Хаотическая синхронизация в системах цифровых осцилляторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шиманский, Владислав Эдуардович

• Шиманский, Владислав Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шиманский, Владислав Эдуардович

Введение

1. Хаотическая синхронизация цифровых динамических систем

1.1. Общая постановка задачи

1.1.1. Вводные понятия и определения.

1.1.1.1. Спектр фрактальных размерностей странного аттрактора

1.1.1.2. Корреляционный интеграл и корреляционная размерность

1.1.1.3. Практический расчет на ЭВМ корреляционного интеграла

1.1.1.4. Ляпуновские показатели и ляпуновская размерность.

1.1.1.5. Практический расчет на ЭВМ ляпуновской размерности

1.1.2. Происхождение изучаемых моделей.

1.2. Системы с разрывной периодической нелинейностью.

1.2.1. Динамические свойства уединенных систем II и III порядков.

1.2.1.1. Краткий обзор сведений о системах с разрывной нелинейностью II порядка.

1.2.1.2. Асимптотическая устойчивость нулевого состояния равновесия в системе III порядка.

1.2.1.3. Размерностные характеристики странных аттракторов

1.2.2. Устойчивость по вероятности хаотической синхронизации в системе цифровых осцилляторов

1.2.2.1. Постановка задачи.

1.2.2.2. Слабая устойчивость (по Милнору) синхронного хаотического режима.

1.2.2.3. Устойчивость антисинхронного решения

1.2.2.4. Синхронизация осцилляторов с обобщенной связью. Матрица связи.

1.2.2.5. Устойчивость хаотической синхронизации в системе осцилляторов третьего порядка.

1.2.3. Характер и длительность переходных процессов.

1.2.3.1. Переходной процесс на пути к синхронизации

1.2.3.2. Управление длительностью переходного процесса.

1.2.4. Прикладные аспекты применения систем с разрывной нелинейностью

1.3. Системы с нелинейностью треугольного типа.

1.3.1. Динамические свойства парциальных систем II и III порядков

1.3.1.1. Вывод модели осциллятора

1.3.1.2. Устойчивые неподвижные точки и циклы малых периодов

1.3.1.3. Неупорядоченные устойчивые режимы.

1.3.1.4. Асимптотическая устойчивость состояния равновесия в системе III порядка.

1.3.2. Устойчивость хаотической синхронизации в системе двух осцилляторов

1.3.2.1. Постановка задачи.

1.3.2.2. Ляпуновские показатели системы связанных осцилляторов

1.3.2.3. Критерии устойчивости хаотической синхронизации

1.3.3. Переходные процессы

1.3.4. Сферы практического использования систем с треугольной нелинейностью

2. Применение хаотической синхронизации в задачах передачи информации

2.1. Хаотическая синхронизация как основа систем связи. Введение.

2.2. Система связи с хаотической несущей на цифровом сигнальном процессоре АБЗР-2181 с компенсацией амплитудно-фазовых искажений.

2.2.1. Математическая модель асимметричной системы.

2.2.2. Искажения сигнала при передаче в канале и их компенсация.

2.2.3. Корректор амплитудно-фазовых искажений.

2.2.4. Реализация системы на цифровом сигнальном процессоре.

2.3. Детектирование хаотических сигналов методом согласованной фильтрации

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Согласованная фильтрация хаотического сигнала.

2.3.3. Идеализированная модель системы.

2.3.4. Результаты численных экспериментов.

2.4. Кластерная коррелированность хаотических сигналов и чувствительность к случайным возмущениям.

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Разбиение пространства параметров.

2.4.3. Алгоритм поиска кластеров.

2.4.4. Численное моделирование системы связи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическая синхронизация в системах цифровых осцилляторов»

Теория нелинейных динамических систем - одна из наиболее интенсивно развивающихся областей современной науки. Она объединяет целый ряд научных направлений в математике, физике, химии, биологии, социологии и ряде других наук, объекты исследования которых имеют существенно нелинейную природу и описываются нелинейными математическими моделями. Одна из замечательных особенностей нелинейных систем

- существование устойчивых хаотических мод, для которых горизонт предсказания их поведения ограничен во времени. Сколь угодно малые изменения начальных условий системы приводят за конечное время к значительным изменениям в ее динамике.

Родоначальником математических основ теории нелинейных динамических систем со сложным поведением, без сомнения, является выдающийся французский математик А. Пуанкаре (1854-1912), который первым обнаружил возможность хаотического движения в гамильтоновых системах. Несмотря на то, что хаотические колебания наблюдались в экспериментах и до Пуанкаре, им приписывалась ложная природа: считалось, что хаотические явления обусловлены внешними случайными возмущениями, которые не входят в замкнутую математическую модель изучаемой системы. Хаотические колебания воспринимались большинством ученых как курьез и после появления работ Пуанкаре до тех пор, пока в 1961 году Э. Лоренц из Массачусетского технологического института, занимавшийся изучением математических моделей конвекционных токов в атмосфере, не произвел свое знаменитое численное исследование составленной им системы дифференциальных уравнений третьего порядка [1]. Лоренц показал существование хаотической динамики в автономной системе уравнений (без влияния внешних возмущающих факторов), для которой характерна существенная зависимость от начальных условий. Начиная с этого момента, в научном сообществе возник нарастающий интерес к новому явлению и появилось большое количество работ, носящих как теоретический, так и прикладной характер (см. коллекции ссылок в книгах [2]-[10]). Особую популярность приобрело изучение различных сценариев перехода к хаосу из регулярных состояний при изменении параметров и начальных условий.

