Численно-аналитические методы исследования механизмов возникновения скрытой синхронизации для математических моделей радиотехнических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Харламова Анастасия Олеговна

• Харламова Анастасия Олеговна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Харламова Анастасия Олеговна

Введение

Глава I. КВАЗИСИНХРОННЫЕ РЕЖИМЫ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ЧАСТОТНО-ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

1.1 Математические модели радиотехнических систем

1.2 Методы исследования скрытой синхронизации

1.3 Влияние частотного управления системы ЧФАПЧ на характеристики квазисинхронных режимов

1.4 Синхронизация второго рода математической модели системы ЧФАПЧ

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ СКРЫТОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОМОДУЛЯЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ЧФАПЧ

2.1 Матричные уравнения, используемые при изучении систем с частотным управлением

2.2 Автомодуляционные колебания второго рода системы ЧФАПЧ

2.3 Вычислительный алгоритм определения нескольких разночастотных режимов биения

2.4 Применение метода нелокального сведения для определения колебательных циклов математической модели системы ЧФАП

Глава III. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ МЕХАНИЗМОВ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКРЫТОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

3.1 Мультипликаторный анализ сценария бифуркации нелинейных колебаний

3.2 Методы изучения скрытой синхронизации системы фазовой автоподстройки частоты с ограниченным затуханием

3.3 Колебательно-вращательные режимы математической модели ФАПЧ

3.4 Вынужденная синхронизация системы фазовой автоподстройки с запаздыванием

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы исследования механизмов возникновения скрытой синхронизации для математических моделей радиотехнических систем»

Введение

Синхронизация является одним из фундаментальных нелинейных явлений, имеющих разнообразные применения в технике. В радиофизике работы по синхронизации начинаются с первой половины 20 века, когда было обнаружено свойство захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигналом (Appleton E.V., Van der Pol B.) [114, 144]. Анализ данного явления был сделан в работах А.А. Андронова [1, 2]. Фундаментальные результаты по синхронизации периодических колебаний с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркации были получены в работах В.И. Арнольда [5], Н.В. Бутенина [26], Г.А. Леонова [55-58, 61, 121-125], Н.В. Кузнецова [103, 121-125, 131, 132, 135-137], И.М. Буркина [21-25], Ю.И. Ней-марка [26], В.В. Степанова [104], В.А. Плисса [89] и других авторов.

В дальнейшем синхронизация периодических колебаний применительно к системам различного вида и природы была изучена во множестве научных работ [3, 4, 7, 9, 11, 14, 17, 18, 31, 39, 55-57, 60, 61, 62, 70, 77, 84-85, 88, 97, 100, 106, 109, 110, 115, 118, 123, 138]. Примерами таких систем являются синхронизируемые часы, ускоритель элементарных частиц, синхронные электрические генераторы и двигатели, устройства управляющие ритмом сердечной деятельности, системы глобального позиционирования (GPS). В компьютерных архитектурах системы фазовой синхронизации (СФС) применяются для восстановления тактового сигнала, синхронизации данных, синтеза частот. Принципы СФС используются в оптических и нейронных сетях и многом другом.

Теория СФС для регулярных сигналов достаточно хорошо развита. В фазовом пространстве системы режиму синхронизации соответствует устойчивое состояние равновесия. Для систем фазовой автоподстройки (ФАП) в работах В.В. Матросова [77-80], В.Д. Шалфеева [108-109], показано, что при разных видах фильтра нижних частот может произойти нарушение устойчивости состояния равновесия и возникновение около него устойчивого предельного цикла. В этом случае в системе устанавливается квазисинхронный режим, для которого

усредненная частота колебаний генератора совпадает с частотой внешнего сигнала, что определяет существование режима фазовой синхронизации.

Скрытая синхронизации связана с термином «скрытые колебания» сформулированного в работах Г.А. Леонова [103], Н.В. Кузнецова [103], И.М. Бур-кина [25]. Характерной особенностью скрытых колебаний является невозможность попадания на него по траектории с начальными значениями из окрестности состояния равновесия. В данной работе под скрытой синхронизацией понимается наличие в системе устойчивого цикла первого рода, для которого усредненная частота колебаний генератора совпадает с частотой внешнего сигнала, при этом цикл не является «глобально устойчивым».

С квазисинхронными режимами связано явление джиттера, которое определяется как отклонение временного положения информационных сигналов в трактах вычислительных и телекоммуникационных устройств от заданных значений И.Г. Бакланов [10], Смагин С.А., Н.Н. Конов, А.В. Севастьянов [101], В. А. Чулков [106], M. Li [133], Y. Takasaki [142], P. Trischitta [143]. Джиттер является следствием совокупного действия множества дестабилизирующих факторов, специфичных для разных классов устройств хранения и передачи данных. Одним из факторов появления джиттера является фазовая модуляция сигнала, при этом частота отклонения фазы называется частотой джиттера. Проблема выделения компонент джиттера представляет собой сложную техническую задачу, требующую разработку математического аппарата определения фазовой синхронизации.

Условиями формирования срытой синхронизации являются наличие в системе ФАП режимов биения, колебательно-вращательных циклов, наличие мультистабильности. Под мультистабильностью понимают сосуществование в фазовом пространстве нескольких аттракторов, в частности аттракторами могут являться предельные циклы. Один из случаев мультистабильности - фазовая мультистабильность, когда аттракторы отличаются друг от друга значениями разности фаз между колебаниями системы В.В. Астахов, Б.П. Безручко, Ю.П. Гуляев, Е.П. Селезнев, В.И. Пономаренко, С.А. Коблянский, А.В. Шабунин, W.

Uhm, S. Kim [6, 8, 47, 115]. Фазовое пространство в системах с фазовой мульти-

4

стабильностью оказывается более сложно устроенным, чем в системах с единственным устойчивым предельным циклом. В формировании мультистабиль-ности определяющую роль играют неустойчивые предельные множества соответствующие ненаблюдаемым в эксперименте колебаниям. В связи с этим актуальным является разработка методов определения мультистабильности и определения механизмов ее появления.

Вопросам динамики систем фазовой автоподстройки частоты посвящено значительное количество исследований. Наиболее известными в этой области являются труды Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, Г.А. Леонова, Т.Л. Чшиевой, А.А. Ляховкина, С.С. Мамонова, В.В. Матросова, В.Д. Шалфее-ва, В.В. Шахгильдяна, Мищенко М.А., I.I. Blekhman, M. G. Rosenblum, P. V. Brennan, F.M. Gardner, S. C. Hong , M. Howard , W. C. Lindsey , C. M. Chie, E. Roland, W. Rosenkranz, R. E. Best, C. A. Adkins, M. A. Marra [14, 21-25, 55-58, 61, 64-71, 77-80, 81-85, 95, 100, 108-110, 112, 113, 116-119, 121-130, 134, 140, 141,145 ] и других авторов.

Математической моделью ФАПЧ является система дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. При изучении таких систем применяются методы качественного исследования, предложенные в работах Н.В. Бутенина, Дружининой О.В., Масиной О.Н., Н.А. Фуфаева, С.В. Сидорова, Б.П. Демидовича, В.И. Зубова, М.А. Красносельского, В.В. Степанова, В.А. Плисса, Э. Коддигтона, Н. Левинсона, А. Пуанкаре, F. Tricomi [26, 30, 3238, 41-42, 48, 49, 76, 104, 89, 98-99] и других авторов.

Не смотря, на многочисленные работы, посвященные системам ЧФАПЧ, открытыми остаются вопросы нахождения скрытой синхронизации, определение механизмов ее возникновения, нахождение условий бифуркаций циклов и изучение их сценариев, возникновения сложно модулированных колебаний.

В связи свыше изложенным актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить в радиотехнических системах слож-номодулированные колебания и определять механизмы их возникновения.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка аналитических и

численных методов исследования скрытой синхронизации радиотехнических

5

систем, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в таких системах.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать новые аналитические методы обнаружения квазисинхронных режимов для математической модели системы ЧФАПЧ.

2. Разработать численно-аналитические методы исследования скрытой синхронизации при наличии режимов биения системы ЧФАПЧ, а также численно-аналитические методы поиска колебательно-вращательных циклов.

3. С помощью современных компьютерных технологий определить механизмы формирования мультистабильности математической модели системы ФАПЧ с запаздыванием.

4. Создать комплекс программ, позволяющий реализовать численные методы и алгоритмы определения скрытой синхронизации системы ЧФАПЧ.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, метод нелокального сведения, методы функционального анализа, мультипликаторный анализ бифуркации цикла; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной математики Maple.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационном исследовании разработаны новые аналитические и численные методы исследования возникновения скрытой синхронизации для математических моделей радиотехнических систем. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

- предложен новый аналитический метод нахождения колебательных циклов для математической модели системы частотно фазовой автоподстройки частоты, позволяющий определить области притяжения циклов.

- на базе системы компьютерной математики Maple разработан комплекс программ для обнаружения скрытой синхронизации при наличии режимов биения системы ЧФАПЧ.

- разработан метод многомерных систем нелокального сведения и комплекс программ для исследования скрытой синхронизации радиотехнических систем в случае отсутствия частотного кольца.

