Построение конечнозонных решений солитонных уравнений сведением к задаче обращения Якоби тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Новиков, Дмитрий Петрович

• Новиков, Дмитрий Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Новиков, Дмитрий Петрович

Введение.

Глава 1. Вспомогательные предложения.

§1.1. Компактные римановы поверхности. Задача обращения Якоби.

§1.2. Решение задачи обращения Якоби на гиперэллиптической кривой.

§1.3. Деформации абелевых интегралов, сохраняющие периоды.

Глава 2. Построение алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны сведением к задаче обращения Якоби.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Описание решений канонической системы в классе (2.5)-(2.6).

§2.3. Вычисление нулей ^ в случае и € (¿о.

§2.4. Приведение системы (2.1)-(2.2) на алгебре Ли б!2 к каноническому виду.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение конечнозонных решений солитонных уравнений сведением к задаче обращения Якоби»

За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики.

1. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий строить точные решения этих уравнений. Первый шаг был сделан в работе Гарднера, Грина, Крускала, Миуры [1], где была решена задача Коши для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ)

Щ + иххх + 6иих = 0 (0.1) с быстроубывающим при \х\ —> со начальным условием и(х, 0) — щ{х), путем сведения к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма - Лиувилля L = d2/dx2 + щ(х). Этот механизм был усовершенствован и осмыслен с различных точек зрения в работах Лакса [2], В.Е. Захарова и Л.Д. Фаддеева [3], Гарднера [4]. Затем были найдены другие нелинейные уравнения, которые интегрируются аналогично КдФ. Первым таким уравнением было нелинейное уравнение Шредингера (НШ) iut = ихх + 2и\и\2, (0-2) с которым В.Е. Захаров и А.Б. Шабат в 1970 г. [5] связали задачу рассеяния для линейного оператора, уже не являющегося оператором Штурма - Лиувилля. Затем были открыты линейные операторы для уравнений sine-Gordon [6]

Uxy — sin и, (0.3)

Буссинеска [7], цепочки Тода [8], Г. Дима [9] и ряда других уравнений. В [10] было найдено двумерное по пространственным переменным обобщение формализма Лакса для уравнения Кадомцева -Петвиашвили (КП) д (4щ + 6иих - иххх) = 3иуу (0.4) и оператора Dy — +и. В [11], [12] изложена общая схема интегрирования нелинейных уравнений методом обратной задачи (МОЗР). Этот метод позволяет, в частности, строить многосолитонные решения, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и — и(х — ct).

2. В 1971 году Р. Хирота в работе [13] открыл метод прямого построения многосолитонных решений, не опирающийся на МОЗР (в [14], [17] в рамках метода из [13] были открыты новые интегрируемые уравнения). В основе его подхода лежат представления уравнений в специальной билинейной форме:

P(DU. ,Dg)f-g = h, где f:g,h — функции от z £ О; P(Di,. ,Dg) — многочлен от операторов Хироты Dl/: определяемых следующим образом

P(Db • • • , D.) f ■ g = P (JL,. , JL\ ;(z + z')g[z 2<)U,=0.

Ряд приложений МОЗР и прямого метода Хироты вместе с историей ранних этапов развития метода обратной задачи изложены в книгах [15] - [23].

3. Начинал с работы С.П. Новикова [24] (1974г.), в рамках метода обратной задачи интенсивно развиваются методы построения решений нелинейных уравнений с использованием аппарата классической алгебраической геометрии римановых поверхностей, объединяемые под названием "теория алгебро-геометрического (конечнозонного) интегрирования". Методы этой теории позволяют естественным образом ввести периодический и квазипериодический аналоги мно-госолитонных решений и получить для них точные формулы в терминах тэта-функций Римана. Важной составной частью теории, помимо конструкций, непосредственно относящихся к построению решений, является спектральная теория конечнозонных линейных операторов — далеко развитие спектральной теории оператора Штурма - Лиувилля с быстроубывающим потенциалом. На первом этапе ее развития в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б. Матвеева, А.Р. Итса, В.А. Марченко, П. Лакса [24] - [29] была построена теория операторов Штурма - Лиувилля с периодическим потенциалом, спектр которого содержит конечное число лакун (множество таких потенциалов, как показано в [28], плотно в пространстве периодических потенциалов с одним и тем же периодом). Такие операторы были названы конечнозонными, отсюда название теории. В этой ситуации блоховские функции, т.е. общие собственные функции оператора Штурма - Лиувилля и оператора монодромии, однозначны на соответствующей гиперэллиптической римановой поверхности конечного рода, точки ветвления которой совпадают с краями лакун в спектре. В общей ситуации матричный оператор Ь — — и(х,Х) с рациональной по Л матрицей II по определению называется ко-нечнозонным, если он обладает собственной функцией ф(х,Р), однозначной по параметру Р на римановой поверхности Г конечного рода, накрывающей плоскость Л, с аналитическими свойствами, подобными свойствам блоховских функций. Спектральная теория таких операторов построена в [30], [34], [35], [42]. Центральным элементом конструкции, восстанавливающей Ь по его "спектру" — поверхности Г и особенностям гр, является построение функции ф на основе введенного в [34] аппарата функций Бейкера - Ахиезера.

