Локальная управляемость показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Банщикова Ирина Николаевна

• Банщикова Ирина Николаевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Банщикова Ирина Николаевна

Введение

Глава I. О свойстве устойчивости показателей Ляпунова

систем с дискретным временем

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Аддитивные и мультипликативные возмущения. Устойчивость показателей Ляпунова

§ 3. Пример линейной дискретной системы с неустойчивыми

показателями Ляпунова

§ 4. Интегральная разделенность линейной системы

с дискретным временем

§5. Некоторые свойства интегрально разделенных систем

Глава II. Достаточные условия пропорциональной

локальной управляемости показателей Ляпунова

§ 6. Управляемость показателей Ляпунова

§ 7. Равномерная полная управляемость систем с дискретным

временем

§ 8. Спектральное множество системы с устойчивыми

показателями

§ 9. Достаточные условия пропорциональной локальной

управляемости полного спектра показателей Ляпунова

Глава III. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей

Ляпунова

§ 10. Динамическая система сдвигов. Оболочка Бебутова

§11. Оболочка Бебутова и интегральная разделенность

§ 12. Оболочка Бебутова и равномерная полная управляемость

§ 13. Критерий пропорциональной локальной управляемости

полного спектра показателей Ляпунова

Заключение

Список литературы

Список основных обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальная управляемость показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Одним из основных методов конструирования управления для линейных систем с постоянными коэффициентами является метод размещения полюсов [70]. Этот метод основан на выборе такой обратной связи, что полюса замкнутой системы оказываются в наперед заданных точках комплексной плоскости. Теоретической основой данного метода является следующая классическая теорема (В.М. Попов [36], У. Уонэм [72]): линейная стационарная система

х = Ах + Ви, г е К, х е Шп, и е ,

управляема тогда и только тогда, когда для любого набора комплексных чисел Л = ,..., дп), симметричного относительно вещественной оси, найдется стационарная обратная связь и = их с постоянной матрицей и е Ккхп, обеспечивающая совпадение спектра замкнутой системы

х = (А + ви)х, г е К, х е Кп,

с набором Л. Аналогичный результат имеет место и для систем с дискретным временем [55; 56, с. 458]. В то же самое время, для стационарных систем хорошо изучена связь между положением полюсов и динамическими свойствами системы, такими, как устойчивость, колеблемость решений и т. п.

Аналогичная задача для нестационарных систем значительно менее изучена. Практически все известные результаты для нестационарных систем с непрерывным временем можно найти в книге [32].

Отметим, что для нестационарных систем (в отличие от стационарных) существует целый ряд неэквивалентных определений управляемости: равномерная, полная, дифференциальная, по входу, по выходу, и т. д. (см., например, [62]). Кроме того, для таких систем нет очевидного обобщения понятия полюсов. В определенной степени, показатели Ляпунова играют ту же роль, что вещественные части полюсов для стационарных систем с непрерывным временем и логарифмы абсолютных значений полюсов для

стационарных систем с дискретным временем.

Впервые задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной нестационарной системы с дискретным временем

х(т + 1) = А(т)х(т) + В(т)и(т), т е М, х е и е , (0.1)

посредством линейной обратной связи и(т) = и(т)х(т) была рассмотрена в работе [47]. В этой работе было установлено, что свойство равномерной полной управляемости системы (0.1) обеспечивает разрешимость задачи о глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы

х(т + 1) = (А(т) + В(т)и(т))х(т), т е М, х е (0.2)

т. е. возможности построения для произвольного наперед заданного набора чисел А1 ^ ... ^ Ап такого матричного управления и: N ^ Ккхп, что полный спектр замкнутой системы (0.2) совпадает с этим набором. Заметим, что алгоритм построения управления и(•) в этой работе не гарантирует малости нормы управления, даже если требуемое смещение показателей Ляпунова системы (0.2) по отношению к показателям свободной системы

х(т + 1) = А(т)х(т), т е М, х е (0.3)

мало.

В связи с этим возникает вопрос — можно ли для любого набора из малой окрестности полного спектра показателей Ляпунова системы (0.3) гарантировать возможность построения такой матрицы обратной связи и(•), что полный спектр показателей системы (0.2) совпадает с этим набором, при этом малому смещению показателей отвечает малая норма управления и(•)? Решению этого вопроса посвящена диссертация.

Для решения поставленной задачи в работе введено понятие пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (0.2).