- на базе системы компьютерной математики Maple разработан комплекс программ для эффективного поиска колебательно-вращательных циклов системы ФАПЧ с ограниченным затуханием.

- разработан эффективный вычислительный метод исследования скрытой синхронизации в случае мультистабильности для математической модели системы ФАПЧ с запаздыванием.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования модуляционных колебаний радиотехнических систем.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей динамических систем, а также при исследовании скрытой синхронизации систем ЧФАПЧ.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2013, 2014); XIX, XX, XXI, XXII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании "НИТ 2014 - 2017"» (Россия, Рязань, 2014 - 2017); XIX научной конференции по радиофизике, посвященной 70-летию радиофизического факультета (Россия, Нижний Новгород, 2015); Двадцать третей международной конференции « Математика, компьютер, образование» (Россия, Дубна, 2016); Международной конференции, посвященной 110-летию Иринар-ха Петровича Макарова «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, каче-

7

ственная теория» (Россия, Рязань, 2016); Международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» (Россия, Рязань, 2016); Международной научно-методической конференции «Математика и естественные науки. Теория и практика» (Россия, Ярославль, 2016); Международной молодежной научной конференции «Методы современного математического анализа и геометрии и их приложения» (Россия, Воронеж, 2016); III Международной научно-практической конференции «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования» (Россия, Елец, 2017); XIII Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» (Россия, Саранск, 2017).

В первой главе диссертации предложены аналитические методы исследования квазисинхронных режимов для математической модели системы с частотно-фазовым управлением. В параграфе 1.1 рассматриваются радиотехнические системы, обладающие скрытой синхронизацией, в частности системы ЧФАПЧ с дробно-рациональным фильтром, системы ФАПЧ с запаздыванием. В параграфе 1.2 сформулировано понятие скрытой синхронизации, определяемое квазисинхронными режимами системы ФАПЧ, для которых усредненная частота колебаний генератора совпадает с частотой внешнего сигнала, то есть < & >= 0 [77, 109], при этом понятие «скрытости» связано с наличием в системе ФАП режимов биения или мультистабильности. В параграфе 1.2 сделан обзор известных методов поиска циклов первого и второго рода, принадлежащих Г.А. Леонову [55-58, 61, 121-125], И.М. Буркину [21-25], С.С. Мамонову [64-71], В.В. Матросову [77-80], В.Д. Шалфееву [108, 109], В.Н. Белых [14, 100]. В параграфе 1.3 рассматривается математическая модель системы ЧФАПЧ с дробно-рациональным фильтром нижних частот, показано, что один из механизмов возникновения скрытой синхронизации связан с частотным управлением радиотехнической модели. В параграфе 1.3 на базе принципа тора [27, 58, 89, 120, 139] предложены аналитические методы определения квазисинхронных режимов. Численными методами с использованием комплекса программ, реализованных в пакете Maple, проведен анализ частотно-амплитудных характеристик

8

квазисинхронных режимов для системы ЧФАПЧ с фильтрами второго порядка. В параграфе 1.3 установлено, что устранение частотного кольца приводит к сохранению квазисинхронных режимов системы ФАПЧ, что позволяет определить численный метод обнаружения скрытой синхронизации системы ФАПЧ при отсутствии частотного кольца. В параграфе 1.4 предложен аналитический метод определения синхронизации второго рода, в основу метода положено построение тороидального множества с помощью форм второго порядка, определяемых решением системы трех матричных уравнений. Результаты первой главы опубликованы в работах [155-161, 166, 167].

Во второй главе настоящей работы разработаны аналитические методы определения скрытой синхронизации системы ЧФАПЧ, позволяющие разработать эффективные вычислительные методы изучения математических моделей радиотехнических систем с применением компьютерных технологий. Скрытая синхронизация сопровождается режимами биения или автомодуляционными режимами второго рода. В параграфе 2.1 рассматриваются системы трех матричных уравнений, используемых при изучении как квазисинхронных режимов так и режимов биения системы ЧФАПЧ. Для систем матричных уравнений определены виды решений, что позволяет определить область притяжения автомодуляционных колебаний и предложить эффективные численные методы обнаружения скрытой синхронизации. В параграфе 2.2 с использованием результатов работ Г.А. Леонова, И.М. Буркина, С.С. Мамонова, В.В. Матросова, предложены аналитические методы определения циклов второго рода, определяющие вычислительные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ на базе системы Maple. В параграфе 2.3 предложен вычислительный алгоритм, основанный на понятии вращения векторного поля для нахождения нескольких предельных циклов второго рода, один из которых является гиперболическим. Алгоритм реализован с помощью пакета программ Maple. В параграфе 2.3 с использованием метода нелокального сведения Г.А. Леонова [23, 24, 29, 55-58] и методов построения положительно инвариантных множеств разработанных в § 1.3, 1.4, 2.2, 2.3 предложен аналитический метод определения

колебательных циклов фазовых систем. Метод основывается на изучении си-

9

стемы трех матричных уравнений и использовании циклов первого рода двумерных систем дифференциальных уравнений. Результаты второй главы являются базовыми при численном анализе скрытой синхронизации в параграфах 3.2, 3.3, 3.4 и опубликованы в работах [146-154].

Третья глава диссертации посвящена качественно-численным методам изучения механизмов возникновения скрытой синхронизации для системы ФАПЧ при отсутствии частотного кольца с ограниченным затуханием. В параграфе 3.1 разработан вычислительный алгоритм, реализованный в пакете Maple, для определения мультипликаторов циклов первого и второго рода математической модели системы ЧФАПЧ. Численными методами проведен мультипликаторный анализ бифуркации цикла первого рода. В параграфе 3.2 предложен метод многомерных систем нелокального сведения для определения квазисинхронных режимов. Аналитическими методами определяются условия существования циклов многомерной нефазовой системы дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы анализа трансформации цикла нефазовой системы в цикл фазовой системы дифференциальных уравнений. Предложены критерии близости циклов двух систем, основанные на метрических характеристиках циклов и мультипликаторном анализе. В параграфе 3.2 предложен эффективный вычислительный алгоритм определения области начальных значений квазисинхронных режимов многомерной системы с использованием циклов первого рода для системы дифференциальных уравнений второго порядка. В параграфе 3.3 проведен численный анализ системы ФАПЧ с фильтром низких частот второго порядка. Показано, что одним из механизмов появления скрытой синхронизации является изменение затухания фильтра низких частот. В § 3.3 предложена классификация сложных колебательно-вращательных режимов системы ФАПЧ, сопровождающих скрытую синхронизацию. Разработан комплекс программ для определения области параметров, гарантирующей устойчивость колебательного цикла фазовой системы. В § 3.4 рассмотрена система фазовой автоподстройки с запаздыванием. Для этой системы определены условия существования нескольких режимов фазовой синхронизации. Проведён

анализ влияния запаздывания на фазовую мультистабильность. Рассмотрен

10

пример электрической цепи фильтра нижних частот и найдены условия, определяющие значения коэффициентов фильтра нижних и запаздывания для вынужденной фазовой синхронизации. В параграфе 3.4 показано, что запаздывания может быть использовано для подавления хаотически модулированных режимов биения и формированию на их базе квазисинхронных режимов обеспечивающих фазовую синхронизацию. Полученные результаты позволяют получить практические рекомендации для определения параметров фильтров второго порядка с запаздыванием, при которых в системе ФАП наблюдается мульти-стабильность, то есть одновременное наличие квзисинхронных режимов с разными частотными характеристиками, что позволяет использовать систему ФАП как генератор многочастотных колебаний. В параграфе 3.4 показано, что механизмом возникновения скрытой синхронизации является формирование муль-тистабильности, связанной с характеристиками запаздывания. Мультипликаторы циклов являются характеристиками устойчивости цикла или быстроты стремления траектории к циклу, поэтому в § 3.4 предложено использовать мультипликаторы цикла как характеристики качества скрытой синхронизации и интерпретировать их в качестве показателей проскальзывания циклов [54, 59, 102]. Результаты третьей главы опубликованы в работах [162-165].

Глава I. КВАЗИСИНХРОННЫЕ РЕЖИМЫ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЧАСТОТНО-ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ §1.1. Математические модели радиотехнических систем

В радиоэлектронике широко распространены две разновидности систем автоподстройки частоты: системы частотной автоподстройки (ЧАП), системы фазовой автоподстройки (ФАП). Различие этих систем состоит в том, что в системе (ЧАП) сигнал ошибки связан с разностью частот подстраиваемого и эталонного генераторов, а в системе (ФАП) - с разностью их фаз [110].

Система (ФАП) применяют в качестве демодуляторов сигналов с частотной и фазовой модуляцией, для построения перестраиваемых по частоте генераторов высокостабильных колебаний, в устройствах воспроизведения магнитной записи, в радиоприёмных устройствах в качестве узкополосных следящих фильтров при восстановлении колебания с несущей частотой для сигналов с однополосной и балансной модуляцией. Система (ЧАП) применяется в радиоприёмных устройствах для поддержания постоянной промежуточной частоты сигнала, используется для стабилизации частоты генерируемых колебаний, применяется в качестве узкополосных перестраиваемых по частоте фильтров и в качестве демодуляторов частотно-модулированных колебаний с обратной связью по частоте [87, 110]. Структурная схема системы (ФАП) изображена на рисунке 1.1.1.

