Алгоритмическая и структурная организация высокопроизводительных ЭВМ с использованием модели безошибочных вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.15, кандидат технических наук Оцоков, Шамиль Алиевич

• Оцоков, Шамиль Алиевич
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Оцоков, Шамиль Алиевич

ВВЕДЕНИЕ.:.:.:.

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ БЕЗОШИБОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ КАК НАПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЯ

ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ЭВМ.:.

1.1. Классы задач, определяющие необходимость перехода к безошибочным вычислениям.'.'.

1.2. Модель безошибочных вычислений на основе системы остаточных классов.!.

1.3. Анализ перспективных направлений в области построения вычислительных структур и методов совершенствования их основных характеристик.

1.4. Цели и задачи диссертационного исследования.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА БАЗОВЫХ АЛГОРИТМОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ВЫПОЛНЕНИЕ БЕЗОШИБОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

2.1. Алгоритмы целочисленной обработки в системе остаточных классов.

2.1.1. Преобразование целых чисел из позиционной системы счисления в систему остаточных классов.

2.1.2. Преобразование целых чисел из системы остаточных классов в позиционную систему счисления.

2.1.3. Целочисленная арифметика в системе остаточных классов.

2.2. Алгоритмы обработки чисел с фиксированной запятой в системе остаточных классов.

2.2.1.Преобразование чисел с фиксированной запятой в одномодульную систему остаточных классов.

2.2.2. Преобразование чисел одномодульной системы остаточных классов в числа с фиксированной запятой в позиционной системе счисления.

2.2.3. Преобразование чисел с фиксированной запятой в многомодульную систему остаточных классов.

2.2.4. Преобразование чисел многомодульной системы остаточных классов в числа с фиксированной запятой в позиционной системе счисления.:.

2.2.5. Арифметика чисел с фиксированной 'запятой в многомодульной системе остаточных классов.

2.3. Выводы.'.!.;.;.

ГЛАВА 3. СТРУКТУРНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ УЗЛОВ ПРОЦЕССОРА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЧИСЕЛ ПО'СХЕМЕ БЕЗОШИБОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

3.1. Структурная организация устройств целочисленной арифметики в системе остаточных классов.

3.2. Принципы структурной организации основных узлов процессора, обеспечивающих безошибочную обработку чисел с фиксированной запятой.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ОЦЕНКА

ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ БЕЗОШИБОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И СТРУКТУРНЫХ СХЕМ УСТРОЙСТВ.!

4.1. Сравнительные оценки временных и аппаратурных затрат разработанных структурных схем с известными.

4.2. Разработка программного модуля безошибочной обработки чисел в одномодульной системе остаточных классов.

4.3. Разработка программного модуля безошибочной обработки чисел в многомодульной системе остаточных классов с использованием параллельной мультикомпьютерной сети "КУРС-2000".

4.4. Применение разработанных алгоритмов для безошибочного решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

4.5. Оценки аппаратной и программной реализации алгоритмов безошибочных вычислений в системе остаточных классов.:.!. 4.6. Опытное применение программы безошибочных вычислений для оптимизации суточных режимов каскада Сулакских ГЭС.

4.7. Выводы.:.'.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмическая и структурная организация высокопроизводительных ЭВМ с использованием модели безошибочных вычислений»

Одним из новых направлений развития средств вычислительной техники является разработка высокопроизводительных вычислительных устройств," сочетающих в себе современную элементную базу, развитое математическое обеспечение, достаточную емкость памяти и т.д [ 37 ].

Это обусловлено, в первую .очередь, необходимостью решения широкого спектра задач в реальном режиме времени, понятия которых приводятся в [ 53]. Такие задачи возникают, например, в аэродинамике [ 32 ], климатологии, машинной графике , ядерной физике , физике плазмы, энергетике [ 15 ].

В то же время следует отметить, что существующие высокопроизводительные ЭВМ удовлетворяют пользователей сегодня, но уже в ближайшие годы могут не соответствовать требуемым параметрам из-за постепенного роста сложности решаемых задач. [ 15, 70 ].

Однако, наряду со значительными успехами в истории архитектуры высокопроизводительных ЭВМ, традиционно функционирующих в двоичной системе счисления, еще недостаточно исследованы возможности, связанные с оптимизацией способов кодирования потоков числовых данных, с точки зрения повышения производительности [ 4 ].

Также следует отметить, что проблему повышения производительности ЭВМ необходимо решать в тесной взаимосвязи с задачей обеспечения заданной точности вычислений. Требование к высокой точности ЭВМ приобретает особую значимость при решении класса плохообусловленных задач , где не допускается накопление ошибок округления [16]. К таким задачам относятся, например, решение систем линейных уравнений с определителем близким к нулю, обращение матриц Гильберта и др. [44,83].

