Глобальные бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с негрубыми гомоклиническими и гетероклиническими траекториями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Овсянников, Иван Ильич

• Овсянников, Иван Ильич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Овсянников, Иван Ильич

Введение.

ГЛАВА 1. О бифуркациях диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями к нейтральному седлу.

1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

1.2. Построение отображения первого возвращения Т/г.

1.3. Изучение бифуркаций точек периода два в обобщенном отображении Эно.

1.4. Бифуркации однообходных периодических орбит и доказательство теоремы 1.

ГЛАВА 2. О бифуркациях диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями к нейтральному седло-фокусу.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Отображения локальное, глобальное и первого возвращения.

2.3. Рескейлинг-лемма и нормальная форма отображения первого возвращения.

2.4. Описание основных бифуркаций и области устойчивости семейства ffJl.

2.5. Доказательство рескейлинг-леммы 4.

ГЛАВА 3. Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с гетероклини-ческими касаниями, приводящие к возникновению диких аттракторов Лоренцевского типа.

3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2. Доказательство теоремы 3.

3.3. Доказательство леммы

ГЛАВА 4. Изучение основных бифуркаций в трехмерном отображении

4.1. Бифуркации коразмерности один

4.1.1. Седло-узловая бифуркация.

4.1.2. Бифуркация удвоения периода.

4.1.3. Бифуркация рождения замкнутой инвариантной кривой

4.2. Бифуркации коразмерности два.

4.2.1. Резонанс 1:1.

4.2.2. Резонанс 1:2.

4.2.3. Бифуркация (+1,-1).

4.2.4. Резонанс 1:3.

4.2.5. Резонанс 1:4.

4.3. Существование диких аттракторов Лоренцевского типа в трехмерных отображениях Эно.

4.3.1. Формулировка основных результатов.

4.3.2. О рождении аттрактора Лоренцевского типа в окрестности неподвижной точки трехмерного отображения Эно (доказательство леммы 8).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальные бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с негрубыми гомоклиническими и гетероклиническими траекториями»

Основной темой диссертации является исследование нелокальных бифуркаций, связанных с существованием нетрансверсальных пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических траекторий. Траектория, лежащая в пересечении инвариантных многообразий одной и той же седловой периодической орбиты называется гомоклиниче-ской, а в случае различных седел — гетероклинической. Часто используется также термин "гомоклиническая траектория Пуанкаре", чтобы подчеркнуть отличие от двоякоасимптотических траекторий другого типа — петель сепаратрис седловых состояний равновесий (которые тоже иногда называют гомоклиническими траекториями). В случае, когда инвариантные многообразия пересекаются нетрансверсально, говорят также о существовании гомоклинического или, соответственно, гетероклинического касания.

Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций как самостоятельная математическая дисциплина оформилась в работах A.A. Андронова, H.H. Баутина, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понтрягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы (Андронов, Понтрягин) и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Леонтович); для систем с конечным множеством особых траекторий был построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Эти бифуркации стали подразделяться условно на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклинической петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из одного седла в другое.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования поначалу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование "гиперболической теории". Ее математический фундамент был заложен в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, С. Смейла, Л.П. Шильникова и др.

В случае многомерных динамических систем основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия типа седло-узел или седло-седло; б) бифуркации Андронова-Хопфа состояния равновесия с чисто мнимыми собственными значениями; в) бифуркации периодических траекторий с мультипликатором, равным +1; г) бифуркации периодических траекторий с мультипликатором, равным — 1 (т.н. бифуркация удвоения периода); д) бифуркации периодических траекторий с мультипликаторами е±г</? при условии отсутствия сильных резонансов, т.е. 0 < <р < тт и (р ф 7г/2,27г/3 (т.н. бифуркация рождения инвариантного тора).

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П.Шильникова. Так, ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло [32], седло-узел [27] и седло-седло [29]. Эти работы, по существу, обобщали соответствующие двумерные результаты, касающиеся рождения единственного предельного цикла из гомоклинической петли, на многомерный случай. В работах же [31, 28, 34] было продемонстрировано принципиальное отличие характера многомерных гомоклинических бифуркаций от двумерных случаев. Именно, было показано, что бифуркации коразмерности один систем с несколькими гомоклиническими петлями состояний равновесия типа седло-седло [31] могут приводить к возникновению сложной динамики. Это был, фактически, первый пример бифуркации типа гомоклинического Г2-взрыва, суть которой состоит в том, что до момента бифуркации система имеет простую структуру (принадлежит классу систем Морса-Смейла), а сразу после — сложную. В это же время Шильниковым была открыта сложная структура множества траекторий в окрестности гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус [28, 34].

В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.С.Афраймовича, В.Н. Белых, JI.A. Белякова, В.В. Быкова, Н.К. Гаврилова, C.B. Гонченко, Ю.С. Ильяшенко, JI.M. Лермана, В.И. Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж. Пэлиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д.В. Тураева, А.Я. Хомбурга и др.

Среди нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем особое место занимают бифуркации гомоклинических касаний, а также бифуркации негрубых гетероклинических контуров. В последнем случае в системе имеется несколько седловых периодических траекторий, у которых одна пара инвариантных многообразий пересекается нетрансверсально, а остальные в общем случае имеют трансверсальные пересечения. Существование у системы грубой гомоклинической траектории Пуанкаре или грубого гетероклинического контура является одним из универсальных критериев сложной динамики или, другими словами, динамического хаоса. Это связано с тем, что уже множество траекторий N, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомоклинической траектории, имеет весьма нетривиальную структуру: оно содержит счетное множество периодических и гомоклинических орбит, континуум устойчивых по Пуассону траекторий и т.п. Более того, как установил Л.П. Шильников [30, 31], множество N является грубым локально максимальным нетривиальным гиперболическим множеством, допускающим полное описание в терминах символической динамики.

