Оценивание параметров многомерной стохастической модели при наличии автокоррелированных помех тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Карпов, Андрей Анатольевич

• Карпов, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карпов, Андрей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Методы оценивания параметров, основанные на знании закона распределения помех наблюдения.

1.2. Методы оценивания параметров, не требующие знания закона распределения помех.

1.3. Задача диагностики функционального состояния человека.

1.4. Математические методы и модели, используемые при диагностике функционального состояния.

Выводы по главе

2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ НАЛИЧИИ

АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ.

2.1. О состоятельности оценок параметров многомерной авторегрессии при наличии автокоррелированных помех наблюдения.

2.2. О состоятельности оценок параметров многомерных линейных разностных уравнений при наличии автокоррелированных помех наблюдения.

Выводы по главе 2.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ.

3.1. Численный метод определения оценок параметров многомерной авторегрессии при наличии автокоррелированных помех наблюдения.

3.2. Численный метод определения оценок параметров многомерных линейных разностных уравнений при наличии автокоррелированных помех наблюдения.

3.3. Тесты для численных методов нелинейного МНК.

3.4. Тесты на базе временной модели в форме авторегрессии.

3.5. Тесты на базе временной модели в форме многомерных линейных разностных уравнений.

Выводы по главе 3.

4. РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ К ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ РАБОТНИКА ТРАНСПОРТА.

4.1. Технология АСПО в обеспечении безопасности перевозок. Задача построения модели функционального состояния на основе анализа гемодинамических показателей.

4.2. Тестирование программы для построения модели и осуществления прогноза гемодинамических показателей.

4.3. Применение прикладного программного обеспечения для решения задачи построения модели и прогноза функционального состояния работника транспорта.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание параметров многомерной стохастической модели при наличии автокоррелированных помех»

Актуальность работы. Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью математических соотношений, отражающих процесс ее функционирования. При известной структуре модели системы процедура идентификации ее параметров основывается на обработке информации о входных и выходных данных.

Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных компонента:

• данные наблюдений;

• множество моделей-кандидатов;

• правило оценки степени соответствия испытываемой модели данным наблюдений.

Прокомментируем каждый из этих компонентов.

Данные наблюдений. Входо-выходные данные иногда регистрируются в процессе проведения целенаправленных идентификационных экспериментов. Задача планирования экспериментов состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения, выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых случаях, пользователю приходится опираться на данные нормальной эксплуатации.

Множество моделей-кандидатов. Множество моделей-кандидатов устанавливается посредством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формальных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тщательного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определенными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физического обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса, называется черным ящиком. Множества моделей с настраиваемыми параметрами, допускающими физическую интерпретацию, называют серыми ящиками.

Определение на основе данных наблюдений «наилучшей» модели множества. Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана, как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для воспроизведения данных измерений.

В результате осуществления всех трех этапов процедуры идентификации мы получаем, хотя бы в неявной форме, конкретную модель: одну из множества, причем такую, которая в соответствии с выбранным критерием наилучшим образом воспроизводит данные наблюдений.

Весомый вклад в разработку методов структурной и параметрической идентификации внесли Цыпкин Я.З., Льюнг Л., Демиденко Е.З., Кендалл М., Острем К.Ю., Шметтерер Л. и другие ученые.

Проводя классификацию методов оценивания параметров линейных динамических моделей, можно отметить, что существуют две группы методов. При использовании первой группы методов требуется достаточно большая априорная информация о законах распределения исследуемых величин. Наибольшее теоретическое значение и применение имеет метод максимального правдоподобия, причем оценки, полученные с помощью этого метода, обладают асимптотически оптимальными свойствами. Однако, в большинстве практических задач оценивания закон распределения помех наблюдения априорно не известен. При использовании второй группы методов, знания функций распределения не требуется. Важное место в этой группе занимает метод наименьших квадратов. Но при наличии помех во входных и выходных сигналах этот метод не дает состоятельных оценок. Однако для его применения требуется достаточно малая априорная информация по сравнению с методом максимального правдоподобия и подобных ему. Это открывает различные направления научного исследования проблемы, одно из которых - модификация стандартных методов оценивания параметров линейных динамических моделей.