4. Начиная с работы Лакса [2], все схемы метода обратной задачи опираются на то или иное коммутационное представление уравнений. Наиболее общим коммутационным представлением (1+^-уравнении, включающим практически все известные примеры, является предложенное в [36], [37] представление в виде уравнения нулевой кривизны с рациональными по Л матрицами II (х, Л), V(х, Л), которое является условием коммутации операторов Ь\ = Вх — II, 1/2 = — V. Решение (II, V) уравнения (0.5) и, соответственно, решение нелинейного уравнения, представленного в виде (0.5), называется конеч-нозонным или алгебро-геометрическим, если (см. [34], [43]) операторы Ь\, 1/2 обладают общей собственной вектор-функцией ф, являющейся по Л аналитической функцией, однозначной на римановой поверхности Г конечного рода, имеющей существенные особенности в прообразах Ра 6 Г полюсов матриц II, V: reg — голоморфная функция в окрестности точки Ра по локальному параметру ка, а qa(x, t, к) — полином по к) и мероморфной вне точек Ра с дивизором полюсов D конечной степени. Аппарат функций Бейкера - Ахиезера позволяет строить функцию ф по указанным свойствам. Задавая с учетом аналитических свойств матриц U, V уравнение алгебраической кривой F(\, ¡1) — 0, определяющей поверхность Г, полиномы qa(x,t,ka) в асимптотиках (0.6) и дивизор D, получают требуемый набор данных, по которым функция ф строится в терминах тэта-функции и абелевых интегралов на Г. Искомое решение (U, V) уравнения (0.5) находится по формулам

Ut-Vx + [U,V} = о

0.5) ф(х,Ь,Р) = reg • exp{qa(x,t, ка)}

0.6)

0.7) в которых матрица Ф составлена из столбцов ф(х, ¿, сг{Р), где сг^Р — значение параметра Р = (А,^), соответствующее ветви ¡л = /¿¿(А).

Тэта-формулы для конечнозонных реЩений уравнений (0.1) - (0.3) были получены в 1975-76 гг. в работах [26], [31] - [33]. В работе [34] схема конечнозонного интегрирования была распространена на (2+1)-уравнения, в частности, построены конечнозонные решения уравнения КП (0.4). В последующем были получены формулы для конечнозонных решений других важных уравнений математической физики. Дальнейшие этапы развития теории и ее приложений представлены в обзорах [38] - [47]; см. также книги [48], [49] и работы [50] - [59] по эффективизации тэта-формул для решений.

Уравнения, представимые в форме (0.5), далее называются соли-тонными.

5. Имеется ряд солитонных уравнений, для которых построение конечнозонных решений методом функций Бейкера - Ахиезера по формулам (0.7) связано с большими трудностями. В ряде случаев не удается точно построить экспоненциальный множитель в формуле (0.6). Препятствия возникают и в случае, когда алгебраическая кривая, на которой строится функция Бейкера - Ахиезера, имеет двойные точки [53]. К числу уравнений, для которых имеют место трудности указанных типов, относятся уравнение Г. Дима, возникающее в задачах гидродинамики и геометрии, и уравнение Кричевера - Новикова, играющее важную роль в теории уравнения КП (0.4). В связи со сказанным актуальным является поиск других методов построения конечнозонных решений.

Целью диссертационной работы является разработка метода построения конечнозонных решений солитонных уравнений, основанного на приведении этой задачи к задаче обращения Якоби на алгебраической кривой, и получение приложений к конкретным нелинейным уравнениям математической физики.

5.1. Определение (0.7) конечнозонного решения уравнения нулевой кривизны равносильно следующему (см. [44, с.227]): решение (17, V) уравнения (0.5) называется конечнозонным или алгебро-геометрическим, если существует матричная функция А), рациональная по А и имеющая однократные собственные значения

Л), такал, что = (0.8) равенства (0.5), (0.8) должны выполняться при всех Л).

5.2. Ставится задача построения троек матриц (II, V, И^), удовлетворяющих системе (0.5), (0.8). Основные результаты получены для случая матриц из при специальных условиях на матрицу II, выполняемых в ряде приложений. Показано, что в этом случае задача приводится к задаче обращения Якоби на кривой с^^И^ — цЕ) = 0, решение которой проводится классическими методами алгебраической геометрии. Некоторые подходы к построению троек (II, V, \¥) предложены в более общей ситуации, см. §1.3 и замечание в §2.3.

5.3. Для конкретных уравнений, представимых в форме (0.5) с ограничениями 5.2, этот прием приводит к тэта-формулам для конечнозонных решений.

Метод проиллюстрирован на трех фундаментальных уравнениях математической физики: системе уравнений главного кирального поля, уравнении Г. Дима, уравнении Кричевера - Новикова.

В случае уравнения Кричевера - Новикова при решении задачи обращения Якоби в качестве рабочего инструмента использовано представление функции Бейкера - Ахиезера уравнения КП на кривой Г специального вида, построенное автором в терминах прим-функций Вейерштрасса.

