Формально самосопряженные коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2 и их деформации, заданные солитонными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Давлетшина, Валентина Николаевна

• Давлетшина, Валентина Николаевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Давлетшина, Валентина Николаевна

Содержание Введение

1 Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга два

1.1 Функция Бейкера-Ахиезера ранга 2

1.2 Примеры коммутирующих формально самосопряженных дифференциальных операторов ранга два

2 Деформации коммутативных колец самосопряженных

дифференциальных операторов ранга два, заданные солитонпыми уравнениями

2.1 Коммутирующие операторы ранга два

и эволюционные уравнения

2.2 Случай эллиптических спектральных кривых. Иерархия уравнений Кричевера-Новикова

Заключение

Список литературы

53

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формально самосопряженные коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2 и их деформации, заданные солитонными уравнениями»

Введение

В диссертации изучаются коммутативные кольца формально самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два. Пусть

п—2 тп— 1

= ^ + Е ^ = + Е изШ

— обыкновенные дифференциальные операторы порядков п, т > 2. Условие

коммутации операторов Л/п и //т

^п; -^т] ЬпЬт — ЬтЬп — 0

представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты этих операторов.

Напомним некоторые результаты из теории коммутирующих дифференциальных операторов. Один из первых важных результатов был получен Шуром [1] в 1905 году.

Лемма 1. Пусть Ьп, Ьгп и Ьи — дифференциальные операторы порядков 71, т и к соответственно (п > I). Если ЬпЬт — ЬтЬп и

^п^ь — т0 ЬгпЬк — Ь^Ьт.

Лемма 1 означает, что множество операторов, коммутирующих с заданным оператором, образует коммутативное кольцо. Позднее в 1923 году Бурхналл и Чаунди в [2] доказали следующую лемму.

Лемма 2. Если ЬпЬгп — ЬтЬп. то существует ненулевой полином такой что Я(Ьп, Ьт) = 0.

Например, если

Л/ «X/ Л/

то 1\ = Ь1 т.е. Я = А3 - ¡I2.

Уравнение Я(\, /л) — 0 определяет спектральную кривую Г пары коммутирующих дифференциальных операторов Ьп и Ьт

Г = {(А, ц) : Я(Х, /х) = 0} С С2.

Если ф является совместной собственной функцией

Ьпф = А ф, Ьтф =

то точка с координатами (А, принадлежит спектральной кривой Г.

Размерность пространства совместных собственных функций, для (А. ц) в общем положении, является общим делителем п и т. Рангом I называется наибольший общий делитель всех порядков операторов из максимального коммутативного кольца, содержащего Ьп и Ьт.

В случае коммутирующих операторов ранга один совместные собственные функции (функции Бейкера-Лхиезера) и коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой с помощью конструкции И.М. Кричевера [3]. Напомним эту конструкцию. Функция Бейкера-Ахиезера находится по следующему набору спектральных данных

где Г — произвольная риманова поверхность рода д, д £ Г, к~1 — локальный параметр в окрестности точки д, 7 = 71 4- ... + 75 — неспециальный дивизор степени д.

Тогда существует единственная функция ф(х, Р) (Р £ Г), удовлетворяющая следующим условиям:

1. В окрестности точки д функция ф имеет существенную особен-

2. Функция ф мероморфна на Г — {<7} с простыми полюсами в

71 ■ • • • 7 7с/ •

Пусть }'{Р) — мероморфная функция с единственным полюсом в д порядка п с разложением

{Г, д, к'1,7} ,

ность

/ = кп + 0(к,г~1).

Тогда существует единственный дифференциальный оператор

п

ш) = Чп =

3=0

такой что

ЩЩх, Р) - /(Р)ф(х, Р) = ехкО (£) .

Коэффициенты щ(х) явно находятся но & Если правая часть последнего равенства не равна нулю, то се можно добавить к функции Бейкера-Ахиезера и получить новую функцию, удовлетворяющую условиям 1 и 2 в определении функции Бейкера-Ахиезера, но, в силу единственности функции Бейкера-Ахиезера, это невозможно, т.е.

Щ)ф(х1Р) = /(Р)ф(х,Р).

Аналогично для другой мероморфной функции д(Р) с единственным полюсом в д

Цд)ф(х,Р)=д(Р)ф(х,Р).

Отсюда следует, что

ф(х,Р)еКег[Ц/),Цд)]. Так как, ядро ненулевого оператора конечномерного

[Щ),Ь(д)] = 0. Далее выпишем явный вид функции Бейкера-Ахиезера.

Рассмотрим базис циклов щ, bi (1 < I < д) на Г с индексами пересечений

акощ = 0, bkobL = 0, akobi = Skh 1 < к,1 < д.

Обозначим через ui,... нормированный базис абелевых дифференциалов

Ш1 = 5Ы.

Jak

Тогда тэта-функция многообразия Якоби поверхности Г

J(r) = с9/ {z9 + nzg}

задается рядом

0(z) = ]Г e*i<nn,n>+2m<n,z> ^ z е

пе iß

где < п, z >= niZi + ... + ngzg, ü — симметричная матрица с компонентами

= —

J ак

причем Im Г2 > 0.

Тэта-функция обладает свойством

Пусть и — мероморфная 1-форма на Г с единственным полюсом второго порядка в точке q, и нормированная условием

[ си = 0.

