Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением: аттракторы и гомоклинические бифуркации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Мокаев, Руслан Назирович

• Мокаев, Руслан Назирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мокаев, Руслан Назирович

Оглавление

Введение

1 Отрицательное решение проблемы Калмана и доказательство существования скрытого странного аттрактора

1.1 Дифференциальные включения: определения решений

1.1.1 Подход Филиппова

1.1.2 Подход Айзермана-Пятницкого

1.1.3 Подход Гелига-Леонова-Якубовича

1.2 Проблема Калмана

1.3 Построение контрпримеров к гипотезе Калмана

1.3.1 Поиск самовозбуждающихся колебаний

1.3.2 Метод точечных отображений A.A. Андронова

1.3.3 Анализ возможного существования скрытых колебаний. Метод продолжения по параметру

1.4 Двумерная модель Келдыша

2 Численное моделирование системы лоренцевского типа: асимптотическое поведение решений, хаос и гомоклиниче-ские бифуркации

2.1 Система лоренцевского типа

2.2 Асимптотическое поведение решений и структуры компьютерных ошибок

2.2.1 Аналитический критерий неустойчивости

2.2.2 Численное определение границ областей неустойчивости

2.2.3 Моделирование системы вблизи границы неустойчивости

2.3 Гомоклинические траектории в системе лоренцевского типа

2.3.1 Аналитическое доказательство существования гомоклипи-ческих траекторий

2.3.2 Численный анализ гомоклинических бифуркаций в системе лоренцевского типа

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

А Определения: динамические системы с непрерывным временем и аттракторы

Б Реализация алгоритма построения контрпримера к гипотезе

Калмана

Б.1 Локализация периодического решения в системе Фиттса с разрывной правой частью методом точечных отображений

Б.2 Локализация хаотического решения в системе Фиттса с разрывной правой частью методом продолжения по параметру

Б.З Локализация хаотического решения в системе Фиттса с кусочно-гладкой и гладкой правой частью с использованием обратного сценария разрывной аппроксимации и метода продолжения по параметру

В Численное моделирование системы лоренцевского типа

В.1 Реализация алгоритма численного определения границ областей

неустойчивости системы лоренцевского типа

В.2 Реализация алгоритма моделирования и анализа поведения сепаратрис седла и поведения отображений Пуанкаре системы лоренцевского типа

В.2.1 Алгоритм численного сканирования области параметров и анализа поведения сепаратрис седловых состояний равновесия

В.2.2 Алгоритм для численного моделирования отображения

Пуанкаре

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением: аттракторы и гомоклинические бифуркации»

Введение

Начиная с 40-х годов прошлого века стали разрабатываться критерии отсутствия колебаний в системах автоматического регулирования. В 1944 году была опубликована знаменитая работа А.И. Лурье и В.Н. Постникова [1], в которой был предложен эффективный подход для получения достаточных условий отсутствия колебаний и глобальной устойчивости для математической модели системы регулирования с одной скалярной нелинейностью (такую систему в литературе часто называют системой Лурье). Далее для системы Лурье с единственным состоянием равновесия и нелинейностью из заданного линейного сектора возник вопрос совпадения условия глобальной устойчивости нелинейной системы с условием устойчивости линейного приближения. В рамках исследования этого вопроса Рудольфом Калманом в 1957 году была сформулирована известная гипотеза [2] о моноустойчивости такой системы управления. В общем случае эта гипотеза оказалась неверна. В работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова, X. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова исследовались контрпримеры к гипотезе Калмана, в которых устойчивые периодические решения сосуществовали с единственным состоянием равновесия. Трудность численного поиска таких скрытых колебаний связана с тем, что их область притяжения может быть мала и не связана с состоянием равновесия. В настоящей работе, на основе развития теории разрывных систем и применения метода точечных отображений Андронова, построен контрпример к гипотезе Калмана с хаотической динамикой.

Одним из актуальных направлений исследования является разработка эффективных аналитико-численных методов, использующих вычислительные мощности современных ЭВМ и продуктивные аналитические подходы. Значительными результатами, полученными на основе таких подходов, являются компьютерное доказательство (computer-assisted proof) действительного суще-

ствования хаотического аттрактора в классической системе Лоренца [3], и обнаружение скрытых аттракторов в системах лоренцевского типа [4]. Одним из центральных направлений современных исследований сценариев перехода к хаотической динамике в многомерных системах является исследование го-моклинических бифуркаций в работах нижегородской школы Л.П. Шильнико-ва [5]. За последнее время в этом направлении представителями этой школы получен ряд новых результатов для систем лоренцевского типа. В настоящей работе изучается обобщенная система Лоренца, которая включает в себя математические модели, описывающие процесс конвекции жидкости [6], динамику волн в лазерах [7] и другие физические процессы [8]. Для этой системы проведены аналитико-численные исследования, связанные с развитием аналитических критериев рождения гомоклинической бифуркации и с численной проверкой возможности возникновения хаоса.

Первой целью данной диссертационной работы является разработка эффективного алгоритма для аналитико-численного построения контрпримеров к проблеме Калмана с хаотической динамикой и анализ физических экспериментов Фиттса.

Второй целью данной работы является построение аналитических критериев неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов и разработка эффективного алгоритма для численного определения границ областей неустойчивости. Под системами лоренцевского типа понимаются классическая система Лоренца, а также известные системы Чена, Лу, Тигана-Янга и Шимицу-Мориока, которые в работе обобщаются специальной системой с кубической нелинейностью.

Третьей целью является получение аналитических критериев существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа и разработка эффективных численных алгоритмов для анализа гомоклинической бифуркации и соответствующих сценариев возникновения хаоса.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать аналитико-численный алгоритм, основанный на методе точечных отображений, методе продолжения по параметру и на обратном

сценарии разрывной аппроксимации Айзермапа-Пятпицкого, для построения контрпримеров к проблеме Калмана;

2. Разработать алгоритм численного определения границ областей неустойчивости, основанный на моделировании и анализе поведения траекторий обобщенной системы Лоренца;

3. Разработать алгоритм моделирования и анализа поведения сепаратрис седла и алгоритм моделирования и анализа поведения отображений Пуанкаре в обобщенной системе Лоренца при изменяющемся бифуркационном параметре для численного анализа возможности возникновения хаотического поведения в окрестности гомоклинической бифуркации;

4. Реализовать разработанные алгоритмы в виде комплекса программ в пакете вычислений МАТЬАВ.

Методы исследования

1. Для построения контрпримеров к проблеме Калмана применен метод точечных отображений и символьные вычисления для локализации периодических решений, а также подход, основанный на обратном сценарии разрывной аппроксимации, для перехода к системе с гладкой нелинейностью.

2. Аналитический метод построения области глобальной устойчивости и глобальной неустойчивости в системах лоренцевского типа.

3. Аналитический метод доказательства существования гомоклинических бифуркаций в системах лоренцевского типа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Алгоритм синтеза моделей со скрытыми колебаниями для класса моделей управления в форме Лурье. Алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанный на обратном сценарии разрывной аппроксимации Айзермапа-Пятпицкого. Контрпример с гладкой нелинейностью к проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытый хаотический аттрактор.

2. Аналитический критерий неустойчивости для класса моделей лоренцевского типа со сжатием объемов. Алгоритм для численного определения границ областей неустойчивости.

3. Алгоритм синтеза моделей с гомоклинической траекторией для класса моделей лоренцевского типа. Аналитический критерий существования го-моклинических траекторий и алгоритм для численного исследования го-моклинических бифуркаций для класса моделей лоренцевского типа. Численное обнаружение гомоклинической бифуркации слияния странных аттракторов.

Научная новизна. Пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации разработан аналитико-численный метод, основанный на методе разрывной аппроксимации, для локализации и определения параметров скрытых колебаний в нелинейных системах, который можно применить для различных систем управления, используемых, например, в летательных аппаратах и буровых установках.

