Интегрируемые системы частиц на алгебраических кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Ахметшин, Алексей Алмазович

• Ахметшин, Алексей Алмазович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахметшин, Алексей Алмазович

Введение

Обзор.

Содержание работы.

1 Интегрируемые системы частиц на гиперэллиптических кривых

1.1 Уравнения Дубровина

1.2 Интегрируемая система частиц на эллиптической кривой.

1.3 Интегрируемая система частиц на общей гиперэллиптической кривой.

1.4 Метрики Дарбу-Егорова и их дискретные аналоги.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые системы частиц на алгебраических кривых»

Обзор

Изучение вполне интегрируемых систем классической механики являлось одним из центральных направлений исследований в XIX веке. Уравнения движения таких систем могут быть проинтегрированы в квадратурах, т. е. решения получаются с помощью конечного числа алгебраических операций и вычислений интегралов известных функций. Основная теорема была доказана Буром и Лиувиллем. Однако, в начале XX века после работ Пуанкаре стало ясно, что глобальные интегралы движения гамильтоновых систем существуют лишь в исключительных случаях, и интерес к таким системам упал.

До 60-х годов XX века было известно лишь небольшое число интегрируемых систем. К ним относятся движение в поле центрального потенциала (Ньютон), свободное движение на поверхности трехосного эллипсоида (Якоби), движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести в специальных случаях (Эйлер, Лагранж, С. В. Ковалевская), а также движение твердого тела в идеальной жидкости в специальных случаях (Кирхгоф, Клебш, В. А. Стеклов).

Новый интерес к этому направлению возник в 1967 году после работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [67], послужившей отправной точкой в развитии нового метода интегрирования нелинейных эволюционных уравнений, известного как метод обратной задачи теории рассеяния или метод изоспектралъной деформации. В работе [67] уравнение Кор-тевега-де Фриза (КдФ) в классе функций, убывающих при \х{ —> оо, было проинтегрировано при помощи преобразования рассеяния для одномерного оператора Шрёдингера по переменной х с дополнительным параметром I. В 1968 году П. Лаксом была открыта алгебраическая основа данного метода [78]. Было показано, что уравнение (0.1) можно записать как уравнение, описывающее динамику оператора Шрёдингера

0.1) д д д

-С + [Л,С} = 0 ^ С, —- А =0,

0.2) где

3 3

С = д2х + и, Л = д1 + -и дх + -и:

•X )

0.3)

В работе [20] В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали, что наличие коммутационного представления (0.2) (называемого представлением Лакса или Ь-А парой Лакса) не является специальным свойством уравнения КдФ, а присуще также и нелинейному уравнению Шрё-дингера. В то же время В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев показали [19], что уравнение КдФ можно рассматривать как вполне интегрируемую бесконечномерную гамильтонову систему.

В последующих исследованиях 70-х годов были обнаружены многие другие физически важные уравнения, интегрируемые при помощи задачи рассеяния для вспомогательного линейного оператора. Среди моделей, сыгравших значительную роль в развитии метода, выделим уравнение «вте^огсЬп» (М. Абловитц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и X. Сигур [49] и Л. А. Тахтаджян [46]) и уравнение Д^-волн (В. Е. Захаров и С. В. Манаков [16]). Среди дискретных систем отметим цепочку Тода, изучавшуюся в работах Флашки [65] и С. В. Мана-кова [36]. Такие уравнения часто называют солитонными уравнениями. Обширный список солитонных систем содержится в монографии Ф. Калоджеро и А.Дегаспериса [24], однако он не может претендовать на полноту, поскольку число таких систем продолжает расти.

Дальнейшее развитие метода обратной задачи и его приложений привело к созданию целой области математической физики. Основные работы в этой области принадлежат, кроме перечисленных выше, С. П. Новикову, И. М. Гельфанду, Б. А. Дубровину, В. Б. Матвееву, И. М. Кричеверу, А. Р. Итсу, Е. К. Склянину, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, М. А. Олына-нецкому, А. М. Переломову, Л. Д. Фаддееву, а также Г. Лэмбу, Д. Маклафлину, Г. Маккину, Ю. Мозеру, Сато, Миве, Джимбе и многим другим. Подробную библиографию и изложение истории предмета можно найти в обзорах [13, 41] и монографиях [17], [42], [47].

После работы П. Лакса все схемы построения новых гамильтоновых систем, интегрируемых методом обратной задачи, опирались на представление (0.2) или различные его обобщения. Семейство таких систем естественно разбивается на классы по типу фазового пространства. К настоящему моменту известны следующие три класса таких систем:

• конечномерные или дискретные бесконечномерные гамильтоновы системы (системы типа 0+1);

• гамильтоновы системы на пространстве функции одной переменной (системы типа 1+1);

• гамильтоновы системы на пространстве функций двух переменных (системы типа 2+1).

Остановимся более подробно на каждом из перечисленных классов и приведём наиболее важные примеры.