Эффекты, связанные с явлением динамического хаоса, обнаружены во многих физико-химических, биологических и других природных процессах, которые практически всегда нелинейны. В химии, например, это системы типа реакция-диффузия [11]. В биологии

- модели размножения популяций и модели нейронных сетей, в социологии - поведение моделей общества. Наиболее интенсивно исследуются физические нелинейные процессы: гамильтоновы системы, диссипативные непрерывные и дискретные системы, турбулентность, неравновесные процессы, самоорганизация и возникновение структур и т.д. [7, 8, И].

К понятию динамического хаоса тесно примыкают такие математические теории, как фрактальная геометрия, теория размерностей и эргодическая теория. Фрактальная геометрия вводит в употребление множества, которые характеризуются нецелой размерностью1 и масштабной инвариантностью (скейлингом). Наиболее известный пример таких множеств - канторова пыль [2, 5, б]. Траектории хаотической динамической системы в фазовом пространстве притягиваются к предельному множеству, которое называется странным аттрактором. Это множество, как правило, обладает такими свойствами как нецелая размерность и обобщенный скейлинг, которые роднят его с классическими фрактальными множествами. В связи с этим одной из основных характеристик хаотических аттракторов является их фрактальная размерность. Эргодическая теория [12, 13] изучает поведение динамических систем с помощью анализа эволюции инвариантной естественной меры. Один из основных инструментов такого анализа - уравнение Перрона-Фробениуса, которое представляет собой отображение инвариантной меры в функциональном пространстве на себя. Устойчивые стационарные точки этого уравнения соответствуют аттракторам динамической системы. Для хаотических аттракторов оператор Перрона-Фробениуса обладает перемешивающим свойством, которое обуславливает экспоненциальное разбегание первоначально близких траекторий системы.

Значительное развитие нелинейная теория и ее приложения получили благодаря исследованиям в области радиофизики и электроники, которые включают также теорию связи [14]. Одно из основных устройств радиотехники - генератор2, формирующий на своем выходе автоколебательный процесс. Без использования генераторов практически не обходится любая радиоаппаратура, в том числе телекоммуникационные системы. Особенностью любого генератора является наличие в его структуре нелинейного элемента, который обуславливает нелинейность математической модели устройства. В качестве такой модели могут выступать системы дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных уравнений или дифференциальных уравнений с запаздыванием. Традиционно генераторы создаются для формирования регулярных, а часто - гармонических, мод, однако, практически всегда существуют такие комбинации значений параметров, которые приводят к возникновению более сложных и даже хаотических мод. Такие режимы в классических приложениях считаются паразитными и разработчики соответствующих систем пытаются не допускать их возникновения. Уже один этот факт говорит о необходимости изучения сложных режимов, сценариев перехода к ним, определения областей параметров, в которых нужные регулярные режимы теряют устойчивость и т.д.

Однако, представление о хаотических режимах как о бесполезных и далее вредных, очевидно, очень ограничено. Начиная примерно с первой половины 80-х годов XX века стали появляться работы, в которых хаотические колебания в радиотехнических системах исследуются и рассматриваются как потенциально полезные явления (см. напр. [15, 16]). В настоящее время спектр возможных применений хаотических систем достаточно широк: генераторы псевдослучайных сигналов с управляемыми статистическими и спектральными параметрами [17]-[20], системы кодирования и закрытой передачи информации [14, 21], [25]~[28], [30]-[34], системы ассоциативной памяти, использующие нелинейные отображения [22] и др.

Использование хаотических колебаний в качестве несущих при передаче информации

1 Размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

2 Альтернативное название - осциллятор, которое мы будем использовать для обозначения цифровых колебательных систем. тесно связано с явлением хаотической синхронизации. Именно синхронизация позволяет приемной и передающей стороне осуществлять передачу информационных сигналов. Под синхронизацией понимается взаимная согласованность колебаний систем связанных генераторов, т.е. асимптотическое стремление к одинаковому поведению с течением времени. Теоретические основы синхронизации непрерывных динамических систем с регулярным поведением были заложены в 30-х годах XX века в классических работах Б. Ван дер Поля, A.A. Андронова, A.A. Витта [38] и других. Было показано, что два (или более) генератора3 гармонических колебаний, соединенные друг с другом линиями связи, с течением времени переходят в когерентный режим, когда частоты и фазы колебаний генераторов либо совпадают, либо находятся в достаточно простых отношениях. При однонаправленной связи, когда один генератор воздействует на другой, синхронизация проявляется в «навязывании» ведущим генератором формы колебаний ведомому. В случае двунаправленной связи синхронное состояние может несколько отличаться от первоначального состояния уединенных (парциальных) систем.

