О хаотических аттракторах и репеллерах в системах с компактным фазовым пространством тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чигарёв Владимир Геннадьевич

• Чигарёв Владимир Геннадьевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Чигарёв Владимир Геннадьевич

репеллером

2.2.1 Расстояние Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна для модельных

примеров

2.3 Относительные размерности и взаимные сингулярности

2.3.1 Аналитически решаемая система: отображение пекаря

2.3.2 Относительные размерности и взаимные сингулярности для модельных примеров

3 Столкновения аттрактора и репеллера и гетероразмерная динамика

3.1 Модель

3.2 Феноменология столкновения аттрактора и репеллера

3.2.1 Число вращения и показатель Ляпунова

3.3 Сценарий столкновение аттрактора и репеллера

3.3.1 Бифуркации периодических орбит

3.3.2 Первая касательная бифуркация

3.3.3 Перемежаемость

3.4 Гетероразмерные циклы

3.5 Конечновременные показатели Ляпунова

4 Программный комплекс

4.1 О численной реализации расчета расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна

4.2 Вычисление относительных размерностей Реньи и взаимных сингулярностей

4.3 Метод построения гетероразмерного цикла

5 Заключение 54 Список литературы

1 Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О хаотических аттракторах и репеллерах в системах с компактным фазовым пространством»

Актуальность.

Исследования аттракторов и репеллеров занимают центральное место в задачах нелинейной динамики. Существует множество различных определений этих объектов, подходящих для тех или иных случаев. Как правило, под аттрактором понимается некоторое компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого (поглощающей области) стремятся к нему с течением времени. Если фазовое пространство системы является компактным (например, многомерный тор в случае фазовой динамики или сфера в случае осцилляторов с вращательным моментом), также можно рассматривать динамику этой системы назад во времени и определить репеллер как аттрактор для системы в обратном времени.

Как правило, изолированные аттрактор и репеллер не пересекаются, однако эти два множества могут столкнуться и объединиться в одно. Результирующее множество при этом может оказаться топологически консервативным - когда аттрактор и репеллер, как множества, совпадают со всем фазовым пространством. Но также возможен случай, при котором аттрактор и репеллер пересекаются, но при этом не совпадают. Во втором случае мы получаем смешанную динамику - третий тип хаоса (наравне с консервативным и диссипативным), теория которого была заложена совсем недавно в работах Гонченко и Тураева. В настоящий момент эта теория активно развивается. Создание методов исследования систем с пересекающимися аттрактором и репеллером, а также эффективно проверяемых критериев, позволяющих отличать смешанную динамику от двух других типов хаоса, является одной из наиболее актуальных задач нелинейной динамики. С другой стороны важно отметить, что в большинстве современных работ, посвященных исследованию смешанной динамики, аттрактор и репеллер рассматривались только лишь как множества, в то время как вопрос распределения инвариантных мер на этих множествах игнорировался.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию систем с компактным фазовым пространством, демонстрирующих пересечение хаотических аттракторов и репеллеров. По этому направлению получен ряд новых результатов. При исследовании явления пересечения этих двух множеств предложено рассматривать не только топологию этих множеств, но и вопросы распределения инвариантных мер на них, что позволило разрешить ряд парадоксов связанных с расхождением теории смешанной динамики и результатов численных экспериментов.

В главе 1 предложен метод, позволяющий для консервативных диффеоморфизмов, заданных на компактном многообразии, строить диссипативные возмущения, для которых легко определяются обратные отображения. С помощью этого метода, на основе аносов-ского отображения двумерного тора и стандартного отображения Чирикова, построено два модельных примера. В первом примере при добавлении диссипации получается топологически консервативный хаос, хотя визуально аттрактор и репеллер не совпадают; дано объяснение этому явлению. Во втором случае при добавлении диссипации мы сразу получаем смешанную динамику, так как из-за негиперболичности отображения, аттрактор не может полностью совпадать с репеллером. В обоих случаях предложен новый метод исследования физических инвариантных мер на основе вычисления расстояний между фи-

зическими мерами для аттрактора и репеллера. Метод применен для исследования границ применимости теории линейного отклика, в том числе для случая большого внешнего воздействия на систему.

Глава 2 диссертационной работы, посвящена исследованиям хаотического множества, возникающего в результате столкновения одномерного гиперболического аттрактора с одномерным гиперболическим репеллером на трехмерном торе. Гиперболические хаотические множества являются идеальными объектами с хорошими динамическими и статистическими свойствами. Известно множество механизмов разрушения гиперболичности. Диссертантом предложен новый механизм, связанный с возникновением гетероразмерной динамики на границе столкновения гиперболических аттрактора и репеллера. Такая динамика характеризуется наличием внутри хаотического множества траекторий с различным числом положительных показателей Ляпунова. В частности, когда периодические траектории внутри хаотического множества имеют разное количество устойчивых и неустойчивых направлений. Примечательным является тот факт, что выводы об устойчивости такой ситуации можно сделать на основе выявления так называемых гетероразмерных циклов -траекторий, соединяющих периодические траектории с разной размерностью устойчивых и неустойчивых многообразий. Диссертантом предложен метод нахождения и построения соответствующих циклов.

Актуальность результатов работы, представленных в главе 2, обусловлена двумя факторами. Во-первых, открыто и объяснено новое явление - столкновение нетривиальных гиперболических аттрактора и репеллера; установлено существование гетероразмерной динамики после такого столкновения, предложены численные методы ее выявления. Полученные результаты вносят существенный вклад в теории многомерного хаоса. Во-вторых, эти результаты также имеют прикладной характер и могут быть применены к задачам фазовой синхронизации. Например, столкновение хаотических аттрактора и репеллера естественным образом возникает при разрушении хаотической фазовой синхронизации.

В рамках работы над диссертацией разработан программный комплекс, позволяющий проводить численные исследования хаотической динамики в системах с компактным фазовым пространством. В частности, в рамках программного комплекса, реализованы такие методы исследования систем с пересекающимися аттрактором и репеллером, как вычисление расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна, взаимных размерностей Реньи, Кульбака-Лейблера и спектра сингулярностей между двумя этим множествами, построение гетероразмерных циклов для заданной пары седловых периодических траекторий, протягивание бифуркационных кривых по параметрам, вычисление различных типов показателей Ляпунова и др.

Степень разработанности.

Впервые пересечение хаотического аттрактора и хаотического репеллера в численном эксперименте было обнаружено в работе Пиковского-Топажа [1] в цепочках связанных ротаторов. В совокупности с теоретическими исследованиями Гонченко, Дельшамса, Лэмба, Стенькина, Томаса, Тураева, Шильникова [2, 3, 4] неустранимого и неотделимого сосуществования аттракторов и репеллеров вблизи некоторых типов гомоклинических касаний, эти исследования легли в основу создания Гонченко и Тураевым [5, 6] теории смешанной динамики - третьего типа хаоса, характеризующегося пересечением, но не совпадением аттрактора и репеллера.

На сегодняшний день смешанная динамика обнаружена во многих системах из приложений: в неголономных системах [7, 8, 9, 10, 11, 11], в моделях гидродинамики [12], в моделях нейроноподобных связанных элементов [13, 14, 15] и др. Предложены бифуркационные сценарии возникновения этого явления [16, 17, 12], разработаны численные методы выявления смешанной динамики в пространстве параметров системы [18, 13, 14, 15], построены критерии возникновения смешанной динамики [4, 9, 19]. Однако во всех этих работах акцент делался на исследования топологии пересекающихся аттрактора и репеллера. При этом вопросы, связанные с устройством инвариантной меры на аттракторах и репеллерах, а именно мера наблюдается в системах при численном построении этих двух множеств, обходились стороной.

В главе 1 диссертационной работы этим вопросам уделяется особое внимание. Предложен новый эффективный метод, позволяющий количественно определять различимость инвариантных мер аттрактора и репеллера. Суть этого метода заключается в вычислении расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна между двумя мерами, соответственно, на аттракторе и на репеллере. Такой метод ранее применялся для сравнения двух аттракторов, взятых при различных значениях параметров системы [20]. Для пересекающихся аттрактора и репеллера такой метод применялся впервые в работе диссертанта. Также в главе 1, на основе теории фрактальных размерностей, разработаны методы, позволяющие определять такие характеристики пересекающихся аттрактора и репеллера, как относительные размерности и спектры взаимной сингулярности. Кроме того, на основе возмущения простейших отображений с помощью преобразования Мёбиуса, предложен метод построения простых модельных отображений двумерного тора, демонстрирующие пересечения аттрактора и репеллера при ненулевом параметре диссипации. Эффективность метода продемонстрирована на таких модельных отображениях, а также на более сложных примерах.

В главе 2 диссертационной работы исследуется явление столкновения гиперболических аттрактора и репеллера в отображении, заданном на трехмерном торе. В работах Гонченко, Казакова, Тураева [16, 17, 12] было показано, что такое столкновение может приводить к возникновению смешанной динамики. Также были объяснены бифуркационные механизмы перехода от разделенных друг от друга аттрактора и репеллера к смешанной динамики через столкновение этих двух множеств. Для трехмерных отображений аналогичное явление было обнаружено в работе Пиковсого, Осипова, Резенблюма, Закса [21]. Диссертантом дано объяснение этого явления на языке теории бифуркаций. Показано, что сразу после столкновения аттрактора и репеллера возникает одно хаотическое множество, совпадающее со всем трехмерным тором и содержащее траектории с разными размерностями неустойчивых многообразий. С помощью выявления гетероразмерных циклов сразу после столкновения аттрактора и репеллера сделан выводы об устойчивости образовавшегося хаотического множества.

Теория гетероразмерных циклов - гетероклинических контуров, соединяющих периодические траектории с разной размерностью устойчивых и неустойчивых многообразий была заложена в работе Бонатти, Диаса [22]. В работе Абрахама, Смейла [23] предложен один из первых сценариев нарушения гиперболичности, связанный с возникновением гетероразмерных циклов. Неустранимость нетрансверсальных пересечений инвариантных многообразий в таких циклах была установлена и изучена Диасом и его коллегами

[24, 25, 26]. Математическая теория для отображений с гетероразмерными циклами коин-декса один (когда разность между неустойчивыми многообразиями пары седловых орбит, соединенных этими циклами, равна единице) развита Бонатти и Диазом [22, 27], где авторы доказали С ^устойчивость гетероразмерных циклов. Общая версия этого результата с более высокой гладкостью была недавно получена Ли и Тураевым [28]. Результаты работы [28] гарантируют существование гетероразмерной динамики, в двухпараметрическом семействе диффеоморфизмов, дающем подходящую бифуркационную развертку гетеро-размерного цикла.

В заключении обзора отметим, что существуют альтернативные подходы, позволяющие сделать вывод о робастности (устойчивости к возмущениям) гетероразмерной динамики. Например, с помощью выявления блендера - компактного инвариантного множества, для которого топологически «тонкие» множества неустранимо пересекаются, гарантируя робастность гетероразмерной динамики. Такие методы были разработаны в работах Кра-ускопфа, Осинги и их соавторов [29, 30, 31]. Однако эти методы являются очень сложными и трудоемкими. В диссертационной работе вывод о робастности гетероразмерной динамики после столкновения аттрактора и репеллера делается на основе нахождения лишь четырех траекторий, образующих гетероразмерный цикл.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы - разработать новые методы исследования хаотической динамики диффеоморфизмов, заданных на компактном многообразии. Исследовать с помощью этих методов особенности хаотической динамики отображений двумерного и трехмерного тора.