Системы типа 0+1. Метод обратной задачи оказался применим ко всем без исключения интегрируемым системам классической механики. Для гамильтоновых систем с конечным числом степеней свободы операторы Лакса Ь и А являются матрицами, элементы которых зависят от динамических переменных qCí^ ра. В этом случае из уравнения (0.2) следует, что для любого к след матрицы Ьк не зависит от времени, т. е. является интегралом движения. Отсюда следует, в частности, что собственные значения матрицы L также остаются постоянными в процессе эволюции ситемы. Иными словами, матрица L подвергается изоспектралъной деформации. Подробное описание результатов, относящихся к классическим системам и их связям с алгебрами Ли, имеется, например, в монографии А. М. Переломова [42].

Интегрируемые системы N взаимодействующих частиц в стандартном d-мерном конфигурационном пространстве описываются гамильтонианом

1 N

H=-^p2i+^V(qi-qj), Pi,qjeRd. (0.4) г=1 гф]

В случае d ^ 2 известна лишь одна вполне интегрируемая система такого типа, а именно система взаимодействующих осцилляторов V(q) = |а/2||<7||2. Эта система, однако, сводится к системе (N — 1) частицы, движущейся независимо в общем осцилляторном потенциале. Для одномерного случая, т. е. для случая попарно взаимодействующих частиц на прямой, имеется ряд других примеров. Особый интерес в последнее время привлекают системы, впервые изучавшиеся в работах Ф. Калоджеро [59] и Ю. Мозера [84] (отметим, что именно в данной работе Ю. Мозера было введено название — метод изоспектральной деформации). Было обнаружено, что системы Калоджеро - Мозера тесно связаны с суперсимметричными калибровочными теориями поля (подробнее см., например, [71], [82]). Для матриц Лакса L = (Ljk) и А = (Ajk) был предложен следующий анзатц:

Lij = pAj + (1 - Sij)f(qi - qj),

0-5) [Х^кф19^к ~ J Sij ~ ^ ~ ^J'W® ~

Требование эквивалентности уравнения (0.2) и уравнений Гамильтона приводит к соотношениям

9{q) = /'(?), Н(д) = ~Ш и функциональному уравнению f(q)f'(q) - f'(q)f(q) = f(q + Ф [%) - 4q)}. (0.6)

При этом потенциальная энергия дается формулой V{q) = — /(<?)/(—q) + const. В наиболее общем случае потенциал имеет вид V(q) = p(q), где p(q) = p(q | u>i,u>2), — функция Вейерштрасса, — двоякопериодическая функция комплексного аргумента q с периодами 2а>1, 2сс>2, обладающая полюсом второго порядка в точках 2rri\uj\ + 2т2Ш2, где mx,ma € Ъ. Если устремить один из пределов к бесконечности, получится тригонометрический потенциал V(q) = 1/ sin2(q) или V{q) = 1/sh2(g), а если устремить к бесконечности оба периода, получится рациональный потенциал V(q) = q~2.

Интегралы If. = (1/А;) tr Lk функционально независимы и находятся в инволюции, причем для гамильтониана имеет место равнество Н = I<i- Следовательно, согласно теореме Лиувилля, описанные системы являются вполне интегрируемыми. Однако необходимо отметить, что одного представления (0.2) с матрицами (0.5) недостаточно для того, чтобы явно построить переменные типа действие-угол для систем Калоджеро - Мозера или провести явное интегрирование уравнений движения.

Системы типа 1+1. Исторически первой моделью для метода обратной задачи было уравнение Кортевега-де Фриза (0.1). Другими примерами пространственно-одномерных систем являются нелинейное уравнение Шрёдингера ащ — ихх ± ||п||2м и уравнение «вш-gordon» итЛ = эти для фуннкции и = и(х, а также модель непрерывного анизотропного магнетика, известная в физике твёрдого тела как уравнение Ландау - Лифшица: в* = Э А Бхх + в А , (0.7) где в (ж, ¿) — трехмерный вектор единичной длины, ЦЭЦ = 1, а Зц = — постоянная диагональная матрица.

Первое естественное обобщения пары Лакса для уравнения КдФ заключалось в том, чтобы рассматривать произвольные дифференциальные операторы

71 ^ ТП ^ г=0 7=0 со скалярными или матричными коэффициентами размера (.ЛГх И). Уравнения (0.2) оказываются эквивалентны семейству систем эволюционных уравнений только на коэффициенты щ(х,1) оператора С, параметризованных набором констант /¿¿1, а = 1,. , г, г = 1,. ,п (уравнения типа Лакса). Во многих работах, напрмер в [8, 18, 21, 22, 27], описаны различные схемы, позволяющие тем или иным методом свести общее уравнение (0.2) к уравнениям только на коэффициенты С.

С каждым оператором С связана целая серия эволюционных уравнений, получающихся ограничением на коэффициенты щ{х,£) уравнений (0.2) с операторами А различных порядков. Например, для уравнения КдФ соответствующие уравнения, называемые высшими аналогами уравнениями КдФ, имеют вид ди п

-^ = ^2икдк(и,.,и2к+1), п= 1,2,. аъп к=1

В данном случае £ — оператор Шрёдингера, а оператор А имеет порядок 2п + 1. Один из важнейших фактов теории интегрируемых систем гласит, что все эти потоки коммутируют между собой.