Для обобщенной системы Лоренца в пространстве параметров аналитически построена граница областей глобальной устойчивости и неустойчивости решений для дальнейшего исследования турбулентности.

Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных научных конференциях: 2nd International Scientific Conference "Autumn Mathematical Readings in Adyghea" (Russia, Maykop - 2017), International Scientific Conference on Mechanics "The Eight Polyakhov's Reading" (Russia, Saint Petersburg - 2018).

Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета и кафедры математических информационных технологий университета Ювяскюля (University of Jyväskylä, Финляндия).

По результатам работы над гипотезой Калмана было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№2018610372 от 11.01.18).

Работа поддержана грантом Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки Ведущих научных школ Российской Федерации на 2018-2019 годы (НШ-2858.2018.1).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 публикациях [9-14], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией [9-11].

В работах [13, 15] диссертанту принадлежит вывод критерия неустойчивости в системах лоренцевского типа и численное определение границ областей неустойчивости, соавторам — постановка задачи и экспериментов. В работах [10-12] диссертанту принадлежит реализация алгоритма для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанного на методе разрывной аппроксимации и построение гладкого контрпримера к проблеме Калмана; постановка задачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работах [13,14] диссертанту принадлежат вывод аналитического критерия существования гомо-клинических траекторий в системах лоренцевского типа, численные результаты, связанные с существованием гомоклинической бифуркация слияния странных аттракторов, и с отсутствием возникновения хаотической динамики, соавторам — постановка задачи.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 150 страниц с 66 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 177 наименований.

Глшзв

Отрицательное решение проблемы Кал-мана и доказательство существования скрытого странного аттрактора

Зарождение теории дифференциальных включений обычно связывают с работами французского математика А. Маршо [16,17] и польского математика С.К. Зарембы [18,19]. Однако развитию теории дифференциальных включений способствовали не только исследования в области абстрактной математики, но и изучение конкретных механических задач (задачи пластичности, задачи с сухим трением, задачи управления с релейными элементами, задачи в области трибологии и другие задачи - см., например, [20-48]). Т.е. наряду с общими рассуждениями и попытками понять, как вводится понятие производной для дифференциальных включений, существовали другие направления, связанные с конкретными потребностями прикладных задач (например, исследование двумерной модели демпфирования флаттера систем управления самолётами [49], задача стабилизации курса нейтрального самолёта при помощи автопилота с постоянной скоростью сервомотора [50-53]). Материал и основные результаты этой главы основаны на публикациях [10-12].

и

1.1 Дифференциальные включения: определения решений

Рассмотрим следующую систему

х = /(¿,х), г е к, X е Мп, (1.1)

где / : К х Мп ^ Мп - кусочно-непрерывная функция с множеством точек разрыва меры нуль.

Большинство определений решений могут быть введены следующим образом: для каждой точки (¿,х) облает и С определяется множество Р (£,х) (доопределение разрывной правой части) в пространстве размерности п. Если / непрерывна в (¿,х) то множество Р^,х) состоит из одной точки и совпадает с / в этой точке. Если (¿,х) - это точка разрыва функции /, то Р^,х) определяется тем или иным образом в зависимости от определения, т.е. вместо (1.1) мы рассматриваем дифференциальное включение

х е ^(¿,х), (1.2)

где Р^,х) является многозначной функцией.

Математики обычно ставят задачу определения многозначной функции Р по заданной функции /, тогда как в механике многозначная функция Р часто задана.

Определение 1. Решением системы (1.1) или соответствующего дифференциального включения (1.2) называется абсолютно непрерывная1 вектор-функция х(Ь), определенная на интервале I, для которой производная, суще-

1 Пусть I G'Dt С М - интервал времени. Функция х(£) : I ^ М" называется абсолютно непрерывной на I если для любого положительного е найдется положительное 6 т.ч. для любой конечной последовательности

парных непересекающихся подынтервалов (¿^,¿2/0 из I гДе ¿1 к^2к е I, удовлетворяющих

к - ^ ) <

к

выполняется

^ ||х^ ) - х(*1*)|| <£.

к

Хорошо известно, что абсолютно непрерывная вектор-функция х^), определенная на инт ервале I, является дифференцируемой почти всюду на I. Здесь и далее будем подразумевать, что выражение "почти всюду на I" означает "для всех £ е /, для которых существует Х(£)" (см. [54, р. 60]).

ствует, почти всюду на I и

х(*) е ^(1.3)

Как было отмечено во введении, начало исследований теории дифференциальных включений обычно связывают с работами французского математика А. Маршо и польского математика С.К. Зарембы, опубликованными в 19341936 [16,17,55,56]. Они исследовали уравнения вида

Dx С F(t,x), (1.4)

где t Е Vt С R x Е Vx С R и F(t,x) - многозначная вектор-функция, которая каждой точке (t ,x) некоторой области V = Vt х Vx сопоставляет множество F(t,x) точек из Rn. Для оиератopa D Маршо и Зарембой были введены понятия контингенции и паратингенции.

Определение 2. Контингенцией вектор-функции x(t) в точке t0 называется множество Cont x(t0) всех предельных точек последовательностей

x(t¡) - x(to), t, ^ to, г = 1,2,...

t i — to

Определение 3. Паратингенцией вектор-функции x(t) в точке t0 называ-

x( o)

x(ti) — x(t j )

V !_, JJ, U ^ to, tj ^ to, i = 1,2,...

i i i j

Т. Важевский продолжил исследования Маршо и Зарембы и доказал [57], x( )

x( )

является абсолют,но непрерывной.

x( )

ключевую роль в развитии теории дифференциальных включений и уравнений с разрывной правой частью, т.к. это позволило избежать использования искусственных конструкций в Определении 2 и Определении 3 и рассматривать обычную производную почти всюду. Ниже мы рассмотрим три из возможных подходов к доопределению разрывных систем и определению их решений (различные другие подходы обсуждаются, например, в [54,58-62]).

1.1.1 Подход Филиппова

В 1960-м году А.Ф. Филипповым были опубликованы работы [63,64], где он рассмотрел в качестве решений дифференциального уравнения с разрывной правой частью абсолютно непрерывные функции. Подход Филиппова является одним из самых распространенных среди других определений решений систем с разрывной правой частью. Следуя работе [63], рассмотрим систему (1.1).

Определение 4. Вектор-функциях^), определенная на промежутке1, называется решением системы (1.1) если она абсолют,но непрерывна и для почти всех £ е I вектор х(£) принадлежит, минимальному замкнутому выпуклому множеству, которое содержит все /^,х') когда х' пробегает почти всю 5-окрестность точких(Ь) в Мп (для фиксированного1), т.е.

ад е п Псопу^ммад - м). (!-5)

¿>0 ^N=0

Здесь правая часть (1.5) называется доопределением по Филиппову.

Рассмотрим случай, когда система (1.1) автономна и вектор-функция /(х) разрывна на некоторой гладкой поверхности ^ в Мп и непрерывна в окрестности этой поверхности. Пусть существуют правосторонний и левосторонний пределы /+(х) и /_(х) вектор-функции / (х), когда точка х приближается к поверхности £ с одной или другой стороны. Предположим, что оба вектора /+(х) и /_(х) направлены к разрывной поверхности 3. Тогда появляется скользящий режим,. Согласно Определению 4 (см. формулу (1.5)), векторное поле скользящего режима на разрывной поверхности может быть доопределено следующим образом. Построим плоскость, касательную к поверхности 3 в точке х и отрезок /, который соединяет концы векторов /+(х) и /_(х). Тогда может быть построен

х

ной плоскости: /0 = /0(х). Согласно Определению 4, вектор /0(х) определяет

х

Полученное решение системы (1.1) удовлетворяет Определению 4, но существует большое количество важных прикладных задач, для которых Определение 4 неприменимо. В качестве примера такой задачи рассмотрим задачу синтеза управлений и которые ограничены, < 1, |й2| < 1 и которые

оптимально быстро отображают каждую точку (^i(0),ж2(0)) системы

X1 = X2S1, X 2 = S2 (1.6)

в начало координат. Хорошо известно [65], что синтез такого управления возможен на всей плоскости (х\,х2)• Например, для первого квадранта плоскости оптимальным управлением будет следующее управление

1, при Х\ < 0.5^2, I —1, при Х\ < 0.5x2,

51 = \ 82 = \ 2 (1.7)

—1, при х1 > 0.5x2, I 1, при х1 > 0.5х22.

