Некоторые вопросы многомерной теории нелокальных бифуркаций на бутылке Клейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Борисюк, Антон Романович

• Борисюк, Антон Романович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борисюк, Антон Романович

Введение

1 Гомоклиническая бутылка Клейна

1.1 Граница множества Морса-Смейла.

1.2 Катастрофа голубого неба.

1.3 Сохранение некритических гомоклинических бутылок Клейна

1.3.1 Теорема Феничеля.

1.3.2 Теорема о сохранении.

2 Глобальное отображение Пуанкаре

2.1 Основные определения.

2.2 Предположения типичности.

2.3 Глобальное отображение Пуанкаре.

2.4 Результаты, полученные ранее.

3 Бифуркационный сценарий для случая унимодальной функции отображения Пуанкаре

3.1 Функция циклов и бифуркационный сценарий.

3.1.1 Реализация функции циклов.

3.1.2 Классификация бифуркационных сценариев.

3.1.3 Функция h, зависящая от параметра.

3.2 Бифуркационный сценарий в унимодальном случае.

3.2.1 Нормировка функции ha

3.2.2 Неподвижные точки.

3.2.3 Периодические траектории.

3.2.4 Свойства функции циклов.

3.2.5 Классификация бифуркационных сценариев и функций циклов.

3.2.6 Случай добавочной функции, зависящей от параметра

4 Бифуркационный сценарий для общего случая

4.1 Описание бифуркаций гомоклинической бутылки Клейна

4.1.1 Основные предположения.

4.1.2 Бифуркационный сценарий.

4.1.3 Реализация бифуркационных сценариев.

4.1.4 Эквивалентность бифуркационных сценариев.

4.2 Доказательство основных результатов.

4.2.1 Неподвижные точки.

4.2.2 Периодические траектории.

4.2.3 Восстановление updown подстановки по её характеристическому графу.

4.2.4 Распознавание характеристических графов.

4.2.5 Свойства функций циклов.

4.2.6 Теорема о реализации.

4.3 Случай добавочной функции, зависящей от параметра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы многомерной теории нелокальных бифуркаций на бутылке Клейна»

Предположим, что изучается динамическая система х' = f(x, а), где х это n-мерный вектор, / — гладкая вектор-функция, определяющая векторное поле, а — вектор параметров. Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном плавном изменении параметров. Так при потере устойчивости особой точки может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом — сложный аттрактор (хаотическая динамика). Такого рода изменения называются бифуркациями. Например, бифуркация Андронова-Хопфа означает, что особая точка меняет устойчивость таким образом, что пара собственных значений пересекает мнимую ось, и, кроме того, в малой окрестности особой точки возникает предельный цикл. Таким образом, знание бифуркации особой точки помогает находить колебательные режимы, возникающие в системе при изменении параметров.

Наиболее полно изучены так называемые локальные бифуркации, когда топологические перестройки фазового портрета происходят в малой окрестности особой точки или предельного цикла. В книге [3] приведён обзор результатов теории локальных бифуркаций.

Теория нелокальных бифуркаций является более сложным и менее изученым предметом, поскольку при изучении нелокальных бифуркаций необходимо рассматривать строение и перестройку фазового портрета динамической системы в значительной области фазового пространства. Основные результаты теории нелокальных бифуркаций собраны в монографии [2].

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных бифуркаций седло-узлового цикла в случае, когда гомоклинические траектории заполняют поверхность бутылки Клейна. Полученые результаты не только дают полное математическое описание бифуркационного сценария нелокальных бифуркаций вблизи критического значения параметра, но и имеют важное прикладное значение, поскольку полученный сценарий описывает возникновение предельного цикла, у которого как длина, так и период неограничено возрастают при приближении к критическому значению (бифуркация "катастрофа голубого неба").

Методы теории бифуркаций широко применяются для изучения математических моделей различных процессов и систем. Как правило, такие модели, содержащие небольшое число ключевых переменных (две-пять), определяющих основные механизмы динамической модели, дают качественное описание явления. Эти модели являются нелинейными и включают параметры. Для исследования моделей такого рода широко применяется теория локальных бифуркаций. Обычно полное теоретическое исследование таких моделей не представляется возможным и применяется комбинированный подход, включающий как теоретические методы, так и вычисления на компьютере.