Отметим, что вопрос о пропорциональной локальной управляемости спектра тесно связан с задачей об отыскании достижимых границ подвиж-

ности показателей системы при различных возмущениях ее коэффициентов. Для систем с непрерывным временем существенный вклад в решение этой задачи внесли Р. Э. Виноград [15], В. М. Миллионщиков [33], Н. А. Изо-бов [21,24], И. Н. Сергеев [39,40]. Вопросы построения спектрального множества при различных классах возмущений систем с непрерывным временем изучались М. И. Рахимбердиевым и Н.Х. Розовым [38], Н.А. Изобо-вым [25, 2б], Н.А. Изобовым и Т.Е. Зверевой [23], С. А. Гришиным [17], А. Г. Сурковым [41]. Кроме того, задача об управлении показателями Ляпунова имеет непосредственную связь с проблемами устойчивости и стабилизации. В заключение обзорной части введения отметим, что вопросами устойчивости и стабилизации решений систем с дискретным временем занимались В. Т. Борухов, О. М. Кветко [10]; В. А. Зайцев [20,73]; А. А. Канда-ков, К.М. Чудинов [27,28]; А. Ю. Куликов, В. В. Малыгина [29]; Г. А. Леонов [30]; A. Bacciotti, A. Biglio [50]; S. Bittanti, P. Bolzern, G. De Nicolao [52]; C.I.Byrnes, W. Lin, B.K.Ghosh [53]; V. Cheng [54]; J. C. Engwerda [57]; L.Grüne, F.Wirth [58]; W. Kwon, A. Pearson [б3]; W.Lin [б4]; J. Tsinias [71] и другие авторы.

Цель и задачи исследования. Основной целью работы является изучение как достаточных, так и необходимых и достаточных условий пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (0.2). Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи: изучены свойства устойчивости полного спектра показателей Ляпунова и интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем, получено описание спектрального множества линейной системы в случае устойчивости полного спектра, изучено свойство равномерной полной управляемости линейной системы с дискретным временем, изучены свойства оболочки Бебутова линейной управляемой системы с дискретным временем.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит

теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования задач стабилизации и управления асимптотикой решений нестационарных систем с дискретным временем. Примененные методы могут служить основой разработки алгоритмов стабилизации систем, динамика которых отслеживается в дискретные моменты времени. Результаты диссертации могут быть использованы при проведении исследований по математической теории управления и по теории стабилизации управляемых систем в Институте математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской Академии наук, в Институте проблем управления им. В.А.Трапезникова Российской Академии наук, в Институте математики Национальной Академии наук Беларуси, в Московском, Санкт-Петербургском, Белорусском и Удмуртском государственных университетах, а также при чтении спецкурсов в Белорусском и Удмуртском госуниверситетах.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы общей теории динамических систем, асимптотической теории линейных систем, математической теории управления, матричного анализа.

Положения, выносимые на защиту. В работе получены следующие результаты.

1) Исследованы свойства устойчивости полного спектра показателей Ляпунова и интегральной разделенности систем с дискретным временем. Получено описание спектрального множества при мультипликативных возмущениях системы с устойчивым спектром показателей Ляпунова.

2) Получены достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.

3) Получены необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова всех систем, входящих в оболочку Бебутова заданной линейной управляемой системы.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации приведены в виде строгих математических утверждений, а

также примеров, иллюстрирующих применение этих утверждений. Все результаты диссертации строго доказаны. Достоверность выводов и непротиворечивость полученных результатов подтверждается обоснованным применением строгих математических методов исследований, публикацией работ в открытой печати в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты диссертации обсуждались на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и математической теории управления (руководитель — профессор Н.Н.Петров, 20162019 гг.), на семинаре отдела динамических систем Института математики и механики Уральского отделения РАН (руководители — член-корреспондент РАН В. Н.Ушаков, профессор А. М. Тарасьев, 2019 г.), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (руководители — доцент В. В. Малыгина, профессор В. П. Максимов, профессор П. М. Симонов, 2020 г.), а также на следующих конференциях:

• Международном симпозиуме «Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала» (Пермь, ПГНИУ, 2016 г.);

• 21st International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR) (Poland, Miedzyzdroje, 2016 г.);

• Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2018 г.);

• XIV Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, ИПУ РАН, 2018 г.);

• Международной (50-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2019 г.);

• Международной конференции «Устойчивость, управление, дифференциальные игры» (SCDG2019), посвященной 95-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2019 г.).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 13 научных работах [2-9, 46,48, 49, 66, 67]. Из них 8 статей опубликованы в журналах, входящих в Международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science и Scopus, и тем самым приравненных к изданиям из Перечня ВАК. А именно, статьи [4, 7, 9,48, 49] опубликованы в изданиях, входящих в Web of Science и Scopus, а статьи [2,3, 66] — в изданиях, входящих в Scopus. Статьи [46] и [67] опубликованы в сборниках материалов международных конференций, входящих в Web of Science и/или Scopus. Остальные работы [5, 6, 8] — это тезисы докладов на международных конференциях.

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве c научным руководителем, С. Н. Поповой принадлежат постановки задач и общие схемы их исследований, а соискателю И. Н. Банщиковой — точные формулировки и доказательства результатов. Из совместных работ [7, 46,48, 49] в диссертацию для полноты изложения включены формулировки вспомогательных результатов — лемм 9.1,10.1,10.2,10.3 и следствий 10.1, 12.1, которые доказали соавторы работ Е. К. Макаров, A. Babiarz, A. Czor-nik, M. Niezabitowski. Все остальные результаты из этих работ, включенные в диссертацию, доказаны лично соискателем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и списка основных обозначений. Главы разбиты на 13 параграфов (нумерация параграфов сквозная). Нумерация формул в параграфах двойная (номер параграфа и номер формулы в параграфе). Такая же нумерация принята для определений, утверждений, лемм, теорем, следствий, замечаний, примеров. Полный объем диссертации составляет 118 страниц. Список литературы содержит 73 наименования.