В работе С. П. Новикова [40] для уравнения КдФ и его высших аналогов впервые использовалось представление в виде уравнений нулевой кривизны

Л Г\

Ьг-Мх + [ЦМ}= 0, М*=д^М> (°'9) где Ь = Ь(х, А), М = М(х, А) — матричные функции, зависящие от дополнительного спектрального параметра А. Представление подобного типа означает совместность линейных уравнений

А)]Ф(х,г,А) =0, / ( (0.10)

-М(х,г, А)^ А) = 0. дг

В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом [21] было предложено рассматривать уравнения (0.9) с произвольными рационально зависящими от спектрального параметра матрицами L, М в качестве общей схемы построения одномерных интегрируемых уравнений. Так же, как и в случае дифференциальных операторов, уравнение (0.9), порождает целое семейство интегрируемых систем. Если полюса L и М по Л совпадают, то уравнение нулевой кривизны сводятся к системе матричных уравнений только на коэффициенты L(x, t, Л), параметризованные некоторым набором постоянных. Меняя порядок полюсов М(х, t, А) можно получить иерархию коммутирующих между собой потоков.

Представления в виде уравнения нулевой кривизны известны для упомянутых нелинейного уравнения Шрёдингера и уравнения «sin-gordon». "Уравнение Ландау - Лифшица также подпадает под эту схему, однако для него зависимость матриц U и V от спектрального параметра является уже не рациональной, а эллиптической [5, 43].

Применение теории рассеяния ограничивало возможности интегрирования лишь классом быстро убывающих по пространственной переменной функций. Исследование решений в классе периодических или условно-периодических функций потребовало принципиально новых идей, первые из которых были выдвинуты в работах С. П. Новикова [40] и П. Лак-са [79]. Вслед за ними последовали работы Б. А. Дубровина [9], Б. А. Дубровина и С. П. Новикова [11], А. Р. Итса и В. Б. Матвеева [23], П. Лакса [80], Г. Маккина и П. Ван Мёрбеке [83], а также обзорная работа [14], в которых был введён и изучен широкий класс конечнозон-ных потенциалов оператора Шрёдингера, и на его базе построено большое семейство решений уравнения КдФ. В этих работах была выявлена глубокая алгебро-геометрическая природа спектральной теории операторов с периодическими коэффициентами. Отметим также результаты об аппроксимации общих периодических потенциалов конечнозонными в пространстве функций с данным периодом, полученные В. А. Марченко и И. В. Островским [37, 39, 38].

Обобщение этой теории на системы типа 2+1 было осуществлено И. М. Кричеве-ром [26, 27]. В указанных работах было дано методологически удобное изложение алгебро-геометрической процедуры построения упомянух выше конечнозонных решений уравнения КдФ и его многочисленных аналогов. Метод Кричевера позволяет выразить построенные решения через тэта-функции Римана.

Среди пространственно-двумерных систем наиболее интересным и важным для приложений является «двумерный» аналог уравнения КдФ — уравнение Кадомцева-Петвиа-швили (КП): где и = и(х,у,£) и го = "ш(х,у,£). Часто функцию го исключают из системы и оставляют только уравнение на и:

Уравнение КдФ получается при редукции на пространство стационарных по у решений (0.12).

0.11)

0.12)

Уравнение нулевой крививзны ду-С,дг-А\= О, ду=я~, у

0.13) для вспомогательных линейных дифференциальных операторов 3 = д% + и, А = дгх + -идх + гп

0.14) эквивалентно системе (0.11). Другим примером системы с двумя пространственными переменными служит двумерный аналог нелинейного уравнения Шрёдингера.

Схема, предложенная И. М. Кричевером, использует в качестве основного инструмента так называемые функции Бейкера-Ахиезера — мероморфные функции на римановой поверхности с существенными особенностями заданного вида (впервые такие функции встречались в [2] и [54], [55]). Условно-пероидические решения уравнения КП, согласно этой схеме, строятся по любому набору алгебро-геометрических данных, включающих неособую комплексную кривую Г рода д с отмеченной точкой, фиксированную локальную координату в окрестности этой точки, и эффективный дивизор на данной кривой. Соответствующее решение имеет вид

Тета-функция Римана в(г | В) определяется с помощью матрицы Ь-периодов голоморфных дифференциалов на кривой Г, компоненты векторов Ч^, "СЬ и Из являются Ь-периодами нормированных абелевых дифференциалов второго рода с заданными главными частями в окрестности отмеченной точки, а Ъ является вектором римановых констант. Если 112 = О, что эквивалентно существованию на Г функции с единственным полюсом в Ро второго порядка, то и = и(х,£) удовлетворяет уравнению КдФ. В этом случае кривая Г гиперэл-липтична, а (0.15) переходит в формулу Матвеева-Итса [23].

Отметим, что обычное представление типа Лакса возможно только для операторов, включающих дифференцирование не более чем первого порядка по одной из переменных. Правильный нетривиальный аналог был найден в работе Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера и С. П. Новикова [12], и в работе С. В. Манакова [36].

