Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Стрелкова, Галина Ивановна

• Стрелкова, Галина Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стрелкова, Галина Ивановна

Содержание

Введение '

Глава 1. Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов

1.1 Квазигиперболический аттрактор в системе Лози

1.2 Квазигиперболический аттрактор в модели Лоренца. Аттракторы типа Лоренца

1.3 Двумерное обратимое отображение на торе

1.4 Обсуждение результатов и выводы

Глава 2. Квазиаттракторы и их свойства

2 .1 Квазиаттрактор в отображении Хенона

2.2 Характеристики аттракторов двумерного обратимого отображения с кубической нелинейностью

2.3 Квазиаттрактор в системе двух связанных логистических отображений

2.4 Система двух связанных кубических отображений

2.5 Квазиаттрактор в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью

2.6 Обсуждение результатов и выводы

Заключение

Литература

Благодарности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов»

Введение

Одним из фундаментальных результатов последних десятилетий, оказавших принципиальное влияние на формирование новых взглядов на закономерности эволюционных процессов в естествознании, явилось открытие эффекта детерминированного хаоса [1]-[3, 6]-[9]. Тот факт, что возникновение режима хаотических автоколебаний в динамических системах при отсутствии внешних и внутренних шумов возможно исключительно в нелинейных диссипативных системах, по сути дела привел к выделению общего и достаточно широкого круга проблем нелинейной теории колебаний в самостоятельное научное направление, получившее название нелинейной динамики [4]—[10]. Дело в том, что функционирование динамических систем в условиях принципиальной нелинейности как правило с неизбежностью приводит к возникновению хаотических автоколебаний. Поэтому исследования нелинейных закономерностей в эволюционных процессах, порождаемых диссипа-тивными системами, требуют понимания механизмов возбуждения и основных свойств хаотических автоколебаний как одного из типичных режимов работы нелинейной системы.

Как хорошо известно, математическим образом хаотических автоколебаний является странный (хаотический) аттрактор - предельное множество фазовых траекторий в фазовом пространстве динамической системы (или в пространстве состояний системы). Термин "странный аттрактор" был введен в науку Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе [1, 11], в которой было дано строгое доказательство возможности существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной динамической системе с конечным числом степеней свободы. Эта пионерская работа внесла окончательную ясность

в проблему существования нового класса решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений и сразу была воспринята широким кругом исследователей, в особенности физиками.

Фундаментальные исследования структуры и свойств детерминированного хаоса проводятся в двух основных направлениях. Первое связано с получением строгих математических результатов на основе качественной теории динамических систем и эргодической теории [12]-[56]. Это наиболее важное направление, так как невозможно себе представить конструктивное развитие нелинейной динамики без опоры на строгие результаты по целому ряду вопросов фундаментального характера. Второе направление включает численное моделирование и эксперименты по исследованию режимов хаотических колебаний в динамических системах, моделирующих реальные процессы в естествознании. Важность второго направления также высока, поскольку с одной стороны, эксперименты служат критерием оценки общности строгих результатов, а с другой - дают реальные материалы для постановки новых теоретических проблем.

Необходимо отметить ряд великолепных теоретических результатов, благодаря которым сегодня достигнут достаточно высокий уровень понимания феномена детерминированного хаоса. Прежде всего это результаты Горьковской школы по теории нелинейных колебаний (Л.П. Шильников [25]—[30, 40], Ю.И. Неймарк [8, 31], В.Н. Белых [32]-[34], B.C. Афраймович [26]-[28, 35, 36, 40], В.В. Быков [26, 27, 37] и др.), Московской школы математиков (В.И. Арнольд [17, 38]—[40], Д.В. Аносов [41], Я.Г. Синай [19, 22, 42, 43], Л.А. Бунимович [22], Я.Б. Лесин [22, 23], А.Н. Колмогоров [44, 45], Ю.И. Кифер [46], Р.Л. Страто-

нович [47] и др.), группы математиков Ленинградского университета (Г.А. Леонов, Д.В. Пономаренко, В.Б. Смирнова [48, 49] и др.), группы украинских математиков (А.Н. Шарковский [50, 51], Ю.Л. Майстренко

[51] и др.), а также ряда представителей зарубежных школ (D. Ruelle

[52], F. Takens [11], S.E. Newhouse [53], L. Arnold [54], H. Haken [55], I. Prigogin [56] и др.)

В области экспериментальных исследований детерминированного хаоса наибольший вклад внесли радиофизики. Именно в радиофизике еще до момента открытия эффекта детерминированного хаоса нелинейные динамические системы составляли практически основной предмет изучения и был уже накоплен многолетний опыт исследований, который сразу удалось использовать. Отметим результаты Горьковской школы (М.И. Рабинович [6, 7, 57, 58], A.C. Пиковский [57, 58], В.Д. Шалфеев [59], Н.И. Веричев [60], В.И. Некоркин [61] и др.), Московской школы (В.Я. Кислов [62, 63], A.C. Дмитриев [62, 63], П.С. Ланда [4, 8], Ю.А. Кузнецов [64]—[66], Минакова И.И. [64], Ю.Л. Климонтович [67, 68], Ю.А. Кравцов [69, 70], Г.Г. Малинецкий [71], Д.М. Сонечкин [72] и др.), Саратовской школы (B.C. Анищенко [9, 73, 85]—[92, 95]-[98], Д.И. Трубецков [6], С.П. Кузнецов [74]-[76], А.П. Кузнецов [77, 78], Б.П. Безручко [80]—[84], В.В. Астахов [85]—[88, 180]—[184], Т.Е. Вадива-сова [89]—[91], А.Б. Нейман [92]—[98] и др.), а также зарубежных исследователей (С. Grebogi, Е. Ott, J.A. Yorke [99]—[105], J. Kurths [106]—[111], M. Rosenblum [108]—[111], M. Zaks [107] и др.).

В результате экспериментальных исследований пришло понимание, что хаотические автоколебания и их образы - хаотические аттракторы, могут иметь отличающуюся структуру и характеристики. Эти отличия иногда носят несущественный характер, а могут быть прин-

цшшальны. Другими словами, настал момент, когда требуется провести четкую классификацию типов аттракторов, определить различия в их характеристиках с целью введения .более детальных разграничений типов хаотических автоколебаний при описании и трактовке экспериментальных результатов. Подход к решению этой задачи также включает два направления исследований: теоретический и экспериментальный. В рамках настоящей работы внимание в основном будет уделено экспериментальным исследованиям, которые по возможности будут базироваться на известных строгих математических результатах.

Классификация аттракторов динамических систем.

Отличительным свойством диссипативных динамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений х = F(x, /i), х € UN, является сжатие во времени элемента объема фазового пространства [12]:

__N Q¿.

V(t) = Vfo) exp[í(d¿vP)], divF = ¿ < 0. (1)

i=i uXi

В силу сжатия фазового объема предельное (при t —> оо) множество фазовых траекторий всегда будет иметь нулевой объем. Однако, структура предельного множества при этом может быть различной: точка, линия, поверхность или множество поверхностей, имеющее в сечении Пуанкаре структуру типа канторовой. Именно эти отличия в структуре предельного множества фазовых траекторий полагаются в основу классификации типов аттракторов динамических систем.