Краткое содержание работы. В первом параграфе приведен обзор известных результатов о простейших свойствах решений линейных систем с дискретным временем. В последующих параграфах первой главы введены и исследованы свойства устойчивости полного спектра линейных систем с

дискретным временем и исследуется важный подкласс множества систем с устойчивыми показателями — системы с интегральной разделенностью.

Основной объект исследований второго параграфа — дискретная линейная однородная система (0.3). Мы всюду предполагаем, что матрица A(-) этой системы вполне ограничена на N, то есть A(m) обратима при всех m Е N и sup(||A(m)|| + ||A-1(m)||) < то. В таком случае система (0.3)

meN

обладает полным спектром показателей Ляпунова, состоящим из n чисел. В этом параграфе рассмотрены два вида возмущений линейной однородной системы (0.3) — аддитивные и мультипликативные. Показано, что для систем с дискретным временем более целесообразно работать с мультипликативными возмущениями (см. замечание 2.1). Рассмотрены некоторые свойства спектральных множеств мультипликативно и аддитивно возмущенных систем. Введено также понятие устойчивости полного спектра показателей Ляпунова (определения 2.4 и 2.5) и приведен критерий устойчивости полного спектра (теорема 2.1).

В §3 построен пример 3.1 линейной однородной системы вида (0.3) с неустойчивыми показателями Ляпунова, при этом возмущение матрицы коэффициентов системы сконструировано мультипликативным.

В § 4 введено понятие интегральной разделенности линейной системы с дискретным временем. Доказаны критерии интегральной разделенности и исследовано свойство диагонализируемости линейных систем с дискретным временем.

В последнем параграфе главы установлены свойства интегрально разделенных систем с дискретным временем, необходимые для получения результатов следующих параграфов. В заключение параграфа доказано (теорема 5.3), что система (0.3) интегрально разделена тогда и только тогда, когда ее полный спектр показателей Ляпунова устойчив и некратен, т. е. состоит из n различных чисел.

Во второй главе рассматривается локальная задача о назначении полного спектра показателей Ляпунова для линейных систем с дискретным временем. В § 6 вводятся различные определения управляемости полного спектра показателей Ляпунова, в том числе ключевое понятие работы —

пропорциональная локальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова. Согласно определению 6.2, полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы (0.2) называется пропорционально локально управляемым, если найдутся такие положительные 5 и I, что для каждого набора д = (д,..., дп) е А(А)) существует допустимое для системы (0.2) матричное управление и(•), удовлетворяющее оценке

|| и 11^ ! I тах А (А) — д^ |

и гарантирующее выполнение равенства А (А + Ви) = д. Здесь А (А) = (А1 (А),..., Ап(А)) е Щ! и А(А + Ви) е Щ! — полные спектры показателей Ляпунова систем (0.3) и (0.2) соответственно. Из этого определения вытекает, что если система (0.2) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости спектра, то выбором подходящей линейной обратной связи и(т) = и(т)х(т) мы можем установить полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы (0.2) в произвольную позицию в некоторой окрестности спектра Ляпунова свободной системы (0.3), при этом норма матрицы и(•) линейной обратной связи ограничена сверху расстоянием между этими двумя спектрами с некоторым постоянным множителем, не зависящим от выбора целевой позиции спектра. В заключение параграфа установлено, что пропорциональная локальная управляемость спектра инвариантна относительно преобразований Ляпунова.

В последующих параграфах главы получены достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра. Одним из этих условий является равномерная полная управляемость системы (0.1). Это свойство исследуется в § 7.

В § 8 введено понятие пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова мультипликативно возмущенной системы. Доказано, что в случае устойчивости показателей невозмущенной системы мультипликативно возмущенная система обладает этим свойством. На основе полученных результатов получено описание спектрального множества линейной системы с устойчивыми показателями.

В последнем параграфе второй главы на основе результатов предыду-

щих двух параграфов получены достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (0.2) — равномерная полная управляемость системы (0.1) и устойчивость полного спектра показателей Ляпунова системы (0.3) (теорема 9.2). В заключение параграфа построен пример 9.1, показывающий, что найденные условия не являются необходимыми.

Для получения необходимых и достаточных условий пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова в третьей главе применена концепция оболочки Бебутова линейной управляемой системы. Оболочкой Бебутова системы называется замыкание (в топологии поточечной сходимости на множестве натуральных чисел) множества сдвигов этой системы. В третьей главе мы не отказываемся от условия устойчивости показателей Ляпунова открытой системы, а усиливаем это условие до интегральной разделенности.

В § 10 вводится определение оболочки Бебутова системы с дискретным временем и изучаются ее свойства.

В § 11 установлено, что если исходная линейная однородная система с дискретным временем интегрально разделена, то всякая система из ее оболочки Бебутова обладает этим свойством.

В § 12 изучено свойство равномерной полной управляемости систем из оболочки заданной линейной управляемой системы.