Для достижения поставленных целей рассматривались следующие задачи:

• построение модельных отображений, демонстрирующих при изменении параметра формирование пересечения аттрактора и репеллера;

• исследование свойств физических инвариантных мер на основе вычисления расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна между физической мерой на аттракторе и физической мерой на репеллере;

• исследование взаимных размерностей для пересекающихся аттрактора и репеллера;

• описание механизмов столкновения нетривиальных гиперболических аттрактора и репеллера для диффеоморфизмов, заданных на трехмерном торе;

• создание методов выявления и построения гетероразмерных циклов;

• разработка программного комплекса, реализующего перечисленные выше методы.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в диссертационной работе применялись качественные, аналитические и численные методы теории динамических систем. Аналитические методы применялись для построения диссипативных возмущений сохраняющих площадь отображений, а также для нахождения некоторых бифуркационных кривых. Качественные методы теории бифуркаций применялись для разработки сценария столкновения гиперболических аттрактора и репеллера, а также для разработки метода построения гетероразмерных циклов. Численные методы применялись для вычисления расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна, относительной размерности

и спектра сингулярности для пересекающихся аттрактора и репеллера. При этом для вычисления расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна применялись пакеты программ «PyEMD: Earth mover's distance for Python» и «CLP: COIN linear program code», а вычисления относительных размерностей и спектра сингулярности производились на собственном программном обеспечении. Численные методы реализованы на языке Си++, для визуализации результатов применялся язык Python.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в разработке новых подходов и методов исследования динамического хаоса, характеризующегося пересечением аттрактора и репеллера, а также в создании нового метода построения диссипативных возмущений для консервативных отображений, заданных на компактных многообразиях. Решение этих задач видится значительным продвижением для теории динамического хаоса.

Практическая значимость полученных результатов определяется следующими тремя аспектами. Разработанные в главе 1 методы сравнения хаотических множеств, в частности аттрактора и репеллера, имеют универсальный характер и применимы к широкому кругу систем (в том числе к экспериментальным наблюдениям). Обычно при исследовании зависимости динамики от параметров или от внешних воздействий упор делается на бифуркационный анализ, позволяющий отследить качественные изменения динамики. Наш метод позволяет характеризовать разницу между динамичскими показателями качественно одинаковых режимов. Это особенно важно для описания эффектов при малых возмущениях, при которых можно ожидать линейную зависимость расстояний между режимами в зависимости от величины возмущения. Наши результаты показывают, что для определенного класса систем линейная зависимость сохраняется, в том числе и при больших величинах возмущения, что позволяет делать вывод о робастности динамики по отношению к внешним воздействиям, в том числе большим. Кроме того, согласно статистике цитирования в системе "google.scholar", разработанные методы применялись более чем в 20 работах, посвященных исследованию систем из самых разных приложений (модели нейродинамики, задача о кодировании звуковой информации, модели движения твердого тела и др.), что свидетельствует о высокой практической значимости полученных результатов.

Во-вторых, описанный в главе 2 переход к гетероразмерной динамике непосредственно применим к ряду прикладных задач. Наша модель обобщает стандартную бифуркацию седло-узел на случай хаотического воздействия. Стандартная бифуркация седло-узел описывает переход от состояния равновесия к движению во многих физических системах, таких как синхронизация осцилляторов, вольт-амперная характеристика контакта Джо-зефсона, мобильность частиц в периодическом потенциале. Во всех этих примерах при наличии хаотического воздействия (как при хаотической внешней силе для контактов Джозефсона, так и при внутренной хаотической динамике при наличии дополнительных степеней свободы для осцилляторов и активных мобильных частиц) переход проходит по сценарию описанному в главе 2. Таким образом, исследование механизмов столкновения аттрактора и репеллера в нашем отображении позволяет понять механизмы разрушения хаотической фазовой синхронизации в ансамблях взаимодействующих элементов. Также отметим, что согласно статистике цитирования в системе "google.scholar", теория, представленная в главе 2 нашла применение в исследованиях мобильности активных частиц.

В-третьих, в процессе работы над диссертацией разработан программный комплекс,

в рамках которого реализован ряд методов исследования аттракторов и репеллеров. Этот программный комплекс использовался для исследования рассмотренных в диссертации моделей. Однако его функциональность позволяет исследовать более широкие классы динамических систем, демонстрирующих столкновение и пересечение аттракторов и репеллеров.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Новые методы исследования хаотической динамики диффеоморфизмов, заданных на компактном многообразии.

На основе вычисления различных типов расстояний между численно определяемой физической инвариантной мерой для системы в прямом времени и соответствующей мерой для этой же системы в обратном времени разработаны методы, позволяющие определять границы применимости теории линейного отклика, в частности, исследовать случай большого внешнего воздействия на систему, а также исследовать свойства обратимости (реверсивности) системы; предложен новый способ проверки наличия/отсутствия неравномерной гиперболичности.

2. Новый сценарий столкновения хаотического аттрактора с хаотическим репеллером для отображений, заданных на трехмерном торе.

На примере трехмерного отображения, представляющего собой косое произведение двумерного диффеоморфизма Аносова и одномерного отображения Мёбиуса, показано, что гиперболический аттрактор может столкнуться с гиперболическим репеллером в результате бифуркации седло-седло, когда какая-то из седловых периодических точек принадлежащая аттрактору сливается с седловой периодической точкой, принадлежащей репеллеру. Показано, как в результате бесконечного каскада таких бифуркаций физические меры на аттракторе и репеллере становятся неразличимыми. Предложена и апробирована процедура построения гетероразмерного цикла сразу после столкновения гиперболического аттрактора и гиперболического репеллера.

3. Программный комплекс для исследования обратимых и диссипативных систем.

Разработан программный комплекс, позволяющий для систем с пересекающимися аттрактором и репеллером вычислять расстояние Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна, взаимные размерности и спектр сингулярности физических мер, вычислять спектр коротких показателей Ляпунова, а также находить гетероразмерные циклы.

Новизна и достоверность. Результаты, описанные в диссертационной работе, являются новыми. Они хорошо согласуются с имеющимися теоретическими представлениями и положениями. Численные эксперименты подробно описаны. Часть их воспроизводились соавторами диссертанта для проверки. Для расчета расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна применялось два различных пакета программ, в обоих случая полученные результаты совпадали.

Выносимые на защиту результаты, опубликованы в трех статьях в журнале Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science (Web of Science, Q1) - одном из ведущих журналов по теории динамического хаоса и ее приложениям.

Апробация полученных результатов.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах:

1. Постерный доклад "Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between attractor and repeller", международная конференция «Shilnikov WorkShop 2020» 17-18 декабря 2020г. г.Нижний Новгород

2. Постерный доклад "On the collision of a chaotic attractor with a chaotic repeller leading

to the emergency of hyperchaotic orbits", международная конференция «Shilnikov WorkShop 2021» 16-17 декабря 2021г. г.Нижний Новгород

3. Доклад "Attractor-repeller collision and the heterodimensional dynamics", международная конференция «Shilnikov WorkShop 2022» 19-20 декабря 2022г. г.Нижний Новгород

4. Доклад "Метрические оценки подобия между хаотическими аттракторами и репеллерами", КРОМШ 2020 Ласпи-Батилиман.

5. Доклад "Спектры взаимных сингулярностей перекрывающихся аттрактора и репеллера' ', КРОМШ 2021 пос. Сатера, Алушта.

6. Доклад "Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller", научный семинар международной лаборатории динамических систем и приложений, 24 апреля 2020г. г.Нижний Новгород

7. Доклад "Взаимные сингулярности пересекающихся аттрактора и репеллера", научный семинар международной лаборатории динамических систем и приложений, 01 октября 2021г. г.Нижний Новгород

8. Доклад "Столкновение аттрактора с репеллером и гетероразмерная динамика", научный семинар международной лаборатории динамических систем и приложений, 18 января 2023г. г.Нижний Новгород

Список статей, представленных к защите по теме диссертации с указанием личного вклада.

[1*] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller//Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 30 (2020), С. 073114

https://doi.org/10.1063/5.0007230

(Главный соавтор. Предложен метод построения диссипативных возмущений для консервативных отображений, заданных на торе. Проведены численные эксперименты по вычислению расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна для пересекающихся аттракторов и репеллеров.)

[2*] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Mutual singularities of overlapping attractor and repeller//Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 31 (2021), С. 083127

https://doi.org/10.1063/5.0056891

(Главный соавтор. Проведены численные эксперименты по вычислению относительных размерностей и спектров взаимной сингулярности аттрактора и репеллера.)

[3*] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Attractor-repeller collision and the heterodimensional dynamics//Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 33 (2023), С. 063113

https://doi.org/10.1063/5.0144672

(Главный соавтор. Описан сценарий столкновения гиперболических аттрактора и репеллера, предложен метод построения гетероразмерных циклов, выполнены все численные эксперименты.)

2 Расстояние Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна, относительные размерности и взаимные сингулярности аттрактора и репеллера

В данной главе для систем, демонстрирующих пересечение хаотического аттрактора и хаотического репеллера, мы строим количественные характеристики различимости этих двух множеств. При этом здесь мы обходим стороной вопросы, связанные с топологией и структурой этих двух множеств1, сосредотачиваясь больше на вопросах, связанных с распределением инвариантных мер на аттракторе и репеллере, соответственно. Более того, говоря, об аттракторах и репеллерах мы будем, подразумевать, инвариантную меру для системы в прямом и обратном времени, соответственно, если иное не будет обговариваться отдельно.

Сперва, в разделе 2.1, мы вводим 4 базовые модели: три отображения, заданных на двумерном торе, и систему дифференциальных уравнений, заданную на трехмерном торе. Для всех введенных систем

• численно построенный аттрактор пересекается с численно построенным репеллером, но при этом эти два множества визуально различаются и эта различимость не может быть устранена с помощью увеличения точности построения аттрактора и репеллера.

Далее, в разделе 2.2, мы вводим концепцию расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна для количественного описания степени различимости численно построенных аттрактора и репеллера и успешно применяем ее ко всем четырем введенным моделям. Раздел 2.3 посвящен исследованию фрактальных свойств этих двух множеств. Здесь, на основе применения концепции относительных размерностей и спектра взаимных сингу-лярностей, мы предлагаем численные методы, позволяющие наилучшим образом охарактеризовать фрактальные свойства двух пересекающихся мер, а также показываем, как (с некоторой степенью точности) относительные размерности и взаимные сингулярности пересекающихся аттрактора и репеллера достаточно точно могут быть выведены из фрактальных свойств этих двух множеств по отдельности.

2.1 Модели

Сперва опишем четыре модели, которые будут исследованы численно ниже. Все эти модели заданы на компактном фазовом пространстве. Сначала мы определим три модельных отображения на двумерном торе 0 < х,у < 1. На этих примерах легко добиться достаточно хорошего понимания свойств аттрактора и репеллера. Мы начнем с рассмотрения консервативных случаев, когда эти отображения сохраняют фазовый объем (якобиан равен 1 в каждой точке фазового пространства), а затем добавляем диссипацию. Четвертый пример - гладкая динамическая система с непрерывным временем, заданная на трехмерном торе. С помощью аналитических методов здесь сложно сделать выводы о топологических свойствах динамики, поэтому мы будем опираться на результаты численного анализа, чтобы показать, что странные аттрактор и репеллер действительно существуют в определенном диапазоне параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чигарёв Владимир Геннадьевич, 2024 год

И 1. )

Г и

и у

и

и г

Л -—и

(а)

(Ь)

(с)

Рис. 9: Фазовые портреты аттрактора (синие точки) и репеллера (красные точки) для (а) возмущенного отображения Аносова (17), (Ь) возмущенного отображения Чирикова (18) и (с) возмущенного косого сдвига (19). Во всех случаях параметр диссипации в отображении Мёбиуса М(е, 0, 0) равен е = 0.99.

