Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Тренькин, Владимир Михайлович

• Тренькин, Владимир Михайлович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тренькин, Владимир Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Задача оценивания параметров оператора известного класса.

1.2. Структуры моделей передаточных функций.

1.2.1. Структура модели ошибки уравнения.

1.2.2. Структура модели выходной ошибки.

1.2.3. Структура модели при наличии помех наблюдений во входных и выходных сигналах.

1.3. Методы оценивания параметров оператора, основанные на знании функции плотности распределения.

1.3.1. Оценивание параметров оператора динамической системы методом максимального правдоподобия.

1.3.2. Оценивание параметров оператора динамической системы методом построения апостериорной плотности вероятности.

1.4. Методы оценивания параметров оператора без знания закона распределения.

1.4.1. Оценивание параметров оператора методом наименьших квадратов.

1.4.1.1. Случай коррелированных наблюдений.

1.4.2. Модифицированный метод наименьших квадратов для случая некоррелированных помех.

Выводы по главе 1.

2. О СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

2.1. Особенности задачи параметрической идентификации.

2.2. О состоятельности оценок параметров авторегрессии при локально автокоррелированных помехах.

2.3. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при локально автокоррелированных помехах в выходных сигналах.

2.4. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при локально автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 2.

3. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ МОДЕЛИ, ТЕСТЫ ВРЕМЕННОЙ МОДЕЛИ СРЕДСТВАМИ ПРОГРАММНОГО

КОМПЛЕКСА.

3.1. Алгоритмы определения оценок параметров линейных разностных уравнений.

3.1.1. Алгоритм построения оценок параметров авторегрессии для случая локально автокоррелированных помех.

3.1.2. Алгоритм оценивания параметров линейных разностных уравнений для случая локально автокоррелированных помех в выходных сигналах.

3.1.3. Алгоритм оценивания параметров разностных уравнений с автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах.

3.2. Тестирование модифицированного метода наименьших квадратов68 3.2.1. Тесты на базе временной модели в форме авторегрессии.

3.2.2. Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах в выходных сигналах.

3.2.3. Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 3.

4. ПРОГНОЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РЕЛЬСОВОЙ КОЛЕИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ НА ОСНОВЕ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

4.1. Процедура идентификации временной модели прогноза геометрических параметров рельсовой колеи.

4.2. Подпрограмма идентификации и теста временной модели в форме авторегрессии.

4.3. Тестовый прогноз значений временной модели в форме авторегрессии.

4.4. Применение прикладного программного обеспечения для параметрической идентификации процесса распределения геометрических параметров рельсовой колеи во времени.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах»

Актуальность работы. Системный анализ захватывает все новые области научных знаний: медицину, физику, биологию и др. Актуальными становятся вопросы разработки новых математических методов обработки информации и моделирования объектов, разработки и тестирования эффективных численных методов с применением электронно-вычислительных машин (ЭВМ) в виде комплексов программ и т. д. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Необходимость использования методов моделирования определяется тем, что многие объекты невозможно обследовать непосредственно и исследование требует много времени и средств.

Одним из важных направлений эксплуатации железнодорожного транспорта является совершенствование планирования путевых работ и ремонтов на базе автоматизированных средств диагностики пути и прогнозирования его технического состояния. Применение этих средств повышает безопасность движения при одновременном снижении затрат на содержание пути.

Задача автоматизации систем управления железнодорожного пути была актуальной всегда, сегодня ключом к ее решению является применение методов и алгоритмов параметрической идентификации сложных систем. Информатизация путевого хозяйства названа одним из важнейших условий реформирования системы управления, предусмотренных «Концепцией реформирования организационной структуры путевого комплекса», одобренной постановлением Коллегии МПС РФ от 14.03.2001г. Информатизация путевого хозяйства определена постановлением как приоритетное направление повышения эффективности работы путевого хозяйства до 2010г. В Концепции автоматизированной системы управления путевым хозяйством железнодорожного транспорта (АСУ-П) принято современное кибернетическое толкование процесса текущего содержания и ремонта, как процесса управления техническим состоянием пути и сооружений. Этот процесс рассматривается как один из важнейших процессов управления в путевом хозяйстве, автоматизация которого должна производиться в первую очередь. В Концепции приведены следующие требования, относящиеся к технологической модели контроля технического состояния пути: считать приоритетными направлениями научных исследований в области путевого хозяйства и предусмотреть в планах НИОКР (Научно исследовательские и опытно конструкторские работы) разработку новых технических средств диагностики и мониторинга пути с расширенными функциями, направленными на обеспечение безопасности движения, разработку и реализацию концепции технической диагностики, мониторинга, планирования и управления путевым хозяйством на основе информационных технологий. Для реализации этих требований на первом этапе необходима разработка концепции развития системы диагностики железнодорожного пути на основе автоматизированных технических средств контроля и новых методов идентификации сложных систем.

