Методы и алгоритмы организации высокоточных вычислений в арифметике остаточных классов для универсальных процессорных платформ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.15, кандидат наук Исупов, Константин Сергеевич

• Исупов, Константин Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Исупов, Константин Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ОРГАНИЗАЦИИ ВЫСОКОТОЧНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

§ 1.1. Современные области применения высокоточных вычислений

1.1.1. Моделирование климата

1.1.2. Исследование орбитальной эволюции небесных тел

1.1.3. Экспериментальная математика

1.1.4. Изучение постоянной тонкой структуры (постоянной Зоммерфельда)

1.1.5. Исследование электромагнитного рассеяния

1.1.6. Изучение п-тельных кулоновских атомных систем

1.1.7. Моделирование атмосферы сверхновых звезд

§ 1.2. Методы и средства высокоточных вычислений

1.2.1. Арифметика длинных позиционных чисел

1.2.2. Интервальные вычисления

1.2.3. Символьные вычисления

1.2.4. Постбинарные вычисления

1.2.5. Модулярная арифметика

§ 1.3. Исследование быстродействия современных программных средств высокоточных вычислений

§ 1.4. Применение модулярной арифметики для решения задач целочисленной многоразрядной обработки

§ 1.5. Выводы по главе

ГЛАВА 2. БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ВЫПОЛНЕНИЯ

НЕМОДУЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В СИСТЕМАХ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ

§ 2.1. Основные принципы модулярной обработки чисел

§ 2.2. Проблема выполнения немодульных операций

2.2.1. Способы интерпретации позиционного значения модулярного кода

2.2.2. Приближенное СГОТ-декодирование

§ 2.3. Метод интервально-позиционных характеристик

2.3.1. Формализация оценки величины модулярного представления в терминах интервальных вычислений

2.3.2. Достаточные признаки корректности немодульных операций

2.3.3. Арифметика интервально-позиционных характеристик

2.3.4. Основные алгоритмы выполнения немодульных операций

2.3.5. Оценка сложности алгоритмов

2.3.6. Результаты экспериментов

§ 2.4. Высокоточное вычисление интервально-позиционной характеристики

2.4.1. Задача минимизации погрешности вычисления ИПХ

2.4.2. Алгоритм КаС

2.4.3. Результаты экспериментов

§ 2.5. Быстрое масштабирование чисел в СОК степенью двойки

2.5.1. Постановка задачи. Метод половинного деления

2.5.2. Метод модулярного масштабирования с увеличенным шагом

2.5.3. Результаты экспериментов

§ 2.6. Выводы по главе

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ

ВЫСОКОТОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

§ 3.1. Арифметика с плавающей точкой стандарта 1ЕЕЕ-754

§ 3.2. Модулярно-позиционный формат с плавающей точкой для представления чисел

большой разрядности

§ 3.3. Оценка погрешностей модулярно-позиционных вычислений

3.3.1. Расстояние, машинный эпсилон, функция шага, ошибки округления—

3.3.2. Алгоритм генерации набора модулей для обеспечения заданной точности модулярно-позиционных вычислений

§ 3.4. Алгоритмы высокоточной арифметики в модулярно-позиционном формате с

плавающей точкой

3.4.1. Округление

3.4.2. Выравнивание порядков

3.4.3. Сложение, вычитание и сравнение

3.4.4. Умножение

3.4.5. Деление

§ 3.5. Экспериментальное исследование быстродействия алгоритмов

§ 3.6. Рекомендации по применению разработанных алгоритмов

§ 3.7. Выводы по главе

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ БИБЛИОТЕКА ВЫСОКОТОЧНОЙ АРИФМЕТИКИ В

МОДУЛЯРНО-ПОЗИЦИОННОМ ФОРМАТЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ

§ 4.1. Типы данных и API

§ 4.2. Структурная организация

§ 4.3. Результаты экспериментальной апробации

§ 4.4. Области практического применения разработанных программных решений

§ 4.5. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ТЕРМИНОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Программное обеспечение высокоточных вычислений

Приложение 2. Оценка быстродействия высокоточных программных библиотек

Приложение 3. Комплекс для целочисленных многоразрядных вычислений в СОК —

Приложение 4. Устройства для выполнения немодульных операций в СОК

Приложение 5. Анализ сложности методов выполнения немодульных операций

Приложение 6. Вероятность коллизии интервально-позиционных характеристик

Приложение 7. Генерация векторного смещения для высокоточного вычисления интер-вально-позиционной характеристики

Приложение 8. Алгоритмы вычислений в МП-формате с плавающей точкой

Приложение 9. Исходные коды основных алгоритмов

Приложение 10. Акты о внедрении результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы организации высокоточных вычислений в арифметике остаточных классов для универсальных процессорных платформ»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Решение многих научных и практических задач с использованием современных средств вычислительной техники требует повышения численной точности результатов обработки. Потребность науки в высокоточных вычислениях существовала всегда и в настоящее время она особенно актуальна. Крупные задачи, критичные к точности, возникают в самых разнообразных областях: в физике и космологии, в экспериментальной математике и вычислительной геометрии, в различных сферах высокотехнологичной промышленности и т.д. [72; 73; 84-87; 101; 109; 110; 125; 140]. Некоторые из них требуют двукратного увеличения точности, другие — четырехкратного, третьи же требуют сотни и более разрядов для получения численно значимых результатов. Характерной особенностью таких задач является большая размерность, в связи с чем критичным параметром становится время решения.

Основной причиной, влияющей на точность вычислений, является использование округлений в арифметических операциях, необходимость которых обусловлена фиксированной и относительно малой длиной операндов в современных процессорах. Строгий анализ алгоритмов на устойчивость относительно ошибок округления и выбор оптимального из альтернативных вариантов часто оказывается непомерно трудоемким, что подтверждается в работах Д. Голдберга, Д. Каханера, Дж. X. Уилкинсона, М. Овертона, К. Моулера, С. Нэша, С. К. Годунова, В. В. Воеводина [13; 16; 52; 107; 112; 137; 148]. Поэтому основной способ получения корректных результатов численных расчетов, критичных к округлениям — использование программной обработки чисел большой (превышающей длину машинного слова) разрядности. Однако построение длинной арифметики на базе позиционных систем счисления приводит к существенному, часто неприемлемому, снижению быстродействия.

Перспективным научным направлением в области организации быстродействующих высокоточных вычислений является использование модулярной арифметики (представление чисел в системах остаточных классов, сокращ. СОК), обладающей естественным внутренним параллелизмом данных [3; 5; 103; 136; 143]. Отсутствие переносов между соседними цифрами модулярных чисел (чисел, представленных в СОК), позволяет выполнять основные операции их обработки легко и быстро, эффективно векторизовать их и распределять по вычислительным ядрам. Способ реализации длинной арифметики на основе представления многоразрядных чисел в модулярном вычислительном базисе, среди прочих, в наибольшей степени согласуется с вектором развития современных высокопроизводительных систем и технологий параллельного программирования.

На развитие методов вычислений в СОК существенное влияние оказали российские ученые И. Я. Акушский, Д. И. Юдицкий, В. М. Амербаев, Н. И. Червяков, Н. А. Галанина, В. С. Князьков, Ш. А. Оцоков, за рубежом — Н. L. Garner, N. S. Szabo, G. С. Cardarilli, A. Omondi и др. Однако до сих пор основной нерешенной проблемой на пути создания быстродействующих алгоритмов высокоточной модулярной обработки остается большая сложность немодульных операций, таких как сравнение, вычисление знака, контроль переполнения диапазона, масштабирование и пр. Это ограничивает сферу эффективного применения СОК узким классом специфических задач, сводимых, по существу, к массовому сложению и умножению. Для решения этой проблемы требуется разработка новых методов быстрой и, что важно, достоверной оценки величины модулярных чисел.

Еще одна важная проблема — построение быстродействующих алгоритмов вещественной модулярной арифметики. Известные методы представления чисел с плавающей точкой в СОК [95; 121; 141] либо являются достаточно узконаправленными, либо ориентированы на специализированные аппаратные архитектуры и неэффективны с точки зрения скорости при реализации на вычислительных системах общего назначения. Развитие указанных направлений позволит использовать модулярную арифметику для организации высокоточных быстродействующих вычислений во многих приоритетных областях науки и техники.

