Исследование космологий скалярной материи методом спектрального дизайна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.23, доктор физико-математических наук Юров, Артем Валерианович

• Юров, Артем Валерианович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Юров, Артем Валерианович

1 Введение

2 Гладкая фантомизация

2.1 Построение интегрируемых моделей в метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера.

2.2 Точно решаемые космологические модели.

2.3 Постановка задачи.

2.4 Простейшая модель

2.5 Преобразование Дарбу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование космологий скалярной материи методом спектрального дизайна»

3.2 Фантомная квинтэссенция.50

3.3 Космологические решения с двумя большими разрывами . 52

3.4 Большой переход и гигантские черные дыры в симметричном решении .60

3.5 Мосты в прошлое и будущее .65

3.6 Заключение по главе 3.73

4 Флуктуации 76

4.1 Преобразование Дарбу и тахионная нестабильность . 77

4.1.1 Плоский спектр и ПД.78

4.1.2 Реконструкция потенциала У(ф).81

4.2 Реконструкция потенциала со спонтанно нарушеной симметрией по данным рассеяния для флуктуаций.84

4.2.1 Формулировка задачи реконструкции.86

4.2.2 Солитонные потенциалы.90

4.2.3 Случай двух связанных состояний.95

4.2.4 Общий случай безотражательного потенциала . 98

4.3 Порождение связанных состояний пространственно- временной некоммутативностью и физика процессов окрест ВИ,-сингулярности.99

4.3.1 ВЯ-сингулярность и ограничение Бекенштейна . 99

4.3.2 Постановка задачи.102

4.3.3 Уравнение для флуктуаций.103

4.3.4 Кинк модели фА "со звездой" .103

4.3.5 Сингулярные решения модели фА .107

4.3.6 Экспоненциальный потенциал и модель этЬ-Гордон 107

4.3.7 Уравнение синус-Гордон.110

4.4 Преобразование Дарбу в некоммутативной теории.110

4.5 Заключение по главе 4.113

5 Применение преобразований Дарбу для построения несингулярных решений на бране и в объемлющем пространстве 116

5.1 Преобразование Дарбу и условия сшивки.119

5.2 Однократное одевание RS браны.124

5.3 Развитие метода.126

5.4 Обобщение моделей с нечетным суперпотенциалом: ПД на фоне гармонического осциллятора.128

5.5 Одевающие цепочки и Четвертое уравнение Пен леве как обобщение нечетного суперпотенциала.130

5.6 Модели с космологическим расширением.132

5.7 Метод функций Грина.137

5.8 Заключение по главе 5.139

6 Преобразование Дарбу и его обобщения 140

6.1 Сопряженные цепочки уравнений Кадомцева- Петвиашвили 141

6.1.1 Одевающие цепочки I-рода для уравнений КП. . . . 142

6.1.2 Одевающие цепочки П-рода для уравнений КП. . . 145

6.2 Цепочки уравнений БЛП.147

6.3 Цепочки нелинейного уравнения Шредингера и уравнений

ДС.!.149

6.3.1 Модифицированные НУШ.151

6.3.2 Цепочки дискретных симметрий уравнений ДС . . . 155

6.4 Уравнение Дирака.160

6.4.1 Преобразование Дарбу для уравнения Дирака . . . 160

6.4.2 Итерации преобразований Дарбу для уравнения Дирака .163

6.5 Преобразования Бэклунда-Шлезингера для уравнений Дэви Стюартсона.166

6.5.1 Явное автопреобразование для уравнений ДС . . . 167

6.5.2 Построение точных решений уравнений ДС.168

6.5.3 Матричные уравнения ДС.171

6.6 Новвю локализованные решения уравнений ДС-1.173

6.7 Построение локализованных решений уравнений ДС с помощью преобразования Дарбу .176

6.7.1 Одевание дромионов.176

6.7.2 ДС-П: Эволюция первоначально локализованного импульса .180

6.8 Двумерные уравнения гидромеханики.184

6.8.1 Двумерные уравнения Эйлера .185

6.8.2 Примеры точных решений уравнения Эйлера . 187

6.8.3 Двумерное течение несжимаемой вязкой жидкости . 192

7 Заключение 195

8 Благодарности 199

9 Приложение А: О методе "двойного преобразования Дарбу" в квантовой космологии 201

10 Приложение В: список публикаций по теме диссертации207

1 Введение

Актуальность темы. Можно смело утверждать, что самым важным открытием в физике и космологии последних лет является обнаружение феномена "темной энергии". Изучение сверхновых типа 1а продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной заполненной преимущественно барионным веществом, с параметром адиабатичности 7 равным единице (или ио — 7 — 1 = 0). Такое дополнительное потускнение означает наличие эффективной добавки расстояния, что, в свою очередь, может быть объяснено наличием положительного ускорения у космологического расширения. Во фрид-мановской вселенной, "темная энергия" приводящая к такому динамическому режиму описывается уравнением состояния сю — р/ (рс2) < —1/3, т.е. приводит к отрицательному давлению. Второй удивительной особенностью "темной энергии" является ее преобладание: не меньше чем 70 процентов содержимого вселенной оказывается "темной энергией"!

Открытие "темной энергии" позволило решить старую загадку регулярности хаббловских потоков, которая имеет место на малых масштабах, составляющих до 20 Мпс. В пределах 20 Мпс нет однородности и изотропии в распределении галактик, которая имеет место начиная с пространственных объемов с характерным масштабом в 200 Мпс, поэтому нельзя и ожидать наличия регулярных хаббловских потоков в таких малых объмах. Тем не менее, астрономические наблюдения уверенно фиксируют наличие таких потоков (с линейной зависимостью скорости от расстояния) уже в пределах местной группы. Более того, оказывается закон Хаббла начинает действовать па расстояниях составляющих несколько Мпс, что фактически необъяснимо, если считать, что динамика наблюдаемой вселенной определяется только видимым, барионным веществом. В этом смысле, обнаружение преобладания во вселенной "темной энергии" оказалось долгожданным фактом, устранившим вопиющее противоречие между наблюдениями, свидетельствующими о наличии регулярного хаббловского потока на расстояниях в несколько Мпс, но отсутствии однородности и изотропии на этих же масштабах.

Как обычно бывает с фундаментальными физическими открытиями, обнаружение "темной энергии" не только прояснило некоторые обстоятельства остававшиеся до того непонятными (как ¡5 упомянутом выше примере с хаббловскими потоками), но и поставило ряд новых вопросов. Важнейшем в этом списке является вопрос о физической природе "темной энергии". Обычно различают два варианта возможных ответов: "темная энергия" является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или ^-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или Л-члена). Оба варианта имеют своих сторонников и противников, как среди астрономов, интерпретирующих наблюдательные данные, так и среди космологов-теоретиков, использующих в качестве аргументации различные физические соображения берущие начало в квантовой теории поля и даже в теории струн.

Разумеется, решающее слово в этом вопросе принадлежит астрономам, "непосредственно измеряющим" параметр т. Наблюдения свидетельствуют, что величина ъи лежит достаточно близко к минус единице, но, вероятно, не совпадает с ней в точности, оставаясь немного меньше. Другими словами, параметр адиабатичности 7 < 0 и 7 ~ 0. Если 7 = 0 (ъи = —1), то темная энергия является положительной космологической постоянной. Если же 7 < 0 {уо < — 1), то темная энергия оказывается проявлением в высшей степени неожиданной и неизвестной до сих пор космологической составляющей содержимого вселенной: так называемой "фантомной энергии".

Наличие "фантомной энергии" приводит к целому ряду фундаментальных проблем. Во-первых, "фантомная энергия" нарушает условие энергодоминантности. В рамках моделей квинтэссенции, "фантомная энергия" описывается как некоторое скалярное поле с отрицательным кинетическим членом. Очевидно, что с точки зрения классической теории поля, существование такого объекта невозможно, поэтому мы приходим к совершенно неожиданному заключению: "фантомная энергия" должна быть сугубо квантовым объектом, не допускающим классического описания. Революционность этого заключения очевидна: это первый пример квантового явления оказывающего воздействие даже не на макро-, а на мегауровне. Более того, вследствии нарушения слабого энергетического условия, "фантомная энергия" ведет себя совершенно нетипично, что выражается в росте плотности энергии фантомной компоненты в процессе расширения вселенной. На первый взгляд такое поведение нарушает законы термодинамики. Это не так. Тщательное изучение вопроса показало, что с термодинамической точки зрения фантомная энергия должна характеризоваться отрицательной абсолютной температурой. При этом и первое и второе начало термодинамики остаются верными, в частности, в процессе расширения энтропия фантомной компоненты возрастает.