В середине 80-х годов показана возможность полной и частичной синхронизации непрерывных хаотических систем [39, 40]. Было продемонстрировано, что связанная система из двух генераторов Чуа [15, 41] или две системы Лоренца могут иметь устойчивые хаотические синхронные моды. На первый взгляд этот результат кажется парадоксальным: не смотря на то, что траектории хаотических систем крайне чувствительны к заданию начальных условий, в общей системе, состоящей из двух или более связанных генераторов, хаотические траектории могут притягиваться к синхронному многообразию. Полная хаотическая синхронизация соответствует состоянию, в котором каждый элемент ансамбля связанных генераторов формирует колебания, со сколь угодной точностью4 повторяющее форму колебаний других элементов. Явление частичной синхронизации или квазисинхронизации имеет более сложный вид: любые два элемента ансамбля генераторов формируют колебания, разность между которыми не стремится к нулю, а представляет собой некоторый относительно малый сигнал с нулевым средним значением - сигнал ошибки. В последнем случае область, которой принадлежат траектории ансамбля, образует некоторую окрестность синхронного многообразия. Частичная синхронизация возникает обычно в одном из двух случаев: 1) когда параметры парциальных систем не совпадают в точности и 2) когда сигналы связи между отдельными генераторами «доставляются» с некоторыми искажениями. Первая ситуация характерна для непрерывных систем, при физической реализации которых практически невозможно обеспечить идентичность параметров. Второй случай возникает, когда отдельные системы удалены друг от друга, а сигналы связи транслируются через физический канал передачи, вносящий помехи различного рода [42]: добавление аддитивного шума, частотно-фазовые искажения, паразитные нелинейные преобразования, искажения, связанные с распространением (запаздывание, дисперсия сигнала и пр.). Каждое из упомянутых искажений по своему влияет на динамику связанных систем. Однако, если эти искажения достаточно малы, то все их можно рассматривать в едином ключе - в виде модели аддитивного помехово-го воздействия, в качестве которого выступает сигнал разности между колебаниями на входе канала передачи и его выходе.

В 1990 году был введен (Л. Пекора, Т. Кэррол [26, 27]) новый тип хаотической синхро

3Например, генераторы Ван дер Поля.

4В смысле асимптотики. низации - хаотический синхронный отклик, в котором имеются два типа систем - ведущая и ведомая. Ведущая система является автоколебательной, а ведомая по сути представляет собой нелинейный фильтр, согласованный с сигналом ведущей системы. Преимущество этого метода состоит в том, что устойчивая синхронизация приемной и передающей систем обеспечивается практически для всех значений параметров и начальных условий генераторов. В работе [45] метод синхронного хаотического отклика с использованием гладких отображений был применен для создания прототипа системы передачи сигналов звукового диапазона. В качестве аппаратной платформы прототипа использовались цифровые сигнальные процессоры, а также устройства ЦАП-АЦП для работы с аналоговыми сигналами. Нужно отметить, что одним из недостатков синхронного хаотического отклика является высокая чувствительность к искажениям в канале связи, которая существенно ограничивает его непосредственное использование для построения систем связи.

Помимо упомянутых, выделяют ещё один тип хаотической синхронизации - фазовую синхронизацию, которая возникает в ансамблях связанных систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) [43, 51]. Для этих систем характерна согласованность фазы (или частоты) хаотических колебаний, тогда как амплитуды формируемых сигналов могут быть некоррелированными. Системы ФАПЧ очень удобны с точки зрения практических приложений: они позволяют достаточно просто формировать модулированные колебания в радиодиапазоне.

В середине 90-х годов в работах Н. Рулькова, М. Сущика, J1. Цимринга и Г. Абарбане-ля [29] было введено понятие обобщенной синхронизации, в котором под синхронизацией двух (или более) систем понимается регулярная функциональная связь между их состояниями.

Явление хаотической синхронизации возникает как в системах дифференциальных уравнений, так и в системах связанных отображений и, в частности, в системах связанных нелинейных цифровых осцилляторов. Изучению динамики таких осцилляторов посвящены работы А. Дмитриева, С. Старкова, А. Панаса, М. Широкова [44, 45, 14, 21], М. Огор-залека [48], JI. Кокарева [49], В. Белыха [51]-[53], Ю. Майстренко [104, 105], В. Шварца [87]-[91], JI. Чуа [54, 55] и др. В частности, в работах [48, 49] исследованы динамические режимы цифровых осцилляторов второго и третьего порядков с различными типами кусочно-линейных нелинейностей. Получены разбиения пространства параметров на зоны существования и асимптотической устойчивости циклов различных порядков, квазипериодических движений и хаотических режимов.

В работах В.Н. Белых и др. приведены важные аналитические результаты, касающиеся структуры аттракторов отображения с пилообразной периодической нелинейностью. Такие отображения используются в качестве моделей систем фазовой автоподстройки частоты. В частности было показано, что хаотические аттракторы отображения с целыми параметрами являются точными.

Работы группы Ю.Л. Майстренко посвящены анализу структуры бассейнов притяжения одного класса кусочно-линейных отображений и систем связанных отображений. Среди основных результатов следует отметить исследование особого типа бассейнов притяжения - так называемых иссеченных бассейнов (riddled basins), тесно связанных с понятием устойчивости по Милнору [103]. Хаотический аттрактор считается слабо устойчивым по Милнору, если его бассейн притяжения имеет положительную лебегову меру. Это приводит к тому, что бассейн притяжения аттрактора не обязательно должен содержать все его окрестности. Структура бассейна притяжения при этом может оказаться фрактальной. Динамика системы связанных осцилляторов определяется наборами ляпу-новских показателей, часть из которых (т.н. трансверсальные) описывают динамику системы на инвариантном синхронном многообразии. Показано, что если трансверсальные ляпуновские показатели системы связанных отображений отрицательны, то синхронный хаотический аттрактор является устойчивым, по меньшей мере, в слабом милноровском смысле. Если окрестности аттрактора содержат трансверсально отталкивающие орбиты, то бассейн притяжения такого аттрактора будет иссеченным. Поведение орбит системы, начальные условия которых принадлежат зонам отталкивания, может быть различно: в одном случае (локальная иссеченность) отталкивающие орбиты по прошествии некоторого времени возвращаются в окрестность аттрактора, в другом случае (глобальная иссеченность) орбиты притягиваются другим аттрактором.