В частности, оптимальной является траектория х1 = 0.5x2 и для этой траектории система (1.6) принимает вид х 1 = —х2, х2 = —1. Возьмем точку х = (х1,х2) на этой траектории и будем приближаться к этой траектории со х1 < 0.5 х22

/+(х) = (х2, — 1). Если мы приближаемся к траектории со стороны х1 > 0.5x2, то предел (х) = (—х2,1). Т.к. /+(х) = —/—(х), то в этом частном случае отрезок I пересекает точку х, т.е. /о (х) = 0 и согласно определению 4 решение в режиме скольжения является состоянием равновесия. В то же самое время (—х2, — 1)

зом, оптимальная траектория не является решением в смысле определения 4, предложенного Филипповым.

1.1.2 Подход Айзермана-Пятницкого

Рассмотрим подход определения решений разрывных систем, через приближения решениями непрерывных систем, который развивался в работах [66-68] и других.

М.А. Айзерман и Е.С. Пятницкий [67] предложили другое определение решения уравнений с разрывной правой частью, которое позволяет использовать обычную производную. Рассмотрим предложенный ими подход для частного случая, когда f(t,x) является разрывной на поверхности Е. Рассмотрим последовательность непрерывных вектор-функций f£(t ,x), которая совпадает с f(t ,x) вне £ -окрестности поверхности Е, и стремится к f(t,x) при £ ^ 0 в каждой точ-

ке, не принадлежащей Е. Пусть х£(£) - решение системы

х = Ш ,х). (1.8)

Определение 5. Решением, системы, (1.1) в смысле Айзермана и, Пятницкого называется предел, любой равномерно сходялцейся, подпоследовательности решений х£к (£):

хе,(*) ^ х(^).

Вообще говоря, может существовать более одного такого предела. Заметим, что и это доопределение, введенное в [67], не всегда применимо к прикладным задачам.

ф.

1

0 -1 а

Рисунок 1.1: Модель сухого трения: трение покоя не принимает большие значения по модулю, чем трение скольжения

а 1

о

0

Рисунок 1.2: Модель сухого трения: трение покоя может принимать большие значения по модулю, чем трение скольжения

Например, рассмотрим систему

х еЛх + Ьф(а), а = с*х, (1.9)

где ф(&) - характеристика сухого трения, показанная на рис. 1.1 или рис. 1.2, т.е.

I sign а, при а =0, I sign а, при а =0,

Ф(а) = л или Ф(а) = л (1.10)

I [-1,1], при а = 0 I [-а,а], при а = 0.

Т.к. определения, предложенные Филипповым и Айзерманом и Пятницким, учитывают лишь те значения нелинейности, для которых а = 0, то решения системы (1.9) с характеристиками сухого трения, представленными на рис. 1.1 и на рис. 1.2, совпадают. Этот результат не отражает физику данного явления.

Для того, чтобы учесть динамику на поверхности разрыва, необходимо рассмотреть более адекватный подход, когда вместо системы с разрывной правой частью (1.1) изучается система с многозначной правой частью, т.е. рассматривается дифференциальное включение (1.2).

1.1.3 Подход Гелига-Леонова-Якубовича

Как было продемонстрировано выше, для некоторых физических задач определение по Филиппову может давать неверные результаты, т.е. необходимо рассмотреть более общий класс многозначных функций F (t,x). Одно из таких обобщений было рассмотрено А.Х. Гелигом, Г.А. Леоновым и В.А. Якубовичем в [69].

Далее для построения теории также необходимо предположить, что многозначная функция F(t,x) является полунепрерывной.

Определение 6. Функция F(t,x) называется полунепрерывной (полунепрерывной сверху, [5-непрерывной) в точке (t0,x0), если для любого е > 0 найдется 5(e,t,x), такое, что множество F(t,x) содержится в е-окрестности множества F(to,x0), когда точка (t,x) пробегает 5-окрестность точки (to,xo).

Определение 7. Вектор-функция x(t), определенная на промежутке (ti,t2), называется решением (1.2), если многозначная функция F(t,x) полунепрерывна и y(t,x) Е V множество F(t,x) является выпуклым, замкнутым и ограниченным.

В отличии от доопределения по Филиппову здесь от множества Г(£,х) не требуется минимальность.

Справедлива следующая локальная теорема о существовании решений дифференциального включения [69].

Теорема 1. Предположим, что многозначная функция Г(£,х) является по-

( 1 , х1 )

и множество F(ti,xi) ограничено, выпукло и замкнуто. В дополнение, предположим

sup lyl = с fo г yeF (t i ,xi), (t i,xi) eVi.

Тогда, для \t — t0\ < t = mm(a, р/с) существует по крайней мере одно решение x(t) с начальными данными x(t0) = а, которое удовлетворяет (1.2) в смысле Определения 1.

Приведем здесь также теорему о продолжимости решения, остающегося в ограниченной области [69].

Теорема 2. Если Vt e [0,Т) решение системы (1.2) находится в некоторой ком,пакт,ной, области Q из Жа, тогда x(t) определено на [0,Т] и x(t) e Q.

Таким образом,, решение системы (1.2) продолжимо до тех пор, пока оно конечно.

Рассмотрим случай автономности уравнения (1.2), который является весьма важным для приложений:

Справедлива следующая теорема:

Теорема 3. Пусть у системы (1.11) ш-предельное множество ^ траектории х(£,Ъ) ограничено. Тогда, через каждую ш-предельную точку а € ^ проходит хот,я, бы, одна траектория х(£,а), определенная при, Ь € (—го, + го) и целиком

Vi cV : |h - to\<a, |xi - а| < р,

(1.11)

состоящая из ш-предельных точек, т.е. x(t, а) С Q щи te R^

Доказательство теорем 1, 2, 3 приведено в [69].

Для дифференциального включения (1.2) также справедливы другие различные теоремы качественной теории (см., например, [54,69,70]). Рассмотрим теперь (1.3) с Р= Рх^) + дф(г*х^)), т.е.

±(г) е Рх(г) + дф(г*х(г)^) (1.12)

для почти всех £ (здесь мы предполагаем, что Рудовлетворяет условиям Определения 7, т.е. Рудовлетворяет условиям 1, поэтому здесь и далее мы предполагаем, что решение существует для почти всех£ е /). Здесь Р, д и г ............. постоянные матрицы и ф(г*х(Ъ),1) - многозначная функция.

Если матрица является неособой, то

(д*д)-!д* [±(1) - Рх(г)] е ф(г*х(ф) (1.13)

для почти всех £.

Левая часть (1.13) называется селектором:

£ (^ = (я*я)-!я* т - рхт (1.14)

и является однозначной функцией, которая "конкретизирует" многозначную функцию ф(г*х(Ь) ¿) для решения х(Ь). Т.е. задача (1.12) преобразуется к следующему виду:

х(Ъ) = Рх(Ъ) + для почти всех £, (1-15)

т е ф(г*х№). (1.16)

Для любого решения х(1) существует соответствующее доопределение^(1). Как показано выше, если матрица является неособой, то £(Ъ) определяется соотношением (1.14) для почти всех £ и £(Ъ) является измеримой.

Существует ли измеримый селектор £(Ъ) в случае, когда с^ = 0? Следующая теорема о существовании измеримого селектора, доказанная Б.М. Макаровым специально для [69], играет важную роль в изучении дифференциальных включений, т.к. она позволяет заменить дифференциальное включение на

дифференциальное уравнение в достаточно общем случае, сохранив структуру правой части.