В случае гомоклинического касания или негрубого гетероклинического контура соответствующая задача описания множества траекторий в их окрестности становится гораздо более сложной. Более того, как "задача полного описания", она является принципиально неразрешимой, особенно когда рассматриваются еще и близкие системы. Дело в том, что произвольно малые гладкие возмущения любой системы с таким квадратичным касанием инвариантных многообразий могут приводить к возникновению новых гомоклинических или гетероклинических касаний любых порядков, а также сколь угодно вырожденных периодических траекторий, [10, 11, 43, 17, 49]. С формальной точки зрения, это означает, что полное описание бифуркаций таких систем с помощью конечно-параметрических семейств не может быть достигнуто. Поэтому здесь на первый план должны выступать задачи, связанные с выяснением принципиальных особенностей и характеристических свойств динамики и бифуркаций.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи именно такого рода, которые можно условно разбить на два класса. Задачи первого класса связаны с исследованием нелокальных бифуркаций, приводящих к появлению или исчезновению устойчивых периодических траекторий (периодических аттракторов). Задачи второго класса связаны с изучением нелокальных бифуркаций (именно, бифуркаций негрубых гетероклинических контуров), приводящих к рождению странных аттракторов.

В общем плане, критерии существования или отсутствия устойчивых периодических траекторий у систем, близких к системе с гомоклиническим касанием, были установлены в работах Гонченко, Тураева и Шильникова [9, 13, 50]. А первые результаты на эту тему были получены в работах Гаврилова и Шильникова [7, 8] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков). При этом ответ в [7, 8] зависел от т.н. седловой величины а. Напомним, что в случае седловой периодической траектории ее седловая величина определяется как произведение модулей ближайших к единичной окружности устойчивого (< 1 по модулю) и неустойчивого (> 1 по модулю) мультипликаторов. Таким образом, в случае двумерных диффеоморфизмов, а — | А-у|, где Л и 7 — устойчивый и неустойчивый мультипликаторы соответствующего седла. Тогда, как вытекает из [7, 8, 9], если а > 1, то все близкие диффеоморфизмы не имеют устойчивых периодических траекторий; если же а < 1, то такие траектории рождаются при бифуркациях. В частности, в [7, 8] были изучены бифуркации рождения периодических аттракторов в однопараметрических семействах общего положения. Соответствующий результат получил позднее название Теорема о каскаде периодических стоков, поскольку периодические аттракторы (стоки) существуют при значениях параметров из счетного множества непересекающихся интервалов (каскада), накапливающихся к значению параметра, отвечающему существованию исходного касания.

Заметим, что в многомерном случае условие а > 1 уже не влечет автоматически отсутствие устойчивых периодических траекторий у близких систем. Так, уже в трехмерном случае, когда диффеоморфизм имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ai, Л2, т такими, что О < |Лг| < |Лх| <1, | —у| > 1 и IA1A27I < 1, и также имеет негрубую гомо-клиническую траекторию к О, возможны две совершенно разные ситуации (здесь а = |Ai7|): i) точка О является седлом, т.е. Ai, А2 — действительны и |Аг| < |Ai|; ii) точка О является седло-фокусом, т.е. А^ = Хе±1лр, где 0 < А < 1 и О < ip < тт.

Как вытекает из [13], в случае седла с а > 1 при общих условиях1 ни сама система, ни все близкие не имеют устойчивых периодических траекторий в малой фиксированной окрестности негрубой гомоклинической орбиты. Однако, в случае седло-фокуса устойчивые периодические траектории, а также устойчивые замкнутые инвариантные кривые могут рождаться и при о > 1. Бифуркации, приводящие к их рождению, изучались в [18, 44, 50].

Случаи гомоклинических касаний к неподвижным точкам с а = 1 (такие точки мы будем называть нейтральными) являются особыми. Здесь даже изучение бифуркаций квадратичных касаний требуют как мини

1 Общие условия представлены в [13] как условия простоты гомоклинического касания и являются аналогами т.н. условия квазитраттсверсального пересечения [62] — гарантируют существование вблизи гомоклинического касания некоторого гладкого глобального двумерного центрального многообразия, в ограничении на котором система является двумерной с а > 1, что автоматически препятствует возможности появления устойчивых периодических траекторий. Эти условия, кроме квадратичности касания, включают два требования: (а) |Ai| / [ Аз | и (б) т.н. расширенное неустойчивое многообразие W'e(0) трансверсально к слоям сильно устойчивого инвариантного слоения вблизи точки гомоклинического касания, см. подробнее [13, 44, 69, 50]. Эти условия являются условиями общего положения и они весьма важны, так как при их нарушении устойчивые периодические траектории могут рождаться при бифуркациях, [74, 67, 48, 47]. мум двухпараметрического анализа. Для двумерных диффеоморфизмов с а — 1 такой бифуркационный анализ был проведен в [46, 19]. В частности, в этих работах были найдены условия рождения периодических траекторий и замкнутых инвариантных кривых при переходе от (т < 1 к <т > 1. Заметим, что в работе [74] изучались бифуркации трехмерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичное гомоклиническое касание к нейтральному седлу. В главе 1 обобщаются результаты работ [19, 74] на случай многомерного (размерности п + 1, п > 2) седла с а = 1.

Бифуркации же в случае седло-фокуса с а — 1 до сих пор не рассматривались. Отметим, что хотя устойчивые периодические траектории и наблюдаются в случае седло-фокуса при а > 1, [18], но для их надежной фиксации требуется рассмотрение уже как минимум двухпараметрических семейств. И это несмотря на то, что по своей природе задача изучения бифуркаций в данном случае выглядит формально как однопараметрическая (собственно, так оно и есть в случае а < 1). Более того, такое явление как "каскад периодических стоков"в однопараметрических семействах общего положения может обнаруживаться в случае а > 1 "с нулевой вероятностью", [18], хотя такой каскад в случае а < 1 существует всегда. С этой особенностью указанных бифуркаций связан т.н. "эффект ненаблюдаемости" периодических аттракторов внутри хаоса. В главе 2 дается объяснение этого явления с помощью уже трехпараметрического анализа бифуркаций гомоклинического касания к нейтральному седло-фокусу.

