектор весов г e Rp, г,, > 0 такой, что f (Dr(Х)х, D?(X)d) = XvDr(X)f (x, d) при всех x e Rn, d e Rp и X e R+,

тогда при fmin > 0, где fmin = mi^« f j, система (1.6) устойчива по входу-состоянию, а при fmin = 0 и v < 0 система (1.6) интегрально устойчива по входу-состоянию.

Также однородные системы робастны (в смысле устойчивости по входу-состоянию) и при наличии в системе запаздывания (см., например, [69], [70], [73], [74] и др.).

1.3.2 Обобщенная однородность

Тип однородности, касающийся линейных преобразований, называется обобщенной однородностью (d-однородность). Впервые d-однородность была введена в работе [65] для бесконечноразмерных систем, описанных, например, с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В рамках данного раздела представлены основные результаты и понятия для конечномерных d-однородных систем.

Определение 1.8 [66], [75] Оператор d: R — Rnxn называется оператором растяжения в пространстве Rn, если он удовлетворяет условиям:

• свойство группы: d(0) = In и d(t + s) = d(t)d(s) = d(s)d(t) для t,s E R;

• свойство непрерывности: d - непрерывный оператор;

• свойство пределов: lims—-TO |d(s)ir| =0 и lims—|d(s)ir| = равномерно на единичной сфере S.

Растяжение d является равномерно непрерывной группой [66]. Генератором растяжения [76] является матрица Gd E Rnxn, определенная выражением

Gd = lim d(6) _

s—>-0 s

Генератор Gd обладает следующими свойствами [76]:

d

—d(s) = Gad(s) = d(s)Gd, (1.7)

а(5) = е = ^ ^, (1.8)

г=0 1 •

где й е К.

Отметим, что:

• стандартная однородность

ах(в) = еЧп, ее К,

• г-однородность

¿2(5) =

0

0

V

0 ё'2а ••• 0

0 0 0 ё

, ее К, гг > 0, г = 1,... ,п

соответствуют Определению 1.8 с генераторами = 1п и С&2 = б,1ад{т\} соответственно.

Введем поняти монотонности растяжения ¿(й).

Определение 1.9 [66] Растяжение d называется монотонным, если |^(й)||а <

1 для й < 0.

Монотонность растяжения обеспечивает зжатие при й < 0 (расширение при й > 0), и, таким образом, для любого х е К \ {0} существует уникальная пара (й 0,х0) е К х Б такая, что х = й0)х0. Степень сжатия вводится следующим определением.

Определение 1.10 [75], [20] Растяжение d называется строго монотонным, если 3/ такая, что й)|а < е^3 для й < 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зименко, Константин Александрович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bhat, S.P. Finite-time stability of continuous autonomous systems [Text] / S.P. Bhat, Bernstein D.S. // SIAM Journal of Control and Optimization.— 2000. — Vol. 38(3). — P. 751-766.

2. Orlov, Y. Finite Time Stability and Robust Control Synthesis of Uncertain Switched Systems [Text] / Y. Orlov // SIAM Journal of Control and Optimization. — 2004. — Vol. 43, no. 4. — P. 1253-1271.

3. Utkin, V. Sliding Mode Control in Electro-Mechanical Systems [Text] / V. Utkin, J. Guldner, J. Shi. — [S. l.] : CRC Press, 2009. — P. 338.

4. Moreno, J.A. A Lyapunov approach to second-order sliding mode controllers and observers [Text] / J.A. Moreno, M. Osorio // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. — 2008. — P. 2856-2861.

5. Polyakov, A. Finite-time and fixed-time stabilization: Implicit Lyapunov function approach [Text] / A. Polyakov, D. Efimov, Perruquetti W. // Automatica. — 2015. — Vol. 51. — P. 332-340.

6. Polyakov, A. Lyapunov function design for finite-time convergence analysis: "Twisting"controller for second-order sliding mode realization [Text] / A. Polyakov, A. Poznyak // Automatica. — 2009. — Vol. 45(2). — P. 444-448.

