Аналитическое исследование суперпотенциала и динамики скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Юров, Валериан Артемович

• Юров, Валериан Артемович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юров, Валериан Артемович

1 Введение

2 Потенциал полной энергии как суперпотенциал в интегрируемых космологических моделях

2.1 Метод суперпотенциала.

2.2 От \№(ф) к У{ф) со спонтанно нарушенной симметрией -условие (г).

2.3 Инфляция с выходом - условие (11).

2.3.1 Общая модель (2.8).

2.4 Случай IV = ^

2.5 Случай Ж = ^.

2.6 Модели с космологической постоянной - условие (111)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое исследование суперпотенциала и динамики скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией»

5.2 Основной результат .91

5.3 Доказательство Теоремы 5.1 . 94

5.4 Некоторые точные решения.96

5.5 Общий случай . 99

6 Заключение 101

7 Приложение: список публикаций по теме диссертации 104

1 Введение

Актуальность т&иы. Исследование различных моделей скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией является важнейшей задачей современной космологии и теории поля. Так, центральную роль в современном понимании генерации первичных неоднородностей, которые привели к образованию структур во Вселенной, а также в разрешении классических проблем космологии (горизонта, плоскостности, энтропии и других) играет инфляция в ранней Вселенной. В свою очередь инфляция обусловлена наличием некоторого скалярного поля ф (т.н. инфлатона), или набора скалярных полей с достаточно плоским потенциалом самодействия У(ф) 1. Это свойство приводит к существенным затруднениям при попытке идентифицировать поле ф в рамках реалистических моделей элементарных частиц.

Даже отвлекаясь от этих проблем, можно отметить, что и в уже ставшей классической теории инфляции имеется ряд не до конца ясных моментов. В наиболее развитой космологической модели - т.н. теории хаотической инфляции [86] - предполагается, что в ранней вселенной доминировало скалярное поле с минимальной (в простейшем случае) связью, причем плотность энергии была сконцентрирована в потенциале самодействия. При этих условиях удается провести ряд упрощений исходных уравнений, после чего редуцированные уравнения тривиально интегрируются, демонстрируя наличие инфляционной фазы (более точно, квази-де Ситтсровской фазы, в течение которой параметр Хаб-бла можно примерно считать константой) 2. Далее предполагается, что в процессе раздувания кинетический член возрастает до тех пор пока приближение медленного скатывания не перестает действовать. Отсюда делается вывод о самопроизвольном прекращении инфляции (или о выходе из инфляции, на космологическом жаргоне). Следующей фазой должна быть фаза осцилляций, которая необходима для заполнения вселенной, "опустошенной инфляцией", элементарными частицами. Согласно обсуждаемой парадигме, все эти частицы были рождены из вакуума сильно осциллирующим скалярным полем, амплитуда колебаний которого уменьшалась со временем. Произошел вторичный разогрев, после которого вселенная оказалась не только однородной и плоской, но и заполненной горячим веществом. Другими словами на этом этапе можно использовать космологические уравнения Фридмана для вещества с уравнением состояния характерным для электромагнитного поля. Дальнейшая эволюция вселенной должна уже протекать по классическому коэффициенты при высших степенях поля ф2п с п > 2 должны быть чрезвычайно малы.

2Иногда этот подход называют приближением медленного скатывания сценарию: по мере (степенного) расширения вселенная охлаждается; в определенный момент времени происходит отрыв излучения от вещества (момент рекомбинации); далее следует переход на фридмановское расширение по закону двух третей и т.д.

Известно, что самосогласованная система уравнений Эйнштейна и минимально связанного скалярного поля с лагранжианом могут быть представлены различными способами, так как мы имеем три уравнения при двух неизвестных функциях. Рассматриваем для простоты пространственно-плоскую модель однородной и изотропной Вселенной в метрике Фридмана - Робертсона - Уокера 3: в2 = (И2 - а2(£)(112. Система уравнений имеет вид:

Н2 = ±ф2 + У(ф), (1.1) н = -\ф\ (1.2)

Ф + ънф + У{Ф) = о, (1.3) где ф = ф(Ь) - скалярное поле, Н — а/а - параметр Хаббла, а а = а(£) -масштабный фактор. Любое из приведенных трех уравнений может быть получено как следствие (или дифференциальное следствие) оставшихся Двух.

Существует несколько подходов интегрирования данной системы уравнений. В первую очередь стоит отметить прямой метод с заданным потенциалом. В качестве исходных двух уравнений выбираются уравнение Фридмана (1.1) и скалярного поля ф — ф{€) (1.3) (в дальнейшем будем ссылаться на эту пару уравнений, как на систему (1.1), (1.3)). Типичная постановка задачи выглядит следующим образом: проинтегрировать уравнения (1.1), (1.3) для заданного потенциала У(ф). Вид последнего обычно определяется предположениями не связанными с космологией, а именно - физикой элементарных частиц. В этом случае типичными являются модели свободного массивного поля (V = т2ф2/2) или простейшей модели с самодействием (У = А04/4) или наконец V — т2ф2/2 + Хф4/4. К сожалению, во всех этих, естественных с точки зрения физики высоких энергий, моделях, уравнения (1.1), (1-3) оказываются как правило

З3дссь и далее мы пользуемся системой единиц 8ттС/3 = с = 1. неинтегрируемыми и для проведения соответствующего анализа необходимо комбинировать численное изучение с разумными качественными оценками. По этой причине, развитие получило направление математической космологии связанное с изучением интегрируемых задач, служащих упрощенными моделями инфляции. Однако большая часть таких моделей как правило демонстрирует неограниченную в будущем инфляцию, которая прекращается лишь при специальной подгонке параметров.

