Геометрия абелевых многообразий и римановых поверхностей и нелинейные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Дубровин, Борис Анатольевич

• Дубровин, Борис Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дубровин, Борис Анатольевич

Введение, • • ♦ ♦ V • • * •!

ГЛАВА I. Необходимые сведения из теории тэта-функций и

1 I- • ' . Л к.» ч* .Л , * римановых поверхностей • « • • * »: « ♦ ♦

§ 1Л»; Общие свойства многомерных тэта-функций»; •

§ 1ф29- Тэта-функции ршановых поверхностей и задача обращения Якоби»; ^ » . ♦ » . ^ V ^ » »

§ 1»г3* Вещественные римановы поверхности и их тэтафункции^ • • , г * • • *■ • * *

§ 1.4;. Функции Бейкера-Ахиезера и их применения в нелинейных уравнениях ♦ » * • •

ГЛАВА П» Эффективизация тэта-^ункциональшх методов теории

СОЛИТОНОВе1 • • У •: V * •! •! •

Постановка проблемы эффективизации «> • •

§1 § 2„2„ Уравнение КдФ - род у = 2 . о; • • • • • • »

§ 2,3» Дисперсионные соотношения для уравнения КП при ^-ДЗ« Решения уравнения Буссинеска £

§ 2<.;4„' Условия вещественности построенных решений уравнении КП и связанных с ним уравнений КдФ и Буссинеска • . , ; ♦ ♦ с • • • , *

§ 2«-5„ Зффективизация тэта-функциональных формул для других нелинейных уравнений » # V *;ПЗ Приложение к главе П»; Эффективное описание всех гладких вещественных двухзонных решений уравнения (коч^ит- ^

ГЛАВА Ш»; Методы теории нелинейных уравнений в проблеме

Римана-Шоттки , ♦ ,, г » • »! 1 ♦! «¡! Х

§ 3,1, Постановка проблемы Романа - Шоттки и формулировка гипотезы С»П,Новикова • , , . е

§ 3;2Г Доказательство теоремы 3.1.1 .( . . •

§ З.З.- Некоторые следствия у . .; . . . ♦ • .!

ГЛАВА ЗУ.: Тэта-Функциональные методы в спектральной теории матричных конечнозонных операторов и связанных с ними нелинейных уравнений .1 , • . • « , «

§ 4.'1.' Сведения о нелинейных уравнениях, связанных с матричными дифференциальными операторами . . о

§ 4»2»: Простейшие спектральные свойства матричных операторов с периодическими коэффициентами

§ 4.13.1 Свойства спектра матричных конечнозонных операторов .' •• ♦; V .: ♦!

§ 4.'4." Аналитические свойства собственных функций матричных конечнозонных операторов . .: »•

§ 4»;5«, Построение (комплексных) конечнозонных матричных операторов.' . .'. . . .;

§ 4.;6е; Выражение коэффициентов конечнозонных операторов через тэта-функции . . ,: • .:

§ 4.7.' Критерий ~ самосопряженности конечнозонных операторных пучков • »; .: » . . » . 233 Литература у. у.5 »'. •■•.•• .:

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия абелевых многообразий и римановых поверхностей и нелинейные уравнения»