7. Levant, A. Homogeneity approach to high-order sliding mode design [Text] / A. Levant // Automatica. — 2005. — Vol. 41(5). — P. 823-830.

8. Chernousko, F.L. Control of Nonlinear Dynamical Systems: Methods and Applications [Text] / F.L. Chernousko, I.M. Ananevskii, S.A. Reshmin. — [S. l.] : Berlin:Springer-Verlag, 2008.

9. Galicki, M. Finite-time control of robotic manipulators [Text] / M. Galicki // Automatica. - 2015. - Vol. 51. - P. 49-54.

10. Finite-time control of two-wheeled mobile robot via generalized homogeneous locally semiconcave control Lyapunov function [Text] / S. Kimura, T. Nakai, H. Nakamura [et al.] // 55th Annual Conference of the Society of Instrument and Control Engineers of Japan (SICE). — 2016.

11. Defoort, M. Finite-time controller design for nonholonomic mobile robot using the heisenberg form [Text] / M. Defoort, M. Djemai // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications (CCA). — 2010.

12. Sankaranarayanan, V. A switched finite-time point-to-point control strategy for an underactuated underwater vehicle [Text] / V. Sankaranarayanan, A.D. Mahindrakar, R.N. Banavar // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications (CCA). — 2003. — P. 690-694.

13. Parsegov, S.E. Fixed-time consensus algorithm for multi-agent systems with integrator dynamics [Text] / S.E. Parsegov, A.E. Polyakov, P.S. Shcherbakov // Proceedings of 4th IFAC Workshop on Distributed Estimation and Control in Networked Systems. — 2013. — P. 110-115.

14. Orlov, Y. Finite Time Stabilization of a Perturbed Double Integrator-Part I: Continuous Sliding Mode-Based Output Feedback Synthesis [Text] / Y. Orlov, Y. Aoustin, C. Chevallereau // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2011. —Vol. 56, no. 3. —P. 614-618.

15. Sua, Y. Robust finite-time output feedback control of perturbed double integrator [Text] / Y. Sua, C. Zheng // Automatica. — 2015. — Vol. 60. — P. 86-91.

16. Trivedi, P. Finite-time stabilization of uncertain triple integrator with only switch and gain [Text] / P. Trivedi, B. Bandyopadhyay // Proc. of the 37th Annual

Conference on IEEE Industrial Electronics Society (IECON 2011).— 2011.— P. 3942-3946.

17. Stabilisation of perturbed chains of integrators using Lyapunov-based homogeneous controllers [Text] / M. Harmouche, S. Laghrouche, Y. Chitour, M. Hamerlain // International Journal of Control. — 2016. — P. 2631-2640.

18. Cruz-Zavala, E. Homogeneous High Order Sliding Mode design: A Lyapunov approach [Text] / E. Cruz-Zavala, J. Moreno // Automatica. — 2017. — Vol. 80. — P. 232-238.

19. Polyakov, A. Robust Stabilization of MIMO Systems in Finite/Fixed Time [Text] / A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // Int. J. Robust. Nonlinear Control. — 2016. — Vol. 26(1). — P. 69-90.

20. Polyakov, A. Sliding Mode Control Design Using Canonical Homogeneous Norm [Text] / A. Polyakov // Int. J. Robust. Nonlinear Control. — 2018. — P. 120.

21. Finite time output stabilization of the double integrator [Text] / E. Bernuau, W. Perruquetti, D. Efimov, E. Moulay // Proc. of the 51st Annual Conference on Decision and Control (CDC). — 2012. — P. 5906-5911.

22. Sanchez, T. On a sign controller for the triple integrator [Text] / T. Sanchez, J. Moreno // Proc. of the 52nd Annual Conference on Decision and Control (CDC). — 2013. — P. 3566-3571.

23. Hong, Y. Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems [Text] / Y. Hong // Systems & Control Letters. — 2002. — Vol. 46(4). — P. 231-236.

