Геометрия и топология спектральных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Пенской, Алексей Викторович

• Пенской, Алексей Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пенской, Алексей Викторович

Оглавление

Введение

1 Метрики, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутых поверхностях

1.1 Введение

1.2 Минимальные подмногообразия в сферах и экстремальные метрики

1.3 Тау-поверхности Лоусона и формулировка теоремы об их экстремальных спектральных свойствах

1.4 Собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на тау-поверхностях Лоусона и вспомогательная периодическая задача Штурма-Лиувилля

1.5 Уравнение Магнуса-Уинклера-Айнса и собственные числа кратности 2

1.6 Уравнение Ламе

1.7 Окончание доказательства теоремы 1.3.2 об экстремальных спектральных свойствах тау-поверхностей Лоусона

1.7.1 Случай двулистного накрытия лоусонова тора

1.7.2 Случай лоусоновых торов тт^

1.7.3 Случай лоусоновых бутылок Клейна

1.8 Торы Оцуки и формулировка теоремы об их экстремальных свойствах

1.9 Теорема Сяна-Лоусона о редукции минимальных подмногообразий по действию группы

1.10 Торы Оцуки как пример минимального 80(2)-инвариантного подмногообразия кооднородности 1 в S3

1.11 Доказательство теоремы 1.8.1 об экстремальных спектральных свойствах торов Оцуки

1.12 Различные конструкции торов, минимальных в сферах

■ч 1.13 Расширение семейств минимальных торов в сферах с помо-

ч щью теоремы Такахаси

1.14 Уравнение Ламе и теорема о построении трёхпараметри-ческого семейства Тадс минимальных поверхностей в сфере, продолжающего двухпараметрическое семейство тау-поверхностей Лоусона, и его экстремальных свойствах

1.15 Бутылка Клейна Tí o,2

"Ч

2 Топология изоспектральных подмногообразий

2.1 Введение

2.2 Система Вольтерра с нулевыми граничными условиями как градиентный поток

2.3 Топология изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю

^ 3 Алгебро-геометрическая спектральная теория полудис-

кретного гиперболического оператора Шрёдингера и пре-

образование Лапласа

3.1 Введение

3.2 Преобразования Лапласа двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера и двумерная цепочка Тоды

3.3 Алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера: прямая спектральная задача

3.4 Алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера: обратная спектральная задача

3.5 Спектральные свойства преобразований Лапласа алгебро-геометрических двумерных полудискретных операторов Шрёдингера

4 Геометрия спектральной задачи и скобки Пуассона

4.1 Введение

4.2 Канонически сопряжённые переменные для системы Воль-терра с периодическими граничными условиями

4.3 Алгебро-геометрические скобки Пуассона для разностных операторов и система Вольтерра

4.4 Канонически сопряжённые переменные для периодического уравнения Камассы-Холма

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия и топология спектральных задач»

Введение

О теме диссертации

Спектральная задача

Ьф = \ф, (0.1)

связывающая оператор Ь, его собственные числа Л и собственные векторы (или функции) ф, естественным образом возникает в самых разнообразных задачах современной математики. Геометрии и топологии нескольких актуальных типов спектральных задач, связанных с дифференциальными уравнениями, и посвящена данная работа.

Первой из рассматриваемых задач является задача об изучении на поверхностях метрик, экстремальных для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами Д. В данной задаче рассматриваются зависящие от метрики д собственные числа Л¿(#) в спектральной задаче (0.1) для оператора Ь = А и изучаются метрики, экстремальные для функционала д I—»• \{д). Данная задача восходит к пионерским работам Херша и Яу семидесятых-восьмидесятых годов прошлого века и является обобщением на случай римановой геометрии задачи о геометрической оптимизации собственных чисел в задаче Дирихле для областей в евклидовых пространствах, впервые изучавшейся ещё Рэлеем. Данная задача находится на сты-

ке дифференциальной геометрии, геометрического анализа и дифференциальных уравнений и является крайне трудной и весьма актуальной. Тем не менее, в последнее десятилетие в работах Илиаса, Надирашвили, Полте-ровича, Эль Суфи, Якобсона и других произошёл значительный прогресс в решении данной задачи. Особенно важным для исследований автора явились результаты Эль Суфи и Илиаса, базирующиеся не более ранних идеях Надирашвили, о связи экстремальных метрик с минимальными погружениями в сферы. Приведённые в диссертации результаты автора развивают теорию экстремальных метрик на поверхностях и предлагают метод нахождения экстремальных метрик на торах и бутылках Клейна.

Второй из рассматриваемых задач является задача о топологии подмногообразий уровня интегралов интегрируемых систем. В случае, если скобка Пуассона или интегралы имеют особые точки, теорема Лиувилля-Арнольда, говорящая, что компактные подмногообразия уровня интегралов являются торами, не выполняется, что приводит к тому, что в некоторых известных интегрируемых системах топология подмногообразий уровня интегралов нетривиальна. Если рассматриваемая система имеет представление Лакса Ь = [Ь,А], то соответствующий поток определён всюду, несмотря на сингулярность скобки Пуассона или гамильтониана, а подмногообразие уровня интегралов является изоспектральным подмногообразием лаксовых матриц Ь, что приводит нас к спектральной задаче (0.1) для оператора Лакса Ь. Данная задача на примере цепочки Тоды, которой соответствует изоспектральное многообразие якобиевых матриц, изучалась в пионерских работах Томеи и Фрида, а в наше время топология этого изоспектрального многообразия снова оказалась в центре внимания после

совсем недавних работ Гайфуллина, в которых оно возникло в классической проблеме Стинрода о реализации циклов. В диссертации изучается вопрос о топологии изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю, являющегося подмногообразием уровня интегралов системы Вольтерра.