Одной из вершин классической теории функций явилось создание в XIX веке теории абелевых функций, центральной частью которой было построение и изучение свойств тэта-функций многих комплексных переменных^ Тэта-функции одного переменного (называемые также эллиптическими тэта-функциями) были, в основном, изучены Якоби; их многомерные обобщения строились в связи с нуждами теории алгебраических функций и абелевых интегралов рода 2 Гепелем [13 и Розенхайном С 2 ] « Однако свой законченный вид, почти не изменившийся вплоть до настоящего времени* теория многомерных тэта-функций приобрела в основополагающих работах Римана (см»' в [3] )»? Результаты и методы этих работ применялись самим Риманом, а также Вейерштрассом, Кенигсберге-ром, Шоттки, Примом и др.1 для изучения свойств алгебраических функций комплексного переменного»! Нашей целью здесь не является детальное обсуждение истории развития теории алгебраических и абелевых функций в XIX веке; см»? по этому повода [4] , [5 3 Отметим особо лишь работы, посвященные приложениям тэта-функций к интегрированию нелинейных уравнений»: Первое такое приложение было найдено Вейерштрассом [6] , который показал, что решения задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде, проинтегрированной Якоби методом разделения переменных, выражаются через тэта-функции двух переменных»; Одним из самых ярких достижений в облаг-сти приложений тэта-функций явился цикл работ С»(В»'Ковалевской [7] . [8] , обнаружившей новый случай интегрируемости движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и решившей уравнения движения для этого случая через двумерные тэта-функции»5, Работы С.Ш.'Ковалевской были завершены Кеттером [9] , который вырагзил через тэта-функции физические переменные, а также получил условия вещественности для этих тэта-функциональных формул. Ряд дальнейших работ был посвящен решению уравнений Кирхгофа движения твердого тела в идеальной жидкости, где нетривиальные интегрируемые случаи были открыты Клебшем [1о] и Стекловым и Ляпуновым [п] , [12] . Отметим, прежде всего, работу Вебера рз] , решившего в двумерных тэта-функциях уравнения Кирхгофа на нулевом уровне интеграла площадей. Интересно, что в этой работе Ве-бер действовал методом прямой подстановки тэта-функционального анзатца в уравнения движения. Далеко идущее обобщение метода Вебера, предпринятое автором, играет существенную роль в построениях главы П (см. ниже). Работы Кёттера [14-] , [15] были посвящены интегрированию в тэта-функциях уравнений Кирхгофа для интегрируемых случаев Клебша и Ляпунова-Стеклова. Эти работы, однако, нельзя считать завершенными, так как зависимость фазовых переменных от времени в них до конца не вычислена. Кроме того, в работе [14] имеется ошибка (на нее указано, в частности, в[1ф, вследствие которой рассуждения проходят лишь при наложении дополнительных ограничений на параметры задачи.

Перечисленные работы, посвященные приложениям аппарата абе-левых функций к интегрированию дифференциальных уравнений,вплоть до самого последнего времени были известны лишь узкому кругу специалистов по аналитической механике и никогда серьезно не использовались для решения механических задач. Более того, среди специалистов-механиков даже и сейчас распространена точка зрения, что тэта-функциональные формулы решений интегрируемых задач классической механики есть лишь набор символов * из которых невозможно извлечь конкретную механическую информацию»! Такая точка зрения j на наш взгляд, не лишена оснований»* Дело в том, что все эти формулы выражают физические параметры интегрируемой системы в виде (tiLi-ttoi, + tQi ) , где R некоторая рациональная функция от различных тэта-функций двух переменных^ Явный вид этой рациональной функции, а также вектора частот t иг ) крайне малоэффективно вычисляется в результате решения некоторой задачи обращения Якобит Именно в силу такого низкого уровня эффективности построенные в прошлом веке точные решения перечисленных выше механических систем невозможно было использовать для получения качественной информации о поведении этих систему а также для описания методами теории возмущений характера поведения систем, близких к этим интегрируемым»:

Начиная с середины 70-х годов теория тэта-функций стала интенсивно применяться в теории солитонов, возникающих в различных нелинейных волновых процессах»! Основной предпосылкой для такого применения явилось открытие "метода обратной задачи"* позволившего проинтегрировать ряд фундаментальных физических урав-нений^ Первое из таких уравнении - известное уравнение Кортевега -де Фриза (КдФ), сведенное в С15 ] к обратным задачам рассеяния для оператора Шредингера (Штурма-Лиувилля) при решении задачи Коши для уравнения КдФ на классе быстроубывавдих функций.; Механизм, лежащий в основе процедуры работы Йб] был в дальнейшем осмыслен и усовершенствован с различных точек зрения Лаксом [17] ,

