Аналитико-численные методы исследования аттракторов многомерных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Нгуен Нгок Хиен

• Нгуен Нгок Хиен
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Нгок Хиен

Введение

Глава 1 ИЗВЕСТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА СКРЫТЫХ АТТРАКТОРОВ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

1.1 Основные определения

1.2 Трехмерные системы с квадратичными нелинейностями, обладающие скрытыми аттракторами

1.3 Поиск скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления. Метод Леонова - Кузнецова

1.4 Вспомогательные утверждения и теоремы о разрешимости и свойствах специальных матричных неравенств

Глава 2. НОВЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА СКРЫТЫХ АТТРАКТОРОВ

2.1 Условия существования самовозбуждающихся циклов у многомерных моделей систем управления

2.2 Алгоритм поиска скрытых аттракторов. Примеры

2.3 Проблема Калмана

2.4 Скрытые аттракторы системы Чуа

2.5 Скрытые аттракторы систем управления летательными аппаратами

Глава 3 ПОИСК МИНИМАЛЬНОГО ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УРАВЛЕНИЯ

3.1 Минимальный глобальный аттрактор

3.2 Метод стрельбы

3.3 Минимальный глобальный аттрактор классической и обобщенной системы Чуа

3.4 Глобальный аттрактор трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью

Заключение

Приложение А. Реализация алгоритма поиска скрытых аттракторов методом

Г.А. Леонова

2

Приложение Б. Реализация нового метода поиска скрытых аттракторов многомерных систем управления

Приложение В. Поиск неустойчивых циклов методом стрельбы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитико-численные методы исследования аттракторов многомерных систем управления»

Введение

Теория нелинейных колебаний динамических систем, созданная в тридцатых годах ХХ века, первоначально была настолько прозрачна и понятна, что поколения исследователей могли успешно применять ее для решения задач из различных областей науки. При этом структура большинства изучаемых систем была такой, что факт существования колебательных режимов в них не вызывал сомнений, поэтому основные усилия исследователей были сосредоточены на анализе свойств и формы таких колебаний. В семидесятых годах ситуация кардинально изменилась. Стало понятно, что кроме орби-тально устойчивых циклов и торов, имеющих единую природу, динамические системы могут обладать странными аттракторами, имеющими сложную топологическую структуру. В последующие десятилетия усилия многих математиков были сосредоточены на исследовании структуры странных аттракторов, их размерности, условий их возникновения в результате каскада бифуркаций [24,32,60,62,75].

Задача исследования структуры притягивающих множеств многомерных динамических систем является одной из традиционно трудных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Дело в том, что большинство конкретных математических моделей динамических систем не допускает "качественного интегрирования" с помощью чисто математического анализа. Поэтому многие результаты, касающиеся механизмов возникновения аттракторов, их локализации в фазовом пространстве и вычисления их характеристик были получены с помощью компьютерного моделирования [75]. Впечатляющих результатов здесь удалось достичь благодаря тому, что аттракторы классических систем Лоренца [73], Рёсслера [77], Чуа [47], также как аттракторы моделей классических систем автоматического управления, содержат в своей области притяжения сколь угодно малые окрестности неустойчивых состояний равновесия. Такие аттракторы являются самовозбуждающимися в том смысле, что вычислительная процедура, "стартующая" из любой точки неустойчивого многообразия в окрестности состояния равнове-

сия, "выходит" на аттрактор и рассчитывает его. В отличие от самовозбуждающихся, скрытые аттракторы не содержат в своей области притяжения окрестностей состояния равновесия. Феномен существования таких аттракторов (вложенных орбитально асимптотически устойчивых циклов) хорошо известен для случая двухмерных систем, в которых их легко обнаружить. Другими хорошо известными примерами существования скрытых аттракторов у многомерных моделей систем автоматического управления являются контрпримеры к предположениям Айзермана и Калмана [1,52], где единственное устойчивое в малом состояние равновесия сосуществует с орби-тально устойчивым циклом [25,33]. Однако, во многих случаях проблема установления самого факта существования скрытого аттрактора и, тем более, его отыскания в многомерном фазовом пространстве оказывается весьма непростой. Приведем два известных примера, подтверждающих это тезис.

В.И. Арнольд пишет [2]: "Чтобы оценить число предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, А.Н. Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэффициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механико-математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Результат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла! При малом изменении коэффициентов поля предельный цикл сохраняется. Поэтому системы с одним, двумя, тремя (и даже, как стало известно позже, четырьмя) предельными циклами образуют в пространстве коэффициентов открытые множества, так что вероятности попасть в них при случайном выборе коэффициентов многочленов положительны. Тот факт, что этого не случилось, подсказывает, что упомянутые вероятности, по-видимому, малы".