В схему, указанную в пункте 5.2, вкладывается ряд других (1+1)-уравнений. Отметим, что в [22, глава 3] применен близкий прием при построении решений уравнения КдФ.

6. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава носит вспомогательный характер, содержит необходимые сведения из алгебраической геометрии; в том числе строится решение задачи обращения Якоби на гиперэллиптической кривой в теореме 4. Доказательство этой теоремы для случаев нечетной степени многочлена А (А) получено Ф. Клейном (см. [60]), для случаев четной степени найдено автором.

Пусть алгебраическая кривая Г задана уравнением ^(Л, /¿) = О, где Р ~ неприводимый многочлен. Далее Р — произвольная точка на Г. Будем использовать следующие обозначения: Л(Р) — вектор нормированных интегралов 1-го рода; А(Р) : Г —J(T) — отображение Абеля; В — матрица 6-периодов интегралов А. Тэта-функция определяется рядом Фурье в(у)= ^ ехр {7гг (./V, ВЫ + 2у}} .

N£19

Составим на гиперэллиптической кривой

V2 = Д(А) = Д0А2*+2 + А^2^1 + . + Д2,+2 (0.9) суммы интегралов 1-го рода степенного базиса

X С¿X ^

0.10) / -7Г— = с5

Е0 2/Л ]Ео 2ц в задаче обращения Якоби требуется выразить симметрические функции от верхних пределов Р^ через тэта-функции с аргументом, линейно зависящим от Для получения искомых выражений использован обычно применяемый в этих целях метод вычисления контурных интегралов вида

-5- / 1(Я)<ИпР(Я), Р{0) = е(А(Я) - е), (0.11) кг Jдг где 1(0) — абелев интеграл или мероморфная функция на Г, а е — К = С(, где К, — вектор римановых констант, С — матрица перехода между базисами интегралов 1-го рода. Интегрирование ведется по границе поверхности, получающейся из Г разрезанием по а- и 6-циклам и, дополнительно, между логарифмическими особыми точками функции 1(0). В частности, с помощью этого метода при 1(0) = А2^А получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть {Р^ = (А^,^)}, г = 1 — решение задачи обращения Якоби для сумм (0.10). Тогда

Р* А^А А / А5 ¿X

1п0(е-Д(оо)), <1е5Д = 2(/ + 1 (0.12) deg А = 2 д + 2, где е^- — те же, что в (0.11). Симметрические функции от Х{ выражаются из равенства

П(А - Л.) = А- - ± А*-.

1 1 ^

В §1.3 предлагается использовать примфункции Вейерштрасса а',а") = ехр {Г здесь Р = (А,/л), = — точки кривой Г: Р(А, д) = 0) для построения функции Бейкера - Ахиезера в виде ге ¿=1 где г(Р) — рациональная функция на Г.

Т. Будем говорить, что матрица М(х, А) принадлежит к классу о, если она рациональна по А с полюсами, не зависящими от Основным содержанием главы 2 является построение решений (17, У, И-7) системы (0.5), (0.8) в классе матриц второго порядка вида о)' Уо=(-г^2 + ш; ух/2)' о \ ттг ( —ъих/2 УО \ „ о = /0 , /0 ; и,у,т £ С}0 вид матрицы \¥ обусловлен видом С/, V). В основных приложениях к солитонным уравнениям матрицы V, V либо имеют вид (0.13), либо приводятся к такому виду преобразованием типа калибровки — см. примеры в §2.1 и §2.4. Далее система (0.5), (0.8) для матриц (0.13) называется канонической в классе таких систем с матрицами и,У<=812.

Наиболее полные результаты получены в §2.2. Здесь предполагается и — щ\2 +г/1(аг,£)А + и2(х,^, \щ\ + ¡их| ф 0,

9 9 П(л - = ^+

1=1 г=1

N п

7=0 г=0 пз г=1 полюсы А.,- и порядки полюсов д, п, п$ произвольно фиксированы. Показано, что вычисление нулей (ключевой элемент конструкции) приводится к решению задачи обращения Якоби на кривой ¡I2 = Д(А), где Д(А) — многочлен степени 2д + с^и, решаемой в тета-функциях, по теореме 4. Коэффициенты многочлена и(ж,£, А) вычисляются по т 1 Д из системы линейных алгебраических уравнений. Основной результат этого параграфа — представление функции у(х,Ь, А) через иПостроенное таким путем множество решений (0.13) системы (0.5), (0.8) зависит, при фиксированных полюсах в (0.14), (0.15) и многочлене А (А), от произвольной гладкой вектор-функции размера 1+Х^' пэ и произвольного постоянного вектора размера д и содержит все решения вида (0.13)—(0.15).

В §2.3 система (0.5), (0.8) для матриц (0.13) из <5о рассматривается в общем случае. Здесь принимается без ограничения общности,

0.14)

0.15) что 9 и) —

•ш0(х,г) • Д(Л

Показано, что в процедуре вычисления нулей 7^ возникает задача обращения сумм абелевых интегралов существенно более общего вида, чем в §2.2. Решение этой задачи в частном случае получено в главе 3 при построении конечнозонных решений уранения Г. Дима.