Jak

Пусть II — вектор 6-периодов

и = ( [ и>,..., [ и

уьг Jbg

Для фиксированной точки Р0 пусть А(Р) : Г —> «/(Г) — отображение Абеля

Р гР \

Л{Р) = (I

Тогда на Г определена функция

Ш1: . . . , / Шд

Ро ¿Ро

р

с(г Р) = №Р) - Мъ) - • • • - А(Ъ) - кг + ХЦ) г ; 0(А(Р) - А(ъ) - ... - А(Ъ) - КГ) '

где А'г ~~ вектор римановых констант. Функция £ имеет простые полюса в 71,..., 'Уд и в окрестности точки д имеет вид

Тогда, ф(х: Р) = является функцией Бейкера-Ахиезера. Та-

ким образом, совместные собственные функции операторов ранга один и их коэффициенты выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой.

Коммутирующие операторы ранга I > 1 классифицированы Кри-чевером И.М. [4]. Совместные собственные функции таких операторов отвечают спектральным данным Кричевсра (см. гл.1 для 1 = 2), но найти в явном виде собственные функции не удается. Первые результаты об операторах ранга I = 2 получены Ж. Диксмье [5]. Им найдены примеры коммутирующих операторов ранга два порядков

4 и б с полиномиальными коэффициентами:

Ь4 = (д2: - х3 + а)2 - 2х,

3

ь& = (д2 - X3 - а)3 - ~{х(02х - X3 - а) + (д2 - х3 - а):г).

Спектральная кривая пары Ь^ и является эллиптической кривой, которая задается уравнением

9 Ч

и) = г — а.

Операторы Диксмье были первыми примерами нетривиальных коммутирующих элементов в первой алгебре Вейля.

В случае эллиптических спектральных кривых операторы ранга I = 2 порядков 4 и б найдены И.М. Кривечером и С.П. Новиковым [6|, причем оператор четвертого порядка имеет вид

¿4 - (52+г/)2+2са.(р(72)-р(71))<9х+(са;(р(72)-р(71)))х-р(72)-^(71),

71 (ж) = 7о + с(х), 72 (х) = 7о - с(х), и(х) = -^+^+2Ф(71Л2)слг-^+4(Фа.(7о+с.7о-с)-Ф2(7ь72)), Ф(7ь72) = С(72 - 71) + С(71) - С(72),

где с(х) — произвольная гладкая функция, 70 Е С, р(х), ((х) — функции Вейрнттрасса. Оператор можно найти из уравнения

¿¿ = 4(Ь4)3 + д2ЬА + дъ.

Данные операторы изучались в [7]-[13]. При д — 1, I = 3 операторы найдены О.И. Моховым [14]. В [15]—[18] найдены некоторые примеры операторов ранга I — 2 и 3 при д = 2,3,4. До недавнего времени примеров коммутирующих операторов ранга I > 1, отвечающих спектральным кривым рода д > 4, не было известно.

В работе [19] изучались операторы ранга I = 2 в случае гиперэллиптических спектральных кривых произвольного рода д. Пусть и Ь4д+2 — пара коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающих гиперэллиптической спектральной кривой рода д

Г : но2 = ^0) = 4- 4-.. • + с0, с выделенной точкой д = сю, тогда

ЬАф = гф, ЬАд+2ф = гиф.

Совместные собственные функции этих операторов удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка [6]

ф" = хх(х, Р)ф' + хоО- Р)Ф-, Р(г, уо) е Г,

где хо и XI — рациональные функции на Г. Оператор Ь.^ формально самосопряжен тогда и только тогда, когда

Х1(х:Р)=Х1(х,а(Р)).

где а{г,уо) — (г.—и;) [19]. Напомним, что дифференциальным оператором, формально сопряженным к дифференциальному операто-

РУ

L = d¡ + ln-i{x)dTl + • • • + h(x)dx + /0 O)

называется оператор

и = (-ira; + (-1 г-'д^Х^х) +... - dxh(x) + i0(x).

Оператор L называется формально самосопряженным, если L — L*. Всюду далее формально самосопряженный оператор будем называть самосопряженным оператором.

Пусть L4 самосопряжен, т.е. имеет вид

LA = {d2x + V(;x))2 + W(x).

Справедлива следующая

Теорема 1.2 ([19]). Имеют место равенства:

Qxx , W Qx

X0 = ~2Q+Q-V' Xl = -Q'

где Q полином по z степени g с коэффициентами, зависящими от х :

Q = z9 + dg-\{x)zg~l + ... + Œq{x). Полином Q удовлетворяет уравнению

4Fg(z) = 4(2 - - 4V(QX)2 4- (Q.r,f ~ 2QXQXXX

+2Q(2VXQX + 4VQXT 4- Qxxxx). (1.1)

Следствие ([19]). Полином С} удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

д1Я + 4УЯХХХ + 2дя(2г - 2IV + Ухх) + бОД«. - 2Ц\УХ = 0. (1.2)

В [19]—[20] с помощью теоремы 1.2 были построены примеры операторов

Ь\ = (д2х + а3х3 + а2х2 + агх + а0)2 + а3д(д + 1).

= + а1 СНХ) + ао)2 + + 1) сЬ(х),

коммутирующих с соответствующими операторами порядка 4д + 2 (другие примеры построены в [21],[1*],[3*]). Отметим, что при д = «з = 1, а2 = сх\ = 0 операторы Ьи4, Ь\ совпадают с операторами Диксмье [5]. Действия автоморфизмов первой алгебры Вейля на Ь\. Ь\д+2 изучались в [22]. С помощью замены координат и автоморфизмов первой алгебры Вейля И.О. Моховым [23] из операторов ь\. ¿4 + 2 получены примеры операторов ранга I.

Отметим, что коммутирующие дифференциальные операторы имеют приложения в солитонных уравнениях. Лаке заметил [24], что условие коммутации дифференциальных операторов

[Ь2,дг-А]=0.