Долгое время с образом динамического (детерминированного) хаоса связывался так называемый странный аттрактор [2, 3, 9, 73]. Все нетривиальные режимы автоколебаний, общим свойством которых являлось отсутствие периодичности во времени, ассоциировались именно с

образом странного аттрактора. Позднее выяснилось, что хаотические автоколебания по своим свойствам могут быть существенно различными, что ведет к отличию структуры соответствующих им аттракторов. Оказалось, что странный аттрактор есть образ некоторого "идеального" хаоса, удовлетворяющего ряду строгих математических требований. Было установлено, что в реальных системах режим странного (в смысле математического определения) аттрактора не реализуется. То, что мы наблюдаем в экспериментах, чаще всего отвечает режимам так называемого квазигиперболического аттрактора или квазиаттрактора [9, 73]. Квазиаттракторы более сложно устроены и не поддаются строгому математическому описанию [28, 30, 35, 36]. Отличительной особенностью странных, квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов является экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий и дробная размерность. Экспоненциальная неустойчивость является критерием хаотического поведения системы. Дробная метрическая размерность свидетельствует о том, что аттрактор -сложный геометрический объект, неявляющийся многообразием. В последнее время внимание исследователей привлек тот факт, что непериодические колебания могут обладать асимптотической устойчивостью при наличии сложной геометрии аттрактора и, напротив, быть экспоненциально неустойчивыми и соответствовать аттрактору, являющемуся простым геометрическим объектом (многообразием) [112, 100]. Целесообразно ввести определение " странности" аттрактора вне связи с динамикой системы, а положив в основу его геометрическую структуру. В работе [100] такое определение дано: " Странный аттрактор - это аттрактор, который не состоит из конечного множества точек и не является кусочно-дифференцируемым. Кусочно-дифференцируемым

аттрактором мы называем кусочно-дифференцируемую кривую, поверхность или об'ем, который ограничен кусочно-дифференцируемой поверхностью." Учитывая важность проблемы анализа сложных непериодических режимов колебаний в динамических системах, целесообразно детально классифицировать типы аттракторов, сформулировать их определения и основные свойства.

Изменение во времени состояния автономной динамической системы с конечным числом степеней свободы описывается либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой дискретных отображений:

П ( ч

= Хг = и[ХЬ . . . . . .

или (2)

^п+г = /г {хп 1 Хп1 • • • 1Хп ■> № 1) • • • ) ) г = 1,2,...,N

Здесь Жг(^) (или хгп) - переменные, однозначно описывающие состояние системы (ее фазовые координаты), щ (/ = 1,2, ...,&) - параметры системы, /¿(ж, ц) - в общем случае нелинейные функции. Решение системы (2) существует, единственно для данных начальных условий Х{(0) (или хг0) и гладко зависит от изменения начального состояния (теорема Коши).

Эволюции системы во времени можно однозначно сопоставить фазовую траекторию в Л"-мерном декартовом пространстве, координатами которого служат фазовые переменные, которая стартует из заданной начальной точки жг-(0) (или х%0), г = 1,2,..., N.

Будем говорить исключительно об автоколебательных режимах движения системы (2). Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, характеристики которых не зависят в определен-

ных пределах от выбора начального состояния. В качестве предельного случая сюда же мы отнесем и режим устойчивого состояния равновесия.

Обратимся к фазовому пространству системы (2), зафиксировав значения всех параметров системы Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область Сх, принадлежащая Ш14, которая включает в себя подобласть Со- Области Сх и Со удовлетворяют следующим условиям [28, 30, 35, 36]:

1. Для любых начальных условий £¿(0) (или Яд) из области Сх при I оо (или п —■» оо) все фазовые траектории рано или поздно достигают области Со-

2. Область Со представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы.

3. Если фазовая траектория принадлежит области Со в момент времени £ = ¿х (п = пх), то она будет принадлежать Со всегда, т.е. для любых £ > ¿1 (п > щ) фазовая траектория будет находиться в области

С0.

Если эти условия выполняются, то область Со называется аттрактором динамической системы (2). Другими словами, аттрактор Со - это инвариантное относительно закона (1) минимальное предельное множество траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из области Сх, охватывающей Со. Область Сх называется областью (или бассейном) притяжения аттрактора Со- В области Сх могут существовать исключительно переходные, нестационарные типы движений. Предельное множество Со отвечает установившимся (предельным) типам движения. В этом смысле можно сказать, что аттрактор Со есть изолированное предельное множество фазовых траек-

торий системы (2).

До открытия детерминированного хаоса было известно всего три типа устойчивых установившихся решений динамической системы (2): состояние равновесия, когда после переходного процесса система достигает стационарного (не меняющегося во времени) состояния, устойчивое периодическое решение и устойчивое квазипериодическое решение. Соответствующими аттракторами дифференциальной системы в этих случаях являются: точка в фазовом пространстве, предельный цикл и предельный п-мерный тор. Сигнатура спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) фазовой траектории в этих случаях будет [2, 3, 9, 73]:

"-","—",...,"—"- состояние равновесия, "0"," —"," — ",...," — " - предельный цикл,

"П" "Л" "П" " >' '» " ^ „ \ о

и, и,..., и, — ,..., — - п-мерный тор, п > I.

71

Непериодическим решениям системы (2) могут соответствовать странные хаотические аттракторы сложной геометрической структуры, которые имеют по крайней мере один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную размерность, определяемую по формуле Каплана-Иорка [113]:

(з)

где ] - наибольшее целое число, для которого сумма А1+А2+- • •+А^ > 0. Ляпуновская размерность рассчитанная по формуле (3), представляет собой одну из фрактальных размерностей множества и служит оценкой снизу для метрической размерности аттрактора. Если применить формулу (3) к указанным трем типам аттракторов, то мы получим нулевую размерность для точки, И = 1 для предельного цикла

и В = п для п-мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность строго совпадает с метрической размерностью аттракторов. То обстоятельство, что »указанные типы решений являются асимптотически устойчивыми, а размерность В дается целым числом и строго совпадает с метрической, позволяет, назвать указанные типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных условий исключает аттрактор из класса регулярных. Как стало ясным, нерегулярные (хаотические) аттракторы требуют введения специальной классификации [28, 30, 35, 36, 9, 73].

Новый тип аттрактора динамической системы (2) был впервые обнаружен Лоренцем в 1963 г. при численном исследовании знаменитой теперь модели Лоренца [114]. Строгое математическое доказательство существования непериодических решений системы (2) было дано в 1971 году Рюэлем и Такенсом, ими же было введено понятие странного аттрактора как образа детерминированного хаоса [11]. С тех пор явление детерминированного хаоса и понятие странного аттрактора во многих работах практически однозначно связывают друг с другом. Однако, при более детальном рассмотрении, это оказывается не всегда справедливым и требует пояснений.

Доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система (2) является грубой гиперболической [28, 30, 35, 36]. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка, как образ траектории в сечении Пуанкаре, в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей (2) и вариации управляющих параметров в конечной области их значений, все траектории продолжают оставаться седло-

выми.

Гиперболические аттракторы удовлетворяют следующим условиям [36]:

1. Гиперболический аттрактор состоит из континуума "неустойчивых листов" или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся.

2. Гиперболический аттрактор в окрестности любой точки имеет геометрию произведения канторова множества на интервал.

3. Гиперболический аттрактор имеет окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.

Грубость означает, что свойства 1-3 сохраняются при возмущениях.

На Рис. 1 представлена седловая траектория Г и соответствующие точки Qi ее пересечения с секущей поверхностью Пуанкаре 5. Приведенный рисунок иллюстрирует также локальное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий седловой точки Однако, того, что локально точка пересечения Г с 5 является грубым седлом, оказывается недостаточным для грубой гиперболичности! Необходимы некоторые условия относительно глобальных (нелокальных) свойств устойчивых и неустойчивых многообразий. Обратимся к Рис. 2.

В силу наличия аттрактора устойчивые и неустойчивые многообразия и Ши обязаны быть сосредоточены в области Со- При этом они могут пересекаться с образованием гомоклинических точек (поверхностей) , образуя так называемые гомоклинические структуры. Го-моклинические структуры в грубых гиперболических системах обязаны быть грубыми. Это означает, что с топологической точки зрения

Рис. 1 Седловая точка 0,{ как образ гиперболической траектории в сечении Пуанкаре.