наблюдается практически линейный рост расстояния КРВ от параметра диссипации. Также заметим, что расстояние КРВ, рассчитанное для трехмерного потока (23), почти такое же, как расстояние КРВ, рассчитанное для его двумерного отображения Пуанкаре.

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

•

•

• л

/

/

• и + + * + *

,•0 * + * *

, г*

*

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

£

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

£

(Ы

Рис. 10: Расстояния между аттрактором и репеллером для хаотического потока (23) (а) на трехмерном торе, разбитом на 16 х 16 х 16 ячеек и (Ь) на двумерном отображении Пуанкаре, разбитом на 64 х 64 ячейки. Как и на рис. 7, маркеры на рис. (а) показывают расстояния между аттрактором и репеллером (красные кружки), аттрактором и консервативным случаем (зеленые плюсы) и репеллером и консервативным случаем (синие крестики); чернвге кружки представляют собой суммы зеленых и синих значений. На рис. (б) зеленые плюсы и синие звездочки это расстояния не до равномерного распределения, а до инвариантного распределения при е = 0. Штриховвге серые прямые линии иллюстрируют близкую к линейной зависимость расстояния КРВ от параметра е.

2.3 Относительные размерности и взаимные сингулярности

Очень часто в системах, демонстрирующих пересечение аттрактора и репеллера эти два множества имеют общий носитель, который не является фракталом, но физически релевантные инвариантные меры в прямом и обратном времени представляют собой две разные фрактальные меры. Здесь мы будем называть эти две меры аттрактором и репеллером, соответственно. Обе они являются мультифракталами, поэтому их можно охарактеризовать с помощью концепций относительных размерностей и спектра взаимной сингулярности, что и является целью настоящего раздела. В качестве моделей мы используем те же примеры, для которых в предыдущем разделе вычислено расстояние Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна между перекрывающимися аттрактором и репеллером. Как отмечалось выше, это расстояние можно вычислить для любых двух мер, не обязательно фрактальных и не обязательно имеющих общий носитель. Однако расчеты взаимных размерностей и сингулярностей сильно зависят от последнего свойства.

Сначала мы вводим несколько существующих понятий относительных размерностей и взаимных сингулярностей двух фрактальных мер. Далее, применяем эти концепции к аналитически решаемой задаче о взаимном расположении мер на аттракторе и репеллере в двумерном отображении Пекаря. После этого рассматриваем такой же вопрос для двух нетривиальных примеров: отображения Аносова-Мёбиуса (17) и отображения Чирикова-Мёбиуса (18). В обоих случаях, как и в предыдущем разделе, мы начинаем с отображения, сохраняющего площадь на двумерном торе, а затем добавляем диссипацию с помощью отображения Мёбиуса. Напомним, что в первом примере мы имеем дело с гиперболическим хаосом, в отличии от второго случая. Для обоих примеров мы вычисляем различные варианты относительных размерностей и взаимных сингулярностей.

Обобщенные размерности и спектр сингулярностей для фрактальной меры.

Теория обобщенных размерностей и спектров сингулярностей для фрактальной меры является довольно хорошо разработанной и успевшей зарекомендовать себя в различных приложениях. Здесь мы напомним основные ее элементы для полноты изложения. Рассмотрим множество и с фрактальной мерой. Покрывая множество ячейками размера е, мы получаем конечномерную аппроксимацию фрактальной меры с мерами ячеек щ (для нормализации требуется ^ 1 щ = 1). Переходя к более мелким разбиениям, определяются величины т(д; и) и обобщенные размерности Д(д; и) согласно

т(д; и)=Иш1П ^ Щ , Дд; и) = ТМ! = Пш^Ь ^ Щ . (24)

1п е д — 1 д — 1 1п е

Обратим внимание, что сумма в (24) может быть представлена как среднее по ячейкам конечного размера. ^^^ Щ = (ич-1)и. Наиболее важными являются: размерность Мин-ковского Д(0; и) (дает количество пустот); информационная размерность Д(1; и) (дает усредненный индекс скученности, см. формулу (26) ниже); и корреляционная размерность Д(2; и) (легко вычисляемая методом Грассбергера-Прокаччиа [64]).

Спектр сингулярности ¡(а; и) определяется преобразованием Лежандра т(д; и):

¡(а; и) = ад — т(д; и) , а = — . (25)

Индекс скученности а имеет смысл локального (в окрестности некоторой точки х фрактала) масштаба соотношения для меры м(£,х) ~ £а(х). Спектр /(а) имеет смысл размерности Минковского для ячеек, имеющих индекс а, число которых масштабируется как N (а) = (а). Переписав сумму в (24) как ^ м« = N (а)£«а = £9а—(а) и вычислив это в максимуме (что соответствует пределу £ ^ 0) получим преобразование Лежандра (25). Обратим внимание, что усредненный индекс скученности в точности представляет собой информационную размерность

(а)и = ^ Uiai = lim ^ u 0gU = D(1; U) . (26)

Относительные размерности на основе дивергенции Реньи и Кульбака-Лейблера.

Дивергенция Реньи [65] характеризует расстояние между двумя фрактальными мерами и и V, имеющими общий носитель. Мы вводим его в соответствии с работой [66]. Для двух мер и и V с соответствующими значениями в е-ячейках щ и vi дивергенция Реньи определяется как

Же-,и!|Ю = -—-ь£щч-« = (• (27)

Здесь индекс у знака усреднения указывает на то, что усреднение производится по мере и. На основе введенной формулы можно определить относительную размерность Реньи

.9-1'

Ы

и IV ) = Иш Д(£'-- и ^) = Пш —-—1п ^Щ ^ = Иш —---^ • (28)

е^о 1п б - — 1 1п б - — 1 1п б

Она имеет следующие свойства:

1. Размерность Реньи в общем случае асимметрична, но имеет место соотношение

д£д(1 — д; и||V) = (1 — (д; V||и) •

2. Если одна из мер является равномерной A (здесь мы предполагаем d-мерный объект, где d - целое число), то относительная размерность Реньи для равномерного распределения равна

DR(q; U||A) = D(q; U) - d,

где D(q; U) - введенная выше обобщенная размерность меры U. Можно также написать D(q; U) = d + DR(q; U||A). Это означает, что размерность U равна размерности A плюс относительная размерность Реньи (последняя может быть отрицательной).

3. Если две меры совпадают, то DR(q; U||V) = DR(q; V||U) = 0.

4. Если q ^ 1, то дивергенция Реньи переходит в дивергенцию Кульбака-Лейблера. Соответственно, разделив это выражение на log е и взяв предел можно получить

относительную размерность Кульбака-Лейблера:

ln Ui

Dr(1; U||V) = lim£= DKL(U||V) . (29)

5. Относительная размерность Кульбака-Лейблера (29) является аналогом информационной размерности для одной меры (26). Предположим, что масштабы в точке г равны щ ~ £а и V ~ £в. Тогда

||V) = <аi — , ||и) = (в — ^)у .

6. £д(0; и||V) = 0.

7. Симметричный случай д = 1/2 дает «взаимную размерность Хеллингера» (на основе расстояния Хеллингера

D(1/2; U||V) = -2lim ln(1 - 2«'V)), V) = - „P) .

1^0 ln б

i

Спектр взаимной сингулярности.

По-видимому, взаимный (совместный) спектр сингулярности был впервые введен в работе [40], см. также аналогичный подход в статье [36]. Подобно размерности (дивиргенции) Реньи, рассматриваются две меры и обобщенные соотношения масштабов, подобное (28), но с двумя независимыми степенями q и р:

T(q,p; U, v) = lim = Ит MuTVk. = lim ln(ug. (30)

1^0 ln б 1^0 ln б 1^0 ln б

Эта величина обладает следующими свойствами:

1. В общем случае нельзя определить обобщенную размерность, зависящую от двух индексов q и р. Однако при p =1 — q получается то же выражение, что и в определении размерности Реньи.

2. В случае q = р = 0 получаем i u0v0 (число общих непустых ячеек), так что T(0, 0; U, V) = —D(0; U П V) равно размерности Минковского пересечения носителей U и V.

3. В случае q = р =1 величину i uivi можно рассматривать как корреляцию двух множеств и вычислять по временному ряду длины N (аналогично методу Грассбергера-Прокаччи для корреляционной размерности [64]) как

C(U, V, б) = -— (количество пар с расстоянием < б) . N2

Это дает взаимную корреляционную размерность

DK(U,V) = T(1,1; U,V) (31)

двух мер, обсуждаемую Канцем [34]. Подчеркнем, что вычисление Ок(и, V) можно производить непосредственно по траекториям, не оценивая меры ячеек и^г^ Это позволяет дополнительно проверить корректность численного вычисления для Т(д,р; и, V) (хотя бы на одном наборе индексов д,р). Кроме того, эту величину потенциально легче вычислить для хаотических систем с непрерывным временем, где размерность Минковского для аттракторов и репеллеров не меньше трех.

4. В случае, когда р = 0, получается

1п \ ^ и9

Т(д, 0; и, V) = Иш = (д — 1)Дд; и),

е^О -П б

где Д(д; и) - обобщенная размерность меры и.

5. В случае, когда V не является фрактальной (т.е. эквивалентна мере Лебега), получается Т(д,р; и, V) = р^ + т(д; и), где d это целочисленная размерность V.

Спектр взаимной сингулярности вводится путем использования двух индексов скученности ~ еа и гi ~ ев и определения количества ячеек с парой индексов (а, в) как N (а, в) ~ Тогда сумма в (30) может быть оценена как ~ // dаdвеqa+pв-F (а'в).

Асимптотическое вычисление этого интеграла при е ^ 0 приводит к преобразованию Ле-жандра от Т к ^:

оо

Т(д,р; и, V) + ^(а, в; и,^ = да + рв, а = —, в = 7Т . (32)

дд др

Относительная размерность Риди-Шойринга. Еще одна характеристика взаимной сингулярности была предложена Риди и Шойрингом [35], см. также [67]. Здесь сначала определяется относительная статистическая сумма

Л/9-1

Яп — ' и

5(д,*; и||V) ^ и^г"4 = ^(33

Условие постоянства этой функции при е ^ 0 определяет конкретное значение параметра * = Т(д; и|| ^^). В зависимости от этой величины определяется относительная размерность

ВП8 (д; и ^ ) = . (34)

д — 1

Сравнивая выражения (33) и (30), находим, что Т(д; и) является корнем уравне-

ния

Т(д, —Т(д; и||V)) = 0. (35)

Поскольку подход, предложенный Риди-Шойрингом не дает дополнительной информации по сравнению с вычислением Т(д,р; и, V), ниже мы его использовать не будем.

