Алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга 1 и ранга 2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Маулешова, Гульнара Сайновна

• Маулешова, Гульнара Сайновна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Маулешова, Гульнара Сайновна

Содержание

Введение

1 Алгебро—геометрические одноточечные коммутирую-

щие разностные операторы ранга 2

1.1 Уравнения Кричевера Новикова на параметры Тюрина

1.2 Примеры одноточечных коммутирующих разностных операторов ранга 2

2 Алгебро—геометрические одноточечные коммутирую-

щие разностные операторы ранга 1

2.1 Основные результаты

2.2 Вложение разностных операторов с полиномиальными коэффициентами в первую алгебру Вейля

3 Связь одноточечных коммутирующих разностных опе-

раторов ранга один с конечнозонными операторами Шредингера

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга 1 и ранга 2»

Введение

Диссертация посвящена исследованию алгебро-геометрических одноточечных коммутирующих разностных операторов ранга 1 и ранга 2, отвечающих гиперэллиптическим спектральным кривым произвольного рода. В диссертационной работе в случае операторов ранга 2 получены уравнения, эквивалентные уравнениям Кричевера-Новикова на дискретную динамику параметров Тюрина. С помощью этих уравнений построены примеры операторов, отвечающих гиперэллиптическим спектральным кривым произвольного рода. Изучен новый класс операторов, а именно алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга один. В эти операторы оператор сдвига входит только с положительными степенями. Найдены спектральные данные и примеры таких операторов в случае гиперэллиптических спектральных кривых. Также установлена связь таких операторов с одномерными конечнозонными операторами Шредингера, в частности, получена

дискретизация конечнозонных операторов Ламе в случае спектральной кривой рода 1.

Напомним необходимые нам определения. Пусть Lk,Ls — разностные операторы порядков к и s

N+ М+

Lk= J2 U№)TJ1 L*= Л V№)TJ1 riez,

j=—N- j=-M_

N+>N_> 0, M+ > M_ > 0, к = N_ + N+, s = M_ + M+, T — оператор сдвига, условие их коммутируемости эквивалентно сложной системе нелинейных разностных уравнений на их коэффициенты. Эти уравнения изучаются, начиная с начала 20-го века (см. [1]). Для коммутирующих разностных операторов справедлив аналог леммы Бурхналла-Чаунди [2]. А именно, если L^LS — LSLто существует ненулевой полином F(z,w) такой, что F(Lk,Ls) = 0 [3]. Полином F задает спектральную кривую пары Lk,Ls

Г = {{z,w) eC2\F{z,w) = 0}.

Спектральная кривая параметризует совместные собственные числа, если

Lkip = zî/j, Ьвф = wip,

то (z,w) G Г. Рангом пары Lk,Ls называется размерность пространства совместных собственных функций при фиксированных собственных числах

I = dim{ip : Lkip = zî/j, Ь8ф = wip},

при этом предполагается, что точка (¿^и») е Г находится в общем положении. Таким образом, спектральная кривая и ранг определяются точно также, как и в случае коммутирующих дифференциальных операторов. В целом, между теориями коммутирующих дифференциальных и разностных операторов существует много общего, но есть и существенные различия, которые мы упомянем ниже.

Коммутирующие разностные и дифференциальные операторы имеют важные приложения в солитонных уравнениях. В частности, И.М. Кричевером и С.П. Новиковым [4, 5] открыт замечательный класс точных решений солитонных уравнений — алгебро-геометрических решений ранга / > 1. Этот класс выделяется следующим условием. Совместные собственные функции вспомогательных коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов или их разностных аналогов образуют векторное расслоение ранга I над спектральной кривой Г. В случае спектральной кривой рода д = 1 в [4, 5] найдены решения ранга два уравнения Кадомцева-Петвиашвили и 21)-цепочки Тоды. Основной трудностью при построении таких решений является задача построения коммутирующих операторов высокого ранга и их деформаций. Задача классификации коммутирующих дифференциальных операторов ранга I > 1 решена в [6], а задача классификация коммутирующих разностных операторов существенно развита в работах [4, 5, 7]. Нахождение операторов ранга I > 1 в общем случае является открытой

проблемой.

Прежде чем продолжить обсуждение разностных операторов, остановимся на дифференциальных операторах. И.М. Кричевером и С.П. Новиковым [4], с помощью предложенного ими метода деформации параметров Тюрина, найдены операторы ранга два при д = 1. Эти операторы изучались в [8]-[14] (см. также [15], [16]). При 1 = 3, д = 1 операторы найдены О.И. Моховым [17] (см. также [18]). Операторы ранга I с периодическими коэффициентами изучались в [19]. В последнее время было получено много интересных результатов об операторах ранга I > 1 при д > 1 [20]—[36].

Максимальное коммутативное кольцо разностных операторов, содержащее Ьк и изоморфно кольцу мероморфных функций на некоторой алгебраической кривой с полюсами в выделенных точках

- — Ат (см. [4]). Такие операторы называются т-точечными. Отметим, что любое кольцо коммутирующих дифференциальных операторов изоморфно кольцу мероморфных функций на спектральной кривой с единственным полюсом. В этом заключается одно из основных отличий коммутирующих дифференциальных и разностных операторов. Совместные собственные функции (функции Бейкера-Ахиезера) строятся по спектральным данным. Спектральные данные для двухточечных разностных коммутирующих операторов ранга 1 найдены И.М. Кричевером [3] (см. также [37]). Собственные функции таких операторов явно находятся через тэта-

функции спектральных кривых. Классификация ш-точечных операторов ранга I существенно развита в [4]. В частности, в этой работе найдены спектральные данные для одноточечных операторов ранга I > 1. При этом, в случае ранга I > 1 собственные функции не могут быть найдены явно и нахождение таких операторов — открытая проблема. Одноточечные операторы ранга два, отвечающие эллиптической спектральной кривой, найдены в [4], операторы с полиномиальными коэффициентами среди этих операторов найдены в [38]. В случае спектральных кривых рода д > 1 и ранга I ранее не было известно примеров одноточечных коммутирующих разностных операторов до работы [1*].

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы насчитывает 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 76 страниц.

Основные результаты главы 1 заключаются в следующем.

