Законы больших чисел в современных стохастических моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Яськов, Павел Андреевич

• Яськов, Павел Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яськов, Павел Андреевич

Введение

Благодарности.

1 Закон больших чисел для классической схемы суммирования

1.1 Случайные последовательности.

Максимальные неравенства для частичных сумм

Усиленный закон больших чисел.

Оптимальность предложенных условий.

1.2 Случайные поля.

Максимальные неравенства.

Обобщение теоремы Меныпова-Радемахера.

2 Закон больших чисел для дискретных интегралов

2.1 Оценки норм дискретных интегралов и их следствия.

Основное неравенство.

Существование стохастического интеграла.

Частные случаи.

2.2 Вариант закона больших чисел.

Законы больших чисел для мартингал-разностей.

Закон больших чисел для дискретных интегралов.

2.3 Применение к задаче оценки качества прогнозов.

Постановка задачи.

Основные предположения.

Приближенное распределение основной статистики.

Компьютерное моделирование

3 Закон больших чисел для общей модели эпидемий

3.1 Описание модели.

3.2 Условия на параметры модели.

3.3 Вспомогательные сведения и результаты

Пространство случайных мер.

Определение предела среднего поля.

3.4 Точность приближения в рамках модели эпидемий пределом среднего поля.

Список основных обозначений

Ж - множество действительных чисел; С - множество комплексных чисел; N - множество натуральных чисел; No = N U {0};

D - пространство Скорохода; - «положим по определению»; р

- сходимость по вероятности; - сходимость но распределению; d - равенство по распределению; cov(£, г)) = Е(£ — Е^) (77 — Ет/)т для случайных матриц £,77; log ж = log2(.T V 2) для х > 0; х+ = X V 0 для x£l; р = для случайной величины £ с Е\£\р < оо;

Lp, р ^ 1 - пространство случайных величин с нормой || • ||р; 1(5), 1 в ~ индикатор множества В; 5Х - мера Дирака, сосредоточенная в точке х; для положительных констант хп, уп, п ^ 1,

- 0(Уп) = °(Уп) хп ^ Уп

Хп ~ Уп urn — < 00, п-> ОО уп lim — = 0, п-юс уп - . Хтп ТТ- 00 г п->оо Уп Уп

Нт — = 1. п-+оо уп

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Законы больших чисел в современных стохастических моделях»

Закон больших чисел (ЗБЧ) является первой предельной теоремой теории вероятностей, доказанной Я. Бернулли в 1713 г. Классические условия справедливости ЗБЧ, полученные Радемахером, Меньшовым, Колмогоровым, Биркгоффом, Хинчиным, Гапошкиным [4] и Лионсом [57], имеют оптимальный характер для определенных типов случайных величии. В последние годы активно ведется работа по поиску аналогичных условий для новых классов случайных последовательностей и полей. Так например, в недавних статьях Володина, Розальски, Ху [53], Сунга [78], Вебера [54] были предприняты попытки перенести ряд известных результатов из теории квазистационарных временных рядов на тот случай, когда условие ограниченности вторых моментов заменено на условие их роста, фигурирующее в теореме Меныпова-Радемахера. Результаты, полученные в упомянутых недавних работах, все же далеки от оптимальных. Это явилось одной из мотивировок для проведенного нами исследования.

Другой важный класс случайных величин представляют дискретные стохастические интегралы, включающие, в частности, интегральные функционалы от случайных блужданий. Повышенный интерес к объектам такого рода связан с моделями рынка акций в финансовой математике, а также обусловлен некоторыми задачами, возникающими в современной теории временных рядов. При решении подобных задач полезны различные варианты предельных теорем для упомянутых интегралов. В литературе, например, имеются общие условия сходимости данных интегралов к интегралам Ито, а также интегралам по фрактальному броуновскому движению [60]. Этих результатов оказывается недостаточно для некоторых новых задач, где, в частности, требуется ЗБЧ для дискретных интегралов. Поэтому в диссертации выполнен анализ поведения дискретных стохастических интегралов и установлен вариант указанного ЗБЧ.