В частности, предлагаемые методы оценивания могут быть использованы при решении задач прогнозирования многомерных случайных процессов. На сегодняшний день известно большое число математических методов и моделей диагностики состояния человека, однако единого подхода к решению проблемы синтеза математического обеспечения диагностики функционального состояния пока не существует, что затрудняет решение широкого круга практических задач. В теории анализа состояния человека в монографии А.В. Богомолова «Диагностика состояния человека: математические подходы» указывается на возможность описания функционального состояния человека многомерной линейной динамической моделью. В данной области можно рассмотреть аспекты адаптации к проблеме безопасности и внедрения вычислительных ресурсов компьютерных комплексов, функционирование которых базируется на различных по типу программных моделях медицинских исследований. Например: автоматизированные системы предрейсовых осмотров (АСПО). Структурно модель функционального состояния работника транспорта может быть представлена в виде многомерного линейного разностного уравнения определенного порядка. При этом из-за наличия аддитивных автокоррелированных помех в переменных применение классических методов идентификации существенно затруднено. Для программных средств АСПО в диссертационной работе реализуется идентификация многомерной стохастической модели функционального состояния работника транспорта на основе разработанного критерия и численного метода оценивания параметров линейной динамической модели. В качестве физиологических показателей рассматриваются гемодинамические показатели и результаты математического анализа сердечного ритма [64]. Схема расширения базовой

АСПО представлена на рис.1. Статистическая обработка и прогноз гемодинамических показателей позволяет проводить индивидуальный контроль у работника водительской группы на транспорте за лечением и профилактикой заболеваний.

Терминалы АСПО

Терминал «Здравпункт депо»

Терминал «Цеховой терапевт»

Терминал «Психофизиолог депо»

Терминалы административно-управленческого аппарата Региональных дирекций медицинского обеспечения -ДМТФО-филиала ОАО «РЖД»

Терминалы административно-управленческого аппарата Департамента здравоохранения ОАО «РЖД»

База данных АСПО

Систолическое артериальное давление (САД)

Диастолическое артериальное давление (ДАД)

Частота сердечных сокращений (ЧСС)

Системный индекс SDR; Системный индекс SIT; Индекс напряжения IN

Разработанная программная модель

Мониторинг полезных сигналов (показателей) в виде таблиц и графиков для комплексного и системного анализа Прогноз гемодинамических показателей по моделям в форме многомерной авторегрессии

Рис.1. Расширение базовой АСПО программной моделью на основе разработанного численного метода оценивания параметров

В соответствии с вышеизложенным, актуальной является задача разработки критерия и численных методов определения состоятельных оценок параметров многомерной стохастической модели при наличии автокоррелированных помех в переменных, а также создание прикладного программного обеспечения, реализующего численные алгоритмы и позволяющего производить расчет и прогноз гемодинамических показателей работника железнодорожного транспорта с целью диагностики его функционального состояния.

Целью диссертационной работы является разработка критерия, численного метода и программного обеспечения для состоятельного оценивания параметров многомерных линейных динамических моделей при отсутствии информации о законах распределения автокоррелированных помех наблюдений.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

• анализ существующих методов оценивания параметров многомерных линейных динамических моделей при наличии помех в переменных;

• разработка критерия для определения состоятельных оценок параметров многомерной стохастической модели при наличии автокоррелированных помех во входных и выходных сигналах;

• разработка численного метода определения матриц оценок параметров, основанного на использовании критерия в виде отношения двух квадратичных форм, в котором числитель записывается в виде классического МНК;

• создание на основе предложенного критерия и алгоритма программного обеспечения (ПО) для оценки и прогноза основных показателей состояния здоровья работников локомотивных бригад с целью обеспечения безаварийности перевозочного процесса.