Ряд работ специалистов ИПМ им. Келдыша Г.Г. Малинецкого и А.Б. Потапова [57, 58] посвящен изучению размерностных характеристик странных аттракторов хаотических систем. Нужно особо отметить разработанные ими методы и алгоритмы компьютерного вычисления корреляционной размерности, впервые введенной П. Грассбергером и И. Прокаччо [64, 65]. Корреляционная размерность - это эффективная с вычислительной точки зрения статистическая характеристика, которая служит оценкой размерности Хаусдорфа-Безиковича обобщенно-фрактальной структуры странных аттракторов. На основе результатов этих работ автором были созданы алгоритмы вычисления корреляционного показателя и ляпуновской размерности [66, 2], которые наряду с другими инструментами численного анализа цифровых осцилляторов вошли в ПО Estimator 2.

В работе [44], выполненной группой специалистов в области динамического хаоса под руководством А.С. Дмитриева (ИРЭ РАН), изучается устойчивость хаотической синхронизации ансамблей цифровых осцилляторов с непрерывными нелинейными характеристиками. Получен критерий локальной устойчивости хаотической синхронизации, основанный на знании ляпуновских показателей парциальных осцилляторов и элементов матрицы связи, определяющей способ взаимодействия осцилляторов.

На изучение отображений с кусочно-линейными нелинейностями направлены также исследования группы специалистов технического университета г. Дрезден под руководством В. Шварца. Работы посвящены применению динамического хаоса, порождаемого нелинейными отображениями, в задачах кодирования и декодирования информации, новым методам модуляции и демодуляции с использованием хаотических несущих [87, 88, 19, 91]. Имеются результаты, посвященные изучению статистических свойств хаотических последовательностей и возможности применения этих последовательностей в задачах радиосвязи с кодовым разделением каналов [18, 89].

Цикл работ [29]-[37] группы исследователей института нелинейных систем калифорнийского университета г. Сан-Диего (США) посвящен исследованию хаотической синхронизации и разработке принципов технической реализации систем связи, использующих хаотические сигналы. В частности, предложен метод сверхширокополосной хаотической импульсной модуляции, в котором хаотический сигнал управляет временной задержкой ультракоротких импульсов [32]-[35].

Следует также отметить работы других исследователей, занимающихся изучением хаотической синхронизации аналоговых (или непрерывных) и цифровых динамических систем: Т. Кэролла и Л. Пекоры [26, 27], М. Хаслера [25], итальянских ученых Г. Мазини,

Г. Сетти, Р. Роватти, занимающихся разработкой теоретических основ для создания хаотических радиосистем с кодовым разделением каналов (Chaotic CDMA) [100, 102], Г. Колумбан [106], У. Парлитца [93, 94] и многих других.

Достаточно большой интерес исследователей к теме хаотической синхронизации связан не в последнюю очередь с рядом потенциальных приложений, в которых можно с выгодой использовать это явление. Особенно данное утверждение справедливо в отношении радиотелекоммуникационного оборудования, где особые свойства хаотических систем могут быть весьма полезны. Отметим некоторые из них: простота создания быстродействующих информационно защищенных каналов связи, удобство формирования широкополосных сигналов, а также сигналов с управляемыми статистическими и спектральными свойствами. В связи с этим, становится очевидной актуальность исследований, направленных на выбор подходящих нелинейных динамических систем, отыскание условий устойчивости хаотической синхронизации в связанных ансамблях этих систем и анализ переходных процессов синхронизации.

Настоящая работа посвящена теме хаотической синхронизации цифровых колебательных систем (осцилляторов) второго и третьего порядков, которые являются нелинейным обобщением соответствующих систем цифровой фильтрации [79, 80, 81]. Вид нелинейных функций осцилляторов определяется естественными ситуациями переполнения в цифровых фильтрах, когда нулевое решение этих динамических систем неустойчиво в силу выбора параметров. Поскольку ситуации переполнения порождают нелинейности естественным образом, то есть без применения или с очень ограниченным применением дополнительных процедур и алгоритмов коррекции, аппаратная реализация таких осцилляторов практически не отличается от реализации линейных фильтров. Как хорошо известно, линейные цифровые фильтры - одни из простейших и часто используемых элементов электронного инструментария цифровой обработки сигналов. Структуру цифровых фильтров в определенном смысле можно считать простейшей с точки зрения цифровых колебательных систем. Этот факт обуславливает потенциально высокую степень компактности и быстродействия реализации осцилляторов данного типа, что может играть во многом определяющую роль при разработке прототипов реальных электронных устройств.

Выбор именно цифровых моделей с хаотическими режимами вместо аналоговых обусловлен следующим важным обстоятельством, которое существенно для задач синхронизации. Использование непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, для целей передачи информации на хаотической несущей наталкивается на принципиальные ограничения, связанные с невозможностью создания двух абсолютно одинаковых генераторов. Такого недостатка лишены цифровые системы, для которых точное дублирование не представляет проблемы.