«Ортогональные» фрактальные множества. Далее мы будем применять введенные для двух фрактальных множеств характеристики к аттракторам и репеллерам двумерных отображений. Как сказано выше, для аттрактора инвариантная мера СРБ (Синай-Рюэль-Боуэн) непрерывна вдоль неустойчивого направления и фрактальна вдоль устойчивого;

для репеллера - наоборот. Сначала рассмотрим идеальный случай, когда фрактальные направления множеств и и V строго ортогональны. Кроме того, поскольку приведенные выше понятия применимы к множествам с общим носителем, мы рассматриваем две меры, имеющие размерность Минковского, равную полной размерности фазового пространства (в нашем случае 2). Другими словами, в этих множествах нет пустот (что характерно для стандартных канторовских множеств), но их меры являются мультифракталами.

Поэтому будем считать, что на единичном квадрате мера и фрактальна вдоль оси х (и проекцию меры на ось х мы обозначаем как у) и равномерна вдоль оси у. Мера V предполагается фрактальной вдоль оси у (обозначим проекцию на ось у как V) и равномерной вдоль оси х. Меры двумерной ячейки с индексами (г, ]) размера £ равны п^ = у^ и Vij = Vj £.

Фрактальные размерности мер получаются подстановкой этих выражений в (24): т(д; и) = Игл ЬЕi + — -)1П £ = т(д; у) + д — 1 , £(д; и) = £(д; у) + 1 ,

£ 1П£ (36)

1пЕ^ + (р — 1)1п £ (36)

т(р; V) = Иш ->.-= т(р; V) + р — 1 , £(р; V) = £(р; V) + 1 •

1п £

Подчеркнем здесь, что, поскольку носителем двух мер является весь квадрат, £(0; у) =

£(0; V) = 1.

Аналогичные вычисления относительной размерности Реньи дают

В»(д;Г/||Ю = В(д;у) + дД(1 — д:У>— 1 = В(д;и) + дД(1 — >— 2 • (37)

1 — д 1 — д

Чтобы получить относительную размерность Кульбака-Лейблера, нужно рассмотреть предел д ^ 1:

£кь(и|| V) = £(1; и) — т'(0; V) . (38)

Вычисление выражения (30) также не вызывает сложностей:

Т(д,р; и, V) = д + р + т(д; у) + т(р; V) = т(д; и) + т(р; V) + 2 . (39)

Из этой формулы следует, что кросс-корреляционная размерность (31) независимо от фрактальных свойств мер равна 2. На самом деле, Канц [34] утверждал, что это справедливо не только для «ортогональных» фракталов, но и для любого ненулевого угла между непрерывными направлениями. Применение преобразования Лежандра к (39) дает выражение для спектра взаимной сингулярности через отдельные спектры:

^(а, в) = /(а; и) + /(в; V) — 2 . (40)

Наконец, нетривиальным образом появляется характеристика Риди-Шойринга: Т(д) является решением уравнения

0 = Т(д, —Т) = д — Т + т(д; у) + т(—Т; V) . (41)

(а)1

(Ь)1

о

1

Рис. 11: Портрет (а) аттрактора и (Ь) репеллера для отображения пекаря 42 с параметрами а =1/2 и 7 = (^5 — 1)/2.

2.3.1 Аналитически решаемая система: отображение пекаря

Рассмотрим в качестве модельного примера, допускающего аналитический анализ, двумерное отображение пекаря с простой ортогональной структурой аттрактора и репеллера. Это отображение принадлежит классу систем, введенных в работе [45]. Ниже мы придерживаемся варианта, предложенного С. П. Кузнецовым [68]. Отображение пекаря определяется следующим образом:

7У«

1—а

1 + (1 — 7)(Уп — 1)

Хп ^ а

Хп аа

(42)

Размерность аттрактора этого отображения может быть получена с помощью расчета статистической суммы (см. подробности в [46]). Функция т(д; А) может быть найдена как решение следующего уравнения:

а

+

(1 — а)9

ут-9+1 (1 — 7 )т+9-1

1

(43)

Для нахождения размерности репеллера следует рассматривать обратное отображение, проделав аналогичные выкладки, как для (43) и сделав замену а О у.

Для некоторых значений а и 7 можно получить явную формулу для размерностей. Далее зафиксируем а = 1/2 и положим 7 = (\/5 — 1)/2, т.е. решением уравнения 1 — 7 = 72. Аттрактор и репеллер для этого случая показаны на рис. 11. Тогда уравнение (43), определяющее размерность аттрактора, выглядит следующим образом:

т—9+1 /1\ 9 / 1\ 2(т-9+1)

+ <2 =1-

2) \у/ \ 'Ч \7,

т.е. представляет собой легко решаемое квадратное уравнение. Выражения для величин

0

0

X

X

X

п

а

Хп — а

1

9

1

(а)

<

Г О

-8 -6 -4 -2

О

Я

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Я

1.50

1.00

№

2.2 -

Р 2.С

1.8

2.0 2.2 а

Р

I

0.04

0.00

|"-0.04

0.16

0.08

0.00

2.0 2.2 а

Рис. 12: (а) и (Ь) Относительные размерности Реньи £й(д; А||Я) и £й(д; Я||А) для отображения пекаря (42). Здесь маркерами отмечены результаты, полученные численно, а линии соответствуют значениям, найденным аналитически. (с) Спектр сингулярностей ^(а, в) для этого отображения. На картах, изображенных на рис. (ё) и (е), показаны отклонения значений, полученных численно по комбинации отдельно рассчитанных спектров частичных синуглярностей /(а; А) и /(в; Я), а также из аналитического выражения.

т(q; A) и D(q; A) имеют вид:

log (VV4 + 2q - 1/2) log (Vl/4 + 2q - 1/2)

т(q; A) = q - 1--^---^, D(q; A) = 1--^-—-. (44)

log Y (q - 1)log Y

Уравнение, определяющее т(p; R) для репеллера, согласно выражению (43), имеет вид

Y?2t-р+! + Y2p2t-p+1 = 1 ,

что дает

, m т log(Yp + Y2p) m , log(Yp + Y2p) ^

T(P; R)= P - 1 - log 2 , D(P; R) = 1 - (p - 1) log 2 . (45)

С помощью этих выражений можно найти взаимные сингулярности, применяя соответствующие формулы из раздела 2.3.

На рисунке 12 приведены результаты сравнения относительных размерностей Реньи и взаимных сингулярностей, полученных для отображения пекаря аналитически и численно. На рисунках (а) и (b) изображены относительные размерности Реньи Dq(A||R) и Dq(R||A). Здесь сплошные линии соответствуют результатам, полученным аналитически, а маркеры используются для численно полученных значений. Видно, что численные значения немного отклоняются от теоретических при больших по абсолютному значению индексах q. Это известный эффект, наблюдаемый при непосредственном вычислении обобщенных размерностей и связанный с тем, что ячейки, обладающие малой мерой, приводят к накоплению ошибки при вычислении большой по модулю отрицательной степени этой меры. Эти численные ошибки также объясняют, почему численно полученный спектр взаимной сингулярности F(а, в), представленный на рис. 12c, ближе к комбинации численно полученных частичных (отдельных) спектров f (а; A) и f (в; R) (см. сравнительную карту на рис. 12d), а не к аналитическому выражению (эта сравнительная карта показана на рис. 12e). Причина здесь в том, что в обоих расчетах ошибки численного счета возникают в одних и тех же местах (в ячейках с малым размером) и, следовательно, дают отклонения в одном направлении.

2.3.2 Относительные размерности и взаимные сингулярности для модельных примеров

Нашей первой моделью нетривиального перекрывающегося аттрактора и репеллера является отображение Аносова-Мёбиуса (17). Чтобы применить мультифрактальную характеристику, как описано выше, мы должны быть уверены, что аттрактор и репеллер имеют общий носитель. Существует аргумент, описанный в работах Синая [45, 46, 47], что из-за гиперболичности отображения Аносова при малых возмущениях носитель меры не меняется, поэтому и аттрактор, и репеллер всюду плотны на торе (и имеют размерность Минковского 2). Наши численные эксперименты показывают что ни одна из маленьких ячеек при самом мелком разбиении (в нашем случае 2048 х 2048) не является пустой при £ Е (0, 0.8]). Мы полагаем, что такое свойство сохраняется вплоть до £ =1, однако при больших значениях £ непосредственная проверка является затруднительной, поскольку некоторые ячейки с экспоненциально малой вероятностью могут оказаться пустыми при

Anosov-Mбbius

СЫпко^МбЬ^

-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5

q

Рис. 13: Относительные размерности Реньи для отображения Аносова-Мёбиуса (17) (два столбца слева) и отображения Чирикова-Мёбиуса (18) (два столбца справа); нечетные столбцы: Оя(д; А||Я), четные столбцы: £Д(д; Я||А). Строки сверху вниз соответствуют значениям параметра диссипации в отображении Мёбиуса £ = 0.1, 0.2, 0.3. Синие кривые соответствуют непосредственному вычислению взаимных размерностей между аттрактором и репеллером; зеленые кружки - значения частичных размерностей, полученных с использованием соотношения ортогональности (37). Видно, что это соотношение хорошо работает во всех случаях. Обратите внимание, что во всех случаях (д = 0) = 0, как и должно быть для двух мер, имеющих один и тот же носитель (см. свойство 6 при обсуждении размерностей Реньи).

конечной длине траектории.

Далее мы рассматриваем отображение Чирикова-Мёбиуса (18). В отличие от отображения Аносова, отображение Чирикова, вообще говоря, не является эргодическим, так как нельзя исключить малые островки, заполненные эллиптическими орбитами. Таким образом, вряд ли можно делать общие утверждения о носителе аттрактора и репеллера. Для рассматриваемых далее значений параметров мы численно проверяли, что носитель является полным тором, с помощью такой же процедуры, как для отображения (17).

На рис. 13 показаны относительные размерности Реньи для аттракторов и репеллеров отображений Аносова-Мёбиуса (17) и Чирикова-Мёбиуса (18) для трех значений параметра £: £ = 0.1, 0.2, 0.3. Напомним, что при £ = 0 аттрактор и репеллер совпадают, так что относительная размерность обращается в нуль. Первое наблюдение состоит в том, что размерности для аттрактора и репеллера являются асимметричными, т.е. £д(д; А||Я) = £Д(д; Я||А) (ср. первый и второй столбцы для отображения Аносова-Мёбиуса и третий и четвертый столбцы для отображения Чирикова-Мёбиуса). Диапазон относительных размерностей растет с увеличением параметра диссипации £. На этих же

Рис. 14: Относительные размерности Кульбака-Лейблера для отображений Аносова-Мёбиуса (17) и Чирикова-Мёбиуса (18). На горизонтальной ост отмечено е2, чтобы показать, что Окь ~ е2.

рисунках показаны относительные размерности, полученные из прямых расчетов (синие кривые), и рассчитанные из отдельных размерностей аттрактора и репеллера с помощью выражения (37) (зеленые кружки). Видно, что во всех ситуациях эти значения очень близки.

Относительные размерности Кульбака-Лейблера для отображений Аносова-Мёбиуса и Чирикова-Мёбиуса представлены на рис. 14. Наши расчеты показывают, что в исследуемом диапазоне параметра диссипации е выполняется соотношение Окь ~ е2, т.е. размерность Кульбака-Лейблера расчет квадратично с параметром диссипации.

Спектр сингулярностей.