Пусть Г(£,х,£) - это вектор-функция, определенная для Ь € I, х € Кп, ^ € Кт со значения ми в Кп. Предположим, что ,х) является непрерывной вектор-функцией, определенной на I х Кп со значениям и из ^ и пусть ф(£ ,а) - это многозначная функция, определенная на I х со значениями, являющимися подмножествами Кп. Справедлива следующая теорема [69].

Г

Су I ^

ф

ми подмножествами из Жп. Пусть х0(£) - абсолют,но непрерывная вектор-функция на I С. 'Лц удовлетворяющая следующему условия:

х0(£) € {Г[£,х0(£),£]|£ € А(Ь)} для почти всех Ь € I,

где

А(1) = ф[1 ,а(1 ,хо(^)].

0

выполняются следующие соотношения

х0(£) = Г,х0(£),£0(£)], £0(1) € А(Ь) для почти всехЬ € I.

1.2 Проблема Калмана

Необходимость изучения устойчивости и предельных динамических режимов (аттракторов) возникает в классических теоретических и практических задачах. Одни из первых таких задач связаны с проектированием автоматических регуляторов (ХУШ-Х1Х вв), которые должны были обеспечить переход динамики объекта управления к рабочему режиму и его устойчивость относительно внешних возмущений. Классическим примером является регулятор Уатта, обеспечивающий поддержание заданной постоянной скорости вращения вала турбины. Работоспособность регуляторов зависит от переходных процессов и предельной динамики в замкнутой системе ("объект управления + регулятор"). Примером математической постановки и решения таких задач является опуб-

ликованная в 1877 году знаменитая работа И.А. Вышнеградского о регуляторе Уатта [71]. В этой работе для замкнутой динамической модели "машина + регулятор" исследовалась приближенная линейная математической модель без сухого трения и были предложены условия устойчивости желаемого рабочего режима, соответствующего состоянию равновесия (тривиальному аттрактору) в линейной модели.

Однако, после этой работы оставался открытым важный вопрос строгого доказательства гипотезы Вышнеградского о допустимости проведения линеаризации системы путем отбрасывания сухого трения для определения условий устойчивости рабочего режима и отсутствия нежелательных колебаний. В 1885 году Г. Леотэ впервые показал возможность возникновения в системах регулирования с сухим трением предельных периодических колебаний - предельных циклов (также предельные циклы были описаны в работах лорда Релея по теории струн [72], Б. ван дер Поля об электронном генераторе [73] и других). В 1892 году A.M. Ляпунов опубликовал в знаменитой работе "Общая задача об устойчивости движения" обоснование процедуры линеаризации [74], однако, это обоснование было проведено только для гладких нелинейных систем и не позволяло исследовать системы с сухим трением. Вскоре после этого появились публикации, например, Н.Е. Жуковского [75], критиковавшие подход Вышнеградского и ставившие под сомнение его выводы.

Систематическое изучение предельных циклов (периодических аттракторов) и критериев их отсутствия в прикладных динамических системах связано с работами научной школы A.A. Андронова. Соединив математические идеи анализа локальной устойчивости A.M. Ляпунова и возникновения колебаний А. Пуанкаре для гладких динамических систем с инженерными потребностями учета разрывных пел и ценностей, им была создана математическая теория колебаний, объясняющая поведение многих прикладных систем. Эта теория позволила изучать возникновение предельных колебаний, а также получать необходимые и достаточные условия отсутствия колебаний и глобальной устойчивости для систем невысокого порядка. Начиная с 1944 года, A.A. Андронов активно занимался применением теории колебаний к задачам автоматического регулирования. Первыми результатами A.A. Андронова в этом направлении являются строгий нелокальный анализ нелинейной модели регулятора Уатта с

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мокаев, Руслан Назирович, 2018 год

Список литературы

1. Лурье А. П., Постников В. П. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикладная математика и механика. — 1944. — Vol. 8, по. 3.

- Pp. 246-248.

2. Kalman R.E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Trans. Amer. Soc. of Mech. Engeneers. — 1957.

- Vol. 79, no. 3. - Pp. 553-566.

3. Tucker W. The Lorenz attractor exists / / Comptes Rendus de Г Academic des Sciences - Series I - Mathematics. — 1999. — Vol. 328, no. 12. — Pp. 1197 -1202.

4. Hidden attractors in dynamical systems / D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapita-niak et al. // Physics Reports. — 2016. — Vol. 637. — Pp. 1-50.

5. Scientific heritage of LP Shilnikov / V. S. Afraimovich, S. V. Gonchenko, L. M. Lerman et al. // Regular and Chaotic Dynamics. — 2014. — Vol. 19, no. 4. - Pp. 435-460.

6. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. — 1963. — Vol. 20, no. 2. - Pp. 130-141.

7. Ораевский А. П. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. — 1981. — Vol. 8, по. 1. — Pp. 130-142.

8. Strogatz H.S. Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. — Westview Press, 1994.

9. Леонов Г.А., Андриевский Б.P., Мокаев P.H. Асимптотическое поведение решений систем лоренцевского типа. Аналитические результаты и струк-

туры компьютерных ошибок // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия — 2017. — Т. 4, № 1.

10. Леонов Г.А., Мокаев Р.Н. Отрицательное решение проблемы Калмана и доказательство существования скрытого странного аттрактора методом разрывной аппроксимации // Доклады Академии наук. - 2017. - Т. 475, № 3. - С. 257-261.

11. Глобальные задачи дифференциальных включений: проблемы Калмана и Вышнеградского, цепи Чуа / Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, М.А. Киселева, Р.Н. Мокаев // Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления — 2017. - Т. 4. - С. 1-52.

12. Mokaev R.N., Leonov G.A., N.V. Kuznetsov. Kalman conjecture in theory of differential equations. Counterexamples and hidden attractors // Abstracts of the 2nd International Scientific Conference "Autumn Mathematical Readings in Adyghea". - 2017. - Pp. 163-164.

13. Leonov G.A., Mokaev R.N. Numerical simulations of the Lorenz-like system: Asymptotic Behavior of Solutions, Chaos and Homoclinic Bifurcations // Abstracts of the International Scientific Conference on Mechanics "The Eight Polyakhov's Reading". - 2018. - P. 264.

14. Leonov G.A., Mokaev R.N. Homoclinic Bifurcations of the Merging Strange Attractors in the Lorenz-like System // ArXiv e-prints. — 2018. — Pp. 1-21. — https://arxiv.org/abs/1802.07694.

15. Leonov G.A., Andrievskiy B.R., Mokaev R.M. Asymptotic Behavior of Solutions of Lorenz-Like Systems: Analytical Results and Computer Error Structures // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. — 2017. — Vol. 50, no. 1. - Pp. 15-23.

16. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-droites et les équations différentielles du premier ordre. — 1934. — Vol. 62. — Pp. 1-38.

17. Marchand A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs inter-rales. - 1936. - Vol. 3, no. 1. - P. 89.

18. Zaremba S.K. Sur une extension de la notion d'équation différentielle // CR Acad. Sci Paris. - 1934. - Vol. 199, no. 10. - Pp. 545-548.

19. Zaremba S.K. Sur les équations au paratingent // Bull. Sci. Math. — 1936. — Vol. 60, no. 2. - Pp. 139-160.

20. Agrachev A.A., Sachkov Yu.L. Control Theory from the Geometric Viewpoint. — Springer, 2004.

21. Bennett S. A history of control engineering, 1930-1955. — IET, 1993.

22. Brogliato B. Nonsmooth mechanics: Models, Dynamics and Control. — Springer, 1999.

23. Pfeiffer F., Glocker C. Multibody dynamics with unilateral contacts. — Wiley and Sons, 1996.

24. Utkin V., Poznyak A. Adaptive sliding mode control with application to supertwist algorithm: Equivalent control method // Automatica. — 2013. — Vol. 49, no. 1. - Pp. 39-47.