В последнем параграфе работы получены необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. Доказано, что если свободная система (0.3) является системой с интегральной разделенностью, то система (0.1) равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда каждая система из ее оболочки Бебутова обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова (теорема 13.1). Приведен пример 13.1, иллюстрирующий полученные результаты.

В заключении излагаются итоги выполнения исследования и перспективы дальнейшей разработки темы.

ГЛАВА I. О СВОЙСТВЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Основной объект исследований главы — дискретная линейная однородная система

х(т + 1) = А(т)х(т), т Е М, х Е

Мы всюду предполагаем, что матрица А(-) этой системы вполне ограничена на М, то есть А(т) обратима при всех т Е N и

вир(||А(т)|| + ||А-1(т)||) < то.

тЕМ

В таком случае система обладает полным спектром показателей Ляпунова, состоящим из п чисел. Вводится понятие устойчивости полного спектра и исследуются некоторые его свойства. В третьем параграфе построен пример системы с неустойчивым спектром показателей Ляпунова. Последние два параграфа главы посвящены исследованию важного подкласса множества систем с устойчивыми показателями — системам с интегральной разделенностью.

§ 1. Предварительные сведения

Здесь приведены известные результаты о простейших свойствах решений линейных систем с дискретным временем.

Пусть Кп — евклидово пространство размерности п с фиксированным ортонормированным базисом е1,...,еп и стандартной нормой || • ||. Через ^пхп будем обозначать пространство вещественных матриц размерности п х п со спектральной нормой, т. е. операторной нормой, индуцируемой в Мпхп евклидовой нормой в Кп; Е Е Кпхп — единичная матрица. Пусть вп ^ ... ^ ^ 0 — сингулярные числа [44, с. 493] матрицы ^ Е Тогда выполнены соотношения

|| = вп, -1|| = й-1, | det ^ | = . ..вп

пп

и справедлива двусторонняя оценка

IIFII IIFI In-1

||/l n-l = < I det F\ < sn~lsl = (L1)

Отметим еще два свойства спектральной нормы, которые также будут полезны нам в дальнейшем. Во-первых, для любой F £ Rnxn выполнено равенство [44, с. 373] ||F*|| = ||F||. Во-вторых, имеет место оценка [44, с. 378]

/ п \ 1/2 ||F|| < ( ^^ ll^e«l|2 ) ^ \/птах{||^ег||: г = 1,...,п}.

^ ¿=1 '

Множество всех упорядоченных по возрастанию наборов из n вещественных чисел будем обозначать R-. Для фиксированного набора д = (д1;..., дп) £ R^ и произвольного 5 > 0 через Os (д) обозначим совокупность всех таких наборов v = (v1,...,vn) £ R^, что max |vj — Дj| < 5. Таким образом,

j=1,...,n

^естве то<_

Рассмотрим линейную однородную систему с дискретным временем

Os (д) — это 5-окрестность набора д во множестве Rn

x(m + 1) = A(m)x(m), (1.2)

где аргумент m пробегает множество N натуральных чисел; неизвестная функция х принимает значения в Rn; коэффициент A(m) при каждом m принадлежит пространству Rnxn. Всюду ниже будем предполагать, что функция A(-) вполне ограничена на N [18], то есть при каждом m £ N существует A—1(m), и найдется такое а0, что

||A||ro < ао, ||A—< ао.

Здесь и ниже использовано обозначение ||A||TO = sup ||A(m)||. Заметим, что

m£N

при всех m выполнены неравенства

||A||TO + ||A—1|то ^ ||A(1)|| + ||A(1)||—1 ^ 2, (1.3)

поэтому а0 ^ 1.

Для произвольных m0 £ N и x0 £ Rn введем начальное условие

x(mo) = хо. (1.4)

Определение 1.1. Задачей Коши для системы (1.2) называется задача о поиске решений системы (1.2), удовлетворяющих начальным условиям (1.4).

Определение 1.2. Фундаментальной системой решений (ФСР) системы (1.2) называется совокупность из п линейно независимых решений этой системы.

Определение 1.3. Пусть х1^),..., хп(-) — некоторая ФСР системы (1.2). Фундаментальной матрицей системы (1.2) называется матрица

Ф() = [х1(-),...,хп(^)].

Хорошо известно (см., например, [16]), что для произвольных т0 Е N и х0 Е Кп решение задачи Коши (1.2), (1.4) существует, единственно и продолжаемо на всё множество натуральных чисел; ФСР системы (1.2) существует; множество всех фундаментальных матриц этой системы совпадает со множеством

{Ф(-)С: С Е Кпхп, det С = 0}, и общее решение системы (1.2) имеет вид

п

х0(т,с) = ^^ схг(т) = Ф(т)с, т Е М,

¿=1

где Ф(-) = [х1^),... ,хп(-)] — произвольная фундаментальная матрица системы (1.2), с = со1(с1,..., сп) Е Кп — произвольный постоянный вектор.

Определение 1.4. Пусть Ф(-) — некоторая фундаментальная матрица системы (1.2). Матрицей Коши системы (1.2) называется матрица

ХА(т,в) = Ф(т)Ф-1(в),

где т, в — натуральные числа.