Вместе с тем, успех инфляционных моделей [129], [72], [85], [5], [96], [75], [130],[97], [86], основанных на реалистичных потенциалах самодействия, создает впечатление, что основные эффекты - инфляция и выход из нее - слабо связаны с формой потенциала в точных уравнениях (1.1), (1.3). Во многом это убеждение основано на использовании приближения медленного скатывания, которое действительно демонстрирует наличие инфляции при самых общих предположениях. Часто полагают, что инфляция автоматически прекращается, как только приближение медленного скатывания перестает выполняться. Тем не менее, многочисленные примеры существования инфляционного режима вне рамок приближения медленного скатывания можно найти в работах [159], [17], [90], [58], [84], [16], [18], [142], [156] 4. Таким образом, вопрос о том насколько существенны приближение медленного скатывания и форма потенциала для наличия инфляции с естественным выходом до сих пор нельзя считать закрытым.

Второй ключевой проблемой современной физики и космологии является обнаружение феномена "темной энергии". Изучение сверхновых типа 1а двумя астрономическими группами в 1998 году продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной заполненной преимущественно бариониым веществом, с параметром адиабатичности 7 равным единице (или ии — 7 — 1 = 0) [116], [120], [121]. Такое дополнительное потускнение означает наличие эффективной добавки расстояния, что, в свою очередь, может быть объяснено наличием положительного ускорения у космологического расширения. Во фридмаповскои вселенной, "темная энергия" приводящая к такому динамическому режиму описывается уравнением состояния с и) = р/(рс2) < —1/3, т.е. приводит к отрицательному давлению. Второй удивительной особенностью "темной энергии" является ее преобладание: около 74% процентов содержимого вселенной оказывается "темной энергией"!

Открытие "темной энергии" позволило решить старую загадку регу

4В работе [143) аналогично исследовались интегрируемые модели на бране и в объемлющем пространстве, снабженном структурой орбиобразия. лярности хаббловских потоков, которая имеет место на малых масштабах, составляющих до 20 Мне. В пределах 20 Мпс нет однородности и изотропии в распределении галактик, которая имеет место начиная с пространственных объемов с характерным масштабом в 200 Мпс, поэтому нельзя и ожидать наличия регулярных хаббловских потоков в таких малых объемах. Тем не менее, астрономические наблюдения уверенно фиксируют наличие таких потоков (с линейной зависимостью скорости от расстояния) уже в пределах местной группы. Более того, оказывается закон Хаббла начинает действовать на расстояниях составляющих несколько Мпс, что фактически необъяснимо, если считать, что динамика наблюдаемой вселенной определяется только видимым, барион-ным веществом. В этом смысле, обнаружение преобладания во вселенной "темной энергии" оказалось долгожданным фактом, устранившим противоречие между наблюдениями, свидетельствующими о наличии регулярного хаббловского потока на расстояниях в несколько Мпс, но отсутствии однородности и изотропии на этих же масштабах.

Тем не менее, обнаружение "темной энергии" не только прояснило некоторые обстоятельства остававшиеся до того непонятными (как в упомянутом выше примере с хаббловскими потоками), но и поставило ряд новых, фундаментальных вопросов. Важнейшем в этом списке является вопрос о физической природе "темной энергии". Обычно различают два варианта возможных ответов: "темная энергия" является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или ^-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или А-члена). Ряд наблюдении свидетельствует, что величина т лежит достаточно близко к минус единице, но, вероятно, не совпадает с ней в точности, оставаясь немного меньше. Другими словами, параметр адиабатичности 7 < 0 и 7 ~ 0. Если 7 = 0 (т = —1), то темная энергия является положительной космологической постоянной. Если же 7 < 0 (ги < —1), то темная энергия оказывается проявлением в высшей степени неожиданной и неизвестной до сих пор космологической составляющей содержимого вселенной: так называемых "фантомов", которые нарушают условие энергодоминантности. Нефизичность фантомов проявляется, например в том, что последние содержат духов кинетический член. Правда, появление полей с такими необычными свойствами вполне естественно в рамках полевой теории струн. Так, эволюция неэкстремальной Б-браны описывается, как переход из нестабильного в стабильное состояние за счет динамики открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. В низшем, тахионном возбуждении используется метод обрезания по уровням [141], [11], что в приближении медленно меняющегося вспомогательного поля приводит к действию, определяющем интегральные уравнения движения, содержащие роллинговое решение Г). В свою очередь, поведение такого решения на больших временах эффективно описывается лагранжианом с духовым знаком кинетического члена, который в космологическом приближении описывает "вещество" с фантомным уравнением состояния w < — 1. Вместе с тем, проведенный в [12] анализ показал, что динамика такой вселенной не приводит к сингулярности большого разрыва, а выходит на асимптотику решения Де Ситтера. Другими словами, в рамках данной модели, фантомы оказываются феноменологическими, эффективными моделями.

Необычность фантомных моделей стимулировала интерес к альтернативным моделям гравитации. Одним из наиболее популярных направлении исследований стали поиски различных модификаций уравнений Эйнштейна, способных дать объяснение наблюдаемому ускорению Вселенной, без использования "темной энергии" [109], [110], [1], [50], [111], [51], [44], [108], [112], [107], [40], [113]. Основная проблема таких теорий заключается в том, что модифицированные уравнения Эйнштейна плохо увязываются с калибровочной природой гравитации.