где

Ь2 = д\ + и(х. I). А = д3х + ^и(х, 1)дх + ^их(х. 0

эквивалентно уравнению Кортевега-де Фриза (КдФ)

Ащ + 6 иих + иххх = 0.

Это уравнение описывает солитоны (уединенные волны на мелководье). Важным классом решений уравнения КдФ являются конечно-зонные решения. Эти решения выделяются дополнительным условием

[^2: £24+1] = 0,

где Ь2д+1 — обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка с коэффициентами, зависящими от х и Пара коммутирующих операторов Ь2 и Ь2д+х является операторами ранга 1.

Другим примером, где обыкновенные коммутирующие операторы играют важную роль, является уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП)

Это уравнение допускает представление Захарова-Шабата

[дь-А,ду-Ь] = о,

где

I = д\ + Щх, у Л), А = д1 + у. г)дх + Р(х. у, г).

Р{х<уЛ) — некоторая функция. Решения КП ранга I выделяются дополнительным условием, при котором операторы ^ — А) и (ду — Ь)

коммутируют с элементами коммутативного кольца 21/ обыкновенных дифференциальных операторов ранга I

[Ln,dt-A] = 0, [Ln, ду — L] — О,

где Ln Е 21;. Решения ранга один задаются известной формулой Кричевера

U(x, t. у) = 2д\ \nO(Vix 4- V2y + V3t + VA) 4- const,

где Vi — некоторые векторы, 0 — тэта-функция многообразия Якоби спектральной кривой. Решения КП ранга I > 1 в общем случае не найдены.

Целью диссертации является построение новых примеров коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также изучение коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два и их деформаций, заданных солитонными уравнениями.

В работе получены следующие основные результаты.

1. Построены новые примеры коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов порядков 4 и Ад + 2 ранга два.

2. Доказано, что некоторые уже известные пары коммутирующих дифференциальных операторов порядков 4 и 4^4-2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два (совместно с Э.И. Шамаевым).

3. Изучены деформации коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два, заданные солитонными уравнениями.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы насчитывает 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 59 страниц.

Первая глава посвящена построению и изучению коммутирующих дифференциальных операторов ранга два. В параграфе 1.1. напоминаются определение совместной собственной функции коммутирующих дифференциальных операторов (вектор-функция Бейкера-Ахиезера) и уравнения Кричевера-Новикова на параметры Тюрина. В параграфе 1.2. строятся новые примеры коммутирующих операторов порядков 4 и 4^4-2, отвечающих гиперэллиптическим кривым рода д.

Теорема 1.3 ([1*],[2*]). Оператор

L\ = (d2x + aiex + а0)2 + g(g + l^e*, аг ^ О

коммутирует с некоторым дифференциальным оператором + 2 порядка 4.9 + 2. Операторы L\, L\g+2 являются операторами ранга два.

Вторая часть теоремы 1.3 (операторы L\, Ь"4 +2 являются операторами ранга два) доказана в [2*] совместно с Э.И. Шамасвым.

Теорема 1.4 ([3*]). Оператор

L\ = [д\ + iа2 cos2(ж) + а cos(x) + ^ + ^ ~ ^ "

—g{g Л-1)(а2 cos2(ж) + 2acos(x')), а ^ О

коммутирует с некоторым дифференциальным оператором L\g+2 порядка 4# + 2. Операторы +2 являются операторами ранга

два.

Спектральная кривая пары коммутирующих операторов L\ +2 находится в следующей теореме.

Теорема 1.5 ([3*]). Спектральная кривая операторов L\ и L\g+2 задается уравнением w2 = Fg(z), где

Fg{z) = 2Л0(2)2+^((1-а2-4^(^+1))Л1(2)2+4Л2(2)2-12А1(2)Л3(2))+

+Л,(г)(аЛ1(2) + (4g(g + 1) - 3 - o?)A2{z) + 12Ai(*)),

функции Ai(z) определены в формуле (1.7), Fg(z) — полином степени 2д + 1 по z.

Как уже отмечалось оператор

b\ = (д2х + а3х3 + а2х2 + агх + а0)2 + oc3g(g + 1), коммутирует с оператором L\g+2 [19], а также

b\ = {д\ + ai ch(rr) + а0)2 + aig(g + 1) ch(.x)

коммутирует с оператором Ь\ +2 [20]- При этом для больших д не известно как устроены максимальные коммутативные кольца, содержащие Ь\д+2 и Ь\д+2. В следующих теоремах доказано, что эти операторы являются операторами ранга два.

Теорема 1.8 ([2*]). Операторы Ь'4д+2 ие коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два.

Теорема 1.9 ([2*]). Операторы Ь\, Ь\д1г2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два.

Теоремы 1.8 и 1.9 получены совместно с Э.И. Шамаевым. Во второй главе изучаются решения ранга два эволюционной системы уравнений

У = \(6УУХ + 6И(Т + Уххх). Щ = ^(-3У\¥х - \¥ххх).

Эта система эквивалентна условию коммутации самосопряженного оператора четвертого порядка и кососимметричного оператора третьего порядка

[Ь4,дг-А\= 0.

где

и = (<92 + У(х, О)2 + Щх. Ь), А = г?3 + ^У(х, 1)дх + 1ух(х. I).

При этом мы предполагаем, что при каждом £ оператор Ь^ входит в коммутативное кольцо дифференциальных операторов ранга 2, [1/4, £43+2] = 0- Решения ранга один эволюционной системы (т.е. когда Ь4 коммутирует с оператором нечетного порядка) были найдены Дринфельдом и Соколовым [25]. В параграфе 2.1. изучаются деформации коммутативных колец самосопряженных дифференциальных операторов ранга два, заданные солитонными уравнениями.