Исследования, предпринятые в данной диссертационной работе, преследуют следующие основные цели:

1) Проанализировать возможность и условия возникновения явления взаимной хаотической синхронизации в системах цифровых осцилляторов второго и третьего порядков с различными типами нелинейности, а также получить характеристики порождаемых хаотических сигналов и изучить переходные процессы, возникающие при синхронизации.

2) На основе полученных результатов проанализировать возможность применения изученных систем с хаотическими сигналами в качестве основы коммуникационных устройств, обеспечивающих передачу информации через физический канал передачи в присутствии амплитудно-фазовых и шумовых искажений.

Объектами исследования являются модели цифровых осцилляторов второго и третьего порядков с двумя типами нелинейной системной функции - пилообразной периодической и треугольного типа. Математической моделью этих систем служат системы нелинейных разностных уравнений соответствующего порядка. Колебательные режимы различного типа, существующие в уединенных системах, и явление хаотической синхронизации составляют предмет исследования. Представленные в диссертации результаты получены с использованием методов теории разностных уравнений, теории колебаний, нелинейной динамики и теории размерностей. Выбор методов исследования обусловлен особенностями задачи, в которой основным объектом являются колебательные системы с дискретным временем, математической моделью которых служат нелинейные разностные уравнения. Специфика хаотических колебаний, которым уделено основное внимание, приводит к необходимости вычисления статистических оценок некоторых числовых характеристик, в том числе, фрактальных размерностей и показателей Ляпунова, и поэтому требует привлечения адекватных математических средств.

Теоретические результаты, полученные в работе, могут быть использованы для разработки и создания систем связи, обладающих всеми преимуществами, которые дает использование хаотических сигналов. Они также могут найти применение в ряде задач обработки информации и измерительных задачах радиофизики. Кроме теоретических выводов, в работу включены результаты натурного моделирования системы связи с использованием процессоров обработки сигналов, в которой использован один из принципов хаотической синхронизации осцилляторов - синхронный хаотический отклик.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений (А и Б), списка рисунков (72), таблиц (7) и библиографического списка (108 источников).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шиманский, Владислав Эдуардович

Основные результаты

В данном диссертационном исследовании ставилась цель выполнить аналитическое и численное изучение нелинейных цифровых осцилляторов второго и третьего порядков с заданными нелинейностями, а также исследовать явление синхронизации хаотических колебаний в системе связанных цифровых осцилляторов. Предполагалось, кроме того, рассмотреть возможность применения полученных результатов для задач передачи информации.

В результате был получен ряд утверждений о милноровской устойчивости хаотической синхронизации в паре связанных осцилляторов с пилообразной периодической нелинейностью. Эти результаты были подтверждены при помощи численного анализа. Выполнен расчет корреляционной размерности типичных синхронных аттракторов и проведен сравнительный анализ полученных данных с известными аналитическими оценками размерности Хаусдорфа. При помощи численно-аналитического метода получена оценка длительности переходных процессов синхронизации, усредненная по начальным возмущениям. Оказалось, что переходные процессы хаотической синхронизации носят весьма неупорядоченный характер, а их длительность крайне чувствительна к вариациям начальных условий. Для сокращения длительности переходных процессов была предложена пороговая функция управления, которая практически не усложнила систему в целом и не потребовала увеличения объема информационных потоков между осцилляторами.

Для осцилляторов с треугольной нелинейностью были аналитически получены области существования и устойчивости стационарного состояния и циклов малых периодов. Численный анализ при помощи созданного нами вычислительного комплекса позволил построить разбиение пространства параметров на области с качественно различным поведением, подтвердившее теоретические выводы. Были исследованы некоторые характерные для модели осциллятора второго порядка странные аттракторы путем расчета их корреляционной размерности. Для системы связанных осцилляторов с треугольной нелинейностью были аналитически получены аппроксимационные оценки областей локальной устойчивости хаотической синхронизации аттракторов двух различных структурных типов. Проанализированы переходные процессы, которые оказались значительно более регулярными, чем у систем с пилообразной нелинейностью.

В работе были рассмотрены некоторые аспекты применения изучаемых осцилляторов и явления хаотической синхронизации для целей передачи информации. В частности, предложен метод детектирования хаотических сигналов системы с пилообразной нелинейностью, основанный на принципе согласованной фильтрации хаотических сигналов.

Проведенные численные эксперименты показали эффективность этого метода для соотношения сигнал/шум на входе детектора вплоть до 0 дБ.

Изучен вопрос о кодовой емкости системы связи двоичных данных, основанной на принципе переключения синхронных хаотических режимов и использующей хаотические осцилляторы с треугольной нелинейностью. Предложен и реализован компьютерный алгоритм автоматического поиска кластерного алфавита системы при заданном уровне помехи в канале связи. Получена зависимость объема кластерного алфавита от уровня помехи и размерности осцилляторов.