24. Zimenko, K. Stabilization of Chain of Integrators with Arbitrary Order in Finite-time [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov // Proceedings of 54th IEEE Conference on Decision and Control. — 2016. — P. 4637-4641.

25. Зименко, К.А. Увеличение скорости сходимости финитно устойчивой системы управления [Текст] / К.А. Зименко, А.Е. Поляков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. —

2017. — Т. 17, № 6. — С. 1018-1024.

26. Устойчивость системы последовательно соединенных интеграторов на конечном интервале времени [Текст] / К.А. Зименко, А.Е. Поляков, Д.В. Ефимов, Кремлев А.С. // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2015. — Т. 58, № 9. — С. 681-686.

27. Модифицированный способ оценки параметров при синтезе закона финитного управления [Текст] / К.А. Зименко, А.Е. Поляков, Д.В. Ефимов, Кремлев А.С. // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. —

2018. — Т. 64, № 3. — С. 304-308.

28. Finite-time and fixed-time stabilization for integrator chain of arbitrary order [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // Proceedings of 17th European Control Conference (ECC). — 2018. — P. 1631-1635.

29. Зименко, К.А. Программа робастной финитной стабилизации с применением метода неявной функции Ляпунова [Текст]. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2017661509. — 16.10.2017.

30. Зименко, К.А. Программа робастной сверхфинитной стабилизации с применением метода неявной функции Ляпунова [Текст].— Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2017661510.— 16.10.2017.

31. Zimenko, K. On Finite-Time Robust Stabilization via Nonlinear State Feedback [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov // Int. J. Robust. Nonlinear Control.-2018.-P. 1-15.

32. Generalized Feedback Homogenization and Stabilization of Linear MIMO Systems [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // Proceedings of 17th European Control Conference (ECC). — 2018.— P. 19871991.

33. Робастная стабилизация двухроторного многоканального объекта [Текст] / К.А. Зименко, А.С. Кремлев, А.Е. Поляков, Ефимов Д.В. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — Т. 18, № 3(115). — С. 392-398.

34. Verification of ISS, iISS and IOSS properties applying weighted homogeneity [Text] / E. Bernuau, A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // Systems & Control Letters. — 2013. — Vol. 62, no. 12. — P. 1159-1167.

35. A note on delay robustness for homogeneous systems with negative degree [Text] / K. Zimenko, D. Efimov, A. Polyakov, W. Perruquetti // Automatica. — 2017. — Vol. 79. — P. 178-184.

36. Time-delay Robustness Analysis for Systems with Negative Degree of Homogeneity [Text] / K. Zimenko, D. Efimov, A. Polyakov, W. Perruquetti // IFAC-PapersOnLine. — 2016. — Vol. 49(18). — P. 546-551.

37. Каменков, Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени [Текст] / Г.В. Каменков // Прикладная математика и механика.— 1953.— Т. 17, №5. —С. 529-540.

38. Каменков, Г.В. Замечания к статье об устойчивости на конечном интервале времени [Текст] / Г.В. Каменков, А.А. Лебедев // Прикладная математика и механика. — 1954. — Т. 18, № 4. — С. 512.

39. Фельдбаум, А.А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования [Текст] / А.А. Фельдбаум // Автоматика и телемеханика. — 1953. — Т. 14, № 6. — С. 712-728.

40. Поляков, А.Е. О синтезе субоптимальной по быстродействию обратной связи методом линейных матричных неравенств [Текст] / А.Е. Поляков // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 5. — С. 145-164.

41. LaSalle, J. Stability by Liapunov's direct method [Text] / J. LaSalle, S. Lefschetz. — [S. l.] : Academic Press, New York, NY, 1961.

42. Orlov, Y. Discontinuous systems: Lyapunov analysis and robust synthesis under uncertainty conditions [Text] / Y. Orlov. — [S. l.] : Springer, 2009. — P. 320.

43. Yu, S. Finite-time consensus for second-order multi-agent systems with disturbances by integral sliding mode [Text] / S. Yu, X. Long // Automatica. — 2015. —Vol. 54. —P. 158-165.

