Геометрия коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Оганесян, Вардан Спартакович

• Оганесян, Вардан Спартакович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Оганесян, Вардан Спартакович

Содержание

Введение

Глава 1

1.1 Предварительные сведения

1.2 Классификация коммутирующих дифференциальных операторов

1.3 Коммутирующие операторы ранга 2

Глава 2

2.1 Коммутирующие дифференциальные операторы

с полиномиальными коэффициентами

2.2 Собственные функции коммутирующих дифференциальных

операторов ранга

2.3 Об операторах вида + и(х) из коммутирующей пары

дифференциальных операторов ранга 2 рода д.

Заключение

Литература

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2»

Введение

1. Актуальность темы.

Рассмотрим два дифференциальных оператора

п

%=0 ¿=0 Условие коммутации операторов Ьп и Ьт

ЬпЬт ЬтЬп 0

представляет собой очень сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты. Теория коммутирующих дифференциальных операторов начала развиваться в начале XX века в работах Валленберга [1], Шура [2] и Бурхналла, Чаунди [3].

Рассмотрим самые простые примеры коммутирующих дифференциальных операторов. Пусть

п т

%=0 %=0

где и ^ константы. Очевидно, что операторы Ьп и Ьт коммутируют. Рассмотрим менее тривиальный пример. Пусть

п

Ьп = ^ иг(х)дх

1=0

произвольный дифференциальный оператор. Рассмотрим полиномы К\(Ьп) и

от оператора Ьп. Очевидно, что К\(Ьп) коммутирует с К2(Ьп). Валленберг в 1903 году (см. [1]) исследовал условие коммутации операторов

т

Ьх = дх + и(х), Ьт = ^2 ьгдх,

=0

где Ьт - произвольный дифференциальный оператор. Валленберг доказал, что если Ь\ и Ьт коммутируют, то Ьт обязательно полиномиально выражается

через Ь\. Он также рассмотрел операторы

^2 = д2 + и(х) Ьз = дъх + р(х)дх + д(х)

и установил, что операторы

¿2 = д2х + и{х) Ьз = д1 + ^^ + 2дх + 3и'{х)

коммутируют тогда и только тогда, когда

(и'(х))2 + 2и3(х) + 82и2(х) + 81и(х) + й0 = 0, € С.

Это были первые примеры коммутирующих операторов, не являющиеся полиномами от третьего оператора.

Шур, вдохновленный работами Валленберга, тоже стал изучать коммутирующие дифференциальные операторы. Он рассмотрел три оператора и Ьк, где порядок ог(1(Ьт) ^ 1, и доказал, что если Ьп коммутирует с Ьт, а Ьт коммутирует с Ьь, то Ьп коммутирует с Ьь (см. [2]). Данный факт совсем не очевиден. Например, для матриц аналог леммы Шура неверен. Лемма Шура показывает, что множество операторов коммутирующих с данным нетривиальным дифференциальным оператором образует коммутативное кольцо.

В 1920-х годах Бурхналл-Чаунди доказали, что если два дифференциальных оператора

п т

Ьп = ^2 и^х)дх, = ^2 ъг(х)дгх

%=о %=о

коммутируют, то существует полином К(х,п)) такой, что Я(Ьп, Ьт) = 0 (см. [3]). Кривая Г, определенная соотношением К(г,т) = 0, называется спектральной кривой. Если

Ьпф = гф, Ьтф = жф, то (г,<ш) € Г. Для почти всех (г,<ш) € Г размерность пространства общих

собственных функций ф одна и та же. Размерность пространства общих собственных функций двух коммутирующих дифференциальных операторов называется рангом. Ранг является общим делителем порядков операторов т и п. Род спектральной кривой иногда называют родом коммутирующей пары. Лакс заметил, что многие нелинейные уравнения математической физики эквивалентны условию коммутации некоторых дифференциальных операторов. То есть, если мы будем уметь явно находить коэффициенты коммутирующих дифференциальных операторов, то мы сможем находить решения уравнений математической физики (см. [7], [20], [21], [22]).

Также интересны коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами. Алгебра дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами изоморфна первой алгебре Вейля. Первая алгебра Вейля обозначается как А\. Можно рассматривать и обобщения, дифференциальные операторы от нескольких переменных с полиномиальными коэффициентами. Алгебра дифференциальных операторов от п переменных с полиномиальными коэффициентами изоморфна п—ой алгебре Вейля. Через Ап обозначается п—ая алгебра Вейля. Существует гипотеза Диксмье, которая утверждает, что гомоморфизм алгебры

/ : Ап ^ Ап

такой, что

\/ (дХг(х3)] = \дХг ,х3 ] = Ь1Г

является автоморфизмом. Обозначим эту гипотезу, для краткости, через ОСп. А гипотезу о якобиане для Сп обозначим ЗСп. Канель-Белов с Концевичем в [23], и независимо от них, Тсушимото [24] доказали, что из ОСп следует JCn, а из ЗС2п следует ИСп. То есть гипотеза Диксмье и гипотеза о якобиане стабильно эквивалентны. Примеры коммутирующих дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами могут помочь сравнить эндоморфизмы ал-

гебр Вейля с их автоморфизмами. Тем самым, поиск примеров коммутирующих дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами является важной и сложной задачей.

