Новые классы решений в инфляционной и фантомной космологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Асташёнок, Артем Валерьевич

• Асташёнок, Артем Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Асташёнок, Артем Валерьевич

Введение

1 Метод линеаризации и новые классы решений в инфляционной космологии

1.1 Введение.

1.2 Процедура линеаризации.

1.3 Примеры точных решений.

2 Новые классы решений в фантомной космологии и явление большого перехода

2.1 Введение.

2.2 Космологические модели с фантомной энергией в виде газа Чаплыгина и BF-сингулярность.

2.3 Квантовое описание BF-сингулярности

2.4 Решение для вселенной, заполненной газом Чаплыгина и темной материей.

2.5 Явление большого перехода.

2.6 Решение, содержащее переход от суперраздувания к коллапсу.

2.7 Большой переход и уравнение Уилера-Де Витта.

3 Космологические модели без горизонтов событий и принцип самосогласованности

3.1 Введение.

3.2 Метод линеаризации и космологические модели без горизонтов событий.

3.3 Примеры точных решений.

3.3.1 В-модели

3.3.2 R-модели

3.3.3 BR-модели в плоском пространстве.

3.3.4 Л-модели

3.4 Преобразование Дарбу и космологические модели без горизонтов событий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые классы решений в инфляционной и фантомной космологии»

Актуальность темы. Диссертационная работа направлена прежде всего на исследование новых инфляционных моделей в космологии и моделей со скалярной материей, описывающих темную энергию в виде газа Чаплыгина, которые согласовывались бы с набором наблюдаемых данных (величиной параметра Хаббла, величиной космологического ускорения). Одной из важных проблем в теории инфляции является проблема выхода из нее. Также в работе рассмотрены вопросы, связанные с построением космологической модели, которая описывала бы наблюдаемую Вселенную и в то же время была бы свободна от нестыковок с фундаментальными теориями (в частности, с теорией струн).

1) Одним из важных требований, накладываемых на теории ранней Вселенной современными наблюдательными данными, является существование инфляционного этапа в развитии Вселенной, когда масштабный фактор увеличивался экспоненциально быстро. Однако, физические причины, породившие этап инфляции, до конца не выяснены. На этот счет имеется ряд различных гипотез. Поэтому является актуальной проблема выяснения условий, при которых возникает инфляция, важно выяснить общие свойства модели самодействующего скалярного поля, характеризующие этап инфляции. Сложность исследований, однако, в том, что известно не так много точных решений космологических уравнений, не всегда существует адекватное приближение. В настоящей работе предложен метод, позволяющий построить новый класс точных космологических моделей, содержащих фазу инфляции и выход из нее без точной настройки параметров. Метод основан на сведений уравнений Эйнштейна

Фридмана к линейному уравнению второго порядка. В работе проведены исследования полученных моделей и показано, что инфляционная фаза является достаточно общим свойством решений космологических уравнений.

2) Одним из важнейших открытий в физике и космологии последних лет является обнаружение феномена "темной энергии". Изучение сверхновых типа 1а продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной заполненной преимущественно барионным веществом. Физическую причину этого дополнительного ускорения принято называть "темной энергией", причем по данным наблюдений она составляет не меньше 70 процентов содержимого вселенной. Темная энергия описывается уравнением состояния w = р(р<? < —1/3, где р - давление, р - плотность вещества, заполняющего вселенную.

Открытие "темной энергии" позволило решить старую загадку регулярности хаббловских потоков, которая имеет место на малых масштабах, составляющих до 20 Мпс. В пределах 20 Мпс нет однородности и изотропии в распределении галактик, которая имеет место начиная с пространственных объемов с характерным масштабом в 200 Мпс, поэтому нельзя и ожидать наличия регулярных хаббловских потоков в таких малых объмах. Тем не менее, астрономические наблюдения уверенно фиксируют наличие таких потоков (с линейной зависимостью скорости от расстояния) уже в пределах местной группы. Более того, оказывается закон Хаббла начинает действовать на расстояниях составляющих несколько Мпс, что фактически необъяснимо, если считать, что динамика наблюдаемой вселенной определяется только видимым, барионным веществом. В этом смысле, обнаружение преобладания во вселенной "темной энергии" оказалось долгожданным фактом, устранившим вопиющее противоречие между наблюдениями, свидетельствующими о наличии регулярного хаббловского потока на расстояниях в несколько Мпс, но отсутствии однородности и изотропии на этих же масштабах.