Тем не менее, рост плотности энергии "фантомной энергии" в процессе расширения вселенной показывает, что эффекты квантовой гравитации, которые обычно считались существенными окрест начальной или финальной космологической сингулярности а —>• 0, могут стать доминирующими на поздних стадиях эволюции вселенной, причем не на план-ковских, а на макроскопических масштабах. Это совершенно неизбежно, даже если на ранних стадиях эволюции вселенной, вклад "фантомной энергии" в полный тензор энергии-импульса был пренебрежимо мал. В свою очередь, возможность проявления эффектов квантовой гравитации на мегауровне приводит к совершенно необычным заключениям, в частности возможности нарушения причинности на макроскопических масштабах. Наконец, скорость расширения вселенной, в которой доминирует "фантомная энергия" растет настолько быстро, что через конечное время после начала ускорения, компоненты тензора кривизны становятся бесконечными. Возникает финальная сингулярность совершенно нового типа, соответствующая не нулевому, а бесконечно большому значению масштабного фактора. Этот новый тип сингулярности получил название "большого разрыва".

Из сказанного становится очевидным, что признание реальности "фантомной энергии" влечет за собой колоссальные изменения в космологических сценариях будущего развития вселенной. Не менее серьезный вызов стоит и перед теоретической физикой - физическая природа "фантомной энергии" остается весьма загадочной. Однако, следует отметить, что появление такого рода объекта может быть мотивировано следующими тремя обстоятельствами:

1. Во-первых, изучение уравнений Эйнштейна неожиданно продемонстрировало существование феномена "гладкой фантомизации". Этим термином называют ситуацию, когда слабое энергетическое условие нарушается с течением времени просто в силу динамики предсказываемой уравнениями Фридмана. Более того, оказалось, что такое поведение, в известном смысле, типично для общих решений указанных уравнений, параметризованных двумя произвольными константами. Можно сказать, что уравнения Эйнштейна предсказывают возможность появления режимов доминирования "фантомной энергии" в некоторый момент времени, даже если до этого момента все энергетические условия выпонялись. Отсюда следует, что изучение космологических сценариев с наличием "фантомной энергии" представляло бы интерес даже в отсутствие прямых астрономических указаний на их наличие. Тем более актуальной становится задача при наличии такого рода наблюдений.

2. Во-вторых, как показали недавние исследования, существование "фантомной энергии", может оказаться весьма желательным для специалистов работающих в области теории струн или М-теории. Дело в том, что, если наблюдаемое ускорение вселенной порождено ненулевой космологической постоянной, то мы являемся свидетелями перехода динамики вселенной от степенной фридмановской фазы расширения к экспоненциальной де Ситтеровской фазе. В случае мира де Ситтера, вся будущая динамика наблюдаемой вселенной ограничена горизонтом событий Дд = с/Н, где Н - постоянная Хаббла. В этом случае возникает активно обсуждаемая проблема о том, каким образом можно сформулировать фундаментальную теорию (например, теорию струн или гипотетическую М-теорию) в конечном объеме [20], [203], [97]. Трудность здесь в том, что традиционный аппарат, основанный на использовании Б-матрицы, по-видимому, не может быть математически корректно использован в такой ситуации. Не исключено, что непротиворечивое описание возможно лишь при -й/г — оо.

Фантомная энергия", на первый взгляд еще больше усиливает эти затруднения, поскольку, как несложно убедиться, космологический горизонт событий при приближении к сингулярности "большого разрыва" стремится к нулю. Однако оказывается, что в рамках фантомных кос-мологий возможено совершенно неожиданное решение этой проблемы, а именно явление нового типа получившее название "большого перехода". Принципиальную роль в этом сценарии будущей эволюции вселенной играют решения уравнений Эйнштейна, известные как "кротовые норы" или кротовины. Хорошо установлено, что такие решения являются неустойчивыми по отношению к квантовым поправкам и требуют для своей стабилизации нарушения условия энергодоминантности внутри горловины (например, за счет использования эффекта Казимира). Ситуация драматически меняется при рассмотрении вселенной заполненной "фантомной энергией", которая сама по себе нарушает это условие. Расчеты показывают, что "фантомная энергия" стабилизирует кротовые норы и более того, аккреция "фантомной энергии" приводит к гиперболическому росту размера горловины (в сферически симметричном случае) кротовины. Эта скорость настолько велика, что через конечное время, размер горловины оказывается бесконечным, причем этот момент предшествует появлению сингулярности "большого разрыва". В этих услових вся породившая кротовую нору вселенная оказывается внутри горловины. Поясним это.

Описанная выше ситуация кажется на первый взгляд противоречивой. Действительно, если вселенная относится к открытому типу, то она обладает бесконечным пространственным объемом. В этом случае неясно, каким образом вся вселенная может уместиться внутри горловины. Если же вселенная замкнута, то само представление, что что-то может быть больше вселенной представляется нонсенсом. Тем не менее это не так: описанная картина вселенной расположенной внутри "разросшейся" горловины может быть понята в рамках популярной среди космологов теории космологического мультиверса.

Согласно теории хаотической инфляции, существуют области (так называемые "пакетные вселенные"), которые постоянно расширяются, будучи поддерживаемы квантовыми флуктуациями [124]. Внутри таких областей можно определить гиперповерхность постоянного времени, так что свойства вселенной на этой гиперповерхности будут одинаковы. Замечательным является то, нетривиальное обстоятельство, что для наблюдателя расположенного на гиперповерхности и "смотрящего изнутри", вселенная оказывается пространственно бесконечной 1. Вторая ключевая идея - выбрать в качестве переменной "время" величину инфлатонного поля ф. Этот подход был предложен и развит в работах А. Вилепкина и К0 (см. например [198], [195]), поэтому в дальнейшем будем ссылаться на него как на калибровку Виленкина. Можно определять гиперповерхности постоянного времени иначе, например в синхронной системе [127]. В дальнейшем будем называть такой способ определения переменной "время" калибровкой Линде. В калибровке Линде, пространственные размеры пакетных вселенных оказываются конечными. Можно даже оценить характерное расстояние между соседними пакетными вселенными. Так в модели А(/>4/4 эта величина составляет

U ~ 103(X"VA~1/3, в естественной системе единиц [124]. Таким образом, в калибровке Линде, процесс заключения "пакетной вселенной" в кротовину внутри мульти-верса не приводит к логическому противоречию.

Дальнейшая эволюция вселенной в такой картине сводится к перемещению вселенной как целого внутри кротовой норы в "прошлое " или "будущее". Изучение возможных режимов такого "большого перехода" показывает, что вполне допустима ситуация при которой вселенная, проходя через гигаитсткую кротовину избегает области сингулярности "большого разрыва". Более того, как показали исследования, в этом случае космологические горизонты событий не возникают, а значит исчезает и проблема формулировки фундаментальной теории (М-теории), основанной на формализме S-матрицы. Поэтому, пространство-время описанное выше, несмотря на всю свою необычность, а стало быть и такие экзотические объекты, такие как кротовые норы и "фантомная энергия" могут оказаться принципиально необходимыми для самой возможности математически корректной формулировки М-теории.

3. В-третьих, оказывается модели с "фантомной энергией" могут быть непротиворечиво сформулированы (даже на уровне сегодняшнего, низко

1 Бесконечный внутренний объем появляется так же, как это имеет место в пузырях Колмена -де Лючия (Coleman-de Luccia bubbles) [48], внутренняя часть которых является открытой фридма-новской вселенной. го понимания физики "фантомной энергии") лишь при выполнении ряда весьма жестких условий. В частности, параметр адиабатичности должен принимать счетное число значений 2. Несмотря на то, что физическая природа таких дополнительных условий пока совершенно неясна, их наличие является весьма позитивным для космологии, уменьшая степень произвола в выборе параметров моделей, часть из которых определяется исходя из, скажем антропных соображений, а в в ряде случаев невозможно обойтись без тонкой настройки параметров (как это имеет место в точно решаемых космологических моделях описывающих инфляцию с выходом). Можно надеяться, что исследования космологий с "фантомной энергией" позволят уменьшить число подгонок, к которым зачастую приходится прибегать для получения картины вселенной похожей на наблюдаемую.