Рис. 2 Три возможных случая пересечения устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловой точки фг в сечении Пуанкаре.

структура пересечения Wst и Wu должна соответствовать Рис. 2,а и не меняться качественно при возмущениях! Случаи Рис. 2,6 и Рис. 2,с исключаются, так к$ж характеризуют два негрубых явления: явление замыкания многообразий с образованием петли (Рис. 2,6) и явление касания устойчивого и неустойчивого многообразий (Рис. 2,с). Если нелокальные свойства многообразий при возмущениях динамической системы приводят к негрубым ситуациям, изображенным на Рис. 2,6 и с, возможны бифуркации решений [115, 53]. В грубых гиперболических системах никаких бифуркций происходить не должно. При возмущениях системы траектория Г всегда остается седловой, что соответствует случаю Рис. 2,а. Как мы увидим в дальнейшем, негрубые случаи Рис. 2,6 и с являются причиной появления более сложно устроенных хаотических притягивающих множеств - так называемых квазиаттракторов [28, 30, 35, 36]. Странные (в смысле Рюэля-Такенса) аттракторы всегда являются грубыми гиперболическими предельными множествами.

Основной чертой, отличающей странные хаотические аттракторы от регулярных, является экспоненциальная неустойчивость фазовой траектории на аттракторе. Спектр ляпуновских экспонент в этом случае включает как минимум один положительный показатель. В соответствии с (3) фрактальная размерность аттрактора всегда будет больше двух и в общем случае не будет выражаться целым числом. Минимальная размерность фазового пространства, в которое можно "вложить" странный аттрактор, оказывается равной трем. Таким образом, режим детерминированного хаоса можно наблюдать в дифференциальных динамических системах размерности N > 3.

В математике известны по крайней мере два примера грубых ги-

перболических аттракторов: аттрактор Смейла-Вильямса и аттрактор Плыкина [116,117]. К сожалению, в реальных системах естествознания режим строго гиперболического грубого хаоса до сих пор не обнаружен! Истинно "странные" аттракторы являются идеальной, но недостижимой пока моделью детерминированного хаоса [118, 185].

Условия гиперболичности аттрактора для реальных динамических систем не выполняются. Вместе с тем известны динамические системы, аттракторы которых являются близкими к гиперболическим. Такие аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях. С математической же точки зрения, для таких систем нарушается по крайней мере одно из трех условий гиперболичности [36].

Следуя определению [36], мы будем называть почти гиперболические аттракторы квазигипербодическими. Известны квазигиперболические аттракторы Лози [119], Белыха [33, 34] и аттракторы типа Лоренца1. Для указанных аттракторов существуют строгие доказательства того, что они являются квазигиперболическими в указанном выше смысле [25]—[29, 36]. Целесообразно выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов, которые можно использовать при компьютерном моделировании для их диагностики.

Наиболее типичными в исследованиях являются так называемые квазиаттракторы, которые иллюстрируют экспериментально наблюдаемый хаос во многих реальных системах [2, 3, 6]-[9, 73]. В системах с квазиаттракторами реализуются режимы детерминированного ха-

1 Исследования показали, что хаотический аттрактор модели Лоренца [114] оказался типичным для ряда систем и характеризует класс аттракторов, называемых аттракторами типа Лоренца [25, 29, 120]

оса, характеризуемые экспоненциальной неустойчивостью траекторий и фрактальной структурой аттрактора. С этой точки зрения характеристики указанных режимов автоколебаний идентичны основным характеристикам грубых гиперболических аттракторов и квазигиперболических аттракторов. Однако есть весьма существенные различия, которые требуют понимания во избежании неверной трактовки экспериментальных результатов. Отличительной чертой квазиаттракторов является одновременное сосуществование счетного множества различных хаотических и регулярных притягивающих подмножеств в ограниченном элементе объема фазового пространства системы при фиксированных значениях ее параметров. Эта совокупность всех сосуществующих предельных множеств траекторий в ограниченной области Со фазового пространства, куда стремятся все или почти все траектории из области включающей (то, и называется квазиаттрактором динамической системы.

Отсюда следует чрезвычайно сложная структура вложенных бассейнов их притяжения. Но этим сложность не ограничивается. При конечной вариации параметров системы реализуются каскады различных бифуркаций как регулярных, так и хаотических аттракторов. Соответственно осуществляется бифуркационная перестройка их бассейнов притяжения. Причиной такой сложности квазиаттракторов являются эффекты гомоклинического касания устойчивых и неустойчивых многообразий седловых траекторий, которые имеют место на множестве значений параметров ненулевой меры [36, 115, 53], Другими словами, нарушается условие трансверсальности многообразий.

Если при этом учесть, что бассейны притяжения сосуществующих предельных множеств могут иметь фрактальную структуру и соста-

влять чрезвычайно узкие области в фазовом пространстве, то понятно насколько важными становятся проблемы точности расчетов на ЭВМ и влияния внешних шумов.

Хаотические аттракторы любого из описанных выше трех типов объединяют два принципиальных свойства: сложная геометрическая структура аттрактора (как следствие - его дробная метрическая размерность) и экспоненциальная неустойчивость индивидуальных траекторий на аттракторе. Именно эти свойства используются экспериментаторами в качестве критериев при диагностике режимов детерминированного хаоса.

Однако, нерегулярные аттракторы как математические образы сложной динамики, вышеописанными типами хаотических аттракторов не исчерпываются. Выяснилось, что хаотическое поведение в смысле наличия перемешивания и геометрическая "странность" аттрактора могут не соответствовать друг другу. Странные в геометрическом понимании аттракторы могут не быть хаотическими ввиду отсутствия экспоненциальной неустойчивости фазовых траекторий. С другой стороны есть примеры перемешивающих диссипативных систем, аттракторы которых не являются в строгом смысле странными, т.е. не характеризуются фрактальной структурой и дробной метрической размерностью [100, 123, 118, 185].

Другими словами, существуют конкретные примеры диссипативных динамических систем, аттракторы которых характеризуются следующими свойствами:

1. Аттрактор имеет регулярную геометрическую структуру с точки зрения целочисленной метрической размерности. При этом индивидуальные фазовые траектории на аттракторе в среднем экспо-

ненциально неустойчивы.

2. Аттрактор характеризуется сложной геометрической структурой. При этом траектории на нем ассимптотически устойчивы. Перемешивание отсутствует.

Первый тип называют хаотическими нестранными аттракторами (ХНА), второй - странными нехаотическими аттракторами (СНА).

Из вышеприведенного краткого обзора следует, что отождествлять термин "странный аттрактор" с образом экспериментально наблюдаемого режима хаотических автоколебаний ошибочно с вероятностью, близкой к единице! В настоящей диссертации детальному исследованию будут подвергнуты два типа хаотических аттракторов: квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы. Может возникнуть вопрос, почему? Дело в том, что грубые гиперболические (странные) аттракторы, как отмечено выше, в экспериментальных исследованиях не встречаются. Странные нехаотические аттракторы представляют собой достаточно специфический тип аттракторов, реализуемые, как правило, при квазипериодическом воздействии [90, 91, 124, 125]. Хаотические нестранные аттракторы пока что в теоретическом плане недостаточно исследованы и на практике встречаются довольно редко. В то же время наиболее типичными в экспериментах являются квазигиперболические аттракторы и особенно - квазиаттракторы. Подавляющее большинство экспериментальных результатов касается именно указанных типов хаотических автоколебаний, однако, за редким исключением [9, 73, 164], различия в их характеристиках и структуре обсуждению и объяснению не подвергаются.