Цель диссертационной работы состоит в повышении скорости вычислений при организации высокоточной арифметической обработки чисел большой разрядности с фиксированной и плавающей точкой в базисе систем счисления остаточных классов на процессорных платформах универсального назначения.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Исследование высокоточных численных задач, а также методов, алгоритмов и программных средств реализации арифметических вычислений с произвольно высоким уровнем точности на системах универсального назначения.

2. Разработка, теоретическое обоснование и экспериментальное исследование новых быстродействующих методов и алгоритмов выполнения основных немодульных операций в системах остаточных классов.

3. Разработка и теоретическое обоснование нового модулярно-позиционного формата с плавающей точкой для представления чисел большой разрядности при организации высокоточных быстродействующих арифметических вычислений.

4. Разработка, теоретическое обоснование и экспериментальная программная апробация новых ускоренных алгоритмов высокоточной арифметики в базисе модулярно-позиционного формата с плавающей точкой.

Объектом исследования диссертационной работы являются методы, алгоритмы и программное обеспечение арифметических вычислений с произвольно высоким уровнем точности на универсальных процессорных платформах с представлением чисел большой разрядности в форматах с фиксированной и плавающей точкой в модулярных и позиционных системах счисления.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы ускоренного выполнения модульных и немодульных арифметических операций в системах остаточных классов, алгоритмы и программные средства высокоточных арифметических вычислений в базисе модулярно-позиционных числовых форматов с плавающей точкой, характеристики их быстродействия и точности.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.15 — Вычислительные машины, комплексы и компьютерные сети по пункту 3 «Разработка научных методов и алгоритмов организации арифметической, логической, символьной и специальной обработки данных, хранения и ввода-вывода информации» и пункту 4 «Разработка научных методов и алгоритмов организации параллельной и распределенной обработки информации, многопроцессорных, многомашинных и специальных вычислительных систем».

Методы исследований. Для решения поставленных научных задач использовался аппарат численного анализа, алгебры вычетов, модулярной арифметики, интервального исчисления, линейной алгебры, теории вероятностей, теории алгоритмов, а также теории параллельных вычислений.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов и сформулированных на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок и корректным использованием методологического аппарата исследований. Справедливость выводов относительно эффективности и корректности предложенных методов и алгоритмов подтверждена компьютерным моделированием и экспериментами. Получены свидетельства о государственной регистрации разработанных программных средств [63-69], а также патент на новый способ организации вычислений [60].

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке и обосновании новых быстродействующих методов и алгоритмов выполнения вычислительно сложных немодульных операций модулярной арифметики, алгоритмов и программного обеспечения высокоточных арифметических вычислений в базисе нового модулярно-позиционного формата представления чисел большой разрядности. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Метод выполнения немодульных операций сравнения, определения знака и контроля переполнения диапазона представления чисел в системе остаточных классов, отличающийся использованием новой интервально-позиционной характеристики для аппроксимации относительной величины модулярного числа, обеспечивающий достоверность и более высокую скорость вычислений по сравнению с аналогами.

2. Высокоточный алгоритм вычисления интервально-позиционной характеристики модулярного числа, отличающийся выполнением итерационного смещения ее границ с последующей безошибочной корректировкой. При вычислениях не используется длинная арифметика, что позволяет получать результат с высокой точностью за меньшее время по сравнению с многоразрядными аналогами.

3. Итерационный метод масштабирования чисел в СОК коэффициентом 2Ч (д — натуральное число), отличающийся тем, что на каждой итерации для вычисления нового приближения выполняется определение интервала локализации и корректировка формального частного от деления предыдущего приближения в модулярном представлении на шаг масштабирования 2к (1 < И < д), что обеспечивает повышение скорости вычислений в сравнении с аналогами.

4. Формат представления чисел большой разрядности для повышения скорости при организации высокоточных арифметических вычислений на универсальных процессорных платформах — модулярно-позиционный формат с плавающей точкой, в котором многоразрядная мантисса представлена в СОК, порядок и знак - в позиционной системе и, в отличие от аналогов, впервые включена интервально-позиционная характеристика мантиссы, что обеспечивает высокое быстродействие при выполнении модульных и немодульных операций.

5. Алгоритмы выполнения арифметических операций и округления чисел в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой в которых, в отличие от аналогов, используется новый метод масштабирования и предвычислительный анализ мантисс, за счет чего достигается высокая скорость вычислений как при одиночных операциях, так и при продолжительных итерационных расчетах.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Метод выполнения немодульных операций сравнения, определения знака и контроля переполнения диапазона представления чисел в системе остаточных классов на основе интервально-позиционных характеристик.

2. Высокоточный быстродействующий алгоритм вычисления интервально-позиционной характеристики числа в модулярном представлении.

3. Итерационный метод масштабирования чисел в СОК коэффициентом 29.

4. Модулярно-позиционный формат с плавающей точкой для представления чисел большой разрядности при организации высокоточных вычислений.

5. Алгоритмы выполнения арифметических операций и округления чисел в модулярно-позиционном формате, их программная реализация в виде библиотеки для вычислений с произвольно высоким уровнем численной точности.

Практическая ценность работы. Разработанные методы и алгоритмы выполнения немодульных операций в системах остаточных классов расширяют области применения модулярной обработки, позволяя с высокой скоростью выполнять, наряду с операциями сложения и умножения, также операции вычитания с определением знака, сравнения, оценки переполнения числового диапазона и масштабирования чисел. Разработанная программная библиотека высокоточных вычислений применима при решении широкого перечня численных задач, критичных к ошибкам округления и скорости расчетов.

Реализация и внедрение. Результаты диссертации использованы при выполнении НИР № 2.2.1.1/3302 по АВЦП Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 гг.), НИР № 14.В37.21.0590 по ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), НИР № 2.4.1-2 по ПСР ФГБОУ ВПО «ВятГУ» (2012-2013 гг.), научного проекта РФФИ № 14-07-31075 «Разработка программной библиотеки высокоточных вычислений для решения задач численного моделирования» (2014-2015 гг.), а также в образовательном процессе ФГБОУ ВПО «ВятГУ» при подготовке магистров по направлению «Информатика и вычислительная техника».

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: III сессии научной школы «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» (Санкт-Петербург, 2010); летней сессии Всероссийской молодёжной школы по суперкомпьютерным технологиям и параллельному программированию (Москва, 2010); трех Международных суперкомпьютерных конференциях «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2010, 2011, 2012); конкурсе «Невозможное стало возможным: реальные приложения для НРС» (Москва, 2010); двух Международных выставках «CeBIT» (Ганновер, 2011, 2013); IV и V Испано-Российских Форумах «Информационно-коммуникационные технологии» (Мадрид, 2011, 2012); двух Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий» (Киров, 2011, 2012); четырех Всероссийских конференциях «Общество, наука, инновации» (Киров, 2010, 2012, 2013, 2014); выставке информационных технологий «SofTool» (Москва, 2011); двух конкурсах прикладных разработок и исследований «Компьютерный континуум: от идеи до воплощения» (Москва, 2011, 2012); Международной научной конференции «Суперком-

пьютерные системы и их применение» (Минск, 2012); Всероссийской научно-методической конференции «Телематика'2012» (Санкт-Петербург, 2012).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано: 16 статей [20; 22; 26; 28; 33; 34; 36; 38; 40; 41; 43; 45-49], из них семь в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ; 15 тезисов докладов [21; 23-25; 27; 29-32; 35; 37; 39; 42; 44; 50]. Получено семь свидетельств о регистрации программ для ЭВМ [63-69] и один патент [60].

Личный вклад соискателя. Все научные результаты, приведенные в диссертационной работе и сформулированные в положениях, выносимых на защиту, получены автором лично. Работы [22; 26; 43; 45; 49] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат формулировка концепции решаемой проблемы и постановка цели исследования. Новый формат представления многоразрядных чисел с плавающей точкой в базисе СОК, рассматриваемый в работе [28], предложен лично автором. Основной объем работ по написанию программ [63-69], их отладке, тестированию и интерпретации результатов экспериментов выполнен автором. Способ умножения чисел большой разрядности [60] разработан автором. Все основные положения тезисов докладов, подготовленных с соавторами [21; 24; 25; 30-32; 35; 37; 39; 42; 44; 50], сформулированы лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка терминов, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 151 наименования и 10 приложений. Основная часть работы изложена на 178 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков, 11 таблиц.