Рис. 1.1.1

Принцип работы системы состоит в следующем. Колебания эталонного ЭГ и подстраиваемого генератора ПГ поступают на фазовый детектор ФД. При рассогласовании указанных колебаний по фазе на выходе ФД появляется

12

напряжение, зависящее от величины и знака этого рассогласования. Пройдя через фильтр нижних частот ФНЧ, выходное напряжение детектора изменяет частоту колебаний ПГ, при изменении частоты колебаний ПГ меняется и их фаза. Управление частотой ПГ в системе ведётся так, что первоначальное несовпадение фаз колебаний сигнала и ПГ уменьшается, и они поддерживаются близкими друг к другу [80].

Системы фазовой автоподстройки, в которых в процессе слежения за фазой сигнала изменяется частота подстраиваемого генератора, получили название системам фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Общее дифференциальное уравнение системы (ФАПЧ) имеет вид

ра + ПуК(р)Е(а) = °»> С1.1.1)

где р = Ж/ Ж - оператор дифференцирования, ) - мгновенная разность фаз подстраиваемого и эталонного генераторов, О - полоса удержания, К(р) - коэффициент передачи фильтра в операторной форме, Е(&) - нормированная характеристика фазового детектора, т.е. отношение мгновенного значения напряжения к наибольшему по модулю напряжению и Он -

начальная расстройка подстраиваемого генератора относительно эталонного [80], [110].

Одним из способов увеличения фильтрующей способности системы (ФАПЧ) является добавление в неё фильтра нижних частот. Для определения коэффициента передачи фильтра нижних частот используется символьный метод. Элементам символической цепи соответствуют символические сопротивления. Для сопротивления Я - символическое сопротивление Я, для индуктивности Ь символическое сопротивление - рЬ, для ёмкости С символическое сопротивление - (рС)_1 где р = d|dt - оператор дифференцирования. Коэффициент передачи К(р) определяется соотношением К (р)

К(р) = —еьве(р), где Квых(р) - выходное сопротивление цепи, Кет (р) - вход-

Квх (р)

ное сопротивление.

Существуют различные типы фильтров нижних частот. Одним из часто применяемых фильтров в фазовых системах является пропорционально-интегрирующий фильтр (фильтр типа 1/1), схемы которого приведены на рисунках 1.1.2, 1.1.3. Эти схемы отличаются друг от друга характеристическими сопротивлениями. Обобщённый операторный коэффициент передачи этих схем имеет вид

тТр +1

К (р) =

Тр +1

я

где т =--—, Т = (Я + Я )С для схемы 1.1.2 и т =

Я + Я-

с + с-

(1.1.2)

Т = (с + С- )я

для схемы 1.1.3.

Рис. 1.1.2 Рис. 1.1.3

Различают также системы (ФАПЧ) с ЯСЯС и ЯЬС фильтрами (типа 0/2) схемы которых приведены на рисунках 1.1.4 а, б.

Рис. 1.1.4 а Рис. 1.1.4 б

Коэффициент передачи таких фильтров в операторной форме имеет вид

К (р) =

V ^ ;

Ч+—р+1

^-1

где ч

л/ ЬС у! Я ЯЯ2С,С: а)0(Я1С2 + Я2С2 + Я2С1) - затухание фильтра.

- граничная частота фильтра, й =

(1.1.3)

я4С _ 41 "

1

1

Передаточная функция для системы (ФАПЧ) с фильтром нижних частот может иметь и более сложный вид

К (р) =

а2р2 + ар +1

ь2 р2 + ь р+1

(1.1.4)

где р = ——— - оператор дифференцирования по безразмерному парамет-2Оу йт

2

ру р = —Оу?, а О - полоса удержания. Это выражение охватывает типы

7

фильтров (0/0), (0/1), (1/1), (1/2), (2/2), в зависимости от значений коэффициентов а и Ь.

Фильтр типа (2/2), представленный на рисунке 1.1.5 хорошо подавляет помехи на частоте последовательного резонанса цепи ЬС. Степень подавления зависит от сопротивления резистора г. Она наибольшая при г = 0 или

2

иначе Ь = 0. Для такого фильтра а = ~Оу(г + Я С,

7

а2 =

7 о

7

(Ь + ЬС,

2 (2

Ь = гС и Ь =

1 ^ у 2 у

7 \7

ЬС.

Рис. 1.1.5

Одним из методов изменения характеристик захвата является использование фазового детектора для выделения сигнала ошибки системы (ФАПЧ). Фазовый детектор представляет собой устройство входной сигнал, которого определяется разностью фаз колебаний, подстраиваемых на его входы. Путем изменения характеристики детектора изменяются траектории на фазовой плоскости. [28].

2

2

Система (ФАПЧ) может работать в различных режимах. Режим удержания наблюдается в системе тогда, когда частоты ЭГ и ПГ равны и эффект медленных изменений параметров ПГ в среднем полностью компенсируется действием (ФАПЧ). Другой режим работы системы, при котором в среднем разность частот вырабатываемых генераторами сигналов равна нулю, а разность их фаз периодически изменяется. Этот режим называется квазисинхронизмом. Третий режим работы системы - режим биений. Его особенность заключается в непрерывном нарастании разности фаз ПГ и ЭГ. Режим захвата в системе наблюдается при её переходе из режима биений в режим удержания или квазисинхронизма. Под полосой захвата понимают область начальных расстроек, в которых при любых начальных условиях устанавливается режим удержания или квазисинхронизма [110].

Еще одной разновидностью фазовых систем являются системы с запаздыванием [16, 11, 36, 45, 94, 96]. Они отличаются от обычных фазовых систем тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени на величину т, называемую временем запаздывания выходного сигнала относительно входного, причём это время запаздывания остаётся постоянным и во всём последующем ходе процесса [16, 45]. Примерами запаздывающих звеньев являются релейный усилитель, в котором время запаздывания определяется временем обрабатывания реле, длинные электрические линии, транспортеры, трубопровод гидравлической системы и т.д. [40]. Передаточная функция звена чистого запаздывания имеет вид

1 (—1)"

Кт(р) = 1 — тр + -т2р2 +... + т"р" = е. (1.1.5)

2! "!

При последовательном включении звена с запаздыванием передаточная функция системы будет определяться соотношением К (р) = К (р) Кт (р),

где Ку (р) - передаточная функция разомкнутой системы без учета запаздывания. На рисунке 1.1.6 изображена схема звена с запаздыванием, включенного в прямую цепь при размыкании главной обратной связи. В этом случае

K{p) = K (p)Ke v, где К - коэффициент передачи звена с запаздыванием [16].

Рис. 1.1.6

Объектом исследования настоящей работы является система с частотно-фазовым управлением, объединяющая системы (ФАПЧ) и (ЧАП), которая называется системой частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ). Добавление частотного кольца в систему фазовой автоподстройки приводит к увеличению области параметров системы для режимов синхронизации, а также приводит к расширению полосы захвата системы [108].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харламова Анастасия Олеговна, 2018 год

Список литературы

1. Андронов А.А., Витт А. А. Собрание трудов. - М.: АН СССР, 1930. С. 70-84.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Майер А.Г., Гордон И.И. Теория бифуркаций динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1967. -487с.

3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. - М.: Наука, 1990. - 312с.

4. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотехника и электроника. - 2002. -Т. 47. - С.133-165.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 304с.

6. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.П., Селезнев Е.П. Мульти-стабильные состояния в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах // Письма в ЖТФ. - 1989. - Т. 15. -№ 3. - С. 60-65.

7. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах // ЖТФ. - 1990. - Т. 60. - № 10. С. 19-26.

8. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах // Известия ВУЗов. Радиофизика. - 1991. - Т. 34. - № 1. С. 35-38.

9. Бакаев Ю.Н. Синхронизирующие свойства фазовой системы автоматической подстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника. - 1965. - Т.10. - №6. - С.1083-1087.

10. Бакланов И. Г. Несколько серьезных слов о джиггере / И.Г. Бакланов, А.Г. Лебедев, С.Ю. Сондак // Метрология и измерительная техника в отрасли связь. - 2005. - Т.2.

11. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка при приближенном учете запаздывания // Изв. вузов «ПНД». - 2011. -Т. 19. - № 3. - С. 171-178.

12. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О регулярных квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты // Вестник ННГУ. - 2010. - № 6. - С. 43-47.

13. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Наука, 1992.

14. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка // Прикладная математика и механика. - 1978. - Т.42. - Вып. 5. -С.808-819.

15. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989. - 544с.

16. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972. -768 с.

17. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. - М.: Наука, 1981. - 352с.

18. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. - М.: Наука, 1971. - 894с.

19. Брагин В.О., Нагайцев В.И., Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Алгоритмы поисках колебаний в нелинейных системах. Проблемы Айзермана, Кал-мана и цепи Чуа // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2011. -№4. - С. 3-36.

20. Булгаков А.Я. Обобщение матричного уравнения Ляпунова // Сибирский математический журнал. - 1989. - Т.30. - №4. - С.30-39.