Прикладная часть работы состоит в построении архитектуры и реализации при помощи цифрового сигнального процессора АВЗР-2181 прототипа системы связи с хаотической несущей, устроенной по принципу синхронного хаотического отклика. Результатом этой разработки явился ряд успешных экспериментов по передаче сигналов звукового диапазона частот с помощью физической модели системы, реализованной на плате EZ-КиЬИе, объединяющей сигнальный процессор АБ8Р-2181 и микросхему аналогового ввода/вывода АБ-1847. Было показано, что для данной схемы хаотической синхронизации осцилляторов с пилообразной периодической характеристикой синхронный режим является глобально устойчивым, если в канале передачи отсутствуют помехи. Для системы связи с хаотической несущей было аналитически и численно изучено влияние различных типов искажений, вносимых каналом, на качество приема. Проведена классификация помех с точки зрения возможности их коррекции в приемнике. Это рассмотрение позволило сделать вывод о в целом высокой чувствительности хаотической синхронизации данного типа к влиянию паразитных искажений и необходимости применения компенсаторов влияния канала. Предложен вариант компенсатора линейных частотных искажений, основанный на применении адаптивного корректирующего фильтра. Автоматическая настройка этого фильтра выполняется на основе измерения параметров канала передачи. В этих целях используется хаотический сигнал осциллятора, имеющий квазиравномерный спектр мощности.

Отметим возможные направления дальнейших исследований, развивающих тематику данной работы. Во-первых, большой интерес представляет изучение динамики и синхронизации осцилляторов порядка три и выше. В пользу этого свидетельствует результат раздела 2.4, в котором показано, что кодовая емкость пары осцилляторов с треугольной нелинейностью значительно увеличивается при увеличении порядка систем. Важным направлением можно считать поиск методов повышения робастности хаотической синхронизации по отношению к искажениям в канале передаче, а также методов сокращения длительности переходных процессов.

Во-вторых, интересным направлением является разработка архитектур систем связи с хаотическими несущими, изучение новых методов модуляции, помехоустойчивости и других характеристик, используемых в теории связи (спектральная и энергетическая эффективность, помехозащищенность, устойчивость к эффектам распространения радиоволн, криптозащищенность и пр.).

Благодарности

Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность своим научным руководителям - профессору С.А. Кащенко, профессору В.Ш. Бурду и доценту С.Д. Глызину - за поддержку и помощь в процессе выполнения работы. Также автор благодарит профессора A.C. Дмитриева, С.О. Старкова, А.И. Панаса и других сотрудников лаборатории InformChaos ИРЭ РАН за полезное обсуждение результатов, полученных в работе.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шиманский, Владислав Эдуардович, 2002 год

1. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Jornal of the Atmospheric Science. 1963. V. 20. P. 130-141.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М:Мир, 1988.

3. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М:Наука, 1980.

4. Мун Ф. Хаотические колебания. М:Мир, 1990.

5. Федер Е. Фракталы. М:Мир, 1988.

6. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

7. Пригожин И., Стингере И. Время, хаос, квант. М.: Мир, 1994.

8. Nicolis G. Introduction to Nonlinear Science // Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

9. Пайтген X.-O., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993.

10. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems // Addison-Wesley, Reading, Mass., 1989.

11. Ахромеева А.В., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные процессы и диффузионный хаос. М:Наука, 1992.

12. Корнфелъд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1981.

13. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995.

14. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи. //Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. М.:ИПРЖР, №10, с.3-26, 1997.

15. Matzumoto Т.A. A chaotic attractor from Chua circuit // IEEE Trans. Circ. and Syst. 1984. V. CAS-31. №12. P. 1055-1058.

16. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в генераторе с инерционным запаздыванием первого порядка // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. №1. С. 2389-2398.

17. Kilias Т., Kutzer К., Mdegel A., and Schwarz W. Electronics chaos generators design and applications. // International Journal of Electronics, Nov.1995. Vol.79. №6.P.737-753.

18. Kelber K., Abel A., Schwarz W. Correlation properties of signals generated by nonlinear AR-filter structures. //In Proc. NDES'97, Moscow, 1997.

19. Kelber K., W. Schwarz Digital realisation of discrete-time chaos generators //In Proc. ECCTD'97, Budapest, September 1997.

20. Baranovski A.L., Schwarz W., Mogel A. Statistical analysis and design of chaotic switched dynamical systems //In Proc. ISCAS'99, V.467-470, Orlando, Florida, 1999.

21. Дмитриев А.С., Андреев Ю.В., Булушев А.Г. Кодирование информации на основе динамического хаоса //Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. М.:ИПРЖР, №11, с.27-33, 2000.

22. Старков С.О., Шварц В., Абель А. Многопользовательские системы связи с применением динамического хаоса //Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. М.:ИПРЖР, №11, с.34-47, 2000.

23. Hasler М. Synchronization of Chaotic Systems and Transmission of Information // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1998, v. 8, No 4, pp. 647-659

24. Caroll, T. and Pecora, L.M. Synchronization in Chaotic Systems // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, No 8, pp.821-824.

25. Caroll, T. and Pecora, L.M. Driving system with chaotic signals // Phys. Rev. A, 1991, v. 44, No 4, pp.2374-2383.

26. Kocarev, L.J. et al. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, No 3, pp. 709713.

27. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 980-995.

28. Rulkov N.F. and Tsimring L.S. Synchronization methods for communications with chaos over band-limited channel // Int. J. Circuit Theory and Appl., vol. 27, pp. 555-567 (1999).

29. Sushchik M., Rulkov N., Larson L., Tsimring L., Abarbanel H., Yao K., and Voikovskii A. Chaotic pulse modulation: a robust method of communication with chaos // IEEE Communication Letters, vol. 4, pp. 128-130 (2000).

30. Tsimring L.S. and Sushchik M.M. Multiplexing chaotic signals using synchronization // Phys. Lett. A. 1996, v. 213, p. 155.