В настоящей главе рассматриваются алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга два £4, £4(7+2, отвечающие гиперэллиптической спектральной кривой Г рода д, заданной уравнением

гю2 = = + + с2д-1г2°-1 + ... + со, (1)

при этом

2 2 #+1

Ь4=^иг{п)Т\ ЬАд+2= £ «2 = ^+1 = 1, (2)

»=-2 <=-(20+1)

L4ip = zip, Ь4д+2гр = wip, гр = tp(n, Р), Р = (z, w) G Г. (3)

Совместные собственные функции и Ь4д+2 удовлетворяют уравнению (см. [4])

<ф(п + 1, Р) = XI(п, Р)гр(п - 1, Р) + X2(n, P)^(n, Р), (4)

функции xi(n, Р) и Р) рациональны на Г и имеют 2д простых полюсов, зависящих от п. Функция хг(га,Р) дополнительно имеет простой полюс в бесконечно удаленной точке q. Для того, чтобы найти Z/4 и Z/43+2 достаточно найти xi и Х2- Пусть и — инволюция на Г, a(z,w) = (z,—w). Основные результаты этой главы — теоремы 1.1-1.6.

Теорема 1.1 ([1*]). Если

Xi(n,P) = Xi(nMP))> (5)

то Ь4 имеет вид

LA = {T + Un + VnT~l)2 + Wn, (6)

при этом

ТГ Qn+1 W . /7Ч

XI = Х2=п~ + тр (<)

где

ЗД = + pg_i(n)^-1 + ... + ¡3Q(ti), =

i/„-i + un

Функции Un,Vn, Wn, Sn удовлетворяют уравнению

Fg{z) = S2n + Qn-lQn+lVn + Qn(Qn+2K+1+ (8)

Qn+i(z - Ul - к - K+1 - wn)).

В теореме 1.1 и далее мы используем обозначение Un)Vn) Wn вместо U(n),V(n),W(n). Замечательно, что уравнение (8) линеаризуется.

Следствие 1.1 ([1*]). Функции Sn(z),Un,Vn,Wn удовлетворяют уравнению

(Sn — Sn+i)(Un + Un+i) — Qn-iVn — Qn{z — U2 — Vn — Vn+\ — Wn)+ Qn+2{z - Ul+l - K+i - Vn+2 - Wn+1) + Qn+sVn+2 = 0. (9)

Если Sn(z) удовлетворяет уравнению (9), то Sn(z) удовлетворяет уравнению (8) для некоторого Fg(z).

В случае эллиптической спектральной кривой уравнение (8) позволяет выразить Un)Vn)Wn через два произвольных функциональных параметра 7п,

Следствие 1.2 ([1*]). Оператор

LA = {T + Un + VnT~l)2 + Wn,

где

ТТ ^П TI Т /1 п\

ип =--, Wn = -с2 - 7п - 7п+1, (10)

7 п ~ 7n+i

К = 7-^-Fiiln)-Fi{z) = + C2Z2 + CiZ + Со

\ln ~ 7n-i)(7n - 7n+i) коммутирует с оператором

и = Т3 + ([/„ + ип+1 + ^7п+2)Т2+

(К + К+1 + К+2 + 1Уп - 7п+2 + и2п + + и2п+1)Т+ {и1 + С/П_!К + ип+1Уп+1 + <7«(2(К + К+1) + ид 1пип)+ +К(К-1 + К + К+1 + И^ - 7п_1 + и2п_1 + ип-\ип + и2п)Т~1+

(ип-2 + ип-\ + + К-2К-1КТ-3.

Спектральная кривая пары задается уравнением ги2 =

ям-

Если в теореме 1.1 положить = 0, то мы получим оператор вида

Ь4 = {Т + УпТ-1)2 + \¥п. Верна следующая теорема. Теорема 1.2 ([1*]). Если

Х1(п, Р) = Х1 (Щ <т(Р)), Х2(п, Р) = -Х2(Щ <т(Р)), (П) то имеет вид

ЬА = {Т + УПТ~1)2 + \¥П1 (12)

при этом

где

Х1 = » = ¿р (13)

ЦГгг

<Эп(г) = гд + ад-1{п)г9~1 + . • • + ао(п).

Функции удовлетворяют уравнению

ВД = Я^Я^Уп^п^^У^+Я^-^-Уп+^п)). (14)

Уравнение (14) линеаризуется. А именно, если в (14) заменить п на п + 1 и от полученного уравнения отнять (14), то результат делится на 1(2;). В итоге приходим к линейному уравнению на

Следствие 1.3 ([!*])• Функции (¿п(г), УП} ]¥п удовлетворяют урав-

нению

Яп-\Уп + — Уп~ Уп+1 ~~ Жг)" — Яп+2(2 — Уп+1 ~~ Уп+2 — — С^п+зУп+2 = 0. (15)

Если удовлетворяет уравнению (15), то удовлетворя-

ет уравнению (14) для некоторого Рд(г).

В случае эллиптической спектральной кривой уравнение (14) позволяет выразить Уп, через произвольный функциональный параметр 7П.

Следствие 1.4 ([1*]). Оператор

ЬА = {Т + УпТ~1)2 + \¥п,

где

Уп = -(--жп = -с2-1п-1п+и (16)

\1п — 7п-1А7п ~~

/ \ О

^1(2) = х + с2х + с\х + с0 коммутирует с оператором

Ь6 = Т3 + (К + К+1 + Уп+2 + \Уп - 7п+2)Т+

+К(К-1 + К + К+1 + 1Уп - Тп-ОТ"1 + К-2К-1КТ-3.

Спектральная кривая пары задается уравнением т2 =

ВД-

Теорема 1.2 позволяет эффективно строить примеры коммутирующих разностных операторов.

Теорема 1.3 ([1*]). Оператор

и = (Т+ (г3п3 + г2п2 + гщ + г0)Т~1)2 + д(д + 1 )г3п, г3 О коммутирует с разностным оператором Ь4д+2. Теорема 1.4 ([1*]). Оператор

и = (Т+(г1ап+г0)Т-1)2+Г1(а25+1-а9+1-^+1)а^, п ^ 0, а ^ О, где а2д+1 -а9+1 -а9+1 0, коммутирует с разностным оператором

^Ад+2-

Теорема 1.5 ([1*]). Оператор

и = (Т+(п со8(п)+г0)Т-1)2-4г1 вшф с08(п+^), п ^ О

¿1

коммутирует с разностным оператором Ь4д+2.