Краткое содержание работы

Первая глава является постановочной. В ней исследуется вопросы организации арифметических вычислений высокой точности на универсальных процессорных платформах общего назначения, имеющих разрядную сетку ограниченной длины. Приводится классификация актуальных задач науки и техники, чувствительных к ошибкам округления и скорости решения, требующих использования аппарата высокоточных вычислений. Выполняется обзор современных методов и средств организации высокоточных вычислений. Производится аналитическое и экспериментальное исследование основных ограничений современного алгоритмического и программного обеспечения длинной позиционной арифметики, определяются возможные пути их преодоления на основе использования систем остаточных классов в качестве базы для представления чисел с плавающей точкой большой разрядности.

Во второй главе рассматриваются вопросы повышения скорости вычислений при выполнении немодульных операций в модулярных системах счисления. Исследуются существующие, а также разрабатываются, обосновываются и исследуются новые, обладающие меньшей сложностью и обеспечивающие достоверность результата, алгоритмы сравнения чисел, вычисления знака числа и оценки переполнения диапазона представления чисел, представленных в СОК. В их основе лежит интервальная аппроксимация относительной величины модулярного числа — интервально-позиционная характеристика. Определяется возможность реализации разработанных алгоритмов как программно, так и на базе ПЛИС; предлагаются новые устройства для сравнения и вычисления знаков чисел в СОК. Теоретически обосновывается новый быстродействующий алгоритм вычисления интервально-позицион-ной характеристики, который позволяет получить высокоточную информацию о величине числа в СОК без использования вычислительно затратного преобразования в позиционную систему счисления. Разрабатывается быстрый итерационный метод модулярного масштабирования степенью двойки. Выполняется аналитическая и экспериментальная оценка временной сложности разработанных алгоритмических решений.

В третьей главе исследуются особенности форматов с плавающей точкой стандарта IEEE-754, рассматриваются вопросы анализа погрешностей машинной обработки, предлагается новый модулярно-позиционный формат с плавающей точкой для повышения скорости при организации арифметической обработки чисел большой разрядности. Для нового формата разрабатываются кодировки числовых и нечисловых величин, выводятся выражения для машинного эпсилона, функции шага числа, верхних границ погрешностей округления, разрабатываются алгоритмы преобразования, а также алгоритм генерации модулей СОК для априорно заданной точности вычислений. Предлагаются новые алгоритмы выполнения арифметических операций (выравнивание порядков, сложение и вычитание, сравнение, умножение и деление) и округления чисел большой разрядности в модулярно-позиционном формате. Приводятся аналитические оценки их временной и пространственной сложности, выполняется экспериментальное исследование эффективности их векторизации и быстродействия в сравнении с тремя известными аналогами (A Library for doing Number Theory, The GNU MPFR Library, Wolfram Mathematica). Формулируются рекомендации по практическому применению разработанных алгоритмов.

В четвертой главе рассматривается разработанная программная библиотека высокоточных вычислений в базисе модулярно-позиционной арифметики с плавающей точкой. Приводится ее структура, функциональное назначение и особенности организации основных модулей, выполняется описание основного типа данных и программного интерфейса.

Приводятся результаты экспериментального исследования производительности библиотеки на примерах решения задач матричного умножения и численного моделирования процесса распространения теплоты, которые показывают ее высокую скорость работы по сравнению с позиционными библиотеками A Library for doing Number Theory и The GNU MPFR Library. Выделяются приоритетные прикладные области эффективного применения разработанного алгоритмического и программного обеспечения.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Обозначено направление дальнейших исследований по тематике работы.

В приложениях выполнен обзор современного программного обеспечения высокоточных вычислений, приведены результаты экспериментов по исследованию быстродействия программных пакетов The GNU MP Arithmetic Library и The GNU MPFR Library; представлена структура программного инструментального комплекса для решения задач матричной алгебры с использованием СОК в качестве базы для представления целых чисел большой разрядности; представлены схемы и описание работы устройств для сравнения и вычисления знаков чисел в СОК на основе интервально-позиционных характеристик; произведена оценка сложности методов выполнения немодульных операций в остаточных классах; теоретически исследована вероятность коллизии интервально-позиционных характеристик; обоснован метод задания векторного смещения для высокоточного алгоритма вычисления интервально-пози-ционной характеристики; представлены блок-схемы алгоритмов высокоточной арифметики в модулярно-позиционном формате; приведены листинги программной реализации наиболее значимых из разработанных алгоритмических решений, а также акты о внедрении результатов диссертационной работы.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ОРГАНИЗАЦИИ ВЫСОКОТОЧНЫХ

АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В первом параграфе выполняется классификация и дается обзор ресурсоемких задач из разнообразных областей современной науки и техники, требующих для корректного решения использования аппарата высокоточных вычислений. Приводятся, в частности, задачи, возникающие в вычислительной гидродинамике, в строительной механике, в цифровой обработке сигналов, в автомобильной, судостроительной, авиакосмической промышленности, в квантовой физике, при крупномасштабном моделировании климата, в электромагнитной теории рассеяния, при изучении кулоновских систем на атомном уровне, в астрофизике, в экспериментальной математике, в вычислительной теории чисел.

Второй параграф посвящен обзору современных методов и средств организации вычислений высокой точности. Приводится классификация методов высокоточных вычислений, дается определение длинной арифметики и многоразрядного числа, рассматриваются многоразрядные позиционные форматы и программные средства на их основе, символьные вычисления, интервальный анализ, постбинарные вычисления, а также методы, основанные на использовании модулярных систем счисления. Особое внимание уделяется рассмотрению позиционных форматов представления длинных чисел, которые лежат в основе подавляющего большинства применяемых сегодня программных пакетов высокоточных вычислений.

В третьем параграфе обсуждаются результаты экспериментального исследования эффективности (быстродействия) наиболее распространенных высокоточных программных библиотек The GNU MP Bignum Library и The GNU MPFR Library.

В четвертом параграфе приводятся некоторые результаты исследования авторского инструментального комплекса для решения матричных и матрично-векторных задач с представлением многоразрядных целочисленных элементов в системе остаточных классах.

Пятый параграф резюмирует основные выводы, сформулированные на основании выполненного анализа предметной области и объекта исследований.

В процессе написания этой главы использовались литературные источники [1-10; 12; 13; 16; 18; 52; 53; 55-57; 59; 62; 70-74; 79-89; 91; 93-97; 100-103; 105; 106; 109-111; 116-119; 121123; 125-127; 129-133; 135-137; 139-141; 143; 145; 148-150]. Основные результаты, полученные автором и отраженные в главе, представлены в публикациях [24-27; 29-32; 40; 41; 44-46; 50; 63].

§ 1.1. Современные области применения высокоточных вычислений

В настоящее время отрасль высокопроизводительных вычислений развивается необычайно высокими темпами. На рисунке 1.1 представлена диаграмма, отражающая динамику роста производительности (полученной на тесте ЬШРАСК) крупнейших в мире суперкомпьютеров за период с 2009 по 2014 гг. Ее экстраполяция позволяет предположить, что в ближайшем будущем производительность суперкомпьютерных систем преодолеет экзафлопсный барьер. Такое развитие событий определяет стремительное увеличение масштабов вычислений, что приводит к качественно новым требованиям, предъявляемым к численным методам и вычислительным алгоритмам. Центральное из таких требований - это обеспечение получения за приемлемое время корректного результата решения задачи, не искаженного погрешностями.

а о

Е

Н

40000

со к о а С

д" 30000

н

и

0 X

ч 20000

О)

н а

ч:

1 10000

2009, 2010, 2010, ноябрь июнь ноябрь

2012> 2012, июнь ноябрь июнь ноябрь

2013, 2013, 2014, июнь ноябрь ИЮнь

Рисунок 1.1 - Динамика роста производительности крупнейших в мире суперкомпьютеров за период с 2009 по 2014 гг. (по данным списка Тор500)

В процессе решения численных задач с использованием вычислительной техники возникают погрешности следующих видов [62].