Другое, альтернативное направление в теории гравитации связанно с гипотезой о переменности некоторых фундаментальных констант. В свое время Поль Дирак обратил внимание на следующее удивительное совпадение: из гравитационной постоянной (7, скорости света с, постоянной Планка h и массы нуклона тn можно образовать безразмерную комбинацию, традиционно обозначаемую асю--, he и это число обратно пропорционально числу нуклонов N в наблюдаемой Вселенной:

1.4)

Объяснение, которое предложил Дирак весьма неортодоксально. Дело в том, что число N зависит от времени, поскольку равно отношению массы всего барионного вещества в наблюдаемой Вселенной к массе одного нуклона. Масса барионного вещества равна плотности помноженной на объем. Плотность для барионов меняется обратно пропорционально квадрату времени, а объем растет пропорционально кубу времени, поэтому суммарная масса всех наблюдаемых барионов растет со временем линейно. Значит и число N растет со временем линейно. С другой стороны, ас считается константой, значит соотношение (1.4) будет верно лишь

5Существование роллинговых решении для обсуждаемого уравнения было определено путем численного интегрирования в [12| в какой то момент времени. Дирак предположил, что (1.4) не может быть просто совпадением и заключил, что ас не константа, а это значит, что по крайней мере одна из четырех величин входящих в ад зависит от времени (он считал, что это G). Позднее, равенство (1.4) было объяснено с использованием слабого антронного принципа (Weak AnLhropic Principle), см. [15], [46] и интерес к этой гипотезе ослаб.

Однако в настоящее время ситуация изменилась. В частности весьма популярны исследования, посвященные возможности того, что постоянная тонкой структуры переменна во времени. В работах [138], [98], [140], [99], посвященных анализу линий поглощения в спектре QSO были впервые получены возможные свидетельства этой переменности. В более поздних работах [128], [118], был проведен повторный анализ наблюдательных данных (с использованием той же методики, см [57]), который, однако не выявил факта переменности. Эти выводы, в свою очередь, были подвергнуты сомнению в работе [37], где отмечено, что наличие переменности "постоянной" тонкой структуры приводит к дополнительному слагаемому в дираковском лагранжиане, без учета которого проведенный анализ данных наблюдения - неверен. Вопрос, таким образом, остается открытым.

Возможная переменность постоянной тонкой структуры (как и, скажем G, см. [49], [32], [33]), в том числе и пространственная (см. [20], [27]) является, конечно, фундаментальнейшим обстоятельством, значимость которого, в случае надежного подтверждения ее существования, трудно даже оценить (см. [20], [94[, [114], [95], [22], [19], [23], [24], [25], [91], [26], [126], [28], [29], [30], [31], [31], [56]). В частности, уже на базе феноменологических моделей с переменной скоростью света рассмотрены необычные и интригующие возможности нового решения космологических проблем плоскостности и горизонта без использования инфляции [29].

Как отмечалось, астрономические данные не позволяют пока определить адиабатический индекс с достаточной точностью. Близость его величины к нулю (т.е. w = — 1) делают популярными и актуальными исследование космологических моделей, в которых роль "темной энергии" играет положительная космологическая постоянная. Такие модели, являясь на первый взгляд более реалистичными 6, чем теории с "фантомной энергией" тем не менее страдают от двух трудностей: 1. Наиболее известна проблема малости космологической постоянной, суть которой в том, что если ускорение вселенной действительно вызвано наличием ненулевого Л-члена в уравнениях Эйнштейна, то это означает наличие ненулевой плотности энергии гравитирующего вакуума. Проблема же заключается в том, что наблюдаемое значение этой плотности сТочиее, менее необычными.

0.7 х Ю-29 г/см3 на пятьдесят (!) порядков меньше чем теоретически ожидаемое значение.

2. Проблема космических совпадений, заключается в том, что наблюдаемые плотности вакуумной энергии, темной материн и барионного вещества по порядку величины совпадают. Это очень странно, поскольку законы изменения со временем разных компонент материи содержащейся во вселенной разные для разных компонент. Например, для темной материи и барионов плотность убывает обратно пропорционально кубу масштабного фактора или квадрату времени; для излучения плотность обратно пропорциональна четвертой степени масштабного фактора, а для вакуумной энергии эта величина вообще постоянна. Разные плотности сравниваются по величине лишь в определенный, достаточно короткий промежуток времени по отношению ко времени существования вселенной. Поскольку мы как раз являемся свидетелями этого совпадения, то возникает естественный вопрос - почему нам, как наблюдателям посчастливилось жить именно в эту, весьма краткую эпоху?

Указанные проблемы получают достаточно удовлетворительное объяснение в рамках использования уже упоминавшегося выше слабого ан-тропного принципа (САП) и космологического мультиверса [15]. Суть идеи может быть выражена следующим образом: во-первых, как показывают расчеты, наличие ненулевой космологической постоянной необходимо для того, чтобы возраст вселенной не оказался слишком мал, во вторых эта величина не может быть слишком большой иначе во вселенной не смогли бы сформироваться галактики. В частности, современная плотность барионов рш и плотность вакуумной энергии ру должны о удовлетворять неравенству ру < рмо (1 + г) , где г - красное смещение. Ясно, что при слишком большой величине ру условие формирования галактик будет выполняться лишь на очень ранней стадии эволюции вселенной, где, однако доминирует излучение, что делает образование галактик невозможным. Полученные числовые оценки по порядку величины подтверждают наблюдаемое значение ру) составляющее 0.7 от критической плотности. Более того, в рамках САП удается непринужденно объяснить проблему "космических совпадений": поскольку большинство звезд расположено в гигантских галактиках, наблюдатель с большой вероятностью должен обнаружить себя именно в такой галактике, среди звезд второго поколения, обогащенных тяжелыми элементами образовавшимися в недрах взорвавшихся звезд первого поколения. Учитывая, что время окончания формирования гигантских галактик определяется величиной космологической постоянной, можно заключить, что мы, будучи типичными наблюдателями (одна из базисных аксиом используемых при работе с антропным принципом) находящиеся в гигантской галактике, должны обнаружить себя как раз на стадии, когда величина плотности энергии гравитирующего вакуума по порядку величины сравнима с плотностью энергии темного вещества, в основном составляющего галактики. Хотя такой подход выглядит разумно и элегантно, тем не менее не прекращаются многочисленные попытки получить малую величину космологической постоянной более традиционным для физики способом, без использования антропного принципа, особенно в его сильной формулировке.