ВгЕ.'Захарошм и Л.Д»Фадцеевым [18 ] , Гарднером [19 ] ; затем были найдены другие нелинейные уравнения, к которым аналогичный механизм также может применяться»* Первым после КдФ было нелинейное уравнение Шредингера (НШ) [20 J у [21] , затем последовали уравнение Sine- Gordon (6fG) С22-24] * цепочка Тода [2527] , двумерный аналог уравнения ВД? - уравнение Кадомцева -Петвиашвшш (КП) [28*29] и ряд других (см* подробнее в Г 30] )♦< фундамент современных приложений теории тэта-функций был заложен в результате опубликования в 1974-1975 гг цикла работ Св!ЩНовикова, автора, ВЛ*Матвеева и А#]Р#(йтса [31-35] и Лакса [36,37] , в которых был введен и изучен класс "конечнозонных" периодических и квазипериодических потенциалов оператора Шредингера (Штурма-Лиувилля, Хилла)# На базе этого класса была сформулирована и реализована программа построения широкого класса решений уравнения выражающихся через гиперэллиптические тэта-функции^ (Некоторые результаты этих исследований были получены также Маккином и Ван Мербеке в 1975г [38] *! Как было строго доказано В^МЯарченко и И.!ВГОстровским - в книге [39] , - множество периодических конечнозонных потенциалов плотно в пространстве периодических функций с данным периодом?) В указанных работах была установлена связь спектральной теории операторов с периодическими коэффициентами с алгебраической геометрией, теорией конечномерных вполне интегрируемых гамильтоновых систем и теорией нелинейных уравнений типа Кд^ Обобщение этой теории на Г пространственно двумерные ( nZ+i - системы); к числу которых относится и уравнение КП, было осуществлено И.!М,'Кричевером [4043] Подход И»М#!Кричевера дает также чрезвычайно методологически удобное и прозрачное изложение алгебраической процедуры построения упомянутых выше конечнозонных решений уравнения и его многочисленных аналогов.- В случае - систем этот метод вскрывает новые важные связи с алгебраической геометрией, которые существенно используются в постановке задач главы Ш настоящей диссертации.

Перечисленные работы составили основу периодического аналога метода обратной задачи в теории нелинейных уравнений, называемого также методом "конечнозонного интегрирования" или "алгебро-геометрического интегрирования".; Этот метод состоит из трех тесно связанных друг с другом составных частей: теории нелинейных уравнений, спектральной теории операторов с периодическими и квазипериодическими коэффициентами и алгебраической геометрии рима-новых поверхностей и абелевых многообразий^; Взаимодействие этих составных частей может быть проиллюстрировано достаточно полно на примере теории уравнения КдФ

Г 1 <Н (I)

11= бии-и „ допускающего коммутационное представление (Лакса) где

2)

3)

- оператор Шредингера, - 47)3+3(и2%+'д и) (4)

- вспомогательный оператор третьего порядка* В [31] было найдено другое коммутационное представление уравнения Кд£> эквивалентное (2): Ы 0, (5) где Л С^) -Л - матрицы, полиномиально зависящие от спектрального параметра А : о л-ч

А О

6)

Л г ■ г г

1 V 2 и

7) оператор(уОФа) совпадает с оператором ¿-л , переписанным в матричном виде).; Определены "высшие аналоги" уравнения №

С4л) ч (8) г, ✓ / V попарно коммутирующие и имеющие коммутационное представление* аналогичное (5):

9) где71 (Л) - матричный полином от А степени * коэффвдиен-п ты которого выражаются через функцию и и ее производные по X (Само уравнение Кдф содержится в (8) ,(9) при П = 1 «?,) Линейные комбинации с постоянными коэффициентами уравнений (8) также представляются в виде (5),5

Алгоритм построения конечнозонных решений уравнения ВД? таков [31] Рассмотрим стационарные решения одного из высших аналогов уравнения Кц#:

I С&ы) V' С&п) п = й

Это - обыкновенное дифференциальное уравнение порядка £А/ , являющееся гамильтоновой системой с N степенями свободы* Эта система вполне интегрируема; решения уравнения (10) поэтому являются условно периодическими функциями от ос & Совокупность этих решений при всевозможных значениях констант С 9 Сй 9. С-п инвариантна относительно (I) и дает условно-периодические решения уравнения КдФ»>. Это и есть искомые конечнозонные решениям Для гладких вещественных периодических с периодом Т решений и (ос) уравнений (10) в блоховском спектре оператора Ь =-д и Сое.) V в С- ) ) имеется лишь конечное число лакун \