44. Filippov, A.F. Differential equations with discontinuous right-hand sides [Text] / A.F. Filippov. — [S. l.] : Kluwer, Dordrecht, 1988.

45. Polyakov, A. Nonlinear feedback design for fixed-time stabilization of linear control systems [Text] / A. Polyakov // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2012. — Vol. 57, no. 8. — P. 2106-2110.

46. Dinuzzo, F. Higher Order Sliding Mode Controllers With Optimal Reaching [Text] / F. Dinuzzo, Ferrara A. // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2009. — Vol. 54, no. 9. — P. 2126-2136.

47. Никольский, Г.Н. К вопросу об автоматической устойчивости корабля на заданном курсе [Текст] / Г.Н. Никольский // Труды Центральной лаборатории проводной связи. — 1934. — Т. 1. — С. 34-75.

48. Utkin, V.I. Sliding Modes in Control Optimization [Text] / V.I. Utkin. — [S. l.] : Berlin:Springer-Verlag, 1992.

49. On homogeneity and its application in sliding mode control [Text] / E Bernuau, D. Efimov, W. Perruquetti, A. Polyakov // Journal of the Franklin Institute. — 2014. —Vol. 351(4). —P. 1866-1901.

50. Цыпкин, Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования [Текст] / Я.З. Цыпкин // Гостехиздат. — 1955.

51. Емельянов, С.В. О некоторых особенностях движения в системах автоматического регулирования с переменной структурой, обладающих разрывной функцией переключения [Текст] / С.В. Емельянов, Н.Е. Костылева // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 153(4). — С. 776-778.

52. Guldner, J. Sliding mode control for gradient tracking and robot navigation using artificial potential fields [Text] / J. Guldner, V. Utkin // IEEE Transactions on Robotics and Automation. — 1995. — Vol. 11, no. 2. — P. 247-254.

53. Drakunov, S. Sliding mode observers. tutorial [Text] / S. Drakunov, V. Utkin // Proceedings of the 34th IEEE Conference on Decision and Control. — 1995. — Vol. 4. — P. 3376-3378.

54. Levant, A. Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control [Text] / A. Levant // International Journal of Control.— 1993.— Vol. 58, no. 6.— P. 1247-1263.

55. Li, Y. Global Finite-time Observers for a Class of Non-Lipschitz Systems [Text] / Y. Li, Y. Shen, X. Xia // World. — 2011. — P. 703-708.

56. Moulay, E. Finite time stability conditions for non autonomous continuous systems [Text] / E. Moulay, W. Perruquetti // International Journal of Control. — 2008. — Vol. 81, no. 5. — P. 797-803.

57. Sliding Mode Control and Observation [Text] / Y. Shtessel, C. Edwards, L. Fridman, A. Levant. — [S. l.] : Springer Science & Business Media, 2013. — P. 356.

58. Tapia, A. Nonlinear sliding mode control design: An LMI approach [Text] / A. Tapia, M. Bernal, Fridman L. // Systems & Control Letters. — 2017. — Vol. 104. —P. 38-44.

59. Perruquetti, W. Finite-time observers: application to secure communication [Text] / W. Perruquetti, T. Floquet, E. Moulay // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2008. — Vol. 53, no. 1. — P. 356-360.

60. Finite time stability conditions for non autonomous continuous systems [Text] / Y. Shen, W. Shen, M. Jiang, Y. Huang // Int. J. Robust and Nonlinear Control. — 2010. — Vol. 20, no. 7. — P. 789-801.

61. Oliveira, T.R. Global and exact HOSM differentiator with dynamic gains for output-feedback sliding mode control [Text] / T.R. Oliveira, A. Estrada, L.M. Fridman // Automatica. — 2017. — Vol. 81. — P. 156-163.

62. Зубов, В.И. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями [Текст] / В.И. Зубов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1958. — № 1. — С. 80-88.

63. Zubov, V.I. Methods of A.M. Lyapunov and Their Applications [Text] / V.I. Zubov. — [S. l.] : Noordhoff, Leiden, 1964.