Красивым примером такого подхода является использование теории бран и макроскопически больших внешних измерений. Эффективность этого метода проявляется еще и в том, что эти предположения (рожденные при развитии струнных моделей) позволяют предложить одновременно и способ решения проблемы иерархий. Ключевая идея здесь следующая: рассматривается трехмерная брана вложенная во внешнее объемлющее пространство размерности D, для которого используется термин bulk. Для получения четырехмерного (включая время) действия на бране следует проинтегрировать D-мерное действие по координатам объемлющего пространства. В результате, в простейшем случае эффективная четырехмерная гравитационная постоянная G4 получается делением D + 4-мерной GD+l на соответствующий D-мерный объем, что, при достаточно большой величине макроскопических измерений способно привести к "аномально" малой величине G4.

Аналогично может быть решена проблема малости космологической постоянной: предположим, что пространственный объем bulk-пространства конечен и характеризуется масштабом d. Обычно на объемлющее пространство накладывается геометрия орбиобразия и условия сшивки Из-раэля. Исследования показывают, что при этом эффективная величина четырехмерной космологической постоянной на бране оказывается связанной с D + 4-мерной космологической постоянной посредством множителя типа e~d, что дает элегантное решение фундаментальной проблемы 1.

Более тщательный анализ проблемы показал, что геометрические конфигурации описанного вида вообще говоря неустойчивы, но могут быть стабилизированы путем введения дополнительного скалярного поля в объемлющее пространство. Соответствующие модели, в свою очередь, столкнулись с той трудностью, что полевые уравнения приводили, в том числе, к сингулярным решениям, как в объемлющем пространстве так и на бране. Поэтому весьма актуальной стала задача развития эффективного математического формализма, позволяющего строить регулярные устойчивые решения, приводящие к экспоненциально подавленному значению четырехмерной космологической постоянной на бране.

Решение этой проблемы возможно позволит, не используя рассуждений основанных на использовании антропного принципа ответить на фундаментальный вопрос: почему космологическая постоянная так мала?

Основные задачи. Диссертационная работа направлена на аналитическое исследование моделей скалярного поля, минимально связанного с гравитацией, а также некоторых перспективных альтернативных моделей гравитации, и на развитие нового математического аппарата, позволяющего достаточно просто анализировать эти модели. Подробному изучению были подвергнуты две альтернативы: (I) квантовая космология с переменной скоростью света и (II) модель с положительной космологической постоянной (7 = 0) реализованная на бране. Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:

1. Разработка эффективного метода построения интегрируемых потенциалов самодействия, обладающих тремя свойствами: (¡1) потенциалы спонтанно нарушают симметрию, (и) описывают фазу инфляции с естественным выходом и (111) демонстрируют наличие нескольких последовательных инфляционных фаз.

2. Изучение уравнений Фридмана-Эйнштейна со скалярным полем сведением последних к уравнению Абеля первого рода. Развитие и применение метода функционала полной энергии к интегрированию этих уравнений.

3. Исследование обобщенных моделей Альбрехта - Магуэйджо - Вэрроу (АМБ) с положительными показателями. Анализ соответствия полученных решений данным астрономических наблюдений.

4. Вычисление полу классической вероятности туннелирования в квантовых космологиях, основанных на моделях АМБ и граничных условиях Виленкина. Анализ зависимости вероятности рождения "вселенных" путем квантового туннелирования от величины положительной вакуумной энергии.

5. Получение несингулярного инстантона в модели АМБ со скалярным полем, вносящего основной вклад в евклидов интеграл по путям.

6. Построение регулярных решений с подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране, при наличии пятимерного объемлющего объема заполненного стабилизирующим скалярным полем, методом одномерных изоспектральных симметрий.

7. Обобщение метода изоспектральных симметрий на многомерный случай. Использование этих преобразований для построения и изучения локализованных несингулярных решений (1+3) нелинейных моделей.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту состоят в следующем:

1. Показано, что фиксация суперпотенциала, как полиномиальной функции поля W — IV(ф) позволяет построить в явном виде интегрируемые модели со спонтанно нарушенной симметрией, описывающие инфляцию и естественный выход из нее, без необходимости "тонкой настройки" параметров.

2. Продемонстрировано, что общее решение космологических уравнений Эйнштейна-Фридмана для вселенной, заполненной скалярным полем с известным потенциалом взаимно однозначно связано с общим решением уравнения Абеля первого рода: доказана теорема, позволяющая из известного потенциала скалярного поля У(ф) и решения соответствующего уравнения Абеля первого рода в явном виде получать все остальные космологические параметры, т.е. масштабный фактор a(t) и скалярное поле ф{Ь). Продемонстрированы полученные на базе этой теоремы решения уравнения Фридмана для V = const, V = Уоеа<,1> и потенциалу со спонтанно нарушенной симметрией (1.6).

3. В результате анализа неинтегрируемой модели с квадратичным потенциалом V = т2ф2/2 показано, что данная модель естественным образом приводит к инфляции с выходом, не требующим тонкой подстройки параметров.

