Геометрия и гамильтонов формализм интегригуемых цепочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Пенской, Алексей Викторович

• Пенской, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пенской, Алексей Викторович

Содержание

Введение

1. Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями

§1.1. Система Вольтерра, оператор Якоби и гиперэллиптические кривые

§1.2. Канонически сопряженные переменные для

квадратичной скобки Пуассона

§1.3. Канонически сопряженные переменные для

кубической скобки Пуассона

§1.4. Схема Ленарда-Магри и явный вид интегралов. 28 §1.5. Серия интегралов и голоморфные дифференциалы

2. Алгебро-геометрические ско6здф#:Пуассона для разностных операторов й ?йастема Вольтерра

§2.1. Алгебро-геометрические скобки Пуассона

3. Система Вольтерра как градиентный поток

4. Дискретные лагранжевы системы на группе Вирасоро

§4.1. Конструкция симметричных и правоинвари-

антных лагранжианов

§4.2. Лагранжианы, зависящие только от первой

производной диффеоморфизма

§4.3. Лагранжианы, зависящие от нескольких производных диффеоморфизма

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия и гамильтонов формализм интегригуемых цепочек»

Введение

Одним из замечательнейших достижений математики XIX века является теория классических интегрируемых систем. В работах Якоби, Вейерштрасса, Ковалевской, Неймана и других в результате синтеза идей алгебраической и дифференциальной геометрии и теории аналитических функций были достигнуты значительные результаты в интегрировании динамических систем классической механики. Однако после работ Пуанкаре в начале XX века интересы сместились от точного интегрирования к качественным методам исследования динамических систем.

Новый период в теории интегрируемых систем начался в шестидесятых годах нашего столетия с открытием метода обратной задачи рассеяния. Созданный для интегрирования уравнения Кортевега - де Фриза, этот метод скоро нашел гораздо более широкие приложения.

Вскоре после этого в работах С. П. Новикова, Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева, А. Р. Итса, И. М. Кричевера и других [3], [4], [5], [6], [15], [16], [17], [20] в результате синтеза идей алгебраической геометрии, спектральной теории и гамильтоновой геометрии появился метод ко-нечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования. Для конечномерных систем этот метод позволил не только проинтегрировать их, но и выписать их решения явно в ^-функциях.

Одним из популярных приложений методов обратной задачи и конечнозонного интегрирования являются интегрируемые цепочки, такие как цепочки Тоды, система Воль-терра и другие (см., например, [4], [5], [17]). Система Воль-терра находится в центре внимания в первых трех главах

настоящей работы.

Система Вольтерра

¿г = сг'(сг'+1 — сг- \ )

возникла впервые в работах В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование [38] и описывает динамику популяций видов в иерархической структуре «хищник-жертва», где особи ¿-го вида суть хищники для г + 1-го и жертвы для % — 1-го. Также система Вольтерра возникает в физике, где описывает тонкую структуру спектров ленгмюровских колебаний в плазме [14], [19], поэтому иногда называется «Ленгмюровской цепочкой». В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение КдФ (см., например, [23]), поэтому иногда называется еще «дискретным КдФ».

С. В. Манаков [19] и независимо М. Кац и П. ван Мер-беке [29] доказали интегрируемость системы Вольтерра.

Исследованию системы Вольтерра посвящены многие работы, см., например, [1], [5], [7], [18], [19], [23], [26], [29], [32], различные ее обобщения рассмотрены в [1], детальное обсуждение можно найти в [22].

Новый период теории интегрируемых систем характеризуется повышением интереса к гамильтонову формализму и симплектической геометрии. С одной стороны, отметим работы И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфман [2], Ф. Магри [30], в которых введено и исследовано важное понятие согласованных скобок Пуассона. С другой стороны, в теории интегрируемых систем имеется следующее замечательное явление: переменные, естественные с точки зрения спектральной теории и алгебраической геометрии, обладают «хорошими» симплектическими свойствами.

Впервые это было отмечено, по-видимому, Г. Флаш-кой и Д. Маклафлином на частных примерах уравнения КдФ и цепочки Тоды [27]. Попытка сформулировать это явление в математически аккуратной форме привела С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35], к понятию алгебро-геометрической (аналитической) скобки Пуассона

на универсальном пространстве расслоения гиперэллиптических кривых (или пространстве конечнозонных потенциалов Шредингера).

Целью первых двух глав настоящей работы является обобщение результатов работ [11], [12], [27], [35] на случай системы Вольтерра.