Применение теории бифуркаций в различных областях естествознания способствовало значительному развитию этих областей, поскольку методы теории бифуркации, как теоретические, так и вычислительные, позволили изучить множество конкретных примеров динамических систем. Невозможно перечислить все приложения теории бифуркаций в естествознании, настолько они многобразны и многочисленны. Например, применение теории бифуркаций в биологии и экологии позволило понять роль колебательных процессов в этих науках, обнаружить и изучить новые интересные примеры колебательных систем [7], [5], [8]. Изучение конкретных примеров является чрезвычайно полезным для прикладных областей, поскольку эти примеры демонстрируют возможные наборы динамического поведения систем и показывают универсальные бифуркационные механизмы возникновения различных динамических режимов. Так, например, в системах с двумя устойчивыми стационарными режимами часто наблюдается явление гистерезиса. При увеличении параметра происходит скачкообразный переход от одного стационарного режима к другому, скажем, от низкого стационарного уровня к высокому, при определнном значении парметра ао- При уменьшении параметра обратный переход (от высокого стационарного уровня к низкому) может происходить при другом значении параметра, отличном от ао. Явление гистерезиса (возникновение "петли гистерезиса") можно объяснить на основе бифуркации типа "сборка", включяютцей слияние узловых и ссдлоузловых стационарных режимов. Другим примером, чрезвычайно важным для приложений, является возникновение автоколебаний (потеря устойчивости стационарного режима и рождение предельного цикла). Бифуркация Андронова-Хопфа объясняет один из механизмов такого явления. При этом из теории бифуркаций следует, что потеря устойчивости может происходить "мягким" образом, когда родившийся вблизи стационарного режима устойчивый предельный цикл притягивает к себе близкие траектории и вместо стационарного режима в системе наблюдается автоколебательный режим. Амплитуда колебаний вблизи бифуркация является малой (порядка корня квадратного из отклонения параметра от бифуркационного значения). Также, потеря устойчивости может происходить "жестким" образом. При жесткой потере устойчивости неустойчивый предельный цикл сливается с устойчивым стационарным решением и, тем самым, вблизи стационара нет устойчивых режимов, поэтому система переходит в один из устойчивых режимов, расположенных на некотором расстоянии от стационара.

Теория бифуркаций (в основном локальных) хорошо разработана как в теоретическом плане [3], [4], так и в плане численных методов для исследования конкретных динамических систем [5]. Так, например, созданы численные методы и программное обеспечение для исследования многих локальных и некоторых глобальных бифуркаций как особой точки, так и предельного цикла для случая коразмерностей 1, 2 и 3 [6]. В основе большинства пакетов программ для исследования бифуркаций лежит идея продолжения кривой в многомерном пространстве. Бифуркационные условия формулируются в терминах уравнений, описывающих кривую в многомерном пространстве переменных-параметров динамической системы, и каждая следующая точка на кривой "продолжается" с учетом непрерывности и гладкости уже найденного участка кривой. Например, для фиксированного значения параметра находится стационарное решение, определяется его устойчивость, а затем это решение продолжается по параметру. Продолжая по параметру устойчивое стационарное решение системы дифференциальных уравнений, программа находит критические значения параметров, при котором происходит смена устойчивости, и определяет тип бифуркации. При этом идея продолжения (движения по кривой) оказывается очень продуктивной с вычислительной точки зрения, поскольку, например, точка поворота (точка слияния двух стационарных решений при критическом значении параметра) проходится как и все другие точки. Эта точка не является особой, выделенной точкой при движения по кривой.

Современное программное обеспечение позволяет находить стационарные точки и предельные циклы произвольной нелинейной динамической системы, определять их устойчивость при фиксированных и изменяющихся значениях параметров и вычислять критические значения параметров, соответствующих той или иной бифуркации. Программное обеспечение позволяет изучать бифуркации как в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, так и в системе разностных уравнений.

Наличие доступных программных средств для изучения бифуркаций в системе нелинейных уравнений стимулирует применение теории бифуркаций при исследовании различных математических моделей. Таким образом, теория бифуркаций является полезным инструментом для прикладных исследований. Отметим, что теория бифуркаций дает математическое описание механизма перестройки динамических режимов в математической модели. Так например, возникновение колебаний в результате бифуркации Андронова-Хопфа означает, что амплитуда появившихся колебаний мала, а частота колебаний имеет некоторое значение, определяемое собственными значениями в бифуркационной точке. Если же колебания возникают в результате рождения предельного цикла из петли седло-узла, то амплитуда колебаний имеет определенное значение (порядка единицы), а частота колебаний близка к нулю. Кроме того, бифуркационные линии и поверхности в пространстве параметров определяют границы существования динамических режимов. Знание таких границ необходимо для приложений, поскольку пересечение границы приводит к смене динамического режима. В ряде случаев пересечение бифуркационной границы и смена режима могут иметь "катастрофические" последствия для функционирования системы, поскольку система может переместиться из области нормального функционирования, в область, соответствующую режиму вырождения или гибели системы. Изучение опасных границ и катастроф динамических систем, основанное на теории бифуркаций, оказалось полезным для приложений и стимулировало развитие дальнейших исследований в области знаний, связанной с "чрезвычайными ситуациями" и их прогнозами [1].