Коэффициенты коммутирующих операторов ранга 1 явно выражаются через тэта-функции Римана [5]. Случай ранга больше 1 значительно сложней. Первые примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 со спектральной кривой рода д = 1 были построены Диксмье [13] для невырож-

2 3

денной эллиптической кривой иг = х3 — а с произвольным числом а:

Ь = (д% + х3 + а)2 + 2х,

М = (д2х + ж3 + а)3 + 3хд2х + 3дх + 3х(х2 + а),

где Ь и М - коммутирующая пара операторов Диксмье ранга 2 рода 1. Общая классификация коммутирующих операторов ранга больше единицы была получена Кричевером [6]. Общая форма коммутирующих операторов ранга 2 для произвольной эллиптической кривой была получена Кричевером и Новиковым [7]. Общий вид операторов ранга 3 для произвольной эллиптической кривой (общий вид операторов ранга 3, рода 1 параметризуется двумя произвольными функциями) был найден Моховым [8], [9]. Более того, примеры коммутирующих операторов рода 1 с полиномиальными коэффициентами были построены для произвольного ранга. При этом даже в тех случаях, для которых были получены явные формулы для общего вида коммутирующих операторов, задача выделения коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами является нетривиальной и полностью не решена до сих пор. Задача полного описания коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами была поставлена и рассмотрена Моховым в [18]. В частности, задача описания всех коммутирующих операторов ранга 2 и рода 1 с полиномиальными коэффициентами рассматривалась Моховым в [19] и [11], где было получено много явных

примеров. Миронов в [12] построил примеры коммутирующих операторов Ь и М ранга 2 и произвольного рода д:

Ь =(д2х + А3Х3 + А2Х2 + Агх + Ао)2 + д(д + 1)А3Х,

М2 = Ь2з+1 + а2д Ь2° + ... + а\Ь + ао,

где А{ - произвольные константы, А3 = 0, - некоторые константы. Кроме того, Мироновым в [14] было доказано, что

Ь1 = (д2 + а{Р (х) + ао)2 + а.1 д2д (д + 1)Т (х), а.1 = 0,

М2 = Ь\9+1 + а2д Ь29 + ... + (1^1 + ао, где V удовлетворяет уравнению

(Т'(х))2 = д2Г 2(х) + д{Р (х) + до, д2 = 0,

—коммутирующая пара ранга 2, рода д. В той же работе доказано, что

= (д2х + а1р(х) + ао)2 + 81р(х) + 82р2(х),

М2 = Ь229+1 + Ъ2д + ... + ЬХЬ2 + Ьо,

где р(х) - эллиптическая функция Вейерштрасса, а1 = 1 — 2д2 — 2д, в1 = 1 д(д + 1)(16ао + Ъд2), в2 = —4д(д + 2)(д2 — 1), тоже коммутирующая пара ранга 2, рода д. Примеры коммутирующих операторов произвольного рода и произвольного ранга с полиномиальными коэффициентами были построены Моховым в [19]. Интересные результаты о коммутирующих дифференциальных операторах с полиномиальными коэффициентами ранга 2 и рода 1 были получены Мироновым и Жегловым в [18].

В диссертации исследуются коммутирующие дифференциальные операторы

ранга 2. Найдены новые примеры коммутирующих операторов ранга 2 со спектральной кривой произвольного рода. В некоторых частных случаях найдены их общие собственные функции, которые выражаются через функции Бесселя и Гойна. Это единственные, явно найденные, собственные функций у пары коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами с неособой спектральной кривой. Рассмотрим дифференциальный оператор Ь4 = д4 + и(х) и дифференциальный оператор М порядка 4д + 2. Найдены необходимые условия на функцию и(х), а в некоторых случаях и достаточные, чтобы оператор Ь4 коммутировал с оператором М и они образовывали бы пару ранга 2 (см. [33], [34]).

2. Цели работы.

Найти явно примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 с полиномиальными коэффициентами. Вычислить собственные функции некоторых найденных коммутирующих операторов со спектральной кривой рода 1 в точках ветвления. Найти примеры операторов вида Ь4 = д^ + и(х), где Ь4 коммутирует с оператором М порядка 4д + 2 и операторы Ь4 и М образуют пару ранга 2.

3. Научная новизна.

Все результаты работы являются новыми, получены автором самостоятельно. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Найдены новые коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 со спектральной кривой произвольного рода.

• Вычислены собственные функции некоторых найденных коммутирующих операторов со спектральной кривой рода 1 в точках ветвления.