Теории конечномерных интегрируемых систем и теория нелинейных уравнений развивались независимо до 1976 года, когда в работе [50] Маккин, Мозер и Эро обнаружили замечательную связь между поведением особенностей рациональных решений уравнения КдФ и системой Калоджеро - Мозера. Они показали, что рациональные решения уравнения КдФ имеют вид

0.15) а их полюса х¿(¿) подчиняются системе уравнений

0.16) гфз гфз

Система (0.16) получается при ограничении потока, отвечающего интегралу 1з рациональной системы Калоджеро - Мозера, на стационарные точки gradií = 0 этой системы. Такое ограничение приводит к ограничению на число частиц, которое должно представляться в виде N = й(й + 1)/2.

В работе [28] И. М. Кричевер показал, что более естественно рассматривать уравнение КП вместо уравнения КдФ, поскольку в этом случае имеет место изоморфизм между рациональными решениями уравнения КП и системой Калоджеро - Мозера. Любое рациональное решение уравнения КП, убывающее при |ж| —»• оо, имеет вид

N ¿=1 а динамика полюсов хДу,£) по переменным у и £ опысывается коммутирующими потоками, отвечающими интегралам /2 = Н и /3. Число N может быть произвольным, и так получаются все рациональные решения уравнения КП.

Описанный изоморфизм был перенесен на эллиптический случай в работах Д. В. и Г. В. Чудновских [60] и И. М. Кричевера [30]. В последней из указанных работ была решена задача построения эллиптических решений уравнения КП и построены переменные типа действие-угол для системы Калоджеро - Мозера. Там же было показано, что все эллиптические решения КП являются алгебро-геометрическими. Алгебраическое решение задачи Коши для этой системы было получено в [30] как следствие формулы (0.15): положения частиц д((у) в любой момент времени у определяются как корни уравнения в(Щ + \у + Х\В) =0, а вектора и и V задаются начальными условиями.

Кроме того для системы КМ была построена пара Лакса, зависящая от спектрального параметра. Общим решением функционально уравнения (0.6) является функция Ламе ф (д X) = а(<? ~ А) е(0 17) } а(д)о(А) ' 1 ; зависящая от дополнительного параметра А, по которому она эллиптична (а, С — эллиптические функции Вейерштрасса).

Начиная с этого момента теория систем типа Калоджеро - Мозера становится неразрывно связанной с теорией эллиптических решений солитонных уравнений. В большинстве интересных случаев рассматривались различные обобщения уравнения КП. В. Кузнецов, Ф. Нийхоф и О. Рагниско в работе [77] исследовали полностью дискретизированное уравнение КП на решетке, полюса которого описываются уравнениями анзатца Бете. Промежуточная дискретизация КП, а именно двумеризованная цепочка Тода, приводит к ситеме Рейсенаарса-Шнайдера [86] = Е~ & &)]' = С(я) - С(д + V)

Зфг

Матричный аналог уравнения КП приводит к спиновому обобощению системы КМ (Бабе-лон, Били, Талон и И. М. Кричевер [53]), а неабелева двумеризованная цепочка Тода — к спиновому аналогу системы Рейсенаарса-Шнайдера (А. В. Забродин и И. М. Кричевер [15]). Квантовые интегрируемые модели и дискретные уравнения Хироты рассматривались в работе П. Вигмана, А. В. Забродина, И. М. Кричевера и О. Липана [75].

Общая схема построения интегрируемых систем типа КМ, основанная на специальной обратной задаче типа Пикара для линейных операторов с эллиптическими коэффициентами предложена И. М. Кричевером в работе [73]. Одно из преимуществ данного подхода заключается в том, что одновременно с интегрируемой системой получается ее представление Лакса.

Необходимо подчеркнуть, что во всех перечисленных случаях интегрируемые системы частиц получались при рассмотрении динамики полюсов по пространственной переменной решений соответствующих уравнений. Например, в описанном выше случае рациональных или эллиптических решений уравнения КП имеются в виду полюса и{х,у,Ь) по переменной х. В то же время исследование динамики особенностей решений солитонных уравнений по спектральной переменной представляется не менее интересной и важной задачей. Именно это направление развивается в настоящей работе.

Динамика нулей собственных функций оператора С по спектральной переменной Л впервые рассматривалась Б. А. Дубровиным в работе [10]. Функция Бейкера-Ахиезера 1р(х,у, О), с помощью которой строятся конечнозонные решения уравнения КП, является мероморфной (вне отмеченной точки) функцией на спектральной кривой Г. Дивизор полюсов -ф фиксирован, а дивизор нулей зависит от времени. Таким образом возникает динамическая система частиц на кривой с выколотой точкой. Для гиперэллиптической кривой Г, заданной уравнением

2д+1 у2 = 11д(Е)= Ц(Е-Ег), Я = {у,Е), (0.18) 1

Б. А. Дубровиным было показано, что проекции & нулей функции Бейкера-Ахиезера ф на плоскость переменной Е удовлетворяют уравнениям Ц< : • ( 1 за которыми закрепилось название уравнений Дубровина. Кроме того, было показано, что отображение Абеля линеаризует уравнения (0.19) на якобиане </(Г).