Следует подчеркнуть, что появление полей с духовым кинетическим членом вполне естественно в рамках нолевой теории струн. Так, эволюция неэкстремальной Э-браны описывается, как переход из нестабильного в стабильное состояние за счет динамики открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. В низшем, тахионном возбуждении используется метод обрезания по уровням [201], [16], что в приближении медленно меняющегося вспомогательного поля приводит к действию, определяющем интегральные уравнения движения, содержащие роллинговое решение 3. В свою очередь, поведение такого решения на больших временах эффективно описывается лагранжианом с духовым знаком кинетического члена, который в космологическом приближении описывает "вещество" с фантомным уравнением состояния ъи < — 1. Проведенный в [17] анализ показал, что динамика такой вселенной не приводит к сингулярности большого разрыва, а выходит на асимптотику решения Де Ситтера. Вместе с тем, можно показать, что при определенных значениях параметров модели, в ней остается возможным явление "большого перехода".

Все вышесказанное подчеркивает актуальность исследований космологических моделей содержащих "фантомную энергию", как для собственно космологии, так и для исследований в области теоретической физики посвященных построению финальной физической теории - М-теории.

Как отмечалось, астрономические данные не позволяют пока определить адиабатический индекс с достаточной точностью. Близость его величины к нулю (т.е. т = — 1) делают популярными и актуальными

2Иногда об этом обстоятельстве говорят как о "предквантовании" уравнения состояния.

3 Существование роллинговых решений для обсуждаемого уравнения было определено путем численного интегрирования в [17] исследование космологических моделей, в которых роль "темной энергии" играет положительная космологическая постоянная. Такие модели, являясь на первый взгляд более реалистичными 4, чем теории с "фантомной энергией" тем не менее страдают от трех весьма фундаментальных трудностей:

1. Наиболее известна проблема малости космологической постоянной, суть которой в том, что если ускорение вселенной действительно вызвано наличием ненулевого Л-члена в уравнениях Эйнштейна, то это означает наличие ненулевой плотности энергии гравитирующего вакуума. Проблема же заключается в том, что наблюдаемое значение этой плотности 0.7 х 1С)"29 г/см3 на пятьдесят (!) порядков меньше чем теоретически ожидаемое значение.

2. Проблема космических совпадений, заключается в том, что наблюдаемые плотности вакуумной энергии, темной материи и барионного вещества по порядку величины совпадают. Это очень странно, поскольку законы изменения со временем разных компонент материи содержащейся во вселенной разные для разных компонент. Например, для темной материи и барионов плотность убывает обратно пропорционально кубу масштабного фактора или квадрату времени; для излучения плотность обратно пропорциональна четвертой степени масштабного фактора, а для вакуумной энергии эта величина вообще постоянна. Разные плотности сравниваются по величине лишь в определенный, достаточно короткий промежуток времени по отношению ко времени существования вселенной. Поскольку мы как раз являемся свидетелями этого совпадения, то возникает естественный вопрос - почему нам, как наблюдателям посчастливилось жить именно в эту, весьма краткую эпоху?

3. Наличие положительной космологической постоянной означает наличие режима де Ситтера, что плохо согласуется с существующими струнными моделями. В настоящее время найдено много точных анти-де Сит-теровских решений, с отрицательной величиной космологической постоянной, однако найти де Ситтеровские решения в рамках теории струн оказалось неожиданно сложно. Более того, ряд теоретиков вообще высказывает серьезные сомнения в возможности существования таких решений.

Опуская третью проблему, как относящуюся к компетенции теории струн, отметим, что первые две молучают достаточно удовлетворительное объяснение в рамках использования антропного принципа (АП) и космологического мультиверса. Суть идеи может быть выражена следующим образом: во-первых, как показывают расчеты, наличие ненулевой космологической постоянной необходимо для того, чтобы возраст

4Точнее, менее необычными. вселенной не оказался слишком мал, во вторых эта величина не может быть слишком большой иначе во вселенной не смогли бы сформироваться галактики. В частности, современная плотность барионов рмо и плотность вакуумной энергии pv должны удовлетворять неравенству Pv < Рмо + z) > гДе z " красное смещение. Ясно, что при слишком большой величине pv условие формирования галактик будет выполняться лишь на очень ранней стадии эволюции вселенной, где. однако доминирует излучение, что делает образование галактик невозможным. Полученные числовые оценки по порядку величины подтверждают наблюдаемое значение pV) составляющее 0.7 от критической плотности. Более того, в рамках АП удается непринужденно объяснить проблему "космических совпадений": поскольку большинство звезд расположено в гигантских галактиках, наблюдатель с большой вероятностью должен обнаружить себя именно в такой галактике, среди звезд второго поколения, обогащенных тяжелыми элементами образовавшимися в недрах взорвавшихся звезд первого поколения. Учитывая, что время окончания формирования гигантских галактик определяется величиной космологической постоянной, можно заключить, что мы. будучи типичными наблюдателями (одна из базисных аксиом используемых при работе с антропным принципом) находящиеся в гигантской галактике, должны обнаружить себя как раз на стадии, когда величина плотности энергии гравитирую-щего вакуума по порядку величины сравнима с плотностью энергии темного вещества, в основном составляющего галактики. Хотя такой подход выглядит разумно и элегантно, тем не менее не прекращаются многочисленные попытки получить малую величину космологической постоянной более традиционным для физики способом, без использования антроп-ного принципа, особенно в его сильной формулировке.

Красивым примером такого подхода является использование теории бран и макроскопически больших внешних измерений. Эффективность этого метода проявляется еще и в том, что эти предположения (рожденные при развитии струнных моделей) позволяют предложить одновременно и способ решения проблемы иерархий. Ключевая идея здесь следующая: рассматривается трехмерная брана вложенная во внешнее объемлющее пространство размерности D. для которого используется термин bulk. Для получения четырехмерного (включая время) действия на бране следует проинтегрировать D-мерное действие по координатом объемлющего пространства. В результате, в простейшем случае эффективная четырехмерная гравитационная постоянная G4 получается делением D + 4-мерной Gd+a на соответствующий D-мерный объем, что, при достаточно большой величине макроскопических измерений способно привести к "аномально" малой величине G4.

Аналогично может быть решена проблема малости космологической постоянной: предположим, что пространственный объем Ьи1к~пространства конечен и характерезуется масштабом с1. Обычно на объемлющее пространство накладывается геометрия орбиобразия и условия сшивки Из-раэля. Исследования показывают, что при этом эффективная величина четырехмерной космологической постоянной на бране оказывается свя-заной с О + 4-мерной космологической постоянной посредством множителя типа е~с1, что дает элегантное решение фундаментальной проблемы 1.

Более тщательный анализ проблемы показал, что геометрические конфигурации описанного вида вообще говоря неустойчивы, но могут быть стабилизированы путем введения дополнительного скалярного поля в объемлющее пространство. Соответствующие модели, в свою очередь, столкнулись с той трудностью, что полевые уравнения приводили, в том числе, к сингулярным решениям, как в объемлющем пространстве так и на бране. Поэтому весьма актуальной стала задача развития эффективного математического формализма, позволяющего строить регулярные устойчивые решения, приводящие к экспоненциально подавленному значению четырехмерной космологической постоянной па бране. Решение этой проблемы возможно позволит, не используя рассуждений основанных на использовании антропного принципа ответить на фундаментальный вопрос: почему космологическая постоянная так мала?

Основные задачи. Диссертационная работа направлена на исследование моделей "темной энергии" с и) < — 1, которые согласовывались бы с набором наблюдаемых данных (величиной параметра Хаббла, величиной космологического ускорения), а также последствий возможного существования областей пространства-времени с нарушенным условием энергодоминантности для космологии и теоретичекой физики. В соответствии с результатами астрономических наблюдений подробному изучению были подвергнуты только две модели: (I) модель "фантомной энергии" с отрицательный параметром адиабатичности и (II) модель с положительной космологической постоянной (7 = 0). Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:

1. Исследование явления гладкой фантомизации и способов избежать нарушения слабого энергетического условия.

2. Изучение двух симметричных космологических решений (одного в обычной фридмановской космологии, а второго на бране Рэндал-Сэндрум I с доминированием "фантомной энергии") содержащих две сингулярности типа "большой разрыв". Анализ соответствия этих решений данным астрономических наблюдений.

4. Исследование эффектов "большого перехода", "гигантских черных дыр" и возникновения замкнутых времениподобных кривых в решениях такого типа. В частности изучался вопрос: проявляются ли указание феномены только окрест сингулярности будущего или они могут существовать около обеих сингулярностей.

5. Анализ зависимости формирования плоского спектра флуктуаций скалярного поля в процессе тахионной неустойчивости от формы потенцис1Л с1.