Известен ряд катастроф летательных аппаратов, вызванных неправильным синтезом алгоритмов управления: катастрофы американского многоцелевого истребителя УБ-22 «Раптор», который потерпел аварию при по-

садке на авиабазе Эдвардс в апреле 1992 года и шведского истребителя «Грифон». Эти катастрофы были вызваны неправильным синтезом алгоритмов управления, которое производилось без учета нелинейностей типа «насыщение», влияние которых может вызвать так называемые «колебания, вызванные летчиком», нарушающие процесс пилотирования летательного аппарата. В них наблюдался эффект «флаттера по тангажу» в режиме приземления самолетов (т.е. возникали колебания угла тангажа с нарастающей амплитудой). Хорошо также известны случаи входа космического аппарата в неконтролируемое вращение. При использовании более тонких методов исследовании математических моделей систем управления полетом самолета и ракеты при учете "насыщения" обнаруживаются скрытые аттракторы, наличие которых и приводит к катастрофическим последствиям.

Приведенные примеры красноречиво свидетельствуют о необходимости разработки целенаправленных методов поиска скрытых аттракторов динамических систем, сочетающих в себе как аналитические, так и численные подходы, позволяющие привлечь всю мощь современной вычислительной техники.

Развитие численных методов, современных компьютерных технологий, и прикладной теории бифуркаций, способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. В 2010 году Г.А.Леоновым был предложен такой метод поиска скрытых аттракторов в многомерных моделях систем автоматического управления, основанный на использовании метода гармонической линеаризации, метода малого параметра и метода описывающих функций в сочетании с прикладной теорией бифуркаций [56]. Дальнейшее развитие этого метода [23, 53, 55, 64-69, 71], позволило впервые обнаружить хаотический скрытый аттрактор в контуре Чуа. Упомянутые работы вызвали волну интереса к исследованию многомерных динамических систем, которые либо не имеют состояний равновесия, либо имеют устойчивые в ма-

лом состояния равновесия и одновременно обладают орбитально устойчивыми циклами или странными аттракторами [50, 76, 79, 84, 85, 87].

На рубеже ХХ-ХХ1 веков В.И.Арнольд предложил возродить опыт Гильберта и сформулировать наиболее важные проблемы, которые предстоит разрешить математикам в XXI веке. На его инициативу откликнулся известный американский математик С.Смейл, обозначивший 18 таких проблем [80]. Проблема №13, по сути дела, повторяет 16 проблему Гильберта, состоящую в нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными нелинейностями степени п. Однако, ввиду выявившихся трудностей при решении этой проблемы в общем виде, акцент в 13 проблеме С.Смейла сделан на изучение специального класса систем второго порядка - систем Льенара.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработка численно-аналитических методов исследования аттракторов многомерных систем управления, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в таких системах

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать новые аналитико-численные методы локализации и эффективного поиска скрытых аттракторов математических моделей многосвязных систем автоматического управления.

2. Разработать методы локализации неустойчивых многообразий многомерных систем управления, а также аналитико-численные методы поиска неустойчивых циклов.

3. Построить математическую модель многомерного аналога системы Льенара, обладающую скрытыми аттракторами.

4. Создать программный комплекс, позволяющий реализовать алгоритмы поиска скрытых аттракторов и минимального глобального аттрактора многомерных систем управления.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной математики Matlab.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе разработаны новые аналитико-численные методы поиска скрытых колебаний в многомерных системах управления. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

- Предложен новый аналитико-численный метод поиска скрытых аттракторов математических моделей многосвязных систем автоматического управления, являющийся существенно "менее затратным" на этапе подготовки к реализации численного алгоритма поиска скрытого аттрактора, чем методы, используемые другими авторами и позволяющий исследовать системы, обладающие одновременно несколькими скрытыми аттракторами.

- На базе системы компьютерной математики Matlab разработан комплекс программ для поиска скрытых аттракторов многомерных моделей систем автоматического управления.

- С помощью разработанных методов и комплекса программ найдены скрытые аттракторы классической и обобщенной систем Чуа, построен контрпример к гипотезе Калмана, обнаружены скрытые колебания в системах управления летательными аппаратами.

- На базе системы компьютерной математики Matlab разработан комплекс программ для эффективного поиска неустойчивых циклов многомерных моделей систем автоматического управления, использующий "метод стрельбы".

- Построена математическая модель многомерного аналога системы Льенара. Предложен аналитико-численный метод поиска минимального глобального аттрактора многомерных аналогов систем Льенара, позволив-

ший найти минимальный глобальный аттрактор классической и обобщенной систем Чуа, а также трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования структуры аттракторов многомерных системах управления и, в частности, многомерных моделей систем автоматического управления.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей динамических систем, а также при анализе и синтезе систем автоматического управления.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Россия, Тула, 2014), "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы" (Россия, Москва, РУДН, 2014), а также на всероссийских конференциях " XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ 2014." (Россия, Москва, ИПУ, 2014). "Всероссийская конференция по истории математики и математического образования, посвященной 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина" (Россия, Елец, 2013 г).