Отмечены следующие недостатки существующей на данный момент технологии:

- не разработана технология прогнозирования технического состояния рельсовой колеи;

- в Инструкции по текущему содержанию пути и в положении о вагоне-путеизмерителе не отражена технология содержания рельсовой колеи с использованием компьютерных технологий. Не определен порядок анализа по путеизмерительным лентам изменений, происходящих в пути, и использования результатов этого анализа;

- отсутствует нормативный документ по компьютерной технологии оценки качества ремонтно-путевых работ по геометрическим параметрам рельсовой коI леи.

Решение данных недостатков является одной из главных задач автоматизации систем управления пути на данный момент.

В Концепции АСУ-П объединены основные принципы информатизации путевого хозяйства на период до 2010 года. Стратегическими целями создания АСУ-П являются повышение уровня безопасности движения и эксплуатационной надежности железнодорожного пути и снижение эксплуатационных расходов в путевом хозяйстве. Поставленные цели достигаются за счет повышения качества подготовки управленческих решений на основе расширения информационной базы, новых алгоритмов и технологий, а также за счет повышения контроля состояния пути на основе внедрения диагностических средств с автоматизированной оценкой состояния пути и системы мониторинга технического состояния объектов пути.

Целью текущего периода развития АСУ-П, в частности, является перенос центра внимания с задач паспортизации к задачам контроля и анализа данных. В управлении путевым хозяйством мероприятия по обеспечению и повышению безопасности движения разрабатываются на основе комплексного подхода. Комплексный подход к обеспечению безопасности движения включает в себя совершенствование системы диагностирования пути. В ежегодных планах НИОКР ЦП, в частности, предусматривается разработка новых технических средств диагностики пути.

Комплексная оценка фактического состояния железнодорожного пути есть совокупность математических методов, алгоритмов и программно-аппаратных средств определения, состояния его элементов и подсистем на основе данных о конструкции пути, параметрах эксплуатации, результатах наблюдения и измерения. Основанием для разработки и внедрения комплексного контроля и оценки является комплексная программа по сокращению случаев сходов подвижного состава, утвержденная Министром путей сообщения 28.08.2001 г. В одном из пунктов комплексной программы сформулировано требование: «Разработать положение по комплексному контролю параметров железнодорожного пути по условиям обеспечения безопасности движения с использованием современных диагностических средств».

Сбор информации в АСУ-П должен производиться автоматически от аппаратно-программных комплексов съема и первичной обработки информации о состоянии объектов пути. Повышение качества решений по обеспечению работоспособности пути и безопасности движения должно достигаться на основе автоматизации контроля технического состояния объектов пути, а также за счет повышения уровня согласованности и достоверности данных. Условиями развития АСУ-П, в частности, являются: совершенствование методов обработки форм входной и выходной информации с целью оптимизации управленческих решений и учет перспективных способов управления техническим состоянием пути.

Согласно Концепции АСУ-П, приоритетными являются: разработка и внедрение автоматизированных средств диагностирования пути, как средств, обеспечивающих наиболее высокий уровень достоверности данных. Опережающими темпами должны вестись работы по созданию автоматизированных средств диагностики пути и средств регистрации первичной информации в электронном виде; разработка и внедрение путевых машин, использующих данные средств диагностики пути в электронном виде. На этапе 2006-20 Юг. в число внедряемых в составе пускового комплекса и функционирующих в единой информационной среде системы баз данных по управлению инфраструктурой железнодорожного транспорта входит программно-технический комплекс «Обработка и использование информации с путеизмерительных компьютеризированных вагонов-лабораторий» («мониторинг рельсовой колеи» для всех уровней управления).

