Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кузнецов, Николай Владимирович

• Кузнецов, Николай Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов, Николай Владимирович

Оглавление

Введение

1 Глава 1. Скрытые аттракторы

1.1 Аттракторы динамических систем

1.2 Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы

1.2.1 Классические примеры самовозбуждающихся аттракторов

1.2.1.1 Классическая система Лоренца

1.2.1.2 Возмущенный осциллятор Дуффинга: самовозбуждающийся аттрактор Уеда

1.2.2 Скрытые аттракторы в известных теоретических проблемах

1.2.2.1 Скрытые колебания в 16-ой проблеме Гильберта

1.2.2.2 Скрытые колебания в контрпримерах к гипотезам Айзермана и Калмана

1.2.3 Скрытые аттракторы в прикладных моделях

1.2.3.1 Скрытые аттракторы в электромеханических системах без состояния равновесия

1.2.3.2 Скрытые колебания с моделях буровых установок

1.2.3.3 Скрытые колебания в системах управления летательными аппаратами

1.2.3.4 Скрытые аттракторы в систем модели Габиповича

1.2.3.5 Скрытый аттрактор в модели Глуховского-Должанского

1.2.3.6 Скрытый аттрактор в электрической цепи Чуа

1.2.3.7 Скрытый аттрактор в модели Габиповича-Фабриканта

1.3 Аналитическое построение скрытых колебаний в двумерных полиномиальных системах

1.3.0.8 Определение ляпуновских величин

1.3.0.9 Прямой метод вычисления ляпуновских величин

1.3.0.10 Малые предельные циклы

1.4 Аналитико-численная процедура локализации скрытых колебаний

1.5 Локализация скрытых колебаний в контрпримерах к проблемам Айзермана и Калмана

2 Глава 2. Ляпуновская размерность аттракторов

2.1 Ляпуновская размерность отображений и динамических систем

2.2 Инвариантность относительно диффеоморфизмов и аналитические оценки

2.3 Аналитические формулы точной ляпуновской размерности известных динамических систем

2.3.1 Система Энона

2.3.2 Система Лоренца

2.3.3 Система Глуховского-Должанского

2.3.4 Система Янга-Тигана

2.3.5 Система Шимицу-Мориока

3 Глава 3. Системы фазовой автоподстройки частоты: вывод моделей и скрытые колебания

3.1 Вывод классических моделей ФАП в пространстве фаз сигналов

3.2 Понятия диапазонов устойчивости

3.2.1 Локальная устойчивость и полоса удержания

3.2.2 Глобальная устойчивость и полоса захвата

3.2.3 Проскальзывание циклов и полоса захвата без проскальзывания

3.2.4 Аппроксимация полосы захвата без проскальзывания для классической ФАП

3.2.5 Начальная и собственная частоты ПГ

3.3 Скрытые колебания в двухфазной ФАП

3.4 Вывод математических моделей классической схемы Костаса

Заключение Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний»

Введение

Колебание в динамической системе может быть легко вычислено, если траектории с начальными данными из его открытой окрестности в фазовом пространстве притягиваются к рассматриваемому колебанию при возрастании времени. С вычислительной точки зрения такое колебание (или множество таких колебаний) называется аттрактором, а область его притяжения — бассейном притяжения. Для визуализации такого аттрактора достаточно выбрать начальную точку и численно наблюдать за переходным процессом притяжения траектории из выбранной точки к аттрактору с возрастанием времени. Изучение динамических систем обычно начинается с анализа состояний равновесия, которые могут быть легко найдены численно или аналитически. Поэтому с вычислительной точки зрения естественно предложить следующую классификацию аттракторов, которая основана на связи их областей притяжения и состояний равновесия: аттрактор называется самовозбуждающимся (self-excited, attractor), если любая окрестность одного из состояний равновесия пересекается с областью притяжения аттрактора, в противном случае аттрактор называется скрытым (hidden attractor). Термины "self-excited attractor" и '"'"hidden attractor" были введены автором в работах [44, 160, 169, 180, 188] и за последние годы получили широкое распространение. Статья [191] о локализации скрытого аттрактора в цепи Чуа, опубликованная в журнале Physics Letters А в 2011 году, стала в 2016 году самой цитируемой статьей журнала за пять лет1, обзорная статья [180] 2013 года, подготовленная по материалам данной диссертационной работы для журнала International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering за прошедшее время стала самой читаемой статей

Согласно информации на официальном сайте журнала на 09.05.2016: http ://www.j ournals.elsevier.com/physics-letters-a/most-cited-articles

журнала и вошла в список самых цитируемых работ журнала за все голы2, а в 2016 году обзорная статья "Hidden attractors in Dynamical systemê' [129] была принята в один из ведущих3 международных журналов Physics Reports.

Такая классификация аттракторов оказалась естественной не только для исследования таких фундаментальных проблем, как 16-ая проблема Гильберта и гипотезы Айзермана и Кил.мини, но и отразила трудности инженерного анализа различных мультиустойчивых прикладных нелинейных моделей (в компьютерных архитектурах и телекоммуникации, системах управления летательными аппаратами, электромеханических моделях и т.д.). Предложенная классификация явилась катализатором открытия новых скрытых аттракторов в различных системах. В настоящее время по тематике скрытых аттракторов опубликовано более 100 работ известных российский и зарубежных авторов, среди которых Erik Mosekilde (Дания), Luigi Fortuna (Италия), Tomasz Kapitaniak (Польша), Ivan Zelinka (Чехия), Christos Vo-los (Греция), William Heath (Великобритания), Manuel de la Sen (Испания), Awadhesh Prasad (Индия), Guanrong Chen (Китай), Viet Pham (Вьетнам), Sajad Jafari (Iran), Ihsan Pehlivan (Турция), Sifeu Kingni (Камерун), Julien Clinton Sprott (США), Ж.Т. Жусубалиев (Курск), B.C. Анищенко (Саратов), И.М. Буркин (Тула), А.Н. Чурилов (Санкт-Петербург), С.П. Кузнецов и А.П. Кузнецов (Саратов) и других, где предложенная классификация атзтракторов используются со ссылками на работы в этом направлении автора диссертации [44,169,180,191,192]; в том числе в библиометрической базе данных Scopus (Elsevier) проиндексировано более 40 работ зарубежных авторов, в названиях которых содержится hidden attractor. В 2015 году был опубликован специальный выпуск журнала The European Physical Journal Special Topics "Multistability: Uncovering Hidden Attractors" (Springer)4, в котором приняли участие авторы из 14 стран. В 2015 году на международной конференции 4th IFAC Conference on Analysis and Control of Chaotic Systems (Japan, 2015) Guan-

2согласно информации на официальном сайте журнала на 09.05.2016: http ://www.worldscientific.com/worldscinet/ijbcînull&journalTabs=read. http ://www.worldscientific.com/worldscinet/ijbc?null&journalTabs=cited

3Impact factor 20.033 (JCR 2015, Web of Science), http://www.journals.elsevier.com/physics-reports/

4http://link.springer.com/j ournal/11734/topicalCollection/ÂC_9fcd6cfa51cbf272d9e9981e7dl84d22/

rong Chen5 выступил с пленарным докладом, посвященном тематике скрытых аттракторов: " Chaotic systems with any пит,ber of equilibria and their hidden attractors"6.

Термин "самовозбуждающиеся колебания" (self-excited oscillation) использовался в научной школе A.A. Андронова для описания переходных процессов, возникающих при добавлении в автономную систему внешнего возмущения и переводящих состояние системы из состояния равновесия (автономной системы) к колебательному режиму (в неавтономной системе). Использование этого термина в данной работе для автономных систем характеризует наличие в рассматриваемой автономной системе аналогичного естественного переходного процесса из окрестности одного из неустойчивых состояний равновесия к аттрактору. Термин "скрытые колебания" (hidden oscillation) появился при обсуждении [159,166,185] возможности визуализации предельных циклов в полиномиальных системах для исследования 16-ой проблемы Гильберта. В первых известных примерах двумерных квадратичных систем с четырьмя предельными циклами, которые стали контрпримерами к утверждению И.Г. Петровского и Е.М. Ландис о возможности существования только трех предельных циклов в таких системах, численно можно увидеть только один предельный цикл (нормальной амплитуды), тогда как три остальных цикла (малой амплитуды) строятся теоретически при помощи последовательно малых возмущений и, поэтому, не могут быть визуализованы стандартными средствами7. Другим мотивом использования термина "скрытые" стало описание В.И. Арнольдом8 эксперимента А.Н. Колмогорова, который раздавал студентам МГУ в качестве практикума двумерные квадратичные системы с различными коэффициентами для исследования существования в них предельных циклов — в нескольких сотнях таких примеров студенты не нашли ни одного предельного цикла. Математическая формализация этого понятия была связана с примером построения хаотического скрытого аттрактора (hidden attractor) в электронной цепи

5City University of Hong-Kong, China, http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/; IEEE Fellow, Highly Cited Researchers 2015 in Engineering and Mathematics (Thomson Reuters).

6http://www.ее.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/CHEN_IFAC2015.pdf

7S. Shi, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sei. Sinica, 23. 1980, 153-158.

8В.И. Арнольд, Экспериментальная математика. M.: Фазис. 2005.

Чуа (Chua circuit) с искусственно стабилизированным нулевым состоянием равновесия, который был построен автором и представлен на пленарном докладе 4th International Scientific Conference on Physics and Control в 2009 году9 и затем опубликован в [169].

Цели работы. Создание концепции скрытых и самовозбуждающихся аттракторов. Развитие эффективных аналитико-численных методов локализации скрытых аттракторов в фундаментальных проблемах и физических моделях. Развитие эффективных аналитико-численных методов анализа размерности скрытых и самовозбуждающихся аттракторов для получения оценок и точных формул ляпуновской размерности. Построение нелинейных моделей систем фазовой автоподстройки сигналов для анализа устойчивости и существования в них скрытых колебаний.

Методы исследования. Методы локализации скрытых колебаний включают в себя метод вычисления ляпуновских величин во временном пространстве, специальный аналог метода гармонического баланса для критического случая, метод синтеза сценариев рождения скрытых колебаний, основанный на продолжимости по параметру.