В первой главе диссертации дан обзор известных методов поиска скрытых аттракторов многомерных систем управления. В разделе 1.1 даны понятия аттрактора и минимального глобального аттрактора, используемые в работе. Приведены примеры самовозбуждающихся аттракторов. В разделе 1.2 дан обзор известных методов поиска скрытых аттракторов трехмерных систем с квадратичными нелинейностями, принадлежащих S. Jafari, J. Sprott, M. Molaie, G. A. Chen, Z.Wei, X. Wang, Seng-Kin Lao, Y. Shekofteh, X.Wangand, CLi, H.Zeng. Разделе 1.3 описан метод Г.А.Леонова поиска

скрытых аттракторов многомерных моделей систем управления, на конкретных примерах продемонстрировано применение этого метода. В раздел 1.4 приведены некоторые вспомогательные утверждения и теоремы, которые постоянно используются в диссертации.

Во второй главе настоящей работы предлагаются новые аналитико-численные методы поиска скрытых аттракторов многомерных динамических систем, в основу которых, так же как в упомянутых работах [23, 53, 55, 6469, 71] положен метод гомотопии. Однако, предлагаемая в данной диссертации процедура во многих случаях оказывается существенно "менее затратной" на этапе подготовки к реализации численного алгоритма поиска скрытого аттрактора, и в то же время позволяет, например, обнаружить скрытые аттракторы в классической и обобщенной системах Чуа, построить контрпример к известной гипотезе Калмана, обнаружить скрытые колебания в системах управления летательными аппаратами. Создан программный комплекс, позволяющий реализовать алгоритмы поиска скрытых аттракторов.

Третья глава диссертации посвящена проблеме поиска минимального глобального аттрактора многомерных динамических систем, и в частности -минимального глобального аттрактора многомерных аналогов систем Льена-ра с полиномиальной нелинейностью. Такие аттракторы могут содержать, наряду с локально притягивающими множествами, неустойчивые многообразия. Для поиска таких многообразий не могут быть применены методы, развитые в главе 2. В диссертации предложен аналитико-численный алгоритм поиска неустойчивых циклов, базирующийся на использовании "метода стрельбы" [31]. Создан программный комплекс, позволяющий реализовать алгоритмы поиска минимального глобального аттрактора многомерных систем. С использованием предложенных методов найден минимальный глобальный аттрактор классической и обобщенной системы Чуа, а также трехмерного аналога системы Льенара с нелинейностью - полиномом пятой степени.

Глава 1 ИЗВЕСТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА СКРЫТЫХ АТТРАКТОРОВ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ.

1.1 Основные определения

Аттрактором динамической системы называется притягивающее, замкнутое, инвариантное множество в ее фазовом пространстве.

В данной работе мы будем рассматривать динамические системы, порожденные дифференциальными уравнениями

Шх

— = /(.х), х е я, х е я". (1.1.1)

Ш

Здесь Я" - евклидово пространство, X - независимая переменная, / (х) -

вектор-функция: Я" ^ Я".

Определение 1.1 [28]. Вектор с называют состоянием равновесия (стационарным решением, точкой покоя, особой точкой) системы (1.1.1), если х() = с является решением этой системы.

Определение 1.2 [28]. Пусть х() - решение системы (1.1.1), определенное на некотором промежутке Т (конечном или бесконечном). Совокупность точек Г = ): ? ЕТ}, Г С Я", называют траекторией этого решения.

Если х(Х)- решение системы (1.1.1), определенное на полупрямой ? > ?0, то траектория этого решения при ?0 < ? < есть некоторая кривая Г в

Я", называемая положительной полутраекторией уравнения (1.1.1). Соответственно, если х(1) - решение системы (1.1.1), определенное для ^ < ¿0, то соответствующая кривая в фазовом пространстве - отрицательная полутраектория уравнения (1.1.1). Если х(1) - решение системы (1.1.1), определенное

на ^ Е (-го, ), то его фазовая траектория называется полной траекторией системы. Если х(1)- решение системы (1.1.1), определенное на полупрямой ? > ?0, то множеством £у(Г) его с- предельных точек (а -предельных точек) называется множество точек х0, для которых существует последовательность

t0 < tl < t2 < ...(t0 > tl > t2 >...) такая, что tn ^ +°°(tn ^ -с)и x(tn) ^ x0 при n ^^ [30]. Решение x(t) является периодическим если существует p такое, что x(t + p) = x(t) для всех t.

Определение 1.3 [28]. Циклом системы (1.1.1) будем называть замкнутую траекторию ГС Rn, отличную от состояния равновесия.

Пусть x(t) - периодическое решение системы (1.1.1). Тогда траектория

этого решение замкнута в Rn и называется периодической траекторией уравнения (1.1.1).

Приведённые ниже определения принадлежат Г.А.Леонову [26].

Определение 1.4. Будем говорить, что множество K С Rn инвариантно, если х (7, K) = K, Vt > 0.

Здесь х(t,K ) = {х(t,х0) | х0 EK}.

Определение 1.5. Будем говорить, что р( K, х)- расстояние от точки X до множества K, которое определяется по формуле

р(K,х) = inf |z - x\

где |g- евклидова норма в Rn. Будем обозначать K(z)- множество точек х, для которых K,х) < е.

Определение 1.6. Будем говорить, что инвариантное множество K является локально притягивающим (обладает свойством 1), если для некоторой £ -окрестности этого множества К(z) выполнено соотношение

lim р( K, х (t, x0 )) = 0, Vx0 Е K (f).