Как обычно бывает с фундаментальными физическими открытиями, обнаружение "темной энергии" не только прояснило некоторые обстоятельства остававшиеся до того непонятными (как в упомянутом выше примере с хаббловскими потоками), но и поставило ряд новых вопросов. Важнейшем в этом списке является вопрос о физической природе "темной энергии". Обычно различают два варианта возможных ответов: "темная энергия" является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или fc-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или А-члена). Оба варианта имеют своих сторонников и противников, как среди астрономов, интерпретирующих наблюдательные данные, так и среди космологов-теоретиков, использующих в качестве аргументации различные физические соображения берущие начало в квантовой теории поля и даже в теории струн.

Разумеется, решающее слово в этом вопросе принадлежит астрономам, "непосредственно измеряющим" параметр w. Наблюдения свидетельствуют, что величина w может быть вполне быть меньше минус единицы. Если w < —1, то темная энергия оказывается проявлением в высшей степени неожиданной и неизвестной до сих пор космологической составляющей содержимого вселенной: так называемой "фантомной энергии".

Наличие "фантомной энергии" приводит к целому ряду фундаментальных проблем. Во-первых, "фантомная энергия" нарушает условие энергодоминантности. В рамках моделей квинтэссенции, "фантомная энергия" описывается как некоторое скалярное поле с отрицательным кинетическим членом. Очевидно, что с точки зрения классической теории поля, существование такого объекта невозможно, поэтому мы приходим к совершенно неожиданному заключению: "фантомная энергия" должна быть сугубо квантовым объектом, не допускающим классического описания. Революционность этого заключения очевидна: это первый пример квантового явления оказывающего воздействие даже не на макро-, а на мегауровне. Более того, вследствии нарушения слабого энергетического условия, "фантомная энергия" ведет себя совершенно нетипично, что выражается в росте плотности энергии фантомной компоненты в процессе расширения вселенной. На первый взгляд такое поведение нарушает законы термодинамики. Это не так. Тщательное изучение вопроса показало, что с термодинамической точки зрения фантомная энергия должна характеризоваться отрицательной абсолютной температурой. При этом и первое и второе начало термодинамики остаются верными, в частности, в процессе расширения энтропия фантомной компоненты возрастает.

Тем не менее, рост плотности энергии "фантомной энергии" в процессе расширения вселенной показывает, что эффекты квантовой гравитации, которые обычно считались существенными окрест начальной или финальной космологической сингулярности а —»■ 0, могут стать доминирующими на поздних стадиях эволюции вселенной, причем не на планковских, а на макроскопических масштабах. Это совершенно неизбежно, даже если на ранних стадиях эволюции вселенной, вклад "фантомной энергии" в полный тензор энергии-импульса был пренебрежимо мал. В свою очередь, возможность проявления эффектов квантовой гравитации на мегауровне приводит к совершенно необычным заключениям, в частности возможности нарушения причинности на макроскопических масштабах. Наконец, скорость расширения вселенной, в которой доминирует "фантомная энергия" растет настолько быстро, что через конечное время после начала ускорения, компоненты тензора кривизны становятся бесконечными. Возникает финальная сингулярность совершенно нового типа, соответствующая не нулевому, а бесконечно большому значению масштабного фактора. Этот новый тип сингулярности получил название "большого разрыва".

Из сказанного становится очевидным, что признание реальности "фантомной энергии" влечет за собой колоссальные изменения в космологических сценариях будущего развития вселенной. Таким образом, становится актуальным изучение космологических моделей, содержащих фантомную энергию. В работе наиболее подробно рассмотрены модели с фантомной энергией в виде газа Чаплыгина.

3) Открытие факта, ускоренного расширения вселенной поставило перед научным сообществом ряд важных проблем. Мало просто объяснить, что является причиной наблюдаемого эффекта: ненулевая космологическая постоянная' или фантомная энергия. И то, и другое объяснение порождают новые проблемы, которые заставляют пересмотреть многие представления, считающиеся базовыми. Возможно, необходимо пересмотреть саму стратегию отбора космологических моделей для адекватного описания нашей вселенной.