Для оценки размерности самовозбуждающихся и скрытых аттракторов применялся подход, основанный на инвариантности ляпуновской размерности относительно диффеоморфизмов и на использовании при оценке размерности функций Ляпунова.

Для построения моделей фазовой автоподстройки, анализа их устойчивости и поиска скрытых колебаний использовались специальный метод усреднения и анализ фазовой плоскости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Концепция скрытых и самовозбуждающихся аттракторов динамических систем.

2. Аналитико-численные методы локализация скрытых аттракторов в фундаментальных проблемах и физических моделях.

9http://www.math.spbu.ru/user/leonov/publications/2009-PhysCon-Leonov-plenary-hidden-\ oscillations,pdf#page=21

3. Методы оценки и вычисления ляпуновской размерности аттракторов динамических систем.

4. Математические модели систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов.

5. Решение проблемы Гарднера определения полосы захвата без проскальзывания для математических моделей систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов.

6. Комплекс программ для анализа скрытых и самовозбуждающихся аттракторов.

Научная новизна. Пункты 1-6 , перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость заключается в создании математических моделей систем фазовой автоподстройки в пространстве фаз сигналов; в разработке аналитико-чис ленных методов, позволяющих эффективно исследовать скрытые колебания как при решении фундаментальных проблем, так и при анализе прикладных динамических моделей.

Достоверность полученных в работе теоретических результатов обеспечивается строгим использованием математического аппарата и подтверждается сравнением с ранее известными результатами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на приглашенных пленарных и обзорных докладах российских и международных конференций: X Int. Workshop on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Russia, 2008), Physics and Control (Italy, 2009), 3rd Int. Conference on Dynamics, Vibration and Control (China, 2010), IFAC 18th World Congress (Italy, 2011), IEEE 5th Int. Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (China, 2012), Int. Conference on Dynamical Systems and Applications (Ukraine, 2012), Nostradamus (Czech Republic, 2013), 19th IFAC World Congress (South Africa, 2014), 2nd Int. Conference on Advanced Engineering - Theory and Applications (Vietnam, 2015) и другие.

Результаты применения методов, предложенных автором в настоящей работе, для решения конкретных теоретических и прикладных задач представлены в диссертациях Е. Кудряшовой, В. Вагайцева, В. Брагина, М. Юлдашева, Р. Юлдашева, М. Киселевой, Т. Мокаева, К. Александрова, научным руководителем которых был автор и которые защищались в Санкт-Петербугском государственном университете и University of Jyväskylä, Финляндия (2009-2016). Также в 2016 году по тематике скрытых колебаний в многомерных системах управления защитил кандидатскую диссертацию Нгуен Нгон Хиен в Тульском государственном университете (специальность 05.13.18, научный руководитель И.М. Буркин).

Результатам работы автора по скрытым аттракторам в цепи Чуа была дана положительная оценка Леоном Чуа (Leon Chua, профессор University of California, Berkeley); па результаты по построению контрпримеров со скрытыми колебания к гипотезе Кил.ми ни об абсолютной устойчивости систем управления был получен положительный отклик от Рудольфа Кил.ми ни (Rudolf Kaiman, профессор ЕТН Zurich), по скрытым аттракторам в системе Глуховского-Должанского положительный отзыв от профессора Александра Должанского (профессор Purdue University, США). В 2012 году по приглашению академика РАН В.Г. Пешехонова результаты работы были представлены автором в докладе "Анализ и синтез скрытых колебаний" на XXXIV Общем собрании Академии навигации и управления движением.

Работа над диссертацией была поддержена следующими грантами: postdoctoral researcher's project Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme (2004); грант №MK-162.2007.1 Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых (2007-2008, руководитель); postdoctoral researcher's project №138488 Academy of Finland (2011-2013); проект №6.38.72.2012 Санкт-Петербургского государственного университета, мероприятие 2 (2012-2014, руководитель); проект №12-0131335 РФФИ, мол_а (2012-2013, руководитель); проекты №8218 (2012-2013, руководитель), №14.740.11.0998 (2011-2013, руководитель), №14.740.11.0589 (2010-2012, руководитель) ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы, мероприятие 1.2.2; гранты Правительства Санкт-Петербурга для молодых ученых (2007, 2008, 2010, 2011,

и

2012, персональные гранты); грант №14-21-00041 Российского Научного Фонда для поддержки существующих кафедр (2014-2016, основной исполнитель).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано более 100 статей, в изданиях индексируемых Scopus10, 2 монографии [159,183], получено 3 свидетельства об интеллектуальной собственности (патенты) [17-19] и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [27, 28]. Основные результаты диссертации представлены в работах [129,160,166,179, 180,191,218], [161,162,174,177] и [80,103,138,211,212,227,236,260,274].

10http://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorld=13805675700

Глава 1. Скрытые аттракторы

1.1 Аттракторы динамических систем

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

й = f (й), f : U С Rn ^ Rn, (1.1)

где f - непрерывная дифференцируемая вектор-функция. Предположим, что любое решение u(t,u0) уравнения (2.1), такое что и(0,йо) = й0 £ U, существует при всех t £ [0, го), единственно и не по кидает U. Тогда решение рь(й0) = u(t,u0) является непрерывно дифференцируемым и для него выполнено следующее свойство:

pt+s(uo) = <^VM), /Ы = йо v t,s > 0, Уйо £ U. (1.2)

{^}t>0 задает гладкую динамическую систему на (U, || • ||): ({^t}t>0, (U С Rn, || • ||)). Здесь ||й|| = \Jй1 + ••• + а'; - Кик. 1 и;и>пя hoijxu» вектора й = (й1,...,йп) £ Rn. Аналогично можно рассмотреть динамическую систему, заданную разностным уравнением

й(t + 1) = ^(t)), t = 0,1,.., (i.3)

где р : U С Rn ^ U - непрерывно-дифференцируемая вектор-функция. Здесь

^ (й) = (Р ◦ Р 0•••P)(й), Р°(й)= й,

4-V-'

t— times

и существование и единственность (при увеличении £) имеет место при всех г > 0. Дал ее обозначает гладкую динамическую систему с непрерывным

или дискретным временем.

Введем понятие аттракторов динамической системы, следуя [201].

Определение 1. Множество К С и С называется:

1) положительно инвариантным, есл,и^(К) С К;

2) инвариантным, если ц>(К) = К;

3) отрицательно инвариантным, если ц>(К) : К, где р(К) = {ф(и) | и е К}.

Свойство 1. Инвариантное множество К С и С называется локально притягивающим, если для некоторой его окрестности К£ С и вы,полнено соотношение

р(К, у\и)) = 0, V и е К£. Здесь р(К, и) — расстояние от точки и до множества К, определяемое как

р(К,и) = т£ — и||,

гшеК

и К£ — множество точек и, для которых р(К,и) < е.

Свойство 2. Инвариантное множество К С и С называется глобально притягивающим, если

11ш р(К,у>Чи)) = 0, V и е и.

Свойство 3. Инвариантное множество К С и С называется равномерно

К£ С и

любого 6 > 0 и любого ограниченного множества В С и С существует число г(6, В) > 0 такое, что

$ (В п К£) с К6, V г > г(б,В).

Здесь

у\В п К) = {р\щ) | ио е В п К}

Свойство 4. Инвариантное множество К С и С называется равномерно глобально притягивающим, если для любого 6 > 0 и любого ограниченного множества В С и С существует число г(6, В) > 0 такое, что

^{в) с к, V г > г(б,в).

Определение 2. Для динамической системы ограниченное замкнутое

К

(1) аттрактором, если оно локально притягивающее множество (т.е. выполняется Свойство 1);

(2) глобальным аттрактором, если оно глобально притягивающее множество (т.е. выполняется Свойство 2);

В

множество (т.е. выполняется Свойство 3); В

притягивающее множество (т.е. выполняется Свойство 4)-

Замечание 1. В определениях, данных выше, замкнутость предполагается для единственности, так как замыкание локально притягивающего

К

инвариантным множеством и, например, можно рассмотреть аттрактор без неустойчивой периодической траектории, если она содержится в аттракторе. Заметим, что если динамическая система определена для отрицательных г, тогда локально притягивающее инвариантное множество содержит только целые траектории, т.е., еслищ £ К, то <£>ь(щ) £ К для г £ К [78].

Замечание 2. Из рассмотренного выше определения следует, что глобальный В-аттрактор также является глобальным аттрактором (и аттрактором). Поэтому часто вводится понятие минимального глобального аттрактора и минимально аттрактора [78, 79[: минимальное ограниченное зам кнут ое инвариантное множество, обладающие Свойством 2

(или, Свойством 1); таким образом минимальный локальный аттрактор является аттрактором, который не может быть представлен в виде объединения локальных аттракторов). Далее под глобальным аттрактором будем понимать минимальный глобальный аттрактор.

Определение 3. Для аттрактора К областью притяжения, (basin of attraction) называется множество в(К) С U С R всех u0 £ U таких, что

Jim^ )) = 0.

Заметим, что с вычислительной точки зрения, не представляется возможным численно проверить Свойство 1 для всех точек фазового пространства динамической системы. Естественным обобщением является более слабое требование притягивания: почти везде или на множестве положительной меры (см., например, [230]).

Обычно в численных экспериментах наблюдается аттрактор (или глобальный аттрактор). Понятие В-аттрактора в основном используется в теории размерности, где рассматриваются покрытия инвариантного множества шарами. Из равномерного притяжения в Свойстве 3 следует, что глобальный В-аттрактор содержит множество стационарных точек S и соответствующие неустойчивые многообразия WU(S) = {uo £ R | limii-( p(S= 0} (см., например, [78, 79]). To же самое выполнено и для В-аттрактора, если рассматриваемая окрестность Кг в Свойстве 3 содержит некоторые из стационарны точек S. Это позволяет получать аналитические оценки и формулы ляпуновской размерности для В-аттракторов, так как ляпуновская размерность в стационарной точке легко вычисляется аналитически.