В результате информатизации путевого хозяйства снижаются внутриотраслевые затраты. Составляющими эффективности являются: повышение безопасности движения поездов за счет внедрения диагностических средств с автоматизированной оценкой состояния пути, создание системы мониторинга технического состояния объектов пути, а также снижение внутренних затрат по хозяйству пути за счет оптимизации планов и сроков ремонтов пути на основе учета фактического и прогнозируемого состояния пути по результатам автоматизированной оценки его состояния и диагностики. Создание системы мониторинга технического состояния объектов пути, основанной на автоматизированных средствах диагностики и современных информационных технологиях является одним из условий внедрения в путевое хозяйство стратегии содержания пути.

Применение ЭВМ в практике технической эксплуатации пути позволяет значительно увеличить объем и оперативность обработки информации о текущем и прогнозируемом состоянии пути. Чтобы реализовать эту возможность, необходимы компьютеризированные диагностические средства, обработанные модели состояния пути на ЭВМ и автоматизированная информационная база данных пути. Роль прогнозирования особо выделяется при подходе к проектированию и организации системы технической эксплуатации, как системы управления состоянием обслуживаемых объектов. При кибернетическом подходе к организации системы технической эксплуатации она рассматривается, как система управления техническим состоянием объекта. В системах управления непрерывно вырабатываются, реализуются и контролируются управляющие решения. Основной алгоритм управления - диагностика, оценивание состояния, идентификация (определение модели состояния объекта), прогнозирование и планирование.

Прогнозирование является одним из обязательных этапов этого алгоритма. Без него невозможна оптимизация управления.

Основная задача технической эксплуатации сложных систем состоит в научном прогнозировании состояния сложной системы и выработке с помощью специальных моделей и математических методов анализа и синтеза этих моделей, рекомендаций по организации их эксплуатации. Для решения этой задачи используется вероятно-статистический подход к прогнозированию и управлению состоянием сложных систем и моделированию эксплуатационных процессов.

Железнодорожный путь в пределах отдельного железнодорожного направления или поездоучастка имеет все признаки сложной системы [100,101].

Одним из эффективных способов построения моделей сложных систем являются методы структурной и параметрической идентификации. При известной структуре модели объекта процедура параметрической идентификации основывается на обработке информации о входных и выходных данных об объекте, при этом, как правило, процесс получения информации сопровождается существенными помехами и сложностями установления их законов распределения, что требует разработки специальных методов и алгоритмов параметрической идентификации. Вместе с тем бывают случаи, когда информация о входных и выходных данных сопровождается помехами наблюдений, причем эти помехи являются нестационарными и зависимыми.

Известно, что в случае идентификации линейных динамических объектов для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (в смысле дисперсионных свойств получаемых оценок). При априорной неопределенности (отсутствии информации о законах распределения помех наблюдения) ни оценки метода максимального правдоподобия, ни оценки классического метода наименьших квадратов (МНК), ни оценки метода эмпирического риска, ни минимаксные и т. д. на некотором классе распределений оценок такими свойствами не обладают, тем более для случая зависимых помех наблюдений.

В связи с изложенным, актуальной представляется разработка методов и алгоритмов параметрической идентификации линейных динамических объектов в условиях априорной неопределенности при наличии указанных выше помех наблюдений, позволяющих получать состоятельные оценки параметров на основе разработанного модифицированного метода наименьших квадратов (как наиболее распространенного в условиях априорной неопределенности), а также реализация разработанных методов и алгоритмов в виде прикладного программного обеспечения (ПО). Таким образом, диссертационная работа, направленная на разработку указанного ПО и применение разработанного ПО к решению задачи прогноза технического состояния железнодорожного пути, а именно прогноза геометрических параметров рельсовой колеи (уровня, рихтовки, шаблона), представляется актуальной, современной и перспективной.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритма параметрической идентификации линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

- обзор существующих методов параметрической идентификации линейных динамических объектов;

- получение критерия в виде отношения двух квадратичных форм оценивания параметров временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах;

- разработка алгоритмов параметрической идентификации линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах, основанных на критерии модифицированного метода наименьших квадратов;

- создание на основе предложенных критериев и алгоритмов прикладного программного обеспечения;

- применение созданного программного обеспечения для решения задачи прогноза геометрических параметров рельсовой колеи и планирования путевых работ.