Тогда [16, с. 13-14] для каждого решения х(-) этой системы имеет место равенство

х(т) = ХА(т, в)х(в) для всех т Е М, в Е М,

и

' m—1

Yl A(l) при m > s,

s) = < !=s AV y E при m = s,

X-1(s,m) при m < s.

m—1

Здесь и всюду ниже полагаем ^ A(l) = A(m — 1)A(m — 2) • • • A(s), то есть

/=s

матрицы перемножаются в порядке убывания индекса. Тогда для любых m Е N, s Е N выполнена оценка

||XA(m, s)|| ^ a0m—s|.

Напомним теперь основные понятия асимптотической теории линейных систем с дискретным временем (см., например, [16]).

Для произвольного нетривиального решения ж(-) системы (1.2) определим его показатель Ляпунова равенством

Х[х] = lim т~1\п\\х(т)\\

m—уто

и обозначим через Л спектр показателей Ляпунова системы (1.2), т. е. множество всех Л Е R, для каждого из которых существует нетривиальное решение ж(-) системы (1.2) с показателем Л. Известно [16, с. 51-52], что множество Л состоит не более, чем из n различных чисел и расположено на отрезке [— ln a0, ln a0]. Пусть Л = {Л1,..., Лр}, где Л1 < ... < Лр, p ^ n. Показатель тривиального решения системы (1.2) полагаем равным —то.

Для каждого j Е {1,... ,p} рассмотрим множество Ej всех решений системы (1.2), показатели которых не превосходят Л^-. Множество Е0 считаем состоящим из тривиального решения системы (1.2).

Тогда [16, с. 54] каждое из множеств Ej является линейным подпространством, и размерность dim Ej пространства Ej равна Nj, где Nj — количество линейно независимых решений системы (1.2), имеющих характеристический показатель Л^-; N0 = dim Е0 = 0.

Поскольку Ej С Е/ при j < l, то N0 < N1 < ... < Np, при этом Np = n. Возьмем произвольную ФСР Ф(-) = {ж1^),... , системы (1.2), и

для каждого j Е {1, . . . , p} рассмотрим величину nj — количество решений

с показателем Лу, входящих в Ф(-). Известно [16, с. 54], что справедливы неравенства

п1 + ... + пу ! N, 3 = 1,..., р.

Определение 1.5 [16, с. 53]. ФСР Ф(-) называется нормальной, если для нее выполнены строгие равенства

п1 + ... + пу = N7, 3 = 1,..., р.

Определение 1.6 [16, с. 55]. Говорят, что ФСР Ф(-) обладает свойством несжимаемости, если для любой нетривиальной линейной комби-

п

нации у(-) = сух7(•) входящих в нее решений справедливо равенство 7=1

А [у] = тах{ А[жу ]: су = 0}.

Известно [16, с. 55], что ФСР Ф(-) нормальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости. Отсюда вытекают два важных следствия:

1) во всех нормальных ФСР системы (1.2) число пу решений с характеристическим показателем Лу одно и то же (и совпадает с величиной N7—1),

3 = 1...

2) всякая нормальная ФСР реализует весь спектр системы (1.2), т.е. множество чисел |А[жу]: 3 = 1,..., п} совпадает с ее спектром.

Итак, каждой линейной однородной дискретной системе (1.2) соответствует п чисел — показателей Ляпунова нетривиальных решений, входящих в ее произвольную нормальную ФСР: А1, А2,..., Ап. Это множество называется полным спектром показателей Ляпунова системы (1.2) [16, с. 57]. В дальнейшем будем обозначать его

А(А) = (А1 (А),..., Ап(А)),

считая при этом, что А1(А) ! ... ! Ап(А). Таким образом, А(А) е Щ!.

Определение 1.7. Преобразованием Ляпунова системы (1.2) называется линейное преобразование вида

у(т) = Ь(т)ж(т), (1.5)

где матрица Ь: N ^ Кпхп вполне ограничена. Матрица £(•) при этом называется матрицей Ляпунова. Системы (1.2) и

у(т + 1) = С(т)у(т), т е N, у е , (1.6)

называются асимптотически эквивалентными (или приводимыми друг к другу), если существует связывающее их преобразование Ляпунова.

Замечание 1.1. Поскольку преобразование Ляпунова (1.5) переводит систему (1.2) в систему

у(т + 1) = Ь(т + 1)х(т + 1) = Ь(т + 1)А(т)х(т) = (1 = Ь(т + 1)А(т)Ь-1(т)у(т),

то системы (1.2) и (1.6) асимптотически эквивалентны тогда и только тогда, когда найдется матрица Ляпунова Ь(-), обеспечивающая выполнение тождества

С(т) = Ь(т + 1)А(т)Ь-1(т), т е N.

Отметим, что преобразование Ляпунова сохраняет свойство полной ограниченности матрицы системы, а также такие асимптотические (при т ^ +то) характеристики системы, как полный спектр показателей Ляпунова, свойство устойчивости и т.п. (см. [16]).

Имеет место следующее достаточное условие асимптотической эквивалентности систем (1.2) и (1.6).

Теорема 1.1 [47]. Если существует строго возрастающая последовательность (т^ N натуральных чисел, такая, что при всех г е N выполнены равенства

Хс (тг+1,тг) = Ха (тг+ьтг)

и неравенства т^+1 — т^ ^ с < то, то системы (1.2) и (1.6) асимптотически эквивалентны.