Теорема 2.1 ([4*]). Предполоэюим, что потенциалы У и IV самосопряженного оператора Ь4 = (д2 + У(х, Ь))2 + \¥(х, ¿), коммутирующего с оператором ЬАд+2, удовлетворяют системе эволюционных уравнений

Ц = ^(6УУХ + 6И/, + уххх), и/, = ±(-3У}Ух - Шххх).

Тогда полином ф, определенный по оператору Ь4 (см. Теорему 1.2), удовлетворяет уравнению

Яг = \ (-3^ - О,,,,,.) . (2.3)

Отметим, что данное уравнение задает симметрии уравнения (1.1).

Замечание. Аналогично моэ/сно получить эволюционное уравнение на (5, если в [£4,^ — А] = 0 заменить оператор А на косо-симметричный оператор порядка 2п 4- 1. Например, при п — 2,3 им,еют место уравнения

= \{-^Ух+2УхЯхх+Ях{^-ЪУ2+2\У-Ухх)-2УЯххх), (2.7)

Ян = - 2У(-6(2д\Ух + УхЯхх) + дх(24г + 18Ж+

+ъухх)) - бу2яххх + 2{тхяхх - (82 + т + к,,) а-,, + я xx уххх~^ +40П',,,,) - Ях(7Ух2 + 10ЖГ, + (2.8)

Эти эволюционные уравнения также задают симметрию уравнения (1.1).

Сопоставим теорему 2.1 с аналогичными результатами для конеч-нозонных решений уравнения Кортевега-де Фриза

Щ = ^(6 иих + иххх).

Уравнение КдФ имеет представление Лакса

[<92 + и(х, 0, дь - Й + \и{х, Ь)дх + \их{х, 0)] = о.

Конечнозонные решения выделяются дополнительным условием

[&х + и{х,1),Ь2д+1] = 0,

где Ь2д+1 — дифференциальный оператор порядка 2д + 1 с коэффициентами зависящими от Спектральная кривая нары Ь2, Ь2д+ задается уравнением

= - 4- С29г2д + ... + с0.

При этом

д\ + и(х, I) - 2 - (дх + х)(дх - х),

где

_ W Qx X ~ 2Q + Q '

Q(x, t, z) = z9 + ag-i(x, t)z9~l + ... + otQ(x. t). Полином Q удовлетворяет уравнению

4Fg(z) = 4Q\z -u) + Q2x- 2QQTX, а также уравнению (см. [26])

Qt = \(2z + u)Qx-^Qux. (2.17)

Уравнение (2.3) является аналогом известного уравнения (2.17). В параграфе 2.2 показано, что уравнения (2.3), (2.7) и (2.8) в случае эллиптической спектральной кривой сводятся к уравнениям из иерархии Кричевера-Новикова. Здесь же построены некоторые автомодельные решения уравнений (2.3), (2.7) и (2.8) в случае эллиптической спектральной кривой.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика И. А. Тай-манова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2014, 2015); семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012); семинаре «Интегрируемые системы» под руководством д.ф.-м.н. А. Е. Миронова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.-м.н., профессора A.A. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014).

Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной молодежной конференции «Геометрия и управление» (Москва, 2014); Международной школ е-конференции «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (Артыбаш, 2014);

Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных и электронных изданиях [1*]-[7*], четыре из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*]-[4*], три — в тезисах докладов и материалах конференций [5*]-[7*]. Результаты работы [2*] получены в неразделимом соавторстве с Э.И. Шамаевым.

Глава 1

Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга два

1.1 Функция Бейкера—Ахиезера ранга 2

Совместной собственной функцией коммутирующих операторов Ьп и Ьт ранга 2 является функция Бейкера-Лхиезера [0]. Она строится по следующему набору спектральных данных

{Г. д, к~1. 7. (5} ,

где Г — произвольная риманова поверхность рода д, д — выделенная точка на Г, /с-1 — локальный параметр в окрестности точки д, 7 = 71 + • • • + 12д — дивизор, 5 — множество векторов вида

Вектор-функцией Бейкера-Ахиезера называется функция ф = (Фо,Фг), такая что:

1. В окрестности д вектор-функция ф имеет вид:

оо

А—О

где — (1)0)- Матричная функция Ф(.т. Р) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

дФ

дх

где

А =

= ЛФ,

' о Iх

уА: + ш{х) 0у а;(ж) — некоторая функция.

2. Компоненты ф мероморфны на Г — {д} с простыми полюсами в 7ъ • • • -Ъд, ПРИ эт«м

Яезъф() = 5{11езъф1, 1 < г < 2д.

Пара (7,6) называется параметрами Тюрина. Они определяют полустабильное голоморфное векторное расслоение ранга два на Г степени 2д с набором 771,772 голоморфных сечений, 71,.... 72^ — точки их линейной зависимости 772(7*) = (Т/) •

Для мероморфных функций /(Р) и с единственными полюсами в д существуют дифференциальные операторы Ь/ и Ьд такие,

ЧТО

при этом

Ь1ф = /(Р)ф, Ьдф = д(Р)ф.

[Ь1,Ьд} = 0.

В случае операторов ранга I > 1 совместную собственную функцию ф нельзя найти явно. Тем не менее, Кричевером и Новиковым был предложен метод деформации параметров Тюрина [6], с помощью которого можно находить операторы ранга I > 1. Напомним его для нашего случая.

Пусть Ф — матрица Вронского

/

Ф =

Фо Фг

Фох Ф\х

Рассмотрим логарифмическую производную х матрицы Ф

V

\

7

(дх - х)ф = о,

где

X

'о И

\ Хо XI у

Компоненты матрицы х являются мероморфными функциями с 2д простыми полюсами Р\{х),..., Р2д{х). В окрестности точки д

справедливы разложения:

Хо(х, Р) = к + и>(х) + 0(к XI(х, Р) = 0{к л).