В §2.4 приведение системы (0.5), (0.8) на алгебре к каноническому виду проиллюстрировано на конкретном примере, используемом в главе 3 при построении конечнозонных решений системы уравнении кирального поля.

8. Сформулируем основные результаты главы 2. Далее, говоря о равенствах, содержащих параметр А, будем опускать слова "при всех А".

Лемма 1. Следующие утверждения равносильны: (1) Матрицы (0.13) удовлетворяют (0.5), (0.8). (И) Справедливы равенства где А (А) — некоторая функция.

В оставшейся части работы при выводе результатов о системе (0.16)—(0.17) применяется следующая схема. Вначале задается вид зависимости от А выражений ижу (т.е. число полюсов и их порядки) и определяется допустимый вид шиА. Затем в (0.16) подставляется А = 7г, где 7г — нули ии, что дает

-уЫЫхх + + иш2 = Д(А), УЮХ - 1МХ,

0.16) (0.17)

1 I 7гж которые при условиях 7г ф (г выражают вычеты функции ш-1. Полученные данные о ги вместе с дополнительными ограничениями на и, у используются для получения уравнений на 7г-. Схему завершает нахождение по полученному ио из уравнений (0.16), (0.17) решений и и у.

Предположим теперь, что в системе (0.16)—(0.17) и, г;, и? имеют вид (0.14)—(0.15). Тогда в силу леммы 1 Л(А) — произвольно фиксированный многочлен степени 2д + с^и:

2з+2

Д(А) = ^ А{\29+2~{, |Ао| + \Аг\ ф 0. г=0

Предполагая, что А (Л) не имеет кратных корней, построим кривую /12 = Д(А), отождествим ее с (0.9), и рассмотрим систему (0.10) с неизвестными Рг = (7^^):

У] —7.-+ &(*). к = 1,д, (0.18) где Ьц — символ Кронекера, £&(£) — произвольные функции. Далее, пусть:

1) (71,. ,73) — решение системы (0.18) при некоторых гладких

7« = /¿(я, £(*)), £ = (&,••• г = 17?;

2) и> — многочлен (0.14) с нулями 7* = /¿;

3) функции <£>т(ж,£, А) даются формулами Г 1, т = 0, где иоI — коэффициенты ги.

Теорема 5. В условиях 1)-3) матрицы (0.13), где функции и, у, ио даются формулами (0.14), щ = Д0, щ = Дх - 2Д0гоь гг2 = Д2 - 2Д1«;1 + Д0(3^1 - 2ги2), 9 у(х, г, А) = Ф, А) • и; + й М^-Л! > к=1 9 яг,А) = Д(А - Л) (0.19) г=1 удовлетворяют системе (0.5), (0.8). Здесь ¿(¿,А) € (¿о — произвольно заданная функция. Получаемые таким путем решения исчерпывают все решения вида (0.13)^(0.15).

Уточним вид решений в теореме 5, а также постановку задачи обращения Якоби (0.18), при фиксированных полюсах функции V в (0.15).

Теорема 6. Решения вида (0.15) уравнения (0.17) с функцией ю (0.19) исчерпываются выражениями п-д д г=0 к-1 j=l ¿=1 4 / где с(Ь) — ((1г, Су г) — набор п + 1 + ^^ пз произвольных функции; при этом в соответствующей системе (0.18) должны выполняться условия N

Д. Л3 К=

7=1г=1 ^ ' где п^ — тт{&,Постоянные интегрирования, появляющиеся при определении произвольны.

В следующем утверждении система (0.5), (0.8) с матрицами из приводится к каноническому виду.

Лемма 4. Пусть выполнена система (0.5), (0.8) с матрицами ц ("и "12 ^ V Уи У12 "21 —"11 у ' V ^21 -VII для Ш €б12 используем такие же обозначения. Предположим, что "12 ф 0. Тогда

1. Уравнение (0.5) для матриц U, V эквивалентно системе, состоящей из уравнения (0.5) с матрицами (0.13), где

1 Щ2хх . 3 и\2х ( иц\ 2 U=—Z- + + - + Uli + U12U21,

2 U12 4 u[2 \ul2) x

V=VUU¡21, и двух равенств из исходного уравнения:

121 - Vl2x + 2ИцУ12 - 2Ui2Vll = О, и.^U )

Ulli - vnx + U12V21 - U21V12 = О.

2. Функция w = W12U12 является решением системы (0.16)~(0.17) вместе с u, v из утверждения 1.

Доказательство проведено путем применения преобразований, сохраняющих вид уравнений (0.5), (0.8): = GUG~1 + GXG~\ V = GVG~l + GtG~l, W = GWG~\ с матрицей

12 VU11 + Z U12 J 2 U12

Обращение этих преобразований позволяет по решениям вида (0.13) получить решения исходного уравнения (0.5). Для этого нужно знать матрицу G. Покажем, каким образом можно найти элементы U12, un, если функция и из леммы 4 имеет вид (0.14). Пусть матрица U имеет вид

По лемме 4 получим и = Uq\2 + щ\ + U2, и0 = А\х + А12А21, л iAiA 1А12хх , ЗА212х

Ai2j х 2 А12 4 А{2

В этом примере функции Aij(x,t) находятся по заданному многочлену и(х, t, X) неоднозначно, с точностью до трех произвольных функций от t. Имеющийся произвол в решениях используется в главе 3 при построении решений системы уравнений кирального поля.