О, А) 9 ' V»где V -V< * - невыр°жденные точки спектра периодической и антипериодической задач»: Елоховская собственная функция , % С0С+Т9 ос0 9 р(Л) - квазиимпульс), оказывается однозначной мероморфной по ) функцией на двулистной римановой поверхности Г , имеющей точки ветвления в концах зон спектра^

При <=х> функция %. (00, ОС0 Д)имеет экспоненциальную существенную особенность вида7ехр^^ф-дС^)] . Полюсы функции расположены по одному над каждой конечной лакуной в спектре (число полюсов равно роду N римановой поверхности Г

Общие комплексные решения уравнения (10) при продолжении по х в комплексную область также являются условно периодическими мероморфными функциями»; Оператор I* ив этом случае обладает собственной функцией Ч* » мероморфной по Л на некоторой двулистной римановой поверхности Г рода И , обладающей там аналитическими свойствами, аналогичными сформулированным выше» Еиманову поверхность Г в этом случае естественно назвать спектром оператора 1* • Но точки ветвления этой римановой поверхности являются уже комплексными; на расположение А/ полюсов функции Ф также не возникает никаких ограничений^ Риманова поверхность Г и функция ^ строится согласно следующему алгоритму»1 Из (9) получаем для уравнения (10) коммутационное представление

0, (II) где матричный полином А (2) имеет вид п =0

Другими словами, для конечнозонных операторов # а) = % - € а) С существует матричный полином Л (2) 9 коммутирующий с X С А) (это свойство можно взять за определение конечнозонных операторов; см»' ниже гл» 1У)» Риманова поверхность Г задается характеристическим уравнением матрицы Л С Л) :

П(Л^) (13)

Можно считать, что ЗпЛ(Л) =О ветвления римановой поверхности Г тогда точки .,, - это нули многочлена с1еЬ Л Й) ^

Собственная вектор-функция Ч> = оператора % М) , мероморфная на построенной римановой поверхности Г 9 строится как собственный вектор пары коммутирующих операторов: та) у (Я о, л а) ? = и} с условием нормировки ~ 1 (ее компонента V является

Л ^ тогда собственной функцией оператора I

Перечисленные выше аналитические свойства собственной функции ^ конечнозонного оператора ¿ , мероморфной на римановой поверхности Г конечного рода ^ , позволяют доказать, что эта функция однозначно определяется римановой поверхностью Г и своими полюсами и выражается через тэта-функцию римановой поверхности Г 9* Для конечнозонного потенциала и №), а также для соответствующего решения ИСХ,^ уравнения № получаем [35] выражение вида

15)

Здесь тэта-функция ^ переменных определяется своим рядом Зурье ее*) - в а 1В) е*рц м >+ <*, г >} > (16)

Уе г = <Х,гУ-Ц, ^ , В = (3^-матрица периодов голоморфных дифференциалов римановой поверхности Г относительно некоторого базиса циклов 9 со стандартными индексами пересечений ^~ О, ~ ¿^у вещественная часть этой матрицы отрицательно определена), з вЛ', N> = 6 . М Лу Далее, векторы

-¿Ч,. ' ~ эт0 вект°Ры^периодов нормированных абелевых дифференциалов на Г второго рода с полюсами в бесконечноудалениой точке второго и четвертого порядков соответственное Вектор г определяется по заданию полюсов собственной функции ; меняя эти полюсы, можно придавать этому вектору произвольные значения.- Наконец, константа С зависит только от римановой поверхности I7 и от выбора на ней базиса циклов й- , в/ г з

Для того, чтобы формула (15) задавала гладкие вещественные периодические и почтипериодические конечнозонные потенциалы и решения уравнения ВД&, нужно, чтобы все точки ветвления п а поверхности I были вещественны и различны» Полюсы собственной функции Ц? , как уже говорилось, лежат по одному на вещественных циклах над лакунами; это задает вещественные ограничения на возможные значения вектора т: , вид которых зависит от выбора базиса циклов на Г Отметим, что ограничения на риманову поверхность Г и расположение на ней полюсов собственной функции; отвечающие выделению гладких вещественных потенциалов, могут быть получены лишь с привлечением спектральной теории оператора Шредингера /| = - д+ и (X) , эс