Третья задача заключается в построении алгебро-геометрической спектральной теории для двумерного гиперболического полудискретного оператора Шрёдингера и её применении к геометрическому описанию преобразований Лапласа таких операторов и их связи с двумерной цепочкой То-ды. Таким образом, в этот раз спектральная задача (0.1) рассматривается для полудискретного гиперболического двумерного оператора Шрединге-ра

(Ьф)п = ап(у)фп(у) + Ьп(у)ф'п(у) + сп(у)фп+1(у) + (1п{у)ф'п+1(у),

Алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных операторов Шрёдингера была впервые описана в 1976 году Дубровиным, Кричевером и Новиковым, которые рассматривали периодические двумерные операторы Шрёдингера. Оказалось, что возможно восстановить исходный оператор по его геометрическим спектральным данным, включающим спектральную кривую, дивизор полюсов функции ф и т.д. Позднее Новиков и Веселов изучали случай потенциальных операторов, а обратная спектральная задача для дискретного оператора изучалась Кричевером. Несмотря на уже тридцатисемилетнюю историю изучения алгебро-геометрической спектральной теории для двуменых операторов, данная тема не теряет своей актуальности и продолжает развиваться.

Четвёртой рассматриваемой задачей является не теряющая своей акту-

альности задача об изучении связи геометрии скобок Пуассона и алгебро-геометрических спектральных данных, открытой еще в 1976 году Флаш-кой и Маклафлином на примерах уравнения Кортевега-де Фриза и цепочки Тоды с периодическими граничными условиями. Априори совершенно непонятно, почему должна существовать связь между парами Лакса и гамильтоновым формализмом соответствующих уравнений, что и делает эту задачу крайне интересной. Позже этот феномен был обнаружен и в других примерах. Это привело Новикова и Веселова к теории алгебро-геометрических скобок Пуассона на универсальном расслоении гиперэллиптических кривых, а уже в недавнее время Кричевер и Фонг предложили общий подход к конструированию симплектических форм, возникающих в солитонных уравнениях. В диссертации этот феномен связи лаксова и гамильтонова формализма исследуется для системы Вольтерра и уравнения Камассы-Холма с периодическими граничными условиями.

Изложим теперь каждую из рассматриваемых задач более подробно. Так как рассматриваемых в данной диссертации задач четыре, то и текст разбит на четыре соответствующие главы.

В главе 1 рассматривается спектральная задача (0.1), в которой оператор Ь — это оператор Лапласа-Бельтрами Д на компактной поверхности М без края с римановой метрикой д. В данной ситуации спектр оператора Лапласа-Бельтрами дискретен

0 = А0(М, д) < А!(М, д) <С \2(М,д) ^ ...,

и собственные числа Аг зависят не только от гладкой структуры на М, но и от выбора метрики д. Таким образом, зафиксировав гладкую структуру на М, можно рассматривать собственные числа оператора Лапласа-

Бельтрами как функционалы на пространстве римановых метрик на М. Тогда возникает естественная мысль изучить для фиксированной гладкой структуры на М супремум функционала на пространстве всех

(гладких) римановых метрик д на М. Эта задача тривиальна, так как спектр оператора Лапласа-Бельтрами А обладает следующим свойством масштабирования,

Поэтому вместо \(М,д) лучше рассматривать функционалы

Аг(М,д) = \{М,д) Агеа(М,<?),

где Агеа(М, д) обозначает площадь, которые инвариантны при преобразованиях д и->

Оказывается, что вопрос о нахождении супремума эирЛ^М, д) функционала Аг(М,д) на пространстве всех римановых метрик д на фиксированной поверхности М является очень трудным, и к настоящему времени получено сравнительно мало результатов.

Благодаря работам Янга и Яу [66] и Кореваара [41] известно, что для поверхностей для любого индекса г величина эир Л^(М, д) конечна. Заметим, что, как доказали Кольбуа и Додзюк [13], для многообразий размерности больше 2 это неверно.

Будем называть метрику максимальной, если на ней достигается супремум функционала А{(д), и экстремальной, если при аналитических вариациях произведение производных по параметру справа и слева неположительно. Такое определение экстремальной метрики принадлежит На-дирашвили [51] и Эль Суфи и Илиасу [19, 20], и мотивировано тем, что

функционал Аг(М,д) непрерывно зависит от метрики д, но не является дифференцируемым, но для аналитических деформаций ^ правая и левая производные функционала д^ по отношению к £ существуют, см. работы Берже [4], Бандо и Уракавы [3], Эль Суфи и Илиаса [20].

Как показывает опыт, естественные экстремальные задачи, возникающие в дифференциальной геометрии, являются трудными и часто приводят к содержательным и трудным задачам дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что изучением максимальных и экстремальных метрик занимались такие математики, как Яу, Надирашвили и другие, известных результатов весьма мало. Максимальные метрики известны лишь для поверхностей рода 0 и 1, про экстремальные метрики также известно крайне мало.