Рассмотрим теперь линейную неоднородную систему с дискретным временем

х(т + 1) = А(т)х(т) + /(т), т е N х е , / е

Имеет место формула Коши для произвольного решения ж(-) этой системы [16, с. 20]:

т_1

х(т) = ХА(т,т0)х(т0) + ^^ ХА(т,й + 1)/(й), т > то, (1.8)

в=то

при каждом т0 е N.

§ 2. Аддитивные и мультипликативные возмущения. Устойчивость показателей Ляпунова

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Банщикова Ирина Николаевна, 2020 год

Список литературы

1. Адрианова, Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений / Л. Я. Адрианова. — С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992. — 240 с.

2. Банщикова, И. Н. О спектральном множестве линейной дискретной системы с устойчивыми показателями / И. Н. Банщикова, С. Н. Попова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2016. — Т. 26, вып. 1. — С. 15-26.Э01: 10.20537/УШ160102

3. Банщикова, И. Н. Пример линейной дискретной системы с неустойчивыми показателями / И. Н. Банщикова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2016. — Т. 26, вып. 2. — С. 169-176.

4. Банщикова, И. Н. О свойстве интегральной разделенности систем с дискретным временем / И. Н. Банщикова, С. Н. Попова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2017. — Т. 27, вып. 4. — С. 481-498.

5. Банщикова, И. Н. К свойству равномерной полной управляемости систем с дискретным временем / И. Н. Банщикова // Современные проблемы математики и её приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, 4-10 февраля 2018 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2018. — С. 23.

6. Банщикова, И. Н. Об устойчивости показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем / И. Н. Банщикова // Современные проблемы математики и её приложений: тезисы Международной (50-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 3-9 февраля 2019 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2019. — С. 28-29.

7. Банщикова, И. Н. Об условиях пропорциональной локальной управляемости спектра показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем / И. Н. Банщикова, Е. К. Макаров, С. Н. Попова // Вестник

Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2019. - Т. 29, вып. 3. - С. 301-311.

8. Банщикова, И. Н. Об условиях пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем / И. Н. Банщикова, С. Н. Попова // Устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2019): материалы Международной конференции, посвященной 95-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского. Екатеринбург, 16-20 сентября 2019 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2019. — С. 44-48.

9. Банщикова, И. Н. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем / И. Н. Банщикова, С. Н. Попова // Дифференциальные уравнения. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 122-132. Переводная версия: Banshchikova I. N. Necessary and Sufficient Conditions for Proportional Local Controllability of Lyapunov Exponents in Linear Discrete-Time Systems / I. N. Banshchikova, S. N. Popova // Differential Equations. — 2020. — Vol. 56, No. 1. — P. 120—130.

10. Борухов, В. Т. Критерии стабилизируемоси дискретных линейных бесконечномерных систем в метрических и ультраметрических пространствах / В. Т. Борухов, О.М. Кветко // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2010. — № 2. — С. 3-11.

11. Былов, Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду / Б.Ф. Былов // Математический сборник. — 1965. — Т. 67(109), № 3. — С. 338-344.

12. Былов, Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман,

B. В. Немыцкий. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

13. Былов, Б. Ф. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы / Б.Ф. Былов, Н.А. Изобов // Дифференциальные уравнения. - 1969. — Т. 5, № 10. —

C. 1794-1803.

14. Былов, Б. Ф. О приведении линейной системы к блочно-

треугольному виду / Б. Ф. Былов // Дифференциальные уравнения. — 1987. — Т. 23, № 12. — С. 2027-2031.

15. Виноград, Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р. Э. Виноград // Математический сборник. — 1957. — Т. 42, № 2. — С. 207-222.

16. Гайшун, И. В. Системы с дискретным временем / И. В. Гайшун.

— Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2001. — 400 с.

17. Гришин, С. А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем / С. А. Гришин // Дифференциальные уравнения. — 1982.

— Т. 18, № 11. — С. 1862-1869.

18. Демидович, В. Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений / В. Б. Демидович // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, № 7. — С. 1247-1255.

19. Зайцев, В. А. О свойстве равномерной полной управляемости линейной управляемой системы с дискретным временем / В. А. Зайцев, C. Н. Попова, Е. Л. Тонков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2014. — Т. 24, вып. 4. — С. 53-63.

20. Зайцев, В. А. Стабилизация стационарных аффинных управляемых систем с дискретным временем / В. А. Зайцев // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 12. — С. 1658-1669.

21. Изобов, Н. А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями / Н. А. Изобов // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, № 7. — С. 1186-1192.

22. Изобов, Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. А. Изобов // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ. — 1974. — Т. 12. — С. 71-146.

23. Изобов, Н. А. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах / Н. А. Изо-бов, Т. Е. Зверева // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17, № 11.

— С. 1964-1977.

24. Изобов, Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление / Н. А. Изобов // Доклады АН БССР. — 1982. Т. 26, № 1.

С. 5-8.

25. Изобов, Н. А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями / Н.А. Изобов // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, № 3. — С. 428-437.