Теория глобальных бифуркаций рассматривает не только поведение траекторий вблизи особых точек и предельных циклов, но и на значительном удалении от них. Например, в динамической системе на плоскости с особой точкой типа седло входящая и выходящая сеператрисы могут образовывать петлю при определенных значениях параметров. В частности, такая бифуркация может приводить к исчезновению (появлению) колебательного режима с характерным увеличением периода колебаний.

В последние годы значительно возрос интерес к теории нелокальных бифуркаций, основные достижения которой, имеющиеся на сегодняшний день, суммированы в монографии [2].

Цель и задачи исследования

Данная работа посвящена изучению нелокальных бифуркаций гомоклинических траекторий седлоузлового цикла, заполняющих поверхность бутылки Клейна. В общем случае, проблема описания нелокальных бифуркаций гомоклинических траекторий седлоузловой периодической орбиты является сложной и малоизученной. Случай двумерного тора, заполненного гомоклиническими траекториями седлоузлового цикла является наиболее простым. Гомоклинические поверхности такого типа встречаются в пространстве произвольной размерности. Бифуркации некритического гомоклинического тора типичного седлоузлового семейства описаны в [2, §5.4.]. В книге [2] также частично описаны бифуркации более сложных гомоклинических поверхностей:

• Несколько гомоклинических поверхностей одного и того же седлоузлового цикла возникают одновременно. Их бифуркации порождают новый класс динамических систем, изучение которого не является исчерпывающим [2, §5.7.].

• Гомоклинические поверхности могут иметь сложную топологическую структуру. Так, в пространствах высокой размерности встречаются перекрученные гомоклинические поверхности. Их бифуркации приводят к появлению гиперболического аттрактора соленоидального типа [2, §5.8.].

Постановка задачи

Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей в фазовом пространстве размерности не ниже чем четыре. Предположим, что критическому (нулевому) значению параметра в этом семействе соответствует седлоузловой цикл. Такое вырождение неустранимым образом встречается в однопараметрических семействах. Предположим также, что гомоклинические траектории седлоузлового цикла заполняют гладкую поверхность, диффеоморфную бутылке Клейна. Это предположение не увеличивает коразмерности вырождения.

Задача состоит в описании поведения множества траекторий на бутылке Клейна при изменении параметра.

Научная новизна и формулировка результатов

Научная новизна работы состоит в том, что впервые нолучено полное описание бифуркационного сценария нелокальных бифуркаций гомоклинических орбит седлоузлового цикла на бутылке Клейна.

Решение задачи проводится в несколько этапов.

Сначала показывается, что для некоторого значения параметра £q интервал (0, ео) представляется в виде объединения замкнутых интервалов, удовлетворяющих нижеперечисленным свойствам. Интервалы не имеют общих внутренних точек. При значениях параметров, являющихся границами интервалов, качественная структура множества траекторий на бутылках Клейна одна и та же. Внутри каждого интервала при движении справа налево по параметру происходят одинаковые бифуркации потоков на соответствующих бутылках Клейна. Таким образом, достаточно рассмотреть только один такой интервал.

Затем выделяется класс диффеоморфизмов, задаваемый семейством унимодальных функций, и предполагается, для простоты, что семейство унимодальных функций не зависит от параметра. Для этого случая получены следующие результаты.

Известно ( [2]), что при каждом значении параметра имеется ровно два предельных цикла. Назовем эти циклы основными. Внутри выбранного интервала могут происходить два различных типа бифуркаций.

• Один из основных циклов меняет устойчивость и при этом рождается или сливается с основным предельный цикл удвоенного периода.

• Возникают или исчезают устойчивый и неустойчивый предельные циклы удвоенного периода.

Сформулированные выше утверждения составляют содержание теоремы 6 данной работы.

В работе также описываются всевозможные последовательности бифуркаций при изменении параметра внутри выбранного интервала. Вводится некоторая функция, названная функцией циклов, которая определена на окружности и является морсовской функцией с некоторыми дополнительными техническими условиями, связанными с рассматриваемым классом однопараметрических семейств (определяемых некоторой унимодальной функцией). Показано, что каждый сценарий находится во взаимнооднозначном соответствии с последовательностью критических точек функции циклов. Эти утверждения составляют содержание теорем 7 и 8.

В параграфе 3.2.6 показано, что изложенные выше результаты остаются неизменными в случае, когда семейтво унимодальных функций зависит от параметра.