9. В главе 3 на основе результатов глав 1, 2 строятся алгебро-геометрические комплексные решения конкретных уравнений. В §3.1 построен подкласс "двухзонных" решений системы уравнений главного кирального поля на алгебре Ли

АУ + [А1В} = О, ВХ-[А,В} = 0. (0.21)

Вначале исходное представление этих уравнений в виде (0.5) для пары матриц и = А\л V = В А

А — 1' приведено, по лемме 4, к системе (0.16), (0.17) с выражениями и вида (0.14) и В12 1 У Аи А - 1'

Затем построен класс решений канонической системы при ги = (А — 71)(Л - 72), А(А) = А5 + Д2А4 + . + Д5А, где коэффициенты многочлена Д(А) согласованы с формулой (0.9) при д — 2, а его корни имеют кратность 1. Из теоремы 5 следует, что I д о 1 + ^1+^2 и = А + Д2 - 2ии1, У=-----,

Л — 1 и в задаче обращения Якоби (0.10) правые части равны — + £ ъ = х — у + По теореме 4, -(71 + 72) = 1пв(е) + с2, ъи2 — 7172 = 1п0(е) + сь

Специальный вид многочлена Д(А) (До = 0, Д]. = 1,иА = 0 — корень) позволил найти с помощью (0.16) частное решение

Аи = —, = А21 = (0.22)

11)2 У02 А\2 = дСг 1п0(е) + сгх + П (у), где г к (у) — "постоянные" интегрирования, подлежащие уточнению. Вычисление матрицы V по функции V и формулам (0.20) дало

В\2 = (1 + и)1 + ^2)^12,

Вп = (1 + «л + ю2)Ап - ¿АирА^1, (0.23)

В21 = -[(1 + + м)2)А\1 + А11у]А^.

На последнем этапе г к (у) подбирались так, чтобы выполнялись равенства (0.20). С помощью метода вычисления интегралов вида (0.11) получается

Теорема 7. Пусть выполнены условия

Г'ЛУ) = ~(С11 + С12)Г)11 ~ (С21 + С22)Г)12 ~ Д5, Г2 = СОПвЬ ф 0, где константы с^ — те же, что ив (0.11);

Г ЗА3 + 2Д2А2 + Д3А^ гцк = Ф ---й\.

Так

Тогда пара матриц А = \\Aij)|, В — \\Bij|| с нулевым следом и элементами (0.22), (0.23), построенными указанным выше образом, — решение системы (0.21).

10. В §3.2 на основе результатов глав 1 и 2 построены все алге-бро-геометрические решения уравнения Г. Дима

4г* = т-Згяхх. (0.24)

Исходным представлением этого уравнения выбрана система (0.16), (0.17) с функциями и — г-2Л-1, V = гЛ-1. Без ограничения общности в канонической системе положено ю = Агио П9=1(^ ~ 1г)-> Д =

АЕЙГ

Д ,д25+1 д2з+1 = 1} р е N. Тогда справедливы равенства и>о = ах2 + Ъх + с, До = Ь2 / 4 — ас.

Затем доказано по образцу теоремы 5, что г = и>о 7г> а неизвестные являются решениями задачи обращения на кривой Г: ¡л2 = Д(А) для точек Р{ — (ть^г) € Г: р* хк ах si k(z,t), к = 1,д, где при каждом г путь интегрирования во всех уравнениях один и тот же, г , Г ds fc = OgkZ + Oikt + Ск, Z= / -~,

Jx0 Wo(s)

8{j — символ Кронекера, Cfe = const. Эта задача связывается с задачей Якоби (0.10), для чего: отождествляются переменные = ^ (к ^ 1); в (0.10) считается, что = Ci(-M); функция задается уравнением лч ^ fPi X9dX

На основании теоремы 4 получаем следующий результат.

Теорема 8. Приусловиях |а|+|Ь| + |с| > 0, |Ao| + |Ai| > 0 функция r(x,t)^w0(x)^-(C(z(x),t)) является решением уравнения (0.24). Здесь wq(x) = ax2 + bx + с, z(x) = f wo(x)~1dx, функция p(() дана в формулах (0.12), Ck+i — 5ikt + Ck (к ^ 1), функция (z,t) неявно задается уравнением p(() =

Z + 5lgt + Cg.

В иной интерпретации, имеются два частных случая, (i): wq = . 1, z = х, Aq = 0, и (и): wq = х, z = In ж, До = 1/4, когда g

КО = Е ej fa Щг - 5- С91 е = СС, где Ci — параметр, С2 = 3=1 3 м + сь Ск =const (к ^ 3), матрица перехода С определена в (0.11).