Задачи второго класса связаны с исследованием нелокальных бифуркаций, приводящих к рождению странных аттракторов. Хорошо известно, что при бифуркациях гомоклинических касаний уже в случае двумерных диффеоморфизмов могут рождаться "странные" аттракторы типа аттрактора отображения Эно [40, 58]. Однако они кажутся "странными" только лишь "на физическом уровне", поскольку сколь угодно малые возмущения могут приводить здесь к появлению периодических аттракторов [38]. Это означает, что кажущееся хаотическим при наблюдении поведение траекторий может являться в действительности "периодическим плюс (неизбежные) ошибки" (экспериментальные или вычислительные). Такие аттракторы были названы "квазиаттракторы" [38]. Можно сказать, что квазиаттракторы встречаются в приложениях достаточно часто — это многочисленные аттракторы, наблюдаемые в конкретных системах, прежде всего малой размерности. Таковыми являются странные аттракторы в отображении Эно, в цепях Чуа, многие типы спиральных и тор-хаос аттракторов, аттракторы Ресслера и т.п. Основным их характерным признаком является наличие (или возможность возникновения) таких гомоклинических касаний, бифуркации которых приводят к рождению устойчивых периодических траекторий. Таким образом, квазиаттракторы можно часто распознать, используя критерий Гонченко-Тураева-Шильникова, [13, 50], показывающий, возможно ли рождение устойчивых периодических траекторий при данной гомоклинической бифуркации.

Другой вид "гомоклинического хаоса" представлен так называемыми дикими гиперболическими аттракторами, которые были введены в работе Тураева и Шильникова [25]2. Системы с дикими гиперболическими аттракторами (также как и системы с квазиаттракторами) принадлежат областям Ньюхауса. Однако в этом случае ни сама система, ни все близкие к ней не содержат устойчивых периодических траекторий.

2Термин "дикий" восходит к Ш.Ньюхаусу [61], который ввел понятие "дикого гиперболического множества" — равномерно гиперболического базисного множества, чьи устойчивое и неустойчивое инвариантные множества (усы) имеют касание. Ньюхаус показал, что свойство наличия касания является сохраняющимся и, следовательно, системы с дикими гиперболическими множествами образуют открытые области (в С"-топологии с г > 2) в пространстве динамических систем.

В той же работе Тураева и Шильникова [25] был приведен пример системы, обладающей диким спиральным аттрактором, который содержит состояние равновесия типа седло-фокус и, помимо этого, допускает также гомоклинические касания. Другой весьма важный тип диких гиперболических аттракторов составляют т.н. дикие лоренцевские аттракторы которые могут быть получены, в частности, при периодических возмущениях автономных систем с аттракторами Лоренца [26]. Хорошо известно, что последние не допускают гомоклинических касаний. Такие касания могут возникать при периодических возмущениях, но при этом устойчивые периодические траектории здесь все равно не появляются [26, 24]. Основной причиной этого обстоятельства является то, что дикие лоренцевские аттракторы обладают т.н. псевдо-гиперболической структурой, [25, 26]3.

Весьма важной особенностью диких лоренцевских аттракторов является то, что они могут рождаться в результате локальных бифуркаций периодических траекторий. Как показано в [66], это возможно в тех случаях, когда периодическая траектория имеет три или более мультипликатора на единичной окружности. Последнее обстоятельство говорит о том, что соответствующие аттракторы могут быть обнаружены в конкретных моделях, которые содержат достаточное количество параметров, чтобы обеспечить

3Напомним, что, по определению, псевдо-гиперболическое множество отображения / — это такое компактное инвариантное множество А с М, что для каждой точки х £ А касательное пространство разлагается в прямую сумму ТХМ = Т\ © Т? двух подпространств таких, что / на Т\ является сильно сжимающим ("сильно" означает здесь, что любые возможные сжатия в трансверсальных направлениях являются более слабыми), а на Т2 растягивает (экспоненциально) объемы. По сути, здесь определяется некоторый тип нормальной гиперболичности, ср. с [42, 54], а значит, псевдо-гиперболичность сохраняется при малых гладких возмущениях. Определение псевдо-гиперболичности для потоков — вполне аналогично, см., например, [25, 26], и поэтому мы его не приводим. Однако, заметим, что в случае потоков псевдо-гиперболичность сохраняется также и при малых неавтономных периодических возмущениях, [26]. Кроме того, условие растяжения площадей на Т2, очевидно, запрещает устойчивые периодические траектории. существование вырождения указанного типа.

Одной из таких моделей является трехмерное отображение Эно следующего вида: х = у, у = г, г — М\ + Вх + М^у — г2 , (0.1) в котором присутствуют три независимых параметра, М\, М2 и Б. В работе [72] (см. также [73]) было показано, что отображение (0.1) обладает (глобальным) диким лоренцевским аттрактором в некоторой открытой области параметров (см. рис. 1).

Рис. 1. Примеры аттракторов, численно наблюдавшихся в отображении (0.1) при Mi = 0, В = 0.7 и (а) М2 = 0.85; (б) М2 = 0.815.

Нужно отметить, что еще в работе Гонченко, Тураева и Шильникова, [13] было анонсировано, что бифуркации многомерных систем с гомокли-ническими касаниями коразмерности один могут приводить к настоящим странным аттракторам (например, лоренцевского типа). Однако, в этом случае исходная система с гомоклиническим касанием должна иметь, как минимум, размерность четыре — для отображений, или пять — для потоков. Условие коразмерности один означает, что предполагается выполненным только одно негрубое условие — существование гомоклинического касания. Все остальные накладываемые условия — общего положения, в частности, касание должно быть квадратичным, а ф 1 и т. п.

В недавних работах [73, 51], было показано, что глобальные бифуркации уже трехмерных диффеоморфизмов могут также приводить к рождению диких лоренцевских аттракторов.

В работе [73] изучались, в рамках трехпараметрических семейств, бифуркации в случае гомоклинического касания многообразий неподвижной точки О типа седло-фокус (2,1), с мультипликаторами = \е±гч>, = 7, где 0 < Л < 1 < 7, 0 < </? < 7г. Но в отличие от [13], исходный диффеоморфизм из [73] имеет дополнительное вырождение — якобиан отображения в О равен единице, т.е. А27 = 1 (такая точка называется седло-фокусом консервативного типа).