На заключительном этапе решения поставленной проблемы результаты обобщаются на случай общего семейства, удовлетворяющего предположениям типичности.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Борисюк, Антон Романович

Заключение

В диссертационной работе рассматривается однопараметрическое семейство гладких векторных полей в пространстве большой размерности такое, что при критическом значении параметра соответствующее поле обладает седлоузловым циклом. Мы рассматриваем случай, когда гомоклинические орбиты этого цикла вместе с циклом образуют гладкую бутылку Клейна. Задача состоит в описании поведения множества траекторий при изменении параметра.

Исследование основано на постороении глобального отображения Пуанкаре, которое позволяет свести задачу к изучению семейства меняющих ориентация диффеоморфизмов окружности: fa : х ► —х + а + ha(x)

В работе показано как для заданной функции ha{x) построить соответствующий бифуркационный сценарий, а также найдены все возможные бифуркационные сценарии, которые могут реализоваться при произвольно заданной функции ha{x). Бифуркационный сценарий определяется количеством и расположением максимумов и минимумов функции ha(x).

Показано, что при каждом значении параметра а отображение окружности имеет ровно два цикла, которые называются основными. Эти циклы могут претерпевать бифуркации следующих двух типов:

1. Один из основных циклов меняет устойчивость и при этом рождается (или исчезает) цикл удвоенного периода.

2. Возникают (или исчезают) устойчивый и неустойчивый циклы удвоенного (по отношению к основному циклу) периода.

В окрестности критического значения параметра имеется интервал, который представляется в виде объединения смежных отрезков, на каждом из которых качественная структура траекторий на бутылках

Клейна одинакова. На каждом из интервалов реализуется одна и та же последовательность бифуркаций типа 1) и 2) при изменении параметра справа налево.

Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала рассматривается унимодальная функция ha(x) и для этого случая определяется бифуркационный сценарий. После этого рассматривается общий случай, когда функция ha(x) имеет произвольное количество максимумов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борисюк, Антон Романович, 2007 год

1. Арнольд В. И., Теория катастроф М.: Знание, 1981.

2. Ильяшенко Ю. С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО: ЧеРо, 1999.

3. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций Динамические системы — 5. М.: ВИНИТИ, 1986. (Итоги науки и техники). (Современные проблемы математики. Фундаментальные направления).

4. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Приемы и методы качественного исследования динамических систем на плоскости, Москва, Наука, 1990.

5. Базыкин А. Д., Кузнецов Ю. А., Хибник А. И. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989.

6. Khibnik A., Kuznetsov Y., Levitin V., Nikolaev Е. Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps. Physica D, 62, 1993, 360-371.

7. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций М., Наука, 1985.

8. Рубин А. Б. Биофизика, в 2-х тт. М., 1999, 2002.

9. Palis J. and Pugh С. С. Fifty problems in dynamical systems. Lecture Notes in Mathematics, 1975, Vol. 468. New York, Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, p. 345-353

10. Медведев В. О новом типе бифуркаций на многообразиях. Математический сборник, 1980, 113, 487-492.

11. И. Тураев Д., Шильников J1. П. Бифуркация голубого неба. Математический сборник, 1995, 51.

12. Гаврилов Н., Шильников А., Модель, содержащая бифуркацию голубого неба. Тезисы Межд Конференции "Современные проблемы теории динамических систем", Нижний Новгород, 1-6 июля. 1996.

13. Kuznetsov Yu. A. Elememts of applied bifurcation theory. Applied math sc. 112, Springer, 1998, pages 267-267.

14. Афраймович В. С., Шильников JI. П. О некоторых глобальных бфуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел. Доклады АН СССР, 1974, 219, 3, 1281-1285.

15. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory // Differential Equations Journal. 1979. Vol.31. P.53-98.

16. Anosova 0. True slow surface in slow-fast systems. International conference dedicated to the 100 anniversary of A. A. Andronov. Nizhniy Novgorod. 2001. 28.

17. Szmolyan P. Transversal heteroclinic and homoclinic orbits in singular perturbation problems. Journal of differential equations, 1991, 92, p.252-281.

18. Борисюк A. P. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Унимодальный случай. Математические заметки, 2002, 71, 3, 348-363.

19. Борисюк А. Р. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай. Математический сборник, 2005, 196, 3-22.

20. Borisyuk A. Global bifurcations on the Klein bottle. Unimodal case. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. 2000. 18-21

21. Borisyuk A. Bifurcation scenario on the homoclinic Klein bottle. International conference dedicated to the 100 anniversary of A. A. Andronov. Nizhniy Novgorod. 2001. 31-32.

22. Arnold V. I. Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics // Duke Mathematical Journal. 1991. Vol.63. No.2. P.537-555.

23. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений I. М.: Наука, 1982.

24. Newhause S., Palis J., Takens F., Bifurcation and stability of families of diffeomorphisms. Pubis, math. Inst, hautes etud.sci., 1983, 57, 5-71