Решения уравнения Г. Дима находятся исключением параметра из формулы для х и г = дх/д^\. Случай (i) совпадает с решениями, найденными в 1993г. JI.A. Дмитриевой [61]. Все остальные решения ч „ v «11® + «12 получаются из случаев (i) и (и) заменой х -»-. а.21% + «22

11. В §3.3 получены тэта-формулы для алгебро-геометрических решений уравнения И. М. Кричевера - С. П. Новикова (КН) ut luxxx 3u2xx Sp(u) 1 з 4(4« (°-25) на основе его связи с уравнением Кадомцева - Петвиашвили (КП):

Шуу -{4Ut - Ыххх + ШЫХ]Х = О, даваемой известными формулами = -2(i+[ln(U-a)U, , = (0-26) 4 ux 8 u2 2 u2 где a = p(y) — функция Вейерштрасса, p2y = 4p3 ~ g2p - 9з

Вначале нужно убедиться в том, что дифференциальные уравнения для алгебро-геометрических решений уравнения КН приводятся к задаче обращения Якоби на некоторой кривой Г. Далее А, ¡л связаны равенством

Ai2=p(A) = (A-ei)(A-e2)(A-e3), задающим эллиптическую кривую Го- Уравнение (0.25) представляется в виде условия совместности линейных систем на функцию

Ф = {Ф1:Ф2)Т

Фх = иф, 17 01 —U11 /

0.27) ф, = уф, v = — [ :rLL 7; ) + au,

1 (Un U12

Ux \u2l -Un

Jl( ^Vn Vu

Ux ' -Vn где А — функция из (0.26), £4?, Уц даются формулами ^и = АЬ иХ2 - А - и, и21 = -А2 - пА - и2 + У"12 = (л

По лемме 4 соответствующая система (0.5), (0.8) заменяется на представление вида (0.16), (0.17)

V А-и 4 (А — и)2 ч / 1 х А4 О^®^ , 4 \ I № оихх . л \ где V2 ~ — с^И^ не зависит от Алгебро-геометрические решения определяются системой уравнений, получающейся после подстановки в (0.28) выражения уо — г (А — гг)-1, где г = их Wl2 — полином по А, ц. Из первого равенства (0.28) извлекаем, что имеет место асимптотика в окрестности А = оо на кривой IV г — р-п-3(1 + О(р)), где А ~ р~2, и определяем кривую Г: п—1 п

4М2 = 4А3 - д2А - д3, и2 = (Хп + ]Г + £ 1кХк, (0.29) к—0 к=0 п ^ 0 задается произвольно. В случае общего положения кривая Г имеет род д = п + 3. Упорядочим координаты точки Р = (А, ¡л, у) £ Г. Для примера рассмотрим стационарные по £ решения, тогда п = 0 в (0.29). Второе уравнение (0.28) при = 0 дает: г 1 ю ~ --, г = II + А(А - и) - -ихх. (0.30)

А — и I

Лемма 5. Обозначим через (у^Мг) нули функции (0.30) на кривой Го, ъ = 1, 2, 3. Если функция (0.30) является решением системы (0.28), где V2 — /д -\-/л, то при некотором выборе точек Р% — , ¡лг, щ) кривой Г, по одной из двух возможных при каждом г, справедливы равенства, равносильные задаче обращения Якоби на Г,

В любом случае число нулей функции г — \2 на кривой Го равно п + 3, т.е. роду кривой Г. Обозначим эти нули через (7г,А^)> 7г = 1г(х1 Ъ). Аналогично утверждению леммы 5, имеет место задача обращения Якоби для соответствующих точек Рг кривой Г. Последующие результаты подсказаны выведенной из уравнений (0.27), —* ""1 10 (0.28) жУУф = —уф связью функции ф = их ф\ с примфункциями

Вейерштрасса

Окончательные тэта-формулы получим из доказываемого в работе факта, что любое алгебро-геометрическое решение уравнения КН связано по формуле (0.26) с конечнозонным решения ранга 1 уравнения КП

Ы = -2[(1п*%х + к], Р = в(угх + у2у + у^ + г0), (0.31) построенным для кривой Г по схеме Кричевера. С помощью вычисления интеграла вида (0.11) доказывается равенство двух представлений функции Бейкера - Ахиезера для уравнения КП в случае кривой (0.29): п+З щ + + у) (7г - А) • '

1п ф = П + 1п

9{ухх + у2у + + г0 - Л(Р)) • в(г0) в(угх + у2у + у3г + г0) • 0(го - А(Р)) п+3 рг(0) где О абелев интеграл 2-го рода с единственным полюсом в точке оо

Гр

О = aril*1) + + Ш<3), / = -е7' + 0(1),

Jpo

Q.W зависят лишь от Р и имеют нулевые а-периоды, £-1(Р) — локальный параметр; вектор 6-периодов интеграла равен 2жг • Vj] вектор zq любой; {Рг(х, у, t)} — решение задачи обращения Якоби

У^ Л(Рг) = vix + v2y + v3t + z0 - К

Исключение составляет случай п = 0, тогда v3 = 0 и нужно в последнем представлении In ф вычесть vt. Анализ следствий этого равенства в итоге приводит к формуле редукции функции F (0.31)

F = f(x,t)0з (ш~1у\2т) + д{х, t)62 (^1у|2г), / + v'3t + 4|2П), д = 6[е\ 0](ui® + v'3t + z'0\2TL),

0.32) где 62,в3 — тэта-функции Якоби, г,а; — периоды эллиптической кривой Го; П - матрица Прима; в характеристике е = ||0.0, вектор г'0 произволен. Из последующего сравнения формул (0.26), (0.31) и (0.32) следует, что

А = ц(/03 + дв2) xx где §г = вг{0\2Г), И

Теорема 10. Алгебро-геометрические решения уравнения (0.25) даются формулой u(x,t) —

7Г

Ш"

1 I fl4U 1 (М fO3 - дв2

-6(о2 + о3) + -{е2-ез)ж^

0.33) где ¡,д ~ функции (0.32).