На рисунке 15 приведены спектры взаимных сингулярностей ^(а, в) для отображений Аносова-Мёбиуса (17) и Чирикова-Мёбиуса (18) при тех же значениях параметра е, что и на рис. 13. Результаты эксперимента показывают, что спектр шире при больших значениях параметра диссипации е; в остальном качественных изменений не наблюдается при изменении этого параметра. На картах в четных столбцах рис. 15 показаны ошибки представления спектра взаимной сингулярности через частичные спектры согласно выражению (40). Из этих графиков видно, что ошибки довольно малы, за исключением областей на границах носителя спектра, что свидетельствует о том, что предположение «ортогональности» мер на аттракторе и репеллере работает во всех рассмотренных случаях (даже для отображения (18), где наблюдаются касания «слоев» аттрактора и репеллера).

Основной вывод из результатов проведенных экспериментов состоит в том, что для всех рассмотренных случаев можно с хорошей точностью представить относительные размерности и взаимные сингулярности аттракторов и репеллеров из характеристик двух этих множеств по отдельности. Хотя, строго говоря, такое представление теоретически оправдано только лишь для «ортогональных» фракталов, расчеты показывают, что отклонения из-за неортогональности малы, как в гиперболическом случае (отображение Аносова-Мёбиуса), где устойчивые и неустойчивые направления (вдоль которых меры

Anosov-Mobius

F(a,b)

P

2.2

2.0 ^ -'P

a 2.1 i.9

e = 0 1 1,90 1,95 2,00 2'05

F(a,P)

1-5 2.3 0-0 2.1

2.6 2.4 2.2

■0 P e = 0.2

2.0 a

F(a,P)

P

2.0 a

P

e = о з 175 2 00 2 25 2 50

Chirikov-Mobius

2.04 \

1.975 2.000 2.025 2.050

e = 0.1 a

a

P

e = 0.2

2.0 2.1 2.2

e = 0.з

2.0 2.1 2.2 2.3

Рис. 15: Спектр сингулярностей F (a, в ) для отображения Аносова-Мёбиуса (17) (два столбца слева) и отображения Чирикова-Мёбиуса (18) (два столбца справа) при тех же значениях параметра е, что и на рис. 13. Графики в четных столбцах показывают ошибки представления спектра взаимной сингулярности через частичные спектры согласно выражению (40).

a

Q -0.05 -

-2.5 0.0 2 5 5.0 7.5

q

-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2 5 q

Рис. 16: Относительные размерности Реньи между аттрактором в отображении Аносова-Мёбиуса (17) и аттрактором в отображения Чирикова-Мёбиуса (18) при различных значениях параметра е. Синие кривые отвечают прямым расчетам размерностей; зеленые кружки - значения, полученные из частичных размерностей с использованием соотношения ортогональности (37). Видно, что расхождение гораздо больше, чем на рис. 13.

непрерывны) пересекаются трансверсально, так и в негиперболическом случае (отображение Чирикова-Мёбиуса), где есть касания этих направлений.

Этот вывод согласуется с наблюдением Канца [34] о том, что кросс-корреляционная размерность двух двумерных фрактальных множеств равна двум, если угол между соответствующими направлениями непрерывности мер отличен от нуля. Фактически, это наблюдение подтвердилось во всех рассмотренных нами случаях с очень высокой точностью.

Также заметим, что не для любых двух пересекающихся фрактальных мер можно представить относительные размерности и взаимные сингулярности из характеристик двух этих мер по отдельности. Чтобы это продемонстрировать, мы посчитали относительные размерности Реньи между аттрактором в отображении Аносова-Мёбиуса (17) и аттрактором в отображения Чирикова-Мёбиуса (18). Результаты экспериментов приведены на рис. 16. Здесь отклонение напрямую вычисленных размерностей от предсказаний из условия «ортогональности» велико. Этот вопрос нуждается в дальнейшем разработке.

Наконец, подчеркнем, что здесь мы сосредоточились на хаотических аттракторах и репеллерах, которые в двух измерениях представляют собой фракталы с одним непрерывным направлением вдоль неустойчивых (устойчивых для репеллеров) многообразий. Существуют нехаотические динамические фракталы (например в отображении косого сдвига (19)), а именно странные нехаотические аттракторы (и, соответственно, репеллеры), изучение их размерностей также является задачей для будущих исследований.

3 Столкновения аттрактора и репеллера и гетерораз-мерная динамика

В этой главе мы исследуем явление столкновения гиперболического аттрактора и гиперболического репеллера, обнаруженных в хаотически управляемом отображении окружности. Особое внимание уделяется описанию бифуркаций приводящих к такому столкновению, а также исследованию возникающего после этого столкновения хаотического режима.

Гиперболичность хаотических множеств может разрушаться в результате различных бифуркационных механизмов. Один из таких механизмов связан с возникновением, привлекшей в последнее время большое внимание, гетероразмерной динамики, характеризующейся наличием внутри хаотического множества траекторий с различным числом положительных показателей Ляпунова. В частности, для такого типа динамики, периодические орбиты внутри хаоса могут иметь разное количество устойчивых и неустойчивых направлений. При этом выводы об устойчивости гетероразмерной динамики к возмущениям можно сделать на основе существования так называемых гетероразмерных циклов [22] - траекторий, соединяющих периодические орбиты с разной размерностью устойчивых и неустойчивых многообразий.

Один из первых примеров разрушения гиперболичности, связанного с возникновением гетероразмерных циклов, был предложен Абрахамом и Смейлом [23]. Сохранение нетрансверсальных пересечений в таких циклах было обнаружено и изучено Диазом и его коллегами [24, 25, 26]. Математическая теория отображений с гетероразмерными циклами коиндекса один (когда разность между неустойчивыми многообразиями пары седло-вых орбит, соединенных этими циклами, равна единице) была развита Бонатти и Диазом [22, 27], где авторы доказали С ^устойчивость гетероразмерных циклов к возмущениям. Общая версия этого результата с более высокой гладкостью была недавно получена Ли и Тураевым [28]. Результаты работы [28] подразумевают существование гетероразмерной динамики, обусловленной существованием гетероразмерных циклов в соответствующем двухпараметрическом семействе, которое дает бифуркационную развертку исходного ге-тероразмерного цикла.

В данной главе мы устанавливаем возникновение гетероразмерной динамики сразу после столкновения гиперболического хаотического аттрактора с гиперболическим хаотическим репеллером.4 Мы показываем, что такое столкновение является обобщением касательной (седло-узловой бифуркации). В качестве модельного примера мы рассматриваем отображение окружности, управляемой хаотической гиперболической подсистемой (отображением Аносова).

В контексте приложений хаотической фазовой синхронизации хаотическая подсистема соответствует амплитудной динамике, а отображение на окружности описывает управляемую фазовую динамику. Устойчивый режим хаотической фазовой синхронизации соответствует существованию хаотического аттрактора, на котором фазовые переменные ограничены, находясь, грубо говоря, «в фазе» с возбуждением. Поскольку в рассматрива-

4 Такое столкновение естественным образом возникает, например, при разрушении хаотической фазовой синхронизации [21] (хотя в реальных ситуациях вряд ли можно предположить гиперболичность этих множеств).

емой модели амплитудная динамика обратима, существует также хаотический репеллер (аттрактор для системы в обратном времени), на котором фазовые переменные находятся «в противофазе» с возбуждением. Из одного неустойчивого и одного устойчивого направлений отображения Аносова и из устойчивости (неустойчивости) аттрактора (репеллера) в фазовом направлении следуют размерности устойчивых и неустойчивых многообразий орбит на аттракторе и репеллере. Варьируя параметр, ответственный за «рассогласование частот», можно столкнуть аттрактор с репеллером.

В разделе 3.2 мы показываем, что после столкновения аттрактор и репеллер объединяются в одно хаотическое множество, содержащее орбиты с разными размерностями неустойчивых многообразий.5 Кроме того, мы устанавливаем, что сразу после столкновения появляется гетероразмерный цикл, соединяющий пару седловых орбит, которые до столкновения принадлежали, аттрактору и репеллеру, соответственно. Согласно теореме Ли и Тураева [28] отсюда следует, что сколь угодно близко к этому циклу существуют другие гетероразмерные циклы. Таким образом, можно сказать, что гетероразмерная динамика, обусловленная обнаруженным гетероразмерным циклом, является робастной, т.е. сохраняется при возмущениях значений параметров.

3.1 Модель

В качестве базовой модели, демонстрирующей столкновение гиперболических аттрактора и репеллера, мы рассматриваем хаотически управляемое отображение окружности. Поскольку мы хотим чтобы для системы уравнений можно было легко найти обратную систему, управляющее хаотическое отображение должно быть как минимум двумерным. В качестве такого отображения мы рассматриваем стандартное отображение Аносова, заданное на двумерном торе. Хорошо известно, что это отображение является гиперболическим: устойчивое и неустойчивое многообразия любой его периодической орбиты это прямые на торе, пересекающиеся трансверсально (см. подробнее в первой главе). В качестве отображения окружности, как и в первой главе, мы рассматриваем отображение Мёбиуса [48, 49, 70, 71]. Таким образом, мы получаем диффеоморфизм, заданный на трехмерном торе 0 < Ь, < 1, для которого легко определяется обратное отображение:

= 2£„ + вп (шсё. 1) , (46а)

Sn+l = Ьп + $п (шсё 1) , (46Ь)

1 ( £2пхп \

хп+1 = хп + с + ^ 81п(2пЬп + а)--агс1ап - (шса 1). (46с)

п V 1 + £ ссв 2пхп )

Здесь уравнения (46а)-(46Ь) описывают управляющее отображение Аносова. У него нет параметров. Уравнение (46с) является управляемым отображением Мёбиуса. «Свободное» отображение Мёбиуса (т.е. с ^ = 0) имеет два параметра £ и с. Напомним, что

5 Для двумерных обратимых отображений такое явление изучалось в работах [16, 17, 12], где также было показано, что после этого появляется новый тип хаотической динамики - так называемая смешанная динамика. Математическая теория смешанной динамики была развита в работах [5, 6, 19] последние примеры приведены в [13, 69, 9, 11, 14, 15].

Рис. 17: Проекции аттрактора (синие точки) и репеллера (красные точки) для е = 0.4, а = 0 и ^ = 0.1. (а) с = 0.05, аттрактор и репеллер разделены; (Ь) с = 0.1, аттрактор и репеллер пересекаются, но соответствующие им инвариантные меры совершенно разные; (с) с = 0.4, меры пересекающихся аттрактора и репеллера очень похожи.

параметр е определяет, насколько это отображение близко к сдвигу на окружности, который реализуется при е = 0. В пределе е ^ 1 почти вся окружность отображается в малую окрестность одной точки на ней. Параметр c является аддитивным, он естественным образом определяет число вращения отображения Мёбиуса (см. подробности в разделе 2.1.2).

Для вычисления числа вращения удобно поднять отображение (46c) с единичной окружности на вещественную прямую. Для этого просто нужно опустить операцию (mod 1). Обозначим соответствующую переменную отображения Мёбиуса на вещественной прямой как Xn.

В контексте задачи о хаотической фазовой синхронизации [21], когда исследуются периодические возбуждения хаотического аттрактора с четко определенной фазовой переменной, система (46) и ее параметры могут быть интерпретированы следующим образом. Отображение Аносова (46a)-(46b) описывает хаос амплитудных переменных аттрактора, а переменная x в уравнении 46c соответствует фазе. Параметр ^ описывает «внутреннюю связь» между амплитудой и фазой; он определяет фазовую диффузию и связан с уровнем когерентности свободных хаотических колебаний (большие значения ^ соответствуют более сильной фазовой диффузии, малые значения ^ означают почти регулярные повороты фаз). Особенности этой внутренней связи зависят от дополнительного фазового сдвига а. Члены c и е описывают воздействие внешней периодической силы на хаотический аттрактор, их смысл тот же, что и в контексте редукции отображения на окружности для вынужденных периодических колебаний: c примерно пропорционально расстройке частот несоответствия фаз, а е описывает величину возбуждения.