64. Bacciotti, A. Lyapunov Functions and Stability in Control Theory [Text] / A. Bacciotti, L. Rosier. — [S. l.] : Springer, 2005. — P. 237.

65. On homogeneous distributed parameters equations [Text] / A. Polyakov, D. Efimov, E. Fridman, W. Perruquetti // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2016. — Vol. 61, no. 11. — P. 3657-3662.

66. On Homogeneous Distributed Parameter Systems [Text] / A. Polyakov,

D. Efimov, E. Fridman, W. Perruquetti // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2016. — Vol. 61(11). — P. 3657-3662.

67. Kawski, M. Geometric Homogeneity and Stabilization [Text] / M. Kawski // IFAC Proceedings Volumes. — 1995. — Vol. 28(14). — P. 147-152.

68. Хоменюк, В.В. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями [Текст] / В.В. Хоменюк // Изв. вузов. Матем. — 1961. — № 3. — С. 157-164.

69. Weighted homogeneity for time-delay systems: Finite-time and independent of delay stability [Text] / D. Efimov, A. Polyakov, W. Perruquetti, J.-P. Richard // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2016. — Vol. 61(1). — P. 210-215.

70. Livne, M. Accuracy of disturbed homogeneous sliding modes [Text] / M. Livne, A. Levant // The 13th Scientific Workshop VSS13. — 2014. — P. 1-1.

71. Andrieu, V. Homogeneous approximation, recursive observer and output feedback [Text] / V. Andrieu, L. Praly, A. Astolfi // SIAM Journal of Control and Optimization. — 2008. — Vol. 47(4). — P. 1814-1850.

72. Sontag, E.D. Smooth Stabilization Implies Coprime Factorization [Text] /

E.D. Sontag // IEEE Trans. Automatic Control. — 1989. — Vol. 34(4). — P. 435443.

73. Efimov, D. Development of homogeneity concept for time-delay systems [Text] / D. Efimov, W. Perruquetti, J.-P. Richard // SIAM Journal of Control and Optimization. — 2014. — Vol. 52, no. 3. — P. 1403-1808.

74. Кремлев, А.С. Робастные свойства систем с отрицательным показателем однородности по отношению к запаздыванию [Текст] / А.С. Кремлев,

Д.В. Ефимов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2017. — Т. 17, № 6. — С. 1025-1032.

75. Polyakov, A. On finite-time stabilization of evolution equations: A homogeneous approach [Text] / A. Polyakov, J.-M. Coron, L. Rosier // Proceedings of 55th Conference on Decision and Control (CDC). — 2016. — P. 3143-3148.

76. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations [Text] / A. Pazy. — [S. l.] : Springer, 1983.

77. Коробов, В.И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости [Текст] / В.И. Коробов // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 248, № 5. — С. 236244.

78. Adamy, J. Soft variable-structure controls: a survey [Text] / J. Adamy, A. Flemming // Automatica. — 2004. — Vol. 40. — P. 1821-1844.

79. A note on delay robustness for homogeneous systems with negative degree [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // International Journal of Control. — 2018. — P. 1-15.

80. On an Extension of Homogeneity Notion for Differential Inclusions [Text] / E. Bernuau, D. Efimov, W. Perruquetti, A. Polyakov // European Control Conference (ECC). — 2013. — P. 2204-2209.

81. Isidori, A. Nonlinear Control Systems II [Text] / A. Isidori. — [S. l.] : SpringerVerlag London, 1999. — P. 293.

82. Levant, A. Finite-time stabilization of uncertain MIMO systems [Text] / A. Levant // Proceedings of 53rd IEEE Conference on Decision and Control. — 2014. —P. 4753-4758.

83. Levant, A. Accelerated high-order MIMO sliding mode control [Text] / A. Levant, Y. Dvir // Proceedings of 13th International Workshop on Variable Structure Systems. — 2014. — P. 1-6.

84. Supervisory Acceleration of Convergence for Homogeneous Systems [Text] / D. Efimov, A. Levant, A. Polyakov, W. Perruquetti // International Journal of Control. —2017. —P. 1-11.