1. Неустранимые погрешности, причина которых — неточное математическое описание задачи, вызванное ограниченностью объема исходных данных.

2. Погрешности дискретизации: получение точного решения возникающей в природе задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому приходится прибегать к дискретизации по времени и пространству, получая приближенный результат вместо точного непрерывного решения.

3. Вычислительная погрешность, возникающая из-за неизбежных округлений при выполнении вычислительных операций в арифметике с конечной точностью (разрядностью).

Современные задачи, формализованные в виде математических моделей, требуют в процессе решения крайне сложных вычислений над огромными массивами данных, циклы обработки которых содержат значительное (106 и более) число итераций с большим количеством шагов. При вычислениях с ограниченной разрядностью (большинство современных вычислительных систем, в том числе и суперкомпьютеров, строится на базе процессоров общего назначения, поддерживающих 64-битную машинную арифметику стандарта 1ЕЕЕ-754 [116; 137], в которой под мантиссу числа отводится 53 бита), за исключением редких случаев, ошибка округления появляется на каждом таком шаге [13]. При этом точность машинных вычислений становится неудовлетворительной, и вычислительная погрешность определяет основную долю ошибки в получаемом решении. В результате исследователи сталкиваются с противоречием: усложнение математической модели и уменьшение шага дискретизации с целью получения более точного решения приводит к численным аномалиям, которые существенно искажают это решение. Стоит отметить также, что фундаментальные законы алгебры и математически эквивалентные преобразования на их основе, справедливые в вещественной арифметике, зачастую нарушаются в компьютерной арифметике [5; 12; 123], что нередко приводит к появлению серьезных численных ошибок в результате расчетов (см., например, [44]). В связи с этим возникает необходимость использования аппарата высокоточных вычислений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исупов, Константин Сергеевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов, С. А. Лекции о сложности алгоритмов [Текст] / С. А. Абрамов. — М. : МЦНМО, 2009. - 256 с. - ISBN 978-5-94057-433-0.

2. Акритас, А. Основы компьютерной алгебры с приложениями [Текст] : пер. с англ. / А. Акритас. — М. : Мир, 1994. - 544 с. - ISBN 5-03-002016-0.

3. Акушский, И. Я. Машинная арифметика в остаточных классах [Текст] / И. Я. Акушский, Д. И. Юдицкий. — М. : Сов. Радио, 1968. — 440 с.

4. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления [Текст] / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер.

- М. : Мир, 1987. - 360 с.

5. Амербаев, В. М. Теоретические основы машинной арифметики [Текст] — Алма-Ата : Наука, 1976. — 323 с.

6. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст] : учеб. пособие / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Кпоченова. — М. : Высш. шк., 1994. — 544 с. — ISBN 5-06-000625-5.

7. Аноприенко, А. Я. Пример Румпа в контексте традиционных, интервальных и постбинарных вычислений [Текст] / А. Я. Аноприенко, В. А. Гранковский, С. В. Иваница // Науч. тр. Донецкого национального технического ун-та. Сер. «Проблемы моделирования и автоматизации проектирования динамических систем». — 2011. — № 9(179). — С. 324-343.

- ISSN 2074-7888.

8. Бордовицына, Т. В. Теория движения искусственных спутников Земли [Текст] / Т. В. Бор-довицына, В. А. Авдюшев // Аналитические и численные методы : учеб. пособие. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 2007. — 178 с.

9. Буза, М. К. О плавающей запятой в системе счисления в остаточных классах [Текст] / М. К. Буза, В. К. Кравцов, Н. Н. Поснов // Вестник БГУ. — 1969. — Серия 1, № 3. — С. 21-27. - ISSN 1994-0866.

10. Бухбергер, Б. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления [Текст] : пер. с англ. / Б. Бухбергер [и др.] ; под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. — М. : Мир, 1986. - 392 с.

11. Виноградов, И. М. Основы теории чисел [Текст] / И. М. Виноградов. — М. ; JI. : Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.

12. Воеводин, В. В. Вычислительная математика и структура алгоритмов [Текст] / В. В. Воеводин. — М. : Изд-во Московского ун-та, 2010. — 168 с. — (Серия «Суперкомпьютерное образование»). - ISBN 978-5-211-05933-7.

13. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры [Текст] / В. В. Воеводин.

— М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1977. — 304 с.

14. Галанина, Н. А. Разработка КИХ-фильтров с использованием модульных и немодульных операций системы остаточных классов [Текст] / Н. А. Галанина, В. А. Песошин, Н. Н. Иванова // Вестник Чувашского университета. — 2012. — № 3. — С. 197-202. — ISSN 1810-1909.

15. Гергель, В. П. Теория и практика параллельных вычислений [Текст] : учеб. пособие / В. П. Гергель. — М. : Интернет-Университет Информационных Технологий ; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 423 с. — (Серия «Основы информационных технологий»).

— ISBN: 978-5-9556-0096-3, 978-5-94774-645-7.

16. Годунов, С. К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах [Текст] / С. К. Годунов, А. Г. Антонов, О. П. Кирилюк, В. И. Костин.

— Новосибирск : Наука. Сибирское отд-ние, 1988. — 456 с. — ISBN 5-02-028593-5.

17. Грегори, Р. Безошибочные вычисления. Методы и приложения [Текст] : пер. с англ. / Р. Грегори, Е. Кришнамурти. - М. : Мир, 1988. - 208 с. - ISBN 5-03-001145-5.

18. Дубовиченко, С. Б. Альтернативный метод решения обобщенной матричной задачи на собственные значения [Текст] / С. Б. Дубовиченко, Неронов В. С. // Труды конф. «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Павлодар, Казахстан, 20 - 22 сентября 2006). — Т. 1. — С. 436-444.

19. Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Наука, 1989. - 320 с. - ISBN 5-02-013949-1.

20. Исупов, К. С. Алгоритм вычисления интервально-позиционной характеристики для выполнения немодульных операций в системах остаточных классов [Текст] / К. С. Исупов //

Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». — 2014. - Т. 14, № 1. - С. 89-97. - ISSN 1991-976Х.

21. Исупов, К. С. Библиотека высокоточных вычислений для многоядерных процессоров [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, А. Н. Мальцев // Общество, наука, инновации (НПК-2014) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-практической конф. (15-26 апреля 2014 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2014. — С. 1185-1189. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. — ISBN 978-5-98228-073-2.

22. Исупов, К. С. Выполнение немодульных операций в системе остаточных классов на основе интервальных позиционных характеристик [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Перспективные научные исследования — 2013 : Материалы IX Международной научно-практической конф. (17-25 февраля 2013 г., г. София, Болгария). — София : «Вял ГРАД-БГ» ООД, 2013. - Т. 27. - С. 17-25. - ISBN 978-966-8736-05-6.

23. Исупов, К. С. Высокоточное вычисление интервально-позиционной характеристики модулярной арифметики [Электронный ресурс] / К. С. Исупов // Общество, наука, инновации (НПК-2014) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-практической конф. (15-26 апреля 2014 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2014. — С. 1173-1178. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. — ISBN 978-5-98228-073-2.

24. Исупов, К. С. Высокоточные численные расчеты на основе системы остаточных классов [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий (ЭКОМОД-2011) : Сб. тез. докл. VI Всероссийской науч. конф. (27 июня — 3 июля 2011 г., г. Киров). — Киров : Изд-во ВятГУ, 2011. — С. 53.

25. Исупов, К. С. Инструментальный комплекс для масштабируемых разрядно-параллельных вычислений высокой точности на многоядерных кластерных вычислительных системах [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Проведение науч. исслед. в области обработки, хранения, передачи и защиты информ. : Сб. тез. докл. Всероссийской конф. в рамках XXII ежегодной выставки информационных и коммуникационных технологий «SofTool» (25-28 октября 2011 г., г. Москва, ВВЦ павильон 69). — М. : [б. и.], 2011. — С. 121-122. - ISBN 978-5-9046-0202-4.