С вычислительной точки зрения численная проверка Свойства 3 также является трудной задачей. Поэтому, если область притяжения содержит неустойчивые многообразия седловых стационарных точек, то вычисление минимального локального аттрактора и неустойчивых многообразий может рассматриваться в качестве аппроксимации В-аттрактора.

1.2 Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы

Изучение автономных (невозмущенных) систем обычно начинается с анализа состояний равновесия, которые могут быть легко найдены численно или аналитически. Поэтому с вычислительной точки зрения, естественно предложить следующую классификацию аттракторов, которая основана на связи областей притяжения и состояний равновесия.

Определение 4. [160, 169, 180, 188, 191, 192[ Аттрактор называется самовозбуждающимся (self-excited attractor), если для одного из состояний равновесия любая его окрестность пересекается с областью притяжения аттрактора, в противном случае аттрактор называется скрытым (hidden attractor).

Рассмотрение состояний равновесия и введение самовозбуждающихся и скрытых аттракторов по отношению к состояниям равновесия являются естественными для автономных систем. Однако, аналогичное определение можно рассматривать по отношению к другим объектам, которые могут быть эффективно найдены и использованы для построения переходного процесса для визуализации аттрактора. При этом такие объекты могут рассматриваться как для самой системы так и для ее модификаций. Например, в [94, 251] для этого предлагается использовать точки равенства нулю второй производной (perpetual points), а в [143] состояния равновесия комплексифицированной системы. Аналогично для этого могут использоваться периодические решения или гомоклинические траектории (некоторые примеры соответствующего теоретического обоснования можно найти в [67,208,229,272]; однако часто наличие хаоса в рассмотренных выше примерах не влечет за собой существование аттрактора, который можно визуализовать стандартными средствами).

Для неавтономных систем, в зависимости от физической постановки задачи, понятие самовозбуждающихся и скрытых аттракторов можно ввести по отношению к стационарным траекториям рассматриваемой неавтономной системы (x(t) = x0 Vt) или состояниям равновесия автономной системы в момент времени t = to, или к состояниям равновесия соответствующей автономной системы без возбуждения.

1.2.1 Классические примеры самовозбуждающихся

аттракторов

Классическая система Лоренца

Классическая система Лоренца [219], являющаяся упрощенной математической моделью конвекции в атмосфере,

х = а (у — х), у = рх — у — хг, г = — (Зг + ху.

стала первой широко известной динамической системой, для которой был визуализован хаотический аттрактор. Этот аттрактор для классических параметров а = 10, в = 8/3,р = 28 является самовозбуждающимся по отношению к нулевому и двум симметричным ненулевым состояниям равновесия, что и позволило Э. Лоренцу легко его обнаружить при численном моделировании системы, (см. Рис. 1.1). Численно можно проверить, что

Рисунок 1.1: Численная визуализация классического самовозбуждающегося аттрактора в системе Лоренца. Аттрактор является самовозбуждающимся по отношению ко всем трем состояниям равновесия и может быть визуализован при помощи переходного процесса с начальными данными из окрестности любого из состояний равновесий 50,1,2- Параметры: г = 28, а = 10 Ь = 8/3.

для классических параметров аттрактор на Рис. 1.1 является глобальным и в фазовом пространстве нет других локальных аттракторов. Однако, для других значений параметров, например а = 10, в = 8/3,р = 24.5, хаотический аттрактор может быть самовозбуждающимся по отношению только к нулевому состоянию равновесия. Для этих параметров в системе Лоренца наблюдается

мультиустойчивость, т.е. сосуществование нескольких локальных аттракторов. В случае мультиустойчивости визуализация того или другого аттрактора зависит от выбора начальных данных (см. Рис. 1.2). Самовозбуждающиеся

Рисунок 1.2: (а) Численная визуализация самовозбуждающегося аттрактора Лоренца траекторией с начальными данными из окрестности нулевого состояния равновесия 50. (Ь), (с) Траектории с начальными данными (^16.2899, ^0.0601, 42.1214) стремятся к состояниям равновесия 52, ь Параметры: г = 24.5, а = 10 Ь = 8/3.

аттракторы в мультиустойчивой системе могут быть визуализованы при помощи стандартной вычислительной процедуры1, в то время как в общем случае нет стандартных методов для предсказания существования или сосуществования скрытых аттракторов в системе. Мультиустойчивость является свойством системы, в то время как самовозбуждаемость и скрытость свойства аттракторов. Возможность существование в фазовом пространстве системы Лоренца других локальных аттракторов, которые были ли бы скрытыми, является открытой проблемой. В общем случае, определение количества и взаимного расположения локальных аттракторов в фазовом, пространстве может представляться трудной задачей [184] (см., например, 16 проблему Гильберта для двумерных полиномиальных систем о числе и взаимном расположении предельных циклов [137]).

Огромный интерес к хаотическому поведению в системе Лоренца привел к появлению и других различных систем с непрерывным и дискретным временем, где были найдены самовозбуждающиеся аттракторы (см., например, [68,71,77, 127,220,265,283,288

1 Здесь но обсуждаются возможные проблемы, связанные с неоднородностью областей притяжения (см. например. Wada arid riddled basins)

ьи

ьи

50

x

Рисунок 1.3: Возмущенный осциллятор Дуффинга: х + 0.05х + х3 = 7.5зт(£).

Фазовая плоскость (х, х) отображается в себя траекториями за время 0 < I < 2п. После переходного процесса траектория из окрестности нулевого состояния равновесия (красная точка) невозмущешюй системы (т.е. без 7.5зт(£)) визуализует самовозбуждающийся аттрактор Уеда.

Возмущенный осциллятор Дуффинга: самовозбуждающийся

аттрактор Уеда

Рассмотрим пример визуализации самовозбуждающегося аттрактора в неавтономной системе возмущенный осциллятор Дуффинга.

Классический пример самовозбуждающегося хаотического аттрактора (Рис. 1.3) в неавтономной системе возмущенный осциллятор Дуффинга х + 0.05± + х3 = 7.5вт(£) был численно построен Уеда (иес1а) в 1961, но стал известен много позже [291]. Чтобы построить самовозбуждающийся аттрактор на Рис. 1.3, был использован переходной процесс из окрестности нулевого состояния равновесия невозмущенной системы (т.е. без соб(^)) к аттрактору в возмущенной системе.

1.2.2 Скрытые аттракторы в известных теоретических

проблемах

Исследование скрытых аттракторов связано с некоторыми известными фундаментальными проблемами.

Скрытые колебания в 16-ой проблеме Гильберта

Проблема анализа скрытых периодических колебаний связана со второй частью 16-ой проблемой Гильберта (1900) о числе и взаимном расположении предельных циклов в двумерных полиномиальных системах [137]. Первые нетривиальные результаты по эффективному построению предельных циклов были получены Н.Баутиным (см., например, [2]): он показал, что теоретически можно построить три вложенных предельных цикла вокруг одного состояния равновесия в квадратичной системе. Однако метод Баутина, требует последовательного рассмотрения малых относительно друг друга возмущений и поэтому построенные таким образом циклы трудно поддаются визуализации. Так, например, в первых известных примерах двумерных квадратичных систем [72, 271] с четырьмя предельными циклами, которые стали контрпримерами к утверждению И.Г. Петровского и Е.М. Ландис [245] о возможности существования только трех предельных в таких системах, три вложенных предельных цикла (малой амплитуды) строятся теоретически при помощи последовательных малых возмущений и поэтому не могут быть визуализованы стандартными средствами. Использование метод асимптотического интегрирования [180,205], позволяет эффективно провести визуализацию четырех предельных циклов [163] (см. Рис. 1.4).

Скрытые колебания в контрпримерах к гипотезам Айзермана и

Калмана

В 1949 году М.А. Айзерман сформулировал проблему [5], которая сразу привлекла внимание многих известных ученых. Гипотеза Айзермана может быть сформулирована следующим образом. Рассмотрим систему с одной

О) 15хю

х-1

• А

1 2 /

! —

/ 1 3

-3000 -2000 -1000 X

X

10

15

20

Рисунок 1.4: Визуализация четырех предельных циклов (зеленый цвет устойчивые циклы, красный неустойчивые) в двумерной квадратичной

полиномиальной системе

х = - (ахх2 + Ъ\ху + 0\У2 + а\х + в\у), У = - (^2х2 + Ь2ху + С2у2 + «2х + ву), С

коэффициентами а1 = Ъ1 = в = — 1 ^ = «1 = 0 Ъ2 = -2.2, и с2 = —0.7,а2 = 10 а2 = 72.7778 в2 = —0.0015. Три вложенных предельных цикла (£1,2,3; Ь2 - скрытый аттрактор) вокруг устойчивого нулевого состояния равновесия (зеленая точка) справа от трансверсальной прямой х = —1, и один

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов, Николай Владимирович, 2016 год

Список литературы

1. Бесекерский В., Попов Е. Теория систем автоматического регулирования. — Москва: Наука, 1975. — С. 767.

2. Bay тин П. П. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Математический сборник. — 1952. — Т. 30(72). — С. 181-196.

3. Abarbanel HBrown R., Kennel M. Variation of Lyapunov exponents on a strange attractor // Journal of Nonlinear Science. — 1991. — Vol. 1, no. 2. — Pp. 175-199.

4. Александров П., Пасынков Б. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Москва: Наука, 1973. — С. 575.

5. Айзерман М. Об одной проблеме, касающейся устойчивости в большом динамических систем // Успехи мат. наук. — 1949. — Т. 4. — С. 187-188.

6. Айзерман М. Лекции по теории автоматического регулирования. — Москва: Физматгиз, 1958. — С. 520.

7. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами / В. Арене, С. Федоров, М. Хитрик, С. Лучко. — Москва: Машиностроение, 1976. — С. 231.

8. Боднер В. Системы управления летательными аппаратами. — Москва: Машиностроение, 1973.

9. Андронов А., Витт А., Хайкин С. Теория колебаний. — Москва: ОНТИ, 1937. _ Q _ [English transi.: 1966, Pergamon Press].