Интерес к подобному обобщению был вызван, в частности, тем, что соответствующие спектральные кривые обладают дополнительной симметрией. Это приводит к тому, что число полюсов собственной функции (разностного аналога функции Бейкера-Ахиезера) вдвое превосходит число угловых переменных. Тем самым, общий рецепт, сформулированный впервые, по-видимому, Е. К. Скляниным [36] о том, что координаты этих полюсов являются координатами разделения переменных, оказывается неприменимым (по крайней мере, буквально).

В нашем случае оказывается, что можно выделить (неоднозначно) ровно половину полюсов, в координатах которых каноническая 1-форма имеет «разделенный» вид.

Отметим, что в аналогичном, но гораздо более сложном случае обобщенного волчка Ковалевской, где спектральная кривая также обладает симметрией [25] подобный вопрос до сих пор, насколько известно автору, не исследован.

Известно, что система Вольтерра является гамильто-новой относительно двух согласованных скобок Пуассона (см., например, [22], [26]): квадратичной

{Сг,С^1 = СзСД^+х^- -

и кубической

{сг-, С]}2 = сг-сДсг- + с?-)(5г-+1^- - 5г-_1)?')+

Первая глава диссертации посвящена построению при периодических граничных условиях (то есть при условии С{+т = С{) для обеих упомянутых скобок канонически со-

пряженных переменных, то есть таких координат б/г-, что

\PhPj} = {РьЧз} = {<И,Яз} = 0.

Рассмотрим связанный с системой Вольтерра оператор Якоби

(1у)(п) = ап+\у(п + 1) + а„у(п - 1), щ = (0.1)

и соответствующую спектральную задачу

(1у)(п) = Ху(п)

с периодическим условием аг-+г = щ. Рассмотрим такие собственные значения 7г-, что существует такое решение спектральной задачи

(1у)(п) =7 ¿у(п),

что ?/(0) = у(Т) = 0. Как и в случае цепочки Тоды и уравнения КдФ, рассмотренном Г. Флашкой и Д. Маклафли-ном [27], 7г- оказываются в инволюции относительно обеих скобок. Теоремы 1.1 и 1.5 содержат точную формулировку данного результата и явный вид сопряженных к ним величин. Теорема 1.12 и следствие 1.13 дают также полное описание аннуляторов для обеих скобок, таким образом глава 1 содержит полное описание квадратичной и кубической скобок в периодическом случае.

В главе 2 с помощью результатов главы 1 вводится обобщение рассмотренных скобок в случае нечетного периода. В четном случае спектральные кривые имеют другую геометрию симметрий, что приводит к заметным отличиям и дополнительным трудностям в соответствующей теории. Для этого вводится специальное расслоение, база которого состоит из параметров, определяющих спектральные кривые, а слой состоит из дивизоров, инвариатных относительно специальной инволюции. Универсальное пространство такого расслоения изоморфно пространству пе-

риодических операторов Якоби вида (0.1) и, таким образом, фазовому пространству системы Вольтерра. Структура этого расслоения согласована как с динамикой системы Вольтерра (гиперэллиптические якобианы суть интегральные уровни системы Вольтерра), так и со структурой рассмотренных скобок Пуассона. Это позволяет ввести целый класс алгебро-геометрических скобок Пуассона на пространстве операторов вида (0.1). Такие скобки согласованы со структурой расслоения. Они задаются аннулятором А(Г), который зависит лишь от проекции точки на базу расслоения и некоторой мероморфной формой Q(T: A) d\, которая удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. На симплектических листах А(Г) = const алгебро-геометрическая скобка задается своей пред-симплектической формой а — pdq, равной

Далее в главе 2 рассматривается естественное обобщение потоков Вольтерра — высшие потоки Вольтерра, после чего вводится понятие согласованности: алгебро-геометрическая скобка Пуассона назывется согласованной с высшими потоками Вольтерра, если все они гамильто-новы в данной скобке. Теорема 2.2 дает описание таких скобок, а именно:

a) Если алгебро-геометрическая скобка Пуассона согласована с высшими потоками Вольтерра, то с точностью до членов с коэффициентами из аннулятора имеет место разложение в одной из бесконечно удаленных точек

Q(r, A) =J22hk\~2k-1 (mod A-2jV-2),

где hk — гамильтониан &-того потока Вольтерра.

b) Скобка согласована с потоками Вольтерра тогда и только тогда, когда производные Q(T, X)d\ вдоль базисных векторных полей, касательных к поверхности уровня аннулятора, образуют базис в пространстве сг-инвариантных голоморфных дифференциалов на Г, где а — каноническая инволюция на спектральных кривых.