Если считать, что в качестве темной энергии выступает космологическая постоянная, то это означает наличие режима де Ситтера, что приводит к трудностям при формулировке теории струн или гипотетической М-теории, так как будущая динамика вселенной ограничена горизонтом событий.

В некоторых моделях фантомной энергии горизонта событий удается избежать, и в этом случае не возникает проблемы формулировки фундаментальной теории в конечном объеме. Однако, фантомная энергия, как сказано выше, сама по себе представляет собой объект, объяснение которого в рамках теоретической физики пока выглядит проблематично.

Интересно также, что предположение о том или ином характере будущей эволюции Вселенной приводит к наблюдаемым следствиям в настоящем. На первый взгляд это кажется парадоксальным. Однако следует учесть, что в релятивистской физике пространство и время составляют единую реальность. Если, скажем, четырехмерный объем вселенной достаточно велик, то в ней на протяжении всей эволюции должны будут доминировать квантовые флуктуации (так называемые "больцмановские мозги"), хотя вероятность их возникновения на единицу этого объема ничтожно мала. Если считать, что наша вселенная будет расширяться неограниченно долго, то мы должны быть этими самыми квантовыми флуктациями! Но это явно не согласуется с наблюдениями.

Указанных выше проблем удается избежать, если предположить, что вселенная i) оканчивает свое существование в финальной сингулярности на стадии сжатия и (ii) не содержит горизонта событий. В работе предложен метод, который автоматически приводит к таким моделям.

Основные задачи. Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:

1. Разработка математической техники, позволяющей строить космологические модели, содержащие фазу инфляции и выход из нее без точной настройки параметров.

2. Исследование новых классов решений в инфляционной космологии, полученных с помощью разработанного формализма.

3. Изучение новых космологических моделей, описывающих темную энергию в виде газа Чаплыгина и содержащих сингулярность типа "big freeze". Анализ соответствия этих решений данным астрономических наблюдений.

4. Исследование эффекта "большого перехода" с помощью формализма уравнения Уилера-де Витта.

5. Получение условий, ограничивающих класс космологических моделей, адекватных наблюдаемой Вселенной, исходя из принципа согласованности, выдвинутого в диссертационной работе.

6. Изучение новых космологических решений, не содержащих горизонтов событий.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Развит метод построения решений уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана, использующий сведение космологических уравнений к уравнению Шредингера (процедура линеаризации). Аналогичная процедура предложена и для космологических уравнений на бране Рэндалл-Сэндрум.

2. Обнаружено, что для полученных с помощью техники линеаризации трехпараметрических решений характерны наличие инфляционной фазы и выхода из нее без тонкой подстройки параметров. Это указывает на то, что явление инфляции типично в космологии. С помощью метода, предложенного в работе, удалось построить и решение, содержащее две фазы инфляции, разделенные стадией неинфляционного расширения. Возможно, это позволит в будущем построить модель, описывающую эволюцию вселенной в целом, а не отдельные этапы ее существования.

3. Показано, что модель темной энергии в виде газа Чаплыгина позволяет построить класс реалистичных космологических моделей, способных описывать нашу Вселенную.

4. Установлено, что некоторые космологические модели могут быть вполне согласованы с наблюдательными данными, если считать, что такие вселенные испытывают большой переход во время своей эволюции. Это расширяет класс реалистичных космологических сценариев. Удалось показать, что если процесс большого перехода реализуется, то для большинства вселенных после такого перехода параметр состояния w = -1/3.

5. Доказано, что с помощью метода линеаризации удается строить космологические модели, содержащие фазу суперраздувания, которая, однако, не приводит к сингулярности "большого разрыва".

6. Предложен новый способ поиска космологических моделей, описывающих наблюдаемую Вселенную. Существующих противоречий между данными космологических наблюдений и определенными физическими закономерностями можно избежать, если считать, что реализуются лишь те космологические модели, которые свободны от противоречий (самосогласованные модели). В частности, это приводит к ограничениям на время жизни наблюдаемой Вселенной и к необходимости отсутствия горизонтов событий.

7. Обнаружено, что описанный в работе метод линеаризации позволяет при определенных условиях строить решения, которые можно назвать "самосогласованными". При этом потенциал самодействующего скалярного поля ведет себя так, как характерно для струнных моделей.

Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь важное значение при построении космологических моделей, описывающих инфляцию (глава 1), а также моделей, учитывающих наличие фантомной энергии (глава 2). Основное достоинство метода линеаризации, предложенного в работе, состоит в том, что он безо всякой тонкой настройки параметров приводит к решениям, содержащим инфляцию и выход из нее. Явление "большого перехода" может оказаться чрезвычайно существенным для построения новых моделей инфляции при наличии фантомной энергии. Наконец, выдвинутый принцип самосогласованности (глава 3) может иметь важное значение как методологический инструмент в космологии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии GRACOS-2007 (Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казань, Россия, 2007).

2. Международная конференция "Problems of Practical Cosmology" (С.-Петербург, Россия, 2008).

3. 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13 (Российский университет дружбы народов, Москва, Россия, 2008).

Результаты также докладывались и обсуждались на семинаре кафедры теоретической физики (РГУ им. И. Канта, Калининград, Россия, 2008).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в пяти публикациях.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (94 наименования), содержит шесть рисунков и девять таблиц. Общий объем диссертации - 109 страниц.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Асташёнок, Артем Валерьевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Уравнения Эйнштейна-Фридмана путем несложных математических преобразований можно свести к уравнению Шредингера для функции ап с "потенциалом", пропорциональным п2р — Зп(р + р/с2)/2. Для произвольного п это можно сделать только для плоского пространства, если же п — 1, то линеаризация возможна и для пространства-времени с произвольной кривизной. Процедура линеаризации может быть проведена и для космологических уравнений на бране.

2. Получаемые благодаря методу линеаризации трехпараметрические семейства решений демонстрируют наличие инфляционных режимов и выхода из них при весьма общих предположениях и безо всякой подгонки параметров. Это служит дополнительным указанием на то, что инфляция не является реализуемым лишь на весьма ограниченном классе моделей. Напротив, режим инфляции можно считать достаточно обычным явлением в космологии. Трехпараметрические могут демонстрировать несколько последовательных фаз инфляции. Наличие таких решений можно рассматривать, как косвенное указание на возможность существования единой, реалистичной модели, содержащей как инфляционный режим (с выходом без тонкой настройки) на стадии ранней вселенной, так и более позднюю инфляцию, которую вселенная, возможно, переживает сейчас.

3. Показано, что в определеных аспектах модель фантомной энергии в виде газа Чаплыгина может рассматриваться как адекватная современной Вселенной.

4. Явление большого перехода открывает возможность нетривиальной интерпретации некоторых космологических решений и расширяет класс космологических моделей, совместных с наблюдениями. Путем анализа уравнения Уилера-де Витта доказано, что, если процесс большого перехода реализуется, то для большинства вселенных после такого перехода параметр состояния w — —1/3.

5. Метод линеаризации позволяет строить решения, описывающие фазу суперраздувания и выход из нее, что позволяет избежать сингулярности большого разрыва.

5. Предложен новый принцип отбора космологических моделей, позволяющий по-новому взглянуть на стратегию поиска модели наблюдаемой Вселенной.

6. Предложенный в работе метод линеаризации позволяет при определенных условиях строить решения, не содержащие в будущем горизонтов событий, что позволяет говорить о 11 согласованности"данных моделей. При приближении к финальной сингулярности параметр уравнения состояния ги —> —1/3, а потенциал самодействующего скалярного У(ф) —»■ е-1"*6, что характерно для струнных моделей.

7. Использование преобразований Дарбу позволяет строить богатые семейства точных решений, описывающих "согласованные" космологические модели.

Благодарности

В заключении автор считает своим долгом выразить благодарность научному руководителю Артему Валериановичу Юрову за постоянное внимание и поддержку в работе над диссертацией.

Также автор благодарит оппонентов, Сергея Викторовича Червона и Наталью Анатольевну Кострикову, за ценные замечания и дополнения, высказанные при обсуждении работы.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Асташёнок, Артем Валерьевич, 2009 год

1. В.М. Журавлев, С.В. Червон, В.К. Щиголев, ЖЭТФ 114, 406 (1998).

2. A.V. Yurov, Phantom Scalar Fields Result in Inflation Rather Than Big5 Rip, astro-ph/0305019.

3. С.Д. Верещагин, A.B. Юров, ТМФ 139, 405 (2004).