При изучении сложных стохастических систем важную роль играют аппроксимации случайных полей, используемых для их описания. Широко применяются приближения пределом среднего поля, что представляет собой форму ЗБЧ. Обширный класс таких систем активно исследуется в математической биологии при моделировании процессов эпидемий [87], а также в статистической физике при анализе динамики большого числа взаимодействующих частиц [56]. Одна из наиболее общих постановок модели эпидемии без учета локального взаимодействий индивидов принадлежит Рейнерт [71]. Динамика этой модели описывается с помощью системы стохастических операторных уравнений. Рейнерт установлен вариант ЗБЧ, позволяющий приближать данную стохастическую модель некоторой детерминированной. При этом встает естественный вопрос о качестве такого приближения на заданных временных интервалах [73]. Эта задача также решается в диссертации.

Перейдем к описанию структуры диссертации. В главе 1 исследуются классические условия применимости ЗБЧ, связанные главным образом с теоремой Менынова-Радемахера.

ТЕОРЕМА (Меньшов, Радемахер, 1938). Пусть попарно ортогональные случайные величины Хп и постоянные Ъп, п ^ 1, таковы, что п

0.0.1)

Тогда ряд сходится п.н. (0.0.2) 1 Ьп

Если к тому же bn f оо, то с вероятностью единица

1 п тг Хк 71 00•

Соотношение (0.0.3) представляет собой вариант усиленного ЗБЧ (УЗБЧ) для ортогональных случайных величин. В литературе имеются различные обобщения УЗБЧ, не предполагающие условие ортогональности. Важную роль в них играет функция Ф такая, что sup \EXnXn+k\ ^ Ф(к), а также п два типа коэффициентов рк = swp{EXnXn+k)+ и rk = sup ji/2' к ^

Очевидно, что рк ^ Ф(&), supr^ = 1 и suppôt = ро. Если все значения функк к ции Ф конечны, то последовательность {Xn}n^i называют квазистационарной относительно Ф.

Сходимость рядов типа (0.0.2) с квазистационарными Хп, а также достаточные условия УЗБЧ, служили предметом многих исследований. Так в работе [1], обобщающей известный результат Гала и Коксмы [46], УЗБЧ доказан для bn = п при

Ф(0) + ^ îjS < оо. (0.0.4) к^ 1

Более широкий класс нормировок Ьп и функций Ф рассмотрен Морицем в [63]. В случае, когда Ф(&) 4- 0 и Ьп = п, неулучшаемость условия (0.0.4) показана Гапошкиным в [4], где к тому же получены критерии УЗБЧ для стационарных в широком смысле процессов и однородных случайных полей. В другой работе Гапошкина [3] приведено несколько интересных результатов о п.н. сходимости квазистационарных рядов и продемонстрирована невозможность их усиления в стационарном случае при определенных скоростях убывания ковариационной функции.

Некоторые обобщения результатов [63] и [3] даны Серфлингом в [6]. Отметим, что во всех перечисленных работах предполагается, что

Конечность ро позволяет определить, например, понятие ги-ряда (см. [5]), частным случаем которого является ряд вида (0.0.2) с квазистационарными Хп. Порядок роста частичных сумм иьрядов исследован в [5]. Ослабить условие (0.0.5) до (0.0.1) видимо впервые было предложено в [53], где для случая п = 0(Ьп) соотношение (0.0.2) получено при (0.0.1) и некоторых ограничениях на Ф. Улучшение результатов [53] дано в [78]. Также представляет интерес статья [81], согласно которой при Ьп = п для справедливости УЗБЧ достаточно сходимости рядов (0.0.1) и ^ (вытекает из следствия 2.2 в [81]). Коэффициенты г^ рассматривались, например, в [66], где равенство (0.0.3) установлено для Ьп = п при (0.0.1) и

Заметим, что если вместо (0.0.1) потребовать (0.0.5), то условия, фигурирующие в [53], [78], [66] и [54], не оптимальны. Это обстоятельство явилось главной мотивировкой дальнейшей работы. Наша цель, таким образом, состояла в том, чтобы перенести ряд неулучшаемых результатов из теории квазистационарных последовательностей на тот случай, когда предположение (0.0.5) ослаблено до (0.0.1), и получить обобщения теоремы Меныпова-Радемахера для заданных классов нормировок Ъп.