Уже из этого беглого очерка основных идей метода конечно-зонного интегрирования видно, что так называемые "явные формулы" (15) решений уравнения КдФ (а также их обобщения для других интегрируемых уравнений, некоторые из которых перечислены ниже в § 1*4) являются лишь сокращенными формулировками глубоких результатов, содержащих в себе, фактически, весь аппарат классической алгебраической геометрии римановых поверхностей и абеле-вых многообразий.' Этим они кардинально отличаются от других известных семейств точных решений различных дифференциальных уравнений в тех или иных классах специальных функций, где мы можем-, в частности, убедиться в справедливости формулы для решения прямой ее подстановкой в уравнение с использованием различных тождеств для соответствующих специальных функций»; Другими словами, явные формулы типа (15) обладают теми же недостатками* препятст-вуадими их использованию в приложениях* что и формулы для решений перечисленных выше классических интегрируемых систем,'

Фактически причина низкой эффективности формул типа (15) для решений нелинейных уравнений заключается в том, что "параметрами" этих решений являются произвольные римановы поверхности (гиперэллиптические в случае Кдф), которые задают (сложными абе-левыми квадратурами) матрицу периодов тэта-функции и векторы частот УГ и волновых чисел 2/,,., » С другой стороны, ясно, что наиболее естественные и простые параметры, задающие тэта-функцию многих переменных, это ее периоды (Вгу) (симметрическая матрица с отрицательно определенной вещественной частью)»; Сама тэта-функция вычисляется по своей матрице периодов при помощи чрезвычайно быстро сходящегося ряда (см» подробнее § 1»1 ниже)», С этой точки зрения формулы типа (15) можно сделать по настоящему эффективными, если решить следующие две проблемы»:

I»' Выяснить, какие значения могут принимать матрицы периодов тэта-функций в формулах конечнозонных решений нелинейных уравнений типа Кд$?»

Д» Выразить оставшиеся характеристики конечнозонных решений - т»е» векторы частот IV и волновых чисел через периоды тэта-функции,'

Как уже говорилось, периодами тэта-функций в формулах (15) и их многочисленных обобщениях являются периоды голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях»1 Для случая малых родов 3 поэтому матрица периодов (Вг- ) может быть произвольной (общего положения) симметричной с положительной вещественной частью, поскольку здесь на периоды голоморфных дифференциалов еще не возникает никаких соотношений [3] , Остается проблема П,*

Таким образом, для малых родов для эффективизации формул типа (15) конечнозонных решений уравнения Кдф и его обобщений достаточно вычислить векторы частот и волновых чисел через матрицу периодов тэта-функции»; Решение этой задачи эффек-тивизации было впервые получено автором в работах [44] , С45J (формулировки части результатов работы [44] были опубликованы В,П»Масловым и (^Доброхотовым в [46] , где эти результаты использовались Это решение основывалось на высказанной С,;П,:Но-виковым идее элементарной подстановки тэта-функционального "ан-затца"(15) в уравнение КдФ, причем , а векторы V и И^ пока неизвестны, (Для уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) важен также случай <3=3 ,) В результате подстановки получится ж) Одновременно с работой [44] и независимо от нее была опубликована работа Накамуры [47] * методы которой пересекаются с отдельными техническими соображениями работы [44] (Подход Накамуры обсуждается также в препринте Хироты [48] без каких-либо точных формулировок и явных формул,') При этом Накамура решает такую задачу: как с помощью тэта-функции двух переменных строить точные решения нелинейных уравнений типа Кдф? Подход Накамуры не обобщается уже на случай тэта-функции трех переменных » связь с проблематикой классической теории тэта-функций (см,ниже) в работе [47] не обсуждается,верное тождество, лишь если векторы II , IV и "амплитуда" (Ъл.) удовлетворяют некоторой системе "дисперсионных" соотношений

17) с

Вывод этих соотношений, однако, совсем не тривиален в силу нелинейности уравнения КдФ»1 Общий метод подстановки тэта-функционального анзатда в уравнения теории солитонов типа КдФ, КП и пр» был развит автором в цитированных выше работах [443 , [453 ; изложению этого метода и его важнейших приложений посвящена глава П настоящей диссертации.