Считаю своим долгом отметить, что впервые в экспериментальной практике исследований хаоса вопрос о специфике квазиаттракторов

был рассмотрен в работе [85] и впоследствии подробно исследован в монографии [9]. В частности, в последней есть такие слова: "Ограниченность нашего воображения, пасующего перед возможностью наглядного представления картины бесконечного ветвления бесконечного числа базовых периодических решений, поначалу порождает чувство безысходности и сомнения в возможность проникнуть в тайны динамики даже простейшей в этом смысле системы в с двумя параметрами. На что же рассчитывать в случае увеличения размерности фазового пространства и числа управляющих параметров динамической системы?" Впервые эта фраза была написана 12 лет назад в книге [164].

В то же время, экспериментаторы по сути дела уже давно используют некоторые из типичных свойств, присущих хаотическим системам с квазиаттрактором. Например, известно типичное свойство подобных систем, проявляющееся в реализации режима перемежаемости типа "хаос-хаос", когда вблизи бифуркационной точки кризиса объединения двух (и более) аттракторов фазовая траектория случайным образом переключается с одного аттрактора на другой и обратно [9]. Это свойство квазиаттракторов привело, в частности, к открытию так называемого "детерминированного стохастического резонанса" в хаотических системах в отсутствие внешнего шума [126, 92]. Другой пример - проблема управления хаосом [127]—[129, 104]. Именно сосуществование счетного множества как неустойчивых, так и притягивающих режимов колебаний в системах с квазиаттракторами расширило возможности постановки широкого спектра задач по стабилизации различных режимов с использованием специальных методов [59, 86, 130]— [144, 180]—[184].

Цель диссертационной работы заключается в детальном экспе-

риментальном исследовании структуры, динамических и статистических характеристик хаотических автоколебаний, образом которых являются квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы, направленном на выявление типичных отличительных характеристик и свойств, которые могут быть рекомендованы для использования их в качестве критериев диагностики.

Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить несколько основных задач:

1. Выбрать наиболее простые и в то же время типичные модели динамических систем, реализующие режимы квазигиперболического аттрактора и квазиаттрактора.

2. Ввести перечень наиболее информативных характеристик указанных типов аттракторов и разработать специальные алгоритмы и программы их численного расчета.

3. Провести детальные численные эксперименты по исследованию структуры и свойств указанных типов хаотических аттракторов и выявить наиболее типичные особенности характеристик, позволяющие достоверно их различать.

4. Сформулировать совокупность требований к динамическим и статистическим характеристикам хаотических аттракторов, позволяющих достоверно классифицировать квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы в численном эксперименте.

Методы исследований. Основным методом исследований в диссертации является метод численного моделирования хаотических систем с использованием как общепринятых в нелинейной динамике алгоритмов и программ, так и специально для достижения целей дис-

сертации созданных. Для получения достоверных результатов исследования первоначально проводились на классических хаотических системах, для которые задача о структуре и свойствах соответствующих типов аттрактора решена теоретически. В результате детального анализа характеристик тестовых динамических систем формулировались их типичные свойства и особенности характеристик, которые в дальнейшем применялись к исследованию динамических систем, тип аттрактора в которых теоретически не обоснован.

Достоверность научных результатов. Использование вышеуказанного метода при получении научных результатов дает достоверные результаты в том смысле, в котором можно говорить о достоверности данных численного эксперимента. С этой точки зрения использование стандартных общепринятых алгоритмов и программ, проверенных многими исследователями, а также специальных программ (расчет бассейнов притяжения и угла между многообразиями), тестирование которых также было осуществлено на теоретически исследованных моделях, гарантирует достоверность результатов работы. Все полученные результаты воспроизводимы, согласуются с теоретическими данными и не противоречат результатам, полученным другими авторами.

Научная новизна результатов работы. В результате проведенных исследований впервые систематизирован материал по полной классификации типов нерегулярных аттракторов динамических систем как математических образов непериодических колебаний.

1. Проведено детальное исследование структуры и свойств квазигиперболических аттракторов как наиболее близких к "истинно странным" грубым гиперболическим аттракторам. Сформулиро-

вана совокупность экспериментальных критериев их диагностики.

2. Проведено детальное исследование структуры и свойств квазиаттракторов, наиболее часто наблюдаемых в экспериментах. Установлено, что в силу негрубости квазиаттракторы характеризуются чрезвычайной чувствительностью к изменениям начального состояния, управляющих параметров и внешним шумовым возмущениям. Сформулирована совокупность экспериментальных критериев диагностики квазиаттракторов.

3. Разработаны эффективные алгоритмы и соответствующие программы расчета бассейнов притяжения аттракторов трехмерных дифференциальных динамических систем и расчета углов между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями хаотической траектории аттракторов в двумерных обратимых отображениях.

Научно-практическое значение результатов работы. Совокупность полученных результатов предоставляет специалистам в области экспериментальных исследований хаоса арсенал достоверных критериев для диагностики типов аттракторов в дискретных и дифференциальных системах, а также дополняет стандартный набор программ для проведения численных экспериментов при решении задач, связанных с исследованиями хаотических режимов колебаний в динамических системах.

Апробация результатов исследований и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Krakow, Poland, 1994), на школе-семинаре "Хаос-94" (Саратов, Россия, 1994), на международной конференции "Third Technical

Conference on Nonlinear Dynamics and Full Spectrum Processes" (Mystik, USA, 1995), на международной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Саратов, Россия, 1996), на международной конференции "Applied Chaotic Systems" (Lodz, Poland, 1996), на международной конференции "Applied Nonlinear Dynamics near the Millennium" (San Diego, USA, 1997), на международной конференции "Control of Oscillations and Chaos" (С.Петербург, Россия, 1997), на научном семинаре Института нелинейной динамики Потсдамского университета (Potsdam, Germany, рук. -Проф. Ю. Курте), а также на научном семинаре лаборатории нелинейной динамики и кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Результаты работы использовались при выполнении грантов Госкомитета по высшему образованию (93-8.2-10 и 95-0-8.3-66), грантов RNO ООО и RNO 300 Международного научного фонда, совместного исследовательского гранта DFG и РФФИ (436 RUS 113/334) и госбюджетной НИР "Автоколебания". По теме диссертации опубликовано и принято к публикации 12 работ (8 статей и 4 тезисов докладов).

Положение, выносимое на защиту. Совокупность теоретических и экспериментальных результатов, накопленных в процессе исследований хаоса и полученных автором настоящей работы, позволяет сформулировать основное положение, выносимое на защиту:

Принципиальные качественные и количественные различия основных характеристик квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов, таких как структура бассейнов притяжения, зависимости спектра показателей Ляпунова от начальных данных и параметра и реакция системы на воздействие внешнего шума, позволяют достоверно

диагностировать тип хаотического аттрактора динамической системы в численном эксперименте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 69 страниц текста, 50 иллюстраций, список литературы из 191 наименования на 21 странице. Общий объем работы 140 страниц.

Первая глава посвящена исследованию совокупности характеристик квазигиперболического аттрактора Лози и аттрактора Лоренца, анализу их общих особенностей и формулировке основных свойств квазигиперболических аттракторов, которые могут быть использованы в качестве диагностических критериев при компьютерном моделировании. Принимая во внимание, что для этих аттракторов имеются строгие математические доказательства их квазигиперболичности, выявленные свойства применяются для диагностики квазигиперболического аттрактора в двумерном диссипативном отображении на торе, принадлежность которого к данному типу аттрактора теоретически не была установлена.