10. Еругин H. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // TIMM. — 1952. — № 5. — С. 620-628.

11. Леонов Г. А. О необходимости частотного условия абсолютной устойчивости стационарных систем в критическом случае пары чисто мнимых корней // Докл. АН СССР. - 1970. - Т. 193, № 4. - С. 756-759.

12. Лапунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Харьков, 1892. — [English transi.: Academic Press, NY, 1966].

13. Колесников К., Сухов В. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. — Москва: Машиностроение, 1974. — С. 267.

14. Красовский Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений // ПММ. — 1952. — Т. 16(5). — С. 547-554.

15. Крылов Н., Боголюбов Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: IT l ino АН УССР, 1937. - С. 353.

16. Малкин И. Об устойчивости систем автоматического регулирования // //Л/Л/. - 1952. - № 16(4). - С. 495-499.

17. Кузнецов Н., Леонов Г., Селеджи С. и др. Патент на изобретение №2449463. Способ для определения рабочих параметров системы фазовой автоподстройки частоты генератора и устройство для его реализации. — 2010.

18. Кузнецов Н., Леонов Г., Селеджи С. и др. Патент на изобретение №2523219. Способ для определения рабочих параметров системы цифровой связи и устройство для его реализации. — 2012.

19. Кузнецов Н., Леонов Г., Селеджи С. и др. Патент на полезную модель №112555. Модулятор параметров фазового детектора. — 2011.

20. Матросов В., Шалфеев В. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации. — Н.Новгород, 2013. — С. 366.

21. Первозванский А. Курс теории автоматического управления. — Москва: Наука, 1986. - С. 615.

22. Миллионщиков В. M. Формула для энтропии гладких ди- намических систем // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 12. — С. 21882192, 2300.

23. Плисс В. Некоторые проблемы устойчивости движения в целом. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1958. — С. 188.

24. Попов Е. Расчет нелинейных автоматических систем на основе гармонической линеаризации. — Москва: Судпромгиз, 1959. — С. 48.

25. Попов Е. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. — Москва: Наука, 1979. — С. 255.

26. Оселедец В. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды, Московского математического общества. — 1968. — Т. 19. — С. 179-210.

27. Кузнецов П., Леонов Г., Селеджи С. и др. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011613388. Программа для определения и моделирования основных характеристик систем фазовой автоподстройки частоты. — 2011.

28. Кузнецов П., Леонов Г., Селеджи С. и др. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011616770. Программа для определения и моделирования основных характеристик систем Costas Loop. — 2011.

29. Серебрякова П. О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где безопасная граница переходит в опасную. // Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. — 1959. — № 2. — С. 178-182.

30. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. — Москва: Машиностроение, 1972. — С. 576.

31. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Вылов, Р. Виноград, Д. Гробман, Н. В.В. — Москва: Наука, 1966. — С. 576.

32. Цыпкин, 3. Теория релейных систем автоматического регулирования. — Москва: Гостехиздат, 1955. — С. 456.

33. Щуко С. Вычисление ляпуновских величин на ЭВЦМ // Труды, Горьков-ского ипст. инж. водного транспорта. — 1968. — Т. 94. — С. 97-109.

34. Шахгилъдян В., Ляховкин А. Системы фазовой автоподстройки частоты. — Москва: Связь, 1972. — С. 447.

35. Шахта,рин, Б. Исследование кусочно-линейной фай // Радиотехника и электроника. — 1969. — № 8. — С. 1415-1424.

36. Шахта,рин, Б. Анализ систем синхронизации методом усреднения. — Радио и связь, 1999. — С. 496.

37. Розенвассер Е. Колебания нелинейных систем. — Москва: Наука, 1969. — С. 576.

38. Abarbanel H., Brown R., Kennel M. Variation of Lyapunov exponents on a strange attractor // Journal of Nonlinear Science. — 1991. — Vol. 1, no. 2. — Pp. 175-199.

39. Abramovitch D. Lyapunov redesign of analog phase-lock loops // Communications, IEEE Transactions on. - 1990. - Vol. 38, no. 12. - Pp. 2197-2202.

40. Abramovitch D. Phase-locked loops: A control centric tutorial // American Control Conf. Proc. - Vol. 1. - IEEE, 2002. - Pp. 1-15.

41. Abramovitch D. Lyapunov redesign of classical digital phase-lock loops // American Control Conference, 2003. Proceedings of the 2003. — Vol. 3. — IEEE, 2003. - Pp. 2401-2406.

42. Abramovitch D. Method for guaranteeing stable non-linear PLLs. — 2004. — US Patent App. 10/414,791, http://www.google.com/patents/US20040208274.

43. Accurate and efficient PSD computation in mixed-signal circuits: a time domain approach / M. Biggio, F. Bizzarri, A. Brambilla, M. Storace // Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on — 2014. — Vol. 61, no. 11.

44. Algorithms for finding hidden oscillations in nonlinear systems. The Aizer-man and Kalman conjectures and Chua's circuits / V. Bragin, V. Vagaitsev, N. Kuznetsov, G. Leonov // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2011. — Vol. 50, no. 4. — Pp. 511-543.

45. Analysis of friction-induced limit cycling in an experimental drill-string system / N. Mihajlovic, A. van Veggel, N. van de Wouw, H. Nijmeijer // J. Dyn. Syst. Meas. Control. - 2004. - Vol. 126, no. 4. - Pp. 709-720.

46. The analysis of observed chaotic data in physical systems / H. Abarbanel, R. Brown, J. Sidorowich, L. Tsimring // Reviews of Modern Physics. — 1993.

- Vol. 65, no. 4. - Pp. 1331-1392.

47. Analytical method for computation of phase-detector characteristic / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Yuldahsev, R. Yuldashev // IEEE Transactions on Circuits and Systems - II: Express Briefs. — 2012. — Vol. 59, no. 10.

- Pp. 633-647.

48. Analytical-numerical localization of hidden attractor in electrical Chua's circuit / N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov, V. Vagaitsev // Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering, Volume 174, Part 4. - 2013. - Vol. 174, no. 4. - Pp. 149-158.

49. Ascheid G., Meyr H. Cycle slips in phase-locked loops: A tutorial survey // Communications, IEEE Transactions on. — 1982. — Vol. 30, no. 10. — Pp. 2228-2241.

50. Augustova P., Beran Z., Celikovsky S. ISCS 2014: Interdisciplinary Symposium on Complex Systems, Emergence, Complexity and Computation (Eds.: A. Sanayei et al.). — Springer, 2015. — Pp. 249-258.

51. Bakaev Y. N. Stability and dynamical properties of astatic frequency synchronization system // Radiotekhnika i Elektronika. — 1963. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 513-516.

52. Barabanov E. Singular exponents and properness criteria for linear differential systems // Differentia], Equations. — 2005. — Vol. 41. — Pp. 151-162.

53. Barabanov N. E. On the Kalman problem // Sib. Math. J. — 1988. — Vol. 29, no. 3. - Pp. 333-341.

54. Barreira L., Gelfert K. Dimension estimates in smooth dynamics: a survey of recent results // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 2011. — Vol. 31.

- Pp. 641-671.

55. Barreira L., Schmeling J. Sets of "Non-typical" points have full topological entropy and full Hausdorff dimension // Israel Journal of Mathematics. — 2000. - Vol. 116, no. 1. - Pp. 29-70.

56. Bernai J., Llibre J. Counterexample to Kalman and Markus-Yamabe conjectures in dimension larger than 3 // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. — 1996. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 337-379.

57. Best R. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Application. — 6th edition. - McGraw-Hill, 2007. - P. 490.

58. Best's conjecture on pull-in range of two-phase Costas loop / K. Alexandrov, N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 78-82.

59. Bilotta E., Pantano P. A gallery of Chua attractors. — World Scientific, 2008.

— Vol. Series A. 61.

60. Bizzarri F., Brambilla A., Gajani G. S. Periodic small signal analysis of a wide class of type-II phase locked loops through an exhaustive variational model // Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on — 2012. — Vol. 59, no. 10. - Pp. 2221-2231.

61. Bogoliubov N., Krylov N. La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systèmes dynamiques de la mecanique non-lineaire // Ann. Math. II (in French) (Annals of Mathematics). — 1937. — Vol. 38, no. 1. — Pp. 65113.

62. Boichenko V., Leonov G. Lyapunov's direct method in estimates of topological entropy // Journal of Mathematical Sciences. — 1998. — Vol. 91, no. 6. — Pp. 3370-3379.

63. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. — Stuttgart: Teubner, 2005.

64. BPSK Costas loop: Simulation of nonlinear models in Matlab Simulink / N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov et al. // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 83-87.

65. Bragin V., Kuznetsov N., Leonov G. Algorithm for construction of counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjecture // IFAC Proceedings Volumes (IFA C-Papers Online). - 2010. - Vol. 4, no. 1. - Pp. 24-28.

66. Brendel F. Millimeter-Wave Radio-over-Fiber Links based on Mode-Locked Laser Diodes. Karlsruher Forschungsberichte aus dem Institut fur Hochfrequenztechnik und Elektronik. — KIT Scientific Publishing, 2013.

67. Cartwright M.. Littlewood E. On nonlinear differential equations of the second order // London Math. Soc. - 1976. - Vol. 20. - Pp. 180-189.

68. Celikovsky S., Vanecek A. Bilinear systems and chaos // Kybernetika. — 1994. _ v0i. 30. _ Pp. 403-424.

69. Chaos: Classical and Quantum / P. Cvitanovic, R. Artuso, R. Mainieri et al. — Copenhagen: Niels Bohr Institute, 2012. — http://ChaosBook.org.

70. Chavarriga J., Grau M. Some open problems related to 16th Hilbert problem // Sci. Ser. A Math. Sci. (N.S.). - 2003. - Vol. 9. - Pp. 1-26.

71. Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 7. — Pp. 1465-1466.

72. Chen L. S., Wang M. S. The relative position and number of limit cycles of the quadratic differential systems // Acta Math. Sinica. — 1979. — Vol. 22, no. 6. - Pp. 751-758.