Методы исследования. В работе использованы методы системного анализа, элементы математической статистики, теории идентификации моделей, теории матриц, моделирование и экспериментальное исследование на реальных объектах.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических, тестовых испытаний и сравнение результатов математического моделирования с экспериментальными исследованиями.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Для решения задачи определения параметров временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах доказан и применен критерий, на основании которого получены сильносостоятельные оценки параметров в отличие от известных методов параметрической идентификации (классический МНК, метод максимального правдоподобия и др.), с помощью которых получаем либо несостоятельные оценки, либо для оценивания параметров необходима большая априорная информация о законах распределения помех наблюдений.

2. Разработаны алгоритмы определения параметров временной модели на основе введенного критерия минимизации отношений двух квадратичных форм, сводящиеся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений.

3. На основе разработанных критериев и алгоритмов получения состоятельных оценок, создано программное обеспечение для нахождения оценок параметров линейных разностных уравнений с автокоррелированными помехами.

4. Разработана методика прогнозирования геометрических параметров рельсовой колеи основанная на параметрической идентификации с помощью модифицированного МНК.

Практическая значимость. Создано программное обеспечение, реализующее предложенные алгоритмы параметрической идентификации линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах, позволяющее находить оценки параметров на основе введенного модифицированного метода наименьших квадратов. Созданное программное обеспечение применено к решению задачи прогноза геометрических параметров рельсовой колеи и планирования путевых работ.

Реализация и внедрение результатов.

1. Результаты разработки и исследования алгоритмов параметрической идентификации линейных динамических объектов, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.

2. Разработанное программное обеспечение внедрено на Куйбышевской железной дороге - филиала ОАО «РЖД» в деятельность дорожного центра «Диагностика пути». Программное обеспечение дает возможность анализировать результаты контроля состояния пути, оценки интенсивности накопления дефектов во времени; прогнозировать техническое состояние пути и планировать путевые работы, как в пределах административных единиц, так и по участкам пути (части километра, километру, перегону и т.д.).

Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:

1. Критерий модифицированного МНК для оценивания параметров временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах.

2. Обоснование состоятельности оценок лишь при априорном знании нескольких первых значений автокорреляционных функций.

3. Алгоритмы решения задачи оценивания параметров на основе критерия модифицированного МНК, сводящиеся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений.

4. Программное обеспечение, реализующее разработанные критерии и алгоритмы оценивания параметров временной модели в форме линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах.

5. Решение задачи прогноза геометрических параметров рельсовой колеи на основе созданного программного обеспечения.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 9-й Всероссийской конференции «Наука. Экология. Образование» - стендовый доклад (г. Анапа, октябрь 2004г.); 2) 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» - стендовый доклад (г. Пущино, январь, 2005 г.); 3) 4-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления 81СРЯО'05» (г. Москва, январь, 2005 г.); 4) Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-18)» (г. Казань, июнь, 2005 г.); 5) 2-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта» (г. Самара, декабрь, 2005 г.); 6) 5-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления 81СР1Ю'06» (г. Москва, январь, 2006 г.); 7) 3-й Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, июнь, 2006 г.).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 23 печатных работы, получено 3 свидетельства об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и 3 приложений. Объем работы: 105 страниц основного машинописного текста, 33 рисунка, 5 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 124 источника.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Тренькин, Владимир Михайлович

Выводы по главе 4

1. Одним из важных направлений создания АСУ-П является автоматизация диагностики пути с расширенными функциями, направленными на обеспечение безопасности движения, разработку и реализацию концепции технической диагностики, мониторинга, планирование и управление путевым хозяйством на основе информационных технологий.

2. Обосновано применение модели распределения геометрических параметров рельсовой колеи во времени для прогнозирования технического состояния рельсовой колеи.

3. Сложность применение модели, наличие помех наблюдений при получении данных о значениях геометрических параметров рельсовой колеи лишили возможности эффективного применения стандартных алгоритмов параметрической идентификации и обусловили необходимость применения созданного прикладного программного обеспечения.