В работе [51] изучались бифуркации в случае негрубого гетероклини-ческого контура, содержащего две неподвижные точки 0\ и О2 типа (2,1), причем одна из них — седло-фокус, а другая — седло. Хотя исходная система имеет здесь коразмерность один (поскольку IVй (О1) и 1У5(Ог) пересекаются трансверсально, а ^"(Ог) и У/8(0\) имеют квадратичное касание в точках некоторой негрубой гетероклинической траектории), бифуркационный анализ проводится в рамках трехпараметрических семейств общего положения. Рождение диких аттракторов Лоренцевского типа доказывалось здесь при одном весьма важном дополнительном условии общего положения, что якобиан отображения в одной из точек 0\ или О2 — больше единицы, а в другой — меньше единицы4.

4При невыполнении этого условия, если, например, якобианы в обеих точках меньше единицы,

Рис. 2. Пример диффеоморфизма с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим две неподвижные точки типа седло-фокус (2,1).

В настоящей диссертации эта тематика продолжена. В главе 3 рассматривается контур другого типа по сравнению с [51], а именно, негрубый гетероклинический контур, содержащий две неподвижные точки О\ и О2, которые обе являются седло-фокусами типа (2,1), см. рис. 2. И опять же, как в [51], накладывается дополнительное условие общего положения: якобиан отображения в одной из точек 0\ или О2 — больше единицы, а в другой — меньше единицы.

Постановка задачи.

Рассматриваются три следующих случая Сг-гладких, г > 4, диффеолюбые трехмерные объемы вблизи контура будут асимптотически сжиматься при итерациях диффеоморфизма. И, соответственно, общая динамика становится эффективно двумерной [69]. морфизмов, обладающих негрубыми гомоклиническими или гетероклини-ческими орбитами.

Случай 1 (многомерные диффеоморфизмы с квадратичным гомокли-ническим касанием к нейтральному седлу)

Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: А1. Диффеоморфизм /о имеет седловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ах, Аг,., Ап, 7, где 0 < |Аг| < |-X11 < 1 < |7|, г = 2,., п. Таким образом, сИт 14^(0) = п, сИтИ^О) = 1; В1. Седловая величина о = |Лх'у| равна 1;

С1. Устойчивое №"■(()) и неустойчивое И/э{0) многообразия точки О касаются квадратичным образом в точках некоторой гомоклинической орбиты Г0;

Мы также предполагаем, что рассматриваемое гомоклиническое касание является простым [13]. Тем самым к условиям А1 - С1 добавляется следующее условие общего положения:

01. Расширенное неустойчивое инвариантное многообразие И/"иг(0) и слои сильно устойчивого инвариантного слоения Fss на И/Г£!(0) пересекаются трансверсально в точках орбиты Го

Напомним (см. [64, 54]), что при выполнении условия А1 на п-мерном устойчивом многообразии И/в(0) существует единственное Сг-гладкое сильно устойчивое инвариантное слоение Fss, каждый слой которого является (п — 1)-мерным многообразием. Слоение содержит также неведущее устойчивое многообразие И/5Я(0). По определению из [64, 54], локальное расширенное неустойчивое многообразие И^(О) — это инвариантное многообразие, содержащее \Уи(0) и касающееся ведущего устойчивого направления (отвечающего мультипликатору Ах) в точке О.

Случай 2 (Трехмерные диффеоморфизмы с квадратичным гомокли-ническим касанием к нейтральному седло-фокусу)

Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: А2. Диффеоморфизм /о имеет неподвижную точку О типа седло-фокус с мультипликаторами — Хе±г1р, щ = 7, где 0 < А < 1 < | —у|; В2. Седловая величина а = А|-у| равна 1;

С2. Устойчивое И^(О) и неустойчивое \¥и{0) инвариантные многообразия точки О касаются квадратичным образом в точках некоторой гомоклинической орбиты Го.

Случай 3 (Трехмерные диффеоморфизмы с гетероклиническим контуром, содержащим седло-фокусы и квадратичным касанием многообразий) Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: АЗ. Трехмерный диффеоморфизм /о имеет две неподвижные точки 0\ и О2, которые обе являются седло-фокусами типа (2,1).

ВЗ. /о имеет непостоянный якобиан и, более того, в одной из неподвижных точек якобиан меньше единицы, а в другой — больше единицы.

СЗ. Инвариантные многообразия Ши(0\) и И^(02) пересекаются трансверсально в точках некоторой гетероклинической траектории Г12, а У/и{02) и \У8(01) имеют квадратичное касание в точках некоторой гетероклинической траектории Г21.

Цель диссертации состоит в том, чтобы в рамках параметрических семейств общего положения изучить бифуркации периодических траекторий, целиком лежащих в некоторой малой окрестности гомоклинической орбиты (в случаях 1 и 2) или гетероклинического контура (в случае 3) в системах, близких к /о.

В настоящей диссертации были получены следующие результаты.

В случае 1 рассматривается двухпараметрическое семейство д = (/¿1, ¡12)> где ¡1\ — параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий неподвижной точки О, ^ — параметр, отвечающий за отклонение седловой величины а от единицы, т. е. ¡22 — |Ах7| — 1. Здесь изучаются бифуркации однообходных периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической траектории. Такая окрестность строится как объединение некоторой малой окрестности Щ точки О и (конечного числа) малых окрестностей тех точек орбиты Го, которые лежат вне Щ. Введем следующие обозначения: \К*0С{О) = 1У5(0) П и0, И^с(0) -IVй(О) П С/о- Выберем две гомоклинические точки М+ 6 И^(О), М~ € ИП1ос{0) и их малые окрестности, соответственно, П+ и П. Отображения первого возвращения из П+ в П+ строятся в виде суперпозиций локального и глобального отображений: Тк — Однообходным периодическим траекториям отвечают неподвижные точки этих отображений. Здесь локальное отображение То представляет собой ограничение диффеоморфизма /ц на Щ, т.е. То = /ц\и0- Начиная с некоторого количества итераций к отображения То, образы окрестности П+ будут иметь при к > к непустые пересечения с окрестностью П~, причем (п + 1)-мерные полоски а\ — П П" накапливаются к И^с(0) при к —у оо. Прообразы полосок а\ — это, соответственно, полоски сгд С П+, которые накапливаются к ЩоС(0). Очевидно, существует натуральное щ такое, что М+ = Тогда при всех малых // определено отображение: Т\ = : П~ —>• П+, которое называетсяч глобальным.