Цусть теперь ^ у/ 4 • Б этом случае уже не любая матрица ( ) (симметрическая с положительно определенной вещественной частью) может быть матрицей периодов голоморфных дифференциалов на римановой поверхности^ Это легко увидеть уже из соображений размерности: римановы поверхности рода Оу 1 образуют (3^-3)-- параметрическое семейство, а матрицы ^ - параметрическое семейство»' Проблема отыскания полного набора соотношений между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях (мы называемЧпроблемой Римана-Шоттки) была поставлена еще Риманом и до настоящего времени в хорошем виде не решена» Точную формулировку этой проблемы мы дадим в § ЗД, а здесь приведем краткую информацию о ее истории»! Первое продвижение в решении этой проблемы получил Шоттки С49Л , который нашел в первом нетривиальном случае ^ = 4 одно соотношение на периоды» Почти сто лет спустя Игуса показал [ЬО] , что уравнение Шоттки точно выделает периоды голоморфных дифференциалов при 4 »

Обобщения соотношений Шоттки на случай больших родов указывались в [51] , [52] » Метод Шоттки был осмыслен с современной точки зрения и существенно продвинут в работе ^аркаша и Рауха [53] ?

В этой работе был предложен метод, позволяющий получать большое число явных тождеств на тэта-функции, справедливых для тэта-функк ций римановых поверхностей, отправляясь от теории многообразий Примам Лишь в работе [54] самого последнего времени было доказано, что соотношений Фаркаша и Рауха хватает по числу параметров? Наконец, еще один подход к проблеме Римана-Шоттки был найден Андреотти и Майером [55] , применившими для решения этой проблемы свойства дивизора нулей тэта-функций римановых поверхностей? Уравнений Андреотти-Майера хватает по числу параметров, однако процедура их написания сильно неэффективна? Кроме того, известно, что решения этих уравнений имеют лишние компоненты (не относящиеся к периодам голоморфных.дифференциалов) - см? [56J ?

Автором был развит [45 J , L57J метод решения проблемы Римана-Шоттки, использующий теорию конечнозонных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) (1»4?Ю), решения которого имеют вид (1»)4?13) (см? ниже), и риманова поверхность, задающая эти решения, может быть произвольной»: Изложение этого метода составляет предает главы Ш настоящей диссертации? Приведем здесь лишь основную идею»' Будем искать решение уравнения КП в виде (1»4?13) как это объяснялось выше, где матрица периодов (В;/ ) тэта-функции и векторы V , У , Ц7 пока не известны,' Методы гл» П позволяют получить набор "дисперсионных" уравнений

КП(У,УЛ(Ъц))-0. (18) уравнения (3.1?6) ниже)», С»П.Новиков высказал гипотезу, что решая систему (18) относительно матрицы , мы получил матрицы периодов римановых поверхностей и только их»1 В главе Ш мы даем точную формулировку этой гипотезы и доказываем ее справедливость по числу параметров (т»;е#; с точностью до компонент)» Попутно получается эффективная процедура для решения классической задачи Торелли о восстановлении римановой поверхности по ее периодам голоморфных дифференциалов* В самое последнее время идеи и методы работы автора [571 получили дальнейшее развитие в работе Арбарелло и Де Кончини Гб8 7♦ В этой работе к соотношениям (18) на матрицу (Вц) добавлены другие соотношения, (фактически возникающие из "высших аналогов" уравнения КП), уже точно выделяющие периоды голоморфных дифференциалов. Полученная система соотношений на матрицу (Ь*>) является сильно переопределенной (напомним, что по числу параметров хватает уже соотношений, вытекающих из (18)); кроме того, теряется универсальность - независимость от рода ^ Справедливость гипотезы С»<П»Пови-кова в работе Г58] не доказана и не опровергнута»;