Если быть точным, то про максимальные метрики в настоящее время известны следующие результаты:

• максимальной метрикой для Л1(§2,д) является стандартная метрика на сфере (Херш, [29]),

• максимальной метрикой для Л^И&Р2,^) является стандартная метрика на проективной плоскости (Ли и Яу, [46]),

• максимальной метрикой для Ах(Т2,^) является метрика на равностороннем торе (Надирашвили, [51]),

• максимальной метрикой для первого собственного числа ЛДШЬ, д) на бутылке Клейна является метрика на биполярной поверхности Лоусо-на г3д (Эль Суфи, Джакомини и Жазар, [18]).

• Надирашвили доказал [52], что

8ирА2(§2^) = 16тг,

и это значение достигается как предел значений А2(§2,д) на последовательности гладких метрик, сходящейся к сингулярной метрике, получающейся на объединении двух сфер равного радиуса со стандартной метрикой, касающихся друг друга в одной точке.

К моменту, когда автор начал исследование экстремальных метрик, были известны следующие экстремальные метрики:

• единственной экстремальной метрикой для Л^ТТ2, д), отличной от уже упомянутой выше максимальной метрики на равностороннем торе, является метрика на клиффордовом торе (Эль Суфи и Илиас, [19]),

• описаны функционалы АДМ, д), для которых экстремальными являются метрики на биполярных поверхностях Лоусона Я-> §4 (Ля-пуант, [44]).

Дальнейшее развитие в данной области основано на опубликованной в 2008 году теореме Эль Суфи и Илиаса [20], связывающей экстремальные метрики с минимальными погружениями в сферы и с подсчитывающей собственные числа функцией Вейля

ЛГ(А) = #{А^< А}.

Данная теорема явилась отправной точкой для исследования автором экстремальных метрик.

В главе 1 излагаются результаты автора из работ [59, 60], в которых предлагается практический метод нахождения примеров экстремальных

метрик на торах и бутылках Клейна, проиллюстрированный на примере тау-поверхностей Лоусона в работе [59] и на примере торов Оцуки в работе [60]. Данный метод основан на теореме Эль Суфи-Илиаса, разделении переменных, теореме Штурма об осцилляции решений периодической задачи Штурма-Лиувилля и анализе собственных чисел возникающей вспомогательной периодической задачи Штурма-Лиувилля. Например, в случае тау-поверхностей Лоусона в работе [59] ключевыми элементами этого анализа оказываются теория уравнения Ламе и теория уравнения Магнуса-Уинклера-Айнса.

Согласно теореме Эль Суфи-Илиаса, экстремальные метрики являются метриками на поверхностях, минимальных в сферах, что вызывает естественный интерес к минимальным торам в сферах. Хотя задача описания минимальных торов в сферах считается решённой методами конечнозонно-го интегрирования, даваемые таким методом ответы весьма неявные, и не могут быть использованы для наших нужд, по крайней мере, в настоящее время. Поэтому в главе 1 не только изучаются экстремальные спектральные свойства тау-поверхностей Лоусона (которые описываются явными уравнениями) и торов Оцуки (которые описываются неявной конструкцией Сяна-Лоусона), но и предлагается новый метод расширения семейств минимальных торов в сферах. В качестве примера двухпараметрическое семейство тау-поверхностей Лоусона расширяется до трёхпараметрическо-го семейства Тадс минимальных поверхностей в сферах, являющихся в зависимости от чётности а, Ъ и с торами или бутылками Клейна. Затем мы изучаем экстремальные спектральные свойства нового семейста Тадс.

Заметим, что метрики на построенных автором поверхностях Тадс

включают обе метрики, экстремальные для первого собственного числа на торе, то есть метрику на клиффордовом торе т\д = Т11уд, метрику на равностороннем торе М\д = Т\д;2, а также, как мы покажем в разделе 1.15, метрику на бутылке Клейна тзд = Т^о,2, максимальную для первого собственного числа на бутылке Клейна. Таким образом, семейство Та,ь,с включает в себя все поверхности, несущие экстремальные метрики для первого собственного числа на торе и бутылке Клейна и является в этом смысле универсальным.

Заметим также, что семейство Тадс включает в себя не только двухпара-метрическое семейство тау-поверхностей Лоусона тт^ = Тт к ут2+к2, но и ещё одно интересное двухпараметрическое семейство торов = Тт^,т+к минимальных в сферах. Семейство Мт^ было впервые описано в конформных координатах Джойсом в работе [35] и Хаскинсом в работе [28], но в параметризации как у Тт^,т+к это семейство впервые появилось в работе Миронова [49]. Детальное исследование семейства в том числе и экстремальных спектральных свойств, может быть найдено в работе Карпухина [38]. В работах Миронова это семейство возникло при конструировании гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразий в Сп и СРП с помощью метода, основанного на пересечении вещественных квадрик специального вида, см. работу Миронова [90].

Если до работ автора единственными известными примерами экстремальных метрик, кроме максимальных, были клиффордов тор и биполярные поверхности Лоусона, то применение предлагаемого метода позволило изучить значительное количество новых экстремальных метрик, так как после работ автора [59, 60] данный метод был упрощён и успешно при-

менён в новых случаях учеником автора Карпухиным в работах [37, 38] для биполярных торов Оцуки и описанного выше двухпараметрического семейства торов минимальных в §5. Карпухин также доказал в работе [83], что все полученные экстремальные метрики за исключением двух не являются максимальными.