73. Chen W. The Circuits and Filters Handbook. Circuits & Filters Handbook. — Taylor k Francis, 2002.

74. Choquet G., Foias C. Solution d'un problème sur les iteres d'un operateur positif sur C (K ) et propriétés de moyennes associees // Annales de l'institut Fourier (in French). - 1975. - Vol. 25, no. 3-4. - Pp. 109-129.

75. Christopher C., Li C. Limit cycles of differential equations. Advanced Courses in Mathematics. — CRM Barcelona, Basel: Birkhauser Verlag, 2007.

76. Chua L. A zoo of strange attractors from the canonical Chua's circuits // Proceedings of the IEEE 35th Midwest Symposium on Circuits and Systems (Cat. No. 92 C H3099- 9). - 1992. - Vol. 2. - Pp. 916-926.

77. Chua L., Komuro M.. Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Transactions on Circuits and Systems. — 1986. — Vol. CAS-33, no. 11. — Pp. 10721118.

78. Chueshov I. Introduction to the Theory of Infinite-dimensional Dissipative Systems. Electronic library of mathematics. — ACTA, 2002.

79. Chueshov I. D. Global attractors in the nonlinear problems of mathematical physics // Russian Mathematical Surveys. — 1993. — Vol. 48, no. 3. — Pp. 135162.

80. Computation of the phase detector characteristic of classical PLL / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev // Doklady Mathematics. — 2015. - Vol. 91, no. 2. - Pp. 246-249.

81. Constantin P., Foias C., Temam R. Attractors representing turbulent flows // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1985. — Vol. 53, no. 314.

82. Control of mechanical motion systems with non-collocation of actuation and friction: A Popov criterion approach for input-to-state stability and set-valued nonlinearities / J. de Bruin, A. Doris, N. van de Wouw et al. // Automática. _ 2009. - Vol. 45, no. 2. - Pp. 405-415.

83. Costas J. Synchoronous communications // Proc. IRE. — Vol. 44. — 1956. — Pp. 1713-1718.

84. Costas J. P. Receiver for communication system. — 1962. — US Patent 3,047,659.

85. Czornik A., Nawrat A., Niezabitowski M. Lyapunov exponents for discrete time-varying systems // Studies in Computational Intelligence. — 2013. — Vol. 440. - Pp. 29-44.

86. Danca M.-F., Chen G. Bifurcation and chaos in a complex model of dissipative medium // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2004. — Vol. 14, no. 10. - Pp. 3409-3447.

87. Davis W. Radio Frequency Circuit Design. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering. — Wiley, IEEE Press, 2011.

88. Dellnitz M.. Junge O. Set oriented numerical methods for dynamical systems // Handbook of Dynamical Systems. — Elsevier Science, 2002. — Vol. 2.

- Pp. 221-264.

89. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1985.

- Vol. 16, no. D. - Pp. 285-317.

90. Discontinuous differential equations: comparison of solution definitions and localization of hidden Chua attractors / G. Leonov, M. Kiseleva, N. Kuznetsov, O. Kuznetsova // IFAC-Pa,persOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 11. — Pp. 408413.

91. Doering C. R., Gibbon J. On the shape and dimension of the Lorenz at tractor // Dynamics and Stability of Systems. — 1995. — Vol. 10, no. 3. — Pp. 255-268.

92. Douady A., Oesterle J. Dimension de Hausdorff des attracteurs // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. (in French). - 1980. - Vol. 290, no. 24. - Pp. 1135-1138.

93. Drilling systems failures and hidden oscillations / M. Kiseleva, N. Kuznetsov, G. Leonov, P. Neittaanmaki // IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 - Proceedings. — 2012. — Pp. 109-112.

94. Dudkowski D., Prasad A., Kapitaniak T. Perpetual points and hidden at tractors in dynamical systems // Physics Letters A. — 2015. — Vol. 379, no. 40-41.

- Pp. 2591 - 2596.

95. Dumortier F., Llibre J., Artes J. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. — New York: Springer, 2006.

96. Eckert M. Arnold Sommerfeld: Science, Life and Turbulent Times 1868-1951.

— Springer, 2013.

97. Eden A. An abstract theory of L-exponents with applications to dimension analysis (PhD thesis). — Indiana University, 1989.

98. Eden A. Local Lyapunov exponents and a local estimate of Hausdorff dimension / / ES A ¡M: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique. — 1989. — Vol. 23, no. 3. — Pp. 405-413.

99. Eden A. Local estimates for the Hausdorff dimension of an attractor // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1990. — Vol. 150, no. 1. — Pp. 100-119.

100. Eden A., Foias C., Temam R. Local and global Lyapunov exponents // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 1991. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 133-177. — [Preprint No. 8804, The Institute for Applied Mathematics and Scientific Computing, Indiana University, 1988].

101. Efficient transient noise analysis of non-periodic mixed analogue/digital circuits / M. Biggio, F. Bizzarri, A. Brambilla, M. Storace // IET Circuits, Devices & Systems. — 2015. — Vol. 9, no. 2. — Pp. 73-80.

102. Eisencraft M.. Attux R., Suyama R. Chaotic Signals in Digital Communications. Electrical engineering & applied signal processing. — CRC Press, 2013.

103. Elegant analytic computation of phase detector characteristic for non-sinusoidal signals / N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi et al. // IFAC-PapersOnLine. - 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 960-963.

104. Ershova 0. B., Leonov G. A. Frequency estimates of the number of cycle slidings in phase control systems // Avtomat. Remove Control. — 1983. — Vol. 44, no. 5. - Pp. 600-607.

105. Evan-Iwanowski R. Resonance Oscillations in Mechanical Systems. — Elsevier, 1976.

106. Farmer J., Ott E., Yorke J. The dimension of chaotic attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1983. — Vol. 7, no. 1-3. — Pp. 153 - 180.

107. Fefiler R. A proof of the two-dimensional Markus-Yamabe stability conjecture and a generalization // Ann. Polon. Math. — 1995. — Vol. 62. — Pp. 45-47.

108. Fitts R. E. Two counterexamples to Aizerman's conjecture // Trans. IEEE. — 1966. - Vol. AC-11, no. 3. - Pp. 553-556.

109. Fradkov A., Tomchina O., Tomchin D. Controlled passage through resonance in mechanical systems // Journal of Sound and Vibration. — 2011. — Vol. 330, no. 6. - Pp. 1065-1073.

110. Gardner F. Phaselock techniques. — New York: John Wiley & Sons, 1966. — P. 182.

111. Gardner F. Phaselock techniques. — 2nd edition. — New York: John Wiley & Sons, 1979. - P. 320.

112. Gardner F. Phaselock Techniques. — 3rd edition. — Wiley, 2005. — P. 550.

113. Gasull A., Guillamon A., Manosa V. An explicit expression of the first Lia-punov and period constants with applications // J. Math. Anal. Appl. — 1997. _ Vol. 211. - Pp. 190-212.

114. Gelfert K. Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension. Direct proof for invariant sets on Riemannian manifolds // Z. Anal. Anwend. _ 2003. - Vol. 22. - Pp. 553-568.

115. Gine J. On some problems in planar differential systems and Hilbert's 16th problem // Chaos, Solutions and Fractals. — 2007. — Vol. 31. — Pp. 1118— 1134.

116. Glukhovskii A. B., Dolzhanskii F. V. Three-component geostrophic model of convection in a rotating fluid // Academy of Sciences, USSR, Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics (in Russian). — 1980. — Vol. 16. — Pp. 311-318.

117. Glutsyuk A. A. Asymptotic stability of linearizations of a planar vector field with a singular point implies global stability // Functional Analysis and Its Applications. - 1995. - Vol. 29, no. 4. - Pp. 238-247.

118. Grabowski P. Absolute stability criteria for infinite dimensional discrete Lur'e systems with application to loaded distortionless electric RLCG-transmission line // Journal of Difference Equations and Applications. — 2011.

119. Gubar' N. A. Investigation of a piecewise linear dynamical system with three parameters //J. Appl. Math. Mech. - 1961. - Vol. 25, no. 6. - Pp. 1011-1023.

120. Gundlach V., Steinkamp O. Products of random rectangular matrices // Mathematische Nachrichten. — 2000. — Vol. 212, no. 1. — Pp. 51-76.

121. Gutierrez C. A solution to the bidimensional global asymptotic stability conjecture // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Linéaire. — 1995. — Vol. 12. — Pp. 627-671.

122. Hahs D., Sorrells J. Dynamic vehicle control (problem) // American Control Conference. Proceedings. — 2011. — Pp. 2967-2968.

123. Hasegawa K., Kanetsuna H., Wakamori M. GPS positioning method and GPS reception apparatus. - 2001. - EP1092987 A2.

124. Hauser H., Risler J.-J., Teissier B. The reduced bautin index of planar vector fields // Duke Math. J. - 1999. - Vol. 100. - Pp. 425-445.

125. Heath W. P., Carrasco J., de la Sen M. Second-order counterexamples to the discrete-time Kalman conjecture // Automatica. — 2015. — Vol. 60. — Pp. 140 - 144.

126. Hegger R., Kantz H., Schreiber T. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // Chaos. - 1999. - Vol. 9. - Pp. 413 435.

127. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 69-77.

128. Hidden attractor in Chua's circuits / N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov, V. Vagaytsev // ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. — 2011. — Vol. 1. - Pp. 279-283.

129. Hidden attractors in dynamical systems / D. Dudkowski, S. Ja-fari, T. Kapitaniak et al. / / Physics Reports. — 2016. — http://dx.doi.Org/10.1016/j.physrep.2016.05.002.

130. Hidden oscillations in aircraft flight control system with input saturation / B. Andrievsky, N. Kuznetsov, G. Leonov, A. Pogromsky // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2013. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 75-79.

131. Hidden oscillations in drilling system actuated by induction motor / M. Kisel-eva, N. Kuznetsov, G. Leonov, P. Neittaanmaki // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). - 2013. - Vol. 5. - Pp. 86-89.