• Найдены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные условия на функцию и(х), что L4 = д4 + и(х) коммутирует с оператором М порядка 4д + 2 и операторы L4 и М образуют пару ранга 2 рода д.

4. Основные методы исследования.

В работе используются результаты полученные Кричевером и Новиковым в [5], [6] и [7]. Также работа существенно опирается на результаты полученные Мироновым в [12]. Используются некоторые идеи из работ [9], [22].

5. Теоретическая и практическая ценность работы.

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для поиска новых решений уравнений математической физики. Результаты диссертации также могут помочь в доказательстве или опровержении гипотезы Диксмье.

6. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и общеуниверситетских, всероссийских и международных конференциях.

• Международная конференция «Recent Advances in Complex Differential Geometry», Toulouse, France, July 13-22, 2016

Постер «Commuting differential operators».

• Конференция «Ломоносов - 2016», Московский государственный университет, Москва, Апрель 11-15, 2016

Доклад «Матричные коммутирующие дифференциальные операторы».

• Международная конференция «Integrability in algebra, geometry and physics: new trends», Switzerland, July 13-17, 2015

Постер «New commuting differential operators of rank 2 and arbitrary genus».

• Конференция «Ломоносов - 2015», Московский государственный университет, Москва, Апрель 13-17, 2015

Доклад «Коммутирующие дифференциальные операторы».

• Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске — 2014», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 24 — 27 сентября, 2014, Новосибирск

Доклад «Коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами».

• Конференция «Ломоносов - 2014», Московский государственный университет, Москва, Апрель 7-11, 2014

Доклад «Коммутирующие дифференциальные операторы».

• Международная конференция «Вероятность, анализ и геометрия», МГУ имени М.В.Ломоносова, Москва, 30 сентября - 4 октября 2014

Доклад «Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2».

• Международная конференция «Геометрия и анализ на метрических структурах», Новосибирск, Россия, 4-7 декабря, 2013.

Доклад «Конечнозонные эллиптические потенциалы оператора Шредингера».

7. Публикации.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце библиографии.

8. Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Мо-хову Олегу Ивановичу за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работам.

Автор также выражает благодарность Миронову Андрею Евгеньевичу за внимание, помощь и советы.

Автор благодарит Глухова Евгения за очень важные комментарии, существенно улучшившие текст работы.

Глава 1

1 Предварительные сведения

Рассмотрим два дифференциальных оператора

п т

%=0 %=0 Условие коммутации операторов Ьп и Ьт

\_Lni Lт\ ^пЬт ^тЬп 0

представляет собой очень сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты операторов.

Пусть Ьь - оператор порядка к ^ 1. С помощью замены переменной и сопряжения операторов функциями можем без потери общности считать, что операторы Ьп и Ьт имеют вид (см. [3])

п-2 т-2

Ьп = ап+Е , ьт = дт + Е =0 =0

Верна следующая лемма [2].

Лемма 1.1 Если ЬпЬ^ = Ь^Ьп и ЬтЬ^ = Ь^Ьт, то ЬпЬт = ЬтЬп. Доказательство.

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор

5 = 1 + 8\(х)д-1 + 82(х)д-2 + ...,

где

д-1!(х) = /(х)д-1 - Г(х)д-2 + Г(х)д-3 -...

Непосредственным вычислением легко доказать, что существует псевдодифференциальный оператор Б, что Б = или, что эквивалентно Б = .

По условию коммутирует с Ьп и с Ьт, а значит дX коммутирует с Ьп = £~1ЬпБ и с Ьт = £~1ЬтБ. Но вычисления показывают, что если дХ^ коммутирует с Ьп и Ьт, то последние имеют постоянные коэффициенты. Значит ЬпЬт ЬтЬп. Следовательно ЬпЬт ЬтЬп. Доказательство завершено.

В основе применимости методов алгебраической геометрии лежит следующая теорема, доказанная Бурхналлом и Чаунди (см. [3,4]).

Теорема 1.2 Если операторы Ьп и Ьт коммутируют, то существует ненулевой

полином Щх^) такой, что Я(Ьп,Ьт) = 0.

Доказательство.

Возьмем какое-нибудь решение Ьпф = хф, где ^—произвольное комплексное число. Так как ЬпЬт = ЬтЬп, то Ьп(Ьтф) = х(Ьтф). То есть Ьт является линейным оператором на пространстве собственных функций оператора Ьп. Выберем базис на пространстве решений уравнения Ьпф(х, г; хо) = хф(х, х; хо)

—-фг(х,х; хо)\х=о = Ь13, г = 1,...,п, ] = 0,...,п - 1, (1.1)

где Хо - некоторая точка. Соответственно

Ьтф\(х, х; Хо) = а\(хо)фг(х, х; хо) + ... + ап(хо)фп(х, х; хо)

... (1.2)