Определение 1.7. Будем говорить, что инвариантное множество K является глобально притягивающим (обладает свойством 2), если

lim р( K, х (t, x0 )) = 0, Vx0 Е Rn.

Определение 1.8. Будем говорить, что K - локальный аттрактор, если K является инвариантным, замкнутым, локально притягивающим множе-

ством. Будем говорить, что К - глобальный аттрактор, если К является инвариантным, замкнутым, глобально притягивающим множеством.

Типичным примером аттракторов являются устойчивые точки покоя, орбитально устойчивые циклы, странные хаотические аттракторы. Все фазовое пространство Я" представляет собой простейшим пример аттрактора, если при всех значениях £ > 0 в нем определены траектории. Этот пример демонстрирует, что имеет смысл ввести понятие минимального аттрактора -наименьшего инвариантного множества, обладающего свойством притяги-ваемости (свойством 1, или свойством 2).

Далее под аттракторами (и глобальными аттракторами) будут пониматься именно минимальные аттракторы (минимальные глобальные аттракторы).

Глобальный аттрактор может иметь сложную структуру и представлять собой объединение нескольких вложенных друг в друга локальных аттракторов. Наименьший («неделимый») глобальный аттрактор и называют минимальным глобальным аттрактором. Так, например, минимальным глобальным аттрактором динамической системы, имеющей неустойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл, является множество, состоящее из точки покоя и предельного цикла. Если двумерная динамическая система имеет единственное стояние равновесия и несколько вложенных друг в друга устойчивых и неустойчивых циклов, то минимальным глобальным аттрактором является множество, состоящее из точки покоя и всех предельных циклов системы (рис. 1.1).

Рис 1.1. Минимальный глобальный аттрактор двумерной системы.

С точки зрения вычислительных процедур, аттракторы нелинейных динамических систем можно разделить на самовозбуждающиеся и скрытые.

Определение 1.9 [54]. Аттрактор называется "скрытым", если его область притяжения не содержит малых окрестностей положений равновесия, в противном случае он называется "самовозбуждающимся".

Самовозбуждающиеся аттракторы можно локализовать численно при помощи стандартной вычислительной процедуры, в которой после переходного процесса траектория, начинающаяся в точке неустойчивого многообразия в малой окрестности неустойчивого равновесия, достигает аттрактора и рассчитывает его. Стартуя из любой точки такой окрестности, после переходного процесса вычислительная процедура "выходит" на притягивающий колебательный режим (аттрактор). Именно такие аттракторы присутствуют в большинстве систем автоматического регулирования, а также в системах Лоренца, Ресслера, Чуа. На рисунке 1.1 "самый маленький цикл" - самовозбуждающийся аттрактор, а "самый большой" - скрытый.

Пример 1.1. Система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

g

х = а(у - х),

g

у = гх - у - Х2, (1.1.2)

g

г = -Ъх + ху.

названная системой уравнений Лоренца, описывает динамику нескольких физических систем - конвекцию в слое, конвекцию в кольцевой трубке, од-номодовый лазер. Она является исторически первой динамической системой, в которой был обнаружен нерегулярный аттрактор. Найдем особые точки системы уравнений Лоренца:

а(у - х) = 0,

гх - у - XI = 0, (1.1.3)

-Ъ2 + ху = 0.

Из первого уравнения имеем х = у и второе есть две возможности х = 0, ^ = г -1. Тогда, из третьего уравнения получаем если х = 0 то г = 0, если г = г -1 то х = ±Ь(г -1), так что это решение существует лишь при г > 1.

Итак, система (1.1.3) имеет одно состояние равновесия при г < 1, расположенное в начале координат, а при г > 1 имеется три состояния равновесия:

0(0,0,0), О! (VЪ(г -1) Ъ(г -1), г -1), 02Ь/Ъ(г -1), -/Ъ(г -1), г -1).

Проанализируем найденные особые точки на устойчивость, следуя рассуждениям из книги [19]. Пусть (х0,у0,20) - интересующая нас особая

точка. Характеристический полином системы (1.1.3), линеаризованной в этой точке, имеет вид

(Л + а) [(Л + 1)(Л + Ь) + х02] + а[(Л + Ь)(- г) + х0.у0] = 0 (1.1.4)

Для особой точки 0(0,0,0) имеем

(Л + Ь) [Л2 + (а + 1)Л + а(х -1) ] = 0 Это уравнение имеет три корня

Л = -Ь,Л2 = -2 (а +1) — 4 (а + 1)2 + а( г-1)'

Л =--2 +

Собственное число Л1 всегда отрицательно. Собственные числа Л2,Л3 являются отрицательными лишь при г < 1; если же г > 1 одно из них становится положительным. Значит, точка 0(0,0,0) устойчива при г < 1 и неустойчива при г > 1.