4. Показано, что в классе моделей АМБ, полуклассический потенциал в пределе Л —» 0 вырождается в гиперболу, что приводит к существенно новому поведению решений по сравнению с классическими моделями, в которых этот потенциал вырождается в параболу. В частности, квазиклассическая вероятность туннелирования оказывается экспоненциально подавленной для больших значений вакуумной энергии.

5. Построен несингулярный гравитационный инстантон, обладающий 0(4)-инвариантностыо и приводящий к инфляции непосредственно после квантового туннелирования.

6. Показано, что модель браны (или браи) с объемлющим пространством, снабженным структурой орбиобразия и заполненным "bulk" скалярным полем приводит к экспоненциально подавленной на бране редуцированной космологической постоянной.

Т. Приведена новая техника построения решения на бране со всюду регулярными компонентами пятимерного тензора Риччи, основанная на преобразованиях Дарбу.

8. Доказана теорема, позволяющая на базе изоспектральных симметрии строить богатое семейство решений (З-f 1)-мерного обобщения уравнения Бюргерса.

Научная новизна. Метод суперпотенциала впервые приложен к проблеме построения интегрируемых моделей вселенной со скалярным полем, демонстрирующих инфляцию с выходом и содержащих потенциал со спонтанно нарушенной симметрией. Найдены точные решения соответствующих уравнений Фридмана. Впервые построена интегрируемая модель, демонстрирующая две последовательных режима инфляции: один, возникающий в ранней вселенной, другой - на поздних стадиях ее эволюции.

Впервые предложен метод анализа уравнений Фридмана - Эйнштейна путем сведения их к уравнению Абеля первого рода и доказана теорема о наличии взаимооднозначного соответствия между общими решениями этих уравнений. Указанная теорема применена для анализа процедуры выхода из инфляции для моделей с квадратичным потенциалом. Впервые получены новые преобразования Бэклунда для уравнения Абеля.

Впервые в рамках квантовой модели Альбрехта - Магуэйджо - Бэрроу вычислена полуклассическая вероятность туннелировапия (с граничным условием Вилснкина) как функция космологической постоянной. Показано, что полу классическая модель Фридмана-Рачадхаури приводит к экспоненциально подавленным амплитудам с большим значением положительной вакуумной энергии. В рамках теории АМБ, продемонстрировано существование несингулярных 0(4) инстантонов, при наличии скалярного поля. Впервые изучен случай положительных показателей и проведено сравнение с натурными данными. Изучено применение одномерных преобразований Дарбу (ПД) в теории бран и построены новые решения, в том числе решения, содержащие геометрию орбиобразия и экспоненциально подавленную (на видимой бране) космологическую постоянную.

Впервые изучен аналог трехмерных ПД на интегрируемой модели, допускающей одномерную редукцию в уравнение Бюргерса. Для этой системы впервые представление Лакса и найдены точные несингулярные решения возникающие вследствие баланса нелинейности и диссипации (трехмерные диссипативные структуры). Описана процедура "одевания" решений одномерного уравнения Бюргерса, позволяющая получать трехмерные диссипативные структуры. Впервые описаны преобразования Бэклунда между нелинейными уравнения, справедливыми для произвольной размерности.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертации могут иметь важное значение сразу в нескольких областях космологии. С одной стороны, развитый автором во второй и третьей главах метод супсрпотен-циала позволяет построить интегрируемые модели со спонтанно нарушенной симметрией, демонстрирующие нескольких фаз инфляции, при этом для исследования выхода из первой из них очень удобными оказываются теоремы, доказанные в третьей главе, поскольку их приложение требует минимального использования численного ресурса. Помимо этого, вышеуказанные теоремы дают новую и важную информацию о свойствах уравнения Абеля, что безусловно представляет интерес для математических исследований в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Не менее важное значение результаты диссертации могут иметь в деле построения построении моделей ранней вселенной с учетом квантовых эффектов. Обнаруженные автором и описанные в четвертой главе свойства полу классических амплитуд могут оказаться важными при решении проблемы аномальной малости космологической постоянной. Не исключено, что некоторые эффекты, описанные во этой главе, способны дать решение проблемы плоскостности, альтернативное к решению, предлагаемому в рамках инфляционной парадигмы. Методы построения точных решений нятимерных уравнений Эйнштейна при наличии браны (последний раздел четвертой главы) тоже выглядят достаточно эффективными для решения проблемы космологической постоянной. Наконец, многие частные и общие результаты диссертационной работы могут иметь важное (в том числе) практическое значение в теории интегрируемых систем, гидромеханике и теории диссипативных структур (пятая глава).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции, посвященной 90-летию высшего рыбохозяйственного образования в России "Инновации в науке и образовании" (Калининград, 2003), IV Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии (экологическая физика)" (Москва, 2004), Конференции молодых ученых (Калининград, 2006), семинаре математического отделения Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2008-2009), Конференции преподавателей, аспирантов и студентов "Дни Науки 2010" (Калининград, 2010), 2nd International Conference (school-seminar) on the Dynamics of Coastal Zone of Non-Tidal Seas (Baltiysk, 2010), Международной конференции "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики" (Москва, 2010).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в восемнадцати публикациях.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы (159 наименований), содержит 8 рисунков и одну таблицу. Общий объем диссертации - 115 страниц.

Содерэ/сание работы. Во Введении отражены актуальность проблемы, цель исследования, основные положения, выносимые на защиту, показана их научная новизна и практическая значимость.