Методы исследования. В работе использованы:

• математическое моделирование;

• элементы математической статистики, теории идентификации, теории матриц, линейной алгебры;

• методы системного анализа;

• системное и объектно-ориентированное программирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований экспериментальным тестам и расчетам математического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке численных методов состоятельного оценивания параметров многомерной стохастической модели на основании критерия, обобщающего ОМНК для многомерных линейных динамических систем при наличии автокоррелированных помех.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

• в качестве критерия для определения параметров многомерной линейной динамической модели при наличии автокоррелированных помех в сигналах доказан и применен критерий, обобщающий ОМНК и выраженный в виде отношения двух квадратичных форм;

• разработаны численные методы определения матриц оценок параметров на основе минимизации отношений двух квадратичных форм, сводящиеся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений;

• на основе разработанного критерия и численных методов создано программное обеспечение с графическим представлением результатов построения модели и прогноза гемодинамических показателей работников транспорта.

Практическая значимость. Повышение, на базе созданных математических моделей, надежности «человеческого фактора» на транспортных предприятиях путем разработки программных средств и рекомендаций в организации технологии выделения «группы повышенного риска» по возможности развития патологических состояний, внезапного ухудшения самочувствия и неадекватного реагирования. В основе предлагаемого способа достоверного определения «группы повышенного риска» - программный мониторинг численных показателей медицинских параметров и прогноз функционального состояния водителя транспортного средства. Определение «группы повышенного риска» производится на основе сравнения значений показателей, вычисляемых по моделям, с индивидуальными нормами.

Реализация и внедрение результатов. Результаты диссертационной работы использованы на Куйбышевской железной дороге при эксплуатации терминалов АСПО в локомотивных депо в следующем виде:

• применение авторских методик и рекомендаций в использовании АСПО на базе комплексов КАПД-01-СТ математических моделей для обработки статистических выборок измерений;

• статистическая обработка гемодинамических показателей и мониторинг функционального состояния работников железнодорожного транспорта при предрейсовых осмотрах;

• использование разработанного в диссертационной работе программного обеспечения для определения параметров линейной динамической модели при оценке и прогнозе показателей состояния здоровья работников локомотивных бригад.

Результаты по разработке и исследованию алгоритмов оценивания параметров внедрены в учебный процесс Самарского государственного университета путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах» и рекомендованы для внедрения кафедрам с техническим уклоном с целью повышения эффективности и качества учебного процесса.

Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:

1. Критерий, обобщающий ОМНК и позволяющий получать состоятельные оценки параметров многомерной по входу и выходу линейной динамической модели при наличии автокоррелированных помех в переменных без знания законов распределения этих помех.

2. Численный метод определения параметров многомерных линейных разностных уравнений на основании разработанного критерия минимизации отношения двух квадратичных форм относительно матриц параметров.

3. Программное обеспечение для определения параметров многомерной стохастической модели при оценке и прогнозе гемодинамических показателей работников транспорта. Результаты экспериментальных исследований по моделям прогноза.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Ярославль, май 2007 г.); 2) Международной научной конференции для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, март 2007 г.); 3) VII Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии» (г. Пенза, ноябрь 2007 г.); 4) VII международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '08 (г. Москва, январь 2008 г.); 5) III Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, октябрь 2008 г.); 6) Выпуске Дорожного центра научно-технической информации (информационный листок №1976 (РДМО-76)-37674, г. Самара, октябрь 2008 г.); 7) 9-ой Всероссийской научной конференции с международным участием «Краевые задачи и математическое моделирование» (г. Новокузнецк, ноябрь 2008 г.).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 14 печатных работ (в том числе 2 работы в изданиях, рекомендованных ВАК), получены 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 142 страницы основного машинописного текста, 42 рисунка, 9 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 102 источника.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карпов, Андрей Анатольевич

Выводы по главе 4

1. На основе анализа основных медицинских показателей состояния здоровья построена модель функционального состояния работника транспорта в виде многомерной авторегрессии с автокоррелированными помехами в сигналах, в качестве которых выступают ЧСС, САД и ДАД.