В главе 2 излагаются результаты автора из работ [57, 94, 95], посвященных изучению топологии изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю, являющегося многообразием уровня интегралов для системы Вольтерра

-^Г = ип(ип+1 - «„_!) (0.2)

с нулевыми граничными условиями щ = идг+1 = 0. Отметим, что мы не предполагаем положительность внедиагональных элементов в определении якобиевых матриц. Интерес к данной задаче был обусловлен тем, что распространено мнение, что раз теорема Лиувилля-Арнольда говорит, что компактные многообразия уровня интегралов интегрируемых по Лиувил-лю систем являются торами, то никакой интересной топологии у таких многообразий быть не может. Но на самом деле в содержательных задачах часто скобки Пуассона вырождены или гамильтониан сингулярен на некотором подмножестве, а в дополнении к этому подмножеству многообразия уровня интегралов не являются компактными. В результатае эти дополнения являются цилиндрами, которые глобально склеиваются в многообразия весьма нетривиальной топологии.

Впервые это было замечено, по-видимому, Томеи [64], который изучал нетривиальную топологию изоспектрального многообразия якобиевых матриц, являющегося подмногообразием уровня интегралов конечной

непериодической цепочки Тоды. Томеи удалось описать топологию с помощью пермутаэдров и найти эйлерову характеристику. Его исследования были продолжены Фридом [26], который нашёл гомологии изоспектраль-ного многообразия якобиевых матриц. Отметим также недавнюю замечательную работу Гайфуллина [76], нашедшего применение этого многообразия в классической проблеме Стинрода о реализации циклов.

В случае системы Вольтерра (0.2) известно, что она эквивалентна уравнению Лакса

Ь = [Ь,А\

с оператором Ь вида

0 С\ 0 .. . 0

С1 0 С2

0 С2 0 ' (0.3)

: '•■ 0 Сдг

^ 0 ...... сдг 0

где Сг = у/щ. Поэтому нам удобно сделать замену

щ = с]

и работать с уравнением

¿г = - С?-1)> С0 = Ск = 0,

не накладывая никаких условий на знак С{. В результате возникает спектральная задача (0.1) для оператора Ь вида (0.3), а интегралы системы Вольтерра — это собственные числа оператора Ь. Таким образом, фазовое пространство системы Вольтерра естественным образом отождествляется

с пространством якобиевых матриц с нулевой диагональю, то есть матрицами вида (0.3), а многообразия уровня интегралов системы Вольтерра — это изоспектральные многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю, то есть многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю с некоторым фиксированным спектром. Отметим, что мы не предполагаем положительность внедиагональных элементов в определении якобиевых матриц.

Сначала изложены необходимые для исследования топологии этого изо-спектрального многообразия результаты работы автора [57], в которой доказывается, что система Вольтерра с нулевыми граничными условиями является градиентным потоком для некоторой простой функции и некоторой естественной метрики.

Интерес к градиентным интерпретациям восходит к работе Мозера [50], в которой предложена неявная градиентная интерпретация конечной непериодической цепочки Тоды. Двадцать лет спустя Блох, Брокетт и Рэтью [5] предложили отличное от мозеровского градиентное описание конечной непериодической цепочки Тоды.

Предлагаемое автором представление системы Вольтерра в градиентном виде основано на модифицированной идее двойного скобочного представления, предложенной в работе [5]. Отметим, что, так же как и в случае цепочки Тоды, получающаяся градиентная интерпретация не является единственно возможной: известный изоморфизм между этими двумя задачами (см., например, [68]) и результаты [5] позволяют дать еще одно градиентное представление для системы Вольтерра с нулевыми граничными условиями. Предлагаемая в данной работе интерпретация представляется

более естественной, так как и функция, и метрика имеют относительно простую форму.

Заметим, что этот результат на первый взгляд также кажется противоречащим теореме Лиувилля-Арнольда, которая утверждает, что динамика на компактных подмногообразиях уровня интегралов является периодической или квазипериодической, что несовместимо с градиентностью потока. Объяснение этого мнимого противоречия, как и раньше, оказывается в вырождении скобок Пуассона или сингулярностях гамильтониана в некоторых точках.

Далее излагаются результаты работ автора [94, 95]. В частности, доказывается, что производящая функция эйлеровых характеристик изоспек-тральных многообразий якобиевых матриц с нулевой диагональю выражается явно через гиперболический тангенс, поэтому сами эйлеровы характеристики явно выражаются через числа Бернулли, поэтому с ростом размера матрицы эти эйлеровы характеристики стремительно растут, что говорит о большой топологической сложности. Эйлерова характеристика Мк вычисляется, используя градиентность поток Вольтерра. Подход близок к подходу Томеи [64], но комбинаторика точек равновесия потока Вольтерра и их индексов гораздо сложнее.

В настоящее время не ясно, как вычислять группы гомологий. Стабильная и нестабильная стратификации не являются клеточными комплексами в этом случае, а потому невозможно применить прямой подход, подобный подходу Фрида [26]. Как уже было сказано выше, поток Вольтерра является градиентным потоком, что приводит нас к естественной идее найти группы гомологий, используя комплекс Морса. К сожалению, мы не мо-

жем использовать комплекс Морса для нахождения групп гомологий, так как стабильная и нестабильная стратификации не трансверсальны друг другу. Вопрос вычисления групп гомологий остаётся открытым, насколько это известно автору.