3.2 Феноменология столкновения аттрактора и репеллера

На рисунке 17 изображены хаотический аттрактор и хаотический репеллер в системе (46). Для их построения мы численно строили достаточно длинные траектории некоторой начальной точки в прямом (для построения аттрактора) и обратном (для построения репеллера) времени, отбрасывания начальные точки, отвечающие переходным процессам.

Эти траектории дают представления об инвариантных мерах аттрактора и репеллера. В ситуации, изображенной на рис. 17а, эти множества разделены: аттрактор лежит в некоторой поглощающей области, а репеллер в прямом времени служит хаотическим седлом, вблизи которого наблюдается долгоживущая переходная динамика [72]. При обращении времени в отображении эти два множества меняются ролями. На рис. 17Ь и 17с показаны случаи пересекающихся аттрактора и репеллера. В этом случае оба этих множества плотны во всем фазовом пространстве (на всем трехмерном торе). Однако инвариантные меры аттрактора и репеллера в случае рис. 17Ь совершенно разные, а в случае рис. 17с эти меры почти совпадают. Переход от разделенных аттрактора и репеллера (рис. 17а) к пересекающимся этим множествам (рис. 17Ь,с) называется столкновением аттрактора и репеллера [21].

3.2.1 Число вращения и показатель Ляпунова

Для характеристики динамических режимов, наблюдаемых в системе (46) удобно использовать число вращения р и показатель Ляпунова А, вычисляемые для управляемой переменной х.

Число вращения как для свободного (при р = 0), так и для управляемого (при р = 0) отображения Мёбиуса определяется как средняя скорость вращения вокруг окружности для поднятия отображения Мёбиуса:

р = 11ш Хп - х0 . (47)

Так как р(с± 1) = р(с) ± 1, то интерес представляет только следующий интервал значений параметра с: — 2 < с < 2.

Показатель Ляпунова А в направлении Х для системы (46) определяется следующим образом:

А =1 = /ь§ 1 — £2

dxn / \ 1 + 2е cos 2nx + е2

Отметим, что показатели Ляпунова в подсистеме для переменных (t, s) (уравнения (46a) -(46b)) - это просто показатели Ляпунова отображения Аносова.

Результаты численных экспериментов по вычислению числа вращения и нетривиального показателя Ляпунова для системы (46) приведены на рисунке 18. Здесь показаны графики величин р и А в зависимости от параметра с при фиксированных остальных параметрах системы. Обе величины вычисляются в прямом времени, т.е. характеризуют аттрактор. Область, где р = 0, соответствуют случаю разделенных аттрактора и репеллера (как на рис. 17a), поскольку здесь вариации Xn ограничены. Состояния с р = 0 соответствуют случаю пересечения аттрактора и репеллера (как на рис. 17b,c).

Отдельного рассмотрения требует «симметричный» случай c = 0, когда число вращения обращается в нуль из-за статистической симметрии x О — x, хотя аттрактор и репеллер могут пересекаться. Иллюстрация для этого случая приведена на рисунке 19. Здесь на рис. 19a показаны траектории Xn в асимметричном случае (с = 0), а на рис. 19b -в симметричном случае (с =0). В последнем случае пересечение аттрактора и репеллера можно выявить, проследив за динамикой разницы между максимальным и минимальным

parameter c

Рис. 18: Зависимость (a) числа вращения и (b) показателя Ляпунова от параметра с при е = 0.4 и а = 0, для нескольких значений параметра p. (с) График -А в логарифмической шкале, показывающий, что показатель Ляпунова А является отрицательным (хотя и довольно близким к нулю в некоторой области) на всем диапазоне параметра с.

Рис. 19: Временной ряд Хп отображения-поднятия (46с) при е = 0.4 и а = 0. (а) р = 0.04 и два значения параметра с, при одном из них число вращения р = 0, а при другом переменная X постоянно растет. (Ь) Симметричный случай с = 0. Здесь при р = 0.15 аттрактор и репеллер разделены, а переменная X остается ограниченной. При р = 0.25 аттрактор и репеллер уже столкнулись, и эволюция X представляет собой неограниченную диффузию.

ГС

СО

Е

0

рагате1ег с

0.2

Рис. 20: Области существования аттрактора и репеллера на плоскости (с, е)-параметров (что соответствует обычному представлению языков Арнольда), для нескольких значений параметра р и а = 0. Аттрактор и репеллер разделены над кривыми, где число вращения р обращается в нуль.

значениями Хп на большом интервале времени. Как показано на рис. 19Ь, эта разница принимает большие значения для пересекающихся аттрактора и репеллера и остается малой, если они не пересекаются.

Расчеты нетривиального показателя Ляпунова А представлены на рис. 18Ь. Этот показатель остается отрицательным во всех случаях и на всем диапазоне изменения параметра с, разница лишь в величине этого показателя. Для почти симметричных пересекающихся аттрактора и репеллера А близок к нулю, а в случае разделенных этих двух множеств имеет порядок единицы. Это свойство рассматриваемой системы отличается от соответствующего свойства автономного отображения на окружности, где внутри языков Арнольда показатель Ляпунова отрицательный, а вне этих языков, на квазипериодическом режиме, он обращается в нуль. Для автономного отображения Мёбиуса, которое либо имеет единственный язык Арнольда, либо сопряжено со сдвигом окружности (см. обсуждение в разделе 2.1.2), показатель Ляпунова обращается в нуль на всем интервале параметра вне языка Арнольда. Более подробно это свойство хаотически управляемого отображения Мёбиуса обсуждается в разделе 3.3.

Далее, с учетом описанного выше критерия выявления в пространстве параметров системы (46) областей, отвечающих пересечению аттрактора и репеллера, определим границы языка Арнольда на плоскости параметров (с, е). Результаты соответствующего эксперимента приведены на рисунке 20. Как обсуждалось выше, в контексте теории фазовой синхронизации эти параметры соответствуют расстройке частот (параметр с) и амплитуде воздействующей силы (параметр е). При этом внутренняя фазовая неравномерность возбуждаемой хаотической системы описывается параметром р. Из результатов экспериментов видно, что при больших значениях параметра р нужно более сильное воздействие для фазовой синхронизации системы, т.е. для того, чтобы аттрактор и репеллер не пересекались и число вращения обращалось в нуль.

3.3 Сценарий столкновение аттрактора и репеллера 3.3.1 Бифуркации периодических орбит

При исследовании трансформаций хаотических множеств общий подход состоит в отслеживании бифуркаций седловых периодических орбит, принадлежащих этим множествам. Для описания столкновения аттрактора и репеллера в системе (46) суть этого подхода заключается в исследовании бифуркаций отображения Мёбиуса (46c), управляемого периодическими орбитами хаотической подсистемы Аносова (46a)-(46b).

Эти бифуркации довольно просты, потому что отображение Мёбиуса обладает особым свойством, отличающим его от отображений окружности общего вида. Любая итерация отображения Мёбиуса снова является отображением Мёбиуса (хотя и с другими параметрами, см. раздел 2.1.2). Таким образом, для любой орбиты периода m в управляющей подсистеме (46a)-(46b) отображение xn ^ xn+m является отображением Мёбиуса. Поскольку это отображение является автономным, оно:

• или (i) имеет пару из устойчивой и неустойчивой неподвижных точек (внутри области существования аттрактора и репеллера, где число вращения зануляется (см. рис 20);

• или (ii) гладким преобразованием x ^ y может быть преобразовано в поворот окружности yn+m = yn + mp, где р - число вращения согласно формуле (47) (см. подробности в разделе 2.1.2). Это число монотонно зависит от параметров, что исключает существование окон периодичности (языков Арнольда) более высоких порядков.

Эта особенность отображения Мёбиуса означает, что для любой движущей периодической орбиты (tn,sn) в уравнении 46c существует только одна возможная касательная (седло-узловая) бифуркация, разделяющая режимы (i) и (ii). На рисунке 21 показаны бифуркационные кривые, соответствующие касательным бифуркациям периодических орбит с периодом < 7 на плоскости параметров (с, а) при фиксированных е = 0.4 и р = 0.1.

Из рис. 21 видно, что для каждого значения параметра а существует диапазон положительных значений параметра с, 0 < ci(a,p,e) < с < с2(а,р,е), на котором происходят касательные бифуркации периодических точек всех возможных периодов. (Соответствующий интервал отрицательных значений с, с3(а,р,е) < с < с4(а,р,е) < 0). Таким образом, система (46) демонстрирует три динамических режима в зависимости от величины параметра с:

1. Диапазон малых |с|. Отдельные аттрактор и репеллер существуют при с4(а, р, е) < с < с1 (а, р, е). На этих множествах координата x на аттракторе (и на репеллере) является функцией, зависящей от (t, s). Ожидается, что эта функция будет относительно гладкой при больших е и негладкой (фрактальной) при малых е. Все остальные точки фазового пространства (за исключением множества меры нуль) принадлежат бассейну аттрактора (репеллера, для системы в обратном времени). Число вращения р здесь равно нулю.

2. Диапазон больших |с|. Аттрактор и репеллер пересекаются и не имеют изолированных периодических орбит для с > с2(а,е,р) и с < с3(а,е,р). Таким образом, для

parameter a

Рис. 21: Кривые касательных (седло-узловых) бифуркаций отображения (46) для всех периодических орбит отображения Аносова с периодами < 7 (кривые для периодических орбит одного и того же периода имеют одинаковый цвет, см. легенду в левом нижнем углу), на плоскости параметров (с,е) при е = 0.4 и р = 0.1. «Огибающие» этих кривых определяют границу между режимами 1 и 3 (малые значения с) и между режимами 2 и 3 (большие значения с).

этого диапазона параметров не существует гиперболических множеств. Эволюция переменной x для каждой периодической орбиты отображения Аносова описывается суперпозицией отображений Мёбиуса, в результате чего получается отображение Мёбиуса, гладко сопряженное сдвигу окружности. Это означает, что полная система (46) не имеет изолированных периодических орбит. Число вращения р здесь отлично от нуля. Отметим следующее важное замечание, касающееся расчета нетривиального показателя Ляпунова А в этой области. Согласно расчетам, представленным на рис. 18b,c, здесь показатель Ляпунова меньше нуля, хоть и мал по абсолютной величине. С другой стороны, показатель Ляпунова, вычисленный на любой периодической орбите отображения Аносова, обращается в нуль (поскольку отображение Мёбиуса сопряжено с поворотом окружности). Кроме того, хорошо известно, что периодические орбиты в отображении Аносова плотны. Таким образом, мы делаем вывод, что показатель Ляпунова типичной хаотической траектории в отображении (46) нельзя вывести из усреднения по значениям, соответствующим периодическим орбитам. Причина такой парадоксальной ситуации состоит в том, что показатель Ляпунова в направлении x не является «наблюдаемым» вдоль траектории отображения Аносова, он требует дополнительного усреднения по динамике x (а это усреднение не обеспечивается при «перескакивании» хаотической траектории из окрестности одной периодической орбиты к другой).