В Главе II предлагается эффективный метод построения интегрируемых потенциалов самодействия, которые, с одной стороны, спонтанно нарушают симметрию, с другой - описывают фазу инфляции с естественным выходом и, кроме того, демонстрируют наличие нескольких последовательных инфляционных фаз. Первое условие мы рассматриваем, как желательное для возможности качественного согласования механизма инфляции с физикой элементарных частиц. Второе, как необходимый ингредиент теории инфляции. Третье служит для согласования теории с данными современных наблюдений.

В первом параграфе вводится новая величина: суперпотенциал = + (1.5) и показывается, что все остальные космологические параметры (масштабный фактор а, скалярное поле ф и потенциал У(ф)) явным образом выражаются из ИЛ Приведены вычисления для частного случая \¥{ф) = Хф4/4: показано, что этот гамильтониан соответствует потенциал}' со спонтанно нарушенной симметрией

У(Ф) = ^ - (1.6)

Суперпотенциал со спонтанно нарушенной симметрией рассматривается в §2. Изучен соответствующий ему потенциал

Аф* т2ф2 2 (Хф2 + /п2) 2 4 2 9 (Хф2 + 2т2)' [ } в частности, показано, что симметрия этого потенциал будет в свою очередь нарушена при правильном выборе констант А и т.

В §3 найдено точное решение уравнений Фридмана с вышеуказанным потенциалом. Показано, что это решение демонстрирует наличие инфляционного режима с выходом. Частные случаи А = 0 и т2 = О рассмотрены соответственно в §4, 5.

В §6 параграфе построена точная модель, демонстрирующая также и вторичное ускорение на поздней стадии эволюции вселенной. С этой целью рассмотрен суперпотенциал

W = А 2 и найдены соответствующие этому потенциалу решения уравнений Фридмана. Показано, что условие Л < 2т2/9 гарантирует устойчивость расширения по отношению к малым возмущениями на поздней стадии расширения.

В Главе III предлагается новый подход к изучению космологических уравнений Эйнштейна-Фридмана для вселенной, заполненной скалярным полем, основанный на применении уравнения Абеля первого рода.

Общая постановка задачи излагается в первом параграфе. §2 посвящен основной теореме этой главы, позволяющей из известного потенциала скалярного поля У(ф) и решения соответствующего уравнения Абеля первого рода в явном виде получить все остальные космологические параметры, т.е. масштабный фактор a(t) и скалярное поле ф{€). Продемонстрировано полученное на базе этой теоремы решение уравнения Фридмана для V — const. В §3 приведены записанные в каноническом виде уравнения Абеля для потенциалов вида У{ф) — Хф11/п, У{ф) = Л^4/4 + т2ф2/2, У{ф) = const и У{ф) — Уое6^а^, при а = const. Для последних двух случаев также продемонстрированы соответствующие космологические решения.

В результате анализа неинтегрируемой модели с квадратичным потенциалом У = т2ф2/2 в §4 показано, что данная модель естественным образом приводит к инфляции с выходом, не требующим тонкой подстройки параметров.

В заключительной части третьей главы произведено обращение вышеописанной процедуры с целью построения автопреобразований Бэк-лунда для уравнения Абеля.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Юров, Валериан Артемович

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Показано, что введение суперпотенциала W как полиномиальной функции поля W = \У{ф) позволяет неожиданно просто строить интегрируемые модели со спонтанно нарушенной симметрией, описывающие инфляцию и естественный выход из нее, причем не требуя для этого "тонкой настройки" параметров. В частности, подробно изучены модели, построенные на базе суперпотенциалов (2.7) и (2.17) и найдены точные условия, обеспечивающие наличие у моделей указанных двух свойств, а для (2.17) - также и наличие вторичного режима инфляции на заключительной стадии эволюции вселенной. Кроме того, для первого суперпотенциала были также исследованы предельные случаи А = 0 и т2 = 0 и найдены соответствующие им времена инфляции и количества е-фолдов, а для второго суперпотенциала было показано, что условие А < 2т2/9 гарантирует устойчивость расширения по отношению к малым возмущениями на поздней стадии расширения (в частности во время второй инфляции, которую переживает вселенная в настоящее время).

2. Продемонстрировано, что общее решение космологических уравнений Эйнштейна-Фридмана для вселенной, заполненной скалярным полем с известным потенциалом взаимно однозначно связано с общим решением уравнения Абеля первого рода: доказана теорема, позволяющая из известного потенциала скалярного поля У(ф) и решения соответствующего уравнения Абеля первого рода в явном виде получать все остальные космологические параметры, т.е. масштабный фактор a(t) и скалярное поле 0(i) . Продемонстрированы полученные на базе этой теоремы решения уравнения Фридмана для V = const, V — Vqc01^ и потенциалу со спонтанно нарушенной симметрией (1.6).

В результате анализа неинтегрируемой модели с квадратичным потенциалом V = т2ф2/2 показано, что данная модель естественным образом приводит к инфляции с выходом, не требующим тонкой подстройки параметров.

В заключительной части четвертой главы произведено обращение вышеописанной процедуры с целью построения автопреобразований Бэк-лунда для уравнения Абеля.

3. Известно, что в рамках туннелирующей волновой функции во вселенной с к — +1, заполненной излучением (w = 1/3) и ненулевой вакуумной энергией (ад = — 1) уравнение (4.8) оказывается эквивалентным уравнению движения частицы энергии Е, двигающейся в потенциале (4.11), а вся динамику рождения вселенной описывается в три этапа: появление вселенной с а ~ 0, последующее расширение её до максимального радиуса а затем - туннелирование через потенциальный барьер в режим неограниченного расширения с "начальным" значением масштабного фактора а = щ. В данной работе показано, что при зависимости скорости света от масштабного фактора вида с = ва71 вероятность рождения Вселенной путем туннелирования оказывается / 0 если (1) п < —2 или (11) п > — 1.