Ьтфп(х, X; Хо) = а.п(хо)ф\(х, х; хо) + ... + а"п(хо)фп(х, х; хо),

где а](хо) - комплексные числа, зависящие от точки нормировки хо. Оператор Ьт в базисе (1.1) записывается матрицей а] (хо). Обозначим матрицу а] (хо) через С(хо). Так как Ьпфг(х, х; хо) = хфг(х, х; хо), то мы знаем значение функции фг™\х, х; хо) в точке хо. Дифференцируя выражение Ьпфг(х, х; хо) = хфг(х, х; хо) и, подставляя точку х = хо, найдем ф(\хо, х; хо) для любого г и /.То есть мы можем для любого % вычислить Ьтфг(х, х; хо)\х=х0. Учитывая нормировку (1.1),

из выражений (1.2) получим, что матрица С(ж0) полиномиально зависит от ^. Рассмотрим характеристическое уравнение оператора С(х0)

Щг, т) = &ег\СЫ - юЕ| = 0. (1.3)

Характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса и соответственно от точки х0. При каждом фиксированном ^ мы имеем хотя бы одно и), что

Ьпф = хф(х,х; х0), Ьтф = ъиф(х,г; х0). (1.4)

Рассмотрим Я(Ьп, Ьт) и заметим, что Я(Ьп,Ьт) является линейным дифференциальным оператором. Но при каждом ^ существует хотя бы одно решение (1.4) и тем самым на каждом таком решении Я(Ьп, Ьт)ф(х, г; х0) = 0. Но чисел ^ бесконечно и тем самым ядро линейного дифференциального оператора Я(Ьп, Ьт) бесконечномерно, а значит Я(Ьп, Ьт) = 0. Доказательство завершено. Рассмотрим дифференциальный оператор

п- 1

Ьп = д'х + Е <х)д*. =0

Здесь мы на Ьп не накладываем никаких ограничений и не требуем, чтобы он с чем-то коммутировал. Если допустить, что коэффициентами оператора Ьп являются константы, то почти всегда собственные функции оператора Ьп будут экспонентами. И естественно попытаться найти формальную собственную функцию в виде

ф(х,к; Х0) = ((1.5)

э=М К

где кп = г, а N - произвольное целое число, не обязательно положительное. Отметим, что мы ищем лишь формальное решение.

Теорема 1.3 Существует единственное решение уравнения

Ьпф(х,к; хо) = кпф(х,к; хо) (1.6)

в пространстве формальных рядов вида (1.5) с условиями нормировки £8(х) = 0 при з < 0, ^о(хо) = 1 и ^(хо) = 0 при з > 0. Формальные решения с такой нормировкой будем обозначать фо(х,к,хо). Доказательство.

Подставим ряд (1.5) в уравнение (1.6) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях к. Получим дифференциальные уравнения, которые при указанной нормировке решаются однозначно. Доказательство завершено.

Пусть ф(х,к; хо) — любое другое решение уравнения (1.6) в виде ряда (1.5). Рассмотрим ряд ф^Х^кХХо). Тогда ф^Х^кХо) удовлетворяет условиям нормировки из теоремы 1.3 и

ф(х,к; Хо) _ 1 Т и ф(х,к; хо)

Ьп , / , \ = I /■ / \ К; Хо) = К .

гр(хо,к; хо) гр(хо,к; хо) гр(хо,к; хо)

Но по теореме 1.3 решение определяется однозначно и тем самым

ф(х,к; хо) ( ,

—---- = фо{x, к; Хо).

ф(хо,к; хо)

То есть

(х, к; хо) = ф(хо, к; хо)фо(х, к; хо).

Формальный ряд ф(хо,к; хо) обозначим через А(хо ,к). Так как Ьт фо(х,к; хо) является решением Ьп и имеет вид (1.5), то

Ьтфо(х, к; хо) = А(хо, к)фо(х, к; хо). Докажем следующую важную лемму.

Лемма 1.4 Ряд Ьтф0(х, к; х0) имеет вид А(к)ф0(х, к; х0), где А(к) — формальный ряд Лорана, зависящий только от к. Доказательство.

Мы уже доказали, что Ьтф0(х, к; х0) = А(х0, к)ф0(х, к; х0). Докажем, что А(х0, к) не зависит от х0.

ф0(х, к; х1)ек(х1-х°) = в(х0, х1,к)ф0(х, к; х0),

ж

В(х0, х\,к) = 1 + Вв(х0, х1)к-в.

в=1

Тогда

А(х1,к) = (Ьт'ф0(х,к,х1))ф-1{х,к;х1) = = (Ьт(е-к(х1-х0)в(Х0, Х1,к)ф0(х, к; Х0))ек(х1 -хо)В-1(х0, хих)ф-1(х, к; Х0) =

= А(х0, к).

Таким образом, А(х0, к) не зависит от х0. Доказательство завершено.

Заметим, что все производные д ^х1^0 полиномиально зависят от коэффициентов щ(х) и их производных. Мы видим, что

ж

Ьт<ф(х, к;х0) = кт + ^ Аакв.