25. Emelyanov S. V. Automatic control systems with variable structure (in Russian). — Nauka, 1967.

26. New methodologies for adaptive sliding mode control / F. Plestan, Yu. Shtes-sel, V. Bregeault, A. Poznyak // International journal of control. — 2010. — Vol. 83, no. 9. - Pp. 1907-1919.

27. Nonlinear adaptive trajectory tracking using dynamic neural networks / A.S. Poznyak, W. Yu, E.N. Sanchez, J.P. Perez // IEEE Transactions on Neural Networks. - 1999. - Vol. 10, no. 6. - Pp. 1402-1411.

28. Edwards C., Spurgeon S. Sliding mode control: theory and applications. — CRC Press, 1998.

29. Arkin R.C. Behavior-based robotics. — MIT press, 1998.

30. Kloeden Peter E, Marin-Rubio Pedro. Negatively invariant sets and entire trajectories of set-valued dynamical systems // Set- Valued and Variational Analysis. - 2011. - Vol. 19, no. 1. - Pp. 43-57.

31. Goryacheva I.G. Contact Mechanics in Tribology. — Springer, 1998.

32. Goryacheva I.G., Rajeev P.Т., Farris T.N. Wear in partial slip contact // AS ME Journal of Tribology. - 2000. - Vol. 123, no. 4. - Pp. 848-856.

33. Kolesnikov V.I. Thermophysical processes in metal polymeric tribosystems (in Russian). — Nauka, 2003.

34.

35. A. Polyakov L. Fridman. Stability notions and lyapunov functions for sliding mode control systems // Journal of the Franklin Institute. — 2014. — Vol. 351j no_ 4_ _ Pp 1831-1865.

36. Orlov Y. V. Discontinuous systems: Lyapunov analysis and robust synthesis under uncertainty conditions. — Springer-Verlag London, 2009.

37. Керштейн И. M. Клюшпиков В. Д. Ломакин Е. В. Шестериков С. А. Основы экспериментальной механики разрушения. — Изд-во МГУ, 1989.

38. Boiko I. Discontinuous control systems: frequency-domain analysis and design. — Birkhauser Basel, 2009.

39. M. Dolgopolik A. Fradkov. Nonsmooth and discontinuous speed-gradient algorithms // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. — 2017. — Vol. 25. — Pp. 99113.

40. Flugge-Lotz I. Discontinuous Automatic Control of Missiles. — Stanford University. Division of Engineering Mechanics, 1950.

41. Flugge-Lotz I. Discontinuous Automatic Control. — Princeton University Press, 1953.

42. Аносов Д. В. Об устойчивости положений равновесия релейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1959. — Т. 20, № 2. — С. 135-149.

43. Неймарк Ю. И. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. — 1957. — Т. 18. — С. 2733.

44. Венец В. И. Дифференциальные включения в выпуклых задачах // Автоматика и телемеханика. — 1979. — Т. 9. — С. 5-14.

45. Солодовников В. В. Основы автоматического регулирования. Теория. — Машгиз, 1954.

46. Весекерекий В. А. Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — ФМЛ, 1972.

47. Khalil H. К. Nonlinear Systems. — Prentice Hall, N.J, 2002.

48. Tsypkin Ya. Z. Relay Control Systems. — Cambridge: Univ Press, 1984.

49. Келдыш M. В. О демпферах с нелинейной характеристикой // Тр. ЦАГИ. _ 1944. _ т. 557. - С. 26-37.

50. Лурье А. П. Постников В. П. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикладная математика и механика. — 1944. — Т. 8, № 3. — С. 246-248.

51. Булгаков Б. В. Автоколебания регулируемых систем // Прикладная математика и механика. — 1943. — Т. 7, № 2. — С. 97-108.

52. Андронов А. А. Баутин П. П. Движение нейтрального самолета // ДАН СССР. - 1944. - Т. 43, № 5. - С. 197-201.

53. Андронов А. А. Баутин П. П. Стабилизация курса нейтрального самолета автопилотом с постоянной скоростью сервомотора и зоной нечувствительности // Прикладная математика и механика. — 1945. — Т. 46, № 4. — С. 158-161.

54. Filippov A.F. Differential Equations with Discontinuous Right Hand Sides. — Dordrecht: Kluwer Academic Press, 1988. — (transi, of the Russian edition, Moscow, 1985).

55. Zaremba S. Ch. Sur une extension de la notion d'équation différentielle // C.R. Acad. Sel, Paris. - 1934. - Vol. 199. - Pp. 545-548.

56. Zaremba S. Ch. Sur les equations au paratingent // Bull. Soi. Ma,th., Ser. II. _ 1936. _ Vol. 60, no. 5. - Pp. 139-160.

57. Wazewski T. Sur une condition équivalente l'équation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci. - 1961. - Vol. 9. - Pp. 865-867.

58. Cortes Jorge. Discontinuous dynamical systems // Control Systems, IEEE. — 2008. - Vol. 28, no. 3. - Pp. 36-73.

59. Krasovskiy N.N. Stability of motion: applications of Lyapunov's second method to differential systems and equations with delay. — Stanford University Press, 1963.

60. Nonsmooth analysis and control theory / F. H. Clarke, Y. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski. — Springer Science and Business Media, 2008.

_ Vol. 178.

61. Krasovskiy N.N., Subbotin A.I., Kotz S. Game-Theoretical Control Problems. — New York : Springer-Verlag, 1987.

62. Hermes Henry. Discontinuous vector fields and feedback control. — 1967.

63. Filippov A.F. Differential equations with discontinuous right-hand sides. // Mathematical annual. — 1960. — Vol. 51, no. 1. — Pp. 99-128.

64. Filippov A.F. On Certain Questions in the Theory of Optimal Control // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1962. — Vol. 1, no. 1. - Pp. 76-84.

65. Boltyansk, V.G. Mathematical methods of optimal control. — Nauka, Moscow [in Russian], 1969.

66. Anosov D. V. On the stability of the equilibrium positions of relay systems // Automation and Remote Control [in Russian]. — 1959. — Vol. 20. — Pp. 135149.

67. Aizerman M.A., Pyatnitskiy E.S. Fundamentals of the theory of discontinuous systems. I, II // Automation and Remote Control (in Russian). — 1974. — no. 7, 8. - Pp. 33-47, 39-61.

68. Aubin J. P., Cellina A. Differential inclusions: Set-valued maps and viability theory. — Springer-Verlag New York, Inc., 1984.

69. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. — Singapure: World Scientific, 2004.

70. Tolstonogov A.A. Differential Inclusions in a Banach Space. — Springer Science and Business Media], 2012.

71. Vyshnegradskii I.A. Direct-acting regulators // Izvestia Peterburgskogo Tech-nologicheskogo Instituta. — 1877. — Pp. 21-62.

72. Rayleigh J. W. S. The theory of sound. — London: Macmillan, 1877.

73. der Pol B. Van. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations // Radio Review. - 1920. - Vol. 1. - Pp. 701-710.

74. Lyapunov A. M. The General Problem of the Stability of Motion. — Kharkov, 1892. — (English transl. Academic Press, NY, 1966).

75. H.E. Жуковский. Теория регулирования хода машин. Часть 1. М. — Типо-литогр. Т-ва И. Н. Кушнерев и Ко, 1909.

76. С. Bissel. A.A. Andronov and the development of Soviet control engineering // IEEE Control Systems Magazine. — 1998. — Vol. 18. — Pp. 56-62.

77. Андронов A.A. Майер А.Г. Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теория точечных преобразований поверхностей // Доклады, АН СССР. _ 1944. _ Vol. 32. _ Pp. 58-60.

78. Lurie A. I., Postnikov V. N. To the stability theory of controlled systems // Applied Mathematics and Mechanics (in Russian). — 1944. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 246-248.

79. Kalman R. E. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Transactions of ASME. — 1957. — Vol. 79, no. 3. — Pp. 553-566.