4. A.V. Yurov, V.A. Yurov, Phys. Rev. D 72, 026003 (2005).

5. A.A. Andrianov, F. Cannata, A.Y. Kamenshchik, Phys. Rev. D 72, 043531 (2005).

6. A.V. Yurov, A.V. Astashenok, V.A. Yurov, The dressing procedure for the cosmological equations and the indefinite future of the universe, astro-ph/0701597v3.

7. P.F. Gonzalez-Diaz, Phys. Rev. Lett. 93, 071301 (2004).

8. S. Perlmutter et al, Nature 391, 52 (1998).

9. A.G. Riess et al., Astron. J 116, 1009 (1998).

10. S. Perlmutter et al., Astron. J 517, 565 (1999).

11. U. Alam et al., Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 354, 275 (2004).

12. B. Feng, X.L. Wang, X.M. Zhang, Phys. Lett. B607, 35 (2005).

13. S. Hannestad, E. Mortsell, Phys. Rev. D66, 063508 (2002).

14. D. Huterer, A. Cooray, Phys. Rev. D71 023506 (2005).

15. J. Jonsson, A. Goobar, R. Amanullah, L. Bergstrom, JCAP09, 007 (2004).

16. U. Seljake* al., Phys. Rev. D71, 103515 (2005).

17. M. Tegmark et al. Collaboration], Phys. Rev. D69, 103501 (2004).

18. Aguirregabiria J.M., Cimento L.P., Lazkoz R. gr-qc/0403157]

19. Сера J. Astron. Astrophys. 422 (2004) 831.

20. Chimento L.P., Lazkoz R. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 211301.

21. Dabrowski M.P., Stachowiak Т., Szydlowski M. Phys. Rev. D68 (2003) 067301.

22. Elizalde E., Quiroga H. Mod. Phys. Lett. A19 (2004) 29.

23. Elizalde E., Nojiri S., Odintsov S. Phys. Rev. D70 (2004) 043539.

24. Faraoni V. Phys. Rev. D69 (2004) 123520.

25. Gibbons G.W. hep-th/0302199].

26. Guo Z.-K., Piao Y.-S., Zhang Y.-Z. Phys. Lett. B606 (2005) 7.

27. Hao J.G., Li X. Z. Phys. Rev. D67 (2003) 107303.

28. Hao J.G., Li X.Z. Phys. Rev. D68 (2003) 043501; 083514.

29. John V.B. Phys. Rev. D70 (2004) 041303.

30. Li X.Z. , Hao J.G. Phys. Rev. D69 (2004) 107303.

31. Liu D.J., Li X.Z. Phys. Rev. D68 (2003) 067301.

32. Lu H.Q. Int. J. Mod. Phys. D14 (2005) 355.

33. Mclnnes В. JHEP 0208 (2002) 029.

34. Meng X.H., Wang P. hep-ph/0311070].

35. Nojiri S., Odintsov S.D. Phys. Lett.B562 (2003) 147.

36. Nojiri S., Odintsov S.D. Phys. Lett.B565 (2003) 1.

37. Nojiri S., Odintsov S.D. Phys. Lett.B571 (2003) 1.

38. Piao Y.S., Zhou E. Phys. Rev. D68 (2003) 083515.

39. Piao Y.S., Zhang Y.Z. Phys. Rev. D70 (2004) 063513.

40. Piazza F., Tsujikawa S. JCAP 0407 (2004) 004.

41. Sami M., Toporensky A. Mod. Phys. Lett A19 (2004) 1509.

42. Schulz A.E., White M.J. Phys. Rev. D64 (2001) 043514.

43. Singh P., Sami V., Dadhich N. Phys. Rev. D68 (2003) 023522.

44. Stefancic H. Phys. Lett. B586 (2004) 5.

45. Stefancic H. Eur. Phys. J. C36 (2004) 523.

46. Szydlowski M., Krawiec A., Zaja W. Phys. Rev. E72 (2005) 036221.

47. Wei Y.-H., Tian Y. Class. Quant. Grav. 21 (2004) 5347.

48. S.M. Carroll, M. Hoffman, M. Trodden, Phys. Rev. D68, 023509 (2003).

49. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski, N.N. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 91, 071301 (2003).

50. R.R. Caldwell, Phys. Lett. B545, 23 (2002).

51. H.-P. NiHes, Phys. Rep. 110 (1984) 1-162.

52. M.D. Pollock, Phys. Lett. B215 (1988) 635-641.

53. И.Я. Арефьева, С.Ю. Вернов, A.C. Кошелев, ТМФ 148 (2006) 23.