в=-т+1

Сравнивая коэффициенты по к, легко видеть, что все коэффициенты оператора Ьт полиномиально зависят от коэффициентов щ(х) и их производных.

2. Классификация коммутирующих дифференциальных операторов

Кривая Г, определенная соотношением Я(г^) = 0, называется спектральной кривой. Если

Ьпф = хф, Ьтф = <шф,

то (х,<ш) € Г. Для почти всех (х,<ш) € Г размерность пространства общих собственных функций ф одна и та же. Размерность пространства общих собственных функций пары коммутирующих дифференциальных операторов называется рангом.

Мы установили существования формального решения фо(х,к; хо) и доказали, что любое формальное решение (1.5) имеет вид А(к)ф(х,к; хо). Рассмотрим характеристическое уравнение (1.3). Уравнение Я(х,п)) = 0 не зависит от выбора базиса в пространстве решений уравнения Ьпф = хф. Формальные решения фо(х,к; хо), где кп = х — линейно независимы над полем формальных Лорановских рядов по к. И ничто не мешает рассмотреть действие оператора Ьп на пространстве формальных рядов над полем Лорановских рядов. Ряды фо(х,к; хо) являются собственными функциями для оператора Ьт с собственным значением А(к). Следовательно,

п-1

= - А(к')), з=о

где

00

(х ) = (1кР)т + ]Т Л, (У)

в=—т+1

— разложение в ряд по к-1 ветвей алгебраической функции "ш(х): Щх^) = 0; кп = х. Если ряды А(У) различны при 0 ^ ] ^ п — 1, то при больших 2, а тогда и при почти всех х, собственные значения (х) различны. В этом случае для точки общего положения (x,Wj(х)) кривой К(х,т) = 0 существует единственная собственная функция ф(х, х, ю) операторов Ьп и Ьт, то есть ранг коммутирующей пары равен 1. Этот случай полностью разобран в [5], [6], где получены явные формулы для ф(х,х,"ш) и для коэффициентов оператора Ьп

в терминах тэта-функций Римана. Если ряды А(к3) совпадают при некоторых различных 2, то А(к) = А(к1). Очевидно, что I является общим делителем т и п. При этом

]=п-1 ]=п-1

ЩгП <г -А{к>))= П -А{(к'У)) = =0 =0

3=П—1

= П (* - М(к1У)У = Щ1(г,п), =0

где Ш = п. Кривая Г: Я(г,п) = 0 неприводима, пополняется в бесконечности единственной точкой Р0, в окрестности которой локальным параметром является х(Р)—^. Каждой точке общего положения Р = (г,п) кривой Г отвечает I — мерное пространство собственных функций оператора Ьт с собственным значением п = п(Р), то есть I — ранг коммутирующей пары Ьп, Ьт.

Приведем классификацию скалярных коммутирующих операторов ранга 1>1

[6]. Нормируем общие собственные функции условием

$

(х,Р;Х0)1х=хо = $гз, 0 ^ i,j ^ I- 1.

В работе [6] доказано, что функции ^(х,Р;х0) обладает следующими аналитическими свойствами:

1. г^ (х, Р; х0) мероморфны на кривой Г вне Р0 и имеют по 1д простых полюсов 7г(х0),

фгз(Х,Х0) .

(х, г; х0) ^ ————^ 1 д,

в окрестности полюса 71 (х0).

2. Все вычеты ф^(х,х0) пропорциональны одному: = а,ь^(х0-1, 0 ^ 2 ^ I- 2.

3. Если к-1(Р) - локальный параметр на Г в окрестности Р0, то имеет место

асимптотика:

^ (х, Р; Хо) = (^ £ 3(х)к 5}Фо(ж, к; хо),

в=0

где ф (х,Р; хо) = (фо(х,Р; хо), ...,ф-\(х,Р; жо)), £ о(ж) = (1,0..., 0), £ 3(хо) = , й ^ 1, Фо(х,к; хо) = (Фо) - решение уравнения ^Фо = 5Фо, Ф%о(хо,к; хо) = 5г\ 0 ^ г,] ^ I - 1,

5 =

0 0

0

1 0

0

0 1

0

0 0

0

0 0

ук + п)о(х) п)\(х) и)2(х) ... п)1-2(х) 0у Теорема 1.7 [6] Аналитические свойства 1,2,3, произвольные константы ('Уг,а^) и произвольные функции w0(х), ...^1-2(х) определяют вектор-функцию ф(х,Р; хо) и коммутирующую пару Ьп, Ьт ранга I общего положения.

Доказательство основано на сведении к задаче Римана на кривой Г и не дает эффективных формул для коэффициентов коммутирующих операторов. В [6], [20] предложен метод деформации параметров позволяющий в ряде

случаев получить точные решения.

Рассмотрим матрицу Вронского

^ Фо Ф\ ...

Ъ(х,Р; Хо) =

ф'о ф{ ... ф[_!