132. Hidden oscillations in drilling systems with salient pole synchronous motor / M. Kiseleva, N. Kondratyeva, N. Kuznetsov, G. Leonov // ¡FA C-PapersOnLine. - 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 700-705.

133. Hidden oscillations in mathematical model of drilling system actuated by induction motor with a wound rotor / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Kiseleva et al. // Nonlinear Dynamics. — 2014. — Vol. 77, no. 1-2. — Pp. 277-288.

134. Hidden oscillations in stabilization system of flexible launcher with saturating actuators / B. Andrievsky, N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2013. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 37-41.

135. Hidden periodic oscillations in drilling system driven by induction motor / M. Kiseleva, N. Kondratyeva, N. Kuznetsovet al. //1FAC Proceedings Volumes (IFA C-Papers Online). - 2014. - Vol. 19. - Pp. 5872-5877.

136. High-level continuous-time Sigma-Delta design in Matlab/Simulink / R. Kaald, I. Lokken, B. Hemes, T. Saether // NORCHIP, 2009. - IEEE, 2009. - Pp. 1-6.

137. Hilbert D. Mathematical problems. // Bull. Amer. Math. Soc. — 1901-1902. _ no. g. _ pp. 437-479.

138. Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Yulda-shev, R. Yuldashev // IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Regular-Papers. - 2015. - Vol. 62, no. 10. - Pp. 2454-2464.

139. Hoover W. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions // Phys. Rev. A. - 1985. - Vol. 31. - Pp. 1695-1697.

140. Horn R., Johnson C. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

141. Hunt B. Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension of chaotic attractors // Nonlinearity. — 1996. — Vol. 9, no. 4. — Pp. 845-852.

142. Hurewicz W., Wallman H. Dimension Theory. — Princeton: Princeton University Press, 1941.

143. Is that really hidden? The presence of complex fixed-points in chaotic flows with no equilibria / V.-T. Pham, S. Jafari, C. Volos et al. // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2014. — Vol. 24, no. 11. — art. num. 1450146.

144. Izobov N. A. Lyapunov exponents and stability. — Cambridge: Cambridge Scientific Publischers, 2012.

145. Kaim an R. E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Transactions of ASME. — 1957. — Vol. 79, no. 3. — Pp. 553-566.

146. Kapitaniak T. Chaotic Oscillators: Theory and Applications. — World Scientific, 1992.

147. Kaplan E., Hegarty C. Understanding GPS: Principles and Applications. — Artech House, 2006. - P. 723.

148. Kaplan J. L., Yorke J. A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations // Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points. - Berlin: Springer, 1979. - Pp. 204-227.

149. Khalil H. K. Nonlinear Systems. — N.J: Prentice Hall, 2002.

150. Kharitonov V. Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of differential equations // Differentsialnye uravneniya. — 1978. — Vol. 14_ _ Pp 2086-2088.

151. Kihara M.. Ono S., Eskelinen P. Digital Clocks for Synchronization and Communications. — Artech House, 2002. — P. 269.

152. Kiseleva M. A., Kuznetsov N. V., Leonov G. A. Hidden and self-excited at-tractors in electromechanical systems with and without equilibria // arXiv. — 2016. — http://arxiv.org/pdf/1601.06909.pdf.

153. Koivo H., Elmusrati M. Systems Engineering in Wireless Communications. — Wiley, 2009.

154. Kroupa V. Frequency Stability: Introduction and Applications. IEEE Series on Digital & Mobile Communication. — Wiley-IEEE Press, 2012. — P. 328.

155. Kuczma M.. Gildnyi A. An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. — Birkhauser Basel, 2009.

156. Kudryashova E. V. Cycles in Continuous and Discrete Dynamical Systems. — Jyvaskyla University Printing House, 2009.

157. Kunze M.. Kupper T. Non-smooth dynamical systems: An overview // Ergodic Theory, Analysis, and Efficient Simulation of Dynamical Systems. — Springer, 2001. - Pp. 431-452.

158. Kuratowski K. Topology. — New York: Academic press, 1966.

159. Kuznetsov N. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications. — Jyvaskyla University Printing House, 2008.

160. Kuznetsov N. Hidden attractors in fundamental problems and engineering models. A short survey. // Lecture Notes in Electrical Engineering. — 2016. — Vol. 371. — Pp. 13-25. — (Plenary lecture at AETA 2015: Recent Advances in Electrical Engineering and Related Sciences).

161. Kuznetsov N. The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method // Physics Letters A. - 2016. - Vol. 380, no. 25-26. - Pp. 2142-2149.

162. Kuznetsov N., Alexeeva T., Leonov G. Invariance of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations // Nonlinear Dynamics. - 2016. - Pp. 1-7. - (http://dx.doi.org/10.1007/sll071-016-2678-4).

163. Kuznetsov N., Kuznetsova O., Leonov G. Visualization of four normal size limit cycles in two-dimensional polynomial quadratic system // Differential equations and dynamical systems. — 2013. — Vol. 21, no. 1-2. — Pp. 29-34.

164. Kuznetsov N., Leonov G. On stability by the first approximation for discrete systems // 2005 International Conference on Physics and Control, PhysCon 2005. - Vol. Proceedings Volume 2005. - IEEE, 2005. - Pp. 596-599.

165. Kuznetsov N., Leonov G. Computation of Lyapunov quantities / / 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference. — http://lib.physcon.ru/?item=1802, 2008.

166. Kuznetsov N., Leonov G. Lyapunov quantities, limit cycles and strange behavior of trajectories in two-dimensional quadratic systems // Journal of Vibro-engineering. — 2008. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 460-467.

167. Kuznetsov N., Leonov G. A short survey on Lyapunov dimension for finite dimensional dynamical systems in Euclidean space // arXiv. — 2016. — http: / / arxiv.org/pdf/1510.03835v2.pdf.

168. Kuznetsov N., Leonov G., Mokaev T. Hidden attractor in the Rabinovich system // arXiv:1504.04723vl. - 2015. -http: / / arxiv.org/pdf/1504.04723vl .pdf.

169. Kuznetsov N., Leonov G., Vagaitsev V. Analytical-numerical method for attractor localization of generalized Chua's system / / I FA C Proceedings Volumes (IFA C-Papers Online). - 2010. - Vol. 4, no. 1. - Pp. 29-33.

170. Kuznetsov N., Mokaev T., Vasilyev P. Numerical justification of Leonov conjecture on Lyapunov dimension of Rossler attractor / / Commun Nonlinear S ci Numer Simulât. - 2014. - Vol. 19. - Pp. 1027-1034.

171. Lauvdal T., Murray R., Fossen T. Stabilization of integrator chains in the presence of magnitude and rate saturations: a gain scheduling approach // Proc. IEEE Control and Decision Conference. — Vol. 4. — 1997. — Pp. 44044005.

172. Ledrappier F. Some relations between dimension and Lyapounov exponents // Communications in Mathematical Physics. — 1981. — Vol. 81, no. 2. — Pp. 229-238.

173. Leonov G. Lyapunov dimension formulas for Henon and Lorenz attractors // St.Petersburg Mathematical Journal. — 2002. — Vol. 13, no. 3. — Pp. 453-464.

174. Leonov G., Alexeeva T., Kuznetsov N. Analytic exact upper bound for the Lyapunov dimension of the Shimizu-Morioka system // Entropy. — 2015. — Vol. 17, no. 7. - Pp. 5101-5116.

175. Leonov G., Bragin V., Kuznetsov N. Algorithm for constructing counterexamples to the Kalman problem // Doklady Mathematics. — 2010. — Vol. 82, no. 1. - Pp. 540-542.

176. Leonov G., Bragin V., Kuznetsov N. On problems of Aizerman and Kalman // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. — 2010. — Vol. 43, no. 3. — Pp. 148-162.

177. Leonov G., Kuznetsov N. Time-varying linearization and the Perron effects // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2007. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 1079-1107.

178. Leonov G., Kuznetsov N. Localization of hidden oscillations in dynamical systems (plenary lecture) // 4th International Scientific Conference on Physics and Control. — 2009. http://www.math.spbu.ru/user/leonov/publications/ 2009-PhysCon-Leonov-plenary-hidden-oscillations.pdf.

179. Leonov G., Kuznetsov N. Algorithms for searching for hidden oscillations in the Aizerman and Kalman problems // Doklady Mathematics. — 2011. — Vol. 84, no. 1. - Pp. 475-481.

180. Leonov G., Kuznetsov N. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractors in Chua circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2013. - Vol. 23, no. 1. - art. no. 1330002.

181. Leonov G., Kuznetsov N. Numerical Methods for Differential Equations, Optimization, and Technological Problems, Computational Methods in Applied Sciences, Volume 27, Part 1. — Springer, 2013. — Pp. 41-64.

182. Leonov G., Kuznetsov N. Hidden oscillations in dynamical systems. 16 Hilbert's problem, Aizerman's and Kalman's conjectures, hidden attractors in Chua's circuits // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 201, no. 5. — Pp. 645-662.

183. Leonov G., Kuznetsov N. Nonlinear Mathematical Models of Phase-Locked Loops. Stability and Oscillations. — Cambridge Scientific Publisher, 2014.

184. Leonov G., Kuznetsov N. On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems // Applied Mathematics and Computation. — 2015. - Vol. 256. - Pp. 334-343.

185. Leonov G., Kuznetsov N., Kudryashova E. Cycles of two-dimensional systems: Computer calculations, proofs, and experiments // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. - 2008. — Vol. 41, no. 3. — Pp. 216-250.

186. Leonov G., Kuznetsov N., Kudryashova E. A direct method for calculating Lya-punov quantities of two-dimensional dynamical systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2011. — Vol. 272 (Suppl. 1). — Pp. S119-S127.

187. Leonov G., Kuznetsov N., Mokaev T. Hidden attractor and homoclinic orbit in Lorenz-like system describing convective fluid motion in rotating cavity // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation — 2015. — Vol. 28. - Pp. 166-174.