26. Изобов, Н. А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры / Н. А. Изобов // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, № 6. — С. 953-957.

27. Кандаков, А. А. Эффективный критерий устойчивости дискретной динамической системы / А. А. Кандаков, К. М. Чудинов // Прикладная математика и вопросы управления. — 2017. — № 4. — С. 88-103.

28. Кандаков, А. А. Эффективные критерии экспоненциальной устойчивости автономных разностных уравнений / А. А. Кандаков, К. М. Чудинов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23, № 123. — С. 402-414.

29. Куликов, А. Ю. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения / А. Ю. Куликов, В. В. Малыгина // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2011. — № 12. — С. 30-41.

30. Леонов, Г. А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления / Г. А. Леонов // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 5. — С. 92-96.

31. Макаров, Е. К. К методу поворотов для линейных управляемых систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова // Докл. НАН Беларуси.— 1998. — Т. 42, №6.— С. 13-16.

32. Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. — Минск: Беларуская навука, 2012. — 407 с.

33. Миллионщиков, В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы / В. М. Миллионщиков // Математические заметки. — 1968. — Т. 4, № 2. — С. 173-180.

34. Миллионщиков, В. М. Доказательство достижимости цен-

тральных показателей линейных систем / В. М. Миллионщиков // Сибирский математический журнал. — 1969. — Т. 10, № 1. — С. 99-104.

35. Миллионщиков, В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений / В.М. Миллионщиков // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, № 10. — С. 1755-1784.

36. Попов, В. М. Гиперустойчивость автоматических систем: пер. с румын. / В.М. Попов. — М.: Наука, 1970. — 335 с.

37. Попова, С. Н. Задачи управления показателями Ляпунова: Дис. .. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. / С.Н. Попова. — Ижевск, 1992. — 103 с.

38. Рахимбердиев, М. И. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным / М.И. Рахимбердиев, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 9. — С. 1710-1714.

39. Сергеев, И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности / И. Н. Сергеев // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 3. — С. 438-448.

40. Сергеев, И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях / И. Н. Сергеев // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1986. — Вып. 11. — С. 32-73.

41. Сурков, А. Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями / А. Г. Сурков // Минск, 1984. — 43 с. (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).

42. Тонков, Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 10. — С. 1804-1813.

43. Тонков, Е. Л. К теории линейных управляемых систем / Е. Л. Тонков. — Ижевск: Издательский центр «Удмуртский университет», 2018. — 228 с.

44. Хорн, Р. Матричный анализ: пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М.: Мир, 1989. — 655 с.

45. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. — М: Мир,

1986. - 752 c.

46. Babiarz, A. On assignability of Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying system with control / A. Babiarz, I. Banshchikova, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski, S. Popova // 21st International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR): Aug. 29 - Sept. 1 2016: Conference Proceedings. — Miedzyzdroje, 2016. — Pp. 697-701.

47. Babiarz, A. Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems / A. Babiarz, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski, S. Popova // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2017. — Vol. 55, no. 2. — Pp. 671-692.

48. Babiarz, A. Necessary and sufficient conditions for assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems / A. Babiarz, I. Banshchikova, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski, S. Popova // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2018. — Vol. 63, no. 11. — Pp. 3825-3837.

49. Babiarz, A. Proportional local assignability of Lyapunov spectrum of linear discrete time-varying systems / A. Babiarz, I. Banshchikova, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski, S. Popova // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2019. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 1355-1377.

50. Bacciotti, A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems / A. Bacciotti, A. Biglio // Nonlinear Differential Equations and Applications. — 2001. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 425-438.

51. Barreira, L. Lyapunov exponents and smooth ergodic theory, vol. 23 / L. Barreira, Ya. B. Pesin. — Providence, RI, USA: American Mathematical Society, 2002.

52. Bittanti, S. Comments on "Stabilizability and detectability of discrete-time, time-varying systems"/ S. Bittanti, P. Bolzern, G. De Nicolao // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1992. — Vol. 37, no. 8. — Pp. 1274-1275.

53. Byrnes, C. I. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback / C. I. Byrnes, W. Lin, B. K. Ghosh // Systems & Control Letters. — 1993. — Vol. 21, no. 3. — Pp. 255-263.

54. Cheng, V. A direct way to stabilize continuous-time and discrete-time

linear time-varying systems / V. Cheng // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1979. - Vol. 24, no. 4. - Pp. 641-643.

55. Dickinson, B. On the fundamental theorem of linear state variable feedback / B. Dickinson // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1974.

— Vol. AC-19, no. 5. — Pp. 577-579.

56. Elaydi, S. An introduction to difference equation / S. Elaydi. — Springer, 2005.

57. Engwerda, J. C. Stabilizability and detectability of discrete-time time-varying systems / J. C. Engwerda // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1990. — Vol. 35, no. 4. — Pp. 425-429.

58. Grüne, L. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems / L. Grüne, F. Wirth // Systems & Control Letters. — 1999. — Vol. 37, no. 1. — Pp. 19-30.

59. Halanay, A. Time-varying discrete linear systems: input-output operators, Riccati equations, disturbance attenuation / A. Halanay, V. Ionescu.