В главе 1 настоящей диссертации показано (лемма 1), что при выполнении условия Б1 отображение Тк : с-»■ П+ может иметь на сг^ (асимптотически устойчивое) двумерное инвариантное центральное многообразие И7^. При этом, отображение с помощью аффинных преобразований координат (рескейлинга) может быть приведено к следующему виду:

X — У + о(А{) , ч

0-2)

У = М1- М2Х - У2 + Ак;ЯХУ + А{5У3 + о(А{). Здесь координаты X и У могут принимать произвольные конечные значения при больших к. Новые параметры М\ и М2 связаны с и Д2 следующим образом (точные формулы приведены в параграфе 1.2.):

12кЫ + ак), М2~.Л(Ап)*, (0.3) где скд; —0 при к оо (напомним, что /л2 = 1^171 — !)• Кроме того, Я, 5 и ,/1 ф 0 — некоторые инварианты глобального отображения. Из (0.3) видно, что при варьировании /¿1 и /12 вблизи нуля параметры М\ и М2 при достаточно больших к могут принимать произвольные конечные значения, более того, М2 сохраняет при этом свой знак. Мы будем называть случай М2 > 0 "ориентируемым", а М2 < 0 — "неориентируемым". Заметим, что при А17 > 0 знак М2 не зависит от к, и при всех натуральных к > к мы будем иметь на IV* только ориентируемые (при > 0) или только неориентируемые (при Jl < 0) случаи. При А17 < 0 знак М2 зависит от четности к, и, соответственно, ориентируемые и неориентируемые случаи будут чередоваться.

Отображение (0.2) называется обобщенным отображением Эно, так как оно является малым возмущением специального вида стандартного отображения Эно:

X = У, У = М1- М2х - У2. (0.4)

Бифуркационные диаграммы отображения Эно (0.4) и обобщенного отображения Эно (0.2) приведены, соответственно, на рисунках 3 (а) и (б).

Здесь показаны бифуркационные кривые для неподвижных точек, а также точек периода два. Изображены линии Ь+, и Ь* (соответственно, , Ь^ и Ьна которых отображение имеет неподвижную точку с мультипликатором + 1, —1 и е±г<р соответственно; кроме того, линии ^ (и линии для отображения (0.2)), на которых точки периода два имеют мультипликаторы е±г1р, и Ь2~ (соответственно, на которой точки периода два имеют мультипликатор, равный —1. Основные бифуркации

Рис. 3. Элементы бифуркационной диаграммы для (а) отображения Эно, б) обобщенного отображения Эно. коразмерности один) — седло-узловая и удвоения периода — невырождены в обоих случаях. Однако, у отображения Эно бифуркации, связанные с появлением мультипликаторов е±г^ у неподвижных точек, являются всегда вырожденными. В отличие от этого, у обобщенного отображения Эно эти бифуркации невырождены в общем случае, если Я. ф 0 [46]. И поэтому здесь можно говорить о настоящих бифуркациях Андроиова-Хопфа. В случае точек периода два бифуркация Андронова-Хопфа также невырождена, если Я ф 0 на кривой Ь%2 и Я2 + 27?,5 ф 0 на кривой Щ2. Это показано в

параграфе 1.3. (лемма 2).

Основной результат в случае 1 может быть сформулирован в виде следующей теоремы, описывающей структуру бифуркационной диаграммы семейства f^l =

Теорема 1. Пусть /о удовлетворяет условиям А1 - 01. Семейство близких к /о диффеоморфизмов имеет на плоскости параметров (МъА^) следующие бифуркационные кривые:

1. Счетное множество бифуркационных кривых Ь^, накапливающихся к прямой ¡1\ = 0 при к —>• оо и отвечающих появлению у одно-обходных периодических траекторий мультипликаторов +1 и — 1 соответственно.

2. Если Л17 > 0 и Jl > 0, то существует также счетное мнооюество кривы,х Щ и стягивающихся к тючке (/11,^2) = (0)0) пРи & —> оо и отвечающих наличию у однообходных и двухобходных периодических траекторий соответственно, пары мультипликаторов е±1{р.

3. Если Л17 > 0 и < 0, то существует счетное множество кривых стягивающихся к точке (дь/лг) = (0,0) при к —> оо и отвечающих наличию у двухобходных периодических траекторий пары мультипликаторов е±г1р.

4. Если Л17 < 0, то имеет кривые Щ и пРи > 0 м кривые при Jl(Xl'y)k < 0.

В случае 2 исследование проводится в рамках трехпараметрического семейства диффеоморфизмов ц = (/¿1,/¿2,/¿з)> гДе I1! ~ параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий, ~ параметр, отвечающий за отклонение седловой величины а от единицы, и — комплексный аргумент р устойчивых мультипликаторов. Показывается, что отображение первого возвращения Т& при всех достаточно больших к с помощью аффинных замен координат и параметров может быть приведено к следующему виду (лемма 4):

Х = У + о{1)

У = М1- М2Х -У2 + о(1) (0.5)

2 = о{1).

Здесь координаты X, У и 2 могут принимать произвольные конечные значения, а параметры М\ и М2 связаны с исходными следующим образом (см. точную формулу (2.8) в параграфе 2.3.):

М^-уЫ^ + Тк), М2~{1 + 112)ксоъ{кр + (3), (0.6) где Тк —¥ 0 при к —> оо, ¡5 — некоторая константа, зависящая от коэффициентов глобального отображения. При варьировании (1\ вблизи нуля параметр М\ может принимать произвольные конечные значения. При ^ь2 > 0 (т.е. а > 1), варьируя (р, можно добиться, чтобы параметр М2 принимал произвольные конечные значения.