Рассмотрим следующую систему дифференциально-разностных уравнений на функции

уп = уп(ууп-1 - + к-1 - к+0, (17)

1¥п = - \Уп_1)Уп + (Жп+1 - \Уп)Уп+ъ (18)

Из (17), (18) вытекает, что функция где ё= Уп(Ь) удовле-

творяет уравнению

Также из (17), (18) следует, что

[14,д<-Уп_1УпТ~2]=0, (19)

где

Ь4 = {Т + Уп{г)Т~1)2 + \¥п(1).

Предположим, что Уп^),\¥п(Ь) — решение ранга два системы (17), (18), т.е. предположим, что дополнительно к (19) выполнено

[1/4,1/43+2] = 0. Найдем эволюционное уравнение на полином Яп-, ассоциированный с (см. теорему 1.2).

Теорема 1.6 ([1*]). Предположим, что потенциалы Уп{Ь)^п{Ь) оператора = (Т + Уп{Ь)Т~1)2 + удовлетворяют системе

(17), (18). Тогда полином

Яп = г9 + а9-\{п)г9~1 + ... + а0(п),

отвечающий Ь^, удовлетворяет эволюционному уравнению

Яп = Уп(Яп+1-Яп-1). (20)

Уравнение (20) задает симметрию уравнения (14). При д = 1 функции И7"^) выражаются через функциональный параметр

7п{р) по формулам (16). В этом случае система (17), (18) и уравнение (20) сводится к одному уравнению

. /'.Ы _ ,

1П / \ / \ \ (п—\ 7п+\)1

\1п-\ - 1пЮп - 1п+\)

где Р\(х) = 23 + С222 + С12; + со определяет спектральную кривую пары Ь4)Ь4д+2 : ги2 = ^(г). Это уравнение является дискретным

аналогом уравнения Кричевера-Новикова

Щ ~--' (21)

которое возникает в теории решений ранга два уравнения

Кадомцева-Петвиашвили [5]. Уравнение (21) имеет следующие представление Лакса

[СА,дь-А] = 0, (22)

где и = + У(х, г))2 + А = д1 +1У(х, Ь)дх +1Ух{х, £) и

V = Уравнение (22) является аналогом

(19).

Основные результаты главы 2 заключаются в следующем. В данной главе изучаются алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга 1. Коэффициенты таких операторов зависят от одного функционального параметра, а операторы сдвига входят в разностные операторы только с положительными степенями. Мы изучаем эти операторы в случае гиперэллиптических спектральных кривых, когда выделенная точка

совпадает с бесконечно удаленной точкой ветвления. Отметим, что все другие классы коммутативных колец разностных операторов, исследованные ранее (см. [4], [3], [37]-[38], [1*]), содержат операторы, в которые оператор сдвига входит как с положительными, так и с отрицательными степенями. Рассмотрим следующие спектральные данные

где Г — риманова поверхность рода д, 7 = 71 + • • • + 73 — неспециальный дивизор на Г (71,... ,7^ — в общем положении), д Е Г — выделенная точка, ¿Г1 — локальный параметр около д, Рп Е Г, п Е Ъ — набор точек в общем положении (т.е. если п > 0, то точки (Р1,..., Рп) принадлежат некоторому всюду плотному подмножеству вГп = Гх...хГи аналогично при п < 0).

Теорема 2.1 ([2*]). Существует единственная функция п Е Ж, Р Е Г, которая обладает следующими свойствами.

1. Дивизор нулей и полюсов имеет вид

71 (п) + ... + ъ(п) + р1 + • • • + рп ~ 71 - • • • - Ъ ~ Щ, если п > 0 и имеет вид

71 (п) + ... + т9(п) - Р_1 - ... - Рп - 71 - ... - 73 - пд-, если п < 0.

2. В окрестности д функция ф имеет разложение

ф = кп + 0(кп~1).

3. Ф(0,Р) = 1.

Функцию г[)(п, Р) назовем функцией Бейкера-Ахиезера. Для ме-роморфной функции /(Р) на Г с единственным полюсом порядка т в q с разложением / = кт + 0(кт~1) существует единственный оператор вида

Ьт = Тт + ит-^Т™-1 + ... + гю(п),

такой, что Р) = /(Р)ф(п, Р). Оператор Рто лежит в комму-

тативном кольце разностных операторов, изоморфном кольцу меро-морфных функций на Г с полюсом в д.

Замечание 1. Спектральные данные, в которых появляется дополнительный набор точек Рп (аналогично нашей конструкции), рассматривались И.М. Кричевером [39] в случае двумерного дискретного оператора Шредингера.

Отметим, что дивизор 71 (п) + ... + 7д(п) определяется по спектральным данным однозначно. Отметим также, что в частном случае, когда все точки Рп совпадают, мы получаем двухточечные операторы И.М. Кричевера [3] ранга один.

Двухточечные операторы ранга один, в которые операторы сдвига входят только с отрицательными степенями, рассматривались в работе [40].

Рассмотрим гиперэллиптическую спектральную кривую Г, заданную уравнением (1), в качестве выделенной точки выберем д = оо. Пусть ф(п,Р) — соответствующая функция Бейкера-Ахиезера. Тогда существуют коммутирующие операторы Ь2,Ь2д+\ такие, что

Ь2ф = ((Т + ип)2 + \¥п)ф = гф, Ь2д+1ф = ууф. (23)

Теорема 2.2 ([2*]). Имеет место равенство

Ь2 — х = (Т + ип + ип+\ + Х(п, Р))(Т - х(п, Р)),

где

ф{п + 1,Р) = £>п од

п Яп

ЗД - + 6д-г (п)*?-1 + ... + 50(п), Яп = -гГ1!?!'

ип-1 + ип

Функции ип,\¥п)8п удовлетворяют уравнению

= + {г - и2п - \¥п)ЯпЯп+1- (25)

Уравнение (25) так же, как и уравнение (14) может быть линеаризовано.