2. Прогнозы гемодинамических показателей, полученные с использованием оценок нелинейного МНК, существенно превосходят по точности прогнозы, полученные с использованием оценок обобщенного МНК.

3. Применение авторских методик и рекомендаций в использовании АСПО на базе комплексов КАПД-01-СТ математических моделей для обработки статистических выборок измерений позволяет повысить качество и достоверность медицинских осмотров.

4. Определение объективных и достоверных индивидуальных показателей состояния здоровья водителя транспортного средства позволяет повысить безаварийность перевозочного процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1. Обзор существующих методов параметрической идентификации определил необходимость в развитии теории и методики решения задачи состоятельного оценивания параметров многомерных линейных динамических моделей при наличии автокоррелированных помех наблюдений и отсутствии информации об их законах распределения.

2. Состоятельные оценки параметров определяются с помощью разработанного в диссертационной работе критерия, обобщающего ОМНК и выраженного в виде отношения двух квадратичных форм.

3. На основании критерия разработан численный метод, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий определять состоятельные оценки параметров при априорном знании некоторого конечного числа значений локальных автокорреляционных и взаимокорреляционных функций.

4. Тестирование программного обеспечения, разработанного в соответствии с численным методом, подтвердило состоятельность получаемых оценок параметров. ПО внедрено на Куйбышевской железной дороге при эксплуатации терминалов АСПО в локомотивных депо и позволяет повысить качество и достоверность медицинских осмотров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карпов, Андрей Анатольевич, 2010 год

1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., 1963.-500 с.

2. Андреев Н.И. Смещенные оценки параметров процессов управления// Автоматика и телемеханика. М., 1977. - № 9. — С. 30-43.

3. Ануфриев И. Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

4. Атъков О.Ю., Цфасман A3. История железнодорожной медицины. -М.: «Репроцентр», 2004. 416 с.

5. Балагин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования// Автоматика и телемеханика. М., 1997. — № 2. - С. 141-146.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 367 с.

7. Бессонов А.А. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989. — 279 с.

8. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. 193 с.

9. Борисов ДП. и д.р. Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте: Учебник для ВУЗов ж/д трансп. М.: Транспорт, 1973. - 312 с.

10. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.-772 с. .

11. Бунич A.JI. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отношением сигнал-шум// Автоматика и телемеханика. — М.,2001. -№3.-С. 53-62.

12. Бунич А.Л. Пассивная и активная идентификация линейного дискретного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика. М., 2003. - № 11. - С. 60-73.

13. Валъд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960.-328 с.

14. Вебер В.Р., Бриттов А.Н. Профилактика и лечение артериальной гипертонии. М., 2002. - 244 с.

15. Венцелъ Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. Пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.

16. Волныкин А.Н. Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу линейных динамических систем// Сборник трудов XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». — Ярославль: ЯГТУ, 2007. — Том 2. -С. 85-88.

17. Волобуев А.Н. Курс медицинской и биологической физики. — М., 2002.-431 с.

18. Гашпмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 575 с.

19. Гетманов В.Г., Жиров М.В., Шаховский А.В. Алгоритм идентификации для линейной дискретной динамической системыуправления// Автоматика и телемеханика. М., 2001. - № 4. - С. 2734.

20. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. М.: УРСС, 2001. - 318 с.

21. Гроп Д. Методы идентификации. М.: Мир, 1979. - 302 с.

22. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.-240 с.

23. Елисеева И.И., Семенова Е.В. Основные процедуры многомерного статистического анализа. — JL: УЭФ, 1993. 78 с.

24. Ермаков С.М., Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. - 296 с.

25. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор)// Автоматика и телемеханика. М., 1978. - № 8. - С. 66-100.

26. Закс Л. Статистическое оценивание. — М.: Статистика, 1976. — 598 с.

27. Илюшин В.Б., Чадеев В.М. Алгоритм идентификации динамических объектов с учетом априорной информации о параметрах// Автоматика и телемеханика. М., 2006. - № 7. - С. 133-143.