Удивительно, но с середины 70-х годов XX века, когда была выполнена работа Б. А. Дубровина, и до начала XXI века, идея рассматривать уравнения (0.19) как гамильтонову динамическую систему частиц на гиперэллиптической кривой не была воплощена. Новым результатом в этом направлении стала работа ван Дижена и Пушманна [62], где было показано, что динамика нулей ЛГ-солитонного решения уравнения Шрёдингера с безотражательным потенциалом описывается уравнениями

Штрихом обозначены производные по переменной х. Система (0.20) эквивалентна рациональной системе Рейсенаарса-Шнайдера с добавленным гармоническим членом. Гамильтониан системы (0.20) получается предельным переходом из гамильтониана гиперболической системы N частиц во внешнем потенциале, которая была исследована в работах [87, 57].

Заметим, что уравнения (0.19) содержат параметры кривой. Аналоги уравнений Дубровина выполняются и для частично вырожденных гиперэллиптических кривых (последние описываются тем же уравнением (0.18), где некоторые Е^ совпадают) и, в частности, для полностью вырожденных кривых, представляющих собой сферу Римана с N парами отождествленных точек. В этом последнем случае, как было показано в [62], параметры кривой могут быть исключены из системы. В результате получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, совпадающая с (0.20). Выражения для параметров кривой служат ее первыми интегралами.

В данной работе последний результат получает существенное обобщение. Мы строим широкий класс вполне интегрируемых систем частиц на гиперэллиптической кривой с выколотой точкой. Для таких систем найден полный набор интегралов в инволюции и построены переменные типа действие-угол. Характерным свойством таких систем является то, что они описывают поведение нулей собственной функции ф(х, <3) оператора Шрёдингера с потенциалом и (х) из класса потенциалов с нулевым коэффициентом отражения на фоне конечнозонных потенциалов [25]. В частном случае, когда число частиц N совпадает с родом д кривой (0.18), ограничение новой системы на специальные линии уровня интегралов совпадает с уравнениями Дубровина.

Отметим, что в последнее время возрастает интерес к исследованию двойственности между динамикой по пространственной переменной и спектральной переменной. Данному вопросу посвящена теория биспектральных операторов, возникшая в 1986 году в работе Дийстермаата и Грюнбаума [63] и получившая развитие в работах Вилсона [88] и других авторов.

Другие обобщения уравнений Дубровина связаны с решениями высших рангов уравнения КП.

Как показали ещё Бурхнал и Чаунди [58], любая пара коммутирующих дифференциальных операторов вида (0.14) связана алгебраическим соотношением В.(£,А) = 0, которое определят их спектральную кривую Г. Пара С} = (Л,//), Л(А,/л) = 0 обозначает точку кривой Г. Если порядки линейных операторов взаимно просты, то их совместная собственная функция ф(х, <5) определена на спектральной кривой однозначно с точностью до постоянного множителя. С алгебро-геометрической точки зрения функцию ф(х} имеющую существенную особенность в некоторой отмеченной точке кривой, можно считать сечением голоморфного линейного расслоения над Г. Такова ситуация ранга 1, и именно к этому случаю относились до определённого момента все результаты о точных решениях уравнений типа КдФ и КП.

В общем случае рангом N пары коммутирующих операторов £ и Л называется кратность собственной функции ф(х, <2) на спектральной кривой Г. Число N равно размерности пространства ф в фиксированной точке кривой Г. Тем самым возникает АГ-мерное голоморфное векторное расслоение с базой Г.

Решения нелинейных уравнений высших рангов впервые были исследованы в работах И. М. Кричевера и С. П. Новикова [32, 33, 34]. В качестве естественного обобщения уравнений (0.19) были получены уравнения на так называемые параметры Тюрина. Последние, согласно [48], параметризуют оснащенные стабильные голоморфные векторные расслоения ранга N и степени Ид над кривой Г.

В тех же работах И. М. Кричевера и С. П. Новикова было получено уравнение (известное как уравнение Кричевера-Новикова), описывающее деформацию коммутирующих линейных дифференциальных операторов ранга 2.

Широкую известность получила работа Н. Хитчина 1987 года [70], где для любой алгебраической кривой Г рода д была построена вполне интегрируемая система на пространстве Т*Ж9,М, кокасательном к пространству модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга N над Г. В частном случае эллиптической кривой с отмеченной точкой система Хитчина оказывается эквивалентна системе КМ (А. Горский, Н. Некрасов [69]).

Своеобразным мостом между теорией решений высших рангов уравнения КП и системами Хитчина послужила недавняя работа И. М. Кричевера [74], посвященная общей га-мильтоновой теории уравнений нулевой кривизны на произвольной алгебраической кривой. Согласно этой работе, коммутирующие потоки уравнений Лакса, — стационарного варианта уравнений нулевой кривизны, — в частном случае совпадают с коммутирующими потоками системы Хитчина. При этом было получено явное описание систем Хитчина с помощью параметров Тюрина. Отметим, что в случае N = 2 описание систем Хитчина в терминах параметров Тюрина была найдено В. Рубцовым и Б. Энриквесом [64].

Уравнения нулевой кривизны естественно рассматривать как бесконечномерные полевые аналоги систем Хитчина. В частном случае эллиптической кривой с отмеченной точкой получается полевой аналог эллиптической системы КМ. В предлагаемой диссертации показывается, что и полевая система КМ тесно связана с уравнением КП, а точнее, с эллиптическими семействами решений последнего.