80. Lurie A.I., Postnikov V.N. On the stability theory of control systems // Sov. Appl. Math. - 1944. - Vol. 8, no. 3. - Pp. 246-248. - (transi.).

81. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractors in Chua circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2013. — Vol. 23, no. 1. — art. no. 1330002.

82. Fitts R. E. Two counterexamples to Aizerman's conjecture // Trans. IEEE. — 1966. - Vol. AC-11, no. 3. - Pp. 553-556.

83. Barahanov N. E. On the Kalman problem // Sib. Math. J. — 1988. — Vol. 29, no. 3. - Pp. 333-341.

84. Bernai J., Llibre J. Counterexample to Kalman and Markus-Yamabe conjectures in dimension larger than 3 // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. — 1996. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 337-379.

85. Meisters G. A Biography of the Markus-Yamabe Conjecture // http://www.math.unl.edu/ gmeistersl/paper s/EK1996.pdf. 1996.

86. Glutsyuk A. A. Meetings of the Moscow Mathematical Society (1997) // Russian mathematical surveys. — 1998. — Vol. 53, no. 2. — Pp. 413-417.

87. Leonov G. A., Bragin V. O., Kuznetsov N. V. Algorithm for Constructing Counterexamples to the Kalman Problem // Doklady Mathematics. — 2010. - Vol. 82, no. 1. - Pp. 540-542.

88. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits / V. O. Bragin, V. I. Va-gaitsev, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2011. — Vol. 50, no. 4. — Pp. 511-543.

89. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Algorithms for searching for hidden oscillations in the Aizerman and Kalman problems // Doklady Mathematics. — 2011. — Vol. 84, no. 1. - Pp. 475-481.

90. Aizerman M.A., Pyatnitskii E.S. Foundations of theory of discontinuous systems. I // Avtomat. Telemekh. — 1974. — no. 7. — Pp. 33-37. — (in Russian).

91. Gelig A.Kh., Leonov G.A., Yakuhovich V.A. Stability of Nonlinear Systems with Nonunique Equilibrium (in Russian). — Nauka, 1978. — (English transl: Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinear-ities, 2004, World Scientific).

92. Андронов А. А., Майер А. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования. I // Автоматика и телемеханика. — 1947. — Т. 8, № 5. — С. 314-334.

93. Piiroinen Р. Т., Kuznetsov Yu. A. An event-driven method to simulate Filip-pov systems with accurate computing of sliding motions // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). - 2008. - Vol. 34, no. 3. - P. 13.

94. Driscoll T. A, Hah N., Trefethen L. N. Chebfun Guide. — Pafnuty Publications, 2014. http://www.chebfun.org/docs/guide/.

95. Леонов Г.А. Функции Ляпунова в глобальном анализе хаотических систем // Украинский математический журнал. — 2018. — (в печати).

96. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communications in mathematical physics. — 1971. — Vol. 20, no. 3. — Pp. 167-192.

97. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. — Berlin: Applied Mathematical Sciences, 41, Springer, 1982.

98. Structures in dynamics: finite dimensional deterministic studies / H. W. Broer, F. Dumortier, S. J. Van Strien, F. Takens. — Elsevier, 1991. — Vol. 2.

99. Sprott J. C. Strange attractors: creating patterns in chaos. — Citeseer, 1993.

100. Neimark J. I., Landa P. S. Stochastic and chaotic oscillations. — Springer Science & Business Media, 2012. — Vol. 77.

101. Hirsch M. W., Smale S., Devaney R. L. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. — Academic press, 2012.

102. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 1 / L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. Chua. — World Scientific, 1998.

103. Shilnikov L., Turaev D., Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 2. — World Scientific, 2001.

104. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. — Stuttgart: Teubner, 2005.

105. Leonov G. A. Strange attractors and classical stability theory. — St.Petersburg: St.Petersburg University Press, 2008.

106. Elhadj Z., Sprott J. C. 2-D quadratic maps and 3-D ODE systems: A Rigorous Approach. — World Scientific, 2010. — Vol. 73.

107. Wiggins S. Global bifurcations and chaos: analytical methods. — Springer Science & Business Media, 2013. — Vol. 73.

108. Shimada I., Nagashima T. A Numerical Approach to Ergodic Problem of Dis-sipative Dynamical Systems // Progress of Theoretical Physics. — 1979. — Vol. 61, no. 6. - Pp. 1605-1616.

109. Doedel E. AUTO: Software for continuation and bifurcation problems in ordinary differential equations. — California Institute of Technology, 1986.

110. Parker T.S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems.

— Springer-Verlag, 1989.

111. Allgower E. L., Georg K. Numerical continuation methods: an introduction.

— New York: Springer-Verlag, 1990.

112. Dellnitz M.. Junge 0. Set oriented numerical methods for dynamical systems // Handbook of Dynamical Systems. — Elsevier Science, 2002. — Vol. 2. — Pp. 221-264.

113. Krauskopf B., Osinga H. M.. Galan-Vioque J. (Eds.). Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems. — Dordrecht. The Netherlands: Springer, 2007.

114. The discontinuity problem and "chaos"of Lorenz's model / S. OuYang, Y. Wu, Y. Lin, C. Li // Kybernetes. - 1998. - Vol. 27, no. 6/7. - Pp. 621-635.

115. OuYang Shoucheng, Lin Yi. Problems with Lorenz's Modeling and the Algorithm of Chaos Doctrine // Frontiers In The Study Of Chaotic Dynamical Systems With Open Problems. — World Scientific, 2011. — Vol. 16. — Pp. 1-29.

116. Viana M. What's new on Lorenz strange attractors? // The Mathematical Intelligencer. - 2000. - Vol. 22, no. 3. - Pp. 6-19.

117. Stewart I. Mathematics: The Lorenz attractor exists // Nature. — 2000. — Vol. 406, no. 6799. - Pp. 948-949.

118. Leonov G. A. Shilnikov chaos in Lorenz-like systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2013. — Vol. 23, no. 03. — art. num. 1350058.

119. Leonov G. A. Asymptotic integration method for the Lorenz-like system // Doklady Mathematics. — 2015. — Vol. 462, no. 5. — Pp. 1-7.

120. Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 7. — Pp. 1465-1466.

121. Lu J., Chen G. A new chaotic attractor coined // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2002. - Vol. 12. - Pp. 1789-1812.

122. Tigan G., Opri§ D. Analysis of a 3D chaotic system // Chaos, Solitons & Fractals. - 2008. - Vol. 36, no. 5. - Pp. 1315-1319.

123. Yang Q., Chen G. A chaotic system with one saddle and two stable node-foci // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2008. — Vol. 18. — Pp. 1393-1414.

124. Barboza R., Chen G. On the global boundedness of the Chen system // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2011. — Vol. 21, no. 11. — Pp. 3373-3385.

125. Zhang F., Liao X., Zhang G. On the global boundedness of the Lii system // Applied Mathematics and Computation. — 2016. — Vol. 284. — Pp. 332-339.

126. Zhang F., Mu C., Li X. On the boundness of some solutions of the Lii system // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2012. — Vol. 22, no. 01. — P. 1250015.

127. Leonov G.A., Kuznetsov N. V. On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems // Applied Mathematics and Computation. — 2015. - Vol. 256. - Pp. 334-343.

128. Yakuhovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. — Singapure: World Scientific, 2004.

129. Leonov G.A., Shumafov M.M. Stabilization of Linear Systems. — Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2012.

130. Zubov N.E. Vorob'eva E.A. Mikrin E.A. Misrikhanov M.Sh. Ryabchenko V.N. Timakov S.N. Synthesis of stabilizing spacecraft control based on generalized Ackermann's formula // Journ. of Computer and Systems Sciences International - 2011. - Vol. 50. - Pp. 93-103.

131. Zubov N.E. Mikrin E.A. Misrikhanov M.Sh. Ryahchenko V.N. Synthesis of controls for a spacecraft that optimize the pole placement of the close-loop control system // Journ. of Computer and Systems Sciences International — 2012. - Vol. 51. - Pp. 431-444.