54. A. Sen, Int. J. Mod. Phys. A, 20:24 (2005) 5513.

55. V. Sahni and Y. Shtanov, astro-ph/0202346].

56. A.V. Yurov, P.M. Moruno, P.P. Gonzalez-Diaz, Nucl. Phys. B759 (2006) 320-341.

57. A.V. Yurov, astro-ph/0305019].

58. A.A. Starobinsky, Gravit. Cosmol. 6, 157 (2000), astro-ph/9912054.

59. P.F. Gonzdlez-Diaz, Phys. Lett. B586, 1 (2004).

60. P.F. Gonz&lez-Diaz, Phys. Rev. D69, 063522 (2004).

61. S. Nojiri, S.D. Odintsov, Phys. Rev. D70, 103522 (2004).

62. M. Bouhmadi-Lopez, P. F. Gonzalez-Diaz, and P. Martin-Moruno, gr-qc/0612135vl.

63. S. Nojiri, S. D. Odintsov and S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 71, 063004 (2005), hep-th/0501025.

64. M. Bouhmadi-Lopez and J. A. Jimenez Madrid, JCAP 0505, 005 (2005), astro-ph/0404540.

65. I. M. Khalatnikov, Phys. Lett. В 563, 123 (2003).

66. A. Y. Kamenshchik, U. Moschella and V. Pasquier, Phys. Lett. В 511, 265 (2001) arXiv:gr-qc/0103004].

67. S. Cappoziello, S. Nojiri and S.D. Odintsov, Phys. Lett. В 634,93 (2006), hep-th/0512118.

68. F.S.N. Lobo, Phys. Rev. D71, 084011 (2005).

69. P.F. Gonzdlez-Diaz, Phys. Lett. B632, 159 (2006).

70. P.F. Gonzalez-Diaz, Phys. Lett. B635, 1 (2006).

71. А.Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология, М.: Наука (1990).

72. Е. Witten, Nucl. Phys. В268, 253 (1986).

73. I.Ya Aref'eva, P.B. Medvedev, A.P. Zubarev, Nucl. Phys. B341, 464 (1990).

74. I.Ya Aref'eva, A.S. Koshelev, L.V. Joukovskaya, JHEP 0309, 012 (2003).

75. V. Faraoni, No 'big trip" for the universe, gr-qc/0702143vl.

76. P.F.Gonzdlez-Diaz, P. Martm-Morano, Wormholes in accelerating universe, 0704.1731vl astro-ph].

77. A. Borde, A. Guth, A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 90, 151301 (2003).

78. Pedro F. Gonz.alez-Diaz, and Jose A. Jimenez-Madrid, Phys. Lett. B596 (2004) 16-25.

79. А.Д. Чернин, УФН 171, 1154 (2001).

80. Т. Banks, Cosmological Breaking of Supersymmetry, hep-th/0007146.

81. E. Witten, Quantum Gravity in De Sitter Space, hep-th/0106109.

82. X.-G. He, Accelerating Universe and Event Horizon, astro-ph/0105005 .

83. Pedro F. Gonzalez-Diaz, Fundamental Theories in a Phantom Universe, hep-th/0411070.

84. M. Li, Phys. Lett. В 603, 1 (2004).

85. Don N. Page, The Lifetime of the Universe, hep-th/0510003.

86. A.V. Yurov, V.A. Yurov, One more observational consequence of many-worlds quantum theory, hep-th/0511238.

87. N. Goheer, M. Kleban, L. Susskind, JHEP 07, 056 (2003).

88. S. Kachru, R. Kallosh, A. Linde, S.P. Trivedi, Phys. Rev. D 68, 046005 (2003).

89. S. Kachru, J. Pearson, H. Verlinde, JHEP 06, 021 (2002).

90. И.Д. Новиков, В.П. Фролов, УФН 171, 307 (2001).

91. G. Darboux, С. R. Acad. Sci. (Paris) 94, 1456 (1882, French).

92. G. Darboux, Thedrie generale des surfaces, New York: Chelsea (1972).

93. V.B. Matveev, M.A. Salle, Darboux Transformation and Solitons, Berlin-Heidelberg: Springer Verlag (1991).

94. M.M. Crum, Quart. J. Math. Oxford 6 no. 2, 121 (1955).