Во второй главе на ряде примеров двумерных обратимых (модель Хенона, отображение с кубической нелинейностью) и необратимых отображений (модель двух связанных логистических отображений, система двух связанных отображений с кубической нелинейностью) и дифференциальной системы (модифицированный генератор с инерционной нелинейностью) проводятся экспериментальные исследования основных характеристик квазиаттракторов, таких как зависимость спектра ляпуновских характеристических показателей от начальных условий и параметра, структура бассейнов притяжения, влияние малого шумо-

вого возмущения на режим функционирования системы, характер автокорреляционной функции и спектра мощности. На основе полученных численных результатов формулируются типичные свойства квазиаттракторов, которые могут быть использованы в качестве экспериментальных критериев для диагностики данного типа аттрактора.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Стрелкова, Галина Ивановна

Заключение

На основании экспериментальных исследований, проведенных в диссертации для динамических систем с квазигиперболическими аттракторами (система Лози, система Лоренца, двумерное обратимое отображение на торе) и систем с квазиаттракторами (модель Хенона, отображение с кубической нелинейностью, модель двух связанных логистических отображений, система двух связанных отображений с кубической нелинейностью, модифицированный генератор с инерционной нелинейностью), получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы отличительные свойства квазигиперболических аттракторов, которые служат критериями их диагностики в численном эксперименте:

1. Вероятностная мера распределения угла ф между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории аттрактора определена на множестве положительных значений ф > 0, т.е. эффекты гомоклинического касания исключаются.

2. Зависимость от параметра и от начальных условий старшего ляпуновского показателя хаотической траектории является гладкой положительно определенной функцией, которая не содержит участков обращения показателя в нуль.

3. Область притяжения квазигиперболического аттрактора является однородной и не включает " вкраплений", соответствующих областям притяжения каких-либо иных аттракторов динамической системы.

4. Скорость спадания огибающей автокорреляционной функции во времени аппроксимируется экспоненциальным законом Ф(т) = Ф(0) ехр(—схХт), где Л есть значение положительного показателя Ляпунова фазовой траектории аттрактора, а - постоянный коэффициент порядка единицы.

5. Спектральная плотность проекции фазовой траектории на одну из координатных осей фазового пространства не содержит ярко выраженных выбросов на каких-либо характерных частотах.

6. Вероятностная мера распределения траекторий на квазигиперболическом аттракторе при малых возмущениях системы меняется мало в соответствии с теоретическим результатом Ки-фера для грубых гиперболических аттракторов.

2. Экспериментально обосновано, что хаотический аттрактор в двумерном обратимом отображении на торе (1.9) является по крайней мере квазигиперболическим.

3. На основе детальных расчетов динамических и статистических характеристик систем с квазиаттракторами сформулированы отличительные свойства квазиаттракторов, являющиеся экспериментальными критериями их диагностики:

1. Зависимость старшего ляпуновского показателя от начальных условий и управляющих параметров является негладкой функцией.

2. Сосуществование множества хаотических и регулярных аттракторов при фиксированных параметрах системы приводит к сложной вложенной структуре их бассейнов притяжения. С изменением параметра ввиду бифуркаций сосуществующих аттракторов бассейны притяжения также демонстрируют бифуркационную перестройку.

3. Квазиаттракторы проявляют высокую чувствительность к малым шумовым возмущениям, что диагностируется по резкой перестройке .режимов при действии шума и соответствующим резким перестройкам вероятностной меры аттрактора.

4. Вероятностная мера распределения угла ф между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории системы с квазиаттрактором включает значение ф — 0, свидетельствуя об эффектах гомоклинического касания многообразий.

5. Спектральная плотность мощности любой из фазовых координат системы почти всегда содержит ярко выраженные выбросы на характерных частотах, а автокорреляционная функция хотя и является в среднем спадающей, не допускает аппроксимации законом Ф(т) = Ф(0) ехр(—аХт), где Л есть старший показатель спектра ЛХП.

4. Исследованиями динамики двух связанных отображений Хенона (2.5) и кубических отображений (2.6) в условиях отбрасывания сжимающих направлений, приводящих к их необратимости, установлено, что все отличительные особенности и характеристики квазиаттракторов сохраняются и могут быть использованы для диагностики в экспериментах с необратимыми дискретными системами.

Важным результатом проведенных исследований является экспериментальное обоснование возможности применения совокупности используемых характеристик хаотических аттракторов для диагностики их типа в дифференциальных системах, широко распространенных в естествознании. Как известно, задача исследования нелокальных свойств многообразий в дифференциальных системах размерности N > 3 пока не подддается простому численному анализу. В связи с этим косвенные критерии негрубости системы, причиной которых безусловно является касание многообразий, достоверно могут быть использованы в экспериментальных исследованиях квазиаттракторов. Наиболее простыми и наглядными из них являются: негладкая зависимость ляпуновских показателей от начальных данных и параметра и повышенная чувствительность системы к малым шумовым возмущениям.

И, наконец, обсудим этот важный результат исследований. Воздействие шума в системах с квазиаттрактором может приводить к эффектам двух типов: индуцированным шумом бифуркационным переходам, которые качественно эквивалентны изменению эффективных значений управляющих параметров системы, и индуцированным шумом фазовым переходам, когда вновь установившийся режим функционирования системы не может быть реализован в ней в отсутствие шума. В диссертации обсуждаются фазовые переходы первого типа. Индуцированные шумом переходы являются предметом специальных исследований в теоретической физике и нелинейной динамике. Примером может служить фундаментальное явление стохастического резонанса в бистабильных системах с шумом [176]—[179, 98].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стрелкова, Галина Ивановна, 1998 год

Литература

1. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова // М.: Мир, 1981.

2. Schuster H.-G. Deterministic Chaos // Weinheim: Physik-Verlag, 1984.

3. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика // М.: Мир, 1984.

4. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы // М.: Наука, 1980.

5. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний // М.: Наука, 1976.

6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн // М.: Наука, 1984.

7. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН, 1978. Т. 125, вып. 1. С. 123-168.

8. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука, 1987.

9. Анигценко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука, 1990, с. 59-61.

10. Анигценко B.C. Размышления о нелинейной динамике: к вопросу об учебных планах подготовки специалистов по нелинейной динамике // Изв. вузов - Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5, N 4. С. 59-64.

11. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы / Под.ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова // М.: Мир, 1981. С. 117-151.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: Наука, 1967.

13. Андронов A.A., Леонтович Е.М., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка // М.: Наука, 1967.

14. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений // М; Л.: Гостехиздат, 1947.

15. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения // М.: Мир, 1980.

16. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций // М.: Мир, 1983.

17. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978.

18. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН, 1971. Т. 105, вып. 1. С. 3-39.

19. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория // М.: Наука, 1980.

20. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории // М.: ИЛ, 1959.

21. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация // М.: Мир, 1969.

22. Бунимович Jl.А., Песин Я.В., Синай Я.Г., Якобсон М.В. Эргоди-ческая теория гладких динамических систем / Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. проблемы матем. Фундаментальные направления, 1985. Т. 2. С. 113-232.

23. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН, 1977. Т. 32, N 4. С. 55-112.

24. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic Theory of Chaos and Strange At-tractors // Rev. Mod. Phys., vol. 57, N 3, 1985, pp. 617-656.

25. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. В кн. Мар-сден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М., Мир, 1980, с. 317-335.

26. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. ДАН СССР, т. 234, N 2, 1977, с. 336-339.

27. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О существовании устойчивых периодических движений в модели Лоренца // УМН, 1980, т. 35, N 4, с. 164-165.

28. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange Attractors and Quasiattrac-tors. In Nonlinear Dynamics and Turbulence (Eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss and D.D. Joseph). Pitman, Boston, London, Melbourne, 1983. P. 1-34.

29. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи мат. наук, 1981. Т. 36. С. 240-242.