Следствие 2.1 ([2*]). Функции Бп(х), ип, удовлетворяют урав-

нению

(5П - 5п+1)(/7п + С/п+1) - (г - Щ - \Уп)Яп+

{г - и2п+1 - \¥п+1)Яп+2 = 0. (26)

Следствие 2.2 ([2*]). В случае эллиптической спектральной кривой Г, заданной уравнением

ш2 = ^1(2) = 2:3 + с2г2 + с\г + с0,

оператор

Ь2 = (Т + ип)2 + \Ут (27)

где

= ж„ = _С2_7„_7„+ь (28)

7п ~ 7п+1

Мь М2 = =Ь1, 7П — произвольный функциональный параметр, коммутирует с некоторым оператором Ь^.

Отметим, что данные операторы могут быть получены из одноточечных операторов Кричевера-Новикова ранга два (см. [4]). Продемонстрируем это при д = 1. Если в следствии 1.2 возьмем 19п = ±-^-^1(7«) ? т0 мы получаем операторы из следствии 2.2. Теорема 2.2 позволяет строить явные примеры.

Теорема 2.3 ([2*]). Оператор

Ь2 = {Т + п со&{п))2 + ^г2 ъес2{д + Б1п(д) вт(<7 + 1) со8(2п),

г\ 0 коммутирует с оператором Ь2д+\ порядка 2д + 1.

Теорема 2.4 ([2*]). Оператор

Ь2 = (Т + а2п2 + а0)2 - д{д + 1)а|п2, а2 ф О

коммутирует с оператором Ь2д+\ порядка 2д + 1.

Основные результаты главы 3 заключаются в следующем. В этой главе мы будем изучать алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие ^-разностные операторы ранга 1 вида

грт грт-1

Ьт = ^ + ит- 1(ж, + • • • + е),

£ £

где Т£ — оператор сдвига на е, Т£(р(х) = (р(х + е). Пусть Г — гиперэллиптическая спектральная кривая, удовлетворяющая уравнению (1) и д = оо. Предположим, что оператор

гр2 гр

Ь2 = ^ + А(х, £)— + В(х, е)

£

коммутирует с оператором Ь2д+х. Аналогами теоремы 2.2 и следствия 2.2 из [2*] являются следующие теорема и следствие.

Теорема 3.1 ([3*]). Имеет место равенство

Т£ Те

Ь2 - X = (— + А(х, е) + х(х + £, £, г)) (— - х(ж, е, г)),

£ £

где

S(х, £. z) W

X = 2 +

Q(x,£,z) Q(X,£,Z)J S(x, £, z) = —Sg(x, £)z9 + 6g-i(x, £)z9~1 + . . . + 6o{x, e) ,

A(x, e) = 6g(x, e) + Sg(x + £,£),

ч S(x — £,£,z) + S(x,£,z)

Q{X,£,Z =---г-.

A{X — £} £)

Функции А, В}S}Q удовлетворяют уравнению

Fg(z) = S2(x} £} z) + Q(x, £} z)Q{x + e, e, z)(z - B(x, e)). (29)

Отметим, что уравнение (29) может быть линеаризовано. Функции А, В, S,Q удовлетворяют уравнению

(5(ж, g, z) — S(x + е, е, z))A(x, е) — Q(x, g, z)(z — В(х, g))+

Q(x + 2e,£:z)(z- В(х + g,g)) = 0. (30)

Если S(x,e,z) удовлетворяет уравнению (30), то S(x,£,z) удовлетворяет уравнению (29) для некоторого Fg(z).

Теорема 3.1 позволяет построить явный пример алгебро-геометрических коммутирующих одноточечных ^-разностных операторов в случае эллиптической спектральной кривой.

Следствие 3.1 ([3*]). Оператор

L2 = (^ + 51(x,£))2 + W(X,£), £

где

5 , , = £)) + М2\М(7(ж + g, g))

' 7(ж, g) — 7(ж + g, g)

W(x, g) = —C2 — j(x, g) — j(x + g, g),

/ii,/i2 = ±1, j(x,£) — произвольный функциональный параметр, коммутирует с оператором

ji3 гр2

= + {5i{x)£) + 5i{x + £1£) + 5i{x + 2£)£))^+ £ &

Т

{821{x)£) + 5l(x + £)£)+5i(x)£)5i{x + £,£)+W{x)£)-^f{x + 2£)£))^ + ( Т y/Fi(rf(x,e)) + 6i(x, (х, е) + W(x, е) - ф, е))).

Спектральная кривая пары Ьз задается уравнением

ги2 = ^(г) = г3 + С2Х2 + а г + со.

При д > 1 решить уравнение (29) очень трудно, более того, даже нахождение примеров является сложной задачей.

Отметим, что в теории обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов возникают уравнения аналогичные уравнениям (29) и (30). Сделаем сопоставление дискретных уравнений (29) и (30) с их гладкими аналогами. Напомним сначала некоторые известные факты об одномерных конечнозонных операторах Шре-дингера Н = д2 + и(х). Теория таких операторов тесно связана с теорией периодических и квазипериодических решений уравнения Кортевега-де Фриза (см. [41]—[43]). Оператор Н коммутирует с некоторым дифференциальным оператором М порядка 2д + 1

М = д2х9+1 + У2д{х)д19 + ... +

Спектральная кривая Г пары Н, М задается уравнением вида и)2 = при этом для совместной собственной функции ф{х)

Нф(х) = гг[)(х), Мф(х) = гиф(х),

имеем (г,и)) е Г. Справедливо разложение (см. [44])

Н — х = {дх + Хо{х)){дх - Хо(х)),

где

= ^Б + Ъ' *) = г9 + \{х)х9~1 + ... + а0{х).

Полином R удовлетворяет уравнению

F,(z) = R2(z +

Известным примером конечнозонного оператора Шредингера является оператор Ламе

dl~9(9 + l)p(x).

где р(х) — эллиптическая функция Вейерштрасса, которая удовлетворяет уравнению (р'(х))2 = 4ръ{х) + д2р(%) +

Предположим, что для ^-разностного оператора L2 выполнены следующие разложения (см. теорему 3.1)

S{x, е} z) = + z) ф + о(е2),

£

2 1

А(х, £) = — + и(х)е + 0(£3), В(х, = + 0(е2),

тогда

L2 = <9j + м(ж) + 0(e). Из (29) вытекает равенство

Fe(z) = R\z-u) + ^-^ + 0(e).