3. Диапазон средних |с| соответствует переходной области. В этих переходных областях ci < с < с2 и с3 < с < с4 некоторые пары седловых периодических орбит уже исчезли в результате касательной бифуркации, а некоторые все еще существуют. Ат-

Рис. 22: Схематическая иллюстрация столкновения аттрактора и репеллера. (а) Разделенные хаотический аттрактор и хаотический репеллер при с4(а, е) < с < С1(а, е). А1, А2 и К1, К2 - седловые неподвижные точки и седловые точки периода 2, принадлежащие аттрактору и репеллеру, соответственно (мы показываем здесь каждую вторую итерацию отображения, таким образом, и неподвижная точка и точка периода 2 исходной системы выглядят как неподвижные точки). (Ь) На кривых с = с1(а,^,е) и с = с4(а,^,е) одна из пар периодических орбит, например, А1 и Д1, сливается в результате касательной бифуркации (эта ситуация изображена на рис (б)), а за ней исчезает. После первой такой бифуркации аттрактор и репеллер перестают быть разделенными.

трактор и репеллер пересекаются, но их меры сосредоточены в разных областях (см. рис. 17Ь). В разделе 3.4 мы строим гетероразмерный цикл в области с1 < с < с2, т.е. гетероклинический цикл, соединяющий седловые периодические орбиты, унаследованные от прежнего аттрактора и репеллера. У этих периодических орбит разные размерности устойчивых и неустойчивых многообразий: те, что принадлежали аттрактору, имеют два устойчивых направления (одно из них по переменной х) и одно неустойчивое, а те, что принадлежали репеллеру, имеют два неустойчивых направления (одно из них по переменной х) и одно устойчивое. Таким образом, динамика в этой области является гетероразмерной.

3.3.2 Первая касательная бифуркация

Цель этого раздела - показать, как аттрактор и репеллер сталкиваются при первой касательной бифуркации, и что происходит с гетероклиническими связями. В режиме 1 каждой точке Р^ периода т подсистемы Аносова (46а)-(46Ь) соответствует пара орбит А^ и Ягт того же периода т в системе (46): А^ принадлежит аттрактору, а Ягт принадлежит репеллеру. На кривых с = с1(а,^,е) и с = с4(а,^,е) одна из пар таких периодических орбит сливается в результате касательной бифуркации. Мы иллюстрируем эту ситуацию на рис. 22.

Для простоты рассмотрим случай, когда первая касательная бифуркация происходит с парой неподвижных точек А1 и Д1. Такая бифуркация происходит первой, когда параметр с увеличивается, а параметр а колеблется около значения а = п/2, см. рис. 21. Ниже кривой с = с1(а,^,е) все периодические орбиты А^ аттрактора переплетаются в один

го о

го 2

О

-4

log(c-ci)

Рис. 23: Зависимость числа вращения р от параметра c близкого к критическому значению c1 = arcsin(e)/n — ^ sin а. Другие параметры: е = 0.4, а = 1.5, ^ = 0.1. Для расчета числа вращения рассматривалась траектория длиной 5 • 109. Пунктирная прямая имеет наклон —0.58, что незначительно отличается от теоретически предсказанного значения —0.5.

гомоклинический клубок, образованный устойчивыми Ws(Am) и неустойчивыми Wи(Агт) инвариантными многообразиями (то же самое для репеллера). Это означает, что между всеми периодическими орбитами аттрактора (то же самое и для репеллера) существуют гетероклинические соединения. Схематично это изображено на рис. 22a, где показано, как точки Л1 и Л2 (а также R1 и R2) связаны гетероклиническим циклом. Точки Л1 и R1 сливаются через касательную бифуркацию (это бифуркация коразмерности 1 неподвижной точки типа седло-седло, обладающей гомоклинической орбитой [73]) на кривой c = Ci(a, е), см. рис. 22b и исчезают выше нее. В области 3, после описанной первой касательной бифуркации, существуют траектории, идущие от бывшего аттрактора к бывшему репеллеру. Мы подробнее рассмотрим это в разделе 3.4.

3.3.3 Перемежаемость

Переход от режима 1 к режиму 3 сопровождается столкновением аттрактора и репеллера. При этом, на начальном этапе этого перехода (т.е. там, где режим 3 только появился), число вращения р растет очень медленно [33, 74, 21], а именно как log(p) ~ — Д-1/2, где Д -отклонение параметра c от его критического значения (в ситуации выше Д = c — c1). Этот статистический закон проиллюстрирован на рисунке 23, где показана зависимость числа вращения в двойном логарифмическом масштабе. Причина столь медленного роста числа вращения заключается в поперечной неустойчивости узкого тунеля, через который траектории могут покинуть бывший аттрактор и попасть в окрестность репеллера после первой касательной бифуркацией, возникающей при c1 . Действительно, для отображения окружности сразу после касательной бифуркации характерное время т для выполнения полного поворота масштабируется как т ~ Д-1/2. Таким образом, в полной системе такое вращение можно наблюдать только в том случае, когда хаотическая траектория по крайней мере это время находится в малой окрестности (скажем, размером 5) седловой периодической орбиты (отвечающей за касательную бифуркацию) в управляющей системе (46a)-(46b). Поскольку эта периодическая орбита представляет собой седло с неустойчивым показа-

телем Ляпунова \и, начальная точка должна находиться в окрестности размера 5в-Х"т периодической орбиты, чтобы оставаться в этой окрестности в течение времени т. Вероятность этого равна ~ 5в-хит, поэтому требуется Т ~ 5-1вхит итераций исходной системы для выполнения одного вращения. Это дает оценку числа вращения р ~ Т-1 ~ 6в-хиА 1/2, из которой следует выражение для числа вращения вблизи касательной бифуркации (см. также [75] для аналогичного выражения для отображения окружности под воздействием шума). Хотя траектория, соединяющая аттрактор и репеллер, маловероятна вблизи точки перехода с1 в обычном численном эксперименте по построению аттрактора простыми итерациями некоторой начальной точки, такая траектория может быть построена явно, как будет показано в разделе 3.4.

3.4 Гетероразмерные циклы

В этом разделе мы более подробно рассматриваем промежуточную ситуацию (режим 3). Здесь аттрактор и репеллер пересекаются (это означает, что по крайней мере одна пара периодических орбит уже исчезла через касательную бифуркацию), и у этого топологического объекта остается еще много седловых периодических орбит как от бывшего аттрактора, так и от бывшего репеллера. Назовем их для краткости А-орбитами и Я-орбитами, соответственно. Эти седловые орбиты имеют разные размерности устойчивых и неустойчивых многообразий: А-орбиты имеют двумерное устойчивое и одномерное неустойчивое многообразия (одно устойчивое и одно неустойчивое направления из отображения Аносова (46а)-(46а) и один устойчивый собственный вектор в направлении х), И,-орбиты имеют одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия (здесь собственный вектор в направлении х неустойчивый). Эту ситуацию иногда называют изменчивостью неустойчивой размерности [76, 77, 78], она обсуждалась в математической литературе [23, 25, 79, 80, 29, 81, 30, 31] и в приложениях [82, 83, 84].

Характерной особенностью этого режима является существование гетероразмерных циклов [22, 27, 28], состоящих из пар гетероклинических траекторий, соединяющих А-орбиты с И,-орбитами: одна из этих траекторий лежит в трансверсальном пересечении двумерных многообразий А-орбиты и И,-орбиты, а другая проходит через нетрансверсаль-ное (коразмерности 1) пересечение одномерных многообразий этих орбит. Основная цель этого раздела - численное подтверждение существования таких циклов в промежуточном режиме 3. Для простоты ограничимся простейшим случаем, когда А- и И,-орбиты имеют период два, а пара неподвижных точек А1 и Д1, принадлежавших аттрактору и репеллеру, соответственно, уже исчезли в результате касательной бифуркации (см. рис. 22).

В этом случае удобнее рассматривать вторую итерацию отображения. Тогда точки периода два А2 и Я2 в отображении (46) становятся неподвижными точками. Обозначим соответствующую неподвижную точку дважды примененного отображения Аносова (46а)-(46Ь) через Р2, неподвижную точку отображения Аносова через Р1. Цикл, который мы построим, начинается с А2. Затем значения (¿, в) становятся близкими к неподвижной точке Р1 и на этих итерациях значения х перемещаются от бывшего аттрактора к бывшему репеллеру через узкий туннель (область Т на рис. 24а), расположенный в том месте, где существовали неподвижные точки А1 и Я1 до касательной бифуркации. После этого траектория приближается асимптотически близко к Д2. Эта траектория отмечена

Рис. 24: (а) Иллюстрация к построению гетероразмерного цикла, соединяющего точки А2 и К2. Кроме точек А2 и К2, этот цикл также состоит из двух орбит (отмечены черными квадратными точками). Одна (тривиальная) орбита принадлежит трансверсальному пересечению двумерных многообразий Ш5(А2) и Ши(Я2), вдоль этой орбиты меняется только переменная х (поэтому она выглядит как вертикальная линия на рисунке). Другая (нетривиальная) орбита проходит через нетрансверсальное (коразмерности 1) пересечение одномерных многообразий Ши(А2) и Ш5(Я2) внутри узкого туннеля Т. Точки Р1 и Р2 это неподвижная точка и точка периода 2 в отображении Аносова (46а)-(46Ь); гетерокли-нические точки Н1 и Н2 принадлежат пересечению Ши(Р2) П Ш3(Р\) и Ш5(Р2) П Ши(Р1), соответственно. (Ь) Гетероклинический цикл, соединяющий точки Р1 и Р2 в отображении Аносова (46а)-(46Ь). Эта конструкция используется для нахождения гомоклинической орбиты к точке Р2 в этом отображении. Затем эта гомоклиническая орбита используется в качестве управляющей траектории для численного построения гетероразмерного цикла в отображении (46).

на рис. 24а.

Для численного построения описанного выше цикла мы выбрали следующие значения параметров: ^ = 0.08, е = 0.4, а = 1.5. Действительно, в этом случае отображение Мёбиуса (46с) в точке Р1 сопряжено повороту (т.е. параметры выбраны чуть выше кривой касательной бифуркации для неподвижных точек А1 и Д1), но точки А2 и Д2 все еще существуют. На рис. 21 такая ситуация имеет место вблизи а ~ п/2 над синей кривой соответствующей касательной бифуркации неподвижных точек А1 и Д1, но ниже других кривых, соответствующих касательным бифуркациям периодических точек старших периодов (принятое значение параметра а = 1. 5 отмечено голубой пунктирной линией на рис. 21).

Алгоритм численного построения гетероразмерного цикла состоит из двух этапов. Сначала мы вычисляем управляющую траекторию в отображении Аносова (46а)-(46Ь) как гомоклиническую траекторию для точки Р2, которая очень близко подходит к неподвижной точке Р1. На следующем этапе мы используем эту траекторию в качестве управляющей в отображении Мёбиуса (46с) для построения полного гетероклинического цикла, соединяющего точки А2 и Д2 (более подробно см. в разделе 4.3).

Отметим, что с помощью такой процедуры можно построить множество различных гетероразмерных циклов (так как существует (бесконечно) много различных гомоклини-ческих орбит к точке Р2, проходящих вблизи точки Р1 в отображении Аносова). Однако в этом нет необходимости, так как согласно теории, развитой в работе [28], существование одного гетероразмерного цикла влечет существование множества таких циклов в окрестности рассматриваемых значений параметров. Наши расчеты, таким образом, подтверждают, что при столкновении аттрактора и репеллера в отображении (46), возникает гетероразмерная динамика. Примечательно, что такой режим исчезает, когда через касательную бифуркацию исчезает «последняя» пара периодических орбит (т.е. система переходит в режим 2 по классификации, представленной в разделе 3.3.1). Такова специфика отображения Мёбиуса, которое может иметь только пару неподвижных точек, но не может иметь изолированных периодических орбит высоких периодов.