уФ1о~1 ф1-1 ... Ф\-\)

1-1

вектор функции ф (х, Р; хо). Заметим, что 1 не зависит от хо и

1

010 0 0 1

000

0 0

\

Х1 Х2 ... Х1-1/

где х(х, Р) — мероморфные функции на кривой Г. При х = х0 полюсы Хг(х, Р) совпадают с 71 (ж0), ...,71д(х0), а отношения вычетов функции Хг(х, Р) в точках 7^(х0) совпадают с параметрами аг^(х0):

щ,г (Х0 У (хо](Х1-1) = г ыЫ. В окрестности Р0 на Г функции Хз (х, Р) имеют вид

Х0(х, Р) = к + п0(х) + 0(к-1), Хв (х, Р) = п3(х) + 0( к-1), 1 I- 2,

XI-1(х,Р ) = 0( к-1).

N

Разложение Хз (х, Р) в окрестности полюса 7г (х) имеет вид

X,(х, Р) = к-'^) + $гЛх) + 0(к - 7г(х)),

^ = аг,3Сг,1 -1, 0 ^ ] ^ I- 1, 1 д.

Теорема 1.8 [6], [7] Параметры 7г(х), аг^(х), 1 д, 0 ^ ] ^ I - 2,

удовлетворяет системе уравнений

7 г = -С г,1 -и

аг,0 = аг,0аг, 1-2 + аг,0$г,1 -1 - $г,0-,

а'г а = аг^аг, 1-2 - а^-1 + аг^гг-1 - 1.

Общие собственные функции коммутирующих операторов ранга I опреде-

1

ляются из уравнения

фт(х, Р) = Х1-Лх, РУФ(1 -1)(х, Р) + ... + Х.оф(х, Р),

(1.7)

Для произвольных функций ю^х), 0 ^ г ^ I — 2, решение системы однозначно определяет набор мероморфных функций Хз (Х,Р) с необходимыми аналитическими свойствами. По асимптотикам Хз(Х,Р) в окрестности Ро на Г восстанавливаются коммутирующие операторы. Общая форма коммутирующих операторов ранга 2 для произвольной эллиптической кривой была получена Кри-чевером и Новиковым [7]. Общий вид операторов ранга 3 для произвольной эллиптической кривой (общий вид операторов ранга 3, рода 1 параметризуется двумя произвольными функциями) был найден Моховым [8], [9]. Более того, примеры коммутирующих операторов рода 1 с полиномиальными коэффициентами были построены для произвольного ранга. При этом даже в тех случаях, для которых были получены явные формулы для общего вида коммутирующих операторов, задача выделения коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами является нетривиальной и полностью не решена до сих пор. Задача полного описания коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами была поставлена и рассматривалась Моховым в [18].

3. Коммутирующие операторы ранга 2

Рассмотрим оператор

Из работы [12] известно, что этот оператор коммутирует с некоторым оператором М порядка 4д + 2, причем спектральная кривая пары Ь, М имеет род д,

Ь = (д2х + V (х))2 + W (х).

(1.8)

тогда и только тогда, когда найдется полином

Я = х9 + а1(х)гд-1 + а2 (х)х9 —2 + ... + ад-1(х)г + ад (х),

для которого выполняется следующее соотношение:

+ 4У0!" + 6У'+ 20!(2х - 2W + У) - 2QW' = 0, (1.9)

^ здесь означает дхО,. Спектральная кривая и коэффициенты в уравнении общих собственных функций имеют вид

4т2 = (г) = 4(г - W)Я2 - 4У($)2 + (Я")2 -+2Ц{2У$ + 4У$' + <2(4)),

Я О" ™ т/

Х1 = V хо = + Я - у.

Перепишем (1.9) в виде

4<^'г = -Я(5) - 4У$" - 6У0" - 2$У + + 40>'№. Получаем следующую систему на а^(х): а,1 = Ш/2 + С1

4а'2 = -а^ - 4Уа'(' - бУа'{ - 2а[У + 2аЖ + 4а^

4а'г+1 = -а[5) - 4Уа'!' - 6У'а/ - 2а'гУ + 2а{№ + 4а'№

4а'д = -а^ - 4Уа'-1 - бУа[- 2а'д_1У' + 2ад-Ж + 4а'д-1Ш 0 = -а(д5) - 4Уа'д - бУа'д - 2а'дУ + 2ад№ + 4а'д№

Из этой системы видно, что результат в [12] можно переформулировать следующим образом. Пусть а1 = Ш/2 + С1, где С1 - произвольная константа. Определим рекуррентным соотношением

аг+1 = —J (-a(5 - 4Vai'' - 6V'af¡ - 2a¡V" + 2a,W' + 4a¡W)dx. (1.10)

Следовательно, оператор (1.8) коммутирует с оператором порядка 4д + 2 и составляет с ним пару операторов ранга 2 тогда и только тогда, когда ag+\ = const. Например

a2 = -^W- -VW'' - -V'W' + 3W2 + -WCX + C2, 2 8 2 4 8 2 1 2'

где C2 - константа, которая появляется после интегрирования. Вообще, ai содержит i констант интегрирования, то есть ai(x) = ai(x;Ci,..., Ci).