В следствии 3.1 положим функциональный параметр равным

7(ж,е) = р(х-е),

тогда

Ь2 = Ц + {- 2СИ - С(ж - е) + СО* + £))- + рИ,

где ((х) — функция Вейерштрасса.

Основной результат этой главы — следующая теорема.

Теорема 3.2 ([3*]). Оператор ■>2

коммутирует с оператором

L3 = S + ( _ зС(е) _ С(ж _ £) + С(ж + 2e))S+ ((С(е) + С(х -S)- ((*))№) + СИ - СО* + *))+

£ 2

При этом

Ь2 = д1- 2р(я) + О(е), La = % - Зр(х)дх - + О(е).

Отметим, что спектральная кривая пары коммутирующих диф-

О

ференциальных операторов (т.е. кривая, заданная уравнением w =

ВД)

dl - 2Р(х), al - зР(х)дх - ^р'(х)

такая же как и для ^-разностных операторов L2, L3. Таким образом, теорема 3.2 дает замечательную дискретизацию оператора Ламе в случае спектральной кривой рода 1.

Более того, в работе [3*] мы нашли дискретизацию оператора Ламе для произвольного рода д. Но, поскольку доказательство достаточно длинное, данный результат мы не включили в диссертационную работу (см. замечание 3.1).

Отметим, что другая дискретизация оператора Ламе в рамках двухточечной конструкции рассматривалась в работе [45].

Полученные результаты опубликованы в 7 научных изданиях [1*]

— [7*], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*]

— [3*], 4 — в тезисах докладов и материалах конференций [4*] — [7*]. Все сформулированные результаты являются новыми. Все результаты были получены совместно с А.Е. Мироновым. Вклад авторов равноправен и неделим.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.Е. Миронову за постановку задач, полезные обсуждения и всестороннюю поддержку.

Глава 1

Алгебро-геометрические одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга 2

1.1 Уравнения Кричевера-Новикова на параметры Тюри-

Как уже упоминалось, в случае операторов ранга один в рамках двухточечной конструкции собственные функции находятся явно через тэта-функцию многообразии Якоби спектральной кривой. Приведем простейший пример. Пусть Г — эллиптическая кривая Г = С/{Ъ + тЪ},т е С, 1шт > 0, в(г) — тэта-функция в (г) = Епе%еМ™2т + 2тпг). Тогда функция Бейкера-Ахиезера имеет вид

на

Для любой мероморфной функции вида Л = е^~алв>к^~ак">, а\ + ... + а^ = 0 существует единственный оператор

Ь(Х) = Ук(п)Тк + ... + Уо(п)

такой, что

Ь{ Х)ф = Хф.

Операторы Ь{Х) и Ь(^) коммутируют. Отметим, что функция вида (31) обобщается на случай главно поляризованных абелевых многообразий произвольной размерности. Это обобщения позволяет построить коммутирующие разностные операторы от многих дискретных переменных с матричными коэффициентами (см. [46]).

При I > 1 совместные собственные функции не удается найти. Это является основной трудностью при построении коммутирующих операторов высокого ранга. Напомним необходимые нам результаты из [4]. Одноточечные коммутирующие операторы ранга I имеют вид

мг+

Ь= иг(п)Т\ А= ^ ч{п)Т\

1=—Ыг_ !=-Мг_

где I = г+ + г_, (ТУ, М) = 1 [4]. Рассмотрим пространство и (г) решений уравнения Ьу = гу,

(Нт и (г) = 7У(г+ +г_).

Из коммутируемости Ь и А следует, что оператор А определяет линейный оператор А(г) на пространстве и(г). Выберем базис (рг(п) в

пространстве U(z), удовлетворяющий условию нормировки

(рг(п) = 6in, —Nr- <i,n< Nr+.

В базисе (рг(п) компоненты матрицы A(z) — полиномы по z. В рассматриваемом случае характеристический полином матрицы A(z) имеет вид

det(w - A(z)) = Rl(w, z).

Полином R определяет спектральную кривую Г, параметризующую совместные собственные числа L и А

Lip = zip, Aip = wip, R(z,w) = 0.

Совместные собственные функции образуют векторное расслоение ранга I над аффинной частью спектральной кривой. Для каждой точки Р = (z,w) Е Г выберем базис в пространстве совместных собственных функций, удовлетворяющий требованиям

1ргп(Р) = Si,n, -T-<i,n<r+.

В аффинной части спектральной кривой функции 1ргп(Р) имеют дивизор полюсов 7 степени 1д

7 = 71 + . . . + -1lg,

не зависящий от п. В точках ^ выполнены соотношения

alRes^^P) = aisReslsipil(P),

ага не зависят от п. Набор данных (7,а8), = {с^} называется параметрами Тюрина. Эти данные определяют оснащенное полустабильное расслоение ранга I степени 1д над Г. Обозначим через Ф(п,Р) матрицу Вронского

= -г- <1,3 < г+.

Функция голоморфна в окрестности бесконечности, ее

дивизор полюсов совпадает с дивизором 7, а дивизор нулей зависит

от п

7(п) = 71(п) + ... + 7гз(п),

при этом 7(0) = 7. Рассмотрим матричную функцию

х(п, Р) = Ф(п + 1, Р)Ф_1(гг, Р),

Х(п,Р) =

О

О

О

о

о

о

о

о

о

\

уХ-г_(тг,Р) х-г_+1(п,Р) Х-г_+2(п,Р) ... Хг+-\{щР) Ее компоненты в окрестности бесконечности д имеют вид

Хг(п, к) = к~15гр - /¿(п, к),

где к — локальный параметр около д, /¿(п, — аналитическая функция в окрестности д. Справедлива следующая теорема.

1

1

1

Теорема 1. (И.М. Кричевер, С. П. Новиков)

Матричная функция х{п1 Р) имеет на Г простые полюсы в точках т¿(п). Имеют место соотношения на вычеты матричных элементов

о^Яе8ъ{п)Хг(п, Р) = а*Дев7я(п)х^(п, Р). (32)

Точки 7з(п + 1) являются нулями определителя матрицы х(п,Р), т.е.