Современная теория интегрируемых систем не ограничивается перечисленными выше направлениями. Как и на ранних этапах своего развития, она привлекает исследователей из самых разных областей математики и физики. К числу таких областей, наиболее популярных в последнее время, относятся указанные ранее суперсимметричные калибровочные теории, квантовые когомологии, инварианты Громова - Виттена, уравнения ассоциативности (уравнения \УБУУ) и ряд других.

Содержание работы

Предлагаемая диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы с автономной нумерацией, заключения и списка литературы. Кроме того, первая глава имеет три приложения, а вторая глава — два приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Ахметшин, Алексей Алмазович

Заключение

Полученные в диссертации результаты могут иметь различные обобщения. Укажем некоторые из них.

В Главе 1 был построен широкий класс вполне интегрируемых систем частиц на гиперэллиптической кривой с выколотой точкой, описана гамильтонова структура таких систем и построены переменные типа «действие-угол». Данные системы описывают, в частности, поведение нулей на спектральной кривой функций Бейкера-Ахиезера, собственных для оператора Шредингера дх—и. Можно рассматривать более общие функции Бейкера - Ахиезера, связанные с различными дифференциально-разностными операторами. В качестве примера приведем недавнюю работу [61], где рассматривалась функция Бейкера-Ахиезера, связанная с цепочкой Тода.

Другим открытым вопросом остается существование для систем Главы 1 представления Лакса, включающего спектральный параметр.

В Главе 2 исследовались семейства решений уравнения КП, эллиптические по параметру А и обладающие сбалансированным набором полюсов по А. Было доказано, что динамика этих полюсов по второму времени у иерархии КП описывается редукцией полевой эллиптической системы КМ. Наша гипотеза состоит в том, что динамика гл по отношению ко всем временам иерархии КП сопадает с иерархией высших потоков для полевой системы КМ.

Обратная задача типа Пикара, которой был посвящен раздел 2.3, скорее всего может быть решена и для полевого аналога спиновой системы Калоджеро - Мозера и, возможно, спиновой системы Рейсенаарса-Шнайдера.

Полевая система КМ в случае двух полей эквивалентна системе Ландау - Лифшица. В случае N > 2 полей получается некоторый многокомпонентные аналоги системы Ландау - Лифшица. Интересно исследовать возможную связь этих систем с аналогами системы Ландау - Лифшица, построенными в работе [7].

Уравнение Кричевера-Новикова также имеет многокомпонентные аналоги, связанные с расслоениями ранга N > 2. Отдельный интерес представляет правильный «частичный» аналог этого уравнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахметшин, Алексей Алмазович, 2002 год

1. Адлер В. Э., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теор. и мат. физика, 2000, т. 125, № 3, с. 355.

2. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл. АН СССР, 1961, т. 141, № 2, с. 263-266.

3. Ахметшин А. А., Вольвовский Ю. С., Кричевер И. М. Дискретные аналоги метрик Дарбу-Егорова // Труды матем. инст. им. В. А. Стеклова, 1999, т. 255, с. 21-45.

4. Ахметшин А. А., Вольвовский. Ю. С. Динамика нулей конечнозонных решений уравнения Шредингера // Функц. анализ и его прил., 2001, т. 35, №4, с. 8-19.

5. Боровик А. Е. Лг-солитонные решения уравнения Ландау-Лифшица // Письма в Ж. экспер. и теор. физ., 1978, т. 28, № 10, с. 629-632.

6. Веселов А. П., Новиков С. П. О скобках Пуассона, совместимых с с алгебраической геометрией и динамикой Кортевега-де Фриза на множестве конечнозонных потенциалов // Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 3, с. 533-537.

7. Голубчик И. 3., Соколов В. В. Многокомпонентное обобщение иерархии уравнения Ландау-Лифшица // Теор. и мат. физика, 2000, т. 124, № 1., с. 62.

8. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. Асимптотика резольвенты Штурм-Лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза // Успехи мат. наук, 1975, т. 30, № 5, с. 67-100.

9. Дубровин Б. А. Обратная задача теории рассеяния для периодических конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и его прил., 1975, т. 9, № 1, с. 65-66.

10. Дубровин Б. А. Периодические задачи для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и его прил., 1975, т. 9, № 3, с. 41-51.

11. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно-периодический аналоги многосоли-тонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // Ж. экпер. и теор. физ., 1974, т.67, № 12, с. 2131-2143.

12. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Уравнение Шредингера в магнитном поле и римановы поверхности // Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 1, с. 15-18.

13. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I. В сб.: «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.»Динамические системы IV. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1985, с. 179-285.

14. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук, 1976, т. 31, № 1, с. 55-136.

15. Забродин А. В., Кричевер И. М. Спиновое обобщение модели Рейсенаарса-Шнайдера, неабе-лева двумеризованная цепочка Тода, и представления алгебры Склянина // Успехи мат наук., 1995, т. 50, № 6, с. 3-56.