28. Каминкас В.А., Немура А.А. Статистические методы в идентификации динамических систем. — Вильнюс: Минтис, 1975. — 197 с.

29. Капцов В.А., Мезет{ев А.П., Панкова В.Б. Производственно-профессиональный риск железнодорожников// Управление охраны труда МПС России. М., 2002. - 350 с.

30. Карпов А.А. Определение параметров линейной динамической системы при наличии автокоррелированных помех// Сборник трудов XXI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Саратов, 2008. - Том 2. - С. 82-84.

31. Кацюба О.А. Идентификация линейных динамических систем// Учебное пособие. Самара: СамГАПС, 2004. - 67 с.

32. Кацюба О.А., Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. М., 1981. - № 5. - С. 165-172.

33. Кацюба О.А., Жданов А.И. Идентификация методом наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений// Автоматика и телемеханика. — М., 1982. № 2. - С. 82-94.

34. Кацюба О.А., Жданов А.И. Рекуррентное оценивание параметров стохастических линейных динамических систем с ошибками по входу и выходу// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. М., 1986.-№3.-С. 191-194.

35. Кацюба О.А., Волныкин А.Н. Численный метод построения временной модели многомерной по входу стационарной линейной динамической системы// Сборник трудов III Всероссийской научной конференции

36. Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». Санкт-Петербург, 2007. - С. 676-683.

37. Кацюба О.А., Хакгшов Б.Б. Алгоритм нелинейного параметрического оценивания в многомерных задачах статистической обработки// Сиб. отделение АН СССР. Автометрия. Новосибирск, 1984. - № 2. - С. 11-17.

38. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966. -588 с.

39. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды . М.: Наука, 1976. - 736 с.

40. Кендалл М, Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1979.-900 с.

41. Киричков В.Н., Сильвестров А.Н. Построение адаптивных моделей динамических объектов по данным эксперимента. — Киев: Вища школа, 1985. — 66 с.

42. Кобалава Ж.Д., Котовская Ю.В. Артериальная гипертония 2000: ключевые аспекты диагностики, дифференциальной диагностики, профилактики, клиники и лечения. - М., 2000. — 208 с.

43. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Наука, 1978. -598 с.

44. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1998. - 144 с.

45. Корсун О.Н. Алгоритм идентификации динамических систем с функционалом в частотной области// Автоматика и телемеханика. — М., 2003.-№5.-С. 111-121.

46. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.

47. Крюков Н.Н., Романчук П.И. Артериальная гипертония и медицинское обеспечение на железнодорожном транспорте: монография. Самара: ООО ИПК «Содружество», 2005. - 704 с.

48. Крюков Н.Н., Романчук П.И., Рогачев А.А., Волобуев А.Н. Инновационные технологии в проблеме артериальной гипертонии: монография. Самара: ГОУВПО «СамГМУ», ООО ИПК «Содружество», 2007. — 764 с.

49. Лбов Г. С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. Новосибирск: Наука, 1981. - 157 с.

50. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1962. - 352 с.

51. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-432 с.

52. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. — 232 с.

53. Мудрое В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов. Радио, 1976.-304 с.

54. Музыкин С.Н., Радионова Ю.М. Моделирование динамических систем. Ярославль: Верхне-Волжское книжное изд-во, 1984. - 301 с.

55. Новицкий П.В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1991.-303 с.

56. Оганов Р.Г. Профилактика сердечно-сосудистых заболеваний: возможности практического здравоохранения// Кардиоваскулярная терапия и профилактика. М., 2002. - №1. - С. 5-9.

57. Оганов Р.Г., Масленникова Г.Я. Смертность от сердечно-сосудистых и других неинфекционных заболеваний среди трудоспособного населения России// Кардиоваскулярная терапия и профилактика. М., 2002.-№3.-С. 4-8.

58. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М., 1973.-322 с.