31. Maggio G.M., Rulkov N., Sushchik M., Tsimring L., Voikovskii A., Abarbanel H., Larson L., and Yao K. Chaotic pulse-position modulation for ultrawide-band communication systems // Proc. UWB'99, Washington D.C., Sept 28-30, 1999.

32. Maggio G.M. and De Feo O. T-CSK: A robust approach to chaos-based communications // Proc. NDES 2000, Catania, Italy, May 18-20, 2000.

33. Abarbanel H.D.I. Analysis of Observed Chaotic Data // Springer-Verlag, New York, 1996.

34. Андронов A.A., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. //M.: Физматгиз, 1959.

35. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. // Prog. Theor. Phys. 1983. V. 69. №1. P. 32-46.

36. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович M.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1986, т. 29, с. 785-803.

37. Chua L.O., Yang Т., Zhong G.-Q. and Wu C.W. Adaptive Synchronization of Chua's Oscillators. // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol.6, №1(1996).

38. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Влияние возмущающих факторов на работоспособность системы передачи информации с хаотической несущей. //Радиотехника и электроника, 1995, т.40, №2, с.256-281.

39. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.В. Хаотические колебания -генерация, синхронизация, управление. //Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. М.:ИПРЖР, №10, с.27-49, 1997.

40. Дмитриев А.С., Старков С.О., Широков М.Е. Синхронизация ансамблей диссипа-тивно связанных отображений. //Препринт №9 (609) ИРЭ РАН, 1995.

41. Дмитриев А.С., Емец C.B., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по применению сигнальных процессоров для передачи информации с использованием хаотических колебаний. //Препринт №4 (618) ИРЭ РАН, 1997.

42. Кальянов Э.В. Детерминированная и хаотическая взаимные синхронизации связанных автостохастических систем. //Радиотехника и Электроника, т.41,1996,№5,стр.575-582.

43. Shirokov M. Multiplex communications system with chaotic carriers. // NDES'97:Posters. Pp. 404-409.

44. Ogorzalek M.J. Complex Behaviour in Digital Filters// International jornai of Bifurcation and Chaos, Vol.2, №1(1992).

45. Kocarev L., Wu C.W., Chua L.O. Complex Behaviour in Digital Filters with Overflow Nonlinearity: Analytical Results. April 10,1993.

46. Глызин С.Д., Чистякова О.Е. Масштабная инвариантность структуры притягивающего множества одного двумерного кусочно-линейного периодического отображения // Моделирование и анализ информационных систем. Вып.З, Ярославль, с.110-119, 1996.

47. Белых В.Н. Модели дискретных систем фазовой синхронизации // Гл.10, стр.161-176. Радио и связь, Москва, 1982.

48. Белых В.Н., Ж И. Л. Вычисление размерности странного аттрактора в двумерном разрывном отображении // Препринт, 1991.

49. Белых В.Н., Железняк И.Л. О структуре и размерностях странного аттрактора кусочно-линейного отображения цилиндра // Методы качественной теории и теории бифуркаций. Межвуз. сб. Горький, 1992. С. 18-24.

50. Chua L.O., Lin T. Chaos in digital filters. // IEEE Trans. Circuits and Systems. 1988. Vol. 35. №6. P. 648-658.

51. Chua L.O., Lin T. Fractal pattern of second-order nonlinear digital filters: a new symbolic analysis. // Int. J. Circuit theory and applications. 1990. Vol. 18. №6. P. 541-550.

52. Брюханов Ю.А., Глызин С.Д. Устойчивые периодические режимы одной разностной модели цифрового фильтра с характеристикой типа насыщения // Изв.Вузов "ПНД".т.З,№4, 1995.

53. Потапов А.Б. Программы вычисления корреляционного показателя и оценки обобщенной энтропии по временному ряду// Препринт ИПМ им. Келдыша РАН, Москва 1991.

54. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. О вычислении размерности странных аттракторов// Препринт ИПМ им.Келдыша РАН, №101, 1987.

55. Майоров В.В., Тимофеев Е.А. Состоятельная оценка размерности многообразий и самоподобных фракталов // ЖВМ и МФ, 1999, №10, с.1721-1729.

56. Чуа Л.О., Родригес-Васкес А. и др. Хаос в схемах на переключаемых конденсаторах: Дискретные отображения// ТИИЭР, т.73, №8, 1987.

57. Варичев С.Г., Гончаров В.В., Серов Р.Е. Основы современной криптографии. М.: Горячая линия Телеком, 2001.

58. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1986.

59. Биркган С.Е., Брюханов Ю.А. Разностные уравнения: Учебное пособие. Яросл. гос. университет, Ярославль, 1994.

60. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the Strangeness of Strange Attractors. Physica, v.9D, 1983, p.189-208.

61. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of Kolmogorov entropy from a chaotic signal// Phys. Rev. A, 1983,v.28, №4, p.2591-2593.

62. Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors// J. Diff. Equations. 1983. №49. p. 185-194.

63. Глызин С.Д. Методы компьютерной графики в качественной теории динамических систем на плоскости: Учеб. пособие. Яросл. гос. университет. Ярославль, 1992. 68с.

64. Шиманский В.Э. Синхронные устойчивые режимы в системах цифровых осцилляторов второго порядка. //Моделирование и анализ информационных систем. Вып.4, Ярославль, с.101-109, 1997.