Глава 2

1. Коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами

Рассмотрим оператор

Ь =(д2х + У (х))2 + Ж (х). (2.1)

Доказаны следующие три теоремы.

Теорема 2.1 Оператор Ь = (д%+А6х6+А2х2)2 + 16д(д+1)А6х4, где д е Н, А6 = 0, а А2 - произвольное число, коммутирует с некоторым дифференциальным оператором М порядка 4т + 2 при любом т ^ д. Пара операторов Ь, М имеет ранг 2, а ее спектральная кривая имеет вид п2 = г2т+1 + а2тг2т +... + а1х + а0.

Теорема 2.2 Оператор Ь = (д'2 + А4х4 + А2х2 + А0)2 + 4д(д + 1)А4х2, где д е Н, А = 0 и А2,А0 - произвольные числа, коммутирует с некоторым дифференциальным оператором М порядка 4т + 2 при любом т ^ д. Пара операторов Ь, М имеют ранг 2, а ее спектральная кривая имеет вид п2 = г2т+1 + а2т г2т + ... + а\г + а0.

Теорема 2.3

1) Если Ь = (дх + АпХп + Ап-1Хп-1 + ... + А0)2 + Вкхк + В^х^1 + ... + В0, где п > 3, п е Н, Ап = 0, Вк = 0, коммутирует с оператором М порядка 4д + 2 и пара М, Ь имеет ранг 2, то к = п - 2 и Вк = (п - 2)2т(т + 1)Ап для некоторого т е N.

2) Если Ь = (дх + Ахп)2 + Вхп-2, А = 0,В = 0, то при п > 6, п е Н, не существует дифференциального оператора М порядка 4д + 2, коммутирующего с Ь, такого, что пара М, Ь имела бы ранга 2.

3) Если п = 5, то оператор Ь = (дх + Ах5)2 + 18Ах3, А = 0, коммутирует с оператором М порядка 4д + 2 для любого д и М, Ь - пара операторов ранга 2.

4) Оператор Ь = (д2х + Ах5)2 + 9т(т + 1)Ах3 при т > 1, А = 0, не коммутирует ни с каким оператором М порядка 4 + 2, с которым он образовывал бы пару ранга 2.

Отметим, что как показывают выкладки, в случае рода меньше 9 при т = д спектральная кривая пары операторов из теоремы 2.1 невырожденна для любого ненулевого А6 и почти всех А2. По-видимому, при т = д спектральная кривая невырожденна для любого рода д, но пока это не доказано. При т > д, по-видимому, спектральная кривая получается всегда вырожденной. Приведем несколько примеров. При т = = 1 спектральная кривая пары операторов из теоремы 1 имеет вид

п2 = (х + 16А2)( г2 + 16А22 + 192Аб). При д = 1,т = 3 это

п2 = (г + 16А2)(г2 + 16А2г + 192Аб)(256А2 + С2 - 16А2С1 - (16А2 -Сх)х + г2)2, где С1, С2, С3 - произвольные константы. При т = д = 3 и А2 = 0 это п2 = г( г2 + 288000Аб)(273715200А2 + 289152Абг2 + г4).

У пары операторов из теоремы 2.2 для почти всех А2,А0 спектральная кривая является невырожденной для т = д < 9. По-видимому, спектральная кривая является невырожденной при любых т = . Приведем несколько примеров. При т = д = 1 получается спектральная кривая следующего вида:

п2 = х3 + 8А2г2 + 16(А2 + А0А4)г + 64А0А2А4 + 16А24.

При д = 1,т = 3 и А2 = Ао = 0

= (г3 + 16А24)(С2 + Схг + г2 )2,

где С-[, С2 - произвольные константы. При д = т = 3 и А2 = Ао = 0 это

и2 = г (3382560000^4 + 117216А\г3 + г6).

Теорема 2.3 не выполняется для полиномов более общего вида Апхп+Aп_1xп_1 + ... + А1х + Ао и Вхп-2 + Вп-1 хп-1 + ... + В1х + Во. Например, для любого п существует дифференциальный оператор порядка 6, с которым Ь коммутирует (см. [15]). Есть основания полагать, что Ь коммутирует с оператором порядка 4д + 2 при д > 1 только при п = 3,4, 5,6, но пока это не доказано.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оганесян, Вардан Спартакович, 2016 год

Список литературы

[1] Wallenberg G. Uber die Vertauschbarkeit homogener linearer Differentialausdrucke //Arch. Math. Phys. 4 (1903), 252-268.

[2] Schur J. Uber vertauschbare lineare Differentialausdrucke //Sitzungsber. der Berliner Math. Gesell. 4 (1905), 2-8.