В качестве примера сложности топологии достаточно сказать, что изо-спектральное многообразие якобиевых матриц 5 х 5 с нулевой диагональю является компактной поверхностью рода 5, что может показаться довольно неожиданным, потому что это многообразие определено простыми уравнениями

4 + с2 + с\ + с\ — 44 + 4С1 + 44 =

в пространстве К4 переменных с\,..., С4. Соответствующие иллюстрации читатель может найти в конце главы 2.

В главе 3 приводятся результаты автора, касающиеся полудискретного гиперболического двумерного оператора Шредингера, из совместной работы с Обломковым [55], которая состоит из принадлежащих автору результатов о полудискретном операторе и принадлежащих Обломкову результатов о полностью дискретном операторе. Результаты Обломкова, касающиеся полностью дискретного оператора, в данной диссертации опущены.

Главным действующим лицом является в этот раз спектральная задача (0.1) для полудискретного гиперболического двумерного оператора Шредингера

{Ьф)п = ап{у)фп(у) + Ъп{у)ф'п{у) + сп(у)фп+1{у) + ¿п{у)ф'п+1(у), (0.4)

рассматриваемого на пространстве функций ф, являющимися функциями Флоке по обеим переменным — и по непрерывной переменной у, и по дискретной переменной п.

Интерес к преобразованиям

Ь = ±(дх + А){ду + В) + }¥ ^ Ь = + В]УУ~\дх + А) + Ж,

Ь = ±(0у + В)(дх + А) + К и- Ь = ^У(дх + А)У~\ду + В) + У

двумерного гиперболического оператора Шрёдингера

^ = \дхду + Рдх + йду + Я

восходит к Лапласу.

Преобразования Лапласа полезны в теории конгруэнций поверхностей в Е3 и изучались в работах Дарбу, Цицейки и других, ссылки и развёрнутое изложение данного вопроса могут быть найдены в работе [91]. Уже тогда было замечено, что цепочка преобразований Лапласа

..., Ь-х, Ьо, Ь1,...

где Ь{+1 = эквивалетна нелинейному уравнению

^дхдудп = е9п+1~9п - е9п'9п~\

называемого теперь двумерной цепочкой Тоды. Её интегрируемость с разных точек зрения была исследована Михайловым [89], Форди и Гиббон-сом [25], Лезновым и Савельевым [87], Булгадаевым [7].

Также изучались и различные обобщения преобразований Лапласа, детальный обзор может быть найден в работе [91]. Среди этих обобщений были преобразования Лапласа для двумерного эллиптического оператора Шрёдингера,

Ь = \{д + В)(д + А) + У, д = дх- гду,

¿и

и преобразования Лапласа дискретного двумерного гиперболического оператора Шрёдингера,

п,т — ап,тФп,т Ьп^тфп+1угп + Сп,тФп,т+1 д,п^тфп+1,ш+1- (0-5)

В обоих случаях цепочки преобразований Лапласа связаны с соответствующими версиями двумерной цепочки Тоды. В случае эллиптического оператора Шрёдингера один из главных результатов касается описания циклической цепочки преобразований Лапласа, то есть такой, что Ьдг = для некоторого N. Как было доказано Новиковым и Веселовым в работах [54, 73], если рассматривать циклические цепочки преобразований Лапласа периодических эллиптических операторов Шрёдингера, то тогда операторы в таких цепочках являются топологически тривиальными алгебро-геометрическими операторами.

Эти результаты были мотивацией для исследований автором преобразований Лапласа двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера (0.4).

Напомним, что алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных операторов Шрёдингера была впервые описана в 1976 году Дубровиным, Кричевером и Новиковым в работе [79]. В этой теории рассматривались периодические двумерные операторы Шрёдингера. Оказалось, что решения Флоке уравнения Ьф = 0 являются функциями Бейкера-Ахиезера на спектральной кривой в пространстве множителей Флоке, и что возможно восстановить исходный оператор по его геометрическим спектральным данным, включающим спектральную кривую, дивизор полюсов функции ф и т.д. Позднее Новиков и Веселов изучали случай потенциальных операторов в работе [71]. Обратная спектральная задача для дискретного опе-

ратора (0.5) изучалась Кричевером [86].

Насколько известно автору, алгебро-геометрическая спектральная теория полудискретных операторов (0.4) до работы [55] не изучалась. В главе 3 развивается алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шрёдингера. Прямая спектральная задача решается с использованием теории Флоке для периодических линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Оказывается, что алгебро-геометрическими спектральными данными являются компоненты набора (Г, Р^, Q, [A]i, Т> = R\ -f • • • + Rg), состоящего из кривой Г рода д, набора из 2N точек Р^ и дополнительной точки Q вместе с 1-струей [A]i локальной координаты А в точке Q, а также дивизор общего положения V = + • —\- Rg. Обратная спектральная задача также решена.

Используя построенную алгебро-геометрическю спектральную теорию, мы изучаем спектральные свойства преобразований Лапласа полудискретных операторов Шрёдингера (3.3). Преобразования Лапласа описаны как сдвиги на якобиане спектральной кривой, так как оказывается, что преобразование Лапласа действует на спектральных данных следующим образом: Г, P¿+, Q, и [Л]i остаются неизменными, а точки Pf и дивизор V изменяются по правилу

V = V + Pr-Q, Рг~ = Р-+1.