6. Задача восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по "однопетлевому" потенциалу используемому для расчета вакуумных флуктуаций.

7. Исследование особенностей спектра квантовых флуктуаций около классических решений, порожденных наличием пространственно-временной некоммутативности, особенно для сингулярных решений характерных для космологических моделей с сингулярностью "большого разрыва".

8. Построению регулярных решений с подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране, при наличии пятимерного объемлющего объема заполненного стабилизирующим скалярным полем.

9. Развитие метода одевающих цепочек дискретных симметрии (используемых, в частности для решения задачи 8) для для многомерных моделей и генерация новых интегрируемых (1+2) иерархий.

10. Построение изоспектральных симетрий для линейных уравнений с мояловским умножением, используемых в задаче 7.

11. Использование многомерных преобразований Дарбу для построения и изучения локализованных несингулярных решений (1+2) нелинейных моделей (ДС, БЛП). Построение йордановых обобщений уравнений Дэви-Стюартсона.

12. Изучение обобщения преобразований Бэклунда, которые были бы эффективны для неинтегрируемых моделей, (не допускающих пару Лакса) на примере уравнений двумерной гидродинамики.

Методы исследования . Особенностью данного диссертационного исследования является широкое использование преобразований Дарбу для построения точных решений исследуемых уравнений.

Преобразование Дарбу (ПД) для одномерного уравнения Шредин-гера. представляет собой конкретную реализацию метода факторизации, позволяющего строить одни "интегрируемые" потенциалы из других. При этом, существуют эффективные рецепты нахождения спектра и собственных функций соответствующих гамильтонианов. В частности, чрезвычайно просто соотношение между дискретными спектрами двух гамильтонианов с несингулярными потенциалами, которые связаны однократным ПД: эти спектры могут либо отличаться на один (нижний) уровень либо полностью совпадать. Именно последнее обстоятельство приводит к возможности явной реализации суперсимметричных (двойное вырождение) и парасуперсимметричных (тройное вырождение) моделей.

Использование метода преобразования Дарбу (метода факторизации, суперсимметричного подхода или спектрального дизайна) уже давно является весьма эффективным в теории ядра 5.

Следует отметить, что в задачах ядерной физики, как правило используется радиальное уравнение Шредингера, применение к которому преобразований Дарбу является нетривиальной процедурой с точки зрения спектральной задачи. Этот вопрос был тщательно исследован в работах [26], [27], [7].

Отметим, что поскольку речь идет о задаче на полупрямой, использование обычного ПД не является эффективным. Например, однократное ПД с волновой функцией основного состояния в качестве опорной, не приводит к удалению одного уровня, а искажает весь спектр 6. Тем не менее можно развить технику двух последовательных преобразований не меняющих в конечном счете фазовых сдвигов. Интересно, что дважды преобразованный квантовомеханический потенциал 14 выражается через исходный (Vo) и единственное решение стартового уравнения 7. Именно необходимость модификаций такого рода для практических расчетов в теории ядерной материи делают оправданным использование термина "спектральный дизайн" вместо привычных ПД или преобразований суперсимметрии. Наконец отметим, что потенциалы Vo и V2 называют фазово-эквивалентными.

Приведем несколько характерных примеров эффективности использования спектрального дизайна в ядерной физике.

1) В серии экспериментальных работ, выполненных в начале девяностых прошлого века было обнаружено, что для сильнодеформированных ядер с массовыми числами А и А-\-1 определенная доля 7 лучей обладает практически одинаковой энергией (на уровне 1:1000 [193], [37],[173])

В работе [5] была предложена простая теоретическая схема позволяющая объяснить этот феномен и основанная на использовании идей суперсимметрии: предполагалось, что гамильтонианы описывающие четное и нечетное ядра связаны соотношением сплетания, что приводит к свой

5 Спектральный дизайн (в оригинале spectral design) означает приготовление квантовых систем с заданными спектральными свойствами, см. [13]

6 Простейший пример - ПД реализованное на двумерном притягивающем кулоновском потенциале. После преобразования Дарбу получается отталкивающий кулоновский потенциал, вообще не содержащий дискретного спектра. Я благодарен М.В. Иоффе за этот пример.

7В теории интегрируемых на прямой систем такие преобразования называются бинарными преобразованиями Дарбу ству изоспектральности, если суперпотенциал пропорциональный логарифму опорной функции не имеет особенностей. Такой способ решения потребовал однако дополнительного условия, суть которого сводится к предположению о том что состояния ядер с А + 1 образуют вырожденный дублет с ] = 3 ± 1/2, где 7 целый момент ядра с четным числом А. а у полуцелый момент ядра с А + 1.

Аргументация изложенная в [5] получила дальнейшее развитие в [6] где рассматривалось слабое нарушение суперсимметрии необходимое для согласования теории с данными измерений.

2) Другим интересным применением метода спектрального дизайна является изучение однонейтронной оболочечной модели 11Ве, которая описывается как двухчастичная система состоящая из точечного ядра и нейтрона. В качестве первого приближения используется ядро 10Ве с одним связанным нейтроном, причем внутренняя структура иВе моделируется модифицированным потенциалом, содержащим спин-орбитальное слагаемое [142], [110]. При специальном выборе параметров такой потенциал моделирует энергии двух физических связанных состояний пВе: Ш/2 (Еехр = -0.503 МэВ) и 0р1/2 (Еехр = -0.183 МэВ). Однако при этом возникают два дополнительных связанных состояния: 0з1/2 и 0рЗ/2, соответствующие нефизическим (запрещенным) орбиталям 51/2 и рЗ/2. В работе [40] эти лишнии состояния были удалены путем использования двойного преобразования Дарбу. Суть метода спектрального дизайна в контексте обсуждаемой задачи сводится к построению "суперсимметрично-эквивалентного потенциала" с двумя физическими связанными состояниями пВе и фазовыми сдвигами 10Ве + п, но уже без запрещенных состояний.

3) Достаточно полный обзор использования метода спектрального дизайна в обратной задаче рассеяния в контексте физики ядра представлен в [28]. Основная идея - построение фазово-эквивалентных потенциалов, что оказывается удобным средством для исследования ядерных реакций и ограниченной задачи трех тел. Использование метода спектрального дизайна позволяет получать достаточно простые потенциалы, которые тем не менее приводят к качественному согласию с результатами полученными при анализе более сложных и "реалистичных" гамильтонианов. Например, в [28] демонстрируется эффективность этого подхода на примере Зек-модели 12С, па примере изучения ядра °1л, а также для систем а + а + N. Фазовая эквивалентность также обсуждалась для 160 + а -Ь п модели 21Ме [156] и при исследовании пионного распада гиперъядра 5 Не [114].

4) Важной областью применения спектрального дизайна является построения фазово-эквивалентных потенциалов в задачах со связанными каналами (простейшим примером является дейтрон где связь 3Si — 3D i обеспечивается за счет тензорных сил). В рамках кварковой модели нуклон-нуклонные (NN) силы проявляются как эффективное взаимодействие, причем выяснилось, что при этом появляются нефизические связанные состояния в моделях с локальными потенциалами [116]. Более тщательный анализ привел к известному московскому потенциалу, использование которого воспроизводит данные рассеяния вплоть до 400 МэВ [115]. В работе [180] путем использования метода спектрального дизайна были удалены нефизические связанные состояния и построен фазово-эквивалентный потенциал, который приводит к картине весьма сходной со стандартным описанием NN взаимодействия посредством обмена мезоном.

Следует упомянуть важную работу [117] в которой метод спектрального дизайна был применен к общему случаю N связанных каналов и показано, что используя эту технику можно ввести до N связанных состояний не меняя остальную часть спектра гамильтониана. Метод был применен к дейтрону, а также для генерации потенциалов московского типа.

Отметим в заключение, что изучение задач такого рода требует обращения к матричному уравнению Шредингера. Хотя общие теоремы о дарбу-ковариантности для линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с матричными коэффициентами были доказаны еще в докторской диссертации В.Б. Матвеева, исследование спектральных свойств этих преобразований еще не изучены в достаточной полноте. По этой причине, развитие метода спектрального дизайна для общего случая N связанных каналов имеет чрезвычайно важное значение в развитии теории атомного ядра.

Возвращаясь к задачам на прямой, отметим, что ПД дает унифицированный подход ко многим известным алгебраическим методам интегрирования: технике вторичного квантования, лестничным операторам, возникающим, скажем, при построении неприводимых представлений группы Дз и т.д. В результате, имеется простой, но удобный метод получения важных в приложениях соотношений между различными специальными функциями (полиномы Эрмита и Лежандра, гипергеометрическая функция и др.).