188. Leonov G., Kuznetsov N., Mokaev T. Homoclinic orbits, and self-excited and hidden attractors in a Lorenz-like system describing convective fluid motion // Eur. Phys. J. Special Topics. - 2015. - Vol. 224, no. 8. - Pp. 1421-1458.

189. Leonov G., Kuznetsov N., Mokaev T. The Lyapunov dimension formula of self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky system // arXiv:1509.09161. - 2015. - http://arxiv.org/pdf/1509.09161vl.pdf.

190. Leonov G., Kuznetsov N., Seledzhi S. Automation control - Theory and Practice. _ In-Tech, 2009. - Pp. 89-114.

191. Leonov G., Kuznetsov N., Vagaitsev V. Localization of hidden Chua' s attrac-tors // Physics Letters A. - 2011. - Vol. 375, no. 23. - Pp. 2230-2233.

192. Leonov G., Kuznetsov N., Vagaitsev V. Hidden attractor in smooth Chua systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2012. — Vol. 241, no. 18. — Pp. 1482-1486.

193. Leonov G., Lyashko S. Eden's hypothesis for a Lorenz system // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. — 1993. — Vol. 26, no. 3. — Pp. 15-18. — [Transl. from Russian: Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser 1. Matematika, 26(3), 14-16].

194. Leonov G., Pogromsky A., Starkov K. Erratum to "The dimension formula for the Lorenz attractor" [Phys. Lett. A 375 (8) (2011) 1179] // Physics Letters A. - 2012. - Vol. 376, no. 45. - Pp. 3472 - 3474.

195. Leonov G., Poltinnikova M. On the Lyapunov dimension of the at tractor of Chirikov dissipative mapping // ,4 MS Translations. Proceedings of St.Petersburg Mathematical Society. Vol. X. - 2005. - Vol. 224. - Pp. 15-28.

196. Leonov G., Vagaitsev V., Kuznetsov N. Algorithm for localizing Chua at tractors based on the harmonic linearization method // Doklady Mathematics. — 2010. - Vol. 82, no. 1. - Pp. 663-666.

197. Leonov G. A. On a method of investigating global stability of nonlinear systems // Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser 1.— 1991. — Vol. 24, no. 4. - Pp. 11-14.

198. Leonov G. A. On estimations of Hausdorff dimension of attractors // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. — 1991. — Vol. 24, no. 3. — Pp. 38-41.

— [Transl. from Russian: Vestnik Leningradskogo Universiteta. Mathematika, 24(3), 1991, pp. 41-44].

199. Leonov G. A. Phase-locked loops. Theory and application // Automation and Remote Control. - 2006. - Vol. 10. - Pp. 1573-1609.

200. Leonov G. A. Sets of transversal curves for two-dimensional systems of differential equations // Vestnik St.Petersburg University. — 2006. — Vol. 39, no. 4.

- Pp. 219-245.

201. Leonov G. A. Strange attractors and classical stability theory. — St.Petersburg: St.Petersburg University Press, 2008.

202. Leonov G. A. Lyapunov functions in the attractors dimension theory // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2012. — Vol. 76, no. 2. — Pp. 129141.

203. Leonov G. A., Boichenko V. A. Lyapunov's direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathematicae. _ 1992. _ Vol. 26, no. 1. - Pp. 1-60.

204. Leonov G. A., Burkin I. M.. Shepelyavy A. I. Frequency Methods in Oscillation Theory. — Dordretch: Kluwer, 1996.

205. Leonov G. A., Kuznetsova 0. A. Lyapunov quantities and limit cycles of two-dimensional dynamical systems. Analytical methods and symbolic computation // Regular and Chaotic: Dynamics. — 2010. — Vol. 15, no. 2-3. — Pp. 354-377.

206. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-Domain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications. — Singapore: World Scientific, 1996.

207. Leonov G. A., Reitmann V., Smirnova V. B. Nonlocal Methods for Pendulumlike Feedback Systems. — Stuttgart-Leipzig: Teubner Verlagsgesselschaft, 1992.

208. Levins on N. A second order differential equation with singular solutions / / Ann. Math. - 1949. - Vol. 50. - Pp. 127-153.

209. Li J. Hilbert's 16-th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2003. — Vol. 13, no. 1. - Pp. 47-106.

210. The Liapunov dimension of strange attractors / P. Frederickson, J. Kaplan, E. Yorke, J. Yorke // Journal of Differentia.:l Equations. — 1983. — Vol. 49, no. 2. - Pp. 185-207.

211. Limitations of PLL simulation: hidden oscillations in MATLAB and SPICE / G. Bianchi, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT 2015). - 2016. - Vol. 2016-January. - Pp. 79-84.

212. Limitations of the classical phase-locked loop analysis / N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov et al. // Proceedings - IEEE International Symposium on Circuits and Systems. — 2015. — Vol. 2015-July. — Pp. 533-536.

213. Lindsey W. Synchronization systems in communication and control. — New Jersey: Prentice-Hall, 1972.

214. Lindsey W., Tausworthe R. A Bibliography of the Theory and Application of the Phase-lock Principle. JPL technical report. — Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, 1973.

215. Llibre J., Ponce E., Ros J. Algebraic determination of limit cycles in a family of three-dimensional piecewise linear differential systems // Nonlinear Analysis. _ 2011. - Vol. 74. - Pp. 6712-6727.

216. Lloyd N. G. New direction in dynamical systems. — 1988. — Pp. 192-234.

217. Localization of hidden attractors in smooth Chua's systems / N. Kuznetsov, V. Vagaitsev, G. Leonov, S. Seledzhi // International Conference on Applied and Computational Mathematics. — 2011. — Pp. 26-33.

218. Looking more closely at the Rabinovich-Fabrikant system / M.-F. Danca, M. Feckan, N. Kuznetsov, G. Chen // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2016. - Vol. 26, no. 02. - art. num. 1650038.

219. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. — 1963. — Vol. 20, no. 2. - Pp. 130-141.

220. Lu J., Chen G. A new chaotic attractor coined // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2002. - Vol. 12. - Pp. 1789-1812.

221. The Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system / G. Leonov, N. Kuznetsov, N. Korzhemanova, D. Kusakin // arXiv. — 2015. - Vol. http://arxiv.org/pdf/1508.07498vl.pdf.

222. Lyapunov dimension formula of attractors in the Tigan and Yang systems / G. Leonov, N. Kuznetsov, N. Korzhemanova, D. Kusakin // arXiv:1510.01492vl. - 2015. - Vol. http://arxiv.org/pdf/1510.01492vl.pdf.

223. Lynch S. Differential Equations with Symbolic Computations. — 2005. — Pp. 1-26.

224. Margaliota M.. Yfoulis C. Absolute stability of third-order systems: A numerical algorithm // Automatica. — 2006. — Vol. 42. — Pp. 1705-1711.

225. Margaris N. Theory of the Non-Linear Analog Phase Locked Loop. — New Jersey: Springer Verlag, 2004. — P. 287.

226. Markus L., Yamabe H. Global stability criteria for differential systems // Osaka Math. J. - 1960. - Vol. 12. - Pp. 305-317.

227. Mathematical models of the Costas loop / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Yul-dashev, R. Yuldashev // Doklady Mathematics. — 2015. — Vol. 92, no. 2. — Pp. 594-598.

228. Meador C. A comparison of two 4th-order numerical ordinary differential equation methods applied to the Rabinovich-Fabrikant equations. — 2009.

229. Melnikov V. On the stability of the center for time periodic perturbation // Transactions of the Moscow Mathematical Society. — 1963. — Vol. 12. — Pp. 1-56.

230. Milnor J. Attractor // Scholarpedia. — 2006. — Vol. 1, no. 11. — doi:10.4249/scholarpedia.l815.

231. Modeling of fractional-N division frequency synthesizers with SIMULINK and MATLAB / S. Brigati, F. Francesconi, A. Malvasi et al. // 8th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems, 2001. ICECS 2001. — Vol. 2. - 2001. - Pp. 1081-1084 vol.2.

232. Modern symbolic computation methods: Lyapunov quantities and 16th Hilbert problem / G. Leonov, N. Kuznetsov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova // SPI-IRAS Proceedings. - 2011. - Vol. 1, no. 16. - Pp. 5-36.

233. Noack A., Reitmann V. Hausdorff dimension estimates for invariant sets of time-dependent vector fields // Z. Anal. Anwend. — 1996. — Vol. 15. — Pp. 457-473.

234. Noldus E. A counterpart of Popov's theorem for the existence of periodic solutions // Int. J. Control. - 1971. - Vol. 13, no. 4. - Pp. 705-719.

235. Nonlinear analysis of classical phase-locked loops in signal's phase space / N. Kuznetsov, G. Leonov, M. Yuldashev, R. Yuldashev // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnhne). - 2014. - Vol. 19. - Pp. 8253-8258.

236. Nonlinear dynamical model of Costas loop and an approach to the analysis of its stability in the large / G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev // Signal processing. — 2015. — Vol. 108. — Pp. 124-135.

237. Nonlinear models of BPSK Costas loop / E. Kudryashova, O. Kuznetsova, N. Kuznetsov et al. // ICINCO 2014 - Proceedings of the 11th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics — 2014. — Vol. 1. - Pp. 704-710.

238. Nose S. A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble // Molecular Physics. - 1984. - Vol. 52, no. 2. - Pp. 255-268.

239. Nowsheen N., Benson C., Frater M. Design of a high frequency FPGA acous tic modem for underwater communication // OCEANS 2010 IEEE-Sydney IEEE. - 2010. - Pp. 1-6.

240. Ogorzalek M. Chaos and Complexity in Nonlinear Electronic Circuits. Series on Nonlinear Science. — World Scientific, 1997.

241. On the magnitude of the locking band of a phase-shift automatic frequency control system with a proportionally integrating filter / L. Belyustina, V. Brykov, K. Kiveleva, V. Shalfeev // Radiophysics and Quantum Electronics. — 1970. - Vol. 13, no. 4. - Pp. 437-440.

242. Ott E., Withers W., Yorke J. Is the dimension of chaotic attractors invariant under coordinate changes? // Journal of Statistical Physics. — 1984. — Vol. 36, na 5-6. - Pp. 687-697.