Таким образом, глава 2 довольно подробно описывает алгебро-геометрические скобки, согласованные с высшими потоками Вольтерра. Данные результаты являются обобщениями на случай Вольтерра результатов работ С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35].

Глава 3 посвящена градиентной интерпретации системы Вольтерра с нулевыми граничными условиями. Интерес к градиентным интерпретациям восходит к работе Ю. Мо-зера [31], в которой предложена неявная градиентная интерпретация цепочки Тоды. Двадцать лет спустя А. Блох, Р. Брокетт и Т. Рэтью [24] предложили отличное от мозе-ровского градиентное описание цепочки Тоды. Наше представление цепочки Вольтерра в градиентном виде основано на той же идее двойного скобочного представления (см. [24]). Отметим, что также как и в случае цепочки Тоды получающаяся градиентная интерпретация не является единственно возможной: известный изоморфизм между этими двумя задачами (см., например, [7]) и результаты [24] позволяют дать еще одно градиентное представление для цепочки Вольтерра. Наша интерпретация, содержащаяся в теореме 3.1, представляется более естественной. Отметим, что градиентное описание цепочки Тоды использовалось для исследования нетривиальной геометрии изоспектрального многообразия в работах К. Томен [37] и Д. Фрида [28].

В главе 4 исследуются лагранжевы системы с дискретным временем [10]. Лагранжевыми системами с дискретным временем описываются стационарные точки функционалов вида

S(x) = J2 L(xk,xk+i),

kzZ

где х = (хь),к G Z, — последовательность точек на многообразии М, L — функция на М х М, называемая лагранжианом. При изучении таких систем на группах Ли особый интерес представляют такие лагранжианы, которые являются симметричными и лево- или правоинвариант-

ными (мы будем рассматривать последние):

Цх,у) = Цу,х), 1(хд,уд) = Ь(х,у) Уд Е С,

где (7 — данная группа [8].

Такие системы рассматривались в [8], [9], [33] на конечномерных многообразиях и в [34] на бесконечномерной группе ББЩМ2). В главе 4 настоящей работы построен второй пример подобных систем на бесконечномерном многообразии — группе Вирасоро.

Группа Вирасоро является единственным нетривиальным центральным расширением группы диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию. В известной степени интерес к таким системам вызван тем, что уравнение Эйлера на группе Вирасоро эквивалентно уравнению КдФ с периодическим граничным условием [21].

В данной работе построен пример лагранжевой дискретной системы на группе Вирасоро, которая определяется симметричным правоинвариантным лагранжианом и в непрерывном пределе переходит в уравнение КдФ с периодическим граничным условием. К сожалению, как и в работе Ю. Мозера и А. П. Веселова [34], вопрос об интегрируемости данной системы остается пока открытым.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на конференции им. П. С. Александрова (МГУ) в 1997 году и на XX конференции молодых ученых МГУ в 1998 году. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Геометрия и приложения" кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ, проходящем под руководством проф. А. П. Веселова, проф. А. Б. Шабата и доц. О. А. Чалых.

Основные результаты диссертации изложены в работах автора [39], [40], [41].

Автор хотел бы выразить свою глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук проф. А. П. Веселову за постановку задач и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пенской, Алексей Викторович, 1998 год

Литература

[1] БОГОЯВЛЕНСКИЙ О. И. Опрокидывающиеся соли-тоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука. 1991.

[2] гельфанд И. М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры //Функцион. анализ и его прил. 1979. Т. 13. №4. С. 1330.

[3] дубровин Б. А. Вполне интегрируемые системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия //Функцион. анализ и его прил. 1977. Т.П. №4. С. 28-41.

[4] дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения //УМН. 1981. Т.36. т. С. 11-80.

[5] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I // В сб. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4.»(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М.: 1985. С. 179-285.

[6] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега — де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. // УМН. 1976. Т.31. №1. С. 55-136.

[7] ВЕРЕЩАГИН В. Л. Спектральная теория однофазных решений цепочки Вольтерра. // Мат. Заметки. 1990. Т. 48. Ш. С. 145-148.

[8] Becejiob А. П. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. //Функцион. анализ и его прил. 1988. Т.22. №2. С. 1-13.

[9] веселов А. П. Интегрируемые лагранжевы соответствия и факторизация матричных многочленов. //Функцион. анализ и его прил. 1991. Т.25. №2. С. 3649.