Не будет преувеличением сказать, что все известные примеры потенциалов уравнения Шредингера для которых известны аналитические решения могут быть получены с помощью ПД двумя способами: или путем применения ПД к известному интегрируемому потенциалу (например, к нулевому, в случае безотражательных, солитонных потенциалов [140]) или комбинацией последовательности ПД и дополнительного условия гарантирующего форм - инвариантность (см. например [134]). Для реализации второго способа удобно использовать не ПД в стандартном виде, а одевающие цепочки дискретных симметрии: [197]. Наложение условия замыкания на цепочки содержащие N "звеньев" позволяет единым образом получать интегрируемые потенциалы, начиная от гармонического осциллятора и кончая потенциалы выражающиеся через трансценденты Пенлеве и их обобщения.

Широкая распространенность ПД связана с тем обстоятельством, что любое линейное уравнение вида где ф — ф^х^Ь) и - матричные функции, допускает такой вид дискретных симметрий. В свою очередь, ряд важных в приложениях нелинейных уравнений могут быть редуцированы в систему уравнений, по крайней мере одно из которых является уравнением типа (1). В частности, нелинейные интегрируемые уравнения типа КдФ, НУШ или ДС сводятся к паре линейных уравнений (пара Лакса). Неинтегрируемыс модели, конечно, не допускают такого представления. Однако, следует отметить, что для реализации преобразований типа ПД: часто достаточно наличия одного линейного уравнения и некоторого калибровочного произвола. Например, уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана, могут быть записаны как система из двух уравнений, одно из которых -линейно (см. [205]). Использование ПД для этой системы возможно, благодаря калибровочному произволу (Верещагин, Юров 2004а) и позволяет построить множество точных решений, описывающих инфляцию с выходом, а также т.н. "гладкую фантомизацию" (Глава 2 данной диссертации). Аналогичным образом были построены точные решения содержащие две сингулярности типа "большой разрыв", которые составляют основной объект исследований Главы 3.

ПД применяются в Главе 4 для исследования форм потенциалов приводящих к существенно плоскому спектру флуктуаций скалярного поля, а также для доказательства ряда утверждений, которые используются в этой же главе при изучении проблемы восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по данному "однопетлевому" потенциалу.

Этот же подход оказался эффективным и в пятимерном пространстве, содержащем семейство вложенных бран (Уигоу, Уигоу 2005). При этом появляется возможность найти аналитическое решение, которое бы естественным образом приводило к экспоненциально подавленной вели

1) к=1 чине космологической постоянной (на видимой бране), что, бесспорно, является одной из самых актуальных проблем современной физики.

Наконец, стоит отметить, что ПД оказалось эффективным в квантовой космологии, как метод построения точных решений уравнения Уи-лера - Де Витта (см. например [178]). В свою очередь, использование бинарных ПД (или цепочек последовательных ПД, выраженных с помощью формул Крама) позволяет найти семейства решений с заданным спектром, но зависящих от набора произвольных параметров.

Другим важным приложением ПД, не связанным с космологической тематикой, является построение точных решений солитонных уравнений и учете их взаимодействия с произвольным фоновым решением (шумом) нелинейной системы. Эффективность ПД в таких задачах связана с тем обстоятельством, что для нахождения новых решений нелинейной задачи требуется знать лишь частные решения системы линейных дифференциальных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение. Это позволяет, с одной стороны, провести детальный учет всех свободных параметров, а с другой - конструировать новые решения нахождение которых другими методами (например МОЗР) было бы достаточно сложной задачей. Например, простое дополнение классических ПД процедурой дифференцирования по спектральному параметру позволило В. Б. Матвееву обнаружить новый тип решений (позитоны) в такой, казалось бы, хорошо изученной модели, как КдФ.

Особенно эффективно использование ПД (и родственных преобразований, таких как преобразования Мутара [148] (ПМ), Шлезингера (ПШ), Лапласа (ПЛ)) для многомерных моделей, зачастую представляя собой единственный способ построения точных решений соответствующих нелинейных уравнений. Более того, использование ПД на языке одевающих цепочек дискретных симметрий, позволяет обнаружить неожиданные связи между известными интегрируемыми иерархиями. Так иерархии КдФ, мКдФ, экспоненциального уравнения Калоджеро - Дегаспери-са (КД) и эллиптического уравнения КД оказываются связанными с помощью одевающих цепочек дискретных симметрий. Аналогичная связь существует между НУШ и уравнениями цепочки Тоды (эта связь реализуется с помощью другой изоспектральной симметрии - преобразования Шлезингера).

Все это указывает на возможную плодотворность обобщения метода одевающих цепочек на более сложные многомерные интегрируемые уравнения. Перечислим три основные причины, которые делают, на наш взгляд, изучение и обобщение метода одевающих цепочек актуальными задачами: во - первых, это открывает возможности для расширения списка интегрируемых эволюционных нелинейных уравнений и, как следствие, может пополнить этот список новыми интегрируемыми моделями. Во - вторых, метод одевающих цепочек позволяет установить связи между (в том числе уже известными) интегрируемыми уравнениями. В - третьих, одевающие цепочки строятся с помощью преобразования Дарбу, которое, само по себе, является эффективным средством для нахождения точных решений нелинейных интегрируемых уравнений.

Использование метода одевающих цепочек в теории нелинейных уравнений, возможно, способно пролить свет на еще одно интересное, но не до конца понятое характерное свойство, которым обладают члены интегрируемых иерархий - свойство Пенлеве. Суть дела в следующем наблюдении: процедура построения интегрируемых уравнений из одевающей цепочки КдФ приводит к ЬА-парам, квадратично нелинейным по вспомогательным полям. Например, уравнение мКдФ записывается как условие совместности двух скалярных уравнений одно, из которых - уравнение Риккати. Это означает, что подвижными особенностями вспомогательных полей по переменной х могут быть только полюсы. А -уравнение линейно, поэтому это свойство сохраняется и по переменной £. Вспомогательные поля в свою очередь удовлетворяют уравнению м2КдФ (которое, напомним, после точечной экспоненциальной замены сводится к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса [179]). Таким образом, связь уравнения м"КдФ (и значит, всей его иерархии) со свойством Пенлеве становится очевидной, что непосредственно следует из способа построения этого уравнения То же относится и к иерархии м3КдФ. Следовательно, возникает естественная мысль, что свойство Пенлеве может быть получено, как следствие суперсимметричной связи между иерархиями (или, иначе, того факта, что все они порождены одевающими цепочками) и наличием ЬА-пары (т.е. пары линейных или квадратично нелинейных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение) для "иерархии-источника", например, для иерархии КдФ. Связь свойства Пенлеве с наличием ЬЛ-пары и преобразованиями Беклунда известна и используется в методе сингулярных многообразий. Метод одевающих цепочек устанавливает аналогичную связь, но "в обратную сторону": от ЬА-па,р и преобразований Дарбу к свойству Пенлеве, а не наоборот.

Следует отметить, что изучение общей структуры иерархий интегрируемых моделей представляет большой интерес для современной теории струн. Применение обобщенного формализма Редже (триангуляции с фиксированными и одинаковыми длинами сторон треугольников) к двумерной гравитации приводят к матричным моделям, которые, как выяснилось, тесно связаны с иерархиями интегрируемых уравнений. Здесь важны т-функции, оказывающиеся эквивалентными непертурбативным статистическим суммам соответствующих моделей [145], [109], [202]. Таким образом, изучение связей существующих между иерархиями означает и изучение связей между непертурбативными статсуммами соответствующих матричных моделей.