Отображение (0.5), когда М2 не мало (что возможно только при ц2 > 0), с точностью до асимптотически малых членов совпадает на некотором центральном многообразии с отображением Эно (0.4). Если же р,2 < 0, то М2 —у 0 при к —> оо, динамика отображения (0.5) становится одномерной и описывается отображением параболы:

У = Мг- У2. (0.7)

Бифуркации отображений (0.4) и (0.7) хорошо известны. Что касается устойчивых неподвижных точек, то у отображения параболы (0.7) она существует при —1/4 < М\ < 3/4, в отображении Эно (0.4) — при значениях параметров М\ и М2, принадлежащих криволинейному треугольнику, ограниченному кривыми Ь+, Ь~ и Ьф (см. рис. За). Поэтому области устойчивости неподвижных точек отображений Т\ будут выглядеть по-разному при /.¿2 < 0 и ^ > 0, см. рис 4, гле изображена область устойчивости для отображения Т^ при достаточно большом фиксированном к. При /¿2 < 0 (сг < 1) области устойчивости семейства и, л

Рис. 4. Вид области устойчивости 5fc для неподвижных точек отображения Тк в трехпараметрическом пространстве. диффеоморфизмов //7 представляют собой объединение счетного числа "слоев" между поверхностями и отвечающих седлоузловой бифуркации и бифуркации удвоения периода отображений Тк и накапливающихся к поверхности ¡л\ — 0 при к —> оо (см. рис. 5 (а)). Очевидно, что однопараметрическое семейство общего положения в этом случае будет иметь счетное число пересечений с даными областями, то есть в рамках данного семейства будет наблюдаться каскад устойчивых периодических траекторий. В случае же Ц2 > 0, если </? принимает значения от 0 до 7Г, область устойчивости на сечении а = const при каждом к представляет собой объединение криволинейных треугольников (см. рис. 5 (б)), число которых бесконечно растет при к —> оо (примерно как число корней функции со в (£;</? + /3) на интервале Дер изменения значений угла (р). Поэтому, в общем случае, однопараметрические семейства общего положения могут или вообще не пересекать эти треугольники или может пересечь (в отличие от случая о < 1) лишь конечное число их. Это объясняет явление "ненаблюдаемости" устойчивых периодических траекторий в однопараметрических семействах при переходе через границу а — 1 [18]. Основной результат для случая 2 может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Ь) Сечение Ль (ц.ср.ст) П {ст=сопз1>1}

Рис. 5. Сечения области устойчивости при а < 1 и ст > 1.

1 л 2, . v

Ц (ц,СТ,ф) —" ф а) Сечение Дк(ц,ф,ст) П {о=сопб(<1}

Теорема 2. Пусть /о удовлетворяет условиям А2 - С2. Тогда имеют место следующие утверждения, о структуре бифуркационной диаграммы однообходиых периодических траекторий семейства близких к /о диффеом,орфизмов при достаточно малых ||/л|| < 5.

1) содержит счетное множество поверхностей и k = к,к + 1,.накапливающихся к плоскости ц\ = О при к —> +оо. Эти бифуркационные поверхности вместе с линиями С Ь^ П В++ С L+ П Ъ\ и Вк С Lk П определяют границы области устойчивости Sk, т.е. такой открытой области в ||/л|| < 6, при значении ¡1 из которой диффеоморфизм f^ имеет асимптотически устойчивую однообходную периодическую траекторию периода к + щ.

2) Зона устойчивости Sk имеет форму гребенки, как на рис. 4■ При отрицательных ^ только поверхности и являются границами области Sk, которая выглядит как плоский слой толщины порядка *у~2к, лежащий вблизи плоскости ц\ — j~ky~. При приближении к положительным fj,2 возникают новые границы устойчивости - поверхности h\ с кривыми , Bk+, Вк~. При этом, множество Sk П {/i 2 = const > 0} при любом достаточно большом к состоит из криволинейных треугольников, имеющих размеры порядка ry~2k х на (/¿i,<p)-сечениях) и, расположенных периодически (с периодом 2тт/к) вдоль координаты, (р, см,, рис. 5.

В случае 3 рассматривается трехпараметрическое семейство диффеоморфизмов /м, [г = (/¿1, /¿2, А^з)) гДе Д1 ~~ параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий, ^2 ~~ комплексный аргумент устойчивых мультипликаторов одной из неподвижных точек, являющийся П-модулем, и /13 — параметр, управляющий значениями якобианов в неподвижных точках. Показано (лемма 6), что отображение первого возвращения Tkj в семействе с помощью аффинных преобразований координат и параid un I 11 mllli и ill ill II I III llll Ill Hi IL . I II метров может быть приведено к виду, асимптотически близкому к трехмерному отображению Эно (0.1). Таким образом, изучение бифуркаций одно-обходных периодических траекторий в семействе ft, может быть сведено к изучению бифуркаций неподвижных точек трехмерного отображения Эно.

В настоящей диссертации был исследован ряд основных таких бифуркаций в отображении (0.1). В частности, были рассмотрены все бифуркации коразмерности один и два. В случае бифуркации Андронова-Хопфа была вычислена первая ляпуновская величина и качественно описаны кривые в пространстве параметров, на которых она обращается в нуль. Для бифуркаций коразмерности два, связанных здесь с появлением у неподвижной точки двух единичных мультипликаторов5, были определены условия их невырожденности и построены локальные бифуркационные диаграммы. Соответствующие результаты собраны в главе 4.

Из многочисленных бифуркаций коразмерности три главное внимание в диссертации уделяется только одной, приводящей к появлению в отображении (0.1) странного аттрактора Лоренцевского типа, а именно, случаю, когда отображение (0.1) имеет неподвижную точку в мультипликаторами (-1,-1,-1-1) при значениях параметров (Mi = —1/4, М2 = 1, В = 1). В окрестности данной бифуркационной точки рассматривается так называемая потоковая нормальная форма такая, что сдвиг на единицу времени по ее траекториям совпадает с квадратом отображения (0.1) с точностью до квадратичных членов. Затем эта нормальная форма с помощью некоторых замен координат, параметров и времени приводится к виду системы

5Соответственно, здесь были исследованы бифуркации, когда неподвижная точка имеет пару мультипликаторов +1,4-1 (резонанс 1:1), или -1,-1 (резонанс 1 : 2) или +1,-1 (в англоязычной литературе используется термин "fold-flip" для обозначения такой бифуркации). Также были рассмотрены случаи резонансов 1 : 3 и 1 : 4.

Шимицу-Мориока: х = у , у = х(1-г)-\у, (0.8) г = — аг + х2.