65. Шиманский В.Э. Суперустойчивые режимы нелинейного цифрового фильтра третьего порядка. //Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ, Ярославль, с.89-97, 1997.

66. Шиманский В.Э. Система связи с хаотической несущей на цифровом сигнальном процессоре ADSP-2181 // Изв. вузов "Прикладная нелинейная динамика", т.6, N5, С.66-75, 1998.

67. Shimansky V.E. Chaotic Communication System Using Digital Signal Processor ADSP-2181 // In Proc. DSPA'99, Moscow, Russia, September 21-24, 1999. p.330.

68. Shimansky V.E. One approach to chaotic signais division problem //In Proc. NOLTA'2000, Dresden, Germany, Sep. 17-21, 2000. pp.83-86

69. Шиманский В.Э. Обнаружение хаотических сигналов методом согласованной фильтрации // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.З / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2000. С.136-144.

70. Шиманский В.Э. Кластерная коррелированность хаотических сигналов// Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.4 / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. С.117-129.

71. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем //М.:Наука,1979.

72. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления //М.:Наука, 1983.

73. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1978.

74. Голъденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.:Связь, 1974.

75. Steven W. Smith The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing //California Tecnical Publishing, San Diego, California, 1999.

76. Марков С. Цифровые сигнальные процессоры. Книга 1. М.: МИКРОАРТ, 1996.

77. ADSP-2100 Family User's Manual. ©Analog Devices, Inc., 1995.

78. ADSP-2100 Family EZ-KIT Lite Reference Manual. ©Analog Devices, Inc., 1995.

79. Прокис Дж. Цифровая связь. M.: Радио и связь, 2000.

80. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. М.: Радио и связь, 2000.

81. Gotz M., Kelber К., Schwarz W. Discrete time chaotic coders for information encryption. Part l:Statistical approach to structural design //In Proc. NDES'96, Seville, Spain, June 27-28, 1996.

82. Kelber K., Gotz M., Schwarz W. and Kilias T. Discrete time chaotic coders for information encryption. Part 2: Continuous- and Discrete- Value Realization //In Proc. NDES'96, Seville, Spain, June 27-28, 1996.

83. Abel A., Bauer A., Kelber K. and Schwarz W. Chaotic codes for CDMA-applications //In Proc. ECCTD'97, 306-311, Budapest, September 1997.

84. Gotz M., Schwarz W. Spectral Decomposition of Dencity Evolution Operators of Nonlinear Discrete-Time System //In Proc. IMACS'97.

85. Dachselt F., Kelber K., Schwarz W. Chaotic coding and cryptoanalysis //In Proc. IS-CAS'97.

86. Abel A., Schwarz W. Maximum likelihood detection of symbolic dynamics in communication systems with chaos shift keying //In Proc. NDES 2000, pp. 174-178, Catania, Italy, May 2000.

87. Junge, L. and Parlitz, U. Dynamic coupling in partitioned state space //In Proc. NOL-TA'2000, Dresden, Germany, Sep. 17-21, 2000.

88. Parlitz, U., Chua, L. Kocarev, L. Transmission of digital signals by chaotic synchronization // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 1, No 4, pp. 973-977.

89. Дмитриев А.С. Прикладной динамический хаос: Курс лекций. 4.1 и 4.II. / Ярославль, 1999.

90. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с использованием детерминированного хаоса. //Радиотехника и электроника, 1993, т.38, №7, с.1310-1315.

91. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., Kuzmin L.V., Panas A.I., Puzikov D.Yu., Starkov S.O., Yemetz S.E. Chaotic markers for communications //In Proc. NOLTA-2000, September 17 21, 2000, Dresden, Germany, pp.87-90.

92. Широков M.E. Многопользовательская система связи на хаотических несущих // Радиотехника и электроника, 1999, т.43, No 5, с.583-590.

93. Andreev Yu. V., Dmitriev A.S. and Efremova E. V. Multiplexing chaotic signals in the presence of noise // Proceedings of Second International Conference Control of Oscillations and Chaos (COC2000), Saint-Petersburg, Russia, July 5-7, 2000.

94. Mazzini G., Setti G. and Rovatti R. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous DS-CDMA // IEEE Trans. CAS, pp. 937-947, October, 1997.

95. Rovatti, R., Setti, G., and Mazzini, G. Chaos-based generation of optimal DS-CDMA sequencies // In Proc. NOLTA'99, Hawaii, USA, 1999, pp. 231-234.

96. Rovatti, R., Setti, G., and Mazzini, G. Chaos-based spreading compared to M-sequences and Gold spreading in asynchronous CDMA communication systems //In Proc. EC-CTD'97, Budapest, Hungary, 1997, pp. 312-317.

97. Milnor J. On the concept of attractor // Commun. Math. Phys., 1985. V.99, №2, PP.177198.

98. Kapitaniak Т., Maistrenko Yu. Riddling bifurcations in coupled piecewise linear maps // Physica D 126, 1999, pp.18-26.

99. Maisternko Yu.L., Maistrenko V.L., Vikul S.I. Bifurcations of attracting cycles of piece-wise linear interval maps // Jornal of Techical Physics. 1996. V. 5. №3-4. P. 367-370.

100. Kolumban G., Kis G., Jaco Z. and Kennedy M.P. FM-DCSK: A robust modulation scheme for chaotic communications // IEICE Trans. Fundamentals, v. E81-A, No 9, pp. 1798-1802, September, 1994.