<\е1Х(п,ъ(п + 1)) = 0. (33)

Вектор + 1) удовлетворяет уравнению

а> + 1)*(п,7> + 1)) = 0. (34)

Уравнения (32)—(34) определяют дискретную динамику параметров Тюрина. И.М. Кричевер и С.П. Новиков нашли решения уравнений (32)—(34) и коммутирующие операторы в случае, когда ранг равен двум, а спектральная кривая является эллиптической кривой. В простейшем случае эти операторы имеют вид

Р = Ь22- р(7„) - р(7п-0, где 1/2 — разностный оператор Шредингера

Ь2 = Т + уп + спТ~1

с коэффициентами

сп = 7(4-1 - 1)^(7п,7п-1)^(7п-2,7п-1),

Уп = («п- 1^(7п,7п-1) - 5п^(7п-ь7п)),

^(м, V) = С(и + у) - С(м - У) - 2((у).

Здесь р(и), ((и) — функции Вейерштрасса, 5П, 7п — функциональные параметры.

1.2 Примеры одноточечных коммутирующих разностных операторов ранга 2

В данном параграфе приведем доказательства теорем 1.1-1.6. Доказательство теоремы 1.1.

Пусть Г — гиперэллиптическая спектральная кривая, заданная уравнением (1). ЬАд+2 — операторы вида (2), для которых выполнено (3). Матрица х(п, Р) = Ф(га + 1, Р)Ф_1(п, Р) имеет вид

'о 1 ^

\хЛп,Р) Х2{п,Р) ) Функции XI и Х'1 имеют следующие разложения в окрестности точки д = оо [4]

XI(га) = &0(п) + &1(п)/с + ..., Х2(п) = ^ + е0(п) + е1(п)/с + ..., (35) где к = Коэффициенты оператора ЬА выражаются через

Ь{(п),ег(п). Справедлива следующая лемма. Лемма 1.1. Оператор

Ьа = Т2 + щ(п)Т + и0(п) + и-1(п)Т~1 + и_2(п)Т~2

имеет следующие коэффициенты:

щ(п) = -е0(п) - е0(п + 1),

щ{п) = -Ьо(п) - 60(п + 1) + ео(п) + б!(га) - е\(п + 1), и-\(п) = -б^га) + 60(га) ^ео(п) + е0(п - 1) - ^ _ ^ > м_2(п) = Ьо{п)Ьо(п - 1). .Ес/ш 61(71) = 0, то £4 представим в виде

ЬА = {Т + ип + УпТ-1)2 + ]¥П1

где

ип = —ео(п), К = -60(тг), \¥п =-е^п) - е^п + 1).

Доказательство. Пользуясь тождеством (4), выразим Фп+2(Р) И фп-2(Р) через ф„-1(Р), ф„(Р), хЛп, Р) и Хг(п, Р), а именно

фп+2 = ^п-1Х1(га)х2(га + 1) + + !) + Х2 (п)хг(п + 1)),

, , Хг(п- 1) фп

фп-2 = —фп-1-7-ТТ +

Теперь заменим ^п+2 и фп-2 в равенстве фп = на соответствующие выражения. Получим

Р1(щР)фп(Р) + Р2(Щ Р)фп^(Р) = хфп(Р),

где

м_2(п)

А (п) = XI (п + 1) + Х2(п + 1)х2(п) + «1НХ2М + ио(п) +

XI (п- 1)'

Следовательно, имеем тождества

Pi = z = ^, Р2 = 0.

(36)

Подставив (35) в (36) получим

1 вп(п) 4- е,п(п + 1) + и\{п)

+ (b0(n + 1) + e0(n)e0(n + 1)+

и-2(п) \

Отсюда находим коэффициенты оператора Из полученных формул следует, что если Ъ\{п) = 0, то имеет вид (6). Лемма 1.1 доказана.

Таким образом, если XI и Х2 удовлетворяют условию (5), то Ъ\(п) = 0, следовательно, представим в виде (6).

Операторы — г и ЬАд+2 — и) имеют общий правый делитель

U-z = h(T-X2(n)-Xi(n)T-1), LAg+2-z = l2{T-X2{n)-Xi{n)T-1),

(Т + Un + VnT~1)2 + Wn — z = (T + An + BnT-l){T-X2{n)-Xi{n)T

T - X2(n) - Xl(n)T~\

где 1\ и 12 — некоторые операторы порядков 2 и 4д. Предположим, что выполнено условие (5). Тогда

где

Ап = 11п + ип+1 + Х2(п + 1), Вп= Уп~1Уп

XI (п - 1)'

при этом XI и Х2 удовлетворяют уравнениям

к-1к + xi(п - 1 ){и2п + к + к+1 - * +

\¥п + XI (п + 1) + Х2 (п)(ип + £/п+1 + Х2 (п + 1))) = 0, (37)

(ип-1 + ип)Упх\{п - 1) - К-1КХ2(^ - 1) + XI(п - 1)Х1 (п)(ип + + Х2(п + 1)) = 0. (38)

Имеем равенства

(1 е1х(п, Р) = -XI(п, Р) = <1е№(п + 1, Р)(с1е1Ф(п, Р))"1.

Степень дивизора нулей 7П функции с!е1;Ф(п, Р) равна 2д. В силу то, что функция XI инвариантна относительно инволюции <т, дивизор 7п имеет вид

7п = 71М + а71 (п) + • • • + 7<?М + °ъ(п)-

Пусть 7г(п) имеет координаты Обозначим через

полином степени д по г

<^п = (г- 6г(п)) ...(г- 69{п)).

Тогда

Х:(п,Р) =

Ч/п

где ьо(п) — некоторая функция. В окрестности q имеем разложение

х1 = ь0(п) + ъ2(п)к2 + о(к4), По лемме 1.1 уп = —ьо(п). Окончательно получаем

Яп+1

xi (п,р) = -уг

п

п

я

Далее, положим

Яп = ~ип(х - (п))... (г - ьгд(п)), и пусть и Яп удовлетворяют соотношению

Так как дивизор полюсов х2(п, р) равен 7п, а в окрестности q имеет место разложение (35), то

Х2(п, Р) = +

При таких XI и Х2 уравнение (38) выполнено тождественно, а (37) сводится к уравнению (8) на Яп,ип,Уп,\¥п. Теорема 1.1 доказана.