Итак, в первой части главы 1 устанавливаются новые достаточные условия выполнения УЗБЧ и сходимости рядов п.н. Эти условия улучшают [53],

1 п

0.0.5)

0.0.6)

78], [66], [54] и часть результатов [1], [63], [3]. В ряде случаев показана оптимальность предложенных условий. Ограничения в наших теоремах описаны в терминах рк, г к, ЕХ^ и Ъп. В качестве нормирующих коэффициентов {Ьп}п> 1 рассматриваются как произвольные последовательности положительных чисел, так и удовлетворяющие двойному неравенству с ^ ^^ ^ С для всех достаточно больших п, (0.0.7)

Отг где с и С - положительные константы, причем с ^ С. Отметим, что (0.0.7) заведомо выполнено, если Ьп/п1°ё2С и 'п}°&2с/Ьп не убывают по п. При выводе основных теорем используются идеи доказательства теоремы Менынова-Радемахера, аналогично тому, как это делалось в [3]. В нашем случае такой метод оказывается более эффективным по сравнению с различными общими подходами, предложенными в работах [43], [44].

Во второй части главы 1 рассматриваются аналогичные вопросы для сумм, образованных элементами случайного поля. Точнее говоря, исследуются условия применимости УЗБЧ и сходимости кратных рядов с вероятностью единица. Отметим, что исчерпывающие ответы по данным вопросам получены для следующих типов случайных полей: составленных из независимых одинаково распределенных величин (см. [10] и [9]), ортогональных (см. [55] и [22]), однородных (см. [7]), квазистационарных (см. [62]). Ограничения общего вида, не предполагающие какой-либо структуры зависимости, рассмотрены в [45].

Многие результаты о квазистационарных случайных последовательностях и полях получаются с помощью максимальных неравенств Морица [65]. В нашем случае эти неравенства оказываются неприменимыми. Поэтому мы устанавливаем их новые варианты.

Итак, во второй части главы 2 результаты [6] о п.н. сходимости случайных последовательностей распространяются на случайные поля, удовлетворяющие аналогу (0.0.1). Наши теоремы расширяют [53], [54] , а также улучшают часть результатов [62].

В главе 2 изучаются величины, представимые в виде дискретных интегралов, т.е. сумм ^ щу^ = Такие величины часто встречаются г<] 2 г <?' в эконометрике, к примеру, в тестах на единичный корень (см. главу 17 в [51]). В [35] приведены общие условия сходимости данных величин к интегралам Ито. Этих результатов оказывается недостаточно для некоторых новых задач, где, в частности, требуется ЗБЧ для дискретных интегралов.

Большую роль в доказательстве ЗБЧ играют моментные оценки, которые выводятся в первой части главы 2. Там же строятся примеры, демонстрирующие точность этих оценок. Далее, в качестве следствия, получаются новые достаточные условия существования интеграла Римана-Стилтьеса. Последние расширяют классические условия Янга [86] для функций ограниченной (^-вариации. Обширный список литературы, относящейся к функциям ограниченной (^-вариации, можно найти в [39].

Другим важным ингредиентом при доказательстве ЗБЧ для упомянутых интегралов являются ЗБЧ для мартингал-разностей, новые варианты которых выводятся во второй части главы 2. Из них с помощью техники каплинга для т-коэффициентов и установленных ранее моментных оценок получается искомый ЗБЧ для дискретных интегралов.

Полезность доказанного ЗБЧ демонстрируется на примере задачи сравнения качества прогнозов двух конкурирующих моделей исследуемого временного ряда. Первый строгий подход к ее решению дан в [82]. Дальнейшее развитие он получил в [83], [84], [32], [33].

Во всех указанных работах рассматриваются временные ряды, имеющие стационарную структуру. Новый метод тестирования предсказательной способности, годный при наличии структурных сдвигов данных, разработан в [48]. Он радикально отличается от предшествующих, поскольку не предполагает существование популяционных значений параметров, участвующих в моделях прогноза. Другие варианты данного подхода рассмотрены в [47].

Мы предлагаем альтернативный к [48] способ тестирования, продолжающий линию [82] и применимый для данных с небольшим числом структурных сдвигов. Наши результаты близки к работе [12], где находится асимптотическое смещение второго порядка для статистик, рассмотренных в [83].

Глава 3 посвящена стохастическим моделям эпидемий, одной из централь-пых тем математической биологии (см. [24], [25], [75]). Интерес к этой области исследований обусловлен возможностью пе только строить и исследовать нетривиальные модели, но и делать выводы для приложений на практике (см., например, [26], [61]).

Итак, в главе 3 устанавливаются повью оценки скорости сходимости в ЗБЧ в рамках общей модели эпидемий, предложенной Рейнерт [71]. Отметим, что по утверждению авторов [34] формулировка модели Рейнерт является одной из наиболее общих.