Это делает возможным находить решения соответствующей полудискретной двумерной цепочки Тоды в терминах тета-функций. Напомним, что решения обычной гиперболической двумерной цепочки Тоды в терминах тета-функций были найдены Кричевером [84].

В 1976 году Флашка и Маклафлин в работе [24] показали на примерах уравнения Кортевега-де Фриза и цепочки Тоды с периодическими граничными условиями, что переменные, возникающие естественным образом из спектральной теории и алгебраической геометрии, имеют «хорошие» сим-плектические свойства. Это было довольно неожиданно, так как априори совершенно непонятно, почему должна существовать связь между парами Лакса и гамильтоновым формализмом соответствующих уравнений. Позже этот феномен был обнаружен и в других примерах. Это привело Новикова и Веселова к теории алгебро-геометрических скобок Пуассона на универсальном расслоении гиперэллиптических кривых [53, 70, 72].

Позднее Кричевер и Фонг предложили в работах [42, 43] общий подход к конструированию симплектических форм, возникающих в солитонных уравнениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пенской, Алексей Викторович, 2013 год

Литература

[1] M. S. Alber, R. Camassa, Fedorov Yu. N., Holm D. D., Marsden J. E., The complex geometry of weak piecewise smooth solutions of integrable nonlinear PDE's of shallow water and Dym type. Comm. Math. Phys., v. 221 (2001), № 1, p. 197-227.

[2] Arscott F. M., Periodic differential equations. An introduction to Mathieu, Lamé and allied functions. International Series of Monographs in Pure in Applied Mathematics, Vol. 66. New York: A Pergamon Press book. The McMillan Co., 1964.

[3] Bando S., Urakawa H., Generic properties of the eigenvalue of Laplacian for compact Riemannian manifolds, Tôhoku Math. J., v. 35 (1983), № 2, p. 155-172.

[4] Berger M., Sur les premières valeurs propres des variétés Riemanniennes, Compositio Math. v. 26 (1973), p. 129-149.

[5] Bloch A.M., Brockett R. W., Ratiu T. S., Completely Integrable Gradient Flows, Comm. Math. Phys., v. 147 (1992), № 1, p. 57-74.

[6] Bobenko A. I., Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A., The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations, and explicit solutions, Comm. Math. Phys., v. 122 (1989), № 2, p. 321-354.

[7] Bulgadaev S.A., Two-dimensional integrable field theories connected with simple Lie algebras, Phys. Lett. B, v. 96 (1980), № 1-2, p. 151-153.

[8] Burstall F. E., Harmonic tori in spheres and comples projective spaces, J. Reine Angew. Math., v. 469 (1995), p. 149-177.

[9] Camassa R., Holm D., An integrable shallow water equation with peaked solutions, Phys. Rev. Lett., v. 71 (1993), №11, p. 1661-1664.

[10] Carberry E., Minimal tori in S3, Pacific J. Math., v. 233 (2007), № 1, p. 41-69.

[11] Carberry E., Harmonic Maps and Integrable Systems, Preprint arXiv:1211.3101.

[12] Coddington E. A., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1955.

[13] Colbois B., Dodziuk J., Riemannian metrics with large Ai, Proc. Amer. Math. Soc., v. 122 (1994), № 3, p. 905-906.

[14] Constantin A., Escher J., Well-posedness, global existence, and blowup phenomena for a periodic quasi-linear hyperbolic equation, Comm. Pure Appl. Math., v. 51 (1998), № 5, p. 475-504.

[15] Constantin A., McKean H.P., A shallow water equation on the circle, Comm. Pure Appl. Math., v. 52 (1999), №8, p. 949-982.

[16] Constantin A., Molinet L., Global weak solutions for a shallow water equation, Comm. Math. Phys., v. 211 (2000), № 1, p. 45-61.

[17] Damianou P. A., The Volterra model and its relation to the Toda lattice, Physics letters A, v. 155 (1991), p. 126-132.

[18] El Soufi A., Giacomini H., Jazar M., A unique extremal metric for the least eigenvalue of the Laplacian on the Klein bottle, Duke Math. J., v. 135 (2006), № 1, p. 181-202.

[19] El Soufi A., Ilias S., Riemannian manifolds admitting isometric immersions by their first eigenfunctions. Pacific J. Math., v. 195 (2000), № 1, p. 91-99.

[20] El Soufi A., Ilias S., Laplacian eigenvalues functionals and metric deformations on compact manifolds, J. Geom. Phys., v. 58 (2008), № 1, p. 89-104.

[21] Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F., Higher transcendental functions, Vol. III. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company Inc., 1955.

[22] Ferus D., Pedit F., S1 -equivariant minimal tori in S4 and S1 -equivariant Willmore tori in S3, Math. Z., v. 204 (1990), № 2, p. 269-282.

[23] Ferus D., Pedit F., Pinkall U., Sterling I., Minimal tori in S4, J. Reine Angew. Math., v. 429 (1992), p. 1-47.

[24] Flaschka H., McLaughlin D.W., Canonically conjugate variables for the Korteweg-de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary conditions, Prog. Theor. Phys., v. 55 (1976), № 2, p. 438-456.

[25] Fordy A. P., Gibbons J., Integrable nonlinear Klein-Gordon equations and Toda lattice, Comm. Math. Phys., v. 77 (1980), № 1, p. 21-30.