30. Shilnikov L.P. Strange Attractors and Dynamical Models. J. of Circuits, Systems, and Computers, vol. 3, N 1, 1993, pp. 1-10.

31. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1972.

32. Белых В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании // Динамика систем. - Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1976. Вып. 11. С. 23-32.

33. Belykh V.N. Models of Discrete Systems of Phase Locking. // In: Phase Locking Systems, ed. by Belyustina L.N., Shakhgil'dyan V.V. (Radio i Svyaz, Moscow), 1982. P. 161-176 (in russian).

34. Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения. // Матем. сборник, 1995. Т. 186, N 3.

35. Afraimovich V. Strange Attractors and Quasiattractors. In Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. NY: Gordon and Breach, Har-wood Acad.Publ., 1984. Vol. 3. P. 1133-1138.

36. Afraimovich V. Attractors. In Nonlinear Waves - 1 (Eds. A.V. Gaponov, M.I. Rabinovich and J. Engelbrechet). SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 1989. P. 6-28.

37. Быков В.В. О рождении периодических движений из сепаратрис-ного контура трехмерной системы // УМН, 1977. Т. 32, вып. 6. С. 213-214.

38. Арнольд В.И. Теория катастроф // М.: Знание, 1983.

39. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резо-нансов // Нелинейные волны / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. С. 116-130.

40. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

41. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 1967. Т. 90. С. 3-209.

42. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР, 1959. Т. 124. С. 768-771.

43. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192-211.

44. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. // ДАН СССР, т. 119, 1958, с. 861-864.

45. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. // ДАН СССР, т. 124, 1959, с. 754-755.

46. Кифер Ю.И. Некоторые теоремы о малых случайных возмущениях динамических систем. // УМН, т. 29, вып. 3, 1974, с. 205.

47. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике // М.: Сов. радио, 1961.

48. Leonov G.A., Ponomarenko D.V. and Smirnova V.B. Local Instability and Localization of Attractors. From Stochastic Generator to Chua's Systems // Acta Applicandae Mathematicae, 1995. Vol. 40. P. 179243.

49. Leonov G.A. Lyapunov Exponents and Problems of Linearization. From Stability to Chaos // St. Petersburg University Press, 1997.

50. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журнал, 1964. Т. 26, вып. 1. С. 61-71.

51. Sharkovsky A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications // Kluwer Acad. Publ., The Netherlands, 1993.

52. Ruelle D. Chaotic Evolution and Strange Attractors // London: Cambridge Univ. Press, 1988. 120 p.

53. Newhouse S.E. The Abundance of Wild Hyperbolic Sets and Nons-mooth Sets for Diffeomorphism // Publ. Math. IHES, 1979. Vol. 50. P. 101-151.

54. Arnold L. Stochastic Systems: Qualitative Theory and Lyapunov Exponents / Fluctuations and Sensitivity in Nonequilibrium Systems (Eds. W. Horsthemke, D. Kondepudi). Springer, Berlin, 1984. P. 1118.

55. Haken H. Advanced Synergetics: Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices // Springer, Berlin, 1983.

56. Пригожин И. От существующего к возникающему // М.: Наука, 1985.

57. Пиковский А.С., Рабинович М.И. О странных аттракторах в физике // Нелинейные волны / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. -М.: Наука, 1979. С. 176-191.

58. Пиковский A.C., Рабинович М.И. Простой генератор со стохастическим поведением // ДАН СССР, 1978. Т. 239, N 2. С. 301-304.

59. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский A.B. Хоти-ческие колебания - генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997. N 10. С. 27-50.

60. Афраймович B.C., Веричев Н.И., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1986. Т. 29, N 9. С. 1050.

61. Афраймович B.C., Некоркин Н.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // Горький, Изд-во ИПФ АН СССР, 1989.

62. Кислов В.Я., Дмитриев A.C. Стохастические колебания в радиотехнических и электронных системах / / Проблемы современной радиотехники и электроники. - М.: ИРЭ АН СССР, 1983. С. 193212.

63. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука, 1989.

64. Дудник E.H., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах состранным аттрактором. // Вестник Московского университета, 1983. Серия 3, Т. 24, N 4. С. 84-87.

65. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М.. Порог синхронизации как характеристика фазового перехода хаос -порядок. // Препринт. Физический факультет МГУ. М., 1984.

66. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф.. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах. // ДАН СССР, 1985. Т. 281, N 2, С. 1164-1169.

67. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение, структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем // М.: Наука, 1990.

68. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика открытых систем. М.: Наука, 1995.

69. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминизм, предсказуемость // Успехи физ. наук, 1989. Т. 32, N 5. С. 434-449.

70. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. Strategy and Algorithms for Dynamical Forecasting / Predictability of Complex Dynamical Systems (Eds. Yu.A. Kravtsov, J.B. Kadtke) // Springer, Berlin, 1996.

71. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности / Новое в синергетике. // М.: Наука, 1996.С. 165-190.

72. Сонечкин Д.М. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы //Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

73. Anishchenko V.S. Dynamical Chaos - Models and Experiments. // World Scientific, Singapore, 1995, 400 p.

74. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Изв вузов. Сер. "Радиотехника", 1985. Т. 28, N 8. С. 991-1007.

75. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправленно связанных отображений у порога .гиперхаоса // Изв. вузов. "Радиофизика", 1990. Т. 33, N 7. С. 788.

76. Кузнецов С.П. Критический квазиаттрактор: бесконечное самоподобное множество устойчивых циклов, возникающих при двухпа-раметрическом анализе перехода к хаосу // Письма в ЖТФ, 1994. Т. 20, вып. 10. С. 11.

77. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в диссипативных средах у порога возникновения хаоса // Известия ВУЗов, "Радиофизика", 1990. Т. 34, N 2, С. 142-146.

78. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса. // Известия ВУЗов, " Радиофизика", 1991. Т. 34, N 10-12, С. 1079-1115.

79. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных Фейгенбау-мовских системах // Журнал Технической Физики, 1990. Т. 60, N 10, С. 19-26.

80. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.П., Селезнев Е.П. Муль-тистабильные состояния в диссипативно связанных Фейгенбаумов-ских системах // Письма в ЖТФ, 1989. Т. 15, N 3, С. 60-65.

81. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических генераторов с емкостной связью // Радиотехника и Электроника, 1991. Т. 36, N 11, С. 2167-2172.

82. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И.. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах // Известия ВУЗов. "Радиофизика", 1991. Т. 34, N 1, С. 35-38.

83. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Е.В. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Письма в ЖТФ, 1995. Т. 21, вып. 8. С. 12.

84. Bezruchko В.P., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р. Multiparameter Model of a Dissipative Nonlinear Oscillator in the Form of One-dimensional Map // Chaos, Solitons and Fractals, 1995. Vol. 5, N 11. P. 2095.

85. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника, 1983. Т. 28, N 6. С. 1109-1115.

86. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chais in a Chain of the Coupled Logistic Maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, 1995. Vol. 42, no. 6. P. 352-257.

87. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. Synchronization of Chaotic Oscillators by Periodic Parametric Perturbations // Physica D, 1997. Vol. 109. P. 11-16.

88. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Kapitaniak Т., Anishchenko V.S. Loss of Chaos Synchronization through the Sequence of Bifurcations of Saddle Periodic Orbits // Phys. Rev. Lett., 1997. Vol. 79, no. 6. P. 10141017.

89. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Sosnovtseva O.V., Mechanisms

of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic at-

tractors // Phys. Rev. E., 1996. Vol. 53, no. 5. P. 4451-4457. f

90. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Sosnovtseva O.V., Strange Non-chaotic Attractor in Autonomous and Periodically Driven Systems // Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54, no. 3. P.