26. Исупов, К. С. Инструментальный комплекс для проектирования параллельных масштабируемых программ численных расчетов [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Научно-технический вестн. СПбГУ ИТМО / гл. ред. д.т.н., проф. В. О. Никифоров. — 2010. - № 6(70). - С. 68-72. - ISSN 2226-1494.

27. Исупов, К. С. Инструментальный комплекс для проектирования параллельных масштабируемых программ численных расчетов в базисах матричной алгебры и модулярной арифметики [Текст] / К. С. Исупов // Общество, наука, инновации : Сб. материалов Всероссийской научно-технической конф. (12-23 апреля 2010 г., г. Киров) : В 4 т. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2010. - Т. 2. ФАВТ, ФПМТ, ЭТФ. - С. 141-144. - ISBN 978-5-9382-5821-1.

28. Исупов, К. С. Использование модулярно-позиционных представлений для высокоточных вычислений с плавающей точкой [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Суперкомпьютерные системы и их применение (SSA'2012) : Доклады Четвертой Международной науч. конф. (23-25 октября 2012 г., г. Минск). — Минск : ОИПИ HAH Беларуси, 2012. - С. 79-83. - ISBN 978-985-6744-76-4.

29. Исупов, К. С. Использование системы остаточных классов для проектирования эффективных масштабируемых программ численных расчетов [Текст] / К. С. Исупов // Общество, наука, инновации : Сб. материалов Всероссийской научно-технической конф. (12-23 апреля 2010 г., г. Киров) : В 4 т. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2010. — Т. 2. ФАВТ, ФПМТ, ЭТФ. - С. 137-140. - ISBN 978-5-9382-5821-1.

30. Исупов, К. С. Исследование способов решения СЛАУ методом Гаусса с применением пакетов длинной арифметики [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, Ю. В. Зубарева, В. С. Князьков // Общество, наука, инновации (НПК-2013) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-практической конф. (15-26 апреля 2013 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2013. — 5 с. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - Загл. с экрана. - ISBN 978-5-98228-070-1.

31. Исупов, К. С. Исследование эффективности программного пакета MPFR для исключения погрешностей округления при решении уравнения теплопроводности явным разностным методом [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, О. В. Игнатов, В. С. Князьков // Общество, наука, инновации (НПК-2013) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-практической конф. (15-26 апреля 2013 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2013. — 5 с. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. - ISBN 978-5-98228-070-1.

32. Исупов, К. С. Исследование эффективности современных средств поддержки высокоточных вычислений с вещественными числами [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, А. Г. Иванов // Общество, наука, инновации (НТК-2012) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-технической конф. (16-27 апреля 2012 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2012. — 11 с. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

— Загл. с экрана. — ISBN 978-5-9822-8061-9.

33. Исупов, К. С. Метод выполнения немодульных операций в системе остаточных классов на основе интервальных позиционных характеристик [Текст] / К. С. Исупов // Фундаментальные исследования. — 2013. — № 4 (часть 3). — С. 566-570. — ISSN 1812-7339.

34. Исупов, К. С. Методика выполнения базовых немодульных операций в модулярной арифметике с применением интервальных позиционных характеристик [Текст] / К. С. Исупов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 3 (27). - С. 26-39. - ISSN 2072-3059.

35. Исупов, К. С. Модулярно-позиционный формат для высокоточной разрядно-параллель-ной обработки чисел с плавающей точкой [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Телематика'2012 : Сб. тр. XIX Всероссийской научно-методической конф. (25-28 июня 2012 г., г. Санкт-Петербург, НОУ ИДПО «ЦИПК») : В 2 т. — СПб : СПбГУ ИТМО, 2012. - Т. 2. - С. 324-326. - ISBN 978-5-7577-0404-3.

36. Исупов, К. С. Модулярно-позиционный формат и программный пакет для разрядно-параллельных вычислений высокой точности в формате с плавающей точкой [Текст] / К. С. Исупов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Вычислительная математика и информатика».

- 2013. - Т. 2, № 1. - С. 65-79. - ISSN 2305-9052.

37. Исупов, К. С. Модулярное масштабирование степенью двойки с произвольным шагом [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, А. Н. Мальцев // Общество, наука, инновации (НПК-2014) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-практической конф. (15-26 апреля 2014 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан. — Киров : Изд-во ВятГУ, 2014. — С. 1179-1184. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. — ISBN 978-5-98228-073-2.

38. Исупов, К. С. Об одном алгоритме сравнения чисел в системе остаточных классов [Текст] / К. С. Исупов // Вестник АГТУ. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика». - 2014. - № 3. - С. 40-49. - ISSN 2072-9502.

39. Исупов, К. С. Организация позиционно-модулярных вычислений для высокоточных численных расчетов [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах : Материалы XII Всероссийской конф. (26-28 ноября 2012 г., г. Н. Новгород) / под ред. проф. В. П. Гергеля.

— Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2012. — С. 190-193. — ISBN 978-5-91326-223-3.

40. Исупов, К. С. Параллельные вычисления над многоразрядными числами в системе остаточных классов [Электронный ресурс] / К. С. Исупов // Научный сервис в сети Интернет: экзафлопсное будущее : Тр. Международной суперкомпьютерной конф. (19-24 сентября 2011 г., г. Новороссийск). — Электрон, текстовые дан. — М. : Изд-во МГУ, 2011. — С. 534-540. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. — ISBN 978-5-2110-6229-0.

41. Исупов, К. С. Построение эффективных методов параллельного выполнения численных расчетов на основе полиномиальной системы классов вычетов [Электронный ресурс] / К. С. Исупов // Научный сервис в сети Интернет: суперкомпьютерные центры и задачи : Тр. Международной суперкомпьютерной конф. (20-25 сентября 2010 г., г. Новороссийск).

— Электрон, текстовые дан. — М. : Изд-во МГУ, 2010. — С. 642-649. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - Загл. с экрана. — ISBN 978-5-2110-5916-0.

42. Исупов, К. С. Представление вещественных чисел в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой для высокоточных разрядно-параллельных арифметических вычислений [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Актуальные проблемы современных наук : Сб. тр. VIII Международной научно-практической конф. (14-15 июня 2012 г., г. Пшемысль, Польша). — Пшемысль : Nauka i studia, 2012. — Т. 43. — С. 28-30. — ISBN 978-966-8736-05-6.

43. Исупов, К. С. Программный пакет высокоточных модулярно-позиционных вычислений с плавающей точкой [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Advanced Science. — Киров : Изд-во ВятГУ. - 2013. - № 3. - С. 150-171. - ISSN 2307-0536.

44. Исупов, К. С. Рассмотрение вопросов точности выполнения операций в позиционном формате с плавающей точкой [Электронный ресурс] / К. С. Исупов, А. В. Логинов // Общество, наука, инновации (НТК-2012) : Сб. материалов ежегодной Всероссийской научно-технической конф. (16-27 апреля 2012 г., г. Киров). — Электрон, текстовые дан.

- Киров : Изд-во ВятГУ, 2012. — 11 с. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с экрана. - ISBN 978-5-9822-8061-9.

45. Исупов, К. С. Система остаточных классов как инструмент для выполнения параллельных высокоточных численных расчетов [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий (ЭКОМОД-2010) : Сб. тр. V Всероссийской науч. конф. (5-11 июля 2010 г., г. Киров). — Киров : Изд-во ВятГУ, 2010. — С. 79-88.

46. Исупов, К. С. Современный подход к решению «некорректных» математических задач [Текст] / К. С. Исупов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (НРС-2010) : Материалы X Международной конф. (1-3 ноября 2010 г., г. Пермь) : В 2 т. - Пермь : Изд-во ПГТУ, 2010. - Т. 1. - С. 294-302.

47. Исупов, К. С. Способ и программный пакет для организации разрядно-параллельных вычислений с плавающей точкой высокой точности [Электронный ресурс] / К. С. Исупов // Научный сервис в сети Интернет: поиск новых решений : Тр. Международной суперкомпьютерной конф. (17-22 сентября 2012 г., г. Новороссийск). — Электрон, текстовые дан. — М. : Изд-во МГУ, 2012. — С. 718-730. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

- ISBN 978-5-211-06394-5.