4. Разработанное программное обеспечение внедрено на Куйбышевскую железную дорогу - филиала ОАО «РЖД» в деятельность дорожного центра "Диагностика пути". ПО дает возможность анализировать результаты контроля состояния пути, оценки интенсивности накопления дефектов во времени; прогнозировать техническое состояние пути на/перед заданное время, как в пределах административных единиц, так и по участкам пути (части километра, километру, перегону и т.д.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен анализ существующих методов параметрической идентификации линейных динамических объектов, в том числе и с коррелированными помехами, показавший необходимость повышения эффективности параметрического оценивания в условиях априорной неопределенности при автокоррелированных помехах на входе и выходе системы. Для решения поставленной задачи предложен критерий, нахождения оценок параметров на базе модифицированного МНК.

2. На основе полученных теоретических результатов разработан алгоритм параметрической идентификации линейных динамических объектов в форме разностных уравнений с автокоррелированными помехами, на основе критерия типа отношения двух квадратичных форм. Применение разработанного алгоритма позволяет получать состоятельные оценки параметров.

3. Разработаны численные методы на базе итерационных процедур; тесты на проверку состоятельности моделей при сравнении наблюдаемых и имитируемых сигналов измерения.

4. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах» и на Куйбышевской железной дороге -филиала ОАО «РЖД» в деятельности дорожного центра "Диагностика пути". На основе предложенных критериев и алгоритмов создано ПО. Созданное ПО нашло применение для идентификации параметров процесса распределения геометрических параметров рельсовой колеи во времени. Программное обеспечение дает возможность анализировать результаты контроля состояния пути, оценки интенсивности накопления дефектов во времени; прогнозировать техническое состояние пути и планировать путевые работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тренькин, Владимир Михайлович, 2006 год

1. Айвазян С.А. Программное обеспечение персональных ЭВМ по статистическому анализу данных (проблемы, тенденции, перспективы отечественных разработок) // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -1991. -Т.57, №1. С. 50-58.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

4. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.-367 с.

5. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физ-матгиз, 1963. - 500 с.

6. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. M.: Мир, 1976. -755 с.

7. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. - 488 с.

8. Валух X. Диагностика верхнего строения пути. М.: Транспорт, 1981.-415 с.

9. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. -127 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 367 с.

11. Бодин H.A. Оценка параметров распределений по группированным выборкам // Тр. Ордена Ленина Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. Л.: Наука, 1970. -T. CXI.-C. 110-154.

12. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.-416 с.

13. Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Издательство Института Математики, 1997. - 772 с.

14. Бородюк В.П. Ошибки регистрации независимых переменных в задачах множественной регрессии / В.П. Бородюк, А.П. Вощинин // Заводская лаборатория 1973. - №39 - С.831-836.

15. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. -608 с.

16. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960. -328 с.

17. Векслер Л. С. Статистический анализ на персональном компьютере // Мир ПК.- 1992.-№2.-С. 89-97.

18. Вентцелъ Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее приложения. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2000. - 480 с.

19. Вериго М. Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. -М.: Транспорт, 1986. 559 с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

21. Гихман Н.И., Скороход Н.В. Теория случайных функций. М.: Наука, 1971.-Т.1.-660 с.

22. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2001. - 318 с.

23. ГропД. Методы идентификации. М.: Наука, 1979.

24. Дейч J1.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. -242 с.

25. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.-302 с.

26. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М.: Наука, 1989. - 292 с.

27. Дубровский С.А. Прикладной многомерный статистический анализ. М.: Финансы и статистика, 1982.-216 с.

28. Дьяконов В. Mathcad 2001: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

29. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Перевод с англ. О.П. Бурдакова; Под ред. Ю.Г. Евтушенко. М.: Мир, 1988. - 440 с.

30. Елисеева ИИ, Семенова Е.В. Основные процедуры многомерного статистического анализа. JL: УЭФ, 1993. - 78 с.

31. Енюков И.С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа: Пакет ППСА. М.: Финансы и статистика, 1986. - 232 с.

32. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

33. Ершов A.A. Стабильные методы оценки параметров (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1978. - №8. - С. 66-100.

34. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. - 598 с.

35. Ибрагимов H.A., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. -М.: Наука, 1979.-527 с.

36. Каминскас В. 2-х томник «Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям», под ред. Немура А. Вильнюс: Москлас, 1982, 244с.

37. Карпущенко Н.И., Тарнопольский Г.И. Надежность железнодорожного пути. Новосибирск: НИИЖТ, 1989. - 104 с.