Пусть к — 7г(х) — локальный параметр в окрестности Р-^х). Тогда

¿и*)Л-0{к-Ъ(х)). а = 1,2.

к - 7г(ж)

Справедлива теорема

Теорема 1.1 ([6]). Пусть а^о = Тогда

дхЦ = -Сгд(^),

Чтобы найти операторы, достаточно решить уравнения из теоремы 1.1.

Кричсвером и Новиковым [6] решены эти уравнения в случае эллиптической спектральной кривой, и найдены операторы ранга два порядков 4 и б, при этом оператор четвертого порядка имеет вид

ЬА = (<92+'«)2+2са;(р(72)-р(71))^+(с3-(р(72)-р(71)))л;-р(72)-р(71), где

1\{х) = 7о + с(я), 72(х) = 7о - с{х), и(х) = -¿+^+2Ф(71Л2)Схг-^+с2(ФД7о+с.7о-с)-Ф2(7ь72)).

Ф(7ь7г) = С(72 - 71) + С(70 ~ СЫ,

где с(х) - - произвольная гладкая функция, 70 Е С. р(х). ((х) — функции Вейрштрасса. Оператор Ь6 можно найти из уравнения

Ь26 = + д2ЬА + дд.

Данный пример коммутирующих операторов изучил Гриневич [27] и сформулировал необходимое и достаточное условие, чтобы операторы Ь4 и имели рациональные коэффициенты, а также выделил среди этих операторов операторы Диксмье.

1.2 Примеры коммутирующих формально самосопряженных дифференциальных операторов ранга два

Построим примеры коммутирующих операторов L4 и L/4gjr2i отвечающие гиперэллиптической спектральной кривой

Г : w2 = P2g+1(z) - + c2gz2g + • • • + с0,

используя метод, разработанный в [19]. Напомним его. Совместная собственная функция ф

Lili) — гф, L/ig+2ib = тф

удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка

ф" - xi(.T, Р)ф - хо(х, Р)ф = 0, Р = (z, w) е г,

где хо5 Xi ~ рациональные функции на Г с 2д простыми полюсами. На спектральной кривой Г есть голоморфная инволюция о. такая что a(z.w) = (z. —w). Оператор L4 формально самосопряжен тогда

и только тогда, когда выполнено тождество [19]

XI (х,Р) = XI (х,аР).

Предположим, что

ЬА = Ь\ = {д2х + У(х))2 + \У{х), где V, \¥ — некоторые функции, тогда Теорема 1.2 ([19]). Функции хо и Хг имеют вид

Я XX . 11) Ях

где Я — полипом степени д по г

д = г9 + ад- 1{х)г9~1 + ... + а0(х),

а{(х) — некоторые функции. И полшшм Я удовлетворяет уравнению

4ОД = 4(г - \¥)Я2 - 4У(Ях)2 4- {Яхх? - 2<2Х<2ХХХ+

+2д(2Ухдх + 4 УЯхх + яхххх). (1.1)

Из теоремы следует

Следствие ([19]). Полином Я удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

д1Я + 4У()ххх 4- 2Ях(2г - 2\У + Ухх) + 6У^ХХ - 20\У£ = 0. (1.2)

Используя уравнение (1.1), построим пары коммутирующих дифференциальных операторов порядков 4 и Ад + 2 с гладкими коэффициентами.

Теорема 1.3 ([1*],[2*]). Оператор

L\ = (dx + а1еХ + ао)2 + д(д + 1)агех, аг ф О

коммутирует с некоторым дифференциальным оператором L\g+2

h ^

порядка Ag -{-2. Операторы L\, L\ +2 являются операторами ранга два.

Доказательство. Искомый оператор L\g+2. коммутирующий с b\. существует, если найдется полином Q(x,z), удовлетворяющий (1.2). Будем искать решение уравнения (1.2) в виде

Q(x, z) = Ag(z)eyx 4- А(д„ф)е^х + ... + A0(z). (1.3)

Считаем, что A¿(z) = 0 при s > 2д, и A„(z) = 0 при 5 < 0. Пусть

V(x) = агех + »о, W(x) = д(д + \)а\Сх. При подстановке V. IV и (1.3) в (1.2) получаем

Bg(z)egx + ... + Bv{z)ex = 0, (1.4)

где

Bs(z) = -2a1Ab_1(z)(2s-l)(g2 + g-s2 + s) + Aíl(z)s(4a0s2 + s4 + 4z).

Отметим, что, в силу выбора V и У/, в (1.3) не содержится слагаемых вида Во(г) и Вд+\{г)е^9+1^х. Из уравнений

= = = о

находим

А.$-1{г) = --—--—у--г—-1 < 5 < д.