132. The use of the exact pole placement algorithm for the control of spacecraft motion / N.E. Zubov, E.A. Mikrin, M.Sh. Misrikhanov et al. // Journ. of Computer and Systems Sciences International. — 2013. — Vol. 52. — Pp. 129144.

133. Modification of the exact pole placement method and its application for the control of spacecraft motion / N.E. Zubov, E.A. Mikrin, M.Sh. Misrikhanov, V.N. Ryabchenko // Journ. of Computer and Systems Sciences International _ 2013. - Vol. 52. - Pp. 279-292.

134. Popov V. M. Hyperstability of control systems. — 1973.

135. LaSalle J. P. Some extensions of Liapunov's second method // IRE Transactions on circuit theory. — 1960. — Vol. 7, no. 4. — Pp. 520-527.

136. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Fractal basin boundaries, long-lived chaotic transients, and unstable-unstable pair bifurcation // Physical Review Letters. _ 1983. _ Vol. so, no. 13. - Pp. 935-938.

137. Lai Y.C., Tel T. Transient Chaos: Complex Dynamics on Finite Time Scales.

— New York: Springer, 2011.

138. Wiggins S. Global Bifurcations and Chaos. Analytical Methods. — New York: Springer, 1988.

139. Homburg Ale Jan, Sandstede Björn. Homoclinic and heteroclinic bifurcations in vector fields // Handbook of dynamical systems. — 2010. — Vol. 3. — Pp. 379-524.

140. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Vol. 1-3. — Paris: Gauthiers-Villars, 1892, 1893, 1899. - [English transi, edited by D. Goroff: American Institute of Physics, NY, 1993].

141. Kuznetsov Yu.A., Mura,tori S., Rinaldi S. Bifurcations and chaos in a periodic predator-prey model // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1992. _ Vol. 2, no. 01. - Pp. 117-128.

142. Champneys A.R. Homoclinic orbits in reversible systems and their applications in mechanics, fluids and optics // Physica, D: Nonlinear Phenomena. — 1998.

- Vol. 112, no. 1-2. - Pp. 158-186.

143. Argoul F., Arneodo A., Richetti P. Experimental evidence for homoclinic chaos in the Belousov-Zhabotinskii reaction // Physics Letters A. — 1987. — Vol. 120, no. 6. - Pp. 269-275.

144. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotech-nica // Annali della R. Shcuola Normale Superiore di Pisa — 1933. — Vol. 2, no. 2. - Pp. 1-20.

145. Leonov G.A. General existence conditions of homoclinic trajectories in dissi-pative systems. Lorenz, Shimizu-Morioka, Lu and Chen systems // Physics Letters A. - 2012. - Vol. 376. - Pp. 3045-3050.

146. Leonov G.A. Shilnikov chaos in Lorenz-like systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2013. — Vol. 23, no. 03. — art. num. 1350058.

147. Leonov G.A. Fishing principle for homoclinic and heteroclinic trajectories // Nonlinear Dynamics. — 2014. — Vol. 78, no. 4. — Pp. 2751-2758.

148. Leonov G.A. Bounds for attractors and the existence of homoclinic orbits in the Lorenz system // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2001.

- Vol. 65, no. 1. - Pp. 19-32.

149. Леонов Г. А. Задача Трикоми для динамической системы Шимицу-Мориока // Докл. РАН. Матем. - 2012. - по. 6. - Pp. 603-606.

150. Леонов Г. А. Критерии существования гомоклинических траекторий в системах Лу и Чена // Докл. РАН. Матем. — 2013. — по. 6. — Pp. 634-638.

151. Леонов Г. А. Системы Ресслера. Оценки размерности аттракторов и гомоклинические траектории // Докл. РАН. Матем. — 2014. — по. 6.

- Pp. 442-444.

152. Леонов Г. А. Задача Трикоми о существовании гомоклинических траекторий в диссипативных системах // ПММ. — 2013. — по. 3. — Pp. 410 420.

153. Leonov G.A. Necessary and sufficient conditions of the existence of homoclinic trajectories and cascade of bifurcations in Lorenz-like systems: birth of strange attractor and 9 homoclinic bifurcations // Nonlinear Dynamics. — 2016. — Vol. 84, no. 2. - Pp. 1055-1062.

154. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Mokaev T.N. Homoclinic orbits, and self-excited and hidden attractors in a Lorenz-like system describing convective fluid motion // The European Physical Journal Special Topics. — 2015. — Vol. 224, no. 8. - Pp. 1421-1458.

155. Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system / N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, T.N. Mokaev et al. // Nonlinear Dynamics. - 2018. - Vol. 92, no. 2. - Pp. 267-285.

156. Lozi R., Pchelintsev A.N. A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2015. — Vol. 25, no. 13. — P. 1550187.

157. Champneys A.R., Kuznetsov Yu.A., Sandstede B. A numerical toolbox for homoclinic bifurcation analysis // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1996. - Vol. 6. - Pp. 867-888.

158. Doedel E.J., et. al. AUTO-07P: Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations. — 2007. http://www.dam.brown.edu/people/ sandsted/auto/auto07p.pdf.

159. Райтманн Ф. Динамические системы, аттракторы и оценки их размерности. _ 2013. - С. 222.

160. Coddington Е. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. — Tata McGraw-Hill Education, 1995.

161. Hartman P. Ordinary differential equations. — John Willey & Sons, New-York, 1964.

162. Hirsch M. W., Smale S., Devaney R. L. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. — Elsevier Academic Press, 2004. — Vol. 60 of Pure and Applied Mathematics.

163. Teschl G. Ordinary differential equations and dynamical systems. — American Mathematical Soc., 2012. — Vol. 140 of Graduate Studies in Mathematics.

164. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equations. — Princeton: Princeton Univ. Press., 1960.

165. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. — American Mathematical Society, 1927.

166. Ladyzhenskaya 0.A. Determination of Minimal Global Attractors for the Navier-Stokes Equations and other Partial Differential Equations // Russian Mathematical Surveys. — 1987. — Vol. 42, no. 6. — Pp. 25-60.

167. Babin A. V., Vishik M. I. Attractors of Evolution Equations. — Amsterdam: North-Holland, 1992.

168. Temam R. Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. — 2nd edition. — New York: Springer-Verlag, 1997.

169. Chueshov I. Introduction to the Theory of Infinite-dimensional Dissipative Systems. Electronic library of mathematics. — ACTA, 2002.

170. Babin A. V. Global attractors in PDE // Handbook of Dynamical Systems. — Elsevier Science, 2006. - Vol. IB. - Pp. 983-1085.

171. Chepyzhov V.V., Goritskii A. Yu. Unbounded attractors of evolution equations // Adv. Sov. Math. - 1992. - Vol. 10. - Pp. 85-128.

172. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Annals of Mathematics. — 1944. — Pp. 723-737.

173. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. — Math. Soc. Japan,1966.

174. Leonov G.A., Reitman V. Attraktoreingrenzung fur nichtlineare Systeme. — Leipzig: Teubner, 1987.

175. Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Vagaitsev V. I. Analytical-numerical method for attractor localization of generalized Chua's system // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). - 2010. - Vol. 4, no. 1. - Pp. 29-33.

176. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Vagaitsev V. I. Localization of hidden Chua's attractors // Physics Letters A. - 2011. - Vol. 375, no. 23. - Pp. 2230-2233.

177. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Vagaitsev V. I. Hidden attractor in smooth Chua systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2012. — Vol. 241, no_ 18_ _ Pp_ 1482-1486.