Особые точки О1 и 02 существуют, как было показано, при г > 1. Тогда уравнений (1.1.4) принимает вид

Л3 + р + Ь+ 1)Л2 + Ър + г)Л + 2оЪ(т -1) = 0 (1.1.5)

Исследование уравнения (1.1.5) показывает, что при г лишь немного превышающих 1, все три собственных числа Л отрицательны. Следовательно, неподвижные точки О1 и 02 являются устойчивыми узлами. При увели-

чении г с некоторого момента они становятся устойчивыми фокусами - одно собственное число действительное и отрицательное, а два других комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. При а(а + Ь + 3)

г > гс = —--- и дальнейшем увеличении г действительная часть меня-

с а-Ь-1

ет знак, и это момент потери устойчивости состояниями О1 и 02 (в силу

симметрии это происходит одновременно).

Если взять выбранные Лоренцем в исходной работе значения пара-8

метров о = 10, Ь = —, г = 28, получаем координаты трех состояний равновесия:

О (0,0,0), О (бл/2, бл/2,27), О2(-бл/2, -бл/2,27). Для состояний равновесия 0(0,0,0) собственные значения -2.66667, -22.8277,11.8277. Для особых точек Ох и 02, собственные значения -13.8546,0.0939556 +10.1945/, 0.0939556 -10.1945/. Теперь все три особые точки неустойчивы. Если провести численное решение уравнений (1.1.2) на компьютере, например, взять в качестве начального условия точку (8.4953,8.4953,26.9124), близкую к состоянию равновесия Ох, то обнаруживается, что в системе устанавливается хаотический автоколебательный режим - самовозбуждающиеся странный аттрактор. На рис.1.2 показан странный аттрактор системы Лоренца.

Рис.1.2. Фазовый портрет аттрактора Лоренца.

Пример 1.2. Система Чуа моделирует некоторую электрическую цепь, предложенную Леоном Чуа для генерации хаотических колебаний [23]. Системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение цепей Чуа, являются трехмерными динамическими системами с одной скалярной нелинейностью.

В безразмерных координатах система Чуа может быть записана в виде

[23]:

5 / \ х = а(у - х) -ау (х),

5

у = х - у + 2,

5

2 = -вУ - У2-

(1.1.6)

где функция

f (х) = m1x +1 (m0 - m1 )(|x +1| - |x -

характеризует нелинейный элемент системы, a,ß,y, m0, mx - параметры системы Чуа. Следуя работе [23], рассмотрим систему (1.1.6) с параметрами а = 8.4562,^ = 12.0732,7 = 00052,

Запишем систему (1.1.6) в виде:

X&= AX + Бф(о), о = C * X; X = col( x, y, z) (1.1.7)

где операция * обозначает транспонирование,

A =

1 0

а 0 1 (-а) (1)

-1 1 , B = 0 , С = 0 = f(o) - mp

-ß V 0 , V 0,

Система (1.1.6) при т0 =-0.1768,т1 =-1.1468 имеет три стационарных состояния:

0(0,0,0),01(-6.5883, -0.0028,6.5855), 02(6.5883,0.0028, -6.5855). Для положения равновесия 0(0,0,0) собственные значения -7.9587, -0.0038 + 3.2494/, -0.0038 - 3.2494. Для особых точек и 02, собственные значения: 2.2193, -0.9916 + 2.4068/, -0.9916 - 2.4068/. То есть нуле-

вое 0(0,0,0) состояние равновесия устойчиво в малом, а два других состояния равновесия О1 и 02 являются седлами.

Проведём линейный анализ системы (1.1.6), полагая в (1.1.7) рро) = цо, то есть выделим секторы устойчивости и неустойчивости линейной системы Х&= (А + /лБС*)X при различных значениях ^Е(-го, ). При [лЕ(0.1472,0.2098) и (0.9597, +го) матрица А + ¡¡БС* является гурвицевой, т.е система имеет секторы устойчивости (0.1472,0.2098) и (0.9597, +го). При цЕ(-го,0.1472) матрица А + /БС*имеет два комплексно-сопряженных собственных значения и одно положительное собственное значение ( сектор неустойчивость степени 1). При /Е(0.2098,0.9597) матрица А + ¡¡БС* имеет

одно отрицательное собственное значение и два комплексно-сопряженных собственных значения с положительными вещественными частями (сектор неустойчивость степени 2).

Рис. 1.3. Нелинейность ср( х). Секторы устойчивости.

На рис.1.3 изображен график нелинейности ср( х), при т0 =-0.1768, т1 =-1.1468. Видно, что он поочередно пребывает в секторах гурвицевости и неустойчивости степени 2. Теперь положим т0 =-0.5412,т1 =-1.1468. Тогда состояние равновесия 0(0,0,0) будет не-

устойчиво (степень неустойчивость 2). При этом система (1.1.6) обладает самовозбуждающимся аттрактором, который может быть обнаружен численным интегрирования с начальным условиям, близким к состоянию равновесиям 0(0,0,0). Этот аттрактор изображён на рис.1.4.

1.5--т-т

х

Рис.1.4. Самовозбуждающиеся аттрактор системы Чуа. Пример 1.3. Следящая система с нелинейным приводом [39]. Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис.1.5 [39].

Рис.1.5. Структурная схема следящей системы с нелинейным приводом.