2а'!(25 — 1 ){дг 4- д — Бг 4-5)

Таким образом, мы выражаем Ао,.... Ад-\ через Ад. Выбрав в качестве Ад подходящую константу, а именно

Ад = а{ • З2 • 52 • ... • (2.9 - I)2,

мы получаем решение Я уравнения (1.2) (а следовательно, и (1.1)), где Я — полином степени д по Мы показали, что операторы Ь\. Ь\д+2 коммутируют. Ниже в теореме 1.6 мы покажем, что эти операторы не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два. Первая часть теоремы 1.3 доказана. □

Укажем уравнения спектральных кривых, а также операторы, коммутирующие с Ь\, при д = 1,2. Примеры. 1. Пусть д — 1. Тогда

<2(.т. г) = 2 - оце* + а0 4Г: ЗД = ^2(4г + 1-Мао)2-

+^a1ex(4.u21e2x + 32a1ex + 15 - 8a0 - 12a20). 2. Пусть (/ = 2. Тогда

Г : F2(z) = ¿2(4 + 2 4- 4a0)2(l + 42 + 4a0)2-16

Из-за громоздкости формул мы приведем оператор L10, коммутирующий с 1/4, только при ао = 0

Lio = + ñai^Sj + 20aie®a¡ + (Ц- + 5^(13 + 2а1еж)е'т)^+

+5ai(25 + 12aiex)ex^ + ^(157 + 188aiex + 8 а\с2х)ехдАх + |c*i(83+ -h216a1ez + 24 а2е2х)ехд3 + ¿(4 + 745агех + 3475a¡e2x + 860c*fe3:r+ +20 а\еАх)д2х + |а1(40 + 327aie* + 150^e2x + 8а\е3х)ехдх+

Lj

+^ai(175 + 1865aiex + ШЪа\е2х + 180 afe3x + 4 afe4x)ex.

Отметим, что в этих примерах спектральная кривая — это сфера с двойными точками. По-видимому это верно для любого д.

Далее построим следующий пример нары коммутирующих операторов порядка 4 и 4д + 2 с тригонометрическими коэффициентами.

Теорема 1.4 ([3*]). Оператор

г, 1 2 / ч (2g + I)2 — а2\ 2 L\ - í d2 + -a2 cos (х) + а cos(x) + —-^-J -

- g(g + 1)(а2 cos2(.x) + 2acos(x)). а ф 0

коммутирует с некоторым оператором Ь\д+2 порядка Ад 4-2. Операторы Ь\ +2 являются операторами ранга два.

Доказательство. Пусть

ч 1 2 2/\ / N (2д + I)2 - а2 У(х) = -а сое2(ж) + а соб(х) + —-^-,

IV(х) = —д(д + 1) (а2 сов2(.т) + 2а сов(ж)) . Будем искать Я в виде

Я(х, г) = А2д(г) соБ2д(х) + ... 4- Аг(г) соз(х) + А0(г).

Полагаем А3(г) = 0 при ,9 > 2д и А, (г) = 0 при 5 < 0. Тогда (1.2) примет вид

- зт(х) (В2д{г) сой2-9^) + ... + В^г) СОБ(х) + В0(г)) = 0, (1.5) где

В8+1(г) = -(5 + 1)(-4^ 4-1)4- + 2))а2Лв(г)+ +2а(2з + 3)(2д(д + 1) - (5 + 1)(5 + 2))А, к(г)+ +((5 + 2)3(3 - Ад(д + 1) 4- 5(5 + 4) + 2а2) 4- 4(5 + 2)г)Д,+2(2)4-

+2а(25 4- 5)(5 4- 2)(5 4- 3)Л5+з(^)4-+(5 4- 2)(5 4- 3)(5 4- А){Ад{д 4- 1) - 2(5 + З)2 - а2 - 1)АЯ+А{г) + 4-(5 4- 2)(5 4- 3)(5 4- 4)(5 + 5)(5 4- 6)А3+0(г) (1.6)

при — 1 < 5 < 2д — 1.

Из условия Bs+i(z) — 0 при 0 < 5 < 2д — 1 вычислим коэффициенты полинома Q с помощью рекуррентной формулы

= (s + l)(4g(g + l)-s(s + 2))aiX X (2a{2s + 3)(-2 g (g + 1) + (s + 1 ){s + 2))Ae+1(z) +

+((5 + 2)3(—3 + 4 g (g 4- 1) - s (s + 4) - 2a2) - 4(5 4- 2)z)A8+2(z)~

-2a(2s 4- 5)(s 4- 2)(s + 3)A8+3(z)-

-(5 + 2)(s + 3)(s 4- 4)(4g(g 4-1) - 2(5 + 3)2 - a2 - l)AB+à(z)~

-(5 4- 2)(s + 3)(s + 4)(s 4- 5)(s 4- 6)Ae+6(z)). (1.7)

Докажем по индукции, что из (1.7) следует

А2^) = —— , 1<г<д. (1-8)

a

При i = g формула (1.8) следует из (1.7). Предположим, что формула (1.8) верна для g > г > s 4-1. Докажем (1.8) для s > г > 1. По рекуррентному соотношению (1.7) и предположению индукции при i > s 4-1 имеем

^ = (2д + 1)(а(а +1) - д(д + 1))а* (2(^2)(а+3)(2,+3)(2,+5)Л,,+с

-(25 + 3)(s + 2)(9 - 4д(д +1)4- 85(5 + 2) + а2)Л2,+4+ +2((S + 1 )(5(25 + I)2 + 2(5 + 1)а2) + 2 - д(д + 1)(25 + 1)2)Л2,+2).

= (25 + + H- ВИ (2(^2)(.+3)(25+3)(25+5)Л2„

-(25 + 3)(в + 2)(9 - 4д(д + 1) + 8ф + 2) + а2)А2в+А-

-2((5 + 1)(*(25 4-1)2 4- 2(5 + 1)а2) 4- г - д{д 4- 1)(2в 4- 1 )2)Л2б.+2).

Отсюда следует, что формула (1.8) верна при всех г, 1 < г < д. Рассмотрим оставшийся коэффициент в (1.5) при 5 = — 1

Во = -4д{д 4- 1)аЛ0(г) 4- (4д(д + 1) - 2(а2 4- 2г))А1(г) - 12аА2(г)~

-6(4д(д 4- 1) - 9 - а2)Л3(.г) - 120Л5(г). (1.9)

Выразим коэффициенты Лх, Лз и Л5 через Л2, Л4 и Л6 с помощью формулы (1.8), а коэффициент Л0 через Лх, Л2, Л3, Л4 и Л6 с помощью формулы (1-7). Получим равенство В0(г) = 0.