[26] Fried D., The cohomology of an isospectral flow, Proc. Amer. Math. Soc., v. 98 (1986), № 2, p. 363-368.

[27] Gesztesy F., Holden H., Algebro-geometric solutions of the Camassa-Holm hierarchy, Rev. Mat. Iberoamericana, v. 19 (2003), № 1, p. 73-142.

[28] Haskins M., Special Lagrangian cones, American J. of Math., v. 126 (2004),

4, p. 845-871.

[29] Hersch J., Quatre propriétés isopérimétriques de membranes sphériques homogènes, C. R. Acad. Sei. Paris Sér A-B, v. 270 (1970), p. A1645-A1648.

[30] Hitchin N. J., Harmonie maps from a 2-torus to the 3-sphere, J. Diff. Geom., v. 31 (1990), p. 627-710.

[31] Hsiang W.-Y., Lawson H. B., Minimal submanifolds of low cohomogeneity, J. Diff. Geom., v. 5 (1971), p. 1-38.

[32] Ince E. L., The periodic Lamé functions, Proc. Royal Soc. Edinburgh, v. 60 (1940), p. 47-63.

[33] Jakobson D., Levitin M., Nadirashvili N., Nigam N., Polterovich I., How large can the first eigenvalue be on a surface of genus two? Int. Math. Res. Not., v. 63 (2005), p. 3967-3985.

[34] Jakobson D., Nadirashvili N., Polterovich I., Extremal Metric for the First Eigenvalue on a Klein Bottle, Canad. J. Math., v. 58 (2006), № 2, p. 381400.

[35] Joyce D., Special Lagrangian m-folds in Cm with symmetries, Duke Math. J., v. 115 (2002), p. 1-51.

[36] Kac M., van Moerbeke P., On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Advances in Math., v. 16 (1975), p. 160-169.

[37] Karpukhin M. A., Spectral properties of bipolar surfaces to Otsuki tori, to appear in J. Spectral Theory. Preprint arXiv: 1205.6316.

[38] Karpukhin M.A., Spectral properties of a family of minimal tori of revolution in five-dimensional sphere, submitted to Canadian Math. Bull. Preprint arXiv: 1301.2483.

[39] Kenmotsu K., A characterization of bipolar minimal surfaces in §4, Tohoku Math. J., v. 26 (1974), p. 587-598.

[40] Kobayashi S., Nomizu K., Foundations of differential geometry, Vol. II, New York-London-Sydney: Interscience Publishers John Wiley h Sons, Inc., 1969.

[41] Korevaar N., Upper bounds for eigenvalues of conformal metrics, J. Differential Geom., v. 37 (1993), № 1, p. 73-93.

[42] Krichever I.M., Phong D.H., On the integrable geometry of soliton equations and N = 2 super symmetric gauge theories, J. Differential Geom., v. 45 (1997), № 2, p. 349-389.

[43] Krichever I. M., Phong D. H., Symplectic forms in the theory of solitons, In "Surveys in differential geometry: integral systems [integrable systems],", p. 239-313, Surv. Differ. Geom., IV, Int. Press, Boston, MA, 1998.

[44] Lapointe H., Spectral properties of bipolar minimal surfaces in §4, Differential Geom. Appl., v. 26 (2008), № 1, p. 9-22.

[45] Lawson H.B., Complete minimal surfaces in S3, Ann. of Math., v. 92 (1970), p. 335-374.

[46] Li P., Yau S.-T., A new conformai invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces, Invent. Math. v. 69 (1982), № 2, p. 269-291.

[47] Magnus W., Winkler S., Hill's equation, New York-London-Sydney: Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.

[48] Magri F., A simple model of integrable Hamiltonian equation, J. Math. Phys., v. 19 (1978), p. 1156-1162.

[49] Mironov A. E., Finite-gap minimal Lagrangian surfaces in CP2, OCAMI Studies Series, v. 3 (2010), p. 185-196.

[50] Moser J., Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential — an integrable system, Lecture Notes in Phys., v. 38 (1975), p. 467-497.

[51] Nadirashvili N., Berger's isometric problem and minimal immersions of surfaces, Geom. Funct. Anal., v. 6 (1996), № 5, p. 877-897.

[52] Nadirashvili N., Isoperimetric inequality for the second eigenvalue of a sphere, J. Differential Geom., v. 61 (2002), № 2, p. 335-340.

[53] Novikov S.P., Action-angle variables and algebraic geometry, Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., v. 126, suppl. 2 (1992), p. 139-150.

[54] Novikov S. P., Veselov A. P., Exactly solvable two-dimensional Schrddinger operators and Laplace transformations, in "Solitons, geometry, and topology: on the crossroad", Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 179, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997, p. 109-132.

[55] Oblomkov A. A., Penskoi A. V., Laplace transformations and spectral theory of two-dimensional semi-discrete and discrete hyperbolic Schrodinger operators, Int. Math. Res. Not. (2005), № 18, p. 1089-1126.

[56] Otsuki T., Minimal hypersurfaces in a Riemannian manifolds of constant curvature, Amer. J. Math., v. 92 (1970), № 1, p. 145-173.

[57] Penskoi A. V., The Volterra lattice as a gradient flow, Regul. Chaotic Dyn., v. 3 (1998), №1, p. 76-77.