48. Исупов, К. С. Способ уточненного вычисления приближенной позиционной характеристики для выполнения немодульных операций в системе остаточных классов [Текст] / К. С. Исупов // Фундаментальные исследования. — 2013. — № 4 (часть 4). — С. 796-800.

- ISSN 1812-7339.

49. Исупов, К. С. Табличный метод прямого преобразования двоичных чисел в систему остаточных классов с модулями {2F — l} [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков // Фундаментальные исследования. - 2012. - № 9 (часть 4). — С. 909-917. - ISSN 1812-7339.

50. Исупов, К. С. Эффективное выполнение высокоточных численных расчетов на основе системы остаточных классов [Текст] / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. В. Логинов // Международный саммит проекта «Open Cirrus». Сессия: Аспекты развития программы «Университетский кластер» : Сб. тез. докл. (31 мая — 3 июня 2011 г., г. Москва, РАН). — М. : [б. и.], 2011. - С. 65.

51. Калмыков, И. А. Алгоритм обнаружения и коррекции ошибки в модулярном коде на основе вычисления интервального номера полинома [Текст] / И. А. Калмыков, А. В. Ли-

сицын, В. Р. Гахов // Фундаментальные исследования. — 2006. — № 2. — С. 30-32. — ISSN 1812-7339.

52. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение [Текст] : пер. с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. - М. : Мир, 1998. - 575 с. - ISBN 5-03-002432-8.

53. Князьков, В. С. Компьютерная арифметика: теоретические основы и методы вычислений [Текст] / В. С. Князьков, Т. В. Волченская — LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012.

- 260 с. - ISBN 978-3-659-29095-4.

54. Копченова, H. В. Вычислительная математика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие / Н. В. Копченова, И. А. Марон. — СПб. : Лань, 2009. — 368 с. — ISBN: 978-5-8114-0801-6.

55. Кулиш, У. Достоверные вычисления. Базовые численные методы [Текст] : пер. с англ. / У. Кулиш, Д. Рац, Р. Хаммер, М. Хокс ; пер. А. Яковлев. — М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 496 с. — ISBN 0-387-57118-3.

56. Окулов, С. М. «Длинная» арифметика [Текст] / С. М. Окулов // Информатика. — 2000.

- № 4. - С. 19-23.

57. Оппенгейм, А. В. Цифровая обработка сигналов [Текст] : пер. с англ. / А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер ; под ред. С. Я. Шаца. — М. : Связь, 1979. — 416 с.

58. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений [Текст] : пер. с англ. / Дж. Ортега, У. Пул ; под ред. А. А. Абрамова. — М. : Наука, 1986.

- 288 с.

59. Оцоков, Ш. А. Структурно-алгоритмические методы организации высокоточных вычислений на основе теоретических обобщений в модулярной системе счисления [Текст] : дис. ... доктора технических наук : 05.13.05, 05.13.15 / Оцоков Шамиль Алиевич. — М., 2010. - 287 с.

60. Патент №2509345 РФ МПК G06F7/72. Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах / К. С. Исупов, В. С. Князьков. — Выдан 10.03.2014 г., Бюл. № 7.

61. Сабо, Н. Определение знака в неизбыточных системах счисления остаточных классов [Текст] / Н. Сабо // Кибернетический сборник. — 1964. — № 8. — С. 149-165. — ISSN 0234-1921.

62. Самарский, А. А. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. - М. : Наука, 1989. - 432 с. - ISBN 5-02-013996-3.

63. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012611793. Программа для выполнения высокоточных параллельных операций матричной алгебры / К. С. Исупов, В. С. Князьков. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 16.02.2012.

64. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013613857. Выполнение высокоточной операции умножения вещественных чисел в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. Н. Мальцев, А. В. Логинов. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 17.04.2013.

65. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013613858. Выполнение высокоточной операции сложения вещественных чисел в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. Н. Мальцев, А. В. Логинов. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 17.04.2013.

66. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013615425. Выполнение преобразования величин из двоичных (float, double, mpfr) в модулярно-позици-онный формат / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. Н. Мальцев, А. В. Логинов. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 10.06.2013.

67. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013615428. Выполнение операции сравнения вещественных чисел в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой / К. С. Исупов, В. С. Князьков, А. Н. Мальцев, А. В. Логинов. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 10.06.2013.

68. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013661592. Выполнение немодульных операций в системах остаточных классов с использованием метода интервальных позиционных характеристик / К. С. Исупов, А. Н. Мальцев. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 11.12.2013.

69. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013661911. Выполнение высокоточных арифметических операций с плавающей точкой с использованием

систем счисления в остаточных классах / К. С. Исупов, А. Н. Мальцев. — Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 18.12.2013.

70. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования [Текст]. В 2 т. Т. 1. Вычислительная математика / отв. ред. Н. С. Бахвалов, В. В. Воеводин.

- М. : Наука, 2005. - 343 с. - ISBN 5-02-033716-1.

71. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования [Текст]. В 2 т. Т. 2. Математическое моделирование / отв. ред. В. П. Дымников. — М. : Наука, 2005. - 405 с. - ISBN 5-02-033717-Х.

72. Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности [Текст] / Под ред. В. А. Садовничего, Г. И. Савина, чл.-корр. РАН В. В. Воеводина. — М. : МГУ, 2009.

- 232 с. - ISBN 978-5-211-05719-7.

73. Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности [Текст] / Под ред. В. А. Садовничего, Г. И. Савина, чл.-корр. РАН В. В. Воеводина. — М. : МГУ, 2012.

- 232 с. - ISBN 978-5-211-06345-7.

74. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи [Текст] : пер. с англ. / Э. Хайрер, Г. Ваннер. — М. : Мир, 1999. - 685 с. - ISBN 5-03-003117-0.

75. Червяков, Н. И. Аналитический обзор методов определения позиционных характеристик в системе остаточных классов [Текст] / Н. И. Червяков, М. Г. Бабенко, П. А. Ляхов // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2012. — № 12. — С. 27-30. — ISSN 1999-8554.

76. Червяков, Н. И. Методы и принципы построения модулярных нейрокомпьютеров [Текст] / Н. И. Червяков // Юбилейная Международная научно-техническая конф. «50 лет модулярной арифметике» (В рамках V Международной научно-технической конф. «Электроника и информатика 2005») : сб. науч. тр. (23-25 ноября 2005). — М. : МИЭТ, 2006. — С. 232-242.

77. Червяков, Н. И. Модулярные параллельные вычислительные структуры нейропроцессор-ных систем [Текст] / Н. И. Червяков, П. А. Сахнюк, А. В. Шапошников, С. А. Ряднов ; под ред. Н. И. Червякова. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с. - ISBN 5-9221-0327-Х.

78. Червяков, Н. И. Приближенный метод определения позиционной характеристики модулярного числа и его применение для выполнения немодулярных процедур нейропроцессо-ров в системе остаточных классов [Текст] / Н. И. Червяков, [и др.] // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2012. — № 12. — С. 40-46. — ISSN 1999-8554.

79. Шарый, С. П. Конечномерный интервальный анализ [Текст] / С. П. Шарый ; Институт вычислительных технологий СО РАН. — [Б. м.] : Изд-во «XYZ», 2012. — 605 с.

80. Якушев, В. JI. Решение плохообусловленных симметричных СЛАУ для задач строительной механики параллельными итерационными методами [Текст] / В. Л. Якушев, [и др.] // Вестник ННГУ. - 2012. - № 4(1). - С. 238-246. - ISSN 1993-1778.

81. AMD64 Architecture. Programmer's Manual. In 5 vol. Vol. 1. Application Programming [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://support.amd.com/us/ Processor_TechDocs/24592_APM_vl.pdf. — The title from the screen.

82. Bailey, D. H. ARPREC: An Arbitrary Precision Computation Package [Electronic resource] / D. H. Bailey, Y. Hida, X. S. Li, B. Thompson. — Electronic text data. — Berkeley, California : Lawrence Berkeley National Laboratory, 2002. — 8 p. — Mode of access: http://www. davidhbailey.com/dhbpapers/arprec.pdf. — The title from the screen.