Описанная выше программа метода конечнозонного интегрирования до самого последнего времени в полном объеме была осуществлена лишь для уравнения Кортевега- де Фриза и связанного с ним оператора Шредингера»1 Дело в том, что почти все нелинейные уравнения, интегрируемые методом обратной задачи (нелинейное уравнение Шредингера, уравнение &пе- в-огДоп. »уравнения нелинейного взаимодействия волновых пакетов и др«?), ассоциирове -ны со спектральной теорией матричных линейных дифференциальных операторов, которые зачастую даже не являются самосопряженными»', Хотя построить комплексные алгеброгеометрические решения этих уравнений сравнительно несложно (см»' Г59-64] , [41] ), попытки выделить из них вещественные гладкие решения наталкивались на серьезные трудности»' Возникающие здесь задачи вещественной алгебраической геометрии оказались совершенно неразработанными (первые серьезные продвижения в решении этих задач в применении к нелинейному уравнению Шредингера, двумерному оператору Шредин-гера и к уравнению $в- были сделаны И,В.Чередником [65-67] , хотя полученные в этих работах результаты и далеки от эффективности)»' Точно так же почти ничего не было известно о спектральных свойствах несамосопряженных операторов с периодическими коэффициентами, т»!е»' о свойствах возникавдих римановых поверхностей и об аналитических свойствах блоховских собственных функций, мероморфных на этих поверхностях» Даже и для самосопряженного случая, где был накоплен большой конкретный материал о свойствах спектра (см» [68] , ЙОб] ), структура римановой поверхности спектра не исследовалась»*

Первые серьезные применения конечнозонных решений и конеч-нозонных операторов - в задачах статистической физики, развитии нелинейного аналога метода БКБ и др» - сделали особенно актуальным доведение до конца конечнозонного интегрирования ряда нелинейных уравнений, имеющих важные физические приложения, и исследование спектра соответствующих линейных операторов»' Это было сделано в ряде работ самого последнего времени: для уравнения в работах [69-71] , для нелинейного уравнения Шредингера в [71] , [72] 9\ (В работе [72] , кроме того, на неэффективном уровне изучался вопрос о конечнозонном интегрировании векторного нелинейного уравнения Шредингера и уравнений главного кирального поля со значениями в унитарной группеШло доказано, что возникающие здесь вещественные римановы поверхности относятся к разделяющему типу (см»' ниже), однако их полная топологическая классификация не получена»1 Тэта-функциональные формулы для решений также не найдешь)

Полное описание свойств спектра матричных линейных конеч-нозонных операторных пучков с различными условиями 7 - самосопряженности, а также тэта-функциональные формулы для их коэффициентов и решений связанных с ниш нелинейных уравнений были впервые получены автором [73] и составляют содержание главы 1У настоящей диссертации»; Рассматриваемые пхц. - операторные пучки имеют вид

L (Л) =:М-Уса), в=сйшц (а19.,ап), (19) где Л - спектральный параметр»! Условие " 7 - самосопряженности" операторного пучка ¿¿(Л) имеет вид у и 7 , 7 = (±{,.,± ¿X

20) где звездочка обозначает эрмитово сопряжение»! Следует сказать несколько слов о нелинейных уравнениях, ассоциированных с такими пучками при 1П. 7/3 », Первые примеры таких уравнений - уравнения нелинейного взаимодействия волновых пакетов ("задача трех волн") - были найдены В»'Е» Захаровым и С»В.Манаковым (см» в [30])»' Впоследствии С.Ф.Манаков заметил Г74], что стационарные уравнения задачи волн совпадают с М - мерным обобщением (для алгебры Ли 10 (Ю ) уравнений Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой и поэтому также интегрируемы»! Прямая проверка независимости и инволютивности построенных ѻ»Манаковым интегралов % - мерных уравнений Эйлера была сделана А^Миценко и А»Т»|Фоменко в работе С75 ]» В этой же работе метод ѻ»;Манакова был использован для доказательства полной интегрируемости (по Лиувиллю) некоторых геодезических потоков на других полупростых группах Ли. В последнее время была опубликована серия работ Адлера и ван Мербеке [76-78] , в которых изучалась алгебраическая структура инвариантных торов для найденных С.\В.Манаковым интегрируемых уравнений Эйлера.1, Случай алгебры Ли -5О (4) , где интегрируемость доказана еще в работах С79] , Г803 , более детально изучался в работе Хайне Г81] Явных тэта-функциональных формул для решений в этих работах получено не было.1 Вопрос о выделении "вещественных" решений авторами не ставился.' Более сложные нелинейные уравнения, связанные с матричными операторами, изучались в Г82] , [83] , где строился также гамильтонов формализм для этих уравнений.;