[58] Penskoi A. V., Canonically conjugate variables for the periodic Camassa-Holm equation, Nonlinearity, v. 18 (2005), № 1, p. 415—421.

[59] Penskoi A. V., Extremal spectral properties of Lawson tau-surfaces and the Lamé equation, Moscow Math. J., v. 12 (2012), № 1, p. 173-192.

[60] Penskoi A. V., Extremal spectral properties of Otsuki tori, Math. Nachr., v. 286 (2013), № 4, p. 379-391.

[61] Reinhard H.: Differential equations. Foundation and Applications. New York: Macmillan, Inc., 1987.

[62] Sklyanin E. K., Separation of variables. New trends, Progr. Theor. Phys. Suppl., v. 118 (1995), p. 321-354.

[63] Takahashi Т., Minimal immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan, v. 18 (1966), № 4, p. 380-385.

[64] Tomei C., The topology of isospectral manifolds of tridiagonal matrices, Duke Math. J., v. 51 (1984), № 4, p. 981-996.

[65] Volkmer H., Coexistence of periodic solutions of Ince's equation, Analysis, v. 23 (2003), p. 97-105.

[66] Yang P. C., Yau S.-T., Eigenvalues of the laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. v. 7 (1980), № 1, p. 55-63.

[67] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М.: Наука, 1989.

[68] Верещагин В. JL, Спектральная теория однофазных решений цепочки Вольтерра, Мат. Заметки, т. 48 (1990), № 2, с. 145-148.

[69] Веселов А. П., Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы, Функцион. анализ и его прил., т. 22 (1988), № 2, с. 1-13.

[70] Веселов А. П., Новиков С. П., О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конеч-нозонных потенциалов, ДАН СССР, т. 266 (1982), № 3, с. 533-537.

[71] Веселов А. П., Новиков С. П., Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения, Докл. Акад. наук СССР, т. 279 (1984), № 1, с. 20-24.

[72] Веселое А. П., Новиков С. П., Скобки Пуассона и комплексные торы, Тр. МИАН СССР, т. 165 (1984), с. 49-61.

[73] Веселов А. П., Новиков С. П., Точно решаемые периодические двумерные операторы Шрёдингера, УМН, т. 50 (1995), № 6, с. 171-172.

[74] Веселов А. П., Пенской А. В., Алгебро-геометрические скобки Пуассона для дифференциальных операторов и система Вольтерра, Доклады Акад. Наук, т. 366 (1999), № 3, с. 299-303.

[75] Веселов А. П., Шабат А. В., Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шрёдингера, Функц. анализ и его прил., т. 27 (1993), № 2, с. 1-21.

[76] Гайфуллин A.A., Многообразие из о спектральных симметрических трехдиагопальных матриц и реализация циклов асферичными многообразиями, Тр. МИАН, т. 263 (2008), с. 44-63.

[77] Грэхем Р. JL, Кнут Д., Паташник О., Конкретная математика: Основание информатики, М.: Мир, 1998.

[78] Дубровин Б. А., Тэта-функции и нелинейные уравнения, УМН, т. 36 (1981), № 2(218), с. 11-80.

[79] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П., Уравнение Шрёдингера в периодическом поле и римановы поверхности, ДАН СССР, т. 229 (1976), № 1, с. 15-18.

[80] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П., Интегрируемые системы /, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, т.4 (Динамические системы - 4), (1985) с. 179—285.

[81] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П., Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абе-левы многообразия, УМН, т. 31 (1976), № 1, с. 55-136.

[82] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JI. П., Теория солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.

[83] Карпухин М. А., Немаксимальностъ экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна, подано в Матем. Сб. Preprint arxiv: 1210.8122.

[84] Кричевер И.М., Периодическая неабелева цепочка Тоды и ее двумерное обобщение, УМН, т. 36 (1981), № 2, с. 72-77, приложение к [78].

[85] Кричевер И. М., Нелинейные уравнения и эллиптические кривые, В сб. «Современные проблемы математики. Т.23.» (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М.: 1983. с. 79-136.

[86] Кричевер И.М., Двумерные периодические разностные операторы и алгебраическая геометрия, ДАН СССР, т. 285 (1985), № 1, с. 31-36.

[87] Лезнов А. Н., Савельев М.В., Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М.: Наука, 1985.

[88] Манаков С. В., О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах, ЖЭТФ, т. 67 (1974), № 2, с. 543555.

[89] Михайлов А. В., Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода, Письма в ЖЭТФ, т. 30 (1979), № 7, с. 443-448.

[90] Миронов А. Е., О новых примерах гамилътоново-минималъных и минимальных лагранжевых подмногообразий е Сп и СР™, Матем. Сб., т. 195 (2004), № 1, с. 89-102.

[91] Новиков С. П., Дынников И. А., Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях, УМН, т. 52 (1997), № 5, с. 175-234.

[92] Обломков А. А., О разностных операторах на двумерных правильных решетках, ТМФ, т. 127 (2001), № 1, с. 34-46.

[93] Пенской А. В., Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями, Матем. заметки, т. 64 (1998), , № 1, с. 115-128.

[94] Пенской А. В., Система Вольтерра и топология изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю, УМН, т. 62 (2007), № 3(375), с. 213-214.

[95] Пенской А. В., Интегрируемые системы и топология изоспектраль-ных многообразий, ТМФ, т. 155 (2008), № 1, с. 140-146.

[96] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука. 1986.