83. Bailey, D. H. Experimental Mathematics: Examples, Methods and Implications [Text] / D. H. Bailey, J. M. Borwein // Notices of the AMS. - 2005. — Vol. 52. - P. 502-514. -ISSN 0002-9920.

84. Bailey, D. H. High-Precision Arithmetic: Progress and Challenges [Electronic resource] / D. H. Bailey, J. M. Borwein. — Electronic text data. — 2013. — 15 p. — Mode of access: http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/hp-arith.pdf. — The title from the screen.

85. Bailey, D. H. High-Precision Computation: Mathematical Physics and Dynamics (preprint) [Electronic resource] / D. H. Bailey, R. Barrio, J. M. Borwein. — Electronic text data. — Berkeley, California : Lawrence Berkeley National Laboratory, 2010. — 31 p. — Mode of access: http://www.escholarship.org/uc/item/0ck4q6k8. — The title from the screen.

86. Bailey, D. H. High-Precision Computation: Mathematical Physics and Dynamics [Text] / D. H. Bailey, R. Barrio, J. M. Borwein // Applied Mathematics and Computation. — 2012. — Vol. 218, Issue 20. - P. 10106-10121. - ISSN 0096-3003.

87. Bailey, D. H. High-Precision Floating-Point Arithmetic in Scientific Computation [Text] / D. H. Bailey // Computing in Science and Engineering. — 2005. — Vol. 7, Issue 3. — P. 54-61. - ISSN 1521-9615.

88. Bailey, D. H. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants [Text] / D. H. Bailey, P. B. Borwein, S. Plouffc // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, No. 218. - P. 903-913. - ISSN 0025-5718.

89. Barrowes, B. E. On the Asymptotic Expansion of the Spheroidal Wave Function and its Eigenvalues for Complex Size Parameter [Text] / B. E. Barrowes [et al.] // Studies in Applied Mathematics. - 2004. - Vol. 113, Issue 3. - P. 271-301. - ISSN 0022-2526.

90. Brent, R. P. On the precision attainable with various floating-point number systems [Text] / R. P. Brent // Proceedings of the 10th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (15-16 May, 1972). — USA : College Park, 1972. - P. 1-29.

91. C++ Class for Integers of Unlimited Range [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.imach.uran.ru/cbignum/. — The title from the screen.

92. Cardarilli, G. C. Programmable Power-of-two RNS Scaler and its Application to a QRNS Polyphase Filter [Text] / G. C. Cardarilli, A. Del Re, A. Nannarelli, M. Re // Proceedings of 2005 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (23-26 May, 2005). — Japan : IEEE, 2005. — P. 1002-1005.

93. Chiang, J.-S. A General Division Algorithm for the Residue Number System [Text] / J.-S. Chiang, M. Lu // Proceedings of the 10th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (26-28 June, 1991). — USA : Publishing Texas A&M University, 1991. — P. 76-83.

94. Chiang, J.-S. A Novel Division Algorithm for the Residue Number System [Text] / J.-S. Chiang, M. Lu // IEEE Transactions on Computers. — 1992. — Vol. 41, No. 8. — P. 1026-1032. — ISSN 0018-9340.

95. Chiang, J.-S. Floating-Point Numbers in Residue Number Systems [Text] / J.-S. Chiang, M. Lu // Computers and Mathematics with Applications. — 1991. — Vol. 22, No. 5. — P. 127-140. - ISSN 0898-1221.

96. CLN — Class Library for Numbers [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.ginac.de/CLN/. — The title from the screen.

97. Comparison of Multiple-Precision Floating-Point Software [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.mpfr.Org/mpfr-2.4.0/timings.html. — The title from the screen.

98. Corden, M. J., Kreitzer, D. Consistency of Floating-Point Results Using the Intel Compiler, or Why Doesn't My Application Always Give the Same Answer [Electronic resource] / M. J. Corden, D. Kreitzer. — Electronic text data. — 2012. — Mode of access: http://software. intel.com/sites/default/files/article/164389/fp-consistency-122712_l.pdf. — The title from the screen.

99. Dimauro, G. A New Technique for Fast Number Comparison in the Residue Number System [Text] / G. Dimauro, S. Impedovo, G. Pirlo // IEEE Transactions on Computers. — 1993. — Vol. 42, No. 5. - P. 608-612. - ISSN 0018-9340.

100. Fousse, L. MPFR: A Multiple-Precision Binary Floating-Point Library With Correct Rounding [Text] / L. Fousse, G. Hanrot, V. Lef'evre [et al.] // ACM Transactions on Mathematical Software. — 2007. - Vol. 33, Issue 2. — Article No. 13.

101. Frolov, A. M. Highly Accurate Evaluation of the Few-Body Auxiliary Functions and Four-Body Integrals [Text] / A. M. Frolov, D. H. Bailey // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2003. - Vol. 36, No. 9. - P. 1857-1867. - ISSN 0953-4075.

102. Fürer, M. Faster Integer Multiplication [Text] / M. Fürer // Proceedings of the Thirty-ninth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (June 11-13 2007, San Diego, California).

- New York : ACM, 2007. - P. 57-66. - ISBN 978-1-59593-631-8.

103. Garner, H. L. The Residue Number System [Text] / H. L. Garner // IRE Transactions on Electronic Computers. - 1959. - Vol. EC-8, No. 2. — P. 140-147. — ISSN 0367-9950.

104. Gbolagade, K. A. An 0(n) Residue Number System to Mixed Radix Conversion technique [Text] / K. A. Gbolagade, S. D. Cotofana // IEEE International Symposium on Circuits and Systems (24-27 May, 2009). - New York : IEEE, 2009. - P. 521-524.

105. The GNU MPFR Library [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.mpfr.org/. — The title from the screen.

106. The GNU Multiple Precision Arithmetic Library [Electronic resource]. — Electronic text data.

— Mode of access: http://gmplib.org/. — The title from the screen.

107. Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic [Text] / D. Goldberg // ACM Computing Surveys. - 1991. — Vol. 23, Issue. 1. - P. 5-48. -ISSN 0360-0300.

108. Harrison, J. A. Machine-Checked Theory of Floating-Point Arithmetic [Text] : Theorem Proving in Higher Order Logics: 12th International Conference, TPHOLs'99. — France, Nice, September 1999 / J. Harrison // Volume 1690 of Lecture Notes in Computer Science. — Berlin : Springer, 1999. - P. 113-130. - ISBN: 3-540-66463-7.

109. Hauschildt, P. H. The Numerical Solution of the Expanding Stellar Atmosphere Problem [Electronic resource] / P. H. Hauschildt, E. Baron. — Electronic text data. — 1998. — Mode of access: http://hobbes.hs.uni-hamburg.de/PAPERS/jcam-rev2/nodel8.html. — The title from the screen.

110. He, Y. Using Accurate Arithmetics to Improve Numerical Reproducibility and Stability in Parallel Applications [Text] / Y. He, C. Ding // Journal of Supercomputing. — 2001. — Vol. 18, No. 3. - P. 259-277. - ISSN 0920-8542.

111. High-Precision Software Directory [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/mpdist/. — The title from the screen.

112. Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms [Text] / N. J. Higham. — 2nd ed. - Philadelphia : SIAM, 2002. - 680 p. - ISBN 0-89871-521-0.

113. Hitz, M. Integer division in Residue Number Systems [Text] / Markus A. Hitz, Erich Kaltofen // IEEE Transactions on Computers. — 1995. — Vol. 44(8). - P. 983-989. — ISSN 0018-9340.

114. Hung, C. Y. An Approximate Sign Detection Method for Residue Numbers and its Application to RNS Division [Text] / C. Y. Hung, B. Parhami // Computers and Mathematics with Applications. — 1994. - Vol. 27, No. 4. - P. 23-35. - ISSN 0898-1221.

115. Hung, C. Y. Error Analysis of Approximate Chinese-Remainder-Theorem Decoding [Text] / C. Y. Hung, B. Parhami // IEEE Transactions on Computers. — 1995. — Vol. 44, No. 11. — P. 1344-1348. - ISSN 0018-9340.

116. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic [Text]. — Introduced 2008-08-29. — New York : Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2008. — 70 p.

117. The Intel® Xeon Phi™ Coprocessor: Parallel Processing, Unparalleled Discovery [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.intel.com/content/www/us/ en/high-performance-computing/high-performance-xeon-phi-coprocessor-brief.html. — The title from the screen.

118. Intel®64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual. In 5 vol. Vol. 1. Basic Architecture [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://download. intel.com/design/processor/manuals/253665.pdf. — The title from the screen.

119. Jonathan, R. S. Adaptive Precision Floating-Point Arithmetic and Fast Robust Predicates for Computational Geometry [Electronic resource] / R. S. Jonathan. — Electronic text data. — Mode of access: http://www-2.cs.cmu.edu/~quake/robust.html. — The title from the screen.

120. Kaucher, E. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR [Text] / E. Kaucher [et al.] // Fundamentals of Numerical Computation (Computer-oriented Numerical Analysis). Computing Supplementum. Vol. 2. — New York : Springer-Verlag, 1980. — P. 33-49.

121. Kinoshita, E. A. Floating-Point Arithmetic Algorithms in the Symmetric Residue Number System [Text] / E. Kinoshita, H. Kosako, Y. Kojima // IEEE Transactions on Computers. — 1974. - Vol. C-23, No. 1. - P. 9-20. - ISSN 0018-9340.

122. Kinoshita, E. A Residue Arithmetic Extension for Reliable Scientific Computation [Text] / E. Kinoshita, K.-J. Lee // IEEE Transactions on Computers. — 1997. — Vol. 46, No. 2. — P. 129-138. - ISSN 0018-9340.

123. Knuth, D. E. The Art of Computer Programming [Text]. In 3 vol. Vol. 2. Seminumerical Algorithms / D. E. Knuth. — 3rd ed. - USA : Addison-Wesley Professional, 1997. — 784 p. — ISBN 0-201-89684-2.

124. Kupka, I. Simulation Reeller Arithmetik und Reeller Funktionen in Endlichen Mengen [Text] / I. Kupka // Numerische Mathematik. — 1971. — Vol. 17, Issue 2. — P. 143-152. — ISSN 0029-599X.

125. Lake, G. From Sir Isaac to the Sloan survey: Calculating the Structure and Chaos due to Gravity in the Universe [Text] / G. Lake, T. Quinn, D. C. Richardson // Proceedings of the 8th ACM — SIAM Symposium on Discrete Algorithms. — Philadelphia : SIAM, 1997. — 10 p.

126. Lef'evre, V. The Generic Multiple-Precision Floating-Point Addition with Exact Rounding (as in the MPFR Library) [Text] / V. Lef'evre // Proceedings of the 6th Conference on Real

Numbers and Computers (15-17 November 2004). — Germany : Schloss Dagstuhl, 2004. — 17 p.

127. Menezes, A. J. Handbook of Applied Cryptography [Text] / A. J. Menezes, P. C. Oorschot, S. A. Vanstone. - London ; New York : CRC Press, 1996. - 816 p. - ISBN 0849385237.

128. Meyer-Base, U. New Power-of-2 RNS Scaling Scheme for Cell-based IC Design [Text] / U. Meyer-Base, T. Stouraitis // IEEE Transactions on Very Large Scale Integration Systems.

- 2003. - Vol. 11, Issue 2. - P. 280-283. - ISSN 1063-8210.

129. Mitchell, D. Multiprecision Floating-point Arithmetic on Apple Systems [Electronic resource] / D. Mitchell, S. Noble. — Electronic text data. — 2007. — 23 p. — Mode of access: http:// images.apple.com/acg/pdf/MP_Floating_Point_20070313.pdf. — The title from the screen.

130. Moore, R. E. Interval Analysis [Text] / R. E. Moore. — New Jersey, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1966. - 145 p.

131. Moore, R. E. Methods and Applications of Interval Analysis [Text] / R. E. Moore, F. Bierbaum.

- Philadelphia : SIAM, 1979. - 190 p. - ISBN 0-898-71161-4.

132. The MPACK; Multiple Precision Arithmetic BLAS (MBLAS) and LAPACK (MLAPACK) [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://mplapack.sourceforge. net/. — The title from the screen.

133. The MPFR Library: Algorithms and Proofs [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.inpfr.org/algorithins.pdf. — The title from the screen.

134. Muller J.-M. On the Definition of ulp(x) [Text] / Jean-Michel Muller // Rapport de Recherche.

- France, Montbonnot Saint Ismier : INRIA. — 2005. - № 5504. - 16 p. - ISSN 0249-6399.

135. NTL: A Library for doing Number Theory [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://www.shoup.net/ntl/. — The title from the screen.

136. Omondi, A. Residue Number Systems: Theory and Implementation [Text] / A. Omondi, B. Premkumar. — London : Imperial College Press, 2007. — 312 p. — (Advances in Computer Science and Engineering Texts ; vol. 2). — ISBN 978-1-86094-866-4.

137. Overton, M. L. Numerical Computing With IEEE Floating Point Arithmetic Including One Theorem, One Rule of Thumb, and One Hundred and One Exercises [Text] / M. L. Overton.

— Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — 106 p. — ISBN 0-89871-571-7.

138. Parhami, B. Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Designs [Text] / B. Parhami. — Oxford. : Oxford University Press, 2000. - 490 p. - ISBN 0-19-512583-5.

139. Power, D. A Library for Parallel Modular Arithmetic [Text] / D. Power, R. Bradford // Proceedings of the 5th International Euro-Par Conference on Parallel Processing. — London : Springer, 1999. - P. 1476-1483. - ISBN 3-540-66443-2.

140. Robey, R. W. In Search of Numerical Consistency in Parallel Programming [Text] / R. W. Robey, J. M. Robey, R. Aulwes // Parallel Computing. — 2011. — Vol. 37, Issue 4-5.

- P. 217-229. - ISSN 0167-8191.

141. Sasaki, A. The Basis for Implementation of Additive operations in the Residue Number System [Text] / A. Sasaki // IEEE Transactions on Computers. — 1968. — Vol. 17, No. 11. — P. 1066-1073. - ISSN 0018-9340.

142. Shoup, V. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra [Text] / V. Shoup. — 2ed. - Great Britain. : Cambridge University Press, 2005. - 534 p. - ISBN 978-052-1851-54-1.

143. Szabo, N. Residue Arithmetic and its Application to Computer Technology [Text] / N. Szabo, R. Tanaka. — New York : McGraw-Hill, 1967. - 236 p. - ISBN: 0-8186-0811-0.

144. Unit in the Last Place [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_in_the_last_place. — The title from the screen.

145. User's Guide to PARI/GP [Electronic resource]. — Electronic text data. — Mode of access: http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/manuals/2.5.1/users.pdf. — The title from the screen.

146. Vorst, H. A. van der. Iterative Krylov Methods for Large Linear System [Text] / Henk A. van der Vorst. — New York : Cambridge University Press, 2003. — 221 p. — ISBN 978-0-521-81828-5.

147. Vu, T. V. Efficient Implementations of the Chinese Remainder Theorem for Sign Detection and Residue Decoding [Text] / T. V. Vu // IEEE Transactions on Computers. — 1985. — Vol. C-34, No. 7. - P. 646-651. - ISSN 0018-9340.

148. Wilkinson, J. H. Rounding Errors in algebraic processes [Text] / J. H. Wilkinson. — New Jersey, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1963. - 161 p. - ISBN 0-486-67999-3.

149. Yan, Z. C. Bethe Logarithm and QED Shift for Lithium [Text] / Z. C. Yan, G. W. F. Drake // Physical Review Letters. - 2003. — Vol. 81. — P. 774-777. — ISSN 0031-9007.

150. Yang, J.-F. Compact Recursive Structures for Discrete Cosine Transform [Text] / J.-F. Yang, C.-P. Fan // IEEE Transactions on CAS-II: Analog and Digital Signal Processing. — 2000. — Vol. 47, Issue 4. - P. 314-321. - ISSN 1057-7130.

151. Yassine, H. M. Improved mixed-radix Conversion for Residue Number Architectures [Text] / H. M. Yassine, W. R. Moore // Circuits, Devices and Systems, IEEE Proceedings. — 1991. — Vol. 138, Issue 1. - P. 120-124. - ISSN 0956-3768.