Из билинейного представления уравнения КП (в смысле Хироты) и записи уравнения (0.25) в виде 2щ + иххх + бихА = 0 следует

Теорема 11. 1. Функции /,д в (0.32) удовлетворяют системе уравнений в билинейной форме Хироты

-4DxDt + Dt + YlkDl + a')f ■ f = 2bg2, (-4DxDt + D4 + YlkDl + a')g ■ g = 2bf2, {-WxDt + D$ + 12kD2x + a')f • g = c/p, (2A + D* + 6A:DjB)/.flf = 0,

0.34) где k — постоянная из (0.31), a' = const, b = з = 3(e2 - ез), с = 3 (024 + 04) = 18ei.

2. Если /, g удовлетворяют системе (0.34), то функция (0.33) — решение уравнения (0.25).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [81]

- [85].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Новиков, Дмитрий Петрович, 2000 год

1. Gardner С. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg - de Vries equation. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

2. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. // Commun. Pure and Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490.

3. Захаров В. E., Фаддеев JI. Д. Уравнение Кортевега де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. №4. С. 18-27.

4. Gardner С. S. Korteweg de Vries equation and generalizations. // J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 1095-1097.

5. Захаров В. E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

6. Lamb G. L. Analytical descriptions of ultra-short optical pulse propagation in a resonant medium. //Rev. mod. Phys. 1971. V. 43. P. 99-129.

7. Захаров В. E. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов. // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. №1. С. 219-225.

8. Манаков С. В. К полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. №2. С. 543-555.

9. Kruskal М. Nonlinear wave equations. //In the book "Dynamical systems, theory and applications". Lecture Notes in Physics. V. 38. Springer-Verlag, 1975. P. 310-354.

10. Дрюма В. С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега де Фриза. // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. №12. С. 219-225.

11. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. т. С. 43-53.

12. Ablowitz М. J., Каир D. J., Newell А. С., Segur Н. The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems. 11 Studies in Appl. Math. 1974. V. 53. P. 249-315.

13. Hirota R. Exact solution of the Korteweg de Vries equation for multiple collisions of solitons. // Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 1192-1194.

14. Sawada K., Kotera T. A method for finding n-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equations. // Prog. Theor. Phys. 1974. V. 51. №5. p. 1355.

15. Захаров B.E., Машков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980.

16. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов.- М.: Мир, 1983.

17. Солитоны. / под ред. Булаф Р., Кодри Ф М.: Мир, 1983.

18. Сато М., Мива Т., Дзимбо М. Голономные квантовые поля.-М.: Мир, 1983.

19. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений.- М.: Мир, 1985.

20. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.-М.: Мир, 1987.

21. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.- М.: Мир, 1988.

22. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

23. Дринфелъд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега де Фриза. / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 24. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 81-180.

24. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега де Фриза. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. №3. С. 54-66.

25. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега де Фриза. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. №12. С. 2131-2144.

26. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конеч-нозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега де Фриза. // ТМФ. 1975. Т. 23. №1. С. 51-68.

27. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. №3. С. 41-51.

28. Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1977.

29. Lax P. D. Periodic solutions of Korteweg de Vries equation. // Commun. Pure and Appl. Math. 1975. V. 28. P. 141-188.

30. Дубровин Б. A., Новиков С. П., Матвеев В. Б. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. // УМН. 1976. Т. 31. т. С. 55-136.

31. Козел В. А., Котллров В. П. Почти-периодические решения уравнения иц — ихх + sin и = 0. // ДАН УССР. 1976. сер. А. №10. С. 878-881.

32. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Об одном классе решений уравнения КдФ. //В сб.: "Проблемы математической физики". Вып.8.- Л: ЛГУ, 1976. С. 51-68.

33. Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. // Вестник ЛГУ. 1976. №7. С. 39-46.

34. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11. №3. С. 15-31.

35. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. // УМН. 1977. Т. 32. №6. С. 180-208.

36. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. // Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. №3. С. 13-22.

37. Захаров В. Е., Михайлов А. В. Метод обратной задачи рассеяния со спектральным параметром на алгебраической кривой. // Функц. анализ и его прил. 1983. Т. 17. №4. С. 1-6.

38. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. / / УМН. 1980. Т. 35. №6. С. 47-68.

39. Чередник И. В. Алгебраические аспекты двумерных кираль-ных полей. // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 18. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. С. 73-150.

40. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. // УМН. 1981. Т. 36. №2. С. 11-80.

41. Новиков С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 3-32.

42. Дубровин Б. А. Матричные конечнозонные операторы. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 33-78.

43. Кричевер И. М. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 79-136.

44. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. С. 179-284.

45. Итс А. Р. "Изомонодромные" решения уравнений нулевой кривизны. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1985. Т. 49. №3. С. 530-565.

46. Белоколос Е.Д., Бобенко А.И., Матвеев В.Б., Энолъский В.З. Алгебро-геометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений. // УМН. 1986. Т. 41. №2. С. 3-42.

47. Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения. // УМН. 1997. Т. 52. №1. С. 149-214.

48. Fay J. D. Theta-functions on Riemann surfaces. Lect. Notes in Math. V. 352.- Springer, 1973.

49. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях.- М.: Мир. 1988.

50. Дубровин Б. А., Натпанзон С. М. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon. // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. №1. С. 27-43.

51. Дубровин Б. А. Уравнение Кадомцева Петвиашвили и соотношения между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях. // Изв. АН СССР. Сер. Ма-тем. 1981. Т. 45. №5. С. 1015-1020.

52. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи в тэта-функциях, и симметрии алгебраических кривых. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1985. Т. 49. №3. С. 511-529.

53. Веселое А. П., Новиков С. П. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: явные формулы и эволюционные уравнения. // ДАН СССР. 1984. Т. 279. №1. С. 20-24.

54. Бобенко А. И. Вещественные алгебро-геометрические решения уравнения Ландау Лифшица в тэта-функциях Прима. // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. №1. С. 6-19.

55. Тайманов И. А. Тэта-функции Прима и иерархии нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1991. Т. 50. №1. С. 98-107.

56. Садовничук С. Г. Прямой метод построения трехзонных решений нелинейных уравнений. //Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38. №5. С. 1140-1145.

57. Романовский Р. К., Садовничук С. Г. Специальная теорема сложения для тэта-функций и нелинейные уравнения. // Сиб.матем. журнал. 1998. Т. 39. №5. С. 1127-1130.

58. Романовский Р. КСадовничук С. Г. Эффективное построение двухзонных решений нелинейного уравнения Шредин-гера. // Сиб. матем. журнал. 1999. Т. 40. №2. С. 439-442.

59. Романовский Р. К., Садовничук С. Г. Прямой метод построения двухзонных решений нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1999. Т. 66. №3. С. 401-406.

60. Бухштабер В. М., Эиольский В. 3. Явное алгебраическое описание гиперэллиптических якобианов на основе сг-функций Клейна. // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30. №1. С. 57-60.

61. Dmitrieva L. A. Finite-gap solutions of the Harry Dym equation. // Physics Letters A. 1993. V. 182. P. 65-70.

62. Риман Б. Теория абелевых функций. //В книге: "Риман Б. Сочинения".-М.: ОГИЗ, 1948.

63. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций.- М.: Наука, 1968.

64. Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций.- М.: Наука, 1979.

65. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций. // УМН. 1971. Т. 26. №1. С. 113-181.

66. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3.- М.: Наука, 1974.

67. Schlesinger L. Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionen theoretischer Grundlage.-Berlin, 1922.

68. Garnier R. Sur une classe de systems differentials abéliens déduits de la théorie des équations linéaries. // Rend. Cire. Matem. Palermo. 1919. V. 43. №4. s. 155-191.

69. Короткий Д. A. Конечнозонные решения SU( 1,1) и SU(2) уравнений дуальности и их аксиально-симметричные стационарные редукции. // Матем. сборник. 1990. Т. 181. №7. С. 923-933.

70. Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс: 1815-1897 М.: Наука, 1985.

71. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. // ДАН СССР. 1961. Т. 141. №2. С. 263-266.

72. Pohlmayer К. Integrable Hamiltonian systems with interaction througth quadratic constrains. // Commun. Math. Phys. 1976. V. 46. p. 207-223.

73. Захаров В. E., Михайлов А. В. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. N6. С. 1953-1974.

74. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения. Конечнозонные решения ранга 2. // ДАН СССР. 1979. Т. 247. №1. С. 33-37.

75. Кричевер И. М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов. // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12. №3. С. 20-31.

76. Гриневич П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов. // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. №1. С. 19-24.

77. Latham G., Previato E. Darboux transformations for higher-rank Kadomtsev Petviashvili and Krichever - Novikov equations. // Acta Applicandae Math. 1995. V. 39. p. 405-433.

78. Соколов В. В. О гамильтоновости уравнения Кричевера -Новикова. // ДАН СССР. 1984. Т. 277. №1. С. 48-50.

79. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье.- М.: Наука, 1967.

80. Новиков Д. П., Романовский Р. К. Об одном методе построения алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны. // ТМФ. 1997. Т. 110. №1. С. 61-72.

81. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения91—Г. Дима. // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. 10-я Сибирская школа 14-22 августа 1996г., Новосибирск. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1997. С. 179.

82. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Г. Дима. // Сиб. матем. журнал. 1999. Т. 40. №1. С. 159-163.

83. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера Новикова. // ОмГТУ. Омск. 1998. Деп. в ВИНИТИ 09.07.98. №2172-В98.

84. Новиков Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера Новикова. // ТМФ. 1999. Т. 121. №3; С. 367373.