Несложно проверить, что если \\ и Х2 имеют вид (7), а Зп удовлетворяет уравнению (8), то выполняются уравнения Кричевера Новикова (32)—(34). Доказательство теоремы 1.2.

Пусть Г — гиперэллиптическая спектральная кривая, заданная уравнением (1). Ь4д+2 — операторы вида (2), для которых вы-

полнено (3). Матрица х(п, р) = Ф(п + 1, Р)Ф_1(п, р) имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маулешова, Гульнара Сайновна, 2018 год

Список литературы

[1] Wallenberg, G. Uber die Vertauschbarkeit homogener linearer Differenzenaus drücke. / G. Wallenberg / / Arch. Math. Phys. bd. — 1909. -V. 15. P. 151-157.

[2] Burchnall, J. L., Chaundy, I.W. Commutative ordinary differential operators. / J.L. Burchnall, I.W. Chaundy // Proc.Lond.Math.Soc.Ser. - 1923. - V. 21, № 2. P. 420-440.

[3] Кричевер, И. M. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения. /И. М. Кричевер // Успехи математических наук. - 1978. - Т. 33, № 4. С. 215-216.

[4] Кричевер, И. М., Новиков, С. П. Двумеризованная цепочка тоды, коммутирующие разностные операторы и голоморфные расслоения. / И. М. Кричевер, С. П. Новиков // Успехи математических наук. - 2003. - Т. 58, № 3. - С. 51-88.

[5] Кричевер, И. М., Новиков, С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. / И. М. Кричевер, С. П. Новиков // Успехи математических наук. — 1980. — Т. 35, № 6(216). - С. 47-68.

[6] Кричевер, И.М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов. /И.М. Кричевер // Функц. анализ и его прил. - 1978. - Т. 12, № 3. С. 20-31.

[7] Кричевер, И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. / И.М. Кричевер // Функц. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, № 1. - С. 15-31.

[8] Гриневич, П. Г., Новиков, С. П. О спектральной теории коммутирующих операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами. / П. Г. Гриневич, С. П. Новиков // Функц. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16, № 1. С. 25-26.

[9] Гриневич, П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов. / П. Г. Гриневич // Функц. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16, № 1. С. 19-24.

[10] Grimbaum, F. Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six. / F. Grimbaum // Phys. D. — 1988. - V. 31, № 3. P. 424-433.

[11] Latham, G. Rank 2 commuting ordinary differential operators and Darboux conjugates of KdV. / G. Latham // Appl. Math. Lett. — 1995. - V. 8, № 6. P. 73-78.

[12] Latham, G., Previato, E. Darboux transformations for higherrank Kadomtsev-Petviashvili and Krichever-Novikov equations. / G. Latham, E. Previato // Acta Appl. Math. — 1995. — V. 39. P. 405-433.

[13] Previato, E., Wilson, G. Differential operators and rank 2 bundles over elliptic curves. / E. Previato, G. Wilson // Compositio Math. — 1992. - V. 81,№ 1. P. 107-119.

[14] Dehornoy, P. Opérateurs différentiels et courbes elliptiques. / P. Dehornoy // Compositio Math. - 1981. - V. 43, № 1. P. 7199.

[15] Dixmier, J. Sur les algèbres de Weyl. / J. Dixmier // Bull. Soc. Math. France. - 1968. - V. 96. P. 209-242.

[16] Дринфельд, В. Г. О коммутативных подкольцах некоторых некоммутаивных колец. / В. Г. Дринфельд // Функц. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, № 1. С. 11-14.

[17] Мохов, О. И. Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 3, отвечающие эллиптической кривой. / О. И. Мохов // Успехи математических наук. — 1982. Т. 37, № 4(226). С. 169-170.

[18] Мохов, О. И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения. / О. И. Мохов // Известия АН СССР, серия математическая. - 1989. Т. 53, № 6. С. 1291-1315.

[19] С. П. Новиков, Коммутирующие операторы ранга I > 1 с периодическими коэффициентами. / С. П. Новиков // ДАН СССР. — 1982. - Т. 263, № 6. С. 1311-1314.

[20] Миронов, А. Е. Об одном кольце коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающем кривой рода два. / А. Е. Миронов // Матем. сб. - 2004. - Т. 195, № 5. С. 103-114.

[21] Миронов, А. Е. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2. / А. Е. Миронов // Сиб. электрон, матем. изв. — 2009. - Т. 6. С. 533-536.

[22] Миронов, А. Е. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие кривой рода 2. / А. Е. Миронов // Функц. анализ и его прил. - 2005. - Т. 39, № 3. С. 91-94.

[23] Zuo, D. Commuting differential operators of rank 3 associated to a curve of genus 2. / D. Zuo //, SIGMA. - 2012. - V. 8, № 044. P. 111.

[24] Mokhov, O.I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients. / О. I. Mokhov // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. - 2014. - № 234. -P. 323-336.

[25] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, связанных с коммутирующими операторами произвольного ранга и рода. / О. И. Мохов // Матем. заметки. — 2013. — Т. 94, № 2. С. 314-316.

[26] Mironov, A. E. Self-adjoint commuting differential operators. / A. E. Mironov // Inventiones mathematicae. — 2014. — V. 197, № 2. P. 417-431.

[27] Mironov, A. E. Commuting higher rank ordinary differential operators. / A. E. Mironov // Proceedings of 6th European Congress of Mathematics. — July 2012. — Krakow, Poland — Europ. Math. Soc. Publ. House, 2013. - P. 459-473.

[28] Mironov, A. E. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators. / A. E. Mironov // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. - 2014. - № 234. - P. 309-321.

[29] Давлетшина, В. H. О самосопряженных коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. / В. Н. Давлетшина // Сиб. электрон, матем. изв. - 2013. - Т. 10. С. 109-112.

[30] Давлетшина, В.Н., Шамаев, Э.И. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. / В. Н. Давлетшина, Э. И. Шамаев // Сиб. матем. журнал. — 2014. — Т. Т. 55, № 4. С. 744-749.