Эффективность ПД для одномерного уравнения Шредиигера послужила примером для поиска аналогичных преобразований пригодных для изучения уравнения Дирака. В [158] было показано, что для фермиона во внешнем электростатическом поле, зависящем от одной пространственной координаты, четырехмерное уравнение Дирака редуцируется в систему уравнений Захарова-Шабата, которые лежат в основе интегрирования мКдФ. В [8] для этих уравнений была развита техника сплетающих операторов и построенно ПД. Там же былы реализована суперсимметричная алгебра, содержащая ненулевые центральные заряды. В (Yurov 1997) эти результаты были частично обобщены на случай внешнего электромагнитного поля, зависящего от одной пространственной переменной и от времени. Была проведена редукция в плоскую гиперболическую за,-дачу Захарова - Шабата, связанную с теорией уравнений Дэви - Стюарт-сона (ДС) и построены обобщенные формулы Крама. Среди интегрируемых потенциалов этих уравнений существуют конфигурации электромагнитных полей, в виде последовательности локализованных импульсов. Эти результаты могут оказаться полезными в задаче о вычислении плотностей фермионных пар, рожденных из вакуума, скажем, полем лазера описанной конфигурации. Для получения этих плотностей следует на первом шаге найти полный набор ортонормированных решений уравнения Дирака с соответствующими электромагнитными потенциалами [88]. Коэффициенты разложения операторов поля по положительно и отрицательно частотным решениям представляют собой операторы рождения-уничтожения частиц, определенных при t —> — оо, (t - время), если внешнее поле адиабатически выключается при t ±оо. Гамильтониан диагонализуется (если это возможно) с помощью преобразования Боголюбова. Знание коэффициентов входящих в это преобразование позволяет найти плотность числа нар квазичастиц в единице объема, а из них, предельным переходом вычислить число реальных пар, рожденных внешним полем за время его существования. В [89] эти вычисления проведены до конца для внешнего электрического поля в виде одиночного импульса E(t) = Eq/ cosh2(И) и для постоянного электромагнитного поля. Возможность усилить эти результаты списком неоднородных по (одной) пространственной переменной и переменных по времени э/м полей, для которых аналогичная задача может быть также решена в аналитическом виде с помощью ПД (причем, как уже отмечалось, эти поля могут иметь реальный, с точки зрения экспериментатора, смысл) основана на двух наблюдениях: во-первых, ПД позволяют получить полную систему решений соответствующего уравнения Дирака (ср. с [73], где рассматривается полнота преобразований Мутара для двумерного уравнения Шредингера); во-вторых, в (Уигоу 1997) продемонстрирована возможность построения "интегрируемых"э/м конфигураций, которые удовлетворяют условию адиабатического включения- выключения (оставаясь при этом пространственно локализованными). По - видимому, этих наблюдений достаточно, для того, чтобы описанный выше формализм вычисления плотностей пар оказался эффективным и для сложных, неоднородных э/м полей.

Другое неожиданное приложение дискретных преобразований типа ПД - уравнения двумерной гидромеханики несжимаемой жидкости (1л, Уигоу 2003), (Юрова, Юров 2006). Хотя эти уравнения не допускают пару Лакса, тем не менее, для них можно написать "аналог ПД" и использовать его для построения точных решений двумерных уравнений Навье - Стокса. Эта задача, актуальность которой невозможно переоценить, тоже рассматривается в тексте диссертации.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту. Главные результаты связанные с изучением моделей темной энергии:

1. Доказано, что решения уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана могут быть построены с помощью ПД. Показано существование режима гладкой фантомизации. Фантомные зоны могут быть удалены без наличия скачков в давлении и плотности.

2. Обнаружено, что решения на бране Рэндал-Сэндрум I с уравнением состояния характерным для "фантомной энергии" содержат две сингулярности типа "большой разрыв" (решение II). Используя ПД аналогичные решения можно найти и для обычной фридмановской космологии (решение I), однако уравнение состояние уже не будет иметь стандартного вида. Показано, что решение I содержит достаточное число свободных параметров, чтобы быть приведено к виду согласующемуся с данными астрономических наблюдений.

3. Доказано, что несмотря на симметричность решения I во времени, процесс акреции "фантомной энергии" на кротовые норы и механизм формирования гигантских черных дыр не обладает такой симметрией. Соответственно "большой переход" реализуется лишь около одной сингулярности.

4. Обнаружено, что пространство-время соответствующему решению II делится на три области, причем в каждой из них возможно как формирование гигантских черных дыр, так и явление "большого перехода".

5. Доказано, что формирование "лазов" (в частном случае - кротовых нор) на бране (решения II) свободно от энергетических ограничений, имеющих место в обычном пространстве-времени. В частности, здесь не требуется обладать энергетическими масштабами всей видимой вселенной для построения кротовой норы способной пропустить объект с характерным макроскопическим размером.

6. Обнаружено, что решения II допускают, в принципе "большой переход" вдоль замкнутой времениподобной кривой. Требование отсутствия парадоксов могущих появиться в процессе такого путешествия накладывает жесткое условие на волновую функцию вселенной. Оказывается, использование такой волновой функции позволяет, в принципе, решить проблему плоскостности не используя гипотезу об инфляции.

7. Показано, что потенциал самодействия для скалярного поля может быть восстановлен по данным рассеяния для однопетлевого потениала описывющего квантовые флуктуации. Метод развит на классе потенциалов в теориях поля с (1+1) действием, которые спонтанно нарушают симметрию и одновременно приводят к квантовым флуктуациям отвечающим безотражательным данным рассеивания. Формулируется общая задача реконструкции потенциала по данным рассеивания и приводятся точные примеры. Найдено, что формы всех потенциалов удовлетворяющие вышеуказанным свойствам подобны или модели Ф4 или модели синус-Гордон.

8. Обнаружено, что спектр флуктуаций может быть вычислен на фоне статического решения (1+1) некоммутативной скалярной полевой модели. Доказано, что пространственно - временная некоммутативность приводит к порождению новых связанных состояний. Найдено, что в случае сингулярных решений (типичных для "фантомных" космологических моделей с сингулярностью типа "большой разрыв") возникает бесконечное число связанных состояний со спектром похожим на спектр кварковых состояний. Кроме того показано, что двумерное линейное уравнение с умножением Мойяла допускает ПД и итерационные формулы типа Кра-ма.

9. Развито обобщение метода преобразования Дарбу позволяющее строить точные несингулярные решения, описывающих трехмерную брану взаимодействующую с пятимерной гравитацией и bulk скалярным полем. Обнаружено, что уравнения Эйнштейна и условия Израэля редуцируются в уравнение Шредингера содержащих разрывный потенциал, причем волновые функции испытывают скачок первой производной. Доказано, что всегда можно выбрать функции входящие в определитель Крама такими, что пятимерная скалярная кривизна Л будет конечна как на бране, так и в объемлющем пятимерном пространстве. Представлены новые точные решения обобщающие модели с нечетным суперпотенциалом. Доказано, что формализм оказывается применим и к реалистичному случаю бран с космологическим расширением. В частности, используя простое орбиобразие (61/^2) и однократное преобразование Дарбу построена модель с экспоненциально подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране.

Результаты связанные с развитием формализма ПД содержащиеся в заключительной главе и Приложении А:

10. Показано, что уравнение Дирака, описывающее фермион взаимодействующий с внешним одномерным, но нестационарным э/м полем допускает ПД. Обнаружено, что использование этих преобразований позволяет найти семейство точных решений для случая адиабатического включения - выключения внешнего поля. Доказано, что соответствующие полевые конфигурации связаны с многосолитонными (многодроми-онными) решениями уравнений Дэви - Стюартсона.

11. Получен аналог преобразования Шлезингера для уравнений ДС. Показано, что в отличии от J—S- систем для моделей типа НУШ, для классификации (1+2) моделей недостаточно ограничиться одной йордановой алгеброй. Обнаружено, что в основе адекватной конструкции должна лежать некоторая алгебра, содержащая по крайней мере две бинарные операции: умножение Подана и умножение Ли.

12. Найдено, что использование преобразований Шлезингера позволяет построить новые точные несингулярные решения уравнений ДС-1 рационально или экспоненциально локализованные на плоскости. Обнаружено, что использование ПД позволяет исследовать эволюцию локализованного в начальный момент импульса описываемого уравнениями ДС-II. Решение оказывается неустойчивым.

13. Открыт новый алгебраический метод построения точных решений двумерных уравнений гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами.

14. Обнаружено, что специфической особенностью (1+2) интегрируемых моделей является существование двух типов одевающих цепочек дискретных симметрий.

15. Показано, что двойное ПД, используемое в квантовой космологии сводится к бинарному ПД. Открыто, что описанные в литературе точные решениях в квантовой космологии построенные с помощью ПД обладают дополнительной, "не замеченной ранее" параметризационной инвариантностью.

Научная новизна.

Впервые применено ПД для уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана и описан режим гладкой фантомизации. Впервые описан метод, позволяющий удалять зону в которой нарушено слабое энергетическое условие так чтобы давление и плотность оставались непрерывными функциями времени. Показано, что "двойное ПД", используемое в квантовой космологии сводится к бинарному ПД.