Список рисунков

1.1 Модель сухого трения: трение покоя не принимает большие значения по модулю, чем трение скольжения.............. 15

1.2 Модель сухого трения: трение покоя может принимать большие значения по модулю, чем трение скольжения............ 15

1.3 Численное моделирование самовозбуждающегося (относительно

отрезка покоя А/^) периодического колебание решений системы (1.21) при Р = 0.03. (а) Отрезок покоя (зеленый) и точка (черная) из его окрестности, из которой выпущена траектория, притягивающаяся к симметричному периодическому решению (синий цвет). (Ь) Выход системы х3(Ъ)..................... 25

1.4 Моделирование системы (1.21) при ¡3 = 0.03. Траектории системы х = Ах + Ь (красные) сшиваются с траекториями системы х =

Ах — Ь (синие) в точках переключения режимов (черные)..... 29

1.5 Схема метода точечных отображений для локализации периодической траектории системы (1.21) при ¡3 = 0.03........... 33

1.6 Два сосуществующих периодических решения системы (1.21) при

¡3 = 0.03. К самовозбуждающемуся (синий цвет) симметричному периодическому решению притягиваются траектории с начальными данными из окрестности отрезка покоя. Второе периодическое решение (оранжевый цвет), скрытое относительно отрезка покоя,

построено методом точечных отображений............................34

1.7 Процедура продолжения по параметру и локализация странного

аттрактора в системе (1.21) при [3 = 0.1 в пространстве (х\,х2,х3). 36

(a) р = 0.03............................................................36

(b) Р = 0.0475 ..........................................................36

(c) р = 0.0650 ..........................................................36

(а) р = 0.0825 ..........................................................36

(е) $ = 0.1 .............................. 36

1.8 Проекция странного аттрактора системы (1.21) при f3 = 0.1 в пространстве (х\,х2,х3)......................... 37

1.9 Проекция странного аттрактора системы (1.21) при f3 = 0.1 в пространстве (х\,х3,х4)......................... 37

1.10 Периодическое решение и странный хаотический аттрактор системы (1.21) при 3 = 0.1 в пространстве (х\,х2,х3)......... 38

1.11 Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21) приД = 0.1 и (р(а) = 'фN(а), N = 0.005................ 39

1.12 Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21) при 3 = 0.1 и р(а) = Хе(а) = Фм(&) + ^ (tanh(a/N) — (^)),

N = 0.01 ^ = 0.5............................. 40

1.13 Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21) при 3 = 0.1 и р(а) = Хе(а) = Фм(&) + ^ (tanh(a/N) — (^)),

N = 0.01 ^ = 1.............................. 41

1.14 Два периодических решения в системе Келдыша второго порядка. 42

2.1 График решений уравнения х — х + х3 = 0.............. 48

2.2 Поведение траекторий системы (2.1) на интервале времени [0,400]

при фиксированных г = —a—d = —а = 36, £ = 0.2 и различиых Ь. 51

(a) b = 0.75 - стремление траектории системы (2.1) к предельному циклу............................. 51

(b) b = 0.8 - раскрутка траектории системы (2.1)......... 51

2.3 Граница а + d = Ь, К ~ 4 разделяющая области с различными проведениями траекторий системы (2.1)............... 52

2.4 Эксперимент №1. Система (2.1) при г = 0 о = 35, d = —35 —

b = 70 — £,£ = 10—4......................................................53

(a) "Предельный цикл" в системе (2.1), t Е [0, 200]................53

(b) Раскрутка сепаратрисы системы (2.1), £ Е [0, 2000]............53

2.5 Эксперимент №2. Система (2.1) при г = 0 о = 35, d = —35 —

b = 70 — £ = 10—4......................................................55

(a) "Хаотический аттрактор" в системе (2.1), 200 случайно выбранных точек, t Е [0, 10]..........................................55

(b) Покрытие аттрактора траекториями, t Е [0, 10]................55

(с) Раскрутка траекторий, £ Е [0, 2000]............... 55

2.6 Область параметров в плоскости (6,0), для которой существует гомоклииическая траектория в системе (2.2)............. 64

2.7 Область устойчивости состояний равновесия 5± в плоскоети (6, 0)

для различных значений параметра в................. 66

(a) в = 0.1............................... 66

(b) в = 0.5............................... 66

(c) в = 0.9............................... 66

2.8 Сечения Пуанкаре Е1П и Е°и в окрестности седла 50 = (0,0,0) системы (2.2)............................... 67

2.9 Прямоугольная сетка точек Е™^ на сечении Пуанкаре Е1П и ее образ ПЬс(Е™ы) на сечении Е°и.................... 68

2.10 Различные типы гомоклинических бифуркаций в системе (2.2). . 69

2.11 Полуустойчивая гомоклииическая бифуркация 6 = 0.9, ¡3 = 0.2. . 70

(a) 8 = 0.060131460578 ....................... 70

(b) 5 = 0.060131460581 ....................... 70

2.12 Поведение сепаратрисы Г+(£) седла 50 и сепаратрис седло-фокусов 5± до гомоклинической бифуркации, 6 = 0.5 ¡3 = 2.2. Гомоклииическая бифуркация возникает на интервале в Е [¡з ,в = 0.8059291805416346]

(a) ^ = 0.7979407438278198 .................... 70

(b) вЕ [0.7979407447814941,0.8059291805341841]......... 70

2.13 Гомоклииическая бифуркация слияния двух аттракторов при£ =

0.9, 0 = 2.899............................... 71

(a) в = 0.7955............................... 71

(b) в = 0.7957............................... 71

2.14 Действие отображения Пуанкаре П : Е1П да Е1П на точки аттрактора Е^ на сечении Пуан каре Е1П для случая бифуркации разделения странных аттракторов в системе (2.2) с 6 = 0.9, ¡3 = 2.899. 72

2.15 Динамика полурамки точек Е™^ на сечен ии Е1П при последовательном применении отображения Пуанкаре Пг : Е1П да Е1П, г = 1,..., 100 Для ^ = 0.9,

р = 0.2, 8 = 0.060131460578 (до бифуркации)................. 74

(а) г = 0 ............................... 74

(b) г = 1 ..............................................................74

(c) г = 25..............................................................74

(а) г = 50..............................................................74

(е) г = 75..............................................................74

(£) г = 100 ............................................................74

2.16 Динамика полурамки точек Е™^ па сечении Е1П при последовательном при-мененнп отображения Пуанкаре П : Е1П ^ Е1П, г = 1,... ,100, для 5 = 0.9,

Р = 0.2, 5 = 0.060131460581 (после бифуркации)..............................75

(a) % = 0 ..............................................................75

(b) г = 1 ..............................................................75

(c) г = 25..............................................................75

(а) г = 50..............................................................75

(е) % = 75..............................................................75

(£) г = 100 ............................................................75

2.17 Динамика полурамки точек Е™1а па сечен ни Е1П при последовательном при-мененнп отображения Пуанкаре Пг : Е1П ^ Е1П, г = 1,..., 100 Для $ = 0.9,

Р = 2.899 8 = 0.7955 (до бифуркации)........................................76

(a) % = 0 ..............................................................76

(b) г = 1 ..............................................................76

(c) г = 25..............................................................76

(а) г = 50..............................................................76

(е) % = 75..............................................................76

(£) г = 100 ............................................................76

2.18 Динамика полурамки точек Е™1а на сечен ни Е1П при последовательном при-мененнп отображения Пуанкаре Пг : Е1П ^ Е1^ г = 1,..., 100 Для $ = 0.9,

Р = 2.890 ^ = 0.7958 (после бифуркации)....................................77

(a) г = 0 ..............................................................77

(b) г = 1 ..............................................................77

(c) г = 25..............................................................77

(а) г = 50..............................................................77

(е) г = 75..............................................................77

(Л г = 100 ............................................................77

Список таблиц

1.1 Последовательность режимов системы (1.21) и их продолжительности................................... 30

1.2 Последовательность режимов системы (1.21) и соответствующие точки переключения........................... 31

1.3 Координаты точки на периодическом решении системы (1.21) при

¡3 = 0.03 и продолжительность соответствующих режимов I и II. . 33

2.1 Значения параметров численной процедуры сканирования области (6,/3) Е (0,1.1] х (0, 2 + 6)..................... 67