38. Кацюба O.A. Идентификация линейных динамических систем // Учебное пособие. Самара: СамГАПС, 2004. - 67с.

39. Кацюба O.A. Нелинейные методы структурной и параметрической идентификации параметров стохастических статических и динамических объектов в условиях априорной неопределенности // Учебное пособие. Самара: СамГТУ, 2001.- 118с.

40. Кацюба O.A. Жданов А.И. О состоятельности оценок наименьших квадратов параметров линейных разностных операторов при автокоррелированных помехах // Изв. АН УССР. Кибернетика. -1983. № 5. - С. 102 -107.

41. Кацюба O.A. Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1981. № 5. - С. 165 -172.

42. Кацюба O.A. Жданов А.И. Рекуррентное оценивание параметров стохастических линейных динамических систем с ошибками по входу и выходу // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1986. -№3. С. 191-194.

43. Кацюба O.A., Тренькин В.М. Оценивание параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдений // Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-19): Сб. труд. XIX Международ, научн. конф. Воронеж, 2006. - Том 2. - С. 134-136.

44. Кацюба O.A., Тренькин В.М. Численный метод построения оценок параметров авторегрессии для случая аддитивных локально автокоррелированных помех // XIII Междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование»: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2005. - С. 108-109.

45. Кацюба O.A., Хакимое Б.Б. Алгоритм нелинейного параметрического оценивания в многомерных задачах статистической обработки // Сиб. отд-ние АН СССР. Автометрия. 1984. - №2. - С. 11-17.

46. Кемени Д., Снелл Д. Кибернетическое моделирование. М.: Сов. радио, 1972. - 192 с.

47. Кеидалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. - 588 с.

48. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.-М.: Наука, 1979. -900 с.

49. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

50. Кирьянов ДВ. Самоучитель Mathcadll. СПб.: БВХ-Петербург, 2004. -560 с.

51. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Наука, 1978. - 598 с.

52. Корчагин В.Г., Кравцов Л.Я., Самодов Ю.Б., Хохлов Л.М. Измерение вероятностных характеристик случайных процессов с применением стохастических вычислительных устройств. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1982.- 128 с.

53. Крамер Г. Математические методы статистики: Под. ред. акад. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1975. - 648 с.

54. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИДАНА, 2003. - 573 с.

55. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. -Новосибирск: Наука, 1981. 157 с.

56. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1968. - Т.2. - 500 с.

57. Леман Э. Теория точечного оценивания: Пер. с англ. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.-448 с.

58. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1962. - 352 с.

59. Лоев М. Теория вероятностей. М.: Иностранная литература, 1962. - 719 с.

60. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-431 с.

61. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М: Наука, 1972.-232 с.

62. Мудрое В.К, Кушко B.JI. Метод наименьших модулей. М.: Знание, 1971. -64 с.

63. Мудрое В.И., Кушко B.JI. Методы обработки измерений. М.: Сов. радио,1976.-304 с.

64. Немура А. Идентификация динамических систем. Вильнюс, 1974.

65. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1991.-303 с.

66. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1992. - Т. 58, №1. - С. 64-74.

67. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность) // Автоматика и телемеханика. 1979. - №7. -С. 71-85.

68. Пугачев B.C. Оценивание переменных и параметров в дискретных нелинейных системах // Автоматика и телемеханика. 1979. - №4. - С.39-50.

69. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 2002. - 400 с.

70. Райков Д.А. Многомерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1989.-271 с.

71. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения. Пер. с англ./ Пер А. М. Кагана, В. И. Калинина и К. П. Латышева; Под ред. акад. Ю. В. Линника. М.: Наука, 1968. - 547 с.

72. Репин В.Г., Тартаровский ГЛ. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио,1977.-432 с.

73. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006610185. Оценка параметров авторегресси / Тренькин В.М., Зарегистрировано 10.01.2006 г.-М.: ВНТИЦ, 2006.

74. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006611471. Оценка параметров линейных разностных уравнений/ Трень-кин В.М., Зарегистрировано 03.07.2006 г. М.: ВНТИЦ, 2006.

75. Сейдж Э., МелсаД. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. - 645 с.

76. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980.-208 с.