В [71] модель описывается следующим образом. Пусть имеется население численностью п. В нулевой момент ап человек заражено некоторой инфекцией, где а Е (ОД)- Оставшиеся люди здоровы, однако могут заболеть в будущем. Индивид г, инфицированный в момент t — 0, выздоравливает через случайное время г^. Развитие заболевания для индивида у, неинфицирован-ного в момент t — О, зависит от его физических данных, доли /п(£) больных людей в населении в момент t и некоторого функционала А : х —у показывающего падение иммунитета. Здесь {х : —[— 1,1] : х непрерывно справа с пределами слева}.

А именно, у заболевает в момент А™, когда уровень падения иммунитета достигает индивидуального критического значения Ц:

А] = т^г ^ 0 : ^ Х(в, 1п)д,з = (0.0.8)

Процесс излечения у занимает время rj. Выздоровевший человек больше не заболевает.

Следуя [73], введем эмпирическую меру ап ^ (1-п)п - <*(ол) + - (0.0.9) г=1 з=1 описывающую средний путь развития эпидемии. В частности, имеем

1 ап - Ьп

Ш = £„([0, £] х (£; +оо)) = - т > *) + - £ 1 (А] < * < Л? + г,-),

П г=1 П з=1

0.0.10) здесь и далее Ъ = 1 — а.

Ограничивая временной интервал, на котором рассматривается эпидемия, отрезком [0, Т], Рейнерт [71] получила аналог ЗБЧ для указанной модели, т.е. нашла слабый предел случайной меры = £п(- П [0,Т]2) при п —> оо и а —»■ а £ (0,1). Наша цель - установить новую оценку близости между ££ и указанным пределом. Как и в [73], оценка будет дана в терминах идеальной метрики по некоторому классу функций, определяющим слабую сходимость в пространстве мер. Наш результат уточняет [73].

Результаты диссертации опубликованы в работах [13], [15], [14], [16], [17], [18], [85].

Благодарности

Автор очень благодарен своему научному руководителю профессору Александру Вадимовичу Булинскому за постановку задач и неоценимую помощь в работе, а также доценту А.П.Шашкину за ряд конструктивных замечаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яськов, Павел Андреевич, 2010 год

1. Левенталь 1.L, Салехи X., Чобанян С.А.: Общие максимальные неравенства, связанные с усиленным законом больших чисел. Матем. заметки, 81 (1) :98—111, 2007.

2. Кашин B.C., Саакян A.A.: Ортогональные ряды. АФЦ, Москва, 1999.

3. Гапошкин В.Ф.: Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями. Изв. АН СССР: сер. матем., 39(6): 1366-1392, 1975.

4. Гапошкин В.Ф.: Критерий усиленного закона больших чисел для классов стационарных в широком смысле процессов и однородных случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 22(2):295-319, 1977.

5. Гапошкин В.Ф.: О порядке роста сумм неортогональных рядов. Analysis Math., 6(2):105-119, 1980.

6. Серфлинг Р.: Об усиленном законе больших чисел и близких результатах для квазистационарных последовательностей. Теория вероятн. и ее примен., 25(1):190-194, 1980.

7. Гапошкин В.Ф.: Многопараметрический усиленный закон больших чисел для однородных случайных полей. Успехи матем. паук, 36:197-198, 1981.

8. Боровков A.A.: Теория вероятностей. Наука, Москва, 1986.

9. Клесов О.И.: Сходимость почти наверное кратных рядов независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 25(1):68-83, 1995.

10. Фролов А.Н.: Об асимптотическом поведении приращений случайных полей. Зап. научн. сем. ПОМИ, 298:191-207, 2003.

11. Ширяев А.Н.: Вероятность-2. МЦНМО, Москва, 2004.

12. Китов В.: Парные тесты на одинаковую точность прогнозов. Квантиль, 6:77-91, 2009.

13. Яськов П.А.: Об одном обоги^нии теоремы Меньшова-Радемахера. Ма-тем. заметки, 86(6):925-937, 2009.

14. Яськов П.А.: Новый подход к оценке предсказательной способности моделей реальных данных. Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2009», Москва, страница 79, 2009.

15. Яськов П.А.: Оценка скорости сходимости в слабом законе больших чисел для процессов эпидемий. Теория вероятн. и ее примен., 54(3):533-550, 2009.

16. Яськов П.А.: Некоторые оценки норм дискретных стохастических интегралов. ДАН: Математика, 432(3):322-325, 2010.

17. Яськов