Пусть А2д{г) = (~1уа2дЗ2 • 52 •... • (2д- I)2. Тогда построенный полином Ц{х. г) является полиномом степени д по г и удовлетворяет (1.2). Таким образом, мы доказали, что операторы Ь\ +2 коммутируют. В теореме 1.7 мы докажем, что эти операторы не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два. Первая часть теоремы 1.4 доказана. □

Выпишем уравнение спектральной кривой пары коммутирующих операторов Ь\ и +2.

Теорема 1.5 ([3*]). Спектральная кривая операторов Ь\ и +2 задается уравнением ш2 = Рд(г), где

Рд{г) = гЛо(г)24-^((1-а2-4.д(^+1))Л1(2)2+4Л2(г)2-12Лх(2)Лз(2))4-

+М*)(<*М*) 4- (4д(д 4-1) - 3 - а2)А2(г) + 12Л4(г)),

функции А^г) определены в формуле (1.7), ^(2) — полином степени 2д + 1 по 2.

Доказательство. Заметим, что правая часть (1.1) содержит производные полинома не более четвертого порядка. Поэтому при подстановке х = 7г/2 на левую часть в (1.1) влияют только последние пять слагаемых в т.е.

ад = ^(Ф - \У)Я2 - щфх)2 + +(ЯХХ)2 - 2&4Г,,+

+2<э(2Ухдх + 41/д

«Х' ОС а-тг/2;

где

= Д^) соз4(^)+Лз(г) со^(х)+Л2{г) соб2(х)-\-Ах(2) со&(х)+Ап{г). Отсюда получаем

ад = 2Л3(2)2+^((1-а2-4^(^+1))Л1(2)2+4Л2(2)2-12Л1(2)Л3(2))+

4-^0(2)^(2) + (4д(д 4-1) - 3 - а2)А2{г) 4-12А4(г)). Теорема 1.5 доказана. □

Укажем примеры операторов, коммутирующих с Ь\. и уравнения соответствующих спектральных кривых при д — 1. Пример. Пусть д = 1. Тогда

С}(х, 2) = 2 - а2 соб2(х) - 2асой(:г) 4- 2а2 - 2.

Г : Fi(z) = z 4- 4(a - 1 )z2 + (5a4 - 15a2 - 4)z 4- lot1 - 14a4 4- 2ab,

Lg = dx 4- ^ cos(x)(acos(x) 4- 4)<94 — 3asin(x)(2 4- acos(x))<934-

/3a4 4. . 3a3 3. . ^ 2 2. , , —275 4- 142a2 — 3a4 \ 2 4- -cos (x) 4—— cos,3(x)-7a2 cos^(x)4--—-)di+

V 16 2 4 ' w 16 ) x

4- sin(x) ^ — cos3(x) — ^- cos2(x) 4- 8a2 cos(x) 4- 10a^ dx-\-

a6 fi 3a5 «г 5a4 , 37a3 ,

+—- cos (x) 4--— cos' (x)--— cos (x)---— cos (x)4-

64 w 16 w 4 w 4 w

349a2 4- 94a4 - 3a6 2 ч . 37a 4- 118a3 - 3a5

cos (x) 4--—-cos(x).

64 4 y 16

Теперь докажем, что построенные нами пары коммутирующих

операторов

Ь\ = (д2х 4- а\ех 4- а0)2 4- g(g 4- l)aiex, L\g+2,

а также

ГР / 2 1 2 2/ \ / ч (2<7 + 1)2-а2\2 LJ= ( д2х 4- -a2cos2(x) 4-acos(x) 4- —-j-J -

—4- l)(a2cos2(x) -I- 2acos(x)), Lj +2

имеют ранг два, т.е. не коммутируют с операторами нечетного порядка.

Сформулируем вспомогательную лемму. Лемма 3 ([2*]). Пусть даны операторы

L4 = (d2x + V{x))2 + W(x), Ln = andnv 4- a„_i5J_1 + . .. 4- ац% 4- a0, a{ = a*(x).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Давлетшина, Валентина Николаевна, 2015 год

Список литературы

[1] Schur, J. Uberf uertauschbare lineare DiJJerentialausdriicke. /J. Schur // Sitzungsber. Berl. Math. Ges. - 1905. ЛМ. - P. 2-8.

[2] Burchnall, J. L. Commutative ordinary differential operators. / J.L. Burchnall, I.W. Chaundy // Proc. Lond. Math. Soc. Scr. — 1923. - 2, №21. - P. 420-440.

[3] Кричевер, И. M. Интегрирование нелинешшх уравнений методами алгебраической геометрии. /И. М. Кричевер // Функц. анализ и его прил. — 1977. — 11, №1. — С. 15-31.

[4] Кричевер, И. М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов. /И. И. Кричевер // Функц. анализ и его прил. — 1978. — 12, .№3. — С. 20-31.

[5] Dixmier, J. Sur les algebres de Weyl.j J. Dixmier // Bull. Soc. Math. France. - 1968. - №96. - P. 209-242.

[6] Кричевер, И. M. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. / И. М. Кричевер, С. П. Новиков // Успехи матем. наук. — 1980. — 35, ЛХ5. — С. 47-68.

[7] Гриневич, П. Р. О спектральной теории коммутирующих операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами. / П. Г. Гриневич. С. П. Новиков // Функц. анализ и его прил. — 1982. - 16, №1. - С. 19-20.