77. Тихомиров В.И., Лысюк B.C. Башкатова Л.В. Расчет железнодорожного пути на надежность. М.: ВЗИИТ, 1990. - 67 с.

78. Тренькин В.М. Алгоритм нахождения минимума отношения двух квадратичных форм для получения оценок параметров авторегрессии // XIII Ме-ждунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование»: Тез. докл. Дубна, 2006.-С. 124.

79. Тренькин В.М. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах в выходных сигналах // Сборник научных трудов студентов и аспирантов. Вып. 6. - Самара: СамГАПС, 2005.-С. 111.

80. Тренькин В.М. Параметрическое оценивание авторегрессии при автокоррелированных помехах в выходных сигналах// Известия Самарского научного центра РАН. 2006. - Т. 3. - С.

81. Тренькин В.М. Прогноз параметров рельсовой колеи на основе авторегрессионных моделей // Сборник научных трудов студентов и аспирантов. -Вып. 7. Самара: СамГАПС, 2006. - С. 121-122.

82. ТьюкиД.У. Анализ результатов наблюдений / Под. ред. В.Э. Фигурнова. -М.: Мир, 1981.-693 с.

83. Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Анализ данных на компьютере. М.: Финасы и статистика, 1995. - 384 с.

84. Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФРА, 1997. - 528 с.

85. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. - 632 с.

86. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента М.: Наука, 1971.-390 с.

87. Ферестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1988. - 302 с.

88. Филиппов В.М. Прогнозирование технического состояния верхнего строения пути: Учебное пособие. Самара: СамИИТ, 1993. - 80 с.

89. Филиппов В.М. Управление техническим состоянием верхнего строения железнодорожного пути. Основные понятия: Учебное пособие. Куйбышев: КИИТ, 1989.-70 с.

90. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.-285 с.

91. Цыбаков А.Б. О методе минимизации эмпирического риска в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. 1981. - №12. - С. 77-85.

92. Цыпкин Я.З. Оптимальные алгоритмы оценивания параметров в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. 1982. - №12. - С. 9.

93. Цыпкин Я.З. Оптимальность в задачах и алгоритмах оптимизации при наличии неопределенности. // Автоматика и телемеханика. 1986. - №1. - С. 75-80.

94. Чибисов Д.М. Асимптотические разложения для распределения сумм специального вида с применением к оценкам минимума контраста // Теория вероятностей. 1973. - №4 - С. 689-702.

95. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

96. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. М.: Наука, 1976.- 520 с.

97. Шурыгин A.M. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз.- М: Финансы и статистика, 2000. 224 с.

98. Эльясберг П.Э. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976.-416 с.

99. Яковлева Т.Г., Шульга В.Я., Амелин С.В. Основы устройства и расчетов железнодорожного пути. М.: Транспорт, 1990. - 367 с.

100. Bates D. and Watts D. Nonlinear Regression Analysis and its Applications, John Wiley and Sons, 1988. 365 p.

101. Elberg O.J. Control systems theory. N.Y.: Mc Graw - Hill, 1967. - 462 p.

102. Jenrich R.I. Asymptotic properties of nonlinear least squares estimators // Ann. Math. Stat. 1963. V.40. - P. 633.

103. Hoadley B. Asymptotic properties of maximum likelihood estimators for the independent not identically distributed case // Ann. Math. Statist. 1971. V. 42, N 6.-P. 1977-1991.

104. Hodges J., Lehman E. Some problems in minimax estimation // Ann. Math. Statist. 1965. V. 36, N 2. - P. 182-197.

105. Wl.Huber P.J. Robust estimation of a location parameter // Ann. Math. Statist. 1964.-V. 35.-P. 73-101.

106. Huber P.J. Robust statistics: a review // Ann. Math. Statist. 1972. V. 43. P. 1041-1067.

107. Katsuba O.A., Trenkin V.M. Algorithm of Construction of Estimations of Parameters Linear Difference Equations with Nonlinear Method of the Least Squares // «The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics».- Volgograd, 2005. P. 42-45.

108. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE Trans. Aut. Control. 1977. V.22. N 4. - P. 551-575. 121 .Ljung L. Consistence of the least-squares identification method // IEEE Trans. Aut. Control. - 1976. -N. 10. P. 779-781.