91. Sosnovtseva O., Vadivasova T.E., Anishchenko V.S., Evolution of Complex Oscillations in a Quasiperiodically Forced Chain // Physical Review E, 1998. Vol. 57, no. 1. P. 282-287.

92. Anishchenko V.S., Neiman A.B., Safonova M.A. Stochastic resonance in chaotic systems// J.Stat.Phys. 1993. Vol. 70, N 1/2. P. 183-196.

93. Neiman A. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems// Phys.Rev.E, 1994. Vol. 49. P. 3484-3488.

94. Neiman A., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance in bistable systems driven by harmonic noise// Phys. Rev. Lett., 1994. Vol. 72. N 19. P. 2988-2991.

95. Shulgin B., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force// Phys.Rev.Lett., 1995. Vol. 75, N 23. P 4157-4161.

96. Neiman A., Shulgin B., Anishchenko V., Ebeling W., Schimansky-Geier L., Freund J. Dynamical entropies applied to stochastic resonance// Phys.Rev.Lett., 1996. Vol. 76, N 23. P. 4299-4302.

97. Gailey P.C., Neiman A., Collins J.J., Moss F. Stochastic resonance in ensembles of non-dynamical elements. The role of internal noise// Phys.Rev.Lett., 1997. Vol. 79. P. 4701-4704.

98. Анищенко B.C., Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JT. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН, 1998 (в печати).

99. Grebogi С., Ott Е., Yorke J.A. Crises, Sudden Changes in Chaotic Attractors and Transient Chaos // Physica D, 1983. Vol. 7. P. 181.

100. Grebogi C., Ott E., Pelikan S., Yorke J.A. Strange attractors that are not chaotic // Physica 13D, 1984. P. 261.

101. McDonald S., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Fractal Basin Boundaries // Physica D, 1985. Vol. 17. P. 125-153.

102. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Metamorphoses of Basin Boundaries in Nonlinear Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett., 1986. Vol. 56, no. 10. P. 1011-1014.

103. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Basin Boundary Metamorphoses: Changes in Accessible Boundary Orbits // Physica D, 1987. Vol. 24. P. 243-262.

104. Ott E., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling Chaos // Phys. Rev. Lett., 1990. Vol. 64. P. 1196-1199.

105. Feudel U., Grebogi C., Hunt В., Yorke J.A. Map with More than 100 Coexisting Low-period Periodic Attractors // Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54, no. 1. P. 71-81.

106. Neiman A.B., Anishchenko V.S., Kurths J. Period-doubling Bifurcations in the Presence of Colored Noise // Phys. Rev. E, 1994. Vol. 49, no. 5. P. 3801-3806.

107. Saparin P.I., Zaks M.A., Kurths J., Voss A., Anishchenko V.S. Reconstruction and Structure of Electrocardiogram Phase Portraits // Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54, no. 1. P. 737-742.

108. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase Synchronization of Chaotic Oscillators // Phys. Rev. Lett., 1996. Vol. 76. P. 1804-1807.

109. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Synchronization in a Population of Globally Coupled Chaotic Oscillators // Europhys. Lett.,

1996. Vol. 34. p. 165-170.

110. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J.. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D,

1997. V. 104. P. 219-238.

111. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Roessler oscillators // Phys. Rev. E, 1997. V. 55, P. 2353-2361.

112. Farmer J., Ott E., Yorke J. The Dimension of Chaotic Attractors. // Physica D 7, 1983, p. 153.

113. Kaplan J.L., Yorke J.A., Chaotic Behavior of Multi-Dimensional Difference Equations // Lect. Notes in Math., 1979. Vol. 730, P. 204-227.

114. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение / "Странные аттракторы", под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. // М.: Мир, 1981. С. 88-116.

115. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к негрубой гомоклинической кривой //1. Матем. сб., 1972. Т. 88(130), N 8. С. 475-492; 2. Матем. сб., 1973. Т. 90(132), N 1. С. 139-156.

116. Smale S. Differentiable Dynamical Systems // Bull. Am. Math. Soc.,

1967. Vol. 73. P. 747-817. t

117. Плыкин P.B. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН, 1980. Т. 35, N 3. С. 94-104.

118. Анищенко B.C. Аттракторы динамических систем // Изв. вузов - Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5, N 1. С 109-127.

119. Lozi R. Un Attracteur Etrange du Type Attracteur de Henon // Journ. de Physique, 1978. Vol. 39(C5). P. 9-10.

120. Cook A.E., Roberts P.H. The Rikitake Two-disc Dynamo System // Proc. of Cambridge Philosophical Society, 1970. Vol. 68. P. 547-569.

121. Williams R.F. The Structure of Lorenz Attractors // Lect.Notes in Math. 615, 1977. Springer-Verlag, Berlin. P. 94-112.

122. Haken H. Analogy between higher instabilities in fluid and lasers // Phys. Letters, 1975. Vol. 53A, N 1. P. 77-79.

123. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimension of Strange Nonchaotic Attractors // Phys. Lett. A, 1989. Vol. 137. P. 167-172.

124. Kapitaniak Т., Wojewoda J., Attractors of Quasiperiodically Forced Systems // World Scientific, Singapore, 1993, 90 p.

125. Heagy J.F. and Hammel S.M., The Birth of Strange Nonchaotic Attractors // Physica D, 1994. Vol. 70. P. 140-153.

126. Anishchenko V.S., Safonova M.A., Chua L.O. Stochastic Resonance in Chua's Circuit // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992. Vol. 2, no. 2. P. 397-401.

127. Hubler A.W., Luscher E. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations // Naturwissenschaft, 1989. Vol. 76. P. 67.

128. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems // Physica D, 1990. Vol. 50. P. 341-366.

129. Jackson E.A. The entrainment and migration controls of multiple-attractor systems // Physics Letters A, 1990. Vol. 151. P. 478-484.

130. Chacon R. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations // Physical Review E, 1989. Vol. 51, N 1. P. 761-764.

131. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos // Physical Review Letters, 1990. Vol. 65, N 26. P. 3211-3214.

132. Hunt E.R. Stabilizing high periodic orbits in a chaotic system: The diode resonator // Physical Review Letters, 1991. Vol. 67. P. 19531955.

133. Roy R., Murphy T.D., Maier T.D., Gills Z., Hunt E.R. Dynamical control of a chaotic laser: experimental stabilization of a globally coupled system // Physical Review Letters, 1992. Vol. 68. P. 1259-1262.

134. Kapitaniak T. Controlling Chaotic Oscillators Without Feedback // Chaos, Solitons and Fractals, 1992. Vol. 2. P. 519-530.

135. Gariinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cardiac chaos // Science, 1992. Vol. 257. P. 1230.

136. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Physics Letters A, 1992. Vol. 170. P. 421.

137. Pyragas К., Tamasevisevicius A. Experimental control of chaos by delayed self-controlling feedback // Physics Letters A, 1993. Vol. 180. P. 99-102.

138. Shinbrot Т., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Using small perturbations to control chaos // Nature, 1993. Vol. 363. P. 411-417.

139. Lai Y. C., Grebogi C. Converting transient chaos into sustained chaos by feedback control // Physical Review E, 1994. Vol. 49, N 2. P. 10941098.

140. Kivshar Y.S., Rodelsperger F., Benner H. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations // Physical Review E, 1994. Vol. 49, N 1. P. 319-324.

141. Baretto E., Grebogi C. Multiparameter control of chaos // Physical Review E, 1995. Vol. 52, N 4. P. 3553-3557.

142. Petrov V., Shovalter K. Nonlinear control of dynamical systems from time series // Physical Review Letters, 1996. Vol. 76, N 18. P. 33123315.