Уравнения привода с учетом нагрузки, создаваемой объектом, а также датчика рассогласований:

(7 р +1)рхх =у(2), х2 = хвх - х1, (1.1.8)

Уравнения усилителя и обратной связи:

(Т р +1) Х3 = к2 , = косрх~1, % = Х3 (1.1.9)

Все коэффициенты ТХ,Т2,кос,к2 положительны.

Пусть хвх = 0. Функция нелинейности р(2) = кх2 при кх ,

((2) = к0 > 0 при кх > ртах, к0 > 0 - малое число.

Полагая X = (хх, х3, х4), запишем систему (1.1.8), (1.1.9) в виде

1= АХ + Бд?(о),о = С * X;X = со!(хх,х3,х4) (1.1.10)

А =

0 0 1 \ к ос

к2 1 0

т 2 т 2

0 0 1 - т /

В =

( \

0 0

кос

т \ 1 /

, С =

( 0 \

\-1,

\ /

Полагая в (1.1.10) 2) = ¡2, проведем линейный анализ системы, то есть выделим секторы устойчивости и неустойчивости линейной системы = (А + /ВС*)X при различных значениях /Е(0, ). Система имеет ха-

рактеристическое уравнение:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Нгок Хиен, 2016 год

Литература

1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости в "большом" динамических систем 1949, УМН,Т.4, с. 186-188.

2. Арнольд В.И. Экспериментальная математика. М. Фазис.,2005,63 с.

3. Барабанов Н.Е. О проблеме Калмана// Сиб.мат.журн.1988.Т.ХХ1Х.№.С.3-11.

4. Бобылев Н.А., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем// Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32, № 3.С.301-306.

5. Брагин В.О., Нагайцев В.И., Кунецов Н.В., Леонов Г.А. Алгоритмы поиска скрытых колебальний в нелинейных системах. Проблемы Айзермана, Калмана и цепи Чуа // Известия РАН. Теория и системы управления, 2001. -№ 4. - С. 3 - 36.

6. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. Т. 38, №5. 2002. C. 585-595.

7. Буркин И.М., Буркина Л.И. Частотный критерий существования циклов у многосвязных систем автоматического регулирования. Вестник ТулГУ. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". 2010.Вып.1. Тул-ГУ,.с.3-14.

8. Буркин И.М., Соболева Д.В. О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования. Известия ТулГУ. Естественные науки, 2012. ТулГУ. Вып. 1, с. 5-16,.

9. Буркин И.М., Буркина Л.И. Колебания с жестким возбуждением в многосвязных регулируемых системах. Вестник ТулГУ. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". 2012. Вып.1. ТулГУ,. с.3-13.

10. БуркинИ.М., Буркина Л.И., Нгуен Нгок Хиен// О структуре минимального глобального аттрактора обобщенной системы Льенара с полиномиальной нелинейностью.// Известия ТулГУ. Естественные науки ТулГУ. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. - Вып. 2. С. 46-58.

11. Буркин И.М., Нгуен Нгок Хиен. Аналитико-численные методы поиска скрытых колебаний в многомерных динамических системах. Дифференциальные уравнения и процессы управления № 2. 2014. С. 34-59. (I. M. Burkin and Nguen Ngok Khien.// Analytical-Numerical methods of finding hidden oscillations in multidimensional Dynamical systems// Differential equation. 2014. Vol 50. No.13.P.1695-1717.)

12. Буркин И.М., Буркина Л.И., Нгуен Нгок Хиен. Структура минимального глобального аттрактора трехмерной системы с полиномиальной нелинейностью.// Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2015. Вып 1. С. 3-25.

13. Буркин И.М., Буркина Л.И., Нгуен Нгок Хиен. Об одном подходе к поиску скрытых колебаний в нелинейных системах. Проблема Калмана.// Сборник трудов Всероссийской конференции по истории математики и математического образования, посвященной 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина. Елец. 2013. С. 91-96.

14. Буркин И.М., Нгуен Нгок Хиен. Аналитико-численные алгоритмы локализации аттракторов обобщенной системы Чуа// Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ 2014. М.: ИПУ, 2014. С. 391395.

15. Буркин И.М., Нгуен Нгок Хиен. Скрытые колебания в системах управления летательными аппаратами// Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ. 2014. С.16-20.

16. Буркин И.М., Нгуен Нгок Хиен. Скрытые аттракторы систем управления летательными аппаратами// Материалы Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы». М.: РУДН. 2014. С. 194-195.

17. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М., Энергоиздат, 1981 . - 304 с.

18. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // ПММ. 1952.Т.16. № 5. С.620 - 628.

19. Кузнецов С.П. Динамический хао.- М:. Издательство физико-математической литературы, 2001.

20. Красовский Н.Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений. 1952,ПММ.Т.16,.№5,с.547-554,.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1954.

22. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М."Наука",1964. 400с.

23. Леонов Г. А. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Проблемы Айзермана, Калмана и цепи Чуа/ В.О. Брагин [и др.] // Известия РАН. Теория и системы управнения.-2011.-№ 4.- С. 3-36.

24. Леонов Г.А. "Верхние оценки хаусдорфовой размерности аттракторов". Вестник Санкт-Петербургского университета. 1998.Сер. 1, вып.1, с. 1922.