16. Захаров В. Е., Манаков С. В. Резонансные взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах // Письма в Ж. экпер. и теор. физ. 1973. т. 18, с. 243-245.

17. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 319 с.

18. Захаров В. Е., Михайлов А. В. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи // Ж. экпер. и теор. физ., 1978, т. 74, № 6, с. 19541974.

19. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнения Кортевега-де Фриза —■ вполне интегрируемая га-мильтонова система // Функц. анализ и его прил., 1971, т. 5, № 4, с. 18-27.

20. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Ж. экспер. и теор. физ., 1971. т. 61, № 1, с. 118-134.

21. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния. I // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, № 3, с. 43-53.

22. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния. II // Функц. анализ и его прил., 1979, т. 13, № 3, с. 13-22.

23. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шрёдингера с конечным числом лакун и многосолитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // Теор. и матем. физика, 1975, т. 23, № 1, с. 51-67.

24. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральное преобразование и солитоны. — М.: Мир, 1985.

25. Кричевер И. М. Потенциалы с нулевым коэффициентом отражения на фоне конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и его прил., 1975, т. 9, № 2.

26. Кричевер И. М. Алгебро-геометрическое построение уравнений Захарова-Шабата и их периодических решений // Докл. АН СССР, 1976, т. 227, № 2, с. 291-294.

27. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии // Функц. анализ и его прил., 1977, т. 11, № 1, с. 15-31.

28. Кричевер И. М. О рациональных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили и об интегрируемых системах частиц на прямой // Функц. анализ и его прил., 1978, т. 12, № 1, с. 76-78.

29. Кричевер И. М. Коммутативные кольца линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прил., 1978, т. 12, № 3, с. 20-31.

30. Кричевер И. М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и интегрируемые системы частиц // Функц. анализ и его прил., 1980, т. 14, № 4, с. 45-54.

31. Кричевер И. М. Алгебро-геометрические п-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Функц. анализ и его прил., 1997, т. 31 № 1, с. 32-50.

32. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над римановыми поверхностями и уравнение Кадомцева-Петвиашвили // Функц. анализ и его прил., 1978, т. 12, № 4, с.41-52.

33. Кричевер И. M., Новиков С. П. Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения. Конечно-зонные решения ранга 2 // Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 1, с. 33-36.

34. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи мат. наук, 1980, т. 35, № 6, с. 47-68.

35. Левин А. М., Ольшанецкий М. А. Неавтономные гамильтоновы системы, связанные с высшими интегралами Хитчина // Теор. и мат. физика, 2000, Т. 123, № 2, С. 237-263.

36. Манаков С. В. Полная интегрируемость и стохастизация дискретных динамических систем // Ж. экспер. и теор. физ., 1974, т. 40, с. 249-274.

37. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Докл. АН СССР, 1974, т. 217, № 2, с. 276-279.

38. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев.: Наукова думка, 1977. - 240 с.

39. Марченко В. А., Островский И. В. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Матем. сборник, 1974, т. 95, № 3, с. 331-356.

40. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, № 3, с. 54-66.

41. Ольшанецкий М. А., Переломов А. М., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы II. В сб.: «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. »Динамические системы V. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1990.

42. Переломов А. М. Интегрируемые системы частиц и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

43. Склянин Е. К. О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лифшица // препринт ЛОМИ, 1979, Е-3-79, Ленинград.

44. Соколов В. В. О гамильтоновости уравнения Кричевера-Новикова // Докл. АН СССР, 1984, т. 277, № 1, с. 44-46.

45. Свинолупов С. И., Соколов В. В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения // Функц. анализ и его прил., 1982, т. 16, № 4, с. 86-87.

46. Тахтаджян Л. А. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в нелинейных средах // Ж. экспер. и теор. физ., 1974, т. 66, JV5 2, с. 476-489.

47. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

48. Тюрин A. H., Классификация векторных расслоений над алгебраическими кривыми произвольного рода // Изв. АН СССР, сер. матем., 1965, т. 29, с. 658-680.

49. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Stud. Appl. Math., 1974. V. 53, 4, P. 249-315.

50. Airault H., McKean H., Moser J. Rational and elliptic solutions of the KdV equation and related many-body problem // Commun. Pure and Appl. Math. 1977. V.30, P. 95-125.

51. Akhmetshin A. A. Field analog of the elliptic Calogero-Moser system // Тез. докл., 971-ая конференция Амер. Матем. Общества — Вильямстаун, 2001. (971st AMS meeting, Williams college, Williamstown.)

52. Akhmetshin A. A., Volvovsky Yu. S., Krichever I. M. Elliptic families of solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation and the field elliptic Calogero Moser system // arXiv: hep-th/0203192.

53. Babelon 0., Billey E., Krichever I., Talon M. Spin generalisation of the Calogero Moser system and the matrix KP equation, in "Topics in Topology and Mathematical Physics" // Amer. Math. Soc. Transl. 1995. Ser.2, V.179, P. 83-119.

54. Baker H. F. Abelian functions. — Cambridge, 1897.

55. Baker H. F. Note on the foregoing paper "Commutative ordinary differential operators" by J. L. Burchnall and T. W. Chaunty // Proc. Royal Soc. London, 1928. V.118, P. 584-593.

56. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions, vol.11. — McGraw-Hill Co. 1955, 295 p. (Пер. на рус. яз.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1967, 297 с.)

57. Bruchi М., Ragnisco О. On new solvable many-body dynamical systems with velocity-dependent forces // Inverse Problems 1988. V. 4, P. 15-20.

58. Burchnall J. L., Chaundy T. W. Commutative ordinary differential operators. I, II // Proc. London Math. Soc., 1922. V.21, P. 420-440; Proc. Royal Soc. London, 1928. V. 118, P. 557-583.

59. Calogero F. Exactly solvable one-dimensional many-body systems // Lett. Nuovo Cimento, 1975. V. 13, P. 411-415.

60. Choodnovsky D. V., Choodnovsky G. V. Pole expansions of nonlinear partial differential equations // Nuovo Cimento, 1977. 40B, P. 339-350.

61. Van Diejen J. F. The dynamics of zeros of the solitonic Baker-Akhiezer function for the Toda chain // IMRN, 2000, V.5, 2, P. 253-270.

62. Van Diejen J. F., Puschmann H. Reflectionless Schrodinger operators, the dynamics of zeros, and the solitonic Sato formula // Duke Math Journal, 2001. V. 104, 2, P. 269-318.

63. Duistermaat J. J., Grunbaum F. A. Differential equations in the spectral parameter // Comm. Math. Phys., 1986. V. 103, P. 177-240.

64. Enriquez В., Rubtsov V. Hecke-Tyurin parametrization of the Hitchin and KZB systems // arXiv: alg-geom/9911087.

65. Flaschka H. The Toda lattice I, II // Phys. Rev., 1974, B9, P. 1924-1925; Progr. Teor. Phys., 1974, V. 51, P. 703-716.

66. Focas A., Zakharov V., ed. Important developments in soliton theory. — Berlin, Springer, 1993.

67. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteveg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967. V. 19, P. 1095-1097.

68. Gorsky A., Nekrasov N. Hamiltonian systems of Calogero type and two-dimensional Yang-Mills theory // Nucl. Phys., 1994, B414, P. 213-238.

69. Gorsky A., Nekrasov N. Elliptic Calogero-Moser system from two-dimensional current algebra // arXiv: hep-th/9401021.

70. Hitchin N. Stable bundles and integrable systems // Duke Math. Journ., 1987. V.54, 1, P. 91-114.

71. D'Hoker E., Phong D. H. Calogero-Moser systems in SU(N) Siberg-Witten theory // Nycl. Phys. B, 1998, V. 513, P. 405-444.

72. Kazhdan D., Kostant B., Sternberg H. Gamiltonian group actions and and dynamical systems of Calogero type // Comm. Pure and Appl. Math., 1978. V.31, P. 481-507.

73. Krichever I. M. Elliptic solutions to difference non-linear equations and nested Bethe ansatz equations // arXiv: solv-int/9804016.

74. Krichever I. M. Vector bundles and Lax equations on algebraic curves // arXiv: hep-th/0108110.

75. Krichever I., Lipan 0., Wiegmann P., Zabrodin A. Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations // Comm. Math. Phys., 1997. V. 188, P. 267-304.

76. Krichever I., Phong D. Symplectic forms in the theory of solitons, in: "Surveys in differential geometry: integrable systems" // Surv. Differ. Geom., IV. — Int. Press, Boston, MA, 1998. P. 239313.

77. Kuznetsov V., Nijhof F., Ragnisco O. Integrable time-discretization of the Ruijsenaars-Schneider model // Preprint Univ. of Amsterdam, 1994. 94-27; arXiv: hep-th/9412170.

78. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math., 1968. V.21, 5, P. 467-490.

79. Lax P. D. Periodic solutions of KdV equation // Lect. in Appl. Math. 1974. V15, P. 85-96.

80. Lax P. D. Periodic solution of Korteveg-de Vries equation // Comm. Pure and Appl. Math., 1975, v. 28, p. 141-188.

81. Levin A., Olshanetsky M., Zotov A. Hitchin systems — symplectic maps and two-dimensional version // arXiv: nlin.SI/0110045.

82. Marshakov A. Seiberg-Witten Curves and Integrable Systems, in: "Integrability. The SeibergWitten & Whitham Equations.", H. W. Braden and I. M. Krichever, eds. — Gordon and Breach, 2000, P. 69-91.

83. McKean H. P., van Moerbeke P. The spectrum of Hill's equation // Inven. Math., 1975. V.30, P. 217-274.

84. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math., 1975. V. 16, P. 1-23.

85. Nekrasov N. Holomorphic bundles and many-body systems // Preprint PUPT-1534, 1995. arXiv:hep-th/9503157.

86. Ruijsenaars S. N. M., Schneider H. A new class of integrable systems and its relation to solitons // Ann. Physics, 1986. V.170, 2, P.370-405.

87. Schneider H. Integrable relativistic iV-particle systems in an external potential // Physica D, 1987. V26, P. 203-209.

88. Wilson G. Bispectral commutative ordinary differential operators// J. Reine Angew. Math., 1993, V. 442, P. 177-204.