В первом случае полученное точное решение для показателя экспоненты полуклассической вероятности туннелирования р позволяет сделать вывод, что р —» 0 при больших значениях А > 0 и наоборот: р 1 при А —» 0. Таким образом, вероятность получения (посредством квантового туннелирования через потенциальный барьер) новой вселенной, находящейся в режиме неограниченного расширения, оказывается чрезвычайно подавленной для больших значений А и соответственно малых

- исходного масштабного фактора а7- = у/3/(2б\п(6/2)\/Л). Аналогичным образом себя ведут модели с —1 < п < —2/3. Возникающая при этом проблема возникновения потенциалов, неограниченных снизу при устремлении а —> 0 решается двумя способами: использованием соотношения неопределенности для масштабного фактора (и канонически сопряженного с ним импульса) и построением точных инстантонных решений. В первом случае при —2 < п < — 1 соотношение неопределенности запрещает ''падение на центр", тем самым устраняя космологическую сингулярность Большого Взрыва. Во втором случае показано, что при п > —1/5 существует несингулярный гравитационный инстантон, обладающий 0(4)-инвариантностыо, причем приводящий к инфляции непосредственно после туннелирования.

Наличие инфляционного режима также характеризует и случай п > 0 для вселенной, заполненной пылью (ад — 0); более того, такой режим возникает уже на ПОСЛЕДНЕЙ стадии эволюции вселенной, хорошо удовлетворяя современным наблюдательным данным. Кроме того, показано, что этот же случай позволяет естественным образом решать проблему плоскостности, а во вселенных, заполненным фантомными полями

- приводит к интересной возможности избежания сингулярности Большого Разрыва введением сингулярности еще одного типа - т.н. Большого Исхода.

4. Если астрономические наблюдения покажут, что параметр адиабатич-ности ускоряющейся вселенной равен нулю, то возникнет проблема объяснения малости наблюдаемой космологической постоянной, по сравнению с теоретически предсказанной величиной. Показано, что модель бра-ны (или бран) с объемлющим пространством, снабженным структурой орбиобразпя и заполненным "bulk" скалярным полем приводит к экспоненциально подавленной на бране редуцированной космологической постоянной. Кроме того, оказывается, что используя преобразование Дарбу для квадрата "bulk" масштабного фактора можно строить решения со всюду регулярными компонентами пятимерного тензора Риччи.

5. Ввиду того, что большая часть изученных полностью интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных имеют размерность 1+1, а для размерностей d> 2 существующие теории сталкиваются с фундаментальными трудностями равно алгебраического и геометрического характера, большой интерес представляют те нелинейные уравнения в частных производных, для которых существует соответствующая пара Лакса. Основываясь на этом идее, в последней главе было рассмотрено (3 + 1)-мерпое нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, в одномерном пределе переходящее в знаменитое уравнение Бюргерса. Показано, что это уравнение (а) полностью интегрируемо и (б) допускает класс дискретных симметрий, аналогичных преобразованию Дарбу, т.е. для их реализации необходимо знание точных решений пары Лакса. Доказана теорема, позволяющая на базе этих симметрий строить богатое семейство решений исследуемого уравнения; в частности, выполнить "одевание"уравнения Бюргерса.

Для более общего случая показано, что описанная выше процедура типа преобразования Дарбу позволяет сконструировать преобразование Бэклунда между различными эволюционными уравнениями, тем самым позволяя генерировать некоторые точные решения этих уравнений.

6 Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юров, Валериан Артемович, 2010 год

1. M.C.B. Abdalla, S. Nojiri, S. D. Odintsov, Class.Quant.Grav. 22 (2005) L35 hep-th/0409177],

2. N.H. Abel. Oeuvres Complètes II. S.Lie and L.Sylow, Eds., Christiana 1881.

3. M. J. Ablowitz, H. Segur. Harvey Solitons and the inverse scattering transform. SIAM Studies in Applied Mathematics, 4. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1981. x+425 pp.

4. M. Abramowitz and I. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions." Dover Publications Inc., New York, 1046 p., (1965).

5. A. Albrecht, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48 719(1982) 719.

6. A. Albrecht and J. Magueijo, Phys. Rev. D59, 043516 (1999)astro-ph/9811018j; J.D. Barrow, Phys. Rev. D59, 043515 (1999).

7. A.A. Andrianov, N.V. Borisov and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(105) 19 (1984); A.A. Andrianov, N.V. Borisov M.I. Eides and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(109) 143 (1984).

8. A.A. Andrianov, F. Cannata, A.Y. Kamenshchik. Smooth dynamical (de)-phantomization of a scalar field in simple cosmological models. Phys. Rev. D72 (2005) 043531.

9. P. Appell. Sur les invariants de quelques équations différentielles. Journal de Math. (4) 5 (1889) 361-423.

10. I. Ya. Aref'eva, S. Yu. Vernov, A.S. Koshelev, Theor. and Math. Phys. 148 (2006) 23.

11. Aref'eva I.Ya, Medvedev P.B., Zubarev A.P. Nucl. Phys. B341 (1990) 464.

12. Aref'eva I.Ya, Koshelev A.S., Joukovskaya L.V. JHEP 0309 (2003) 012.

13. I.Ya. Aref'eva, A.S. Koshelev, and S.Yu. Vernov, Phys. Rev. D 72 (2005) 064017, astro-ph/0507067.

14. V. Bargmann, Rev. Mod. Phys. 21, 488-493 (1949).

15. John D. Barrow, Frank J. Tipler, Anthropic cosmological principle (Clarendon Press, Oxford; Oxford University Press, New York, 1986).