Значение ошибок округления можно уменьшить путем удлинения разрядной сетки сумматоров, что безусловно влечет за собой увеличение аппаратурных затрат и не приводит к полному устранению погрешности вычислений. Указанный факт требует поиска алгоритмических способов, связанных с применением новых нетрадиционных методов и систем счисления для представления и обработки чисел [ 3 ].

В [21] показывается, что это можно достичь, прежде всего, средствами специального кодирования, наиболее широкий интерес из которых представляет собой система остаточных классах (СОК). Ей присущи высокая скорость вычислений и точность результатов [1,2, 3].

В то же время практическая применимость СОК сдерживается рядом проблем, связанных со сложностью сравнения чисел, введения знака,

I • преобразования в позиционную систему счисления [ 3 ].

Многочисленные работы в области непозиционных систем' и математического аппарата теории чисел позволили выделить новое научное направление - теорию безошибочных вычислений [21, 101-104 ].

Существенный вклад в развитие теории внесли работы Р. Грегори, Е. Кришнамурти , О. Ватануки, А. Фромента, посвященные безошибочным вычислениям в системе остаточных классов и с использованием кодов , Гензеля [21,66,105,119,122,123,139, 140 ].

Известны также работы, посвященные исследованиям знакоразрядной системы счисления и диадических рациональных чисел, называемых также «псевдо-цифрами» для безошибочных вычислений с плавающей запятой [138].

В работах Д. Вуллинина, А.Нильсона, П. Корнерупа, Р.Хэкмана развиваются алгоритмы безошибочных вычислений над числами с плавающей запятой [112,123,118,119].

Преимуществами системы остаточных классов для безошибочных вычислений являются высокое быстродействие в многомодульной системе и отсутствие межразрядного переноса между цифрами.

Объединение достоинств системы остаточных классов для безошибочных вычислений, табличной арифметики и разрядно-параллельных принципов обработки информации получило свое развитие в работе [ 4 ].

В работе [ 4 ] описывался метод оперативного выхода результата за пределы диапазона системы остаточных классов и определения количественной меры возникшего переполнения, позволяющей восстановить истинную величину результата, рассматривались алгоритмы безошибочных • вычислений с числами формата плавающей запятой на основе рангов.

Однако, данный метод обладает существенными ограничениями • применимости, поскольку не позволяет определить факт псевдопереполнения в одномодульной и многомодульной системах остаточных классов для I рациональных чисел, а безошибочные вычисления с использованием рангов приводят к стремительному росту разрядности операндов и возникновению ошибки переполнения.

Следует отметить, что основными проблемами безошибочных вычислений, сдерживающими их применение на практике, являются невысокое быстродействие, отсутствие метода выбора модулей системы остаточных классов, рост разрядности операндов [112].

Решение ' указанных проблем позволит использовать методы безошибочных вычислений во многих задачах науки и техники.

Актуальность работы подкрепляется такими практическими приложениями, как управление сложными техническими системами, цифровая обработка сигналов и др.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в исследовании модели безошибочных вычислений в системе остаточных классов и ее усовершенствованию в направлении создания высокопроизводительных ЭВМ.

ПРЕДМЕТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ является модель безошибочных вычислений в системе остаточных классов и её алгоритмическая, аппаратная и программная реализация.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ опираются на положения теории чисел, алгебры логики, линейной алгебры, компьютерных систем программирования для последовательных и параллельных ЭВМ, теорию алгоритмов и организации вычислительных процессов, теорию автоматов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА данного диссертационного исследования заключается в разработке модели безошибочных вычислений с рациональными числами в СОК, отличающейся от ранее известной "введением индексов, антииндексов, расширением диапазона представления искомых результатов, а также получением верхней оценки модуля СОК, для частных задач.

На защиту выносятся следующие результаты:

- Алгоритмические принципы прямых и обратных преобразований чисел из позиционной системы счисления в СОК, включающие преобразование чисел, представленных в формате с фиксированной запятой.

- Ускоренный алгоритм деления в многомодульной СОК на основе таблиц индексов и антииндексов.

- Способ получения верхней оценки модуля СОК, обеспечивающий гарантированное получение результата безошибочных вычислений в зависимости от общего числа арифметических операций.

- Метод организации безошибочных вычислений с расширением диапазона представления искомых результатов в классе дробей Фарея порядка N с модулем г в СОК, определяемого исходя из следующего неравенства: N < р - 1, вместо д, ^р -' .

- Принципы структурной реализации разработанной модели безошибочных вычислений с использованием разрядно-параллельной схемы обработки числовых данных.

- Результаты экспериментального исследования модели безошибочных вычислений в многомодульной СОК с использованием параллельной мультикомпьютерной сети «КУРС-2000», разработанной на кафедре ВМСиС МЭИ (ТУ).

- Сравнительные оценки быстродействия аппаратной и программной реализации алгоритмов безошибочных вычислений в СОК.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Разработана программа безошибочного решения системы линейных уравнений в одномодульной системе остаточных классов (свидетельство гос. регистрации №2003610764 в реестре, программ для ЭВМ). Программа безошибочного решения системы линейных уравнений в одномодульной СОК нашла применение в ОАО «Дагэнерго» и включена в состав комплекса программ "Расчет суточных режимов Сулакского каскада ГЭС",, что подтверждено соответствующим актом о внедрении. I

Экспериментальное исследование, проведенное в ОАО «Дагэнерго» ' показало, что использование разработанной программы- безошибочных вычислений позволило уточнить прогностическую оценку уровня воды в нижнем бьефе Чйрюртовской ГЭС более чем на 2% по сравнению с используемой на практике программы «Расчет добегания расхода воды».

Результаты диссертационного исследования также используются в учебном процессе Дагестанского государственного технического университета по специальностям 22.01 и 22.04, имеется акт о внедрении.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

•Основные результаты работы докладывались и обсуждались на :

- Республиканской научно-технической конференции «Информационные и телекоммуникационные системы: интегрированные корпоративные сети» («Дагинформ-2001» г. Махачкала, 2001 г.)

- Всероссийской научной конференции с международным участием молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» ( г.Таганрог, 2002 г.)

- Всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии» ( г. Москва, 2003 г.)

- Международной научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации, бизнесе» ( Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2003 г.)

- Международной научной конференции «Информационные средства и технологии» ( г. Москва, 2003 г.)

- Международной" научной конференции. Parallel Computational Fluid Dynamics ( г. Москва, 2003 г.)

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертационной работы опубликовано 11 трудов, в том числе 5. статьи, 6 тезисов докладов. Получено свидетельство о регистрации программы и поданы 3 заявки на предполагаемые изобретения в области вычислительной техники.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ . Диссертационная работа ' состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложения. Она изложена на 140 сраницах основного машинописного текста, содержит 42 рисунка, 18 таблиц, включает библиографию из 143 наименований. Общий объем диссертации составляет 264 страниц.

Заключение диссертации по теме «Вычислительные машины и системы», Оцоков, Шамиль Алиевич

Основные результаты данной работы состоят в следующем:

1. Уточнены классы задач, требующие повышенной точности вычислений на ЭВМ и .среди которых один из важнейших - задачи большой размерности.

2. Усовершенствованы алгоритмические принципы прямых и обратных преобразований чисел из позиционной системы счисления в одномодульную и многомодульную СОК.

3. Разработан ускоренный алгоритм ( по сравнению с расширенным алгоритмом Евклида) нахождения обратного числа в многомодульной СОК на основе таблиц индексов и антииндексов .

4. Разработан метод организации безошибочных вычислений с расширением диапазона представления искомых результатов в классе дробей Фарея порядка N с модулем Р в СОК, определяемого исходя из следующего неравенства: N < Р - 1 , вместо N <

5. Предложен способ получения верхней оценки модуля СОК, обеспечивающий гарантированное получение результата безошибочных вычислений в зависимости от общего числа арифметических операций.

6. Предложены принципы структурной реализации разработанной модели безошибочных вычислений. При почти равных аппаратурных затратах на реализацию предлагаемых и известных структурных схем,

J?быстродействие предлагаемых устройств в несколько раз выше. При разработке структурных схем устройств использовались разрядно-параллельные принципы и табличная обработка данных. 7. Проведено экспериментальное исследование модели безошибочных вычислений на основе системы остаточных классов на параллельной мультакомпьютерной сети «КУРС-2000». * • *

Перспективными направлениями развития теории безошибочных ( вычислений могут быть следующие:

- разработка быстродействующих алгоритмов безошибочных вычислений с числами с плавающей запятой;

- решение проблемы, связанной с большими затратами памяти для хранения операндов.в ходе безошибочных вычислений;

- разработка сопроцессора безошибочных вычислений с числами с плавающей запятой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассматриваются основные аспекты применения модели безошибочных вычислений с рациональными числами в системе остаточных классов в алгоритмической и структурной организации высокопроизводительных ЭВМ для решения широкого .класса задач различных областей науки и техники без вычислительных "погрешностей, развиваются теоретические основы безошибочных вычислений в сиртеме остаточных классов. i

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Оцоков, Шамиль Алиевич, 2003 год

1. Аветисян A.M. Некоторые новые методы построения корректирующих кодов. /.Диссерт. на соиск. учен, степени к.ф-м.н. Ленинакан, 1981.

2. Акушский И.Я., Амербаев В.М., Пак И.Т. Основы машинной арифметики комплексных чисел. Алма-Ата, Наука, 197Ö.- 250 с.

3. Акушский Н.Я, Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах, М. «Сов. радио », 1968. 439 е.

4. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536 с.

5. Бадман О.Л.,Миренков H.H. и др. Специализированные процессоры для высокопроизводительной обработки данных. Новосибирск: Наука, 1988. -207 с.

6. Байков В.Д. Смолов В.Б. Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1975. -96 с.

7. Байков В.Д. Смолов В.Б. Специализированные процессоры. Итерационные алгоритмы и структуры. М.: Радио и связь, 1985. - 288 с.

8. Ю.Балашов Е.П., Кокаев О.Г., Петров Г.А., Пузанков Д.В., Смагин A.A. Операционные устройства и процессоры с табличным методом обработки информации. УСим, N 5, 1975.- с.16-21.

9. П.Балашов Е.П., Негода В.Н., Пузанков Д.В., Смагин A.A., Смолов В.Б. Информационные системы. Табличная обработка информации. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 180 с.

10. Барашенков B.B., Кокаев О.Г., Тарасов В.Г., Темирханов Т.Э. Способ ускорения арифметических вычислений.- Известия вузов. Приборостроение, 1983, т.26, N 9, с.26-30.

11. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П, Кобельков Г.М. Численные методы. Учеб.Iпособие. М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 600 с. М.Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: «Наука», 1972. - 456 с.

12. Воеводин В.В, Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.1

13. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: «Наука», 1977. :303 с.

14. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: «Наука», 1980. -400 с.

15. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: «Наука», 1986'. - 296 с.

16. Гербер К.Дж. Архитектура высокопроизводительных систем/ пер. с англ.-М.: Наука. 1985,272 с.

17. Головкин Б.А. Параллельные вычислительные системы,- М.: Наука,. 1980.- 520 с.

18. Грегори Р, Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения.М.:Мир,1988. -207 с.

19. Грэхем Р, Кнут Д, Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. М.: «Мир», 1998. - 703 с.

20. Давыдов O.E. Разработка и исследование шифраторов и цифровых фильтров для абонементской связи в системе остаточных классов. / Диссерт. на соиск. учен, степени канд. наук: 05.13.05/ Йошкар-Ола, 2000. 127 с.

21. Дадаева И.Г. Исследование помехоустойчивых свойств остаточных кодов в позиционной и непозиционной системах счисления. / Диссерт. на соиск. учен, степени к.т.н. М., 1978.

22. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 664 с.

23. Деревенское С.О. Разработка и исследование класса аппаратурно-ориентированных алгоритмов решения, систем линейных алгебраических уравнений. / Диссерт. на соиск. учен, степени к.т.н. Волгоград^ 1995 - 217 с.

24. Дзегелёнок И.И., Оцоков Ш.А. «Экспериментальное исследование модели безошибочных ' вычислений на ПМК-сети КУРС 2000» '// Сб. трудов международной научной конференции «Информационные средства и технологии» М.:МЭИ (ТУ), 2003, С. 103-106.I

25. Дзегелёнок И.И., Оцоков Ш.А. «О распараллеливании безошибочных вычислений на ПМК-сети КУРС 2000» // Электронный • журнал. Вычислительные сети. Теория и практика, http://network-journal.mpei.ac.ru

26. Евдокимов В.Ф., Стасюк А.И. Вычислительные системы на основе разрядной интерпретации обрабатываемой информации. // Электр, моделир., N4,1986.- с.33-41.

27. Егоров В.М., Косцов Э.Г. Перспективы создания цифровых высокопроизводительных вычислительных устройств.//Автометрия, N 1, 1985.-с.114-125. '

28. Журкин В.А. Синтез быстродействующих устройств, использующих системы счисления в остаточных классах на многозначных элементах. / Диссерт. на соиск. учен, степени к.т.н. -Ленинград, 1973. 202 с.

29. Забродин A.B., Луцкий А.Е. Марбашев К.Х, Чернов Л.Г. Численное обследование обтекания летательных аппаратов и их элементов в реальных полетных режимах // Общероссиский научно-техн. журнал «Полет». 2001. -№7- С.21-29.

30. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. -296 с.

31. Инютин С.А. Исследование методов кодирования, декодирования помехозащищенных кодов системы остаточных классов / Диссер. на соиск. учен, степени к.т.н. Алмата: 1982.

32. Ирхин В.П. Теоретическое обобщение и разработка методов построения непозиционных модулярных спецпроцессоров: Диссерт. на соиск. учен, степени д.т.н. / Воронеж, 1999.

33. Исмаилов Ш-М. А. . . Теория и применение разрядно-параллельных процессорных элементов обработки числовых данных в комплексе систем счисления . / Диссерт. на соиск. учен, степени д.т.н. Махачкала : 1996. 535 с.

34. Исмаилов Ш-М.А., Артамонов Е.И., Кокаев О.Г., Хачумов В.М. Специализированные алгоритмы й устройства обработки массивов данных. Махачкала, Дагестанское книжное издательство,. 1993. 304 с.

35. Исмаилов Ш-М.А., Оцоков Ш.А. Разрядно-параллельный алгоритм .и структура преобразования чисел из позиционной системы счисления в систему остаточных классов. // Вестник. ДНЦ РАН. 2001.№9.С. 40-43

36. Исмаилов Ш-М.А., Хачумов В.М., Оцоков Ш.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений по методу «цифра за цифрой» // Вестник Университета. Тех. науки/ ДГТУ. Махачкала, 2000. - С.92-97

37. Казангапов А. H Функциональные вычисления в системе остаточных классов / Диссерт. на соиск. учен, степени к.т.н. Алма-Ата, 1968. - 127 с.

38. Касаткин В.Н. Новое о системах счисления . Киев : В.школа, 1982,-96 с.

39. Каханер Д.,. Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.-М.: Мир, 2001. 575 е., ил.

40. Кисленко B.C. Разрядно-параллельные процессоры арифметической и логической обработки радиолокационной информации. Дисс. на соиск. уч. степ, к.т.н. Л.: ЛЭТЙ, 1989, - 171с.

41. Кнут Д. Э . Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы, 3-е изд.: Пер. с англ.: Уч. пос. М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. - 832 с.I

42. Коблиц Н. Р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции / Пер. с англ.-М.: Мир, 1982. с. 24-35.

43. Кокаев О.Г. , Развитие и применение ассоциативных вычислений и структур. Дисс. на соиск. уч. степ, д.т.н. Л.:ЛЭТИ, 1989, - 498 с. ,

44. Коляда A.A. Модульные структуры конвейерной обработки числовой информации. Минск: Университетское, 1990.- 331 с.

45. Коляда А. А. Иктервально-модулярные коды с исправлением ошибок//Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физ. Мат. Мех. 1988. № 2. С. 33 -36.

46. Коляда А. А., Селянинов М. Ю. О контроле модулярных вы числительных устройств конвейерного типа//Всесоюз. совет. «Конвейерные вычислительные системы» (Киев, 18-19 сект., 1985): Тез докл. и сообщ. Киев, 1985. С. 91 -93.

47. Коляда А. А., Селянинов М. Ю. О формировании интегральных характеристик кодов систем в остатках с симметричным диапазоном// Кибернетика. 1986. № 4. С. 20 24.

48. Коляда A.A. Модулярные структуры конвейерной экспресс — обработки цифровой информации в измерительно-вычислительных системах физического эксперимента. / Диссерт. на соиск. учен, степени д.т.н. -Минск: 1991.

49. Коляда A.A. О ядре числа в системе остаточных классов // Кибернетика. 1982. №2. С. 123-125.l

50. Коляда A.A. Обобщенные системы остаточных классов. / Диссерт. на соиск. учен, степени канд.физ.-м'ат.наук: 01.01.09 / Белор. гос университет. -Минск, 1973.- 149 с.

51. Коляда A.A., Пилиповец Ф.С. • О нахождении оснований систем<остаточных классов // Теория и применение мат. машин. Мн.: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, .1972. С 16-28

52. Краснобаев В.А., Ирхин В.П. Алгоритм реализации операции модульного умножения в системе остаточных кла'ссов.//Электр. моделир., N 5, 1993.-с.20-27.

53. Луцкий С.А. Исследование особенностей проектирования и разработки быстродействующих аппаратных средств реализации элементарных функций с высокой точностью. / Дисс. на соиск. уч. степ, к.т.н. Л.: 1982, -238 с.

54. Маккелан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь. 1983.- 252 с.

55. Марковский А.Д: Структура вычислительных систем с точки зрения точности и алгебраических критериев качества вычислений. / Диссерт. на соиск. учен, степени к.т.н. М., 1979.

56. Михелович Ш.Х. Теория чисел. М. «Высшая школа», 1962. 259 с.

57. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: Издательство Ленинградского университета. 1988. - 333 с.

58. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2001.-304 с.

59. Перспективы использования параллельной архитектуры для создания ЭВМ со сверхвысокой производительностью. Экспресс-информация. Сер. вычислительной техники. М.: ВИНИТИ, 1985, N 27, с. 1-14.

60. Прангишвили И.В., Виленкин С.Я., Медведев И.Л. Параллельные вычислительные системы с общим управлением,- М.: Энергоатомиздат, 1983,-312 с.

61. Преобразователь позиционного кода в код системы остаточных классов: Пат. 1557682. AI, 5 H 03 M 7/18 / В.А. Краснобаев, O.A. Финько, Н.И.Швецов ( СССР) №4450764; Заявл. 27.06.1988; Опубл. 15.04.1990. -Бюл. №14 - 3 с.

62. Преобразователь числа из кода системы счисления в остаточных классов в двоичный код: Пат. 1541783. AI, 5 H 03 M 7/18 / Ш-М.А. Исмаилов, Э.Х. Хаспулатов ( СССР) №4404695; Заявл. 04.04.1988; Опубл. 07.02.1990. -Бюл. №5 - 3 с.t

63. Савельев А.Я. Арифметические и логические основы цифровых автоматов: Учебник. М.: Высш.' школа, 1980. - 255 с.

64. Самарский А.А Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: «Наука», 1978. 589 с.

65. Селетков С.Н., Волков Б.Г. Хранение и поиск данных в ЭВМ.- М.: Сов. радио," 1971,276 с.

66. Смичкус .Е.А., Баранов B.JI. О преобразовании чисел системы остаточных классов в позиционный код.// У.СиМ, N 7,8,1992.- с.31-36.

67. Соренков Э.И. и др. Точность вычислительных устройств и алгоритмов.--М.: Машиностроение, 1976.- 200 с.

68. Стасюк А.И. Организация однородных матричных процессоров.//Электр. моделир., N 6,1985, с.20-28.

69. Суейдан Л.И. Исследование и разработка функциональной организации матричых и таблично-матричнь!х устройств для вычисления элементарных функций. Дисс. на соиск. уч. степ, к.т.н.- Л.: 1981.

70. Суммирующее устройство по модулю : Пат. 2034328. AI, 6 G.06 F 7/49 / Ш-М.А. Исмаилов, А.А Джанмурзаев, Э.Н. Курбанов (СССР) -№930112221; Заявл. 01.03.1993; Опубл. 30.04.1995.- Бюл. №12. 3 с.

71. Суммирующее устройство: A.C. 1062689. СССР, МКИ G 06 F 7/50. /Ш-М.А. Исмаилов, И.А. Айдемиров, О.Г. Кокаев, Т.Э. Темирханов. № 3502589/24-24; Заявл. 20.10.82; Опубл. 23.12.83. - Бюл. № 47.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: «Наука», 1986. -288 с.

73. Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ. М.: Сов. радио, 1973. 120 с

74. Устройство для преобразования числа из системы остаточных классов в позиционный код : Пат. 1501280. AI, 4 Н 03 М 7/18 / С.Н. Литвинов ( СССР) №4337158; Заявл. 03.12.1987; Опубл. 15.08.1989 - Бюл. №30 - 3 с.

75. Фет Я. И. Параллельные процессоры для управляющих систем. -М.:Энергоиздат, 1981. 160 с.

76. Фет Я.И. Вертикальная . обработка как основа крупноблочной архитектуры. //Техническая кибернетика. М. 1986. N 5. с.139-158.

77. Фет Я.И. Массовая обработка информации в специализированных однородных процессорах. Новосибирск: Наука, 1976,240с.I

78. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 276 с.

79. Шауман A.M. Основы машинной арифметики. -JI: Изд-во ЛГУ, 1979. -312 с.I

80. Aaron. R, Houg Т. L. Capps С. D. Optical computing using residue arithmetic//AIAA Comput. Aerosp. 6 Conf. (Wakifield. Mass., 7-9 Oct;, 1987). Collect Techn. Pap. Washington, D. C., 1987. P. 207 212.

81. Bayoumi M. A. A quadratic residue processor for complex DSP applications //ICASSP'87: Proc. Int. Conf.' Acoust., Speech and Signal Process. (Dallas, Tex. 6-9 Apr. 1987). 1987. Vol. 1. New York. P. 475 478.

82. Blum L. , Cucker F. , Shub M. and Smale S. Complexity and real computation, New York: Springer-Verlag. (1998).

83. Blum' L. , Shub M. and Smale S. On a theory of computation and complexity over the real numbers. Amer. Math. Soc. Bull. 21:1-46 (1989).

84. Boehm H and Cartwright R. Exact real arithmetic, formulating real numbers as functions. In David A. Turner, editor, Research Topics in Functional Programming, chapter 3,Addison-Wesley, 1990, pages 43-64.

85. Boehm H. J., Cartwright R., O'Donnel M. J. and Riggle M. Exact real arithmetic, a case study in higher order programming. Proc. of the ACM conference on Lisp and functional programming, 1986.August, P. 162-173.

86. Chang P. R., Lee C. S. G. Residue arithmetic VLSI arra. architecture for manipulator pseudo-inverse Jacobian computation Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom. (Philadelphia. Pa, 24-29 Apr. 1988). 1988. Vol. 1. Washington, D. C. P. 297-302.

87. Clemens K. A modified definition of symmetric RNS improving scaling and overflow detection //IEEE Trails, on Circuits and Syst. 1985. Vol. CAS-32, N 4. P.412- 413.

88. Di-Gianantonio. P. A Functional Approach to Computability on Real Numbers ,i •

89. PhD thesis, Universitá Degli Studi di Pisa, Dipartamento di Informática, 1993.

90. Dixon" J. D. Exact solution of linear equations using p-adic expansions. Number. Math., 40, 1982,137-141."

91. Edalat A and Potts P J. A new representation for exact real numbers. Electronic Notes in Theoretical Computer.Science, 6, 1997.

92. Edalat A. Domains for computation in mathematics, physics and exact real arithmetic. Symbolic Logic. Bull, 3(4):401-452 (1997).

93. Edalat A and M.H. Escardó. Integration in Real PCF. // In Proceedings of the Eleventh Annual IEEE Symposium ón Logic In Computer Science, New Brunswick, New Jersey, USA, 1996, p 382-393

94. Escardó M.H. PCF extended with real numbers: A domain-theoretic approach to higher-order exact real number computation. Technical Report ECS-LFCS-97-374, Department of Computer Science, University of Edinburgh, December 1997.

95. Froment A. Error Free Computation: A Direct Method to Convert Finite-Segment p-Adic Numbers into Rational Numbers // IEEE Trans, on comput., 1983, Vol. C-32, N 4, P 337-343.

96. Gregory R. T. A. method for and an application of error-free computations. • Proceedings of the AFCET Symposium «Mathematics for Computer Science». Paris, 152-158,1982.

97. Gregory R. T. Error-free computation with rational numbers. BIT, 21, 1981b, 194-202.

98. Gregory R. T. Exact computation with order-N Farey fractions. Computer Science and Statistics: Proceedings of the 15th Symposium on the Interface. J. E. Gentle Editor, North Holland, Amsterdam, 1983.

99. Gregory R. T. Residue arithmetic with rational operands. Proceedings 5th Symposium on Computer Arithmetic. IEEE Computer Society; Ann Arbor, Michigan, 144-145,1981a. ' ■

100. Gregory R. T. The use of Finite-segment p-adic arithmetic for exact computation. BIT, 18,1978,282-300. •

101. Gregory R. T., Matula D., W. Base conversion in residue number systems//BTT. 1977. Vol. 17. P. 286-302.

102. Heckmann R . The appearance of big integers in exact real arithmetic based on linear fractional transformations. In Proc. Foundations of Software Science and Computation Structures, Lisbon, 1998.

103. Hehner E. C. R., Horspool R. N. S. A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic. SIAM J. Comp., 8, 1979,124-134.

104. Howell J. A., Gregory R T. An algorithm for solving linear algebraic equations using residue arithmetic. Parts I and II. BIT, 9, 1969, 220-224.

105. Kinoshita E., Kosako H., Kojima Y. Floating-point arithmetic algorithms'in the symmetric residue number svstem//IEEE Trans. Comput. 1974. Vol. C-23, N 1. P. 9-20.

106. Klnoshua E., Kosako H., Kofirna Y. General division in the syrnmetris residue number system // IEEE Trans. Comput. 1973. Vol. C-22, N 2.P.134-142.

107. Kokaev O.G., Kislenko V.S., Ameho D. Parallel execution of logical operations in associative processor // IEE Proceedings-E. Computers and Digital Techniques.- London, 1989.

108. Kornerup P. and Matula D.W. Finite Precision Rational Arithmetic: An Arithmetic Unit// IEEE Trans, on comput., 1983, Vol. C-32, N 4, P. 378-397.

109. Kornerup Pr and Matula D. An algorithm for redundant binary bitpipelined rational arithmetic. IEEE Transactions on Computers, 39(8): 1106-1115, August 1990.

110. Krishnamurthy E. V. On optimal iterative schemes for high speed division. IEEE Transactions on Computers, C-19, 1970,227-231.

111. Krishnamurthy E. V., Adegbeyeni E. 0. Finite field computational techniques for the exact solutions of mixed-integer linear equations. Inter. J. Syst. Sci., 8,1977,1181-1192.

112. Krishnamurthy E.V. On the conversation of Hensel Codes to Farey Rationals//IEEE Trans, on comput., 1983, Vol. C-32, N 4, P 331-336.

113. Miola A. M. The conversion of Hensel codes to their rational equivalents. ACM Sigsarn Bulletin, Nov. 1982, 24-26.

114. Nielsen A. M. and Kornerup f\ MSB-first digit serial arithmetic. Journal of Universal Computer Science, l(7):527-547, 1995.

115. Ong S. and Atkins D.E. A Basis for the Quantitative Comparison of Computer Number Systems // IEEE Trans, on comput., 1983, Vol; C-32, N 4, P 359-369.

116. Otsokov S.A. , Ismailov S-M.A. "Application of Methods Error-free Calculations in Hydrology " // International Conference on Computational Fluid Dynamics, ICCFD, Moscow, Russia, 2003, P. 206-208.

117. Potts P. J. and Edalat A . Exact real computer arithmetic. Imperial College, March 1997. '

118. Potts P. J., Edalat A., and Escardo M. H. Semantics of exact computer arithmetic. In Twelfth Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science, Warsaw, Poland, 1997, P. 248-257.

119. Pour-el M.B. and Richards I. Computability and non-computability in classical analysis. Trans. Am. Math. Soc., P. 539-560, 1983.

120. Rao T. M. Error-free computation of characteristic polynomial of a matrix. Comp. and Math, with Appl., 4, 1978, 61-65.

121. Rao T. M. Finite field computational techniques for exact solution of numerical problems. Ph. D. Dissertation. Department of Applied Mathematics, Indian Institute of Sciences, Bangalore, 1975.

122. Rao T. M., and Gregory R. T. The conversion of Hensel codes to rational numbers. Proceedings 5th Symposium on Computer Arithmetic, IEEE Computer Society, Ann Arbor, Michigan, 1981, 10-20.

123. Rao T. M., Subramanian К., and Krishnamurthy E. V. Residue arithmetic algorithms for exact computation of q-inverses of matrices, SIAM J. Numer.• Anal., 13,1976,155-171.

124. Shooman W. Parallel computing with vertical data / AFIPS Confer. Proc. //EJCC.- 1960.-Vol. 18.-P.111-115. '1.•

125. Smyre J. S. Exact computation using extended-precision single-modulus residue arithmetic. M. S. Thesis. Department of Computer Science, Universityof Tennessee, Knoxville, 1983.

126. Soderstrand M. A. Escott R. A. VLSI implementation in multiple-valuedIlogic of an FIR digital filter iising residue number system arithmetic//IEEE Trans, on Circuits and Syst. 1986. Vol. CAS-33, N 1. P. 5-20.

127. Szabo N. S., Tanaka R. 1. Residue Arithmetic and its Applications ' to Computer Technology. McGraw-Hill, New. York, 1967.

128. Taheri M., lulliên G. A. Miller U". C. SvMolic ROM arrays for implementing RNS FIR filter // ICASSP'87: Proc. Int. Conf. Acoust. Speechand Signal Process. (Dallas, Tex. 6-9 Apr., 1987). 1987. Vol. 2. New York. P. 771-774.

129. Tayior F. J., Huang C. H. A comparasion ol DFT algorithms using residue architecture//Comput. Elect. Eng. 1981. Vol. 8 , N 3. P. 161 171.

130. Vuillemin J. E. . Exact real computer arithmetic with continued fractions. IEEE Transactions on Computers, 39(8):1087-1105, August 1990.

131. Vimawala A. p-adic Arithmetic Methods for Exact Computation of Rational Numbers. // Scholl of Electrical Engineering and Computer Science, Oregon• State University, 2003

132. Watanuki O. and Ercegovac M.D. Error Analysis of Certain Floating-Point On- Line Algorithms // IEEE Trans, on comput., 1983, Vol. C-32, N 4, P. 352358.