Впервые изучена аккреция фантомной энергии на кротовые норы и черные дыры в пространстве-времени содержащее две сингулярности "большого разрыва". Впервые продемонстрировано свойство дуальности "фантомной энергии" во фридмановской космологии и на бране. Впервые показано, что в пространстве-времени с такой структурой возможно существование как эффекта "большого перехода", так и гигантских черных дыр. Впервые показано, что в пространстве-времени такого типа возможен "большой переход" вдоль замкнутой времениподобной кривой и что условия самосогласованности приводят к возможности решения проблемы плоскостности без использования инфляционного сценария.

Впервые описана задача реконструкции потенциала самодействия скалярного поля по его однопетлевому потенциалу используемому при расчете спектра квантовых флуктуаций. Полностью изучен случай, когда последний отвечает безотражательным данным рассеяния, а потенциал самодействия спонтанно нарушает симметрию.

Впервые описан феномен генерации связанных состояний за счет пространственно - временной некоммутативности и подчеркнута значимость этого обстоятельства для физики процессов окрест сингулярности "большого разрыва". Впервые описано ПД для таких моделей.

Впервые изучено применение ПД в теории бран. Впервые описан новый метод генерации решений несингулярных на бране и в объемлющем пространстве (bulk). Впервые, с помощью ПД построены новые решения, в том числе решения полученные одеванием решений Рэндал - Сэндрум, решений выраженных через четвертую трансцеиденту Пенлеве и решений содержащих геометрию орбиобразия и экспоненциально подавленную (на видимой бране) космологическую постоянную.

Впервые описаны одевающие цепочки дискретных симметрий для (1+2) уравнений КП, БЛП и ДС. Впервые показано, что, в отличии от изученных ранее (1+1) уравнений, (1+2) модели обладают двумя типами одевающих цепочек (цепочки типов I и II, или сопряженные цепочки).

Впервые введено ПД для уравнения Дирака описывающего ферми-он взамодействующий с (1 + 1) э/м полем и предложен метод построения интегрируемых полевых конфигураций отвечающих адиабатичному включению и выключению внешнего поля, важному при использовании S-матричного формализма.

Впервые развит метод построения точных решений уравнений ДС с помощью преобразований Шлезингера. Построены новые точные локализованные несингулярные решения уравнений ДС-I. Впервые найдены йордановы обобщения уравнений ДС.

Впервые предложен алгебраический метод построения точных решений уравнений двумерной гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами.

Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь важное значение при построении космологических моделей учитывающих наличие "фантомной энергии", фантомизации (главы 2 и 3) и тех чрезвычайно специфических явлений, которые характерны именно для такой компоненты темной энергии: "большой переход", гигантские черные дыры и т.д. Явление "большого перехода" может оказаться чрезвычайно существенным для построения новых моделей инфляции, при наличии фантомных полей. Не исключено, что некоторые эффекты описанные в третьей главе диссертации способны дать решение проблемы плоскостности, альтернативное к решению предлагаемому в рамках инфляционной парадигмы. Методы построения точных решений пятимерных уравнений Эйнштейна при наличии браны (глава 5) выглядят достаточно эффективными для решения проблемы космологической постоянной. Наконец, многие частные и общие результаты диссертационной работы, могут иметь важное (в том числе) практическое значение в электродинамике сплошных сред, теории интегрируемых систем, гидромеханике (Глава 6), при расчете квантовых флуктуаций, в том числе в некоммутативной теории поля (Глава 4), классической и квантовой космологии (приложение А). Вероятно, разработанные в диссертации методы могут также оказаться полезными при расчетах плотностей пар, рожденных из вакуума внешними полями и при расчете спектра флуктуаций метрики в ранней (раздувающейся) вселенной.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. "The 31st Symposium on Mathematical Physics", N. Copernicus University Torun, Poland, 1999.

2. "Международная научно-техническая конференция, посвященная 40-летию пребывывания КГТУ на Калининградской земле и 85-летию высшего рыбохозяйственного образования в России", Калининград, Россия, 1999.

3. "Baltic Sea Seminar", Карлскрона, Швеция, 2000.

4. "Современные образовательные программы: региональный опыт реализации и интеграции", К ГУ, Калининград, Россия, 2001.

5. "Физическая экология (физические проблемы экологии)", МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия, 2001.

6. "Baltic Sea Seminar", Росток, Германия, 2002.

7. "Международная школа Фока", С. Петербург, Россия, 2002.

Результаты докладывались и обсуждались на семинарах в Институте физике (Лейпциг, Германия, 2002-2003; Hermann-von-Helmholtz Visiting Professorship: Gottlieb Daimler-und Karl Benz-Stiftung), на физическом факультете Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001, 2004), на коллоквиуме математического отделения Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001; Miller's Scholar), в Познаньском университете (Польша, 2000-2001), на кафедре теоретической физики (РГУ им. И. Канта, Калининград, Россия, 1990-2006).

Работа проходила экспертную оценку в реализованных проектах:

1)Грант РФФИ 91-01-01789.

2) Грант РФФИ 96-01-01408.

3) Грант РФФИ 96-01-01789.

4) Грант РФФИ 00-01-00783.

5) Грант министерства образования Е00-3.1-383

6) Грант Miller's Scholar на математическом отделении Колумбийского университета (штат Миссури, США), 2001, 2004.

Публикации. Основные результаты работы изложены в 26 публикациях.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы (207 наименований), содержит 31 рисунок и две таблицы. Общий объем диссертации - 220 страниц.

Заключение диссертации по теме «Физика высоких энергий», Юров, Артем Валерианович

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Плоском пространстве-времени уравнения Фридмана допускают сведение к линейному уравнению второго порядка путем общей подстановки ап, что позволяет значительно расширить класс точных решений вводя произвольное число свободных параметров. Аналогичное утверждение справедливо для бранного аналога уравнений Фридмана, содержащих дополнительные слагаемые в силу наличия натяжения на бране. Используя описанную в первой главе методику, можно строить точные решения, динамика которых со сколь угодно высокой точностью совпадает с произвольной заданной временной зависимостью масштабного фактора на некотором промежутке времени, но начинает демонстрировать совершенно иное поведение за пределами этого промежутка.

2. Общие решения уравнений Фридмана построенные путем анализа линейного уравнения второго порядка, вообще говоря демонстрируют наличие режима гладкой фантомизации. По-видимому, это обстоятельство следует рассматривать как серьезный теоретический аргумент в пользу возможности наличия во вселенной "фантомной составляющей".

3. При наличии четного числа пересечений "фантомной зоны" можно удалить все области пространства-времени в которых имеет место нарушение условия энергодоминантности, причем в силу наличия точки перегиба у логарифма масштабного фактора на границах "фантомных зон", допустима сшивка, оставляющая непрерывной плотность энергии, ее две первые производные и давление. Производная давления при этом приобретает особую точку первого рода, что является гладким вариантом "sudden future singularity" обнаруженной Бэрроу, ситуации в которой давление имеет особую точку второго рода. Тем не менее, даже в этом, более гладком варианте, задача Коши уже не может быть поставлена, что является аргументом против такого рода процедуры. Точка зрения автора диссертации заключается в том, что, вероятно, нужно согласиться с реальной возможностью феномена "гладкой фантомизации" (пересечения фантомной зоны).

4. Космологические уравнения Фридмана допускают решения описывающие вселенную в которой все время доминирует фантомная энергия, причем решение содержит две сингулярности "большого разрыва" - в прошлом и будущем. Такие модели содержат достаточное количество свободных параметров, чтобы быть отождествленными с реальной, наблюдаемой вселенной, однако уравнение состояния таких решений не является ясным с физической точки зрения. Ситуация кардинально меняется при изучении космологий на бране с некоторым натяжением. В этом случае, обычное уравнение состояния р = wc2p с w < — 1 приводит к аналогичным решениям, причем в классическом пределе, при котором брана отсутствует, две сингулярности сливаются в одну. Другими словами, наличие решений такого типа является эффектом специфичным именно для космологии на бране.

5. "Фантомная энергия" на бране демонстрирует дуальность по отношению к "фантомной энергии" в рамках стандартной космологии Фридмана. Это выражается в том, что в некоторых областях пространства-времени плотность энергии "фантомной энергии" на бране оказывается отрицательной, тогда как величина р + р/с2 > 0. Отсюда следуют принципиальное заключение о возможности существования гигантских черных дыр с гиперболическим ростом - нового эффекта целиком обязанного вышеупомянутому факту дуальности.

6. Космология "фантомных полей" на бране приводит к возможности существования "большого перехода" вдоль замкнутой времениподобной кривой. Этот сценарий может рассматриваться, как альтернативный способ реализации геделевской модели с "вечным возвращением". При этом, условие глобальной самосогласованности, которое должно накладываться на решения такого типа возможно приводит к неожиданно простому решению проблемы плоскостности, никак не связанному с использованием инфляционной парадигмы.