21. Буркин И.М. О структуре минимального глобального аттрактора многомерных систем с единственным положением равновесия // Дифференциальные уравнения. - 1997.- Т. 33. - №3. - С. 418-420.

22. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38. - №5. - С. 585-595.

23. Буркин И.М. Частотный критерий орбитальной устойчивости предельных циклов второго рода // Дифференциальные уравнения. - 1993. -Т.29. - №6. - С.1061-1063.

24. Буркин И.М., Комарова Г.Л., Леонов Г.А. Исследование в «целом» одной динамической системы с цилиндрическим фазовым пространством // Динамика систем. Горький. - 1979. - С.101-114.

25. Буркин И.М., Нгуен Нгок Хиен. Аналитико-численные методы поиска скрытых колебаний в многомерных динамических системах. Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2014. - № 2. - С. 34-59.

26. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1987. - 382с.

27. Вайсборд Э. М. О существовании периодического решения и об ограниченности в целом решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка // Изв. вузов. Матем., - 1959. - № 4. - С.38 -49.

28. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 2. Теория нелинейной модуляции. Нью-Йорк, 1971.1. Пер. с англ. под ред. проф. В. Т. Горяинова. - М.: Сов. радио, 1975. - 344 с.

29. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия. - М.: Наука, 1978. - 400с.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.

- М.: Наука, 1967. - 472с.

31. Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. - М.: Энергия, 1976. - 240с.

32. Дружинина О.В., Масина О.Н. О существовании и устойчивости периодических решений сжимающих динамических систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. -2006. - № 11. - С. 81-83.

33. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. Синтез управления маятниковой системы с переключением на основе применения модифицированных линейных матричных неравенств // Наукоемкие технологии. - 2015.

- Т. 16. - № 10. - С. 3-13.

34. Дружинина О.В., Петрова С.Н. // Существование колебательных режимов динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями // Вестник Мордовского университета. - 2010. - № 4.

- С. 39-41.

35. Дружинина О.В., Петрова С.Н. Анализ устойчивости дискретных систем управления на основе свойств матричных неравенств // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. - 2012. - № 14. - С. 34-43.

36. Дружинина О.В., Седова Н.О. Анализ устойчивости и стабилизация нелинейных каскадных систем с запаздыванием в терминах линейных матричных неравенств // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. - 2017. - № 1. - С. 21-35.

37. Дружинина О.В., Щенникова Е.В. Условия координатной синхронизации нелинейных динамических систем относительно части фазовых переменных // Нелинейный мир. - 2015. - Т. 13. - № 6. - С. 3-9.

38. Дружинина О.В., Щенникова Е.В., Петрова Н.П. Теория устойчивости по части переменных и проблема координатной синхронизации дина-

166

мических систем // Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора А.А. Шестако-ва. 2015. С. 57-62.

39. Жилин Н.С. Принципы фазовой синхронизации в измерительной технике. - Томск: Радио и связь, 1989. - 384с.

40. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Выща шк. Головное изд-во, 1989. - 431 с.

41. Зубов В.И. Теория колебаний. - М.: Высш. школа, 1979. - 400с.

42. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение // Учеб. пособие для мех.-мат. спец. ун-тов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1984. - 232 с.

43. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. - М.: Наука, 1984. - 192с.

44. Ионова И.В. Решение системы матричных уравнений при наличии линейной связи // Мамонов С.С., Ионова И.В., Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2014. - № 2. - С. 90-102.

45. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. - М.: Наука, 1984. - 320с.

46. Капранов М.В. Фильтрация помех при фазовой автоподстройке частоты. - «НДВШ». - «Радиотехника и электроника». - № 1.

47. Коблянский С. А., Шабунин А. В., Астахов В. В. Вынужденная синхронизация периодических колебаний в системе с фазовой мультиста-бильностью» // Нелинейная динам. - 2010. - № 2. - Т.6. - С. 277-289.

48. Коддигтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1958. - 474с.

49. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966. - 332 с.

50. Кузнецов А.П. Динамические системы и бифуркации - Саратов: Наука, 2015. - 168 с.

51. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1993. - Т. 1. - № 1-2. - С. 15-33.

52. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1993. - № 3-4. - С. 17-35.

53. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. - М.: Наука, Физматлит, 2002.

54. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. - 1983. - № 5. - С. 65-72.

55. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. - 1976. - Т. 40. - № 2. - С. 238244.

56. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем // Сибир. математ. журн. - 1975. - Т.16. - №5. - С.788-805.

57. Леонов Г.А. Частотный критерий неустойчивости систем фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т.28. - №6. - С.1102-1108.

58. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2ч. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1992. - 368с.

59. Леонов Г.А., Киселева О.Б., Смирнова В.Б. Оценка числа проскальзывания циклов в фазовых системах с распределенными параметрами // Межвуз. темат. сб. тр. Численные методы в краевых задачах математической физики. ЛИСИ, Л. - 1985.

60. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. - СПб.: Наука, 2000. - 400с.

61. Леонов Г.А., Томаев А.М., Чшиева Т.Л. Устойчивость систем частотно-фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. - 1992. -Вып. 4. - С. 671-679.

62. Линдсней В. Системы синхронизации в связи и управлении. - М.: Советское радио, 1978. - 598с.

63. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2004.- 318с.

64. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки с инвертированной характеристикой частотного детектора // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. -2009. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 757-759.

65. Мамонов С.С. Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. -2009. - Вып. 2. - С. 174-183.

66. Мамонов С.С. Динамика астатической поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2010. - № 32. - С. 48-55.

67. Мамонов С.С. Динамика системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика.

- 2011. - Т. 11. - № 1. - С. 70-81.

68. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : тез. докл. 10-й Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого.

- Москва. -2008. - С. 188-190.

69. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с инвертированной характеристикой частотного детектора // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. научн. конф. - Тула, - 2008. - С.81-83.

169

70. Мамонов С.С. Режимы синхронизации системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - Рязань. - 2007. - Вып. 20. - С. 14-19.

71. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений. II // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т.46. - №8. - С.1075-1084.

72. Мамонов С.С., Ионова И.В. Исследование биений поисковой системы фазовой автоподстройки частоты // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2014. - № 48. - С. 52-59.

73. Мамонов С.С., Ионова И.В. Применение вращения векторного поля для определения циклов второго рода // Вестник РАЕН. 2014. № 5. С. 46-54.

74. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: наука, 1972. - 232с.

75. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир. 1990. - 584 с.

76. Масина О.В., Дружинина О.В., Афанасьева В.И. Анализ устойчивости дискретных систем управления на основе функций Ляпунова и свойств линейных матричных неравенств // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2011. - Т. 9. - № 7. - С. 49-58.

77. Матросов В. В. Вынужденная синхронизация. Учеб.-метод. пособие. - Нижний Новгород, 2013. - 40 с.

78. Матросов В.В. Динамические свойства генератора с частотно-фазовым управлением // Изв. вузов. Радиофизика. - 2004. - Т.47. - №4. -С.334-342.

79. Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вуз. Радиофизика. -2006. - Т.49. - №3. - С.267-278.

80. Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания в фазовой системе //Письма в ЖТФ. - 1996. - Т.22. - №23. - С. 4-8.

81. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления // Под ред. Р.А. Нелепина. - М.: Наука, 1975. - 448с.

82. Мищенко М.А. Нейроноподобная модель на основе системы фазовой автоподстройки частоты // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 5-3. - С. 279-282.

83. Мищенко М.А., Большаков Д.И., Матросов В.В. Аппаратная реализация нейроподобного генератора с импульсной и пачечной динамикой на основе системы фазовой синхронизации // Письма в Журнал технической физики. - 2017. - Т. 43. - № 13. - С. 10-18.

84. Мищенко М.А., Матросов В.В. Синхронизация биений в системах фазовой автоподстройки частоты // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2017. - Т. 25. - № 2. - С. 37-51.

85. Мищенко М.А., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Синхронизация биений в ансамбле связанных фазоуправляемых генераторов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - № 3-1. - С. 71-74.

86. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. - М.: Мир, 1982. - 432 с.

87. Первачев С.В. Радиоавтоматика. - М.: Радио и связь, 1982 . - 296

с.

88. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. - М.: «Техносфера», 2003.

89. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. - М.-Л.: Наука, 1964. - 368с.

90. Понамаренко В.П., Тихонов Е.А. Хаотическая и регулярная динамика автогенераторной системы с нелинейной петлей частотно-фазового управления // Радиотехника и электроника. - 2004. - Т.49. - №2. - С.205-214.

91. Пономаренко В.П. Динамика автогенератора с частотно-фазовым управлением при инверсии характеристики частотного дискриминатора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. 11. - №6. - С.75-91.

92. Пономаренко В.П. Нелинейные явления в динамике сложных систем с фазовым и частотным управлением: Учебно-методическое пособие. -Нижний Новгород, 2009. - 83с.

93. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автоподстройки с фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. - 1982. -Т.27. - №1. - С.113-116.

94. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1983. - 360с.

95. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971. - 288с.

96. Рыскин Н.М., Усачева С.А. Синхронизация периодических колебаний автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом // ПНД. - 2009. - Т. 17. - №1. -С. 3-12.