[31] Оганесян, В. С. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 произвольного рода g с полиномиальными коэффициентами. / В. С. Оганесян // Успехи математических наук — 2015. - 70, № 1(421). С. 179-180.

[32] Миронов, А. Е. Самосопряженные коммутирующие дифференциальные операторы ранга два. / А. Е. Миронов // Успехи математических наук. - 2016. - Т. 71, № 4(430). С. 155-184.

[33] Оганесян, В. С. Об операторах вида + и(х) из коммутирующей пары дифференциальных операторов ранга 2 рода д. / В. С. Оганесян // Успехи математических наук — 2016. — 71, № 3(429). С. 201-202.

[34] Оганесян, B.C. Общие собственные функции коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2. / В. С. Оганесян // Ма-тем. заметки - 2016. - 99, № 2. С. 283-287.

[35] Оганесян, B.C. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 с полиномиальными коэффициентами. / В. С. Оганесян // Функц. анализ и его прил. — 2016. — 50, К2 1. С. 67-75.

[36] Давлетшина, В. Н. Самосопряженные коммутирующие дифференциальные операторы ранга два и их деформации заданные со-литонными уравнениями. / В. Н. Давлетшина // Матем. заметки - 2015. - 97, № 3. С. 350-358.

[37] Mumford, D. An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions to the Toda lattice equation, Korteweg de Vries equation and related non-linear equations. / D. Mumford // Proceedings of the International Symposium on Algebraic

Geometry. — Kyoto Univ., Kyoto. 1977. — Kinokuniya, Tokyo — 1978. - P. 115-153.

[38] Миронов, A. E. Дискретные аналоги операторов Диксмье. / А. Е. Миронов // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, № 10. 57-66.

[39] Кричевер, И. М. Двумерные периодические разностные операторы и алгебраическая геометрия / И.М. Кричевер // Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 285, №1. С. 31-36.

[40] Кричевер, И.М. Коммутирующие разностные операторы и комбинаторное преобразование Гэйла / И.М. Кричевер // Функц. анализ и его прил. - 2015. - Т. 49, № 3. С. 22-40.

[41] Новиков, С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. / С. П. Новиков // Функц. анализ и его прил. - 1974. - Т. 8, № 3. С. 54-66.

[42] Дубровин, Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. / Б. А. Дубровин // Функц. анализ и его прил. — 1975. — Т. 9, № 3. С. 41-51.

[43] Итс, А. Р., Матвеев, В. Б. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса. / А. Р. Итс, В. Б. Матвеев // ТМФ. - 1975. -Т. 23, № 1. С. 51-68.

[44] Дубровин, Б. А., Матвеев, В. Б., Новиков, С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. / Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков // Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31, № 1(187). С. 55-136.

[45] Кричевер, И.М., Забродин, А. Б. Спиновое обобщение модели Рейсенарса-Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Тода и представления алгебры Склянина / И.М. Кричевер, А. Б. Забродин // УМН. - 1995. - Т. 50, № 6(306). С. 3-56.

[46] Миронов, А. Е., Накаяшики, А. Дискретизация модулей Бейкера-Ахиезера и коммутирующие разностные операторы нескольких дискретных переменных. / А. Е. Миронов, А. Накаяшики // Тр. ММО. - 2013. - Т. 74, № 2. С. 317-338.

[47] Kanel-Belov, A.Ya., Kontsevich, M. L. The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture / A.Ya. Kanel-Belov, M.L. Kontsevich // Mosc. Math. J. - 2007. - V. 7, № 2. P. 209218.

[48] Mironov, A. E., Zheglov, A. B. Commuting ordinary differential operators with polynomial coefficients and automorphisms of the first Weyl algebra. / A. E. Mironov, A. B. Zheglov, // International Math. Research Notices. - 2016. - V. 2016, № 10. P. 2974-2993.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1*] Маулешова, Г. С., Миронов, А. Е. О коммутирующих разностных операторах ранга 2. / Г. С. Маулешова, А. Е. Миронов // Успехи математических наук. — 2015. —Т. 70, № 3(423). — С. 181 -182.

[2*] Маулешова, Г. С., Миронов, А. Е. Одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга один. / Г. С. Маулешова, А. Е. Миронов // Доклады академии наук. — 2016. — Т. 466, № 4. С. 399-401.

[3*] Маулешова, Г. С., Миронов, А. Е. Одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга один и их связь с конечнозон-ными операторами Шредингера. / Г. С. Маулешова, А. Е. Миронов // Доклады академии наук. - 2018. - Т. 478, № 4. С. 392-394.

[4*] Маулешова, Г. С. Коммутирующие разностные операторы, отвечающие гиперэллиптическим спектральным кривым / Г. С. Маулешова // Сборник трудов международной научно-практической конференции, посвященной научно-педагогической деятельности академика А. Д. Тайманова «Современная математика: проблемы и приложения »:/ Кызылор-

динский гос. ун-т. имени Коркыт Ата, Алматы: "Гылым орда-сы". - 2013. - С. 218-222.

[5*] Mauleshova, G.S., Mironov, А. Е. Discrete Dynamics of the Tyurin Parameters and Commuting Difference Operators [Электронный ресурс] / Gulnara S. Mauleshova, Andrey E. Mironov // International Youth Conference «Geometry and Control », Moscow, April 14-18, 2014: Abstracts. — Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences. — 2014. — P. 34-35. — Режим доступа: http://gc2014.mi.ras.ru/Abstr_bookGC2014. pdf.

[6*] Mauleshova, G. S., Mironov, A. E. On Commuting Difference Operators of Rank One [Электронный ресурс] / Gulnara Mauleshova, Andrey Mironov // Международная конференция «Динамика в Сибири », Новосибирск. — 2016. — 1 с. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/ds/2016/ pdfs/mauleshova.pdf

[7*] Маулешова, Г. С., Миронов, А. Е. Дискретизация конечнозон-ных операторов Ламе / Г. С. Маулешова, А. Е. Миронов // Сборник материалов международной научно-практической конференции, посвященной 100-летию доктора физико-математических наук, академика А. Д. Тайманова «Тайма-

новские чтения — 2017 >: Математика / Западно-Казахстанский гос. ун-т. имени М. Утемисова, Уральск. — 2017. — С. 44.