7. Кротовые норы представляют собой частный пример так называемых "лазов" (shortcut) искусственное построение которых требует не только нарушения слабого энергетического условия, но и чрезвычайно большой величины используемой для этого энергии. В частности, для создания "лаза" пригодного для транспортировки макроскопического объекта, необходима энергия по порядку величины совпадающая с энергией содержащейся во всей наблюдаемой вселенной, что делает создание объектов такого типа невозможным. Оказывается в рамках бранных решений Рэндал-Сэндрум I с двумя сингулярностями "большого разрыва", указанные ограничения уже не действует и искусственная реализация "лазов" уже не выглядит принципиально невозможной.

8. Модели содержащие сингулярности типа "большой разрыв" отличаются тем свойством, что по мере приближения к сингулярности, размер космологического горизонта событий стремится к нулю. В соответствии с ограничением Бекенштейна, полное число квантовых состояний допустимых в произвольном объеме тоже стремится к нулю, что показывает отсутствие содержательных и сложных физических процессов окрест сингулярности "большого разрыва". Модели на бране могут обладать гораздо более богатыми свойствами если допустить наличие пространственно-временной некоммутативности. В этом случае возникает принципиально новый эффект - порождение связанных состояний при вычислении квантовых флуктуаций на фоне классических решений. При приближении к сингулярности "большого разрыва" решения полевых уравнений становятся сингулярными. В этом случае эффекты пространственно-временной некоммутативности приводят к генерации бесконечного числа связанных состояний, что может качественно изменить бедную физическую картину физики процессов происходящих около описываемой сингулярности. Кроме того, эффект порождения связанных состояний демонстрирует удивительную универсальность: вне зависимости от типа классического решения на фоне которого производится квантование, спектр новых связанных состояний при достаточно большой величине номера N возбужденного уровня удовлетворительно описывается соотношением л/N.

9. Использование метода "heat kernel" подразумевает необходимость нахождения функции Грина для линейного оператора возникающего при вычислении двукратной вариационной производной от действия. В общем случае такая задача не допускает аналитического решения, однако использование ПД позволяет найти функцию Грина и вычислить функцию в целом ряде физически интересных ситуаций, например при вычислении однопетлевой квантовой поправки к кинку модели ф4. В случае некоммутативной геометрии положение еще сложнее. Оказывается линейное уравнение второго порядка с мояловским произведением допускает аналог ПД и даже аналог формул Крама. Это открывает возможности для точного вычисления и исследования спектра квантовых флуктуаций при наличии эффектов некоммутативной геометрии. 11. Если наблюдения покажут, что параметр адиабатичности ускоряющейся вселенной равен нулю, то возникнет проблема объяснения малости наблюдаемой космологической постоянной, по сравнению с теоретически предсказанной величиной. Модель браны (или бран) с объемлющим пространством снабженном структурой орбиобразия и заполненным "bulk" скалярным полем приводит к экспоненциально подавленной на бране редуцированной космологической постоянной. Кроме того, используя преобразование Дарбу для квадрата "bulk" масштабного фактора можно строить решения со всюду регулярными компонентами пятимерного тензора Риччи. Расчеты показывают, что все известные примеры регулярных решений являются частными случаями форм-инвариантных кван-товомеханических потенциалов. Используя ПД можно построить множество новых точных решений обладающих требуемым свойством. Например, удается построить модели обобщающие нечетные суперпотепциалы и выраженные через трансценденты Пенлеве.

12. Механизм генерации неоднородностей посредством тахионной неустой чивости приводит к плоскому спектру флуктуаций лишь при специальном выборе формы потенциала самодействия скалярного поля. Однако, используя преобразование Дарбу, можно построить сколь угодно много потенциалов приводящих к существенно плоскому спектру флуктуаций с произвольной точностью, причем для этого не требуется искусственно подгонять параметры модели. Кроме того, используя однопетлевой потенциал, который играет определяющую роль при вычислении спектра флуктуаций на фоне классических решений, можно восстановить форму потенциала самодействия.

13. В случае потенциалов V(</>) спонтанно нарушающих симметрию, таких, что однопетлевой потенциал (получаемый путем вычисления функционального интеграла методом перевала) является безотражательным в квантовомеханическом смысле, можно восстановить все У(ф), которые, оказываются, принадлежат двум типам: (1) растущим потенциалам с двумя минимумами (типа хиггсовского потенциала) или (11) периодическим потенциалам (типа модели синус-Гордон).

14. Многомерные интегрируемые модели допускают два независимых типа сопряженных цепочек дискретных симметрий (прямую и сопряженную). Использование этих цепочек позволяет установить новые связи между интегрируемыми иерархиями, что, в свою очередь, приводит к гипотезе о том, что возможно все интегрируемые модели, в определенном смысле, являются разными формами записями одного уравнения.

15. Существуют аналитические решение (1+1) уравнения Дирака описывающего взаимодействие электрона со внешним э/м полем, удовлетворяющим условию адиабатического включения-выключения. В список решений входят конфигурации э/м поля в виде последовательности локализованных импульсов, которые можно отождествить с излучением лазера выше второго предельного значения накачки.

16. Уравнения ДС-1 допускают новый тип локализованных на плоскости, несингулярных решений. Приведены аргументы, в пользу того, что уравнения ДС-П не обладают решениями такого типа.

17. Можно развить алгебраическую процедуру построения точных решений уравнений двумерной гидромеханики, основанную на использовании пары линейных уравнений с переменными коэффициентами, которые однако не образуют пару Лакса. Указанная процедура эффективна для нахождения решений описывающих сложные течения содержащие завихренность, используя в качестве базовых простые потенциальные течения.

8 Благодарности

Данная диссертация является плодом многолетней работы, в процессе которой мне неоценимую поддержку оказало такое множество замечательных людей, что указать всех просто невозможно. Прошу прощения у всех кто оказался не упомянутым - полный список всех, оказавших мне помощь займет существенную часть текста диссертации. По этой и только этой причине я ограничусь лишь теми специалистами чей вклад в формирование моих научных интересов, а также в проведение отдельных исследований наиболее значим.

Прежде всего это мои учителя и коллеги: И.А. Филоновский, М.А. Салль, A.A. Зайцев, С.Б. Лебле, М.В. Локтионов, А.И. Иванов. Колоссальную роль в моей деятельности сыграли работы, поддержка и личное участие A.A. Андрианова, М.В. Иоффе и А.К. Погребкова. Я имел счастье лично общаться с выдающимися специалистами и замечательными людьми Владимиром Борисовичем Матвеевым и Юрием Викторовичем Новожиловым, людьми которые указали мне, помимо прочего, пример высокой этичности, которая должна соответствовать уровню профессиональных достижений. Этому примеру я стараюсь, по мере сил, следовать постоянно. Я хочу поблагодарить моих друзей и соавторов Д. Василеви-ча, М. Бордага, Педро Гонзалез-Диаза, Чарлза Ли. Мою жену и соавтора A.A. Юрову, моего сына и соавтора В.А. Юрова, а также В.А. Гриценко. Я много извлек из дискуссий (в том числе и по почте) с В.А. Андреевым, В.М. Мостепаненко, А.Д. Долговым, Константином Макаровым, Сергеем Копейкиным, Ю.В. Барышевым, Бахрамом Машхуном, Андреем Шумом, Юрием Латушкиным, Дмитрием Пелиновским, Доном Пэй-джем, Фрицем Гистези, а также со своими аспирантами и соавторами A.B. Асташенком, М.Д. Верещагиным и С.Д. Верещагиным. К сожалению я уже не могу лично поблагодарить моего безвременно ушедшего друга и талантливого человека Д.А. Верещагина за многолетние дискуссии на темы равно интересующие обоих. Чрезвычайно большую роль в задании направления моего интереса в космологии сыграли работы C.B. Червона, Дж. Бэрроу. Я благодарю их за поддержку ценным советом на разных этапах моей деятельности, а также С. Ножири, А.Д. Линде, И. Фланаган, Кен Олума и Фрэнка Типлера. Большую роль в формировании моего мировоззрения сыграла плодотворная переписка с Ником Бо-стромом. Выражаю самую горячую признательность А. Дэви, который заметил одну из моих работ по уравнениям Дэви-Стюартсона и прислал мне теплое, ободряющее письмо.

Я хочу поблагодарить фонд РФФИ, систему грантов министерства образования, американскую программу Miller's Scholar и немецкий фонд

7 Заключение