[8] Grunbaum, F. Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six. / F. Grunbaum /'/ Physica D. — 1988. - 31, №. - P. 424-433.

[9] Previato, E. Differential operators and rank 2 bundles over elliptic curves. / E. Previato, G. Wilson // Compositio Math. -- 1992. -81, №. - P. 107-119.

[10] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебры Вейля, отвечающие эллиптической спектральной кривой. / О. И. Мохов // Международная конференция но алгебре памаяти А.И. Ширшева (1921-1981). - Август 1991. - Барнаул, СССР. - Отчеты о теории колец, алгебр и модулей, 1991. — С. 20-25.

[11] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебры Вейля, порожденных полиномами Чебылиева. / О. И. Мохов // Третья международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргопо-лова (1928-1976). - 1993. - Красноярск. - С. 23-28.

[12] Latham, G. Rank 2 commuting ordinary differential operators and Darboux conjugates of KdV. / G. Latham // Appl. Math. Lett. — 1995. - 8, №6. - P. 73-78.

[13] Latham, G., Previato, E. Darboux transformations for higherrank Kadomtscv-Petviashvili and Krichever-Novikov equations./

G. Latham, E. Previato// Acta Appl. Math. - 1995. — №39. -P. 405-433.

[14] Мохов, О.И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения./ О. И. Мохов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1989. -- 53, №6. С. 1291-1315.

[15] Миронов, А. Е. Об одном: кольце коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающем кривой рода два./ А. Е. Миронов// Матем. сб. - 2004. - 195, №5. - С. 103-114.

[16] Миронов, А. Е. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2. / А. Е. Миронов// Сиб. электрон, матем. изв. 2009. - №6. - С. 533-536.

[17] Миронов, А. Е. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающих кривой рода 2./ А. Е. Миронов// Фупкц. анализ и его прил. 2005. — 39, №3. — С. 91-94.

[18] Zuo, D. Commuting differential operators of rank 3 associated to a curve of genus 2. / D. Zuo // SIGMA. 2012.-8, №044. - P. 1-11.

[19] Mironov, A. E. Self-adjoint commuting ordinary differential operators / A. E. Mironov // Invent, math. — 2014. — 197, №2. — P. 417-431.

[20] Mironov, A. E. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators. / A. E. Mironov // Arner. Math. Soc. Transl. Scr. 2. - 2014. - №234. - P. 309-321.

[21] Оганесян, В. С. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 произвольного рода g с полиномиальными коэффициентами. / В. С. Оганесян // УМН. - 2015. - 70, №1. - Р. 179180.

[22] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, связанных с коммутирующими операторами произвольного ранга и рода. / О. И. Мохов // Матем. заметки. — 2013. — 94, №2. — С. 314-316.

[23] Mokhov, O.I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients. / O.I. Mokhov // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. - 2014. -№234. - P. 323-336. 323-336.

[24] Lax, P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves./ P. D. Lax , / Comm.Pure Appl.Math. — 1968. — №21. — P. 467-490.

[25] Дринфельд, В. Г. Симметрии в уравнениях Лакса / В. Г. Дрин-фельд. В. В. Соколов // Интегрируемые системы, под ред. А.Б. Шабата. - Уфа. — 1982.

[26] Дубровин, Б. А. Нелинейные ураивения типа Кортевега-де Фриза, коиечнозониые линейные операторы и абелевы многообразия / Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков // УМН. — 1976. - 31, №1(187). - С. 55-136.

[27] Гриневич, П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов. / П. Г. Гриневич // Функц. анализ и его ирил. - 1982. — 16, №1. - С. 19-24.

[28] Новиков, Д. П. Алгебро-геометрические решения, уравнения Кричевера-Новикова/Д.П. Новиков // ТМФ. — 1999. — 121, №1. - С. 367-373.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1*] Давлетшина, В. Н. О самоеопряэюенных коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В.Н. Давлетшина // Сибирские электронные математические известия — 2013. — Т.10. - С. 109-112.

[2*] Давлетшина. В.Н. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В. Н. Давлетшина, Э. И. Шамаев // Сибирский математический журнал — 2014. — Т.55, №4. — С. 744-749.

[3*] Давлетшина, В. H. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга два с тригонометрическими коэффициентами. /В. Н. Давлетшина //' Сибирский математический журнал — 2015. - Т.56, №3. - С. 513-519.

[4*] Давлетшина, В. Н. Самосопряэ/сеиные коммутирующие дифференциальные операторы ранга два и их деформации, заданные солитонными уравнениями. /В. Н. Давлетшина // Математические заметки - 2015. - Т.97, вып.З - С. 350-358.

[5*] Давлетшина, В. Н. О самосопряэ/сепных коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В. Н. Давлетшина // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосибирский гос. ун-т. Новосибирск. — 2013. — С. 52.

[6*] Давлетшина, В.Н. Самосопряэ/сеипые коммутирующие дифференциальные операторы ранга два и их деформации, заданные солитонными уравнениями. [Электронный ресурс] / В.Н. Давлетшина // Тезисы Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах», Новосибирск. — 2013. — Режим доступа: http://gct.math.nsc.ru/ wordpress/wp-content/uploads/2013/12/Davletshina.pdf

[7*] Davletshina. V. Self-adjoint commuting difjerential operators of rank 2 and their déformations given by the soliton [Электрон-

ный ресурс] / V. Davletshina // International Youth Conference «Geometry and Control», Moscow, April 14-18, 2014: Abstracts, — Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences. — 2014. — P. 19-20. — Режим доступа: http:// gc2014.mi.ras.ru/Abstr_bookGC2014.pdf