243. Ott W., Yorke J. When Lyapunov exponents fail to exist // Phys. Rev. E. — 2008. - Vol. 78. - P. 056203.

244. Pesin Y. Characteristic Lyapunov exponents and smooth ergodic theory // Russian Mathematical Surveys. — 1977. — Vol. 32, no. 4. — Pp. 55-114.

245. Petrovskii I. G., Landis Y. M. On the number of limit cycles of the equation dX = Q^yj' wliere P Q are degree polynomials // Mat. Sb. (N.S.). _ 1955. _ Vol. 37(79), n0. 2. - Pp. 209-250.

246. Pikovski A. S., Rabinovich M. I., Trakhtengerts V. Y. Onset of stochasticity in decay confinement of parametric instability // Sov. Phys. JETP. — 1978. _ Vol. 47. - Pp. 715-719.

247. Pogrom,sky A. Y., Matveev A. S. Estimation of topological entropy via the direct Lyapunov method // Nonlinearity. — 2011. — Vol. 24, no. 7. — Pp. 19371959.

248. Poincare H. Memoire sur les courbes defînies par lesequations diffeentielles // J. de. Mathématiques Pures et Appliquées. — 1885. — no. 4(1). — Pp. 167-244.

249. A polynomial counterexample to the Markus-Yamabe conjecture / A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull et al. // Advances in Mathematics. — 1997. — Vol. 131, no. 2. - Pp. 453-457.

250. Popov Y. P., Pal'mov I. P. Approximate Methods for Investigating Non-Linear Control Systems. — Moscow: Fizmatgiz, 1960.

251. Prasad A. Existence of perpetual points in nonlinear dynamical systems and its applications // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2015. — Vol. 25, no. 2. - art. num. 1530005.

252. Pull-in range of the classical {PLL} with impulse signals / K. Alexandrov, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 1. - Pp. 562 - 567.

253. Pull-in range of the pll-based circuits with proportionally-integrating filter / K. Alexandrov, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 720-724.

254. Purkayastha B., Sarma K. A Digital Phase Locked Loop based Signal and Symbol Recovery System for Wireless Channel. — Springer, 2015.

255. Rabinovich, M. I. Stochastic autooscillations and turbulence // Uspehi Physich-eskih. - 1978. - Vol. 125, no. 1. - Pp. 123-168.

256. Rabinovich M. I., Fabrikant A. L. Stochastic self-modulation of waves in nonequilibrium media // Journal of Experimental, and Theoretical Physics. _ 1979. _ Vol. 77. _ Pp. 617-629.

257. Rasvan V. Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory (Eds.: Blondel V.D., Megretski A.). — Princeton University Press, 2004. — Pp. 212-220.

258. Reliable and efficient phase noise simulation of mixed-mode integer-N phase-locked loops / M. Biggio, F. Bizzarri, A. Brambilla et al. // Circuit Theory and Design (ECCTD), 2013 European Conference on / IEEE. - 2013. - Pp. 1-4.

259. Response of Costas PLL in the presence of in-band interference / M. Al-Aboodi, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 11. - Pp. 714 - 719.

260. Rigorous mathematical definitions of the hold-in and pull-in ranges for phase-locked loops / N. Kuznetsov, G. Leonov, M. Yuldashev, R. Yuldashev // IFAC-PapersOnLine. - 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 710-713.

261. A robust Kalman conjecture for first-order plants / R. Alli-Oke, J. Carrasco, W. Heath, A. Lanzon // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2012. - Vol. 7. - Pp. 27-32.

262. Romanovski V., Jarrah A., Laubenbacher R. The cyclicity problem for two-dimensional polynomial systems // Differential Equations and Control Processes. - 2008. - Vol. 2.

263. Rosenkranz W. Phase-locked loops with limiter phase detectors in the presence of noise // IEEE Transactions on communications. — 1982. — Vol. COM-30, no. 10. - Pp. 805-809.

264. Rosenstein M.. Collins J., De Luca C. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Vol. 65, no. 1-2. - Pp. 117-134.

265. Rossler O. E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. — 1976. - Vol. 57, no. 5. - Pp. 397-398.

266. Russel D., Hanson J., Ott E. Dimension of strange attractors // Physical Review Letters. - 1980. - Vol. 45, no. 14. - Pp. 1175-1178.

267. Sabatini M.. Chavarriga J. A survey of isochronous centers // Qualitative Theory of Dynamical Systems. — 1999. — Vol. 1. — Pp. 1-70.

268. Samoilenko A., Petryshyn R. Multifrequency Oscillations of Nonlinear Systems. Mathematics and Its Applications. — Springer, 2004.

269. Schmeling J. A dimension formula for endomorphisms - the Belykh family // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 1998. — 10. — Vol. 18. — Pp. 12831309.

270. Shakhgil'dyan V., Lyakhovkin A. Sistemy fazovoi avtopodstroiki chastoty (in Russian). — Moscow: Svyaz', 1972.

271. Shi S. A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems // Sci. Sinica. — 1980. — no. 23. — Pp. 153-158.

272. Shilnikov L. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions // Sov. Math. Dokl. - 1965. - Vol. 6. - Pp. 163-166.

273. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Physics Letters A. — 1980. — Vol. 76, no. 3-4. - Pp. 201 - 204.

274. A short survey on nonlinear models of the classic Costas loop: rigorous derivation and limitations of the classic analysis / R. Best, N. Kuznetsov, O. Kuznetsova et al. // Proceedings of the American Control Conference. - IEEE, 2015. - Pp. 1296-1302. - art. num. 7170912, http: / / arxiv.org/pdf/1505.04288vl.pdf.

275. Simulation of analog Costas loop circuits / R. Best, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // International Journal of Automation and Computing. — 2014. — Vol. 11, no. 6. - Pp. 571-579. - 10.1007/sll633-014-0846-x.

276. Simulation of nonlinear models of modified BPSK Costas loop for non sinusoidal waveforms in Matlab Simulink / N. Kuznetsov, G. Leonov, M. Yul-dashev, R. Yuldashev // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 88-94.

277. Simulation of nonlinear models of QPSK Costas loop in Matlab Simulink / N. Kuznetsov, O. Kuznetsova, G. Leonov et al. // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 66-71.

278. Simulation of phase-locked loops in phase-frequency domain / N. Kuznetsov, G. Leonov, P. Neittaanmaki et al. // International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops. — IEEE, 2012. — Pp. 351-356 (art. no. 6459692).

279. Simulation of pll with impulse signals in MATLAB: Limitations, hidden oscillations, and pull-in range / M. Blagov, N. Kuznetsov, G. Leonov et al. // International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT 2015). - 2016. - Vol. 2016-January. - Pp. 85-90.

280. Simulation of the classical analog phase-locked loop based circuits / N. Kuznetsov, G. Leonov, M. Yuldashev, R. Yuldashev // I FA C-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 1. — Pp. 568 - 573.

281. Smith R. Some application of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential equation // Froc. Royal Society Edinburg. — 1986. — Vol. 104A. - Pp. 235-259.

282. Sommerfeld A. Beitrage zum dynamischen ausbau der festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. — 1902. — Vol. 46. — Pp. 391— 394.

283. Sprott J. Some simple chaotic flows // Physical Review E. — 1994. — Vol. 50, no 2. - Pp. R647-R650.

284. Sprott J., Hoover W., Hoover C. Heat conduction, and the lack thereof, in time-reversible dynamical systems: Generalized Nose-Hoover oscillators with a temperature gradient // Phys. Rev. E. — 2014. — Vol. 89. — art. num. 042914.

285. Stensby J. Phase-Locked Loops: Theory and Applications. Phase-locked Loops: Theory and Applications. — Taylor & Francis, 1997.

286. Suarez A. Analysis and Design of Autonomous Microwave Circuits. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering. — Wiley-IEEE Press, 2009.

287. Tempkin J., Yorke J. Spurious Lyapunov exponents computed from data // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. — 2007. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 457-474.

288. Tigan G., Opris D. Analysis of a 3d chaotic system // Chaos, Solitons & Fractals. - 2008. - Vol. 36, no. 5. - Pp. 1315-1319.

289. Top-down PLL design methodology combining block diagram, behavioral, and transistor-level simulators / B. Nicolle, W. Tatinian, J.-J. Mayol et al. // IEEE Radio Frequency Integrated Circuits (RFIC) Symposium,. — 2007. — Pp. 475478.

290. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotech-nica // Annali della R. Shcuola Normale Superiore di Pisa. — 1933. — Vol. 2, no. 2. - Pp. 1-20.

291. Ueda Y., Akamatsu N., Hayashi C. Computer simulations and non-periodic oscillations // Trans. IEICE Japan. - 1973. - Vol. 56A, no. 4. - Pp. 218255.

292. Varin V. Poincare map for some polynomial systems of differential equations // Mat. Sb. - 2004. - Vol. 195. - Pp. 3-20.

293. Venkatasubramanian V. Stable operation of a simple power system with no equilibrium points // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. - Vol. 3. - 2001. - Pp. 2201-2203.

294. Viterbi A. Principles of coherent communications. — New York: McGraw-Hill, 1966. - P. 321.

295. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. K. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. — Singapure: World Scientific, 2004.

296. Yang QChen G. A chaotic system with one saddle and two stable node-foci // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2008. — Vol. 18. — Pp. 1393-1414.

297. Yang T. A survey of chaotic secure communication systems // International Journal of Computational Cognition. — 2004. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 81-130.

298. Young L.-S. Mathematical theory of Lyapunov exponents // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. — Vol. 46, no. 25. — P. 254001.

299. Yu, P. Computation of normal forms via a perturbation technique // J. of Sound and Vibration, - 1998. - Vol. 211. - Pp. 19-38.

300. Zucchelli G. Phase locked loop tutorial. — http: / / www.mathworks.com / matlabcentral/fileexchange/14868-phase-locked-loop-tutorial. — 2007.

301. Zygmund A. Trigonometric Series. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1968. - Vol. I & II Combined.