Этот результат доказан в лемме 8. Как известно [37, 65], система (0.8) обладает аттрактором Лоренца в некоторой области параметров (Л, а), и, следовательно, трехмерное отображение Эно также обладает так называемым диким гиперболическим аттрактором Лоренцевского типа6 в некоторой области параметров в окрестности точки (М\ = —1/4, М2 = 1, В = 1). Относительно исходного семейства данный результат приводит к следующей теореме, которая представляет собой основной результат в случае 3:

Теорема 3. В любой окрестности точки ¡1 = 0 в пространстве параметров существуют открытые области N, в которых плотны значения ц = (/хх, /х2, /хз) такие, что соответствующий диффеоморфизм имеет счетное множество сосуществующих диких гиперболических аттракторов лоренцевского типа.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, а также списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Овсянников, Иван Ильич, 2011 год

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд,— М.:Наука, 1978.

2. Афраймович, В. С. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел / B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // ДАН СССР.- 1974,- Т. 219, № 6.- С. 12811285.

3. Афраймович, B.C. О возникновении и структуре аттракторов Лоренца / B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников // ДАН СССР.- 1977,- Т. 234, № 2,- С. 336-339.

4. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников // Тр. ММО 1982.- Т. 44,- С. 150-212.

5. Афраймович, B.C. О бифуркациях коразмерности один, приводящих к появлению счетного множества торов / B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // ДАН СССР- 1982.- Т. 262, № 4.- С. 101-105.

6. Афраймович, B.C. Инвариантные торы, их разрушение и стохастич-ность / B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр.- Горький, 1983.— С. 3-26.

7. Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. I / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб.- 1972. Т. 88, № 4 Р. 475-492.

8. Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. II / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем,. сб.- 1973. Т. 90, № 1 — Р. 139-157.

9. Гоиченко C.B. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой / C.B. Гон-ченко // Мат. заметки.— 1983 — Т. 33, № 5 — С. 745-755.

10. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Меэювуз. тематич. сб. науч. тр.— 1991.— С. 36-61.

11. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников //ДАН СССР.-1991.- Т. 320, № 2,- С. 269-272.

12. Гонченко, C.B. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Изв. РАН, сер. м,а,тематика— 1992,— Т. 56, № 6.— С. 1165-1196.

13. Гонченко, C.B. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников //Докл. Росс. Акад. Наук — 1993 — Т. 330, № 2,- С. 144-147.

14. Гонченко, C.B. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Докл. Росс. Акад. Наук.- 1993,- Т. 329, № 4,- С. 404-407. •

15. Гонченко, C.B. Модули Г2-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром / С. В. Гонченко // Мат. сборник.- 1996,- Т. 187, № 9.- С. 3-24.

16. Гонченко, C.B. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническимконтуром / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Труды МИАН— 1997.— Т. 216.- С. 76-125.

17. Гонченко, C.B. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня, рождения Л. С. Понтрягина.— 1999.— Т. 67.— С. 69-128.

18. Гонченко, C.B. О динамических свойствах диффеоморфизмов с гомо-клиническими касаниями / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Современная математика и ее приложения.— 2003.— Т. 7,- С. 92-118.

19. Гонченко, C.B. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / C.B. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды МИАН— 2004,— Т. 244,- С. 87-114.

20. Гонченко, C.B. Гомоклинические касания, (под ред. С. В. Гонченко и Л. П. Шильникова // Москва-Ижевск,— 2007.

21. Лукьянов, В. И. О некоторых бифуркациях динамическизх систем с гомоклиническими структурами / В.И. Лукьянов, Л.П. Шильников // ДАН СССР.- 1978.- Т. 243, № 1- С. 26-29.

22. Овсянников, И.М. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса / И.М. Овсянников, Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1986,— Т. 130, № 4,- С. 552-570.

23. Cama.ee, Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца / Е.А. Сатаев // Мат,ем,, сб- 2005,- Т. 196, № 4,- С. 99-134.

24. Тураев, Д.В. Пример дикого странного аттрактора / Д.В. Тураев, Л.П. Шилыгаков // Матем. сб.- 1998.- Т. 189, № 2.- С. 137-160.

25. Тураев, Д.В. Псевдогиперболичность и задача о периодических возмущениях аттракторов лоренцевского типа / Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Доклады Академии Наук.— 2008,— Т. 418, № 1.— С. 2327.

26. Шильников, Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий / Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1963.- Т. 61, № 4.- С. 433-466.

27. Шильников, Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / Л.П. Шильников // ДАН СССР.— 1965,- Т. 160, № 3,- С. 558-561.

28. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же / Л.П. Шильников // Докл. АН СССР.- 1966.- Т. 170, № 1- С. 48-52.

29. Шильников, Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л.П. Шильников // Матем. сб.- 1967.- Т. 74, № 4 — С. 378-397.

30. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре окрестности гомоклиниче-ской трубы инвариантного тора / Л.П. Шильников // ДАН СССР.— 1968.- Т. 180, № 2,- С. 286-289.

31. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоассимптотической к состоянию равновесия типа седло / Л.П. Шильников // Мат. сб.- 1968.- Т. 77, № 3 С. 461-472.

32. Шилъников, Л.П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамически систем / Л.П. Шильников f j Докл. АН СССР.— 1969.— Т. 189, № 1.- С. 49-62.

33. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус /Л.П. Шильников // Матем. сборник.- 1970,- Т. 81, № 1.- С. 92-103.

34. Шильников, Л.П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы / Л.П. Шильников // УМЕ.- 1981,- Т. 36, вып. 4,- С. 240241.

35. Шильников, Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность / Л.П. Шильников // в сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений.— Горький, 1986,— С. 150-163.

36. Шильников, А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мариока-Шимицу / А.Л. Шильников // в сб. "Методы качественной теории дифференциальных уравнений".— Горький, 1986.— С. 180-193.

37. Afraimovich, V.S. Strange attractors and quasiattractors / V.S. Afraimovich, L.P. Shilnikov // Nonlinear dynamics and turbulence, Interaction Mech. Math. Ser— Pitman, 1983 — P. 1-34.

38. Arneode, A. The dynamics of triple convection / A. Arneode, P.H. Coullet, E.A. Spiegel // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn — 1985.— Vol. 31- P. 1-48.