59. Панков А.Р., Семенихин КВ. Методы параметрической идентификации линейных моделей в условиях априорной неопределенности// Автоматика и телемеханика. М., 2000. - № 5. -С. 76-92.

60. Пащенко. Ф.Ф., Чернышев К.Р. Методы и системы управления и идентификации на основе знаний// Автоматика и телемеханика. М., 2000.-№2.-С. 3-28.

61. Подкур М.Л., Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. М.: ДМК Пресс, 2006. - 496 с.

62. Поток М.Л., Шмидт Д.Х. Заболевания сердца и реабилитация. -Киев: издательство «Олимпийская литература», 2000. — 408 с.

63. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность)// Автоматика и телемеханика. -М., 1979. № 7. - С. 71-85.

64. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 2002. - 400 с.

65. РайбманН.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. — 119 с.

66. Романчук П.И., Крюков Н.Н., Волобуев А.Н., Алексеев В.А. Контроль вариабельности артериального давления у работников локомотивных бригад// Тезисы докладов Российского национального конгресса кардиологов. М., 2001. - С. 319-320.

67. Самарский А.А., Гулин А.В. Численный метод. М.: Наука, 1989. -427 с.

68. Сейдж Э., Мелса Д. Идентификация систем управления. — М.: Наука, 1974. 247 с.

69. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. — М.: Статистика, 1980. 208 с.

70. Туминас КБ. Технология обеспечения безопасности пассажирских перевозок в системе институциональных реформ транспортной отрасли// РГПУ им. А.И. Герцена. Санкт-Петербург, 2007.

71. Туминас КБ., Ефимов Н.В. Методические основы определения группы повышенного риска и результаты применения автоматизированной системы предрейсового осмотра на базе комплексов КАПД-01-СТ (АСПО). Санкт-Петербург, 2004. - 21 с.

72. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

73. Ферестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1988. — 302 с.

74. Цфасман A3. Современные подходы к гипотензивной лекарственной терапии у машинистов локомотивов. — М., 1998. — 16 с.

75. Цыпкин Я.З. Оптимальные алгоритмы оценивания параметров в задачах идентификации// Автоматика и телемеханика. — М., 1982. -№ 12.-С. 9-19.

76. Цыпкин Я.З. Оптимальность в задачах и алгоритмах оптимизации при наличии неопределенности// Автоматика и телемеханика. М., 1986. -№ 1. — С. 75-80.

77. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. М.: Наука, 1976.-520 с.

78. Эйкхофф П., Ванечек А. и др. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983. - 400 с.

79. Elberg O.J. Control systems theory. N.Y.: Mc Graw - Hill, 1967. - 462 P

80. Hodges J., Lehman E. Some problem in minimax estimation// Ann. Math. Statist. 1965. - Vol. 36, №2. - P. 182-197.

81. Katsuba O.A., Gushin A. V. A Simulator of the Potential Distribution of the Transistance in Heart using multidimensional linear Regression// The

82. Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modeling": Theses of report. Saint-Petersburg, June 23-28, 2003. - p. 86.

83. Katsuba O.A., Volnuikin A.N., S.A. Spirin The numerical method estimating parameters of multivariate autoregress at presence of handicaps of supervision// «The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics». Volgograd, 2005. - P. 39-41.

84. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms// IEEE Trans. Aut. Control. 1977. - V.22, №4. - P. 551-575.

85. Rao C.R. Sufficient statistic and minimum variance estimates// Proc/ Camb. Phil. Soc. 1949. - Vol. 45. - P. 213-218.

86. Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least Squares identification// int. J. Control. - 1982. - Vol. 35, № 3. - P. 452.

87. Tuminas K., Pashkus N. The Security and Consistency of Transport Enterprises// Economics & Management: The Articles of International Conference. Kaunas: Kaunas University of Technology, 2003.

88. Unton F. Recursive estimator of the solutions of linear equation sequence// IEEE Trans. AuT. Control. 1984. - Vol. AC-29, № 2. - P. 177-179.