143. Kaifen H., Gang H. Feedback control of chaotic motions and unstable wave packets in a space-time-dependent systems // Physical Review E, 1996. Vol. 53, N 3. P. 2271-2282.

144. Рождественский В.В. Синхронизация гладких периодических отображений внешним периодическим сигналом // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42, N 3. С. 307-312.

145. Lai J.С., Grebogi С., Yorke J.A., and Kan I. How often are Chaotic Saddles Nonhyperbolic? // Nonlinearity, vol. 6, 1993, pp. 779-797.

146. Быков В.В., Шильников Л.П. О границах области существования аттрактора Лоренца. // Межвуз. тем. сб.: Методы качественной теории и теории бифуркаций. Горький, 1989, с. 151-159.

147. Sinai Y. Gibbs Measure in Ergodic Theory. // Russ. Math. Surveys 4, 1972, pp. 21-64 (in russian).

148. Гонченко С.В., Шильников Л.П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // ДАН СССР, 1986. Т. 286, N 5. С. 1049-1053.

149. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О моделях с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре // ДАН СССР, 1991. Т. 320. С. 269-272.

150. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Мат. сб., 1963. Т. 61 (104). С. 443-466.

151. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокуса // Мат. сб., 1970. Т. 81 (123). С. 92-103.

152. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // ДАН СССР, 1978. Т. 243, N 1. С. 26-29.

153. Arneodo A., Collet P., Tresser С. Oscillators with Chaotic Behaviour: An Illustration of a Theorem of Shilnikov //J. Stat. Phys., 1982. Vol. 27, N 1. P. 171-182.

154. Gaspard P., Nicolis G. What We Learn from Homoclinic Orbits in Chaotic Dynamics? // J. Stat. Phys. , 1983. Vol. 31, N 3. P. 449-518.

155. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys., 1976. Vol. 50, N 1. P. 69-77.

156. Feigenbaum M.J'. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations // L. Stat. Phys., 1978. Vol. 19, N 1. P. 25-52.

157. Ueda Y., Randomly Transitional Phenomena in the System Governed by Duffing's Equation // J. Stat. Phys., 1979. Vol. 20. P. 181-196.

158. Holmes P.J. A Nonlinear Oscillator with a Strange Attractor // Philos. Trans. R. Soc. London A, 1979. Vol. 292. P. 419-448.

159. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983. Т. 141, N 2. С. 343-374.

160. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН, 1984. Т. 39, N 3. С. 337.

161. Collet P., Eckmann J.P., Lanford О.Е. Universal Properties of Maps on an Interval // Comm. Math. Phys., 1980. Vol. 76, N 3. P. 211-254.

162. Кузнецов С.П., Ерастова. E.H. Теория Фейгенбаума / Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Кн. 2. // Саратов: Изд-во СГУ, 1983. С. 3-22.

163. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Часть 1. Физико-математические основы описания и исследования динамической стохастичности // Саратов: Изд-во СГУ, 1985.

164. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Часть 2. Типичные бифуркации и квазиаттракторы в не-

линейных системах с малым числом степеней свободы // Саратов; Изд-во СГУ, 1986.

165. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы // М.; Мир, 1987.

166. Нейман A.B. Влияние внешнего шума на бифуркации и хаос в динамических системах малой размерности: Канд. дис. - Саратов, 1991.

167. Анищенко B.C. К вопросу о стохастических колебаниях радиосистем с обратной связью //IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. - Киев: Наукова Думка, 1984. Т. 3. С. 341-343.

168. Cremers J., Hüb 1er A. Construction of Differential Equations from Experimental data // Z. Naturforschung A, 1987. Vol. 42. P. 797-802.

169. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of Motion from a Data Series // Complex Systems, 1987. Vol. 1. P. 417-452.

170. Янсон H.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв. вузов - Прикладная нелинейная динамика, 1995. Т. 3, вып. 3. С. 112-121.

171. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22, N 16. С. 57-62.

172. Rössler O.E. An Equation for Continuous Chaos // Phys. Lett., 1976. Vol. 57A, N 5. P. 397-398.

173. Белоусов Б.П. // Сб. рефератов по радиационной медицине за 1958 г. - М.; Медгиз, 1959. С. 145.

174. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания // М.; Наука, 1983. С. 16-25.

175. Simoyi R.N., Wolf A., Swinney H.L. One-dimensional Dynamics in a Multi-Component Reaction // Phys. Rev. Lett., 1982. Vol. 49. P. 245.

176. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J. Phys., 1981. Vol. 14A. P. L453-L457.

177. Fauve S., Heslot F. Stochastic resonance in a bistable system // Phys. Lett., 1983. Vol. 97A. P. 5-8.

178. McNamara В., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Lett., 1989. Vol. 39A. P. 4854-4869.

179. Wiesenfeld K., Moss F. Stochastic Resonance and the Benefits of Noise: From Ice Ages to Crayfish and SQUIDs // Nature, 1995. Vol. 373. P. 33-36.

Публикации по теме диссертации

180. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Controlling Chaos in the Modified Oscillator with Inertial Nonlinearity // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, 1995. Vol. 42, no. 6. P. 366-368.

181. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chaos in One- and Two-dimensional Coupled Logistic Map Lattices // Proc. of the conference "Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing" (Ed. by R.A. Katz), 1995. P. 104120.

182. Анищенко B.C., Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В. Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных систе-

мах с хаотической динамикой // Изв. вузов - "Прикладная нелинейная динамика", 1995. Т. 3, N 4. С. 73-79. #

183. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Радиотехника и электроника, 1996. Т. 41, N 11. С. 1323-1331.

184. Астахов В.В., Шабунин А.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42, N 3. С. 320-327.

185. Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Irregular Attractors // Discrete Dynamics in "Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 1. P. 53-72.

186. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of Two-dimensional Invertible Maps. // Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 4.

187. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Fourier Analysis of Symmetrically Coupled Chua's Oscillators // Book of Abstracts of the Int. Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96, Saratov, July 8-14, 1996). P. 17.

188. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Silchenko A.N., Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Controlling Chaos in the System of Coupled Chua's Oscillators // Book of Abstracts of the Int. Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96, Saratov, July 8-14, 1996). P. 23.

189. Strelkova G., Silchenko A. Control and Synchronization of Chaos in a Coupled Generators System // Book of Abstracts of the Int. Con-

ference "Applied Chaotic Systems" (Lodz, Poland, September 26-30,

1996). P. 24.

i

190. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Attractors of Dynamical Systems // In Proceedings of the Int. Conference on Control of Oscillations and Chaos (COC'97, St.Petersburg, August 27-29, 1997). Vol. 3, P. 498503.

191. Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Structure and Properties of Quasi-hyperbolic Attractors //In Proceedings of the Int. Conference on Control of Oscillations and Chaos (COC'97, St.Petersburg, August 27-29,

1997). Vol. 2, P. 345-346.

Благодарности

Автор настоящей-диссертации выражает безмерную благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю, профессору B.C. Анищенко за счастливую возможность у него учиться, за огромную поддержку, понимание и неоценимую помощь в подготовке данной работы.

Автор считает своим приятным долгом искренне поблагодарить своих коллег-сотрудников Лаборатории нелинейной динамики (доц. Т.Е. Ва-дивасову, доц. В.В. Астахова, доц. A.B. Неймана, доц. Д.Э. Постнова, ст.пр. A.B. Шабунина, асс. И.А. Хованова, асс. Н.Б. Янсон, О.В. Сос-новцеву, асп. А.Н. Сильченко, А.Г. Баланова, А.Н. Павлова, А.П. Никитина) и студентов В. Панфилова, A.C. Копейкинаи М.Л. Рабиновича за плодотворные и полезные дискуссии, ценные замечания и рекомендации и огромную помощь в работе над диссертацией.