97. Сухман С.М., Бернов А.В., Шевкопляс Б.В. Синхронизация в телекоммуникационных системах. Анализ инженерных решений. - М.: Эко-Трендз, 2003.

98. Сидоров С. В. Динамика показателей Флоке в каскаде бифуркаций удвоения периода // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 8. -С. 1213-1214.

99. Сидоров С. В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. - 2007. - № 11. - С. 78-84.

100. Системы фазовой синхронизации / В.Н. Акимов, Л.Н. Белюстина, В.Н. Белых и др. - М.: Радио и связь, 1982. - 288с.

101. Смагин С.А. Повышение точности нониусных измерителей джит-тера / С.А. Смагин, Н.Н. Коннов, А.В. Севастьянов // Современные проблемы радиоэлектроники. Сборник научных трудов. - Вып 1 - Ростов на Дону, 2006. -102-104 с.

102. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2003. - Вып. 2 (№ 9). - С. 48-57.

103. Станкевич Н.В., Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Сосуществующие аттракторы в системе чуа: с стояния равновесия и скрытые колебания. В сборнике: Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика доклады XI Всероссийской конференции молодых ученых. - 2016. - С. 187.

104. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Госте-хиздат, 1959. - 468с.

105. Хессард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. - М.: Мир, 1985.

106. Чулков В. А. Интерполирующие устройства синхронизации и преобразователи информации / В. А. Чулков. Москва: Физматлит. - 2010. -С. 323.

107. Чурилов А.Н. О разрешимости матричных неравенств // Математические заметки. - 1984. - Т.36. - №5. - С.725-732.

108. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях // Изв. Вузов. Радиофизика. - 1969. - Т. 12. -№7. - С. 1037-1051.

109. Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2013. - 366 с.

110. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. - М.: Связь, 1972. - 448с.

173

111. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. -1962. - Т.143. - №6. - С.1304-1307.

112. Adkins C. A., Marra M. A. Modeling of a phase-locked loop servo controller with encoder feedback, in Proceedings of IEEE Southeastcon 99, 1999, IEEE, IEEE, March 25-28, pp. 59-63.

113. Adkins C. A., Marra M. A., Walcott B. L. Modified phase-frequency detector for improved response of PLL servo controller, in Proceedings of 2002 American Control Conference, (Anchorage, AK), AACC, IEEE, May 8-10, 2002.

114. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phi. Soc., 1922, vol. 21, pp. 231-248.

115. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S. Multistability formation and synchronization loss in coupled H'enon maps: Two sides of the single bifurca-tional mechanism // Phys. Rev. E, 2001, vol. 63, 056212, 9 p.

116. Best R. E. Phase Locked Loops Design Simulation and Applications, McGraw-Hill Professional, ch. 6, pp. 205-246, 5th Edition, 2003.

117. Best R. E. Phase-Locked Loops, McGraw-Hill, 1993.

118. Blekhman I. I., Landa P. S., Rosenblum M. G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems // Appl. Mech. Rev., 1995, vol. 11, p. 1, pp. 733-752.

119. Brennan P. V. Phase-Locked Loops: Principles and Practice. New York: McGraw Hill, 1996.

120. Friedrichs K. O. On nonlinear vibrations of third order // Institute of Math. and Mech. New York Univers. 1946. p. 65-103.

121. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., and Kudryashova E.V., Cycles of Two-Dimensional Systems: Computer Calculations, Proofs, and Experiments, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, Vol. 41, No. 3, 2008, pp. 216250.

122. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Hold-In, Pull-In, and Lock-In Ranges of PLL Circuits: Rigorous Mathematical Definitions and Limitations of Classical Theory, IEEE Transactions on Circuits and Systems Part I: Regular Papers , vol. 62, issue. 10, 2012, pp. 2454-2464.

123. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems, Doklady Mathematics, 2011, Vol. 84, No. 1, pp. 586-590.

124. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Differential equations of Costas loop, Doklady Mathematics, 86(2), 2012, pp. 723-728.

125. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Seledzhi S.M., Nonlinear Analysis and Design of Phase-Locked Loops, (chapter in "Automation control - Theory and Practice"), In-Tech, 2009, pp. 89-114.

126. Gardner F.M. Phase Locked Loop Techniques, 2nd ed., New York; Wiley, 1979.

127. Gupta S. C. Phase-locked loops, Proceedings of the IEEE, vol. 63, pp. 291-306, February 1975.

128. Hong S. C. An all digital phase-locked loop system with high performance on wideband frequency tracking, IEEE Trans. on Circuit and Systems, vol. 52, no. 10, 2009.

129. Howard M. Design of Phase-Locked Loop Circuits, with Experiments. Berlin 1981. 262 p.

130. Jacek Kudrewicz, Stefan Wasowicz. Equations of Phase-Locked Loops: Dynamics on the Circle, Torus and Cylinder (World Scientific Series on Nonlinear Science Series a) (World Scientific Series on Nonlinear Science: Series a), 2007.

131. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Simulation of phase-locked loops in phase-

frequency domain, International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, 2012, IEEE, pp. 351-356.

132. Kuznetsov N.V., Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications. Jyvaskyla University Printing House, 2008.

133. Li M. Jitter, noise, and signal integrity at high-speed. M. Li - Prentice Hall Press, 2007.

134. Lindsey W. C., Chie C. M. A survey of digital phase-locked loops, Proceedings of the IEEE, vol. 69, pp. 410-431, April 1981.

135. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Lyapunov quantities, limit cycles and strange behavior of trajectories in two-dimensional quadratic systems // Journal of Vibroengineering, Vol. 10, Iss. 4, 2008, pp. 460-467.

136. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design, ISSCS 2011 - IEEE International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings, 2011, Art. num. 5978639, pp.7-10.

137. Kuznetsov N.V., Kuznetsova O.A., Leonov G.A., Visualization of four normal size limit cycles in two-dimensional polynomial quadratic system, Differential equations and Dynamical systems, 21(1-2), 2013, pp. 29-34.

138. Pisarchik A.N., Jaimes-Re'ategui R., Villalobos-Salazar J.R., Garcia-L'opez J.H., and Boccaletti S. Synchronization of chaotic systems with coexisting attractors // Phys. Rev. Lett., 2006, vol. 96, 244102, 4 p.

139. Rauch L.L. Oscillations of a third-order nonlinear autonomous system // Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations. 1. Prinston. 1950. p.39-88.

140. Roland E. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Applications. 6th ed. McGraw Hill, 2007. 490 p.

141. Rosenkranz W. Phase-locked loops with limiter phase detectors in the presence of noise, IEEE Transactions on Communications, vol. COMM-30, pp. 2297-2304, October 1982.

142. Takasaki Y. Digital Transmission Design and Jitter Analysis. Takasaki

- Boston MA: Artech House, 1991.

143. Trischitta P. Jitter in Digital Transmission Systems. P. Trischitta, R. Varma, L. Eve - Artech House Publishers, 1989.

144. Van der Pol B. Forsed oscillations in a circuit with non-linear resistance // Phi. Mag., 1927, vol. 3, pp. 64-80.

145. Vasil Uzunoglu, Marvin H. White. Synchronous and the Coherent Phase-Locked Synchronous Oscillators: New Techniques in Synchronisation and Tracking. IEEE Transactions on Circuits and Systems. vol.36, no7, July 1989.

146. Харламова А.О. Условия существования предельных циклов второго рода для модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты. // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 13. - № 4. - С. 51-57.

147. Харламова А.О. Автомодуляционные режимы в системе частотно-фазовой автоподстройки частоты // Мамонов С.С., Харламова А.О. , Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. науч. конф. Тула. - 2013. -С.85-87.

148. Харламова А.О. Влияние частотного кольца системы фазовой автоподстройки на условия существования циклов второго рода // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2014.

- Т. 14. - № 5. - С. 55 -60.

149. Харламова А.О. Решение матричных уравнений для системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Мамонов С.С., Харламова А.О., Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. науч. конф. Тула. - 2014. - С.67-69.

150. Харламова А.О. Определение условий существования предельных циклов второго рода для модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Новые информационные технологии в научных исследо-

ваниях: материалы XIX Всерос. науч.-тех. конф. студентов, молодых ученых и специалистов. РГРТУ. - 2014. - С. 61-62.

151. Харламова А.О. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Мамонов С.С., Харламова А.О., Труды XIX научной конференции по радиофизике. ННГУ. - 2015. - С. 91-92.

152. Харламова А.О. Отделение циклов второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 15. - № 3. - С. 97-102.

153. Харламова А.О. Исследование модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты на наличие предельных циклов второго рода // Новые информационные технологии в научных исследованиях: материалы XX Всерос. науч.-тех. конф. студентов, молодых ученых и специалистов. РГРТУ. - 2015. - С. 117-118.

154. Харламова А.О. Динамика системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами второго порядка // Материалы двадцать третьей международной конференции «Математика, компьютер, образование». Дубна. - 2016. - С. 229.

155. Харламова А.О. Квазисинхронные режимы фазовой системы // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2016. - № 56. - С. 45-51.