16. J. D. Barrow and P. Saich, Class. Q. Grav. 10 (1993) 279.

17. J.D. Barrow. Exact Inflationary Universes With Potential Minima. Phys.Rev. D49 (1994) 3055.

18. P. Parson and J. D. Barrow, Class. Q. Grav. 12 (1995) 1715.

19. John D. Barrow. Unusual Features of Varying Speed of Light Cosmologies, Phys.Lett. B564 (2003) 1-7 gr-qc/0211074].

20. John D. Barrow. Cosmological Bounds on Spatial Variations of Physical Constants, Phys.Rev. D71 (2005) 083520 astro-ph/0503434],

21. John D. Barrow, Dagny Kimberly, Joao Magueijo. Bouncing Universes with Varying Constants, Class.Quant.Grav. 21 (2004) 4289-4296 astro-ph/0406369].

22. John D. Barrow, D. F. Mota. Gauge-Invariant Perturbations of Varying-Alpha Cosmologies, Class.Quant.Grav. 20 (2003) 2045-2062 gr-qc/0212032.

23. John D. Barrow. Constants and Variations: From Alpha to Omega, Astrophys. Space Sci. 283 (2003) 645-660 gr-qc/0209080.

24. John D. Barrow, David F. Mota. Qualitative Analysis of Universes with Varying Alpha, Class.Quant.Grav. 19 (2002) 6197-6212 gr-qc/0207012.,

25. J.D. Barrow, J. Magueijo, H.B. Sandvik. A Cosmological Tale of Two Varying Constants, Phys.Lett. B541 (2002) 201-210 astro-ph/0204357.,

26. J.D. Barrow, H.B. Sandvik, J. Magueijo. The Behaviour of Varying-Alpha Cosmologies, Phys.Rev. D65 (2002) 063504 astro-ph/0109414.,

27. John D. Barrow, Chris O'Toole. Spatial Variations of Fundamental Constants, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 322 (2001) 585 astro-ph/9904116.

28. John D. Barrow, Joao Magueijo. Solving the Flatness and Quasi-flatness Problems in Brans-Dicke Cosmologies with a Varying Light Speed, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 1435-1454 astro-ph/9901049.

29. John D. Barrow, Joao Magueijo. Solutions to the Quasi-flatness and Quasi-lambda Problems, Phys. Lett. B447 (1999) 246 astro-ph/9811073.

30. John D. Barrow, Joao Magueijo. Varying-o; Theories and Solutions to the Cosmological Problems, Phys. Lett. B443 (1998) 104-110 astro-ph/9811072.

31. John D. Barrow. Cosmologies with Varying Light-Speed, astro-ph/9811022.

32. John D. Barrow. Varying G and Other Constants, Lecture notes. Erice Summer School 'Current Topics in Astrofundamental Physics' 4-15 September 1997 gr-qc/9711084.,

33. John D. Barrow, Paul Parsons. The Behaviour Of Cosmological Models With Varying-G, Phys.Rev. D55 (1997) 1906-1936.

34. D. Bazeia, M.J. dos Santos, and R.F. Ribeiro, Phys. Lett. A 208 (1995) 84-88, hep-th/0311265.

35. D. Bazeia, C.B. Gomes, L. Losano, and R. Menezes, Phys. Lett. B 633 (2006) 415-419, astro-ph/0512197.

36. D. Bazeia, L. Losano, J.J. Rodrigues, First-order formalism for scalar field in cosmology, hep-th/0610028.

37. J. D. Bekenstein, astro-ph/0301566 (2003).

38. R. Bousso and A. Linde, gr-qc/9803068.

39. A. Brandhuber and K. Sfetsos, JHEP 9910 (1999) 013, hep-th/9908116.

40. F. Briscese, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov. Phantom scalar dark energy as modified gravity: understanding the origin of the Big Rip singularity. Phys.Lett. B646 (2007) 105-111 hep-th/0612220.

41. R.R. Caldwell, Phys. Lett. B 545, 23-29 (2002) astro-ph/9908168.

42. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski, N.N. Weinberg. Phantom Energy and Cosmic Doomsday. Phys.Rev. Lett. 91 (2003) 071301.

43. S. Cappoziello, S. Nojiri and S.D. Odintsov, Phys. Lett. B 634, 93 (2006) hep-th/0512118.

44. S. Capozziello, S. Nojiri, S.D. Odintsov, A. Troisi. Cosmological viability of f(R)-gravity as an ideal fluid and its compatibility with a matter dominated phase. Phys. Lett. B639 (2006) 135-143 astro-ph/0604431.

45. Carroll S.M., Hoffman M., Trodden M. Phys. Rev. D68 (2003) 023509 astro-ph /0301273.

46. B. Carter, in Confrontation of cosmological theories with observation, ed. M. S. Longair (Reidel, Dordrecht, 1974), p. 291.

47. S.V.Chervon, V.M.Zhuravlev, V.K.Shchigolev. New exact solutions in standard inflationary models. Phys.Lett. B398 (1997) 269-273.

48. J. D. Cole. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics. Quart. Appl. Math. 9 (1951) 225-236.

49. T. Clifton, J. D. Barrow, R. J. Scherrer. Constraints on the Variation of G from Primordial Nucleosynthesis, Phys.Rev. D71 (2005) 123526 astro-ph/0504418.

50. G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Zerbini, JCAP 0502 (2005) 010 hep-th/0501096.

51. G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Zerbini, Phys.Rev. D73 (2006) 084007 hep-th/0601008].52 5354