3.5 Конечновременные показатели Ляпунова

Одним из следствий возникновения гетероразмерной динамики является большой разброс конечновременных показателей Ляпунова. В самом деле, рассмотрим ситуацию, когда аттрактор и репеллер пересекаются и имеют периодические орбиты с разной устойчивостью в направлении х. Тогда траектория, проходящая в окрестности этих периодических орбит, будет иметь положительные и отрицательные конечновременные показатели Ляпунова в зависимости от того, близка ли эта траектория к неустойчивым или к устойчивым в направлении х периодическим орбитам, соответственно. Это означает, что разброс конечновременных показателей Ляпунова велик, и среди их значений встречаются положительные, хотя средний показатель Ляпунова А отрицателен.

Чтобы проверить это свойство гетероразмерной динамики в нашей системе, мы вычислили показатель Ляпунова А^ = -1 !°§ для N = 100. Согласно общему масштабированию показателей Ляпунова за конечное время [85], вероятность иметь положительные значения пропорциональна: Р(А^ > 0) ~ ехр[—N7] с некоторым положитель-

c=0.30 —В c=0.25 —■

c=0.20 -е-c=0.17 —

60

70

80

N

90

100

Рис. 25: Иллюстрация скейлинга P(An > 0) ~ exp[-N7] для нескольких значений параметра с при е = 0.4, p = 0.1, а = 1.5. На вставке показан показатель степени y как функция параметра с. Для малых значений с, когда аттрактор и репеллер разделены, этот показатель не определен, поскольку все конечномерные показатели Ляпунова отрицательны для достаточно больших N.

ным показателем 7. Мы иллюстрируем это масштабирование на рис. 25 для нескольких значений параметра с. Кроме того, на вставке показана зависимость показателя степени Y от параметра с. Можно видеть, что вблизи столкновения аттрактора и репеллера этот показатель велик, что соответствует очень малой вероятности посетить область бывшего репеллера. Этот показатель мал в области, где инвариантные меры аттрактора и репеллера почти совпадают (значения |с| близки к 0.5).

Основная часть результатов диссертационного исследования получена с помощью применения численных методов. Для проведения необходимых численных экспериментов диссертантом был разработан программный комплекс. Функциональность комплекса позволяет:

• вычислять расстояние Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна между аттрактором и репеллером;

• вычислять относительные размерности Реньи и взаимные сингулярности аттрактора и репеллера;

• строить гетероразмерные циклы для трехмерных систем, демонстрирующих пересечение аттрактора и репеллера.

Большая часть численных методов и экспериментов была подробно описана в разделах 2 и 3. В данной главе мы подробнее опишем некоторые нюансы работы численных методов.

4 Программный комплекс

4.1 О численной реализации расчета расстояния Канторовича-Ру-бинштейна-Вассерштейна

Здесь мы кратко обсудим некоторые нюансы численной реализации расчета расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна. Для проведения численных экспериментов мы использовали два свободно доступных пакета программ:

• пакет «PyEMD: Earth mover's distance for Python» [86], работающий на основе алгоритма, описанного в работе Дженсена [87];

• пакет «CLP: COIN linear program code» [88], реализующий прямые методы решения симплексной задачи.

Соответствующие программные коды были интегрированы в структуру программного комплекса диссертанта. Оба они дали одинаковые результаты при расчете расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна между аттракторами и репеллерами отображений (20), (21) и (22), а также потока (23).

Важно отметить, что в общем случае трудоемкость решения транспортной задачи не является полиномиальной. Однако, во всех наших исследованиях мы наблюдали полиномиальную зависимость времени вычисления от размерности задачи N. Соответствующая зависимость изображена на рисунке 26, откуда мы выявили, степенной закон ~ N6 для оценки трудоемкости решения задачи.

grid size N

Рис. 26: Зависимость времени счета от размера сетки N, для расчета расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна с помощью кода [86] (на основе алгоритма, описанного в работе Дженсена [87], красные кружки) и с помощью кода [88] (на основе прямого метода решения симплексной задачи, синие квадраты). Прямая линия показывает степенной закон ~ N6.

4.2 Вычисление относительных размерностей Реньи и взаимных сингулярностей

Подробное описание всех необходимых формул для расчета относительных размерностей Реньи и взаимных сингулярностей приведено в разделе 2.3. В рамках программного комплекса диссертантом разработаны численные методы, реализующие алгоритм вычислений относительных размерностей и взаимных сингулярностей по аналитическим формулам и численным схемам, описанным в разделах 2.3.1 и 2.3.2.

4.3 Метод построения гетероразмерного цикла

Здесь мы дадим более подробное описание метода численного построения гетероразмерного цикла. Как уже было отмечено ранее, соответствующий алгоритм состоит из двух этапов. Сначала мы вычисляем управляющую траекторию в отображении Аносова (46а)-(46Ь) как гомоклиническую траекторию для точки Р2, которая очень близко подходит к неподвижной точке Р\, см. рис. 27. На следующем этапе мы используем эту траекторию в качестве управляющей в отображении Мёбиуса (46с) для построения полного гетерокли-нического цикла, соединяющего точки А2 и К2.

Апобоу

0.3 0.6 0.4

5П

0.2 0.0

-0.2

Рис. 27: Схематическая иллюстрация алгоритма построения гетероразмерного цикла

• Сначала на плоскости (¿, в) находим точки пересечения к\ и к2 неустойчивого многообразия Ши(Р2) с устойчивым многообразием Ш8(Рг), и неустойчивого многообразия Ши(Р\) с устойчивым многообразием Ш5(Р2) соответственно, см. рис. 24Ь. Это простая задача, потому что все многообразия являются прямыми линиями. Таким образом, мы строим два гетероклинических соединения Р2 ^ Р\ и Р\ ^ Р2.

• Затем находим гомоклиническую траекторию отображения Аносова (46а)-(46Ь) Р2 ^ Р2, проходящую вблизи построенных гетероклинических циклов. Для этого на неустойчивом многообразии Ши(Р2) возьмем небольшой отрезок [к\ — А, к\], где точка к\ — А лежит между точками Р2 и к\. Мы итерируем этот отрезок вперед по времени (например, применяем К итераций), пока итерация точки к\ не подойдет достаточно

близко к точке Р1. Аналогично на устойчивом многообразии Ш5(Р2) возьмем небольшой отрезок [Л,2 — А, Л,2], где точка Л,2 — А лежит между точками Р2 и Л,2. Мы итерируем его назад по времени (снова К раз), пока итерация Л,2 не приблизится к точке Ръ Это гарантирует, что соответствующие образы отрезков [Л^ — А, Л4] и [Л,2 — А, Л,2] пересекаются в некоторой точке рк, которая настолько близка к точке Р1 насколько мы хотим (увеличивая К, мы можем сделать точку Р^ сколь угодно близкой к Р1).

• Итерации точки рк в отображении Аносова (46а)-(46Ь) дают гомоклиническую орбиту к точке Р2, которая очень близко подходит к неподвижной точке Р1 и, таким образом, проводит большое время в окрестности этой точки. Далее мы будем использовать ее в качестве управляющей силы для отображения Мёбиуса (46с).

• На следующем шаге мы находим точку (¿а,За,Ха) на неустойчивом многообразии Ши(А2) очень близко к точке А2. Для этого возьмем точку (¿а,^а), которая очень близка к точке Р2 и в то же время принадлежит траектории рк. Затем выбираем несколько значений х^, близких к х-координате точки А2, и итерируем точки

назад во времени. Значения (¿, в) сходятся к точке Р2, а значения х либо растут, либо убывают, за исключением тех, которые принадлежат Ши(А2). Взяв больше значений х между соседними точками, которые при этих обратных итерациях проходят по разным ветвям (вверх и вниз) вдоль устойчивого многообразия Ш5(А2) в направлении х, можно найти точку (¿а, в а, Ха) на неустойчивом многообразии Ш и(А2) с заданной точностью. Таким же образом мы находим точку (хд, ¿я, в я), лежащую на одномерном устойчивом многообразии точки Р2.

• Наконец, мы итерируем точки (¿а,За,Ха) и (хд,) соответственно вперед и назад во времени, пока их (¿, в)-координаты не достигнут точки Р^. Вообще говоря, в этой точке результирующие координаты Ха и Хд не совпадают. Однако, варьируя один из параметров в отображении (46) (мы варьировали параметр с), можно найти значение, при котором Ха = Хв. На этом построение гетероклинической связи между одномерными многообразиями Ши(А2) и Ш5(Р2) искомого гетероразмерного цикла завершается. Построенное гетероклиническое соединение изображено на рис. 28.

• Заметим, что всегда существует пересечение двумерных многообразий Ши(Р2) и Ш5(А2), обеспечивающее вторую гетероклиническую связь между точками Р2 и А2. Таким образом, описанная процедура дает численное подтверждение существования гетероразмерного цикла.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

Рис. 28: Иллюстрация к построению гетероразмерного цикла. Параметры: е = 0.4, а = 1.5, р = 0.08, с = 0.07112495671202002. Видно, что по переменным Ь и в (красный и зеленый маркеры) эта траектория является гомоклинической траекторией к точке периода два Р2 (при п < 5 и п > 20), проходящей вблизи неподвижной точки Р\ : (Ь, в) = (0,0) (при 10 ^ п < 15). Во время нахождения траектории (Ь, в) вблизи неподвижной точки Р\ переменная х (синие маркеры) изменяется от х ~ 0.2 (положение аттрактора) до х ~ 0.4 (положение репеллера).

5 Заключение

В первой части главы 1 приведен ряд модельных систем, заданных на торе и демонстрирующих пересечение хаотического аттрактора и хаотического репеллера. Для каждой модели различимость этих двух множеств охарактеризована с помощью вычисления расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна. Во всех случаях установлено, что расстояние растет линейно с увеличением параметра диссипации, с помощью которого системы возмущены от идеального случая, когда аттрактор в точности совпадает с репеллером. Во всех рассмотренных примерах аттрактор и репеллер являются фрактальными множествами. Однако фрактальные свойства трудно вывести из расчета расстояния Канторовича-Рубинштейна-Вассерштейна, так как эта концепция одинаково работает как для гладких, так и для фрактальных мер.

Исследованию фрактальных свойств пересекающихся аттрактора и репеллера посвящена вторая часть главы 1, в которой проведены исследования относительных размерностей Реньи и спектров взаимной сингулярности двух этих множеств, в случае, когда они имеют общий носитель. Полученные результаты показывают, что диапазон относительных размерностей и взаимных сингулярностей растет с ростом параметра диссипации, как и ожидалось. Также показано, что наиболее удобной характеристикой различимости между аттрактором и репеллером, наилучшим образом отражающей фрактальные свойства этих двух множеств, является размерность Кульбака-Лейблера. Установлено, что эта размерность обращается в ноль, если аттрактор и репеллер совпадают, и растет квадратично с параметром диссипации. Дополнительно показано, что для всех рассмотренных примеров относительные размерности и взаимные сингулярности пересекающихся аттрактора и репеллера достаточно точно могут быть выведены из фрактальных свойств аттрактора и репеллера по отдельности. Несмотря на то, что такое представление теоретически обосновано лишь для ортогональных фрактальных мер, наши расчеты показывают, что такой

....... ■ Б * Л т ш