[3] Burchnall J. L., Chaundy I. W. Commutative ordinary differential operators //Proc. Royal Soc. London. 1928. Ser. A. V. 118. P. 557—583.

[4] Burchnall J. L., Chaundy I. W. Commutative ordinary differential operators //Proc. Royal Soc. London. 1931. Ser. A. V. 134. P. 471—485.

[5] Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии //Функц. анализ и его приложения, 11:1 (1977), 15-31.

[6] Кричевер И. М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов //Функциональный анализ и его приложения, 12:3 (1978), 20-31.

[7] Кричевер И. М. , Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения //УМН, 35:6(216) (1980), 47-68.

[8] Мохов О. И. Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 3, отвечающие эллиптической кривой //УМН, 37:4(226) (1982), 169-170

[9] Мохов О. И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения //Известия АН СССР. Сер. матем., 53:6 (1989), 1291-1315

[10] Mokhov O. I. On commutative subalgebras of Weyl algebra, which are associated with an elliptic curve //International Conference on Algebra in Memory of A.I. Shirshov (1921-1981). Barnaul, USSR, 20-25 August 1991. Reports on theory of rings, algebras and modules. 1991. P. 85.

[11] Mokhov O. I. On the commutative subalgebras of Weyl algebra, which are generated by the Chebyshev polynomials //Third International Conference on Algebra in Memory of M.I.Kargapolov (1928-1976). Krasnoyarsk, Russia, 23-28 August 1993. Krasnoyarsk: Inoprof, 1993. P. 421.

[12] Mironov A. E. Self-adjoint commuting differential operators and commutative subalgebras of the Weyl algebra //Inventiones Mathematicae 197, no. 2 (2014), 417-431.

[13] Dixmier J. Sur les algbres de Weyl //Bull. Soc. Math. France 96 (1968), 209-242

[14] Mironov A. E. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators //American Mathematical Society Translations: Series 2, 234 (2014): 309-322.

[15] Mironov A. E., Zheglov A. B. Commuting Ordinary Differential Operators with Polynomial Coefficients and Automorphisms of the First Weyl Algebra //International Mathematics Research Notices (2015) doi: 10.1093/imrn/rnv218.

[16] Mironov A. E. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие кривой рода 2 //Функциональный анализ и его приложения, 39:3 (2005), 91-94.

[17] Миронов А. Е. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2 //Сиб. электрон. матем. изв., 6 (2009), 533-536.

[18] Мохов О. И. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, связанных с ком-

мутирующими операторами произвольного ранга и рода //Матем. заметки, 94:2 (2013), 314-316

[19] Mokhov O. I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients //American Mathematical Society Translations, Volume 234 (2014), 323-336.

[20] Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над римановыми поверхностями и уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). I //Функциональный анализ и его приложения, 12:4 (1978), 41-52.

[21] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия //УМН, 31:1(187) (1976), 55-136.

[22] Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса //ТМФ, 23:1 (1975), 51-68.

[23] Belov-Kanel A., Kontsevich M. The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture //Moscow Mathematical Journal 7 (2): 209-218.

[24] Tsuchimoto Y. Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures //Osaka J. Math. 42: 435-452.

[25] Славянов С. Ю., Лай В. //Специальные функции. Единая теория, основанная на анализе особенностей //Невский Диалект, 2002.

[26] Grunbaum F. Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six //Phys. D, 31:3 (1988), 424-433.

[27] Previato E., Wilson G. Differential operators and rank 2 bundles over elliptic curves //Compositio Math. 81:1 (1992), 107-119.

[28] Mumford D. An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions to the Toda lattice equation //Korteweg deVries equation and related nonlinear equation. Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), pp. 115-153, Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978.

[29] Gesztesy F., Unterkofler K., Weikard R. An explicit characterization of Calogero-Moser systems //transactions of the American mathematical society 358, no 2, 603-656.

[30] Weikard R. On commuting matrix differential operators //New York Journal of Mathematics.

[31] Gesztesy F., Weikard R. A characterization of all elliptic algebro-geometric solutions of the AKNS hierarchy //Acta Mathematica, September 1998,181, Issue 1, 63-108.

[32] Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения //Харьков: ОНТИ, 1939.

Публикации автора по теме диссертации

[33] Оганесян В. С. Об операторах вида д4 + и(х) из коммутирующей пары дифференциальных операторов ранга 2 рода g //Успехи математических наук, 71:3(429) (2016), 201-202.

[34] Oganesyan V. Explicit characterization of some commuting differential operators of rank 2 //International Mathematics Research Notices (2016), doi:10.1093/imrn/rnw085.

[35] Оганесян В. С. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 с

полиномиальными коэффициентами //Функциональный анализ и его приложения, 50:1 (2016), 67-75.

[36] Оганесян В. С. Общие собственные функции коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 //Математические заметки, 99:2 (2016), 283-287.

[37] Оганесян В. С. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 произвольного рода g с полиномиальными коэффициентами //Успехи математических наук, 70:1(421) (2015), 179-180.