85. Twin Rotor MIMO System Control Experiments 33-949S [Text]. — [S. l.] : East Sussex, UK: Feedback Instruments Ltd, 2006.

86. Робастное управление по выходу двухроторным нелинейным многоканальным объектом [Текст] / С.А. Вражевский, А.А. Маргун, Д.Н. Базылев [и др.] // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2018. — Т. 61, № 1. —С. 32-40.

87. Dorling, C.M. Two approaches to hyperplane design in multivariable variable structure control systems [Text] / C.M. Dorling, A.S.I. Zinober // International Journal of Control. — 1986. — Vol. 44, no. 1. — P. 65-82.

88. Angulo, M.T. Robust exact uniformly convergent arbitrary order differentiator [Text] / M.T. Angulo, J. Moreno, L. Fridman // Automatica. — 2013. — Vol. 49. — P. 2489-2495.

89. Frequency domain analysis of control system based on implicit Lyapunov function [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov, A. Kremlev // Proceedings of 15th European Control Conference (ECC). — 2016.— P. 587593.

90. Feedback sensitivity functions analysis of finite-time stabilizing control system [Text] / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov, A. Kremlev // Int. J. Robust. Nonlinear Control. — 2017. — Vol. 27(15). — P. 2475-2491.

91. Зименко, К.А. Программа построения АЧХ функций чувствительности [Текст]. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2015617669.— 17.07.2015.

92. Burde, D. On the Matrix Equation XA - AX = Xp [Text] / D. Burde // Linear Algebra and its Applications. — 2005. — Vol. 404. — P. 147-165.

93. Гантмахер, Ф. Теория матриц [Текст] / Ф. Гантмахер. — [Б. м.] : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2010.

94. Courant, R. Introduction to Calculus and Analysis [Text] / R. Courant, F. John. — [S. l.] : New York: Springer, 2000. — Vol. II/1.

95. Zhou, K. Essentials of Robust Control [Text] / K. Zhou, J.C. Doyle. — [S. l.] : Prentice-Hall, Inc., 1998.

96. Kolmanovsky, V.B. Stability of functional differential equations [Text] / V.B. Kolmanovsky, V.R. Nosov. — San Diego : CA: Academic, 1986.

97. Efimov, D. Homogeneity for time-delay systems [Text] / D. Efimov, W. Perruquetti. — 2011.

98. Efimov, D. Oscillations Conditions in Homogenous Systems [Text] / D. Efimov, W. Perruquetti // 8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. — 2010. — P. 1379-1384.

99. Hale, J.K. Theory of Functional Differential Equations [Text] / J.K. Hale. — [S. l.] : Springer-Verlag, 1977.

100. Rosier, L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field [Text] / L. Rosier // Systems & Control Letters.— 1992.— Vol. 19.— P. 467-473.

101. Gu, K. Stability of Time-Delay Systems [Text] / K. Gu, K.L. Kharitonov, J. Chen. Control Engineering. — Boston : Birkhauser, 2003.

102. Seydou, R. Actuator fault diagnosis for flat systems: a constraint satisfaction approach [Text] / R. Seydou, T. Raissi, D. Efimov // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. - 2013. - Vol. 23, no. 1. - P. 171-181.

103. Join, C. Control of an uncertain three-tank system via on-line parameter identification and fault detection [Text] / C. Join, H. Sira-Ramirez, M. Fliess // IFAC World Congress, Prague, Czech Republic. — 2005.

104. On ISS and iISS properties of homogeneous systems [Text] / E. Bernuau, A. Polyakov, D. Efimov, W. Perruquetti // Proc. European Control Conference (ECC) 2013. — Zurich : [s. n.], 2013.

105. Control of Systems with Arbitrary Bounded Input Delay Using Implicit Lyapunov Function Technique [Text] / K. Zimenko, D. Efimov, A. Polyakov, A. Kremlev // Proceedings of 17th European Control Conference (ECC).— 2018. —P. 1548-1553.