Возвращаясь к операторным пучкам (19), укажем, что римано-ва поверхность Г блоховской собственной функции операторов (19) всегда является вещественной, т.е.! допускает антиголоморфную инволюцию Т .: Неподвижные овалы инволюции 'С являются разрешенными зонами спектра пучка Z (Л) Других разрешенных зон нет, если выполнено условие самосопряженности ТА У 0 Основной проблемой спектральной теории матричных конечнозонных операторных пучков является описание класса вещественных римано-вых поверхностей ( Г, Т ) , на которых задана еще мероморфная функция степени 11 - спектральный параметр Л , где * являющихся римановыми поверхностями блоховских функций I -самосопряженных операторных пучков (19). Это описание, являющееся центральным результатом главы 1У, имеет следующий вид,

1) Бесконечноудаленные точки X1 ( поверхности 1 неподвижны относительно Т ;

2) Вещественная часть Г разделяет поверхность Г на две половины и Г * (Г+) - П

3) Ориентируем Т как край одной из половин (скажем, Г+ ). Тогда степень отображения А • Х^ ИР равна сигнатуре матрицы 3 (с точностью до знака).

Необходимость свойств 2), 3) доказана (если Зф { ) в самосопряженном случае >0 ? если же условия самосопряженности нарушается, то необходимость этих свойств доказывается при дополнительном предположении компактности изоспектрального класса пучка

КХ) с данным спектром I , справедливым,по-видимому, для пучков общего положения.

Сформулированная теорема сводит задачу классификации спектров матричных конечнозонных операторов (%) общего положения (где риманова поверхность Т неособа) к задаче вещественной алгебраической геометрии - топологической классификации троек

7 ъ--) , удовлетворяющих условиям I) - 3). Гораздо более сложной является задача классификации решений ассоциированных с обыкновенных дифференциальных уравнений. В простейшем случае уравнений Эйлера-Манакова (см. выше) мы приходим, как показано в гл. 1У, к описанию расположений на проективной плоскости

ИР* троек , где 1 - плоская вещественная комплексно ориентируемая кривая степени ш, , 'Р &Г -точка в , - прямая на Я/Р , проходящая через Р и пересекающая Г в У^ точках.

Настоящая диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых в общей сложности на 19 параграфов. Используется двойная нумерация параграфов (номер главы, номер параграфа) и тройная нумерация теорем, лемм, определений, формул в параграфах (первые два числа указывают номер главы и номер параграфа). Име

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дубровин, Борис Анатольевич, 1984 год

1. Дрюма В/С/ Об аналитическом решении двумерного уравнения Кор-тевега-де ©риза/ Письма в ЖЭТФ, 1974, т#. 19, вып.; 12, с/ 753-755/

2. Захаров В/Е/, Шабат А.Б/ Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния.; I. функц/анализ, 1974, т. 8, вып/ 3, с/43-53,

3. Захаров В,Е,:, Манаков С,;В/, Новиков С,;П/, Питаевский Л*П/ Теория солитонов: метод обратной задачи/ (Под ред,; С/П/Новикова.; М;: Наука, 1980, 319 е.;

4. Мищенко A;C.: Интегралы геодезических потоков на группах Ли»}- Функц;анализ и его прил;, 1970, т.; 4, вып.; 3, cCj 73-77f

5. Мещеряков М.В. Интегрирование уравнений геодезических лево-инвариантных метрик на простых группах Ли с помощью специальных функций. Матем. сб., 1982, т.117, № 4, с. 481-493.

6. Кулиш П.П., Рейман А.Г. Гамильтонова структура полиномиальных пучков. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.123, с. 67-76.

7. Nuij' V/. A note on hyperbolic polynomials.- Math.Scand., 1968,v. 23, No. 1, p. 68-72.