[10] Веселов А. П. Интегрируемые отображения //УМН. 1991. Т.46. вып. 5. С. 3-45

[11] Веселов А. П., Новиков С. П. О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конечнозонных потенциалов // ДАН СССР. 1982. Т. 266. №3.

[12] Веселов А. П., Новиков С. П. Скобки Пуассона и комплексные торы // Труды МИАН. 1984. Т. 165. С. 4961.

[13] Винберг Э. Б., Онищик А. J1. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС. 1995.

[14] Захаров В. Е., Мушер С. Л., Рубенчик А. М. О нелинейной стадии параметрического возбуждения волн в плазме //Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. №5. С. 249253.

[15] Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и iV-солитонные решения уравнения КдФ //ТМФ. 1978. Т.23. №1. С. 57-67.

[16] Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений //УМН. 1977. Т.32. №6. С. 183-208.

[17] кричевер И. М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения //УМН. 1978. Т.ЗЗ. №4. С. 215-216.

[18] кричевер И. м. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. // В сб. «Современные проблемы математики. Т.23.»(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М.: 1983. С. 79-136.

[19] МЛНАКОВ С. В. О полной интегрируемости и сто-хастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. 1974. Т.67. №2. С. 543-555.

[20] новиков С. П. Периодическая задача для уравнения КдФ. I //Функцион. анализ и его прил. 1974. Т.8. №5. С. 54-66.

[21] Овсиенко В. Ю., Хесин Б. А. Суперуравнение Кортевега-де Фриза как уравнение Эйлера. //Функцион. анализ и его прил. 1987. Т.21. Ш. С. 81-82.

[22] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986.

[23] Теория солитонов. Метод обратной задачи. Под ред. С. П. Новикова. М.: Наука. 1980.

[24] Bloch А. М., Brockett R. W., Ratiu T.S. Completely integrable gradient flows // Comm. Math. Phys. 1992. V. 147. m. P. 57-74.

[25] Bobenko A. I., Reyman A. G. Semenov-Tian-Shansky M. A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Comm. Math. Phys. 1989. V. 122. №2. P. 321-354.

[26] Damianou P. A. The Volterra model and its relation to the Toda lattice. // Phys. Letters A. 1991. V.155. №2-3. P.126-132.

[27] Flaschka H., McLaughlin D. W. Canonically conjugate variables for the Korteweg - de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary conditions // Prog. Theor. Phys. 1976. V.55. №2. P.438-456.

[28] Fried D. The cohomology of an isospectral flow. // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 98. №2. P. 363-368.

[29] Kac M., van Moerbeke P. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices. // Advances in Math. 1975. V.16. P. 160-169.

[30] magri F. A simple model of integrable Hamiltonian equation. // J. Math. Phys. 1978. V.19. P.1156-1162.

[31] MOSER J. Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential — an integrable system. //Lecture Notes in Phys. 1975. V.38. P. 467-497.

[32] MOSER J. Three integrable Hamiltonian systems, connected with isospectral deformations //Advances in Math. 1975. V.16. P. 197-220.

[33] Moser J., Veselov A. P. Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. //Comm. Math. Phys. 1991. V.139. P.217-243.

[34] Moser J., Veselov A. P. Two-dimensional "Discrete hydrodynamics" and Monge-Ampere equation. // Preprint ETH. Zürich, 1993

[35] Novikov S.P. Action-angle variables and Algebraic Geometry./ / Atti della Accademia delle Scienze di Torino. 1992. Suppl.n.2 al vol.126. P.139-150.

[36] sklyanin E. K. Separation of variables. New trends. // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. V. 118. P. 321-354.

[37] Tomei C. The topology of isospectral manifolds of tridi-agonal matrices. // Duke Math. J. 1984. V. 51. №4. P. 981996.

[38] VOLTERRA V. Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie. — Cahiers scientifiques. VII. — Paris: Gauthier-Vollars, 1931.

Публикации по теме диссертации

[39] ПЕНСКОЙ А. В. Дискретные лагранжевы системы на группе Вирасоро //Вестник МГУ, сер. Математика, Механика. 1996. №4. С. 99-102.

[40] ПЕНСКОЙ А. В. Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями // Мат. Заметки. 1998. Т. 64. № 1. С. 115-128.

[41] ПЕНСКОЙ А. В. Система Вольтерра как градиентный поток // Регулярная и Хаотическая Динамика. 1998. Т. 3. № 1. С. 76-77.