— Basel: Springer, 1994. — 230 p.

60. Johnson, R. Nonautonomous linear Hamiltonian systems: oscillation, spectral theory and control / R. Johnson, R. Obaya, S. Novo, G. Nunez, R. Fabbri. — Springer, 2016.

61. Kalman, R. E. Contribution to the theory of optimal control / R. E. Kalman // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana. — 1960. — Vol. 5, no 1. — Pp. 102-119.

62. Klamka, J. Controllability of dynamical systems / J. Klamka. — Kluwer Academic Publishers Dordrecht, The Niderlands, 1991.

63. Kwon, W. On feedback stabilization of time-varying discrete linear systems / W. Kwon, A. Pearson // IEEE Transactions on Automatic Control.

— 1978. — Vol. 23, no. 3. — Pp. 479-481.

64. Lin, W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems / W.Lin // Systems & Control Letters. — 1996. — Vol. 29, no. 1. — Pp. 51-59.

65. Perron, O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme / O. Perron // Math. Z. — 1930. — Bd. 31. — Pp. 748-766.

66. Popova, S. N. Spectral set of a linear system with discrete time / S.N. Popova, I.N. Banshchikova // Journal of Mathematical Sciences. — 2018.

- Vol. 230, no. 5. — Pp. 752-756.

67. Popova, S. N. On the property of proportional local assignability of the Lyapunov spectrum for discrete time-varying systems / S. N. Popova, I. N. Banshchikova // Proceedings of 2018 14th International Conference "Stability and oscillations of nonlinear control systems" (Pyatnitskiy's conference) (STAB): Russia, Moscow, V. A. Trapeznikov Institute of control sciences, may 30-june 1, 2018. Moscow: IEEE, 2018. DOI: 10.1109/STAB.2018.8408389

68. Sell, G. Topological dynamics and ordinary differential equations (Series Van Nostrand Reinhold mathematical studies) / G. Sell. — New York, NY, USA: Van Nostrand, 1971.

69. Sell, G. R. The Floquet problem for almost periodic linear differential equations. Ordinary and Partial differential equations / G. R. Sell. — New York, NY, USA: Springer, 1974. — Pp. 239-251.

70. Sontag, E. D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems, vol. 6 / E. D. Sontag. — New York, NY, USA: Springer, 2013.

71. Tsinias, J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems / J. Tsinias // IMA Journal of Mathematical Control and Information. — 1989.

— Vol. 6, no. 2. — Pp. 135-150.

72. Wonham, W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems / W. M. Wonham // IEEE Trans. Autom. Control. — 1967. — Vol. AC-12, no. 6. — Pp. 660-665.

73. Zaitsev, V. Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of discrete-time periodic bilinear systems / V. Zaitsev // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, issue 1. — Pp. 11529-11534.

Список основных обозначений

* — операция транспонирования.

Rn — евклидово пространство размерности n с каноническим ортонорми-рованным базисом е\,... ,еп и нормой ||ж|| = \/х*х.

RJ — множество всех упорядоченных по возрастанию наборов из n вещественных чисел. Для произвольного набора д = (д1;..., дп) G RJ и любого £ > 0 положим

Ое(д) = {v = (vb...,vn) G RJ: |д,- - Vj | <£ Vj = 1,...,n},

то есть Oe (д) — это ^-окрестность набора д во множестве RJ, порожденная /^-нормой пространства Rn.

Z — множество целых чисел.

N — множество натуральных чисел.

col(a1, а2,..., an) — вектор-столбец с координатами а1, а2,..., an.

Rkxn — пространство вещественных матриц размерности k xn со спектральной нормой, т. е. операторной нормой, индуцируемой в Rkxn евклидовыми нормами в Rn и Rk.

Для произвольной функции F: N ^ Rn положим

||F= sup ||F(m)||,

mGN

||F ||ra.bi = max ||F (m)||.

L'J mG[o;b]nN

Аналогичные обозначения используем для функции F: N ^ Rkxn. [h1, h2,..., hn] — k xn-матрица, образованная столбцами h1, h2,..., hn G Rk. E = [e1, e2,..., en] — единичная n x n-матрица. ФСР — фундаментальная система решений.

^ rri—l

f = lim — у In \ f(j) \ — верхнее логарифмическое среднее значение нену-

m^TO m ^—' j=1

левой функции f: N ^ R. Если здесь существует точный предел, то гово-

рим, что функция ](•) обладает точным логарифмическим средним значением.

Линейную управляемую систему

х(т + 1) = А(т)х(т) + В(т)и(т), т е М, х е и е ,

управление в которой не фиксировано, называем открытой; если в этой системе выбрано управление и(т) = 0, то соответствующую систему

х(т + 1) = А(т)х(т), т е М, х е ,

называем свободной; если управление выбрано линейным по фазовой переменной, то есть имеет вид

и(т) = и (т)у(т) то соответствующую систему

х(т + 1) = (А(т) + В (т)и (т)) х(т) называем замкнутой.

Х^(т, й) — матрица Коши свободной системы. Х^+ви(т, й) — матрица Коши замкнутой системы.