25. Леонов Г.А. Об устойчивости в целом нелинейных систем в критическом случае двух нулевых корней. 1981, ПММ..Т.45,.№.4, с.752-755.

26. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета. 2004. -144 с.

27. Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах ПММ.Т.74. №1. 2010. C. 37 -49.

28. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2 ч. Ч.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. -СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1992. - 368 с.

29. Леонов Г.А., Кузнецов.Н.В. Скрытые колебания в динамических системах: Шестнадцатая проблема Гильберта, гипотезы Айзермана и Кальмана, скрытые аттракторы в контурах Чуа. Современная математика. Фундаментальные направления. Том 45 (2012). С. 105-121.

30. Малкин И.Г. Об устойчивости систем автоматического регулирования// ПММ. 1952.Т.16. № 4. С.495 - 499.

31. М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М., Мир, 1991. 366с.

32. Неймарк Ю.И. Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М. "Наука". 1987. 423с

33. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М."Наука", 1964. 367с.

34. Соболева Д.В. Исследование структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования: диссертация кандидата физико - математических наук: 05.13.18/ Соболева Дарья Владимировна. - Тула город, 2013. - 110 с.

35. Томберг Э. А., Якубович В. А. Условия автоколебаний в нелинейных системах // Сиб. мат. журн., 1989. Т. 30, № 4. С. 180-194.

36. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. - 720 с.

37. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. II. Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий. Автоматика и телемеханика. - 1971. - № 6. - С. 25-34.

38. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. I. Общие частотные критерии // Автоматика и телемеханика. -1970. - № 12. - С. 5-14.

39. Якубович В.А. Метод теории абсолютной устойчивости// Справочник по теории автоматического управления. М. 1987.

40. Якубович В.А. Минимизация квадратичных функционалов при квадратичных ограничениях и необходимость частотного условия абсолютной устойчивости нелинейных систем управления // ДАН СССР. - 1973. - Т. 209. - С. 1039-1042.

41. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. - 1962. -Т. 143. - № 6. - С. 1304-1307.

42. Якубович В. А. Решение одной алгебраической задачи, встречающейся в теории управления // Докл. АН СССР. - 1970. - Т. 193. - №. 1. - С. 57-61. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал. - 1973. - Т. 14. - №2. - С. 384-420.

43. Якубович В. А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью // Сибирский математический журнал.- 1973. - Т.14. - №5. - С.1100-1129.

44. Andrievsky B.R., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Pogromsky A.Yu. Hidden Oscillations in Aircraft Flight Control System with Input Saturation. IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 2013, vol.5, no.1, pp.75-79. (doi: 10.3182/20130703-3-FR-4039.00026).

45. Andrievsky B.R., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M. Hidden oscillations in stabilization system of flexible launcher with saturating actuators. IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 2013, vol.19, no.1, pp.37-41. (doi: 10.3182/20130902-5-DE-2040.00040).

46. Analytical-numerical localization of hidden attractor in electrical Chua's circuit /N.V. Kuznetsov [et al.] // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2013 V. 174.Р. 149-158.

47. Chua L.O. A zoo of Strange Attractors from the Canonical Chua's Circuits // Proc. of the IEEE 35th Midwest Symp. on Circuits and Systems (Cat. No.92CH3099-9). Washington, 1992. V. 2. Р. 916-926.

48. Hahs, D., Sorrells, J. Dynamic vehicle control (Problem). Proc. American Control Conf.(ACC 1991). 1991, Boston, USA, pp. 2967-2968.

49. Hidden oscillations in dynamical system / G.A. Leonov [et al.] // Trans Syst. Contr. 2011. № 6. Р. 54-67.

50. Jafari, S., Sprott, J. C., Golpayegani, S. M. R. H. Elementary quadratic chaotic flows with no equilibria. Phys. Lett. A, 2013, vol.377, pp.699-702.

51. Jafari, S., Sprott, J. C. Simple chaotic flows with a line equilibrium, Chaos Solitons & Fractals V.57,2013, pp.79-84.

52. Kalman R.E. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems.Transactions of ASME. 1957,vol.79, no.3, pp.553-566.

53. Kuznetsov N. V., Kuznetsova O. A., Leonov G. A., Vagaitsev, V. I. Analytical-numerical localization of hidden attractor in electrical Chua's circuit. //Lecture Notes in Electrical Engineering, 2013,174, pp.149-158.

54. Kuznetsov.N.V, G.A. Leonov, Hidden attractors in dynamical systems: systems with no equilibria, multistability and coexisting attractors. Preprints of the 19th world congress the international frederation of automatic control Cape Town, South Africa. August 24-29, 2014.

55. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M. Hidden oscillations in nonlinear control systems, IFAC Proceedings Volumes" IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 2011, vol.18, no1, pp. 2506-2510. (doi: 10.3182/20110828-6-IT-1002.03316).

56. Leonov G. A. Elective methods for periodic oscillations search in dynamical systems. Appl. Math. Mech., 2010, vol.74, no.1, pp. 24-50.