109. Rao C.R. Information and accuracy attainable in estimation of statistical parameters//Bull. Calcutta Math. Soc. 1945.-V. 37.-P. 81-91.

110. Wald A. Asymptotic properties of the maximum likelihood estimate of unknown parameter of discrete stochastic process // Ann. Math. Stat. 1948. V. 19. - P. 40—46.

111. Wald A. Note on consistency of the maximum likelihood estimate // Ann. Math. Soc. 1943. V. 54, N 3. P. - 426-482.

112. Рис. 1. Зависимость погрешности оценок параметров 8% модели от дисперсии помехи (ось абсцисс процент дисперсии помехи от дисперсии «истинного» сигнала с числом одномоментных измерений: а) N=300; б) N=600.

113. Рис. 2. Зависимость остаточной дисперсии ст2 модели от дисперсии помехи (ось абсцисс процент дисперсии помехи от дисперсии «истинного» сигнала Иг) с числом одномоментных измерений: а) N=300; б) N=600.

114. Рис. 3. Асг2 зависимость отношения остаточной дисперсии к дисперсии выхода модели от дисперсии помехи Df (ось абсцисс - процент дисперсии помехи D{ от дисперсии «истинного» сигнала Dz) с числом одномоментных измерений: a) N=300; 6)JV=600.

115. Рис. 4. М) зависимость погрешности дисперсии выхода модели к дисперсии «истинного» сигнала от дисперсии помехи (ось абсцисс - процент дисперсии помехи от дисперсии «истинного» сигнала йг) с числом одномоментных измерений: а) //=300; б) N=600.2

116. Рис. 5. Зависимость остаточной дисперсии ст выхода модели от числа одномоментных измерений N=20.600 при значении дисперсии помехи от дисперсии истинного сигнала Иг а) с=10%; б) с=100%.

117. Рис. 6. Асг2 зависимость отношения остаточной дисперсии к дисперсии выхода модели от числа одномоментных измерений JV=50.600 при значении дисперсии помехи D{ от дисперсии истинного сигнала Dа) с=10%, б) с=100%.

118. Рис. 7. М) зависимость погрешности дисперсии выхода модели к дисперсии «истинного» сигнала от числа одномоментных измерений N=50.600 при значении дисперсии помехи от дисперсии истинного сигнала И?, а) с= 10%, б) с=100%.

119. Расчет прогноза геометрических параметров рельсовой колеи в ПО

120. Формируем папку исходных данных за один год (24 момента времени), в которой присутствуют 24 текстовых файла. В каждом файле хранится информация о значения геометрических параметров рельсовой колеи в зависимости от расстояния за 1пк (100 метров). Рис. 1.

121. Г 01.2005коп Блокнот И ¡да

122. Рис. 1. Окно одного из текстовых файлов исходных данных.

123. Производим ввод исходных данных в ПО LRU. Рис 2.1. Mathcad Объект-модель.о. Файл Правка Вид Вставить Формат |*сгрументы Символика Окно Помощь3 X

124. ORIGIN := 1 i:= 2 К ;= 24 i:=l.N1. N г n:= 1. 181

125. Выгрузка данных из текстовых файлов путеизмерительных лент.

126. ЬЗ = Т~ 0.201 0.786 Ь4 = Т~ 0.139 0.8610216 0.766 0.052 0.949 0233 0.743 ~9~ -0.067 1.067

127. То~ 0.24 0.731 10 1.456 -0.456

128. ТГ 0.246 0.721 ТГ 1.032 -0.0327Г 0.252 0.712 12 0.849 0.151

129. ТГ 0.255 0.705 13 0.738 0.262

130. ТГ 0.252 0.705 ТГ 0.658 0.342lili) У

131. Press F1 for help. AUTO NUM Лист 6

132. Рис. 3. Рассчитанные в ПО LRU оценки параметров авторегрессии.

133. Mathcad Объект-модель. |- J Cj[X

134. Файл Правка &1Д Вставить Формат Инструменты Сжволгя Оюю Помощь с? Xо (3 г ш а у1. О г. ■!« Ь. т р s . Q П100% VО4* ы ш <г я ^

135. Сравнение реальных значений уровня рельсовой колеи с прогнозируемыми авторегрессией по оценкам нелинейного МНК: а) на один шаг, б) на два шага вперед.а)