39. Benedicks, M. The dynamics of the Henon map / M. Benedicks, L. Carleson // Ann. of Math.- 1991,- Vol. 133 P. 73-169.

40. Broer, H. Invariant circles in the Bogdanov-Takens bifurcation for diffeomorphisms / H. Broer, R. Roussarie, C. Simo // Ergod. Th. Dyn. Syst.- 1996.- Vol. 16.- P. 1147-1172.

41. Fenichel, N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows / N. Fenichel 11 Indiana Univ. Math. J.- 1971- Vol. 21, no. 3.- P. 193226.

42. Gonchenko, S. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves / S.V. Gonchenko, L.P. Shil'nikov, D.V. Turaev // Physica D- 1993 -Vol. 62.- P. 1-14.

43. Gonchenko, S. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Interdisc. J. Chaos.- 1996.- Vol. 6, no. 1.- P. 15-31.

44. Gonchenko, S. V. Dynamics and moduli of fi-conjugacy of 4D-diffeomorphisms with a structurally unstable homoclinic orbit to a saddle-focus fixed point / S.V. Gonchenko // Amer. Math. Soc. Transl— 2000.— Vol. 200, no. 2,- P. 107-134.

45. Gonchenko, S. V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S.V. Gonchenko, V.S. Gonchenko // Preprint No.556, WIAS, Berlin, 2000.

46. Gonchenko, S. V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps / S.V. Gonchenko,

47. P. Shilnikov, D.V. Turaev // Nonlinearity.- 2007,- Vol. 20.- P. 241275.

48. Gonchenko, S. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions. I / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Nonlinearity.- 2008.- Vol. 21 P. 923-972.

49. Gonchenko, S.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Regular and Chaotic Dynamics — 2009.— Vol. 14, no. 1- P. 137-147.

50. Gonchenko, V.S. On bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with a homoclinic tangency of manifolds of "neutral" saddle / V.S. Gonchenko // Proc. of Math. Steklov Inst.- 2001.- Vol. 236.- P. 8693.

51. Gonchenko, V.S. Generalized Hénon map and bifurcations of homoclinic tangencies / V.S. Gonchenko, Yu.A. Kuznetsov, H.G.E. Meijer // SI AM J. of Appl. Dyn. Sys— 2005,- Vol. 4, no. 2,- P. 407-436.

52. Hirsh, M. Invariant manifolds / M.W. Hirsh, C.C. Pugh, M. Shub // Lecture Notes in Math.— Springer-Verlag, Berlin, 1977.— Vol. 583.

53. Kuznetsov, Yu.A. Elements of applied bifurcation theory / Yu. A. Kuznetsov // Springer-Verlag, 1995.

54. Kuznetsov, Yu.A. The fold-flip bifurcation / Yu.A. Kuznetsov, H.G.E. Meijer, I. van Veen // Int. J. Bifurcation & Chaos — 2004,— Vol. 14, no. 7.- P. 2253-2282.

55. Lomeiii H.E. Heteroclinic Orbits and Transport in a Perturbed, Integrable Standard Map / H.E. Lomeiii, J.D. Meiss // Phys. Lett. A— 1999 Vol. 269, no. 5-6.- P. 309-318.

56. Mora, L Abundance of strange attractors / L. Mora, M. Viana // Acta Math.— 1993,- Vol. 171, no. 1,- P. 1-71.

57. Neishtadt, A. The separation of motions in systems with rapidly rotating phase / A. Neishtadt //J. Appl. Math. Mech.- 1984,- Vol. 48.- P. 133139.

58. Newhouse, S.E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks / S.E. Newhouse // Topology 1974,- Vol. 13,- P. 9-18.

59. Newhouse, S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms / S.E. Newhouse // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci.- 1979,- Vol. 50.- P. 101-151.

60. Newhouse, S. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms / S.E. Newhouse, J. Palis, F. Takens // Publ. Math. Inst. Haute Etudes Scientifiques.- 1983.- Vol. 57.- P. 5-72.

61. Pisarevsky, V. Asymptotic normal forms for equilibria with a triplet of zero characteristic exponents in systems with symmetry / V. Pisarevsky, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev // Regular and Chaotic dynamics — 1998.— Vol. 2,- P. 123-135.

62. Shilnikov, L.P. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics, Part I / L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, L.O. Chua // World Scientific.— 1998.

63. Shilnikov, A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model / A.L. Shilnikov // Phijsica D.- 1993,- Vol. 62,- P. 338346.

64. Shilnikov, A.L. Normal forms and Lorenz attractors / A.L. Shilnikov, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Int. J. of Bifurcation and Chaos — 1993.— Vol. 3,- P. 1123-1139.

65. Tatjer, J. С. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies / J.C.Tatjer // Ergod. Th. & Dynam. Sys — 2001.- Vol. 21, no. 1- P. 249-302.

66. Tig an, G. Analytical search for homoclinic bifurcations in the Shimizu-Morioka model / G. Tigan, D.V. Turaev // Physica D: Nonlinear Phenomena- 2011- Vol. 240, no. 12.- P. 985-989.

67. Turaev, D. V. On dimension of non-local bifurcational problems / D.V. Turaev // Bifurcation and Chaos.- 1996 Vol. 6, no. 5 - P. 919-948.Основные публикации автора по теме диссертации

68. Ронченко, С.В. О бифуркациях трехмерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим седло-фокусы / С.В. Гонченко, И.И. Овсянников // Нелинейная динамика.— 2010.— Т. 6, № 1,- С. 61-77.

69. Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщённых отображениях Эно / B.C. Гонченко, И.И. Овсянников // сб. статей "Математика, и кибернетика".— 2003.— С. 101-103.

70. Gonchenko, S. V. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors / S.V. Gonchenko, I.I. Ovsyannikov, C. Simo, D.V. Turaev // Int. J. of Bifurcation and Chaos.— 2005,- Vol. 15.- P. 34933508.

71. Gonchenko, S. V. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation / S.V. Gonchenko, J.D. Meiss, I.I. Ovsyannikov // Regular Chaotic Dyn— 2006.— Vol. 11.— P. 191-212.

72. Gonchenko, V.S. On bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with a homoclinic tangency to a "neutral" saddle fixed point / V.S. Gonchenko, I.I. Ovsyannikov // Зап. иаучн. сем. ПОМИ.— 2003.— Vol. 300,- P. 167-172.