57. Leonov G.A. Two-dimensional quadratic systems as a Lienard equation. // Diff. Equations and Dynamical System. V.5.№3/4.1997.P. 289-297

58. Leonov G.A. Hilbert's 16th problem for system. New method based on a transformation to the Lienard equation. // Intern. J. Bifurcation and Chaos. V.18. 2008. P. 877-884.

59. Leonov G. A,. Andrievskii B. R,. Kuznetsov N. V., Pogromskii A. Yu. Aircraft Control with Anti-Windup Compensation. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 13, pp. 1700-1720.

60. Leonov G.A., Boichenko V.A. Lyapunov's Direct Method in the Estimation of the Hausdorf Dimesion of Attractors. Acta Applicandae Mathematicae. 1992, vol. 26, pp. 1-60.

61. Leonov G.A, Bragin V.O., Kuznetsov N.V. Algorithm for constructing counterexamples to the Kalman problem. Doklady Mathematics, 2010, vol. 82, no.1, pp. 540-542. (doi: 10.1134/S1064562410040101).

62. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepeljavyi A.I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Kluwer Academic Publishers, 1996. 404p.

63. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Algorithms for searching for hidden oscillations in the Aizerman and Kalman problems. Doklady Mathematics, 2011, vol.8, no.1, pp. 475-481. (doi:10.1134/S1064562411040120).

64. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems". IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 2011, vol.18, no1, pp. 2494-2505. (doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315).

65. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for hidden at-tractors localization: The 16th Hilbert problem, Aizerman and Kalman conjectures, and Chua circuit// Numerical Methods for Differential Equations, Optimization, and Technological Problems, Computational Methods in Applied Sciences, 2013,vol.27, Part 1 (Springer), pp. 41-64.

66. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems: From hidden oscillation in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits // Inter. J. Bifurcation and Chaos. 2013. V.23.1330002.

67. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Vagaitsev V. I. Localization of hidden Chua's attractors. Phys. Lett. A 2011, vol. 375, pp.2230-2233.

68. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kuznetsova O.A., Seledzhi S.M., Vagaitsev, V.I. Hidden oscillations in dynamical systems, Trans Syst. Contr., 2011, .no.6, pp.54-67.

69. Leonov G.A, Kuznetsov N.V., Vagaitsev V.I. Hidden attractor in smooth Chua systems. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2012, 241(18), pp. 1482-1486. (doi: 10.1016/j.physd.2012.05.016).

70. Leonov G.A., Ponomarenco D.V.,Smirnova V.B. Frequancy methods for nonlinear analysis. Theory and applications.. Singapore: World Scientific, 1996, 498 p.

71. Leonov G.A,. Vagaitsev V.I, Kuznetsov N.V. Algorithm for localizing Chua attractors based on the harmonic linearization method. Doklady Mathematics, 2010, vol. 82, no.1, pp. 663-666. (doi:10.1134/S1064562410040411).

72. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order// Ann. Math. 1944. Vol. 45. № 4. Pp. 723 - 737.

73. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 65-75.

74. Markus L. and Yamabe H. Global stability criteria for differential systems // Osaka Math.J. 1960.V.12.P.305 - 317.

75. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics. Singa-pure:World Scientific, 2006, 363 p.

76. Molaie, M., Jafari, S., Sprott, J. C., Golpayegani, S. M. R. H. Simple chaotic flows with one stable equilibrium. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2013, vol. 23, no. 11. 1350188.

77. Rossler O.E. An Equation for Continuous Chaos // Physics Letters. 1976. V. 57A.5.P. 397-398.

78. Savaci F.A., Gunel S. Harmonic Balance Analysis of the Generalized Chua's Circuit. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2006,vol. 16, no 8, pp. 2325-2332.

79. Seng-Kin Lao, Shekofteh Y., Jafari .S, Sprott, J. C. Cost Function Based on Gaussian Mixture Model for Parameter Estimation of a Chaotic Circuit with a Hidden Attractor. Int. J. Bifurcation Chaos, 2014, vol. 24, No.01.1450010.

80. Smale S. Mathematical problems for next century. Math. Intelligencer. 1998. V.20.P.715.

81. Smith R.A. Orbital stability for ordinary differential equations. // J. Diff. Equations. 1987. Vol.69, № 2. PP. 265-287.

82. Smith R.A. The Poincare-Bendixon theorem for certain differential equations of higher order // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1979. Vol. 83. Sect. A. PP. 153172.

83. Viet. T.P, Volos. C, Jafari .S, Wei. Z, Wang. X. Constructing a Novel No-Equilibrium Chaotic System. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2014

84. Wang, X. ,Chen, G. Constructing a chaotic system with any number of equilibria. Nonlinear Dyn., 2013, vol. 71, pp.429-436..

85. Wei. Z. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria. Phys. Lett. A, 2011, vol.376, pp.102-108.

86. Wei, Z. Delayed feedback on the 3-D chaotic system only with two stable node-foci. Comput.Math. Appl. 2011, vol.63, pp.728-738.

87. X.Wangand, G.Chen, A chaotic system with only one stable equilibrium Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012, vol.17, no.3, pp.1264-1272.