156. Харламова А.О. Колебательные циклы фазовой системы // Мамонов С.С., Харламова А.О., Материалы Международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования». Рязань: РГУ имени С.А. Есенина. - 2016. - С. 146153.

157. Харламова А.О. Периодические решения системы с цилиндрическим фазовым пространством // Мамонов С.С., Харламова А.О., Математика и естественные науки. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 11.

Ярославль: Издат. дом ЯГТУ. - 2016. - С. 45-51.

178

158. Харламова А.О. Предельные циклы первого рода фазовых систем // Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т. 16. - № 3. - С. 68-74.

159. Харламова А.О. Модулированные колебания системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Новые информационные технологии в научных исследованиях: материалы XXI Всерос. науч.-тех. конф. студентов, молодых ученых и специалистов. РГРТУ. - 2016. - С. 92-93.

160. Харламова А.О. Условия существования предельных циклов первого рода для модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Материалы молодёжной международной научной конференции «Методы современного математического анализа и геометрии и их приложения». Вып. 5. Воронеж: Издат. «Научная книга», 2016. - С. 308-309.

161. Харламова А.О. Автомодуляционные режимы фазовых систем // Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественная теория. Тезисы докладов Международной конференции, посвящённой 110-летию со дня рождения профессора Иринарха Петровича Макарова. Рязань: РГУ имени С.А. Есенина. - 2016. - С. 31-32.

162. Харламова А.О. Численно-аналитическое определение циклов первого рода фазовой системы дифференциальных уравнений // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 17. - № 4. - С. 48 -56.

163. Харламова А.О. Вынужденная синхронизация систем фазовой автоподстройки с запаздыванием // Новые информационные технологии в научных исследованиях: материалы XXII Всерос. науч.-тех. конф. студентов, молодых ученых и специалистов. РГРТУ. - 2017. - С. 302-303.

164. Харламова А.О. Анализ сценария бифуркаций предельных циклов фазовой системы дифференциальных уравнений // Мамонов С.С., Харламова А.О., Дифференциальные уравнения и их приложения в математиче-

179

ском моделировании: материалы XIII Международной научной конференции. Саранск: СВМО, 2017. - С. 75-79.

165. Харламова А.О. Вынужденная синхронизация систем фазовой автоподстройки с запаздыванием // Мамонов С.С., Харламова А.О., Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2017. - № 62. - С. 26-35.

166. Харламова А.О. Квазисинхронные режимы математической модели системы фазовой синхронизации // Мамонов С.С., Харламова А.О., Материалы III Международной научно-практической конференции "Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования". Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. - С. 23-24.

167. Харламова А.О. Определение условий существования предельных циклов первого рода систем с цилиндрическим фазовым пространством // Мамонов С.С., Харламова А.О., Журнал Средневолжского математического общества. - 2017. - Т.19. - №1. - С. 67-76.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Часть 1. Проверка условий теоремы 1.3.1

Определение параметров системы (1.1.10)_

пи:=1атЬёа*Оатта:пи:=еуаЩ%);§:=0.4; 1аи:=(1атЬёал2*Ье1ал2)А(1/2):1аи:=еуаЩ%); Ье1а1:=-пи/Оатта*(пи/Оатта-а1рЬа1)+0.00001:Ье1а1:=еуа1Г(%); х11:=х12*пи/Оатта:х11:=еуаЩ%);

ёе11а:=пи/Оатта*(пи/Оатта-а1рЬа1)+Ье1а1:ёе11а:=еуа1Г(%); к:=Б*1атЬёа*Ье1а/2*х12+0.01:к:=еуа1Г(%);

УБ1:=2*к*х12-пи/Оатта; A2:=sqrt(1-gЛ2);_

Проверка неравенств (1.3.1) - (1.3.3) из условия 3 теоремы_

> р1о1([хЛ2-х*(2*к*х12-пи/Оатта)+А2*Оатта,2*к*х12-пи/Оатта-х, -(2*к*х12-пи/Оатта-х)*(А2*Оатта+хЛ2-х*(2*к*х12-пи/Оатта)+хЛ2)+х*А2*Оатта], х=-0.0005..0.02, y=0.01..-0.005,1inesty1e=1,co1or=[Ыack,red,Ыack]);

so1уe({xЛ2-x*(2*k*xi2-nu/Gamma)+A2*Gamma>0,2*k*xi2-nu/Gamma-x>0,(2*k*xi2-nu/Gamma-x)*(A2*Gamma-x*(2*k*xi2-nu/Gamma-x))+xЛ2*(2*k*xi2-nu/Gamma-x)-

A2*Gamma*x<=0},{x});_

Проверка неравенств (1.3.4) - (1.3.6) из условия 3 теоремы_

p1ot([nu/Gamma-x,A2*Gamma+x*(x-nu/Gamma),A2*Gamma*(x-nu/Gamma)+x*(x-

nu/Gamma)л2+x*A2*Gamma+xЛ2*(x-nu/Gamma)],x=0.02..0.052,

y=-0.01..0.02,1inesty1e=1,co1or=[Ыack,Ыack,red]);

so1ve( {nu/Gamma-x>0,A2*Gamma+x*(x-nu/Gamma)>0,A2*Gamma*(x-nu/Gamma)+x*(x-nu/Gamma)л2+x*A2*Gamma+xЛ2*(x-nu/Gamma)>=0},{x});_

Проверка условия 4 теоремы_

> delta1:=nu/Gamma*(nu/Gamma-alpha1)+beta1; delta2:=(nu/Gamma)*xi2-xi1; m: =nu/Gamm a-alpha1;

> tau1:=g/2;tau2:=sqrt(1-gA2)/6;lambda1:=0.022; lambda2:=sqrt(A2*Gamm a+lambda1*(lambda1 -nu/Gamma)) ; h1:=0.0044;h2:=sqrt(A2*Gamma-h1*(2*k*xi2-nu/Gamma-h1));

>solve({((x*sqrt(lambda1A2+lambda2A2))*(abs(delta1)+2*k*abs(delta2))/(lambda2*(alpha1-nu/Gamma))+ 10A(-7))*x+(lambda1-

nu/Gamma)*xA2+xA3*(Gamma/lambda2A2)*(tau1+(tau2/lambda2)*x)+(k*xi2/tau)*x<0},{x});

> RR:=0.036;

>gR:=((RR*sqrt(lambda1A2+lambda2A2))*(abs(delta1)+2*k*abs(delta2))/(lambda2*(alpha1-nu/Gamma)));

> rzvez:=gR;

> solve({rzvez*x+(lambda1-

nu/Gamma)*xA2+xA3*(Gamma/lambda2A2)*(tau1+(tau2/lambda2)*x)+(k*xi2/tau)*x<0},{x});

> R:=0.036; r:=0.004;

> solve({-rzvez+x*(2*xi2*k-h1-nu/Gamma)-(Gamma*tau1/h2A2)*xA2-(Gamma*tau2/h2A3)*xA3-2*k*xi2*tauA2*((h1A2+h2A2)/h2A2)A(3/2)*xA3>0},{x});

> sigma1:=arcsin(g);sigma2:=4*arctan(1)-2*arcsin(g):sigma2:=evalf(%);_

Проверка условия 5 теоремы_

> solve({(x*h1+sqrt(rA2-xA2*h2A2)+x*lambda1)A2+xA2*lambda2A2-RA2<0},{x});

> solve({(x*h1-sqrt(rA2-xA2*h2A2)+x*lambda1)A2+xA2*lambda2A2-RA2<0},{x});

> prov5:=r/h2;

> plot([(x*h1+sqrt(rA2-xA2*h2A2)+x*lambda1)A2+xA2*lambda2A2-RA2],x=-r/h2..r/h2,y=-0.002..0.0,linestyle=1,color=black);

> plot([(x*h1-sqrt(rA2-xA2*h2A2)+x*lambda1)A2+xA2*lambda2A2-RA2],x=-r/h2..r/h2,y=-0.002..0.0,linestyle=1,color=black);_

Часть 2. Определение начальных условий устойчивого колебательного цикла системы (1.1.10)

Грубые начальные условия для цикла системы_

v2:=4*Pi:v1:=evalf(%):w1:=-0.000404;w2:=0.0094;T1:=15.0;R1:=w1;R2:=w2;

Фазовая траектория для колебательного цикла системы_

> with(plots):sys:=diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t):fcns:={x1(t),x2(t),sigma(t)}:p:=dsolve({sys,x1(0)=w1,x2(0)=w2,sigma(0)=0.4 12},fcns,type=numeric):odeplot(p,[x1(t),x2(t),sigma(t)],0..T1,numpoints=2000,color=black);_

Определение погрешности половинного деления PG и числа точек деления ш

> у2:=4*Ргу2:=еуаЩ%о):т:=30:РО:=Т1/2Ат: PG:=evalf(%);_

Определение начального значения критерия KR с помощью грубой траектории

> TT21:=0:TT22:=T1: for j from 1 to m by 1 do TT23:=(TT21+TT22)/2: k:=p(TT23) :q:=k[2]:q1:=convert(q,string): q2:=substring(q1,11..33): SG3:=parse(q2);

if SG3 < 0.412 then TT21:=TT23 else TT22:=TT23 fi od: k:=p(TT23):

l:=k[3]:l1:=convert(l,string): l2:=substring(l1,8..20): l3:=parse(l2): d1:=l3: mm:=k[4]:m1:=convert(mm,string): m2:=substring(m1,8..20): m3:=parse(m2): c1:=m3: R22:=m3: KR2:=R2-R22: R11:=d1: KR1:=R1-R11:

KR:=abs(KR1*KR2);_

Определение точных начальных условий и периода колебательного цикла системы

> while KR>0.0000001 do

p:=dsolve( {sys,x1 (0)=R1 ,x2(0)=R2,sigma(0)=0},fcns,type=numeri c): TT21:=0:TT22:=T1:

for j from 1 to 30 by 1 do_

TT23:=(TT21+TT22)/2: k:=p(TT23):q:=k[2]:q1:=convert(q,string): q2:=substring(q1,11..33): SG3:=parse(q2):

if SG3 < 0.412 then TT21:=TT23 else TT22:=TT23 fi

od:

k:=p(TT23):

mm:=k[4] :m1:=convert(mm,string): m2:=substring(m1,8..20): m3:=parse(m2): l:=k[3]:l1:=convert(l, string): l2:=substring(l1,8..20): l3:=parse(l2): d1:=l3: KR1:=R1-d1: KR2:=R2-m3: KR:=abs(KR1*KR2): R1:=d1: R2:=m3: od:

R1:=d1; R2:=m3; T1:=TT23: T1:=evalf(%);_

Колебательный цикл системы_

> with(DEtools):

DEplot3d({diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t)},{x1(t),x2(t),sigma(t)},t=0..1*T1,stepsize=0.01, [[x1(0)=R1,x2(0)=R2,sigma(0)=0.412]],x1=-0.0005...0.0005,x2=-0.01..0.01,sigma=0.39..0.43,scene=[x1(t),x2(t),sigma(t)],linecolour=black,thickness=1);

Часть 3. Частотно-амплитудная характеристика квазисинхронного режима системы ЧФАПЧ

Изменение параметра V_

хП:=-9.0;а1рЬа1:=1.25^атта:=1^:=0.67: xi2:=0.8: Ье1а1:=0.4: пи:=0.043: 1аи:=55.9: KK:=0.282:sigm1:=arcsin(g);

> n:=10;nu:=-0.5;R1:=NU4[n+1,1];R2:=NU4[n+1,2];VT:=PU4[n+1,2];

Заполнение матрицы начальных условий_

a:=0.043:b:=nu:h:=(b-a)/n: NU5:=Matrix(n+1,2): PU5:=Matrix(n+1,2): for i from 1 to n+1 by 1 do nu:=a+h*(i-1): T1:=1.2*VT;

for sh from 1 to 80 by 1 do

with(plots):sys:=diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(sigma(t),t)=x2(t):fcns:={x1(t),x2(t),sigma(t)}:p:=dsolve({sys,x1(0)=R1,x2(0)=R2,sigma(0)=sig

m1},fcns,type=numeric):odeplot(p,[x1(t),x2(t),sigma(t)],0..T1,numpoints=2000,color=black);

mdl:=30:PG:=T1/2Amdl: PG:=evalf(%);

TT21:=0:TT22:=T1:

for j from 1 to mdl by 1 do TT23:=(TT21+TT22)/2: k:=p(TT23) :q:=k[2]:q1:=convert(q,string): q2:=substring(q1,11..33): SG3:=parse(q2);

if SG3 < sigm1 then TT21:=TT23 else TT22:=TT23 fi od:

k:=p(TT23);

l:=k[3]:l1:=convert(l,string): l2:=substring(l1,8..36): l3:=parse(l2): d1:=l3: mm:=k[4]:m1:=convert(mm,string): m2:=substring(m1,8..36): m3:=parse(m2): c1:=m3: R22:=m3: R11:=d1: R1:=R11:R2:=R22: od:

NU5[i,1]:=R11:NU5[i,2]:=R22: PU5[i,1 ]:=nu:PU5 [i,2]:=TT23: R1:=R11:R2:=R22:T1:=1.2*PU5[i,2]: od:

Предельный цикл системы для v=-0.5_

R1:=NU5[n+1,1];R2:=NU5[n+1,2];nu:=PU5[n+1,1];VT:=PU5[n+1,2];

xi1:=-9.0;alpha1:=1.25:Gamma:=1:xi2:=0.8:

tau:=55.9:KK:=0.282:beta1:=0.4:g:=0.67:

sigm1:=arcsin(g);

with(DEtools):

DEplot3d({diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t)},{x1(t),x2(t),sigma(t)},t=0..10*VT,stepsize=0.01, [ [x1(0)=R 1,x2(0)=R2,sigma(0)=sigm 1]],x1=R1-0.068...R1+0.068,x2=R2-0.46..R2+0.06,sigma=0.50..0.980,scene=[x1(t),x2(t),sigma(t)],linecolour=black,thickness=1);

Амплитуда для v_

> AM5:=Matrix(n+1,2):

HAM5:=Matrix(n+1,2):

for wn from 1 to n+1 by 1 do

nu:=PU5[wn,1]:

T1:=PU5[wn,2];

R1:=NU5[wn,1];R2:=NU5[wn,2]: AMP:=0:

with(plots):sys:=diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t):fcns:={x1(t),x2(t),sigma(t)}:p:=dsolve({sys,x1(0)=R1,x2(0)=R2,sigma(0)=sig m1},fcns,type=numeric):odeplot(p,[x1(t),x2(t),sigma(t)],0..T1,numpoints=2000,color=black); k:=p(0):q:=k[2]:q1: =convert(q,string):

q2:=substring(q1,11..33):_

SGI:=parse(q2);MXM:=SGI: MNN:=SGI: NA:=40:a:=0:Ь:=T1:h:=(Ь-a)/NA: for i йгот 1 Ш NA+1 Ьу 1 ёо TI:=a+h*(i-1):

k:=p(TI):q:=k[2]:q1:=convert(q,string): q2:=suЬstring(q1,11..33): SGI:=parse(q2); if SGI < MNN ^п MNN:=SGI й: if SGI > MXM then MXM:=SGI й: оё:

AMP:=MXM-MNN: AM5[wn,1] :=AMP:HAM5[wn,1] :=AMP: а^^^п^^щ ^п,1] :HAM5[wn,2]:=1/T1: оё:

Часть 4. Определение среднего значения переменной (7 для системы ЧФАПЧ

> SZ5:=Matrix(n+1,1): йог wn from 1 to п+1 Ьу 1 ёо nu:=PU5[wn,1]: T1:=PU5[wn,2];

R1:=NU5[wn,1];R2:=NU5[wn,2]:

with(p1ots):sys:=diff(x1(t),t)=-a1pha1*x1(t)-Ьeta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauА2*x2(t)А2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauА2*x2(t)А2),

diff(sigma(t),t)=x2(t):fcns:={x1(t),x2(t),sigma(t)}:p:=dso1ve({sys,x1(0)=R1,x2(0)=R2,sigma(0)=sig

m1},fcns,type=numeric):odep1ot(p,[x1(t),x2(t),sigma(t)],0..T1,numpoints=2000,co1or=Ыack);

NS:=10000:VT:=T1:h:=VT/NS:SR:=0:

йог i йгот 1 Ш (NS+1) Ьу 1 do

m:=i:T1:=(m-1)*h:T2:=m*h:

k:=p(T1):q:=k[4]:q1:=convert(q,string):

q2:=suЬstring(q1,8..38):SG1:=parse(q2):

k:=p(T2) :q:=k[4]:q1:=convert(q,string):

q2:=suЬstring(q1,8..38):SG2:=parse(q2):

SR:=SR+h*(SG1+SG2)/2:

od:

SRH:=SR/VT:SZ5 [wn,1 ^^^00000: od:

PRK:=SRH*100000;_

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Часть 1. Определение начальных условий вращательного цикла системы

Грубые начальные условия для вращательного цикла системы

у2:=2*Ргу1:=еуаЩ%)^1:=-.710^2:=2.00;Т1:=8.6;_

Определение начальных условий вращательного цикла системы_

for s from 0 to 30 by 1 do p:=dsolve({sys,x1(0)=w1,x2(0)=w2,sigma(0)=0},fcns,type=numeric): for i from 0 to T1 by 0.001 do

k:=p(i):q:=k[2]:q1:=convert(q,string):q2:=substring(q1,11..33):q3:=parse(q2):if q3 < v1+0.001 then A:=q3: B:=i fi od: k:=p(B); R1:=A; l:=k[3]:l1:=convert(l,string):l2:=substring(l1,8..20): l3:=parse(l2):w1:=l3: c:=k[4]:c1:=convert(c,string):c2:=substring(c1,8..20): c3:=parse(c2):w2:=c3: od: T1:=B;q1:=w1: d1:=w1;q2:=w2: d2:=w2;_

Вращательный цикл системы_

with(DEtools):

DEplot3d({diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu0)*(sin(sigma(t))-g)+(2*kk*x2(t)*dd1)/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gam*(sin(sigma(t))-g)-(2*kk*x2(t)*xi)/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t) },{x1 (t),x2(t),sigma(t) },t=0..T1,stepsize=0.01, [ [x1(0)=d1,x2(0)=d2,sigma(0)=0]] ,x1=-0.95...-

0.25,x2=0.4..2.4,sigma=0..2*Pi,scene=[x1(t),x2(t),sigma(t)],linecolour=black,thickness=1);

Часть 2. Применение вращения векторного поля для нахождения предельных циклов второго рода

Определение параметров системы_

> alpha1:=5/4:beta:=0.5690:beta1:=betaA2+(alpha1/2)A2; nu0:=5/16: Gam:=5/4: dd1:=-1.14: xi:=-0.80: tau:=0.014:kk:=-0.144:g:=0.8:n:=300:

Матрица начальных условий для границы L2

> R2:=2.34892467804520332: z2:=sqrt(Gam)*R2:z2:=evalf(%): a:=-1.57:b:=-0.58:h:=(b-a)/n:

M12: =Matrix(n,2): for i from 1 to n by 1 do m:=i:

M12[i,1]:=a+(m-1)*h:M12[i,2]:=z2: od:

Матрица начальных условий для границы L3_

> R1:=1.94417696186823963:

m11:=2.426624631:m12:=0.6066561575:m13:=-0.6483359605:

a:=-1.56:b:=-0.46:h:=(b-a)/n:

M13:=Matrix(n,2):

for i from 1 to n by 1 do_

m:=i:

M13[i,1]:=a+(m-1)*h:arg3:=a+(m-1)*h:

M13[i,2]:=(-2*arg3*m12-sqrt((2*arg3*m12)A2-4*m13*(arg3A2*m11+R1A2)))/(2*m13): od:

Матрица начальных условий для границы L4

> lambda02:=0.00:l ambda2:=nu0/Gam+lambda02: a:=-0.67:b:=-0.53:h:=(b-a)/n: M14: =Matrix(n,2): for i from 1 to n by 1 do m:=i:

M14[i,1]:=a+(m-1)*h:arg4:=a+(m-1)*h: M14[i,2]:=-arg4/lambda2: od:

Траектория системы для границы L2_

> w1:=M12[1,1];w2:=M12[1,2]; with(DEtools):

DEplot3d({diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu0)*(sin(sigma(t))-g)+(2*kk*x2(t)*dd1)/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gam*(sin(sigma(t))-g)-(2*kk*x2(t)*xi)/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t)},{x1(t),x2(t),sigma(t)},t=0..15,stepsize=0.01, [[x1(0)=w1,x2(0)=w2,sigma(0)=0]],x1=w1-1.00...w1+1.60,x2=w2-3.00..w2+1.00,sigma=0..4*Pi,scene=[x1(t),x2(t),sigma(t)],linecolour=black,thickness=1);

Грубое определение времени T для L2

T1:=15:

Определение промежутка для CKfMA=const для L2

> v2:=2*Pi:v1:=evalf(%):_

Заполнение значениями координат точек пересечения траекторий с плоскостью Сигма= const для L2_

M22: =Matrix(n,2): for i from 1 to n by 1 do w1:=M12[i,1]:w2:=M12[i,2]:

with(plots):sys:=diff(x1(t),t)=-alpha1*x1(t)-beta1*x2(t)+(nu0)*(sin(sigma(t))-g)+(2*kk*x2(t)*dd1)/(1+tauA2*x2(t)A2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gam*(sin(sigma(t))-g)-(2*kk*x2(t)*xi)/(1+tauA2*x2(t)A2), diff(sigma(t),t)=x2(t):fcns:={x1(t),x2(t),sigma(t)}:p1:=dsolve({sys,x1(0)=w1,x2(0)=w2,sigma(0)=0 },fcns,type=numeric): TT1:=0:TT2:=T1: for j from 1 to m by 1 do TT3:=(TT1+TT2)/2:

k:=p1(TT3) :q:=k[2]:q1 :=convert(q,string):

q2:=substring(q1,11..38):

SG3:=parse(q2):

if SG3 < v2+0.0001 then TT1:=TT3 else TT2:=TT3 fi

od:

k:=p1(TT3):

1:=k[3]:11:=conуert(1,string):

12:=suЬstring(11,8..35): 13:=parse(12): d1 =13: M22[i,1]:=d1:

1:=к[4]:11:=conуert(1,string):

12:=suЬstring(11,8..35):13:=parse(12): d2: =13; M22[i,2]:=d2:

od:

Определение вращения на L2

У2:=Matrix(n,2):

for i from 1 Ш п Ьу 1 do

У2[i,1]:=-M22[i,1]+M12[i,1]:

У2[i,2]:=-M22[i,2]+M12[i,2]:

od:

Часть 3. Нахождение мультипликаторов системы (3.1.13)

restart:with(p1ots):with(DEtoo1s):with(1ina1g): AM:=Matrix(3,з):

MKR:=уector(3):_

Параметры системы (3.1.13)_

хП:=-9.0;а^а1:=0.53^атта:=0.56^:=0.67: xi2:=0.8: ЬеЫ:=0.4: пи:=-0.5: 1аи:=55.9:ЬеЫ:=0.4: KK:=0.282:sigm1:=arcsin(g);_

Начальные условия цикла_

R1:=0.182500194669283;R2:=0.900123430340468;VT:=8.127598750;

Первый столбец матрицы монодромии_

sys:=diff(x1(t),t)=-a1pha1*x1(t)-Ьeta1*x2(t)+(nu)*(sin(sigma(t))-g)-(2*KK*xi1*x2(t))/(1+tauЛ2*x2(t)л2),

diff(x2(t),t)=x1(t)-Gamma*(sin(sigma(t))-g)+(2*KK*xi2*x2(t))/(1+tauЛ2*x2(t)л2), diff(sigma(t),t)=x2(t),

diff(y1(t),t)=-a1pha1*y1(t)-Ьeta1*y2(t)-(2*KK*xi 1*(1-tauл2*x2(t)л2)/(1+tauл2*x2(t)л2)л2)*y2(t)+nu*c0s(sigma(t))*y3(t), diff(y2(t),t)=y1(t)+(2*кк*xi2*(1-tauл2*x2(t)л2)/(1+tauл2*x2(t)л2)л2)*y2(t)-Gamma*cos(sigma(t))*y3(t),

diff(y3(t),t)=y2(t):fcns:={xl(t),x2(t),sigma(t),y1(t),y2(t),y3(t)}:p:=dso1уe({sys,x1(0)=R1,x2(0)=R2, sigma(0)=sigm 1,У1 (0)= 1 ,y2(0)=0,y3(0)=0},fcns,type=numeric):odep1ot(p, [x1(t),x2(t),sigma(t)], 0..УT,numpoints=2000,co1or=Ыack); k:=p(УT);

q:=k[5]:q1:=convert(q,string): q2:=suЬstring(q1,8..23): Y11:=parse(q2);AM[1,1]:=Y 11: q:=k[6]:q1:=conуert(q,string): q2:=suЬstring(q1,8..23):

Y21:=parse(q2);AM[2,1]:=Y21:_

q:=k[7]:q1:=convert(q,string):

q2:=substring(q1,8..23):

Y31:=parse(q2);AM[3,1]:=Y31:

Собственные значения матрицы монодромии - мультипликаторы системы (3.1.13)

MKR:=eigenvals(AM):

lambda1:=MKR[1];lambda2:=MKR[2];lambda3:=MKR[3];_

Часть 4. Применение вращения векторного поля для нахождения предельных циклов первого рода

Определение параметров системы (1.1.10)_

restart:a1pha1:=5/4-0.72;Gamma:=1-0.8;g:=0.4+0.27;

xi2:=0.8:1ambda:=0.043:s:=0.001:beta:=1300:

A2:=sqrt(1-gА2): nu:=1amЬda*Gamma:nu:=eva1f(%):nu:=-0.5;

tau:=(1ambdaА2*betaА2)А(1/2):tau:=eva1f(%); Ьeta1:=-nu/Gamma*(nu/Gamma-

a1pha1)+0.00001+0.348089:

Ьeta1:=eva1f(%):Ьeta1:=0.4;

xi1:=xi2*nu/Gamma-9.0344:xi1:=eva1f(%):xi1:=-9;

de1ta:=nu/Gamma*(nu/Gamma-a1pha1)+beta1:de1ta:=eva1f(%):

KK:=s*1amЬda*Ьeta/2*xi2+0.01+0.24964:KK:=eva1f(%);sig1:=arcsin(g);_

Параметры окрестности_

RRG:=0.010:

RP1:=0.0370:RP2:=0.802:n:=150: z1:=2*Pi:z1:=evalf(%): a:=0.0:b:=z1+0.1:h:=(b-a)/n: M11:=Matrix(n,2): for i from 1 to n by 1 do m:=i:

M11[i,1]:=RRG*cos((m-1)*h)+RP 1: M11[i,2]:=RRG*sin((m-1)*h)+RP2: od:

Матрица начальных условий для границы L

z1:=2*Pi:z1:=evalf(%): a:=0.0:b:=z1+0.1:h:=(b-a)/n: M11:=Matrix(n,2): for i from 1 to n by 1 do m:=i: