К теории уравнений типа Дюффинга с «гомоклинической восьмеркой» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Костромина Ольга Сергеевна

• Костромина Ольга Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Костромина Ольга Сергеевна

1.2.1 Метод усреднения

1.2.2 Проблема предельных циклов

1.2.3 Поведение решений в окрестности невозмущенных сепаратрис

1.3 Периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем

1.3.1 Вспомогательные преобразования в резонансном случае

1.3.2 Усреднение системы в окрестностях индивидуальных невырожденных резонансных уровней

1.3.3 Прохождение инвариантного тора через резонанс

1.3.4 Глобальный анализ

1.3.5 Формула Мельникова

2 Проблема предельных циклов в уравнении типа Дюффинга

с «гомоклинической восьмеркой»

2.1 Постановка задачи

2.2 Порождающие функции Пуанкаре-Понтрягина

2.3 Анализ областей внутри «восьмерки»

2.4 Анализ области вне «восьмерки»

2.5 Анализ окрестности «восьмерки»

2.6 Глобальный результат

3 Проблема резонансов в периодически возмущенном асимметричном уравнении Дюффинга—Ван-дер-Поля

3.1 Процедура усреднения

3.2 Изучение топологии резонансных зон в областях внутри «восьмерки»

3.2.1 Вычисление усредненной системы

3.2.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой

через резонансную зону

3.3 Изучение топологии резонансных зон в области вне «восьмерки»

3.3.1 Вычисление усредненной системы

3.3.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой

через резонансную зону

3.4 О глобальном поведении решений вне окрестности «восьмерки»

4 Бифуркационные и хаотические явления в окрестности «гомоклинической восьмерки»

4.1 О гомоклинических бифуркациях

4.1.1 Гомоклинические структуры Пуанкаре

4.1.2 Бифуркационная диаграмма. Численный анализ

4.1.3 Детализация гомоклинических зон с негладкими границами

4.2 О фрактальных свойствах границ областей притяжения

4.2.1 Анализ областей притяжения неподвижных точек

4.2.2 Анализ областей притяжения периодических точек .... 107 Заключение 114 Список литературы

Приложения

Приложение А. Вычисление коэффициентов усредненной системы 126 А1. Вычисление коэффициентов усредненной системы для

области G+

А2. Вычисление коэффициентов усредненной системы для

области G2

Приложение Б. Построение бифуркационной диаграммы для

отображения Пуанкаре на плоскости параметров (p1,p2)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории уравнений типа Дюффинга с «гомоклинической восьмеркой»»

Введение

Актуальность темы исследования. Большинство дифференциальных уравнений не допускает ни точного аналитического решения, ни сколько-нибудь полного качественного исследования. Основная причина - неинтегрируемость. Один из подходов к неинтегрируемым системам - изучение систем, близких к интегрируемым. Квазилинейные системы, как правило, неадекватно описывают процесс или явление в реальной системе, поэтому необходимо изучать системы, близкие к нелинейным интегрируемым.

Рассматриваемый в настоящей работе круг вопросов относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым. Такие системы играют фундаментальную роль в теории колебаний.

Степень разработанности проблемы. Общий подход к исследованию систем, близких к нелинейным консервативным интегрируемым, связан с использованием метода малого параметра А. Пуанкаре [66], метода определения устойчивости А.М. Ляпунова [44], метода усреднения Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [12; 42; 43; 48] и анализом соответствующих усредненных систем. При анализе усредненных систем применяются методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем [3; 4; 10; 61; 72; 73]. Отметим также работы Н.П. Еругина [26-28] и его учеников В.А. Плисса [63; 64], В.И. Зубова [31; 32], в которых разработан принципиально новый метод исследования устойчивости решений в рамках метода функций Ляпунова с использованием общих методов качественной теории дифференциальных уравнений. Этот метод был успешно применен В.А. Плиссом [63; 64] для доказательства существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений, а также для исследования устойчивости решений «в целом».

До настоящего времени в теории колебаний наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем, с их помощью решены

многие нелинейные задачи. Квазилинейные системы представляют собой, пожалуй, единственный широкий класс динамических систем, допускающих сравнительно полное аналитическое исследование. При исследовании подобных систем весьма эффективным является метод усреднения. Один из первых и простейших вариантов метода усреднения - метод Ван-дер-Поля, или метод «медленно меняющихся амплитуд», аналогичный тому, что применялся еще Ж. Лагран-жем в небесной механике для определения эволюции планетных орбит под влиянием взаимных возмущений планет друг другом. Этот метод был разработан Б. Ван-дер-Полем [15] для исследования различных автоколебательных процессов в ламповом генераторе. Его теоретическое обоснование было получено Л.И. Мандельштамом [46] и Н.Д. Папалекси [62]. Дальнейшее развитие метод усреднения получил в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митро-польского [12; 42; 43; 48], в работах А.А. Андронова, А.А. Витта [1; 2], в работах Б.В. Булгакова [13; 14] и других. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение невозмущенной системы.

Начало широкому применению математических методов Пуанкаре-Ляпунова было положено в работах Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова и А.А. Витта. Обнаруженные в ходе исследования квазилинейных систем нелинейные эффекты («мягкий» и «жесткий» режимы возбуждения колебаний, явление «захватывания») носят универсальный характер в теории нелинейных колебаний. Существенное развитие методы Пуанкаре-Ляпунова получили в работах И.Г. Малкина [45].

Нелинейные системы (в том числе неконсервативные, близкие к нелинейным консервативным) освещены в литературе лишь частично. Значительная часть работ по исследованию существенно нелинейных систем посвящена вопросам существования и устойчивости периодических решений, инвариантных торов, наличию нерегулярной динамики и другим вопросам, восходящим к работам А. Пуанкаре [66] и А.М. Ляпунова [44]. Меньшая часть работ связана с исследованием глобального поведения решений и опирается в основном на численный анализ исходных систем.

Среди нелинейных систем важную роль играют автоколебательные системы. Понятие автоколебательной системы, как системы, у которой на фазовой плоскости существует, по крайней мере, один устойчивый предельный цикл Пу-

анкаре (изолированная замкнутая инвариантная кривая), было введено А.А. Андроновым [2]. До сих пор не существует общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем, близких к линейным. Как известно [10], методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем позволяют решить задачу о предельных циклах «с точностью до четного числа предельных циклов», что не является удовлетворительным при решении прикладных задач.

Особое место в исследовании нелинейных колебательных систем занимают резонансы, возникающие при соизмеримости собственных частот системы. Исследования резонансных явлений проводилось во многих работах, ведущих свое начало от классических работ А. Пуанкаре [66] и А.М. Ляпунова [44]. Отметим здесь работы В.М. Волосова и Б.И. Моргунова [16; 17], которые предложили методику нахождения стационарных резонансных режимов, а также определения их устойчивости. Дж. Гукенхеймер и Ф. Холмс [24] рассматривали вопрос о нерегулярной динамике и бифуркациях в нелинейных системах. Тот же круг вопросов, включая исследование резонансов, рассматривал в своих работах С. Уиггинс [94; 95]. Отметим также работы Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [21-23], работы Р.А. Страбла [91-93]. Наиболее полное описание теории нелинейного резонанса для двухчастотных систем с 3/2 степенями свободы, представлено в монографиях А.Д. Морозова [55; 57; 86].

Исторически резонансы в нелинейных динамических системах изучались в первую очередь в гамильтоновых системах, которые возникали в задачах небесной механики. Исследованием таких систем начал заниматься А. Пуанкаре [66]. В XX веке усилиями А.Н. Колмогорова [35], В.И. Арнольда [5; 6], Ю.К. Мозе-ра [49; 50] была развита теория малых возмущений в классе гамильтоновых систем, которая получила впоследствии название КАМ-теории. Вопросы интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновых систем, в том числе из-за наличия резонансов, изучались в работах М. Эно и К. Хейлеса [77], В.В. Козлова [33; 34], Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского [29; 30; 70].

Основной причиной неинтегрируемости систем является наличие в них дво-якоасимптотических (гомоклинических, по терминологии Пуанкаре) траекторий. Начало систематическому изучению таких траекторий было положено в работах А. Пуанкаре [66] и Дж.Д. Биркгофа [11]. Несмотря на то, что воз-

можность существования гомоклинических траекторий А. Пуанкаре обнаружил при решении классической задачи небесной механики о движении трех тел, то есть в гамильтоновой системе, они также являются основным предметом изучения во всех областях нелинейной динамики (теории нелинейных колебаний). Идеи А. Пуанкаре получили дальнейшее развитие в работах С. Смейла [67], Ю.И. Неймарка [59; 60], Л.П. Шильникова [71]. Первое математически строгое описание структуры окрестности гомоклинической кривой (контура) седлово-го периодического движения было проведено Л.П. Шильниковым [71]. Приблизительно в это же время была опубликована заметка Ю.И. Неймарка [59]. Л.П. Шильниковым [71] было установлено, что в достаточно малой окрестности гомоклинической кривой (контура) существует нетривиальное гиперболическое множество, траектории которого полностью описываются на языке символической динамики. Существование подобных множеств (с конечным числом символов) для диффеоморфизмов было доказано С. Смейлом [67]. Отметим также работы Н.К. Гаврилова и Л.П. Шильникова [18; 19], указавших на возможность возникновения таких множеств до момента первого гомоклинического касания инвариантных многообразий седловой периодической орбиты. Наконец, в работах С.В. Гонченко, Л.П. Шильникова и Д.В. Тураева [74; 75] не так давно установлено, что большинство моделей нелинейной динамики не поддаются полному анализу: бифуркации систем с гомоклиническими касаниями принципиально не допускают полного исследования.

В теории нелинейных колебаний можно выделить основные (эталонные) уравнения и системы, анализ которых крайне важен для построения общей теории. К ним относятся уравнения типа Дюффинга, маятниковые уравнения, системы лоренцевского типа. К таким уравнениям принято относить уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля вида

где /2(х) = 71 + 72х + 7зх2, а = ±1, в = ±1, 71, 72, 73 - параметры, £ - малый положительный параметр.

Наряду с уравнением (1) в теории колебаний фундаментальную роль играет соответствующее неавтономное уравнение

х + ах + вх3 = £/2(х)х,

(1)

х + ах + вх3 = £ [/2(х)х + д(иЬ)],

(2)

где v - параметр (частота возмущения), функция g(vt) - непрерывная и периодическая по t с периодом 2n/v, например, g(vt) = sin vt.

Если уравнение (2) при в = 0 было изучено в 30-х годах XX века А.А. Андроновым и А.А. Виттом [1], то при в = 0 - лишь в последнее время [51-53; 85]. В последних работах рассматривались случаи, когда а = 1, в = ±1, 72 = 0. Эти работы посвящены изучению поведения решений в окрестности резонансных уровней, в достаточно малой окрестности гомоклинической кривой (го-моклинического контура), а также вопросам глобального поведения решений. Результаты работ [51-53] были распространены Ф. Холмсом на случай а = — 1 и вошли в совместную с Дж. Гукенхеймером книгу [24]. При а = —1, в =1 фазовая плоскость невозмущенного уравнения имеет две петли сепаратрисы седла 0(0,0), образующие «восьмерку».

Асимметричный член 72хх в возмущении играет существенную роль лишь в случае а = —1, в = 1. Действительно, если говорить об автономном уравнении (1), то случаи а = 1, в = ±1 принципиально не отличаются от случая, когда Y2 = 0. А именно, при в =1 и 71 > 0 существует единственный устойчивый предельный цикл; при 71 < 0 предельные циклы отсутствуют. При в = — 1 и Yi Е (0,0.2) существует единственный устойчивый предельный цикл, а вне этого интервала предельные циклы отсутствуют.

К уравнениям вида (1) и (2) при а = —1, в = 1 приводят многочисленные прикладные задачи [24; 58; 68]: колебания продольно изогнутого тонкого упругого стержня под осевой нагрузкой; колебания изогнутой консольной балки в неоднородном поле двух постоянных магнитов; задача о провале упруго-пластичной арки с шарниром, вызванном колебаниями; некоторые задачи динамики плазмы и другие.

Отметим также и чисто математическую задачу [8] о бифуркациях векторных полей на плоскости, инвариантных относительно поворота на угол п. В этой задаче в уравнении (1) имеем y2 = 0, и коэффициенты перед линейными членами ах + £71 х являются параметрами деформации. Бифуркационная диаграмма на плоскости параметров деформации и фазовые портреты приведены в книге В.И. Арнольда [8] (см. также [24]). К уравнению такого вида сводится задача о флаттере панели [78; 79], которая изначально описывается нелинейным уравнением в частных производных со многими параметрами.

Работа [83] посвящена изучению гомоклинических бифуркаций и хаоса в

параметрически возмущенном уравнении типа Дюффинга с линейным дисси-пативным членом. Тот же круг вопросов рассматривался в работах [88-90] при изучении влияния периодических, квазипериодических и параметрических возмущений на уравнения типа Дюффинга и Дюффинга-Ван-дер-Поля (при 72 = 0).

Первой работой, в которой теоретически рассмотрен вопрос о возникновении нетривиальных гиперболических множеств в неконсервативных уравнениях типа Дюффинга при а = 1, в = —1, является, по-видимому, работа А.Д. Морозова [53]. Следуя работам Н.К. Гаврилова и Л.П. Шильникова [18; 19], им была показана возможность возникновения таких множеств до момента первого го-моклинического касания соответствующих инвариантных кривых (сепаратрис).

Особо отметим следующие работы, которые касаются систем общего вида, имеющих «гомоклиническую восьмерку» седлового состояния равновесия. Полная бифуркационная диаграмма двухпараметрической деформации векторного поля с двумя гомоклиническими кривыми седла впервые была построена Д.В. Тураевым в 1984 году [69] (см. также [73]). Основные бифуркации в окрестности «восьмерки» с ненулевой седловой величиной для двухпараметрических семейств отображений рассмотрены в последнее время в работе [76].

Этот список можно продолжить, однако до сих пор не было работ, в которых проводился бы подробный анализ асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля вида (2). Из трех параметров 71, y2, 73 можно исключить один. В результате придем к уравнению

x — x + x3 = е [(p1 + p2x — x2)x + p3 sinp4t] , (3)

где p1, p2, p3, p4 - параметры, которое является объектом исследования данной диссертационной работы.

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью работы является изучение периодически возмущенного асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля (3), которое служит хорошей моделью для решения многих задач теории бифуркаций. Основные задачи исследования состоят в следующем.

Для возмущенного автономного уравнения:

• решить проблему предельных циклов, сводящуюся к нахождению вещественных нулей порождающей функции;

• построить разбиение плоскости параметров на области с разными топологическими структурами и установить эти структуры.

Для возмущенного неавтономного уравнения:

• провести исследование поведения решений в резонансных зонах, сводящееся к нахождению и изучению усредненных уравнений маятникового типа;

• установить глобальное поведение решений в областях, отделенных от невозмущенных сепаратрис;

• исследовать и описать основные гомоклинические бифуркации в малой окрестности невозмущенных сепаратрис, построить соответствующие бифуркационные диаграммы;

• изучить фрактальные свойства границ областей притяжения устойчивых режимов.

Общие методы исследования. В диссертации используются методы усреднения, а также методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем.

Научная новизна и основные результаты исследования. Все результаты, выносящиеся на защиту, являются новыми и состоят в следующем.

1. Проведено исследование автономного (р3 = 0) асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля (3): аналитически найдены бифуркационные множества параметров, отвечающие разным типам происходящих в системе бифуркаций; получены точные оценки числа предельных циклов как в ячейках, не содержащих невозмущенных сепаратрис, так и на всей фазовой плоскости; построено разбиение плоскости параметров на области с разной топологией фазовых портретов; установлено поведение фазовых кривых для каждой полученной области на плоскости параметров.

2. Исследованы резонансные явления при малом периодическом воздействии (р3 = 0) на асимметричное уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля (3): получены усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений в индивидуальных невырожденных резонансных зонах; проведен

анализ прохождения (при изменении расстройки) инвариантного тора через резонанс; установлено глобальное поведение решений в областях, отделенных от невозмущенных сепаратрис.

3. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования установлены основные гомоклинические бифуркации в малой окрестности невозмущенных сепаратрис. Построены бифуркационные кривые, соответствующие различным типам гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки отображения Пуанкаре для уравнения (3). Проведена детализация обнаруженной на бифуркационной диаграмме области внутри гомоклинической зоны с кусочно-гладкими границами. Получены гомоклинические структуры с различными типами квадратичных и кубических касаний.

4. Рассмотрена задача о моменте возникновения сложного поведения решений системы и фрактальных границ областей притяжения установившихся режимов.

Теоретическая и практическая значимость диссертационного исследования. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории динамических систем, а также при исследовании конкретных моделей.

Результаты диссертации вошли в составную часть результатов работ, выполненных при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект № 14.В37.21. 0361 на 2012-2013 годы), Министерства образования и науки РФ (проект № 1410 на 2014-2016 годы), Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00356 на 2011 год, проект № 13-01-00589 на 2015 год, проект № 14-0100344 на 2014-2016 годы), Российского научного фонда (проект № 14-41-00044 на 2015-2016 годы).

В 2014-2015 г. проведенные исследования были поддержаны стипендией имени академика Г.А. Разуваева для аспирантов, а также стипендией имени Н.И. Лобачевского.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль (2012 г., 2014 г.), IX Все-

российской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» в г. Н. Новгород (2012 г.), Международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», посвященной памяти Л.П. Шильникова, в г. Н. Новгород (2013 г., 2015 г.), Международной конференции «Гамильтонова динамика, неавтономные системы и структуры в уравнениях с частными производными», посвященной 70-летию Л.М. Лермана и А.Д. Морозова, в г. Н. Новгород (2014 г.).

Также были сделаны доклады на научных семинарах «Нелинейная динамика: теория и приложения» (семинары им. Л.П. Шильникова) отдела дифференциальных уравнений Научно-исследовательского института прикладной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководитель: д.ф.-м.н. С.В. Гонченко).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 10 научных работах [36-41; 80-82; 87], 4 из которых [36; 39; 41; 87] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертаций. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с А.Д. Морозовым, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, А.Д. Морозову принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты. Общий объем диссертации составляет 137 страниц. Работа содержит 38 иллюстраций, 1 таблицу и 95 наименований литературы.

Краткое содержание работы. Во введении обоснована актуальность темы исследования, проведен краткий обзор литературы по рассматриваемым в диссертации вопросам, сформулированы цели, задачи и основные результаты диссертации.

Глава 1 содержит необходимые сведения и преобразования из теории нелинейных гамильтоновых и квазигамильтоновых систем с одной и полутора степенями свободы. Изложение в основном следует монографиям А.Д. Морозова [55; 57].

В данной главе рассматриваются системы, близкие к нелинейным гамиль-

тоновым, с одной степенью свободы вида

дН (х,у) (

х = —ду— + £9о(х>У>> у =--дХ— + £&(х,У)

и периодические по времени возмущения таких систем вида

дН (х,у) , л

х =-~--Ь ед(х,у,тА),

ду

у = —дх— +(х' у,

(5)

Здесь функции /(х,у,иЬ) и д(х,у,иЬ) - непрерывные и периодические по Ь с периодом 2п/и, достаточно гладкие по переменным х и у вместе с функциями Н(х,у), ¡0(х,у), д0(х,у) в некоторой области Б с К2 (либо Б с б4 х К1), V - параметр (частота возмущения), £ - малый положительный параметр. Предполагается, что невозмущенная (е = 0) система имеет хотя бы одну ячейку Б0 с Б, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми и не содержащую малых окрестностей центров, сепаратрисных петель или контуров, параболических траекторий и «бесконечности».

В § 1.1 приводятся необходимые сведения по вопросам интегрирования и построения решений невозмущенной (е = 0) системы (4), которая является гамильтоновой с гамильтонианом Н(х,у).

В § 1.2 рассматриваются автономные возмущенные системы вида (4). Основной вопрос, возникающий при исследовании систем такого вида - это установление качественного поведения решений в ячейке Б0. Одной из основных проблем качественного исследования является проблема предельных циклов. Решение этой проблемы кроме чисто математического интереса имеет принципиальное значение для исследования неавтономных возмущенных систем вида (5), в частности, при анализе топологической структуры резонансных зон. В случае, когда Н(х,у), /0(х,у), д0(х,у) - многочлены, проблему оценки максимального числа предельных циклов, следуя В.И. Арнольду [8], называют «16 ослабленной проблемой Гильберта».

Основой исследования здесь является теорема, обобщающая теорему Пуанкаре-Понтрягина и сводящая проблему предельных циклов к исследованию вещественных нулей порождающей функции В(Н), где Н - значение интеграла Н(х,у) = Н невозмущенной системы, соответствующее замкнутой фа-

зовой кривой. Изучение этих функций позволяет (в некоторых случаях) дать точную оценку числа предельных циклов.

В § 1.3 рассматриваются неавтономные возмущенные системы вида (5). Изучение систем такого вида приводит к изучению инвариантных кривых отображения Пуанкаре плоскости £ = 2п/у в плоскость £ = 0. При этом периодическим движениям исходной системы соответствуют неподвижные или периодические точки отображения Пуанкаре.

Здесь основными вопросами являются: вопрос о топологии резонансных зон; вопрос о глобальном поведении решений в областях, не содержащих невозмущенных сепаратрис; вопрос о существовании гомоклинической структуры Пуанкаре в малой окрестности невозмущенных сепаратрис.

Определение 1. Говорят, что в системе (5) имеет место резонанс, если

и (Н) = ^и, (6)

р

где р и д - взаимно простые целые числа. Если это уравнение разрешимо, то его корень обозначим через Нп. Уровень (замкнутую фазовую кривую невозмущенной системы) Н(х,у) = Нп будем называть резонансным уровнем.

Уровень Н = Но невозмущенной системы будем называть невырожденным, если и'(Но) = 0.

Поскольку частота и(Н) невозмущенной системы не является постоянной функцией (мы рассматриваем существенно нелинейные системы), то условие резонанса (6) выделяет бесконечное число резонансных уровней Н(х,у) = Нп. Более того, эти уровни всюду плотны в рассматриваемой области О0. Эти обстоятельства не позволяют усреднить систему во всей ячейке О0 и приводят к необходимости исследования системы в малых (зависящих от е) окрестностях индивидуальных резонансных уровней.

Согласно [57], поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней описывается укороченной маятниковой системой.

На основе исследования структуры резонансных зон для системы (5) и анализа соответствующей возмущенной автономной системы (4) становится возможным установить глобальное поведение решений, а также рассмотреть вопрос о существовании нерегулярной динамики.

При исследовании системы (5) в малой окрестности невозмущенных сепаратрис не идет речь о полном описании поведения решений в этой окрестности,

которое, как известно, принципиально невозможно. Останавливаемся лишь на вопросах, связанных с определением условий существования сложного поведения решений, главным признаком которого, следуя Л.П. Шильникову, будем считать наличие в системе грубой гомоклинической кривой Пуанкаре (кривой, лежащей в трансверсальном пересечении инвариантных многообразий седло-вой периодической орбиты). Одним из немногих аналитических методов, пригодных для обнаружения и изучения сложного поведения решений, является метод Мельникова [47], основная идея которого состоит в использовании решений невозмущенной интегрируемой системы при расчете возмущенных решений. Этот метод позволяет найти условия существования трансверсальных гомоклинических орбит, порождающих в окрестности каждой трансверсальной гомоклинической точки отображение типа подковы, что приводит к сложному (хаотическому) поведению решений системы.

Глава 2 посвящена изучению автономного асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля

где р1, р2 - параметры, е - малый положительный параметр.

Полное качественное исследование системы (8) сводится к построению разбиения плоскости параметров (р1 ,р2) на области с разными топологическими структурами, а также установлению этих структур.

Невозмущенная (е = 0) система является гамильтоновой с гамильтонианом Н(х,у) = у2/2 — х2/2 + х4/4 и поддается полному исследованию, приведенному в § 2.1. Имеем три состояния равновесия: 0(0,0) типа «седло» с нулевой седловой величиной и 0±(±1,0) типа «центр». Совокупность фазовых кривых, определяемых интегралом энергии Н(х, у) = Н при изменении Н на интервале (—0.25, то), дает фазовый портрет невозмущенного уравнения, представленный на рисунке 1. Две петли сепаратрисы Гг = Г У Г^ и Г/ = Г У ГЦ1 формируют «гомоклиническую восьмерку», которая разделяет фазовую плоскость на области с разным поведением фазовых кривых. Область, заполненную замкнутыми

X — х + х3 = е(р1 + р2х — х2)Х,

(7)

эквивалентного системе

х = У,

у = х — х3 + е(р1 + р2х — х2)у,

(8)

-1

-1 О 1

л:

Рис. 1: Фазовый портрет невозмущенного (е = 0) уравнения.

фазовыми кривыми, не содержащую малых окрестностей состояния равновесия типа «центр» и сепаратрисной петли Гг (Г/), обозначим С+ (С-), а область вне «восьмерки», не содержащую малых окрестностей сепаратрисных петель и «бесконечности», - С2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Костромина Ольга Сергеевна, 2016 год

Список литературы

[1] Андронов, A.A. Собрание трудов / A.A. Андронов. - М.: Изд. АН СССР, 1956. - 538 с.

[2] Андронов, A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хай-кин. - М.: Физматгиз, 1959. - 916 с.

[3] Андронов, A.A. Качественная теория динамических систем второго порядка / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука,

1966. - 568 с.

[4] Андронов, A.A. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука,

1967. - 488 с.

[5] Арнольд, В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / В.И. Арнольд // УМН. - 1963. - Т. 18, вып. 5(113). - С. 13-40.

[6] Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН. - 1963. - Т. 18, вып. 6(114). - С. 91-192.

[7] Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974. - 432 с.

[8] Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1978. - 304 с.

[9] Баутин, Н.Н. Качественное исследование одной нелинейной системы / Н.Н. Баутин // ПММ. - 1975. - Т. 39, вып. 4. - С. 633—641.

[10] Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука, 1976. -496 с.

[11] Биркгоф, Дж.Д. Динамические системы / Дж.Д. Биркгоф. - Гостехиздат, 1941. - 406 с.

[12] Боголюбов, H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Физматгиз, 1958. -408 с.

[13] Булгаков, Б.В. О применении метода Ван-дер-Поля к псевдолинейным системам со многими степенями свободы / Б.В. Булгаков // ПММ. - 1942. -Т. 6, вып. 6. - С. 395-410.

[14] Булгаков, Б.В. Колебания / Б.В. Булгаков. - М.: Гостехиздат, 1954. -891 с.

[15] Ван дер Поль, Б. Нелинейная теория электрических колебаний / Б. Ван дер Поль. -М.: Связьтехиздат, 1935. - 42 с.

[16] Волосов, В.М. Методы расчета стационарных резонансных колебательных и вращательных движений некоторых нелинейных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 8, № 2. - С. 251-294.

[17] Волосов, В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - 508 с.

[18] Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 4. - С. 475-492.

[19] Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой II / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб. - 1973. - Т. 90, № 1. - С. 139-156.

[20] Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

[21] Гребеников, Е.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике / Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов. - М.: Наука, 1978. - 128 с.

[22] Гребеников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребеников. - М.: Наука, 1986. - 256 с.

[23] Гребеников, Е.А. Введение в теорию резонансных систем / Е.А. Гребеников. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 176 с.

[24] Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

[25] Драгунов, Т.Н. Анализ и визуализация инвариантных множеств некоторых классов динамических систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Драгунов Тимофей Николаевич. - Нижний Новгород, 2002. - 103 с.

[26] Еругин, Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом / Н.П. Еругин // ПММ. - 1950. - Т. 14, вып. 5. - С. 459-512.

[27] Еругин, Н.П. Методы Ляпунова и вопросы устойчивости в целом / Н.П. Еругин // ПММ. - 1953. - Т. 17, вып. 4. - С. 389-400.

[28] Еругин, Н.П. Качественные методы в теории устойчивости / Н.П. Еругин // ПММ. - 1955. - Т. 19, вып. 5. - С. 599-616.

[29] Заславский, Г.М. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний / Г.М. Заславский, Б.В. Чириков // УФН. - 1971. - Т. 105, вып. 1. - С. 3-39.

[30] Заславский, Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. - М.- Ижевск: РХД, 2004. - 296 с.

[31] Зубов, В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение / В.И. Зубов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. - 240 с.

[32] Зубов, В.И. Методы А.М. Устойчивость движения / В.И. Зубов. - М.: Высшая школа, 1973. - 272 с.

[33] Козлов, В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике / В.В. Козлов // УМН. - 1983. - Т. 38, вып. 1. - С. 3-67.

[34] Козлов, В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике / В.В. Козлов. - Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995. -432 с.

[35] Колмогоров, А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А.Н. Колмогоров // ДАН СССР. -1954. - Т. 98, № 4. - С. 527-530.

[36] Костромина, О.С. О предельных циклах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля / О.С. Костромина, А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2012. - Вып. 1(1). - С. 115-121.

[37] Костромина, О.С. О периодических возмущениях асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля / О.С. Костромина, А.Д. Морозов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 г.). Тезисы докладов. -М.: МИАН, 2012. - С. 96.

[38] Костромина, О.С. О предельных циклах и резонансах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля / О.С. Костромина // Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.). -Нижний Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2012. — С. 556.

[39] Костромина, О.С. О периодических по времени возмущениях двумерных гамильтоновых систем с гомоклинической восьмеркой / О.С. Костромина, А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2013. -Вып. 1(1). - С. 177-183.

[40] Костромина, О.С. О сложном поведении решений уравнения Дюффинга-Ван дер Поля при периодических по времени возмущениях / О.С. Костро-мина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям

и динамическим системам (Суздаль, 4-9 июля 2014 г.). Тезисы докладов. -М.: МИАН, 2014. - С. 94.

[41] Костромина, О.С. К исследованию бифуркационных и хаотических явлений в системе с гомоклинической «восьмеркой» / О.С. Костромина // Нелинейная динамика, 2016. - Т. 12, № 1. - С. 31-52.

[42] Крылов, Н.М. Новые методы нелинейной механики в их применении к изучению работы электронных генераторов. Ч. 1 / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов. - М.: ОНТИ. Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 243 с.

[43] Крылов, Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов. - Киев: Изд. АН УССР, 1937. - 363 с.

[44] Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

[45] Малкин, И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И.Г. Мал-кин. - М.: Наука, 1956. - 494 с.

[46] Мандельштам, Л.И. Полное собрание трудов / Л.И. Мандельштам. - М.: Изд. АН СССР, 1948-1952.

[47] Мельников, В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях / В.К. Мельников // Труды Московского математического общества. - 1963. - Т. 12. - С. 3-52.

[48] Митропольский, Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. - Киев: Наукова Думка, 1971. - 440 с.

[49] Мозер, Ю.К. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя / Ю.К. Мозер // Сб. переводов. Математика. - 1963. -Т. 6, № 5. - С. 51-67.

[50] Мозер, Ю.К. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения / Ю.К. Мозер // УМН. - 1968. - Т. 23, вып. 4(142). -С. 179-238.

[51] Морозов, А.Д. К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дюффинга / А.Д. Морозов // ЖВМ и МФ. - 1973. - Т. 13, № 5. - С. 11341152.

[52] Морозов, А.Д. К математической теории синхронизации колебаний / А.Д. Морозов, Л.П. Шильников // ДАН СССР. - 1975. - Т. 223, № 6. -С. 1340-1343.

[53] Морозов, А.Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффин-га / А.Д. Морозов // Дифференциальные уравнения. - 1976. - Т. 12, № 2. -С. 241-255.

[54] Морозов, А.Д. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым / А.Д. Морозов, Л.П. Шильников // ПММ. -1983. - Т. 47, вып. 3. - С. 385-394.

[55] Морозов, А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний / А.Д. Морозов. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1995. -292 с.

[56] Морозов, А.Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем / А.Д. Морозов, Т.Н. Драгунов. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 304 с.

[57] Морозов, А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах /

A.Д. Морозов. - М.-Ижевск: РХД, 2005. - 424 с.

[58] Мун, Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Ф. Мун. - М.: Мир, 1990. - 312 с.

[59] Неймарк, Ю.И. О движениях, близких к двоякоасимптотическому движению / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. - 1967. - Т. 172, № 5. - С. 1021-1024.

[60] Неймарк, Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. - М.: Наука, 1972. - 472 с.

[61] Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений /

B.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 448 с.

[62] Папалекси, Н.Д. Собрание трудов / Н.Д. Папалекси. - М.: Изд. АН СССР, 1948. - 426 с.

[63] Плисс, В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом /

B.А. Плисс. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1958. - 183 с.

[64] Плисс, В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. - М.-Л.: Наука, 1964. - 367 с.

[65] Понтрягин, Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым / Л.С. Понтрягин // ЖЭТФ. - 1934. - Т. 4, вып. 9. - С. 883-885.

[66] Пуанкаре, А. Избранные труды. Новые методы небесной механики / А. Пуанкаре. - М.: Наука, 1971, 1972. - Т. 1, 2.

[67] Смейл, С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками /

C. Смейл // Математика. Сб. переводов. - 1967. - Т. 11, № 4. - С. 88-106.

[68] Стокер, Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. - М.: Иностранная литература, 1952. - 264 с.

[69] Тураев, Д.В. Об одном случае бифуркаций контура, образованного двумя гомоклиническими кривыми седла / Д.В. Тураев // сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений. - Горький: ГГУ, 1984. -С. 162-175.

[70] Чириков, Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастич-ности / Б.В. Чириков. -- Препринт 267. -- Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969. -- 314 с.

[71] Шильников, Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л.П. Шильни-ков // Матем. сб. - 1967. - Т. 74, № 3. - С. 378-397.

[72] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 428 с.

[73] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - М.-

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 548 с.

[74] Goehenko, S.V. On models with non-rough Ротсаге homo^n^ сигуеэ / S.V. Goehenko, L.P. Shil'nikov, D.V. Turaev // Physka D. - 1993. - V. 62. -Р. 1-14.

[75] GonAenko, S.V. Homo^n^ tangencies of arbitrarily high orders in rnnservative and dissipative two-dimensional maps / S.V. Goehenko, L.P. Shil'nikov, D.V. Turaev // Nonlinearity. - 2007. - V. 20. - Р. 241--275.

[76] GonAenko, S.V. Rkhness of dynamos and global bifurcations in systems with a homo^n^ "figure-eight" / S.V. Goehenko, C. Simo, A. Vieiro // Nonlinearity. - 2013. - V. 26, № 3. - P. 621-678.

[77] Henon, M. The appl^b^^y of the third integral of motion. Some numeral experiments / M. Henon, C. Heiles // Astron. J. - 1964. - V. 69. - P. 73-79.

[78] Holmes, P.J. Bifurcation to divergeee and flutter in flow-indeed ostillations: A finite dimensional analysis / P.J. Holmes // Journal of Sound and Vibration. -

1977. - V. 53, № 4. - P. 471-503.

[79] Holmes, P.J. Bifurcation to divergeee and flutter in flow-indeed ostillations: An infinite dimensional analysis / P.J. Holmes, J. E. Marsden // Automata. -

1978. - V. 14. - P. 367-384.

[80] Kostromina, O.S. On resonates and Aaos in the system with a homod^^ "figure-eight" / O.S. Kostromina, A.D. Morozov // International Confereee "Dynamos, Bifurcations and Strange Attratiors" dedkated to the memory of L.P. Shil'nikov (Nizhni Novgorod, July 1-5, 2013). Book of Abstratis. - Nizhni Novgorod, 2013. - P. 67.

[81] Kostromina, O.S. On homod^^ bifurcations and Aaos in asymmetry Duffing-Van-der-Pol equation / O.S. Kostromina // International Confereee "Hamiltonian Dynamos, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE's" dedteated to the 70th birthday of Professors L. Lerman and A. Morozov (Nizhni Novgorod, December 10-15, 2014). Book of Abstratis. - Nizhni Novgorod, 2014. - P. 16--17.

[82] Kostromina, O.S. Towards homoclinic bifurcations and complex dynamics in the system with a "figure-eight" of a saddle / O.S. Kostromina // International Conference "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors" (Nizhny Novgorod, July 20-24, 2015). Book of Abstracts. - Nizhni Novgorod, 2015. - P. 15-16.

[83] Litvak-Hinenzon A. Symmetry-breaking perturbations and strange attractors / A. Litvak-Hinenzon, V. Rom-Kedar // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55, № 5. -P. 4964-4978.

[84] McDonald, St.W. Fractal basin boundaries / St.W. McDonald, C. Grebogi, E. Ott, J.A Yorke // Physica 17D. - 1985. - P. 125-153.

[85] Morozov, A.D. On the global behavior of self-oscillatory systems / A.D. Morozov // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1993. -V. 3, № 1. - P. 195-200.

[86] Morozov, A.D. Quasi-conservative systems: cycles, resonances and chaos / A.D. Morozov. - Singapore: World Sci, in ser. Nonlinear Science, ser. A, vol. 30, 1998. - 325 p.

[87] Morozov, A.D. On Periodic Perturbations of Asymmetric Duffing-Van-der-Pol Equation / A.D. Morozov, O.S. Kostromina // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2014. - V. 24, № 5. - 1450061 (16 pages).

[88] Rajasekar, S. Controlling of chaos by weak periodic perturbations in Duffing-van der Pol oscillator / S. Rajasekar // Pramana. - 1993. - V. 41, № 4. -P. 295-309.

[89] Ravichandran, V. Homoclinic bifurcation and chaos in Duffing oscillator driven by an amplitude-modulated force / V. Ravichandran, V. Chinnathambi, S. Rajasekar // Physica, ser. A. - 2007. - V. 376. - P. 223-236.

[90] Ravisankar, L. Horseshoe dynamics in an asymmetric Duffing-Van der Pol oscillator driven by a narrow-band frequency modulated force / L. Ravisankar, V. Ravichandran, V. Chinnathambi, S. Rajasekar // Chinese J. of Physics. -2014. - V. 52, № 3. - P. 1041-1058.

[91] Struble, R.A. Oscillations of a pendulum under parametric excitation / R.A. Struble // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21, № 2. - P. 121-131.

[92] Struble, R.A. Resonant oscillations of the Duffing equation / R.A. Struble // Contributions to Diff. Eq. - 1964. - V. 2. - P. 485-489.

[93] Struble, R.A. Periodic motion of a simple pendulum with periodic disturbance / R.A. Struble, J.A. Marlin // Quart. J. Mech. and Appl. Math. - 1965. - V. 18, № 4. - P. 405-417.

[94] Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos / S. Wiggins. - Springer, New York, 1990. - 672 p.

[95] Wiggins, S. Global Dynamics, Phase Space Transport, Orbits Homoclinic to Resonances, and Applications / S. Wiggins. - AMS, Fields Institute, 1993. -155 p.

Приложения

Здесь приводятся подготовленные с использованием математического пакета Maple 13 программные коды для:

# вычисления коэффициентов усредненных систем (3.2.6) и (3.3.6) в некоторых конкретных случаях (см. п. 3.2.2 и п. 3.3.2);

# построения бифуркационных кривых, изображенных на рисунке 4.3, для отображения Пуанкаре, индуцированного уравнением (4.1.2) при фиксированных £, p3, p4.

Приложение А. Вычисление коэффициентов усредненной системы

А1. Вычисление коэффициентов усредненной системы для области G+

# Фиксируем epsilon, p[1], p[3], p[4], p

epsilon := 0.1; p[1] := l; p[3] := 0.5; p[4] := 2.5; p := 2; q := l;

# Условие резонанса в этом случае имеет вид:

# Pi/(sqrt(2 — rho) * EllipticK(sqrt(rho))) = p[4] * (q/p)

# Введем обозначение

omega[1] := Pi/(sqrt(2 — rho) * EllipticK(sqrt(rho))) — p[4] * (q/p);

# Строим график функции omega [1] plot (omega[1], rho = 0..1);

# По графику находим корень rho функции omega[1]. Вычисляем rho с

# определенной точностью

evalf (subs(rho = 0.82527641, omega[1]));

# Нашли расположение резонансного уровня

# Случай синхронизации колебаний

# Порождающая функция Пуанкаре-Понтрягина в области G+

B[1] := 2 * ((2 * (5 *p[1] - 1)) * (rho - 1) * (2 - rho) * EZZipticK(sqrt(rho)) + (5 * p[1] * (2 — rho)2 — 4 * (rho2 — rho + 1)) * EZZipticE(sqrt(rho)) + (15 * p[2] * sqrt(2) * (1/16)) * Pi * rho2 * sqrt(2 — rho))/(15 * Pi * (2 — rho)2 * sqrt(2 — rho));

# Подставляем в эту функцию найденное rho = 0.82527641 B[11] := em//(subs(rho = 0.82527641, B[1]));

# Приравниваем полученное выражение к нулю, находим p[2] soZve(B [11] = 0,p[2]);

# Вычисляем коэффициенты усредненной системы при фиксированных

# epsiZon, p[1], p[3], p[4], p и найденных rho = 0.82527641,

# p[2] = —0.07454802018

b[1] := (1/2) * Pi2 * (2 — rho) * ((2 * (1 — rho)) * EZZipticK(sqrt(rho)) — (2 — rho) * EZZipticE(sqrt(rho)))/(rho2 * (1 — rho) * EZZipticK(sqrt(rho))3); b[11] := evaZ/ (subs(rho = 0.82527641, b[1])); A[1] := —sqrt(2) * p[4] * ap/(1 + a2*p);

A[11] := subs(a = exp(—Pi * EZZipticK(sqrt(1 — rho))/EZZipticK(sqrt(rho))),

A[1]);

A[111] := evaZ/(subs(rho = 0.82527641, A[11]));

sigma[1] := p[1] + p[2] * Pi/(sqrt(2 * (2 — rho)) * EZZipticK(sqrt(rho))) — 2 * EZZipticE(sqrt(rho))/((2 — rho) * EZZipticK(sqrt(rho)));

sigma[11] := evaZ/(subs(rho = 0.82527641,p[2] = —0.07454802018, sigma[1]));

# Вычисляем Yi_

Gamma[11] := evaZ/(—4 * sigma[11] * sqrt(p[3] * b[11] * A [111] * (1/p))/(Pi * b[11]));

# Вычисляем Yi+

Gamma[12] := evaZ/(4*sigma[11]*sqrt(p[3]*b[11]*A[111]*(1/p))/(Pi*b[11]));

# Находим значение параметра p[2], при котором усредненное уравнение

# имеет нижний контур

soZve(B[11] = sqrt(epsiZon) * Gamma[11],p[2]);

# Находим значение параметра p[2], при котором усредненное уравнение

# имеет верхний контур

soZve(B[11] = sqrt(epsiZon) * Gamma[12],p[2]);

# Пересчитываем sigma[1] при найденном p[2] = -0.04870412101

# (отвечающем нижнему контуру)

sigma[12] := evalf (subs(rho = 0.82527641,p[2] = -0.04870412101, sigma[1]));

# Пересчитываем sigma[1] при найденном p[2] = -0.1003919193

# (отвечающем верхнему контуру)

sigma[13] := evalf (subs(rho = 0.82527641,p[2] = -0.1003919193, sigma[1]));

# Пересчитываем Yi— при sigma[12]

Gamma[111] := evalf (-4 * sigma[12] * sqrt(p[3] * b[11] * A [111] * (1/p))/(Pi * b[11]));

# Пересчитываем Yi+ при sigma[13]

Gamma[121] := evalf (4 * sigma[13] * sqrt (p[3] * b[11] * A[111] * (1/p))/(Pi * b[11]));

# Случаи частично проходимых резонансов

# Фиксируем p[2] = -0.03

Gamma[13] := solve(subs(p[2] = — 0.03, B[11]) = sqrt(epsilon) * G[1],G[1]);

# Бифуркационное значение y [1], соответствующее предельному циклу

# усредненной системы во вращательной области (на нижнем

# полуцилиндре) определяется формулой y[1] = —4 * sigma[1]*

# *sqrt(p[3] * b[1] * A[1] * (1/p)) * EllipticE(sqrt (r ho)) / (sqrt (rho) * Pi * b[1])

# Введем обозначение

R[1] := Gamma[13] +4 * sigma[11] * sqrt(p[3] * b[11] * A[111] * (1/p)) * EllipticE(sqrt (rho)) / (sqrt (rho) * Pi * b[11]);

# Строим график функции R[1] plot(R[1],rho = 0..1);

# По графику находим rho, определяющее уровень, на котором

# располагается предельный цикл усредненного уравнения.

# Вычисляем rho с определенной точностью evalf (subs(rho = 0.57786062, R[1]));

# Пересчитываем sigma[1] при фиксированном p[2] = —0.03 sigma[14] := evalf (subs(rho = 0.82527641,p[2] = —0.03, sigma[1]));

# Пересчитываем y[1] при найденном rho = 0.57786062 и sigma[14] Gamma[14] := evalf (subs(rho = 0.57786062, —4*sigma[14] *sqrt(p[3] *b[11] *

A[111] * (1/p)) * EllipticE(sqrt(rho))/(sqrt (rho) * Pi * b[11])));

# Фиксируем p[2] = -0.125

Gamma[15] := so/ve(subs(p[2] = -0.125, B[11]) = sqrt(epsi/on) * G[2],G[2]);

# Бифуркационное значение y [2], соответствующее предельному циклу

# усредненной системы во вращательной области (на верхнем

# полуцилиндре) определяется формулой y [2] = 4 * sigma [1]*

# *sqrt(p[3] * b[1] * A[1] * (1/p)) * E//ipticE(sqrt(rho))/(sqrt(rho) * Pi * b[1])

# Введем обозначение

R[2] := Gamma[15] - 4 * sigma[11] * sqrt(p[3] * b[11] * A[111] * (1/p)) * E//ipticE(sqrt(rho))/(sqrt(rho) * Pi * b[11]);

# Строим график функции R[2] p/ot(R[2], rho = 0..1);

# По графику находим rho, определяющее уровень, на котором

# располагается предельный цикл усредненного уравнения.

# Вычисляем rho с определенной точностью eva/f (subs(rho = 0.48427386, R[2]));

# Пересчитываем sigma[1] при фиксированном p[2] = -0.125 sigma[15] := eva/f (subs(rho = 0.82527641,p[2] = -0.125, sigma[1]));

# Пересчитываем y[2] при найденном rho = 0.48427386 и sigma[15] Gamma[16] := eva/f (subs(rho = 0.48427386, -4*sigma[15] *sqrt(p[3] *b[11] *

A[111] * (1/p)) * EZZipticE(sqrt(rho))/(sqrt(rho) * Pi * b[11])));

А2. Вычисление коэффициентов усредненной системы для области G2

# Фиксируем epsi/on = 0.1, p[1] = 0.95, p[3] = 1, p = 3, q = 1 epsi/on := 0.1; p[1] := 0.95; p[3] := 1; p := 3; q := 1;

# Порождающая функция Пуанкаре-Понтрягина в области G2

B[20] := (5 * p[1] * (2 * rho - 1) * (1 - rho) - (2 * (rho - 1)) * (2 - rho)) * E//ipticK(sqrt(rho)) + (5 * p[1] * (2 * rho - 1)2 - 4 * (rho2 - rho + 1)) * E//ipticE(sqrt(rho));

# Строим график функции B [20] p/ot(B [20], rho = 0.5..1);

# По графику находим корень rho функции B[20].

# Вычисляем rho с определенной точностью eva/f (subs(rho = 0.72876474, B[20]));

# Случай синхронизации колебаний

# Частота собственных колебаний

omega[2] := Pi/(2 * sqrt(2 * rho — 1) * EllipticK(sqrt(rho))); omega[21] := evalf (subs(rho = 0.72876474,omega[2]));

# Из условия резонанса omega[21] = p[41] * (q/p) находим p[41] p[41] := evalf (omega[21] * (p/q));

# Вычисляем коэффициенты усредненной системы при фиксированных

# epsilon, p[1], p[3], p и найденных rho = 0.72876474, p[41] = 3.286060743 b[2] := (1/8) * Pi2 * (2 * rho - 1) * ((1 - rho) * EllipticK(sqrt(rho)) + (2 *

rho — 1) * EllipticE(sqrt(rho))) / (rho * (1 — rho) * EllipticK(sqrt(rho))3); b[21] := evalf (subs(rho = 0.72876474, b[2])); a := exp(—Pi * EllipticK(sqrt(1 — rho))/EllipticK(sqrt(rho))); A[2] := -2 * sqrt(2) * p[41] * sqrt(a)p/(1 + ap); A[21] := evalf (subs(rho = 0.72876474, A[2]));

sigma[2] := p[1] — 2 * (EllipticE(sqrt(rho)) + (rho—1) * EllipticK(sqrt(rho))) / ((2 * rho — 1) * EllipticK(sqrt(rho)));

sigma[21] := evalf (subs(rho = 0.72876474, sigma[2]));

# Верхний контур

Gamma[211] := evalf (-4 * sigma[21] * sqrt(-p[3] * A[21]/(p * b[21]))/Pi); B [21] := 4/(15 * Pi * (2 * rho -1)(2) * sqrt(2 * rho -1)) * B [20] - sqrt(epsilon) * Gamma[211];

plot(B [21], rho = 0.6..1);

# По графику находим rho (уровень, на который смещается предельный

# цикл). Вычисляем rho с определенной точностью B[211] := evalf (subs(rho = 0.75406292, B[21]));

# Перемещаем резонанс на найденный уровень omega[22] := evalf (subs(rho = 0.75406292,omega[2])); p[42] := evalf (omega[22] * (p/q));

# Пересчитываем все коэффициенты усредненной системы на уровне

# rho = 0.75406292

b[22] := evalf (subs(rho = 0.75406292, b[2])); A[22] := -2 * sqrt(2) * p[42] * sqrt(a)p/(1 + ap); A[221] := evalf (subs(rho = 0.75406292, A[22])); sigma[22] := evalf (subs(rho = 0.75406292, sigma[2]));

Gamma[22] := evalf (-4 * sigma[22] * sqrt(-p[3] * A[221]/(p * b[22]))/Pi);

# Нижний контур

Gamma[212] := evalf (4 * sigma[21] * sqrt(-p[3] * A[21]/(p * b[21]))/Pi); B[22] := 4/(15 * Pi * (2 *rho -1)(2) * sqrt(2 *rho -1)) * B[20] - sqrt(epsilon) * Gamma [212];

plot(B [22],rho = 0.6..1);

# По графику находим rho (уровень, на который смещается предельный

# цикл). Вычисляем rho с определенной точностью B[221] := evalf (subs(rho = 0.71269729, B[22]));

# Перемещаем резонанс на найденный уровень omega[23] := evalf (subs(rho = 0.71269729,omega[2])); p[43] := evalf (omega[23] * (p/q));

# Пересчитываем все коэффициенты усредненной системы на уровне

# rho = 0.71269729

b[23] := evalf (subs(rho = 0.71269729, b[2]));

A[23] := -2 * sqrt(2) * p[43] * sqrt(a)p/(1 + ap);

A[231] := evalf (subs(rho = 0.71269729, A[23]));

sigma[23] := evalf (subs(rho = 0.71269729, sigma[2]));

Gamma[23] := evalf (-4 * sigma[23] * sqrt(-p[3] * A[231]/(p * b[23]))/Pi);

# Случаи частично проходимых резонансов

# Фиксируем частоту возмущения p[44] := 3.58;

# Условие резонанса: omega[2] = p[44] * (q/p) plot(omega[2] - p[44] * (q/p), rho = 0.5..1);

# По графику находим rho (расположение резонансного уровня).

# Вычисляем rho с определенной точностью

evalf (subs(rho = 0.70088639, omega[2] - p[44] * (q/p)));

# Пересчитываем все коэффициенты усредненной системы на уровне

# rho = 0.70088639

b[24] := evalf (subs(rho = 0.70088639, b[2])); A[24] := -2 * sqrt(2) * p[44] * sqrt(a)p/(1 + ap); A[241] := evalf (subs(rho = 0.70088639, A[24])); sigma[24] := evalf (subs(rho = 0.70088639, sigma[2]));

# Вычисляем отклонение резонансного уровня от предельного цикла

B[23] := 4/(15*Pi*(2*rho—1)(2)*sqrt(2*rho—1))*B[20]—sqrt(epsiZon)*G[3]; B[231] := evaZ/(subs(rho = 0.70088639, B[23])); Gamma[24] := soZve(B[231] = 0,G[3]);

# Фиксируем частоту возмущения p[45] := 2.85;

# Условие резонанса: omega[2] = p[45] * (q/p) pZot(omega[2] — p[45] * (q/p), rho = 0.5..1);

# По графику находим rho (расположение резонансного уровня).

# Вычисляем rho с определенной точностью

evaZ/(subs(rho = 0.77925363, omega[2] — p[45] * (q/p)));

# Пересчитываем все коэффициенты усредненной системы на уровне

# rho = 0.77925363

b[25] := evaZ/(subs(rho = 0.77925363, b[2])); A[25] := —2 * sqrt(2) * p[45] * sqrt(a)p/(1 + ap); A[251] := evaZ/(subs(rho = 0.77925363, A[25])); sigma[25] := evaZ/(subs(rho = 0.77925363, sigma[2]));

# Вычисляем отклонение резонансного уровня от предельного цикла

B[24] := 4/(15*Pi*(2*rho—1)(2)*sqrt(2*rho—1))*B[20]—sqrt(epsiZon)*G[4]; B[241] := evaZ/(subs(rho = 0.77925363, B[24])); Gamma[25] := soZve(B[241] = 0,G[4]);

Приложение Б. Построение бифуркационной диаграммы для отображения Пуанкаре на плоскости параметров (pi,p2)

# Фиксируем £ = 0.12, p3 = 1.7 и p4 = 4. with(plots):

# Кривая при p2 > 0

f1 := plot([[0.800198294, 0], [0.85, 0.0597545], [0.9, 0.119745], [0.95, 0.1797334], [1, 0.2397196], [1.05, 0.2997037], [1.1, 0.3596855], [1.15, 0.4196651], [1.2, 0.4796422], [1.25, 0.539617], [1.3, 0.5995892], [1.35, 0.659559], [1.4, 0.7195261], [1.45, 0.7794905], [1.5, 0.8394523], [1.55, 0.8994112], [1.6, 0.9593674]], style = line, color = black, xtickmarks = [0.4 = '0.4',0.8 = '0.8', 1.2 = '1.2', 1.6 = '1.6'], ytickmarks = [—1 = ' — 1', —0.5 = ' — 0.5', 0 = '0', 0.5 = '0.5', 1 = '1'], labels = [p[1],p[2]], axesfont = [TIMES, ROMAN, 12], labelfont = [TIMES, 14]):

# Кривая L+ при p2 < 0

f01 := plot([[0.800198294, 0], [0.85, -0.0597545], [0.9, -0.119745], [0.95, -0.1797334], [1, -0.2397196], [1.05, -0.2997037], [1.1, -0.3596855], [1.15, -0.4196651], [1.2, -0.4796422], [1.25, -0.539617], [1.3, -0.5995892], [1.35, -0.659559], [1.4, -0.7195261], [1.45, -0.7794905], [1.5, -0.8394523], [1.55, -0.8994112], [1.6, -0.9593674]], style = line, linestyle = dash, color = black):

# Кривая L+ при p2 > 0

f2 := plot([[0, 0.96034264], [0.05, 0.90032604], [0.1, 0.84031051], [0.15, 0.7802961], [0.2, 0.72028288], [0.25, 0.6602709], [0.3, 0.60026021], [0.35, 0.54025089], [0.4, 0.48024299], [0.45, 0.42023656], [0.5, 0.36023168], [0.55, 0.30022838], [0.6, 0.24022675], [0.65, 0.18022682], [0.7, 0.12022868], [0.75, 0.06023236], [0.800198294, 0]], style = line, color = black):

# Кривая L- при p2 < 0

f02 := plot([[0, -0.96034264], [0.05, -0.90032604], [0.1, -0.84031051], [0.15, -0.7802961], [0.2, -0.72028288], [0.25, -0.6602709], [0.3, -0.60026021], [0.35, -0.54025089], [0.4, -0.48024299], [0.45, -0.42023656], [0.5, -0.36023168], [0.55, -0.30022838], [0.6, -0.24022675], [0.65, -0.18022682], [0.7, -0.12022868], [0.75, -0.06023236], [0.800198294, 0]], style = line, linestyle = dash, color = black):

# Бифуркационная кривая L++ при p2 > 0

f3 := plot([[0, 1.0618368], [0.05, 1.0018149], [0.1, 0.9417884], [0.15, 0.8817696], [0.2, 0.8217521], [0.25, 0.7617265], [0.3, 0.70171793], [0.35, 0.6417059], [0.4, 0.5816927], [0.45, 0.5216793], [0.5, 0.4616692], [0.55, 0.4016606], [0.6, 0.34165292], [0.65, 0.2816469], [0.7, 0.2216432], [0.75, 0.1616406], [0.8, 0.1016194], [0.85, 0.0416343], [0.8847, 0]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L-+ при p2 < 0

f03 := plot([[0, -1.06184189], [0.05, -1.00181922], [0.1, -0.9417973], [0.15, -0.88177544], [0.2, -0.8217554], [0.25, -0.7617388], [0.3, -0.7017132], [0.35, -0.6417003], [0.4, -0.5816923], [0.45, -0.5216799], [0.5, -0.4616533], [0.55, -0.4016486], [0.6, -0.3416494], [0.65, -0.2816423], [0.7, -0.2216419], [0.75, -0.1616407], [0.8, -0.1016409], [0.85, -0.0416334], [0.8847, 0]], style = line, linestyle = dash, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L+_ при p2 > 0

f4 := plot([[0, 0.8587453], [0.05, 0.7987299], [0.1, 0.7387153], [0.15, 0.6786977], [0.2, 0.6186894], [0.25, 0.5586693], [0.3, 0.49866155], [0.35, 0.4386467], [0.4,

0.3786434], [0.45, 0.31863047], [0.5, 0.25863267], [0.55, 0.198621], [0.6, 0.13861757], [0.65, 0.07866289], [0.7, 0.01863749], [0.715515, 0]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая при p2 < 0

f04 := plot([[0, -0.8587443], [0.05, -0.7987321], [0.1, -0.7387105], [0.15, -0.6787424], [0.2, -0.6187295], [0.25, -0.5586698], [0.3, -0.49865695], [0.35, -0.43864669], [0.4, -0.37863794], [0.45, -0.31863137], [0.5, -0.25862734], [0.55, -0.19862449], [0.6, -0.13862042], [0.65, -0.0786165], [0.7, -0.01862721], [0.715515, 0]], style = line, linestyle = dash, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая при p2 > 0

f5 := plot([[0.715515, 0], [0.75, 0.04137279], [0.8, 0.10136421], [0.85, 0.16136789], [0.9, 0.22135873], [0.95, 0.28134058], [1, 0.3413272], [1.05, 0.40131659], [1.1, 0.46128643], [1.15, 0.52128587], [1.2, 0.58121864], [1.25, 0.64118827], [1.3, 0.70120036], [1.35, 0.761152413], [1.4, 0.82115436], [1.45, 0.881121692], [1.5, 0.94108516], [1.55, 1.001045398], [1.6, 1.06100277]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L+ при p2 < 0

f05 := plot([[1.6, -1.06099859], [1.55, -1.001038001], [1.5, -0.94107628], [1.45, -0.88112135], [1.4, -0.82115603], [1.35, -0.76117816], [1.3, -0.701212294], [1.25, -0.64123329], [1.2, -0.58126636], [1.15, -0.52128771], [1.1, -0.46130693], [1.05, -0.40132376], [1, -0.34133617], [0.95, -0.28134807], [0.9, -0.22136077], [0.85, -0.16136945], [0.8, -0.101375412], [0.75, -0.04132787], [0.715515, 0]], style = line, linestyle = dash, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L-+ при p2 > 0

f6 := plot([[0.8847, 0], [0.9, 0.01835399], [0.95, 0.078347609], [1, 0.13833955], [1.05, 0.19832924], [1.1, 0.25831687], [1.15, 0.31830196], [1.2, 0.37828452], [1.25, 0.43826706], [1.3, 0.498243105], [1.35, 0.55823979], [1.4, 0.61819877], [1.45, 0.67817443], [1.5, 0.73813866], [1.55, 0.79809706], [1.6, 0.85805773]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L+ при p2 < 0

f06 := plot([[1.6, -0.858054003], [1.55, -0.79809726], [1.5, -0.73812975], [1.45, -0.67816013], [1.4, -0.61819768], [1.35, -0.55821772], [1.3, -0.49824383], [1.25, -0.43826491], [1.2, -0.37829546], [1.15, -0.31830527], [1.1, -0.25833536], [1.05, -0.19833117], [1, -0.13835302], [0.95, -0.07834783], [0.9, -0.01837221], [0.8847, 0]],

style = line, linestyle = dash, color = black, thickness = 2):

# Кривая L±

f7 := plot([[0.800198294, 0], [0.7928422, 0.05], [0.7883585, 0.1], [0.7850025, 0.15], [0.7823805, 0.2], [0.78030098, 0.25], [0.77864912, 0.3], [0.77634404, 0.4], [0.77506905, 0.5], [0.77458993, 0.6], [0.77475266, 0.7], [0.77544893, 0.8], [0.77659898, 0.9], [0.7773246, 0.95], [0.77814201, 1], [0.77939106, 1.068]], style = line, color = black):

# Кривая L~[

f07 := plot([[0.800198294, 0], [0.7928422, -0.05], [0.7883585, -0.1], [0.7850025, -0.15], [0.7823805, -0.2], [0.78030098, -0.25], [0.77864912, -0.3], [0.77634404, -0.4], [0.77506905, -0.5], [0.77458993, -0.6], [0.77475266, -0.7], [0.77544893, -0.8], [0.77659898, -0.9], [0.7773246, -0.95], [0.77814201, -1], [0.77939106, -1.068]], style = line, linestyle = dash, color = black):

# Бифуркационная кривая L±+

f8 := plot([[0.715515, 0], [0.7185187, 0.01], [0.7124521, 0.02], [0.7164527, 0.03], [0.726743, 0.05], [0.7208159, 0.06], [0.71019, 0.08], [0.7061726, 0.09], [0.704469, 0.1], [0.709008, 0.12], [0.7169028, 0.14], [0.72571, 0.16], [0.734854, 0.18], [0.7394241, 0.19], [0.7439609, 0.2], [0.74620935, 0.205], [0.74642165, 0.2055], [0.74622463, 0.206], [0.7446544, 0.21], [0.7407786, 0.22], [0.73317378, 0.24], [0.7258751, 0.26], [0.7189405, 0.28], [0.71254834, 0.3], [0.7067997, 0.32], [0.701792, 0.34], [0.6976999, 0.36], [0.6946129, 0.38], [0.6925889, 0.4], [0.6916199, 0.42], [0.6916289, 0.44], [0.6925035, 0.46], [0.694105, 0.48], [0.6963138, 0.5], [0.6990155, 0.52], [0.7021172, 0.54], [0.7055347, 0.56], [0.709203, 0.58], [0.7130658, 0.6], [0.7170753, 0.62], [0.7211914, 0.64], [0.7253784, 0.66], [0.7296014, 0.68], [0.7317174, 0.69], [0.73383394, 0.7], [0.7380466, 0.72], [0.74221619, 0.74], [0.7463164, 0.76], [0.7503228, 0.78], [0.754207, 0.8], [0.75609639, 0.81], [0.7579438, 0.82], [0.7588491, 0.825], [0.75974557, 0.83], [0.7606273, 0.835], [0.7614985, 0.84], [0.762557, 0.8465], [0.76233644, 0.848], [0.7620302, 0.85], [0.76053507, 0.86], [0.75749064, 0.88], [0.7544117, 0.9], [0.7513137, 0.92], [0.7482382, 0.94], [0.74519281, 0.96], [0.7421735, 0.98], [0.7406863, 0.99], [0.7377724, 1.01], [0.7349341, 1.03], [0.7297807, 1.068]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L4+

f08 := plot([[0.715515, 0], [0.7185189, -0.01], [0.712455, -0.02], [0.7164539, -0.03], [0.726723, -0.05], [0.720804, -0.06], [0.710191, -0.08], [0.70617, -0.09], [0.7044706, -0.1], [0.70901, -0.12], [0.7169096, -0.14], [0.72572, -0.16], [0.734852, -0.18], [0.7394321,

-0.19], [0.7439601, -0.2], [0.7462122, -0.205], [0.74640414, -0.2055], [0.7462055, -0.206], [0.7446485, -0.21], [0.74077898, -0.22], [0.733169, -0.24], [0.7258531, -0.26], [0.7189442, -0.28], [0.7125374, -0.3], [0.7067866, -0.32], [0.7017889, -0.34], [0.6976994, -0.36], [0.69461901, -0.38], [0.6925926, -0.4], [0.691622, -0.42], [0.6916314, -0.44], [0.6925033, -0.46], [0.6941066, -0.48], [0.696313, -0.5], [0.6990167, -0.52], [0.7021179, -0.54], [0.7055329, -0.56], [0.7092075, -0.58], [0.7130694, -0.6], [0.7170795, -0.62], [0.7212008, -0.64], [0.7253883, -0.66], [0.72960436, -0.68], [0.7317184, -0.69], [0.7338328, -0.7], [0.7380527, -0.72], [0.74221825, -0.74], [0.74632006, -0.76], [0.7503223, -0.78], [0.7542133, -0.8], [0.7560948, -0.81], [0.7579479, -0.82], [0.7588523, -0.825], [0.7597454, -0.83], [0.76062739, -0.835], [0.7615007, -0.84], [0.7625532, -0.8465], [0.7623272, -0.848], [0.762034, -0.85], [0.76053198, -0.86], [0.75748708, -0.88], [0.7544043, -0.9], [0.7513122, -0.92], [0.7482318, -0.94], [0.7451763, -0.96], [0.7421687, -0.98], [0.7406902, -0.99], [0.7377696, -1.01], [0.7349291, -1.03], [0.72977839, -1.068]], style = line, linestyle = dash, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая L±_

f9 := plot([[0.8847, 0], [0.87933013, 0.01], [0.876741, 0.014], [0.8802197, 0.02] [0.87528741, 0.03], [0.86815647, 0.04], [0.85703143, 0.0552], [0.85738684, 0.056] [0.8584487, 0.058], [0.8594939, 0.06], [0.8644365, 0.07], [0.8687229, 0.08], [0.8717639 0.09], [0.87223646, 0.093], [0.8723763, 0.095], [0.8723221, 0.098], [0.87209158, 0.1] [0.8709906, 0.105], [0.86939134, 0.11], [0.86750831, 0.115], [0.86542904, 0.12] [0.86090947, 0.13], [0.856091292, 0.14], [0.85112701, 0.15], [0.84605812, 0.16] [0.83581966, 0.18], [0.83071046, 0.19], [0.82564086, 0.2], [0.81816893, 0.215] [0.8176764, 0.216], [0.81780378, 0.218], [0.81849675, 0.22], [0.82534717, 0.24] [0.83190591, 0.26], [0.83807043, 0.28], [0.843708136, 0.3], [0.84870617, 0.32] [0.85292903, 0.34], [0.8562581, 0.36], [0.85859841, 0.38], [0.85991756, 0.4], [0.8602404 0.42], [0.85965122, 0.44], [0.85827554, 0.46], [0.85625645, 0.48], [0.85368848, 0.5] [0.85068845, 0.52], [0.84733798, 0.54], [0.84372486, 0.56], [0.83592308, 0.6] [0.8318323, 0.62], [0.82766655, 0.64], [0.82346154, 0.66], [0.81924694, 0.68] [0.81714412, 0.69], [0.81504815, 0.7], [0.81088748, 0.72], [0.80680328, 0.74] [0.80281081, 0.76], [0.7989242, 0.78], [0.7951895, 0.8], [0.79337325, 0.81] [0.79161615, 0.82], [0.7907542, 0.825], [0.7899024, 0.83], [0.78946677, 0.835] [0.79028597, 0.84], [0.79111717, 0.845], [0.79195305, 0.85], [0.79364802, 0.86] [0.79709701, 0.88], [0.8006115, 0.9], [0.80416261, 0.92], [0.8077268, 0.94] [0.81128783, 0.96], [0.8165957, 0.99], [0.82008204, 1.01], [0.8235348, 1.03]

[0.8299197, 1.068]], style = line, color = black, thickness = 2):

# Бифуркационная кривая

f09 := plot([[0.8299246, -1.068], [0.8235308, -1.03], [0.8200898, -1.01], [0.8165794 -0.99], [0.8112901, -0.96], [0.8077203, -0.94], [0.804156, -0.92], [0.80060622, -0.9] [0.7970975, -0.88], [0.7936445, -0.86], [0.791939, -0.85], [0.7911176, -0.845] [0.79028498, -0.84], [0.78946328, -0.835], [0.78990307, -0.83], [0.79075401, -0.825] [0.7916164, -0.82], [0.79338004, -0.81], [0.79519005, -0.8], [0.79892913, -0.78] [0.80280937, -0.76], [0.8068063, -0.74], [0.81089465, -0.72], [0.81504758, -0.7] [0.81714382, -0.69], [0.81924689, -0.68], [0.82346185, -0.66], [0.82766694, -0.64] [0.83183233, -0.62], [0.83592213, -0.6], [0.84372771, -0.56], [0.84734309, -0.54] [0.85068742, -0.52], [0.85368855, -0.5], [0.85625412, -0.48], [0.85828584, -0.46] [0.85965664, -0.44], [0.86024066, -0.42], [0.85991635, -0.4], [0.85860112, -0.38] [0.85625941, -0.36], [0.85290754, -0.34], [0.84869772, -0.32], [0.8436979, -0.3] [0.8380539, -0.28], [0.83190549, -0.26], [0.8253427, -0.24], [0.81848535, -0.22] [0.817807, -0.218], [0.81767731, -0.216], [0.82064129, -0.21], [0.82564428, -0.2] [0.83071231, -0.19], [0.83582226, -0.18], [0.84606172, -0.16], [0.85112921, -0.15] [0.856102615, -0.14], [0.86090825, -0.13], [0.86542818, -0.12], [0.86750673, -0.115] [0.86939814, -0.11], [0.87099155, -0.105], [0.87209168, -0.1], [0.8723226, -0.098] [0.87238425, -0.095], [0.87223532, -0.093], [0.8717549, -0.09], [0.86870687, -0.08] [0.8644245, -0.07], [0.8594904, -0.06], [0.8584524, -0.058], [0.8573761, -0.056] [0.85702935, -0.0552], [0.86816161, -0.04], [0.87528693, -0.03], [0.8802216, -0.02] [0.8767451, -0.014], [0.87933191, -0.01], [0.8847, 0]], style = line, linestyle = dash color = black, thickness = 2):

# Точки a, b, b', c, c', d, e, e'

f10 := plot([[0.715515, 0], [0.7348, 0.1799], [0.7348, -0.1799], [0.8472, 0.15801], [0.8472, -0.15801], [0.8847, 0], [0.8, 0.1017], [0.8, -0.1017]], style = point, symbol = solidcircle, color = black):

display(f1, f01, f2, f02, f3, f03, f4, f04, f5, f05, f6, f06, f7, f07, f8, f08, f9, f09, f10);