Алгоритм и методика определения параметров многомерной линейной динамической модели тягового энергопотребления участка железной дороги тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Волныкин, Александр Николаевич

• Волныкин, Александр Николаевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Волныкин, Александр Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ УЧЕТА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ЖЕЛЕЗНОЙ ДОРОГИ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОЗА ТЯГОВОГО ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ НА БАЗЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

1.1. Задачи и организационные структуры управления электропотреблением в ОАО «РЖД».

1.2. Общие вопросы организации энергоснабжения на участке железной дороги.

1.3. Описание автоматизированной системы контроля и учета электроэнергии на базе счетчиков «ЕвроАльфа».

1.4. Постановка задачи идентификации и прогнозирования тягового энергопотребления на базе линейной динамической модели с использованием данных перевозочного процесса.

1.5. Структуры моделей передаточных функций.

1.5.1. Структура модели ошибки уравнения.

1.5.2. Структура модели выходной ошибки.

1.5.3. Структура модели при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

1.6. Методы идентификации.

Выводы по главе 1.

2. О СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНОК МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

2.1. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

2.2. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

2.3. О состоятельности оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

Выводы по главе 2.'.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПО ВХОДУ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Численный метод оценивания параметров линейных > разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

3.2. Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.3. Численный метод построения оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.4 Тесты для численных методов нелинейного МНК.

3.5 Тесты на базе временной модели в форме авторегрессии.

3.6 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.7 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при помехах во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 3.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ К ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗА ТЯГОВОГО ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ.

4.1. Постановка задачи прогноза тягового энергопотребления.

4.2. Тестирование программы для идентификации модели и построения прогноза.

4.3. Применение прикладного программного обеспечения для решения задачи оперативного прогноза тягового энергопотребления на различные промежутки времени.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритм и методика определения параметров многомерной линейной динамической модели тягового энергопотребления участка железной дороги»

Актуальность работы. Математическое моделирование процессов и их исследование,, основанное на математическом описании, достаточно давно используется в технике.

Одной из сфер применения математического моделирования является анализ, планирование и прогноз все возрастающих потребностей промышленности и транспорта в услугах Топливно-энергетического комплекса (ТЭК).

Железнодорожный транспорт, выполняя технологические функции перемещения большого объёма грузов на значительные расстояния, является энергоёмкой сферой промышленного производства. Тем не менее, среди других видов транспорта по удельным расходам топливно-энергетических ресурсов (ТЭР)< на единицу производимой работы, он является наиболее экономичным видом транспорта, обеспечивая подавляющие объёмы грузоперевозок и до половины- пассажирооборота. Кроме перевозочного процесса, что является основой его деятельности, железнодорожный транспорт расходует энергоресурсы на обеспечение работы обслуживающей перевозки инфраструктуры, ремонтное производство и, частично, - на социальную'сферу работников железнодорожного транспорта.

Осуществляя основные для государства объёмы перевозок, железнодорожный транспорт России, естественно, является одним из крупных и стабильных транспортных потребителей энергоресурсов, ежегодно расходуя 5-6% вырабатываемой в стране электроэнергии и до 6% дизельного топлива, или в натуральных показателях: свыше 40 млрд. кВтч электроэнергии, 3 млн. т дизельного топлива, 4,5 млн. т угля, до 1 млн. т мазута, почти 1 млн. м сжатого газа и 170 тыс. тонн бензина. Кроме того, до 20 млрд. кВтч электроэнергии дополнительно перерабатывается системами электроснабжения железных дорог для собственного потребления, транзита и снабжения сторонних (не железнодорожных) потребителей [77].

Затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов составляют в целом, по сети. ~ 11,2% от общесетевых эксплуатационных расходов (около 60,0 млрд. руб.) по данным за 2003г. и ~ 12% (более.72,0 млрд. руб.) по итогам 2004 г., из них непосредственно на тягу поездов расходуется - 72,2% и 27,8% на не тяговые нужды.

Превалирующим: энергоносителем; для тяги. и эксплуатационных нужд в энергобалансе отрасли является; электроэнергия (более 50%), дизельное топливо: составляет - 18%, уголь и мазут - 20% (соответственно - 14,6% и 5,3%). Ориентация железнодорожного транспорта1 в основном на электропотребление совпадает с общей направленностью энергетики страны.

Анализ;: основных направлений; развития: ТЭК, продиктованных «Энергетической стратегией России на период до 2020 года», с позиции прогноза обеспечения перспективных потребностей железнодорожного' транспорта энергетическими ресурсами/ показывает, что наиболее устойчивым энергоносителем, как. по объёмам, так и по динамике • роста выработки в стране на ближайшую и отдалённую перспективы является электрическая энергия [60].

В связи с реформированием' электроэнергетики: страны во взаимоотношениях ОАО «РЖД» с ТЭК возникло много технических, финансовых, правовых вопросов,, ранее не имеющих места. Это - выход на оптовый рынок, тарифы за электроэнергию, ценообразование за транзит электроэнергии, за протекание по тяговым сетям; уравнительных токов энергосистему прием энергосистемами рекуперативной энергии, обеспечение энергобезопасности перевозочного процесса и др. Они требуют детальной проработки и подготовки соответствующих взаимосогласованных нормативных актов [56].

Вместе с тем, ежегодные финансовые затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов по всем составляющим имеют положительную динамику, что свидетельствует об опережающих темпах роста цен на энергоносители в стране над темпом снижения их потребления железнодорожным транспортом.

Ответом* на сложившуюся ситуацию стало принятие на основании распоряжения от 01.10.2004 г. ОАО «РЖД» такого документа как «Энергетическая стратегия на период до 2010 года и на перспективу до 2020 года» (далее Энергетическая стратегия) и Программы по ее реализации [96].

Целями Энергетической стратегии железнодорожного транспорта на ближайшую и отдалённую перспективу являются:

• полное и надежное энергообеспечение перевозочного процесса железных дорог в объёмах, определяемых развитием экономики России и её внешнеэкономическими связями, как по мощностным параметрам, так и по энергоносителям;

• гармоничное и эффективное врастание отрасли в цивилизованный энергетический-рынок страны при не дискриминационных экономических взаимоотношениях между его субъектами* и государством в условиях реформирования, как железнодорожного транспорта, так и энергетики России;

• коренное улучшение структуры управления энергетическим комплексом отрасли на основе современных автоматизированных информатизационных технологий, систем учета и мониторинга расходования энергоресурсов,

• взаимовыгодных систем взаимодействия производителей и потребителей энергоресурсов отрасли;

• снижение энергоёмкости перевозочного процесса, и удельных затрат на энергопотребление во- всех сферах деятельности железнодорожного транспорта (тяга, инфрастуктура, эксплуатация, ремонт, производство, социальная сфера);

• снижение потребности в энергоносителях и затрат на их приобретение;

• минимизация техногенного воздействия железнодорожной энергетики на окружающую среду.

В связи со значительными финансовыми затратами, расходуемыми на приобретение энергоресурсов, становится актуальной задача разработки системы управления энергетическими ресурсами. Первоочередным этапом сознания данной системы является разработка систем и процедур планирования, приобретения и мониторинга потребления энергоресурсов [69,70].

Реализация вышеперечисленных задач в ОАО «РЖД» возложена на организационную структуру — сеть дорожных центров планирования и контроля потребления, электроэнергии (ЦИК). В качестве технологических средств-работы ЦПК предполагается использовать единую корпоративную автоматизированную систему управления покупкой и потреблением электроэнергии (АСУ ППЭ), в структуру которой интегрированы: система планирования потребления электроэнергии на оптовом и региональном рынке электроэнергии (ОРЭМ) и система управления потреблением электроэнергии. Однако отсутствие в. технологии АСУ ППЭ методов идентификации эксплуатационных факторов, дестабилизирующих характер фактического и планового электропотребления, может приводить к существенным финансовым потерям компании [69,70].

В условиях покупки электроэнергии на ОРЭМ эффективность работы ЦПК будет определяться как точностью прогнозирования предстоящих процессов электропотребления, так и качеством технологии управления фактическим электропотреблением по отношению к запланированному.

Таким образом, становится актуальным решение научно-технических проблем повышения качества прогнозирования и управления тяговым электропотреблением на иерархически структурированных подразделениях сети железных дорог посредством совершенствования структуры известных информационно-управляющих систем и разработки методов прогнозирования и управления с их расширенными функциональными возможностями.

Решение задачи управления и прогнозирования самым существенным образом зависит от выбора модели, которая используется для представления исследуемой системы. Одним из средств описания систем различного вида является их входо-выходная модель. При этом к числу наиболее важных задач, относящихся к исследованию таки моделей, принадлежит построение явной зависимости между входом и выходом системы. Эта зависимость должна обеспечить адекватное приближение рассматриваемого класса систем каким-либо эффективным, с точки зрения практического применения, методом. Другими словами, в данном случае важную' роль играет задача идентификации систем, являясь необходимым предварительным шагом в условиях, когда в той или иной степени модель объекта неизвестна. Традиционно задачи идентификации классифицируются как структурная идентификация, непараметрическая идентификация и параметрическая идентификация. Такая классификация обуславливается используемым объемом знаний о модели исследуемой системы, который; может варьироваться в пределах определяемых отсутствием информации о структуре модели в целом и неопределенностью значений ее параметров [78].

Часто практическим ограничением в задачах идентификации является неизвестность модели ненаблюдаемых внешних возмущений, в то время как использование оптимальных алгоритмов обусловливает знание такой модели. При этом в одних приложениях может требоваться определение модели возмущений, а в других требуется только идентификация параметров системы. В последнем случае применение оптимальных алгоритмов не представляется необходимым и достаточно использовать алгоритмы, не требующие знания или определения модели внешних возмущений, однако и тогда для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (по свойствам получаемых оценок). Многообразие этих методов описано в трудах и работах таких ученых как Каминкас В.А., Немура А.А., Льюнг Л., Эйкхофф П., Райбман Н.С., Цыпкин Я.З. и других [33,65,82,92,95].

В работах А.Н. Митрофанова показано, что модель тягового1 энергопотребления может быть охарактеризована как динамическая, многофакторная система, математическое описание которой может быть произведено либо в пространстве состояний, либо в пространстве входных-выходных сигналов в операторной форме [69,70]. В этих же работах обосновывается, что эту модель можно представить в форме линейной динамической системы определенного порядка, описываемой линейным разностным уравнением. Казалось бы, определение параметров такой системы не представляет особого труда, но в реальности мы наталкиваемся на такую трудно преодолимую преграду как наличие аддитивных помех измерений во входных и выходных переменных, вызванных несовершенством применяемых технологий и средств контроля и измерения. Определение состоятельных оценок параметров в таких случаях представляет собой трудноразрешимую, а порой и вовсе не решаемую задачу, так как применение общеизвестных методов либо не возможно, либо существенно затруднено.

Анализ предыдущих работ показал, что для решения подобной задачи может быть использован модифицированный метод наименьших квадратов. Этот метод описан в работах Гущина А.В., Тренькина В.М. Однако сфера исследований данных авторов ограничивалась лишь одномерными моделями, в то время как модель тягового энергопотребления представляет собой многомерную по входу систему.

В соответствии со сказанным, интересной представляется построение модели тягового энергопотребления с применением методов и алгоритмов идентификации параметров многомерных линейных динамических объектов при априорной неопределенности (отсутствии информации о- законах распределения помех измерения), которые позволили бы получать состоятельные оценки предлагаемой модели. Таким образом, диссертационная работа, направленная на разработку модели тягового энергопотребления и ее применение к решению такой задачи как прогноз энергопотребления на участке железной дороги, представляется интересной, перспективной и отвечающей современным направлениям развития техники и технологий.

Целью диссертационной работы является повышение точности оперативного прогноза тягового энергопотребления участка железной дороги на основе' моделирования процесса энергопотребления с учетом эксплуатационных параметров перевозочного процесса.

Основными задачами исследований являются:

- анализ процесса тягового энергопотребления участка железной дороги как объекта моделирования;

- анализ существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности;

- разработка алгоритма идентификации параметров многомерных по входу' линейных динамических объектов, основанного-на использовании критерия в виде отношения двух квадратичных форм, оценивающего размер ошибки предсказания;

- создание на основе предложенного критерия и алгоритма1 программного обеспечения (ПО), его использование для построения модели тягового энергопотребления участка железной дороги и осуществление на базе этой модели прогноза энергопотребления.

Методы исследования. В данной диссертационной работе были использованы такие инструменты как:

- методы системного анализа;

- элементы математической статистики, теории идентификации, теории матриц, линейной алгебры; прикладное программирование;

- математическое моделирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований экспериментальным тестам и расчетам математического моделирования.

Научная новизна предлагаемой диссертационной работы заключается в реализации модели тягового энергопотребления участка железной дороги с учетом данных перевозочного процесса с использованием алгоритма идентификации параметров реализуемой модели на основании! критерия, обобщающего* классический метод наименьших квадратов для многомерных по входу динамических систем в условиях априорной неопределенности.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Для. определения параметров модели тягового энергопотребления в форме линейных разностных уравнений в условиях априорной неопределенности разработан критерий, обобщающий классический метод, наименьших квадратов для многомерных по входу динамических системен-выраженный в форме отношения двух- квадратичных форм.

2. Для построения модели тягового энергопотребления разработана методика определения оценок параметров на! основе минимизации предложенного критерия с учетом отношений дисперсий воздействующих помех.

3. Реализован алгоритм прогнозирования процесса тягового энергопотребления участка с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.

Практическая значимость.

Построена модель тягового энергопотребления участка железной дороги с использованием разработанного программного- обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многомерных по входу линейных динамических объектов на основе введенного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления.

Реализация и внедрение результатов. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности ЦПК «Энергосбыт» (ЦГЖ — центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде: методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса; программного обеспечения для идентификации моделей распределения энергопотребления во времени, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.

Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:

1. Модель тягового энергопотребления участка железной дороги в виде многомерной по входу линейной динамической системы с помехами-измерений» во входных и выходных переменных, использующая параметры перевозочного* процесса: массу поездов и время их проследования? по участку.

2. Критерий модифицированного МНК, позволяющий оценивать параметры предложенной модели без знания законов распределения* воздействующих помех.

3. Алгоритм идентификации параметров линейных многомерных по входу динамических систем на основе многократного решения систем линейных алгебраических уравнений, позволяющий определять состоятельные оценки параметров лишь при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.

4. Методика и алгоритм прогнозирования процесса энергопотребления позволяющие повысить точность получаемого оперативного прогноза за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Пущино, январь

2005 г.); 2) XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Казань, май - июнь 2005г.); 3) 5-я Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'06» (г. Москва, январь 2006 г.); 4) XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Воронеж, май - июнь 2006г.); 5) 3-й Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, июнь 2006 г.).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ (в том числе и работа в издании, рекомендованном ВАК), получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов, библиографического списка использованной литературы и приложений. Объем работы: 132 страница основного машинописного текста, 30 рисунков, 9 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 102 источника.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Волныкин, Александр Николаевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе анализа участка железной дороги как потребителя электроэнергии построена модель тягового энергопотребления в виде многомерной по входу линейной динамической стационарной системы, с учетом в качестве входных переменных параметров перевозочного процесса: веса пропускаемых по участку поездов и времени их следования по участку.

2. Сравнение полученного прогноза с аналогичным прогнозом, но построенным с использованием классического МНК и с прогнозом, осуществленным с использованием комплекса КОРТЭС показало:

- среднее отклонение почасовых значений прогноза от фактических почасовых значений уменьшается на 5-30%;

- отклонение суммарного расхода электроэнергии на всем прогнозируемом отрезке времени от фактического суммарного расхода снижается на 5-40%.

3. Обзор существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности показал не удовлетворительную способность последних к получению состоятельных оценок параметров уравнений, описывающих данные системы. Состоятельные оценки определяются с помощью предложенного в диссертационной работе критерия для нахождения оценок параметров многомерных по входу линейных разностных уравнений, основанного на база модифицированного МНК и выраженного в форме отношения двух квадратичных форм.

4. На основании предложенного критерия разработан алгоритм получения состоятельных оценок, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий определять состоятельные оценки параметров при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.

5.Тестирование программного обеспечения, разработанного в соответствии с методом, показало выполнение условия состоятельности для получаемых оценок. ПО внедрено в ЦПК «Энергосбыт» на Куйбышевской железной дороге - филиале ОАО «РЖД».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Волныкин, Александр Николаевич, 2008 год

1. Алексеев А. А. и др. Статистические методы идентификации объектов// Учебное пособие. Л., 1979. - 103 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-755-с.

3. Андреев Н.И. Смещенные оценки параметров процессов управления Автоматика и телемеханика. М., 1977. - № 9. - С. 30-43.

4. Балагин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования// Автоматика и телемеханика. М., 1997. — № 2. - С. 141-146.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. 367 с.

6. Бесков Б.А. и др. Проектирование систем энергоснабжения электрических железных дорог. М.: Трансжелдориздат, 1963. - 471 с.

7. Бессонов А.А. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 279 с.

8. Бокс Дж., Дженкипс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. 193 с.

9. Борисов Д.П. и д.р. Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте: Учебник для ВУЗов ж/д трансп. М.: Транспорт, 1973. - 312 с.

10. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.-772 с.

11. Бочев А.С., Чирков В.К. Влияние интенсивности движения поездов на потери электроэнергии в системе тягового электроснабжения// Вестник РГУПС.-Ростов-на-Дону, 1999. -№ 1.-С. 68-74.

12. Бунич A.JI. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отношением сигнал/шум// Автоматика и телемеханика. — М., 2001. -№ 3. С. 53-62.

13. Бунич A.JI. Пассивная и активная идентификация линейного дискретного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика. М., 2003. - № 11. - С. 60-73.

14. Бурков А.Т., Варенцов В.М., Селедцов Э.П. Физическая модель участка электрической железной дороги однофазного переменного тока// Труды ЛИИЖТ-Л.:ЛИИЖТ, 1963, вып. 212, С. 3-25.

15. Валъд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960.-328 с.

16. Венцелъ Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. Пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2000. — 480 с.

17. Верещагин Ю. В. Гид для диспетчера// Гудок. М., 2007. - № от 31.01.2007. -С. 8.

18. Волныкин А.Н. Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу линейных динамических систем// «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20): Сб. тр. XX Междунар. науч. конф. -Ярославль: ЯГТУ, 2007, том 2, С. 85-88.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 575 с.

20. Гетманов В.Г., Жиров М.В., Шаховский А.В. Алгоритм идентификации для линейной дискретной динамической системыуправления// Автоматика и телемеханика. М., 2001. - № 4. - С. 2734.

21. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. М.: УРСС, 2001. - 318 с.

22. ГОСТ Р 523202005. Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. 4.11: Счетчики электрической энергии. — М.: Стандартинформ, 2005.

23. Гроп Д. Методы идентификации. М.: Мир, 1979. - 302 с.

24. Гуртовцев A.JI. Погрешности электронных счетчиков. Исследование и оценка// Новости электротехники. — СПб.: ИПК «НП-Принт», 2007. -№ 1.

25. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.-240 с.

26. Елисеева И.И., Семенова Е.В. Основные процедуры многомерного статистического анализа. Д.: УЭФ, 1993. - 78 с.

27. Ермаков С.М., Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

28. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор)// Автоматика и телемеханика. М., 1978. - № 8. — С. 66-100.

29. Закс JI. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. - 598 с.

30. Илюшин В.Б., Чадеев В.М. Алгоритм идентификации динамических объектов с учетом априорной информации о параметрах// Автоматика и телемеханика. М., 2006. -№ 7. - С. 133-143.

31. Каминкас В.А., Немура А.А. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Минтис, 1975. - 197 с.

32. Кацюба О.А. Идентификация линейных динамических систем// Учебное пособие. Самара: СамГАПС, 2004. — 67 с.

33. Кацюба О.А., Волныкин А.Н. Численный метод решения идентификации многомерных по входу линейных разностных уравнений// «Математические методы в технике и технологиях». (ММТТ-19): Сб. тр. XIX Междунар. науч. конф. Воронеж: ВГТА, 2006, том 2, -С. 133-134.

34. Кацюба. О.А., Волныкин А.Н. Алгоритм решения задачи идентификации линейных разностных уравнений// «Математика.

35. Экономика. Образование»: XIV Междунар. науч. конф.: Тез. докл. -Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 139.

36. Кацюба О.А., Волныкин А:Н. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем// Известия Самарского научного центра РАН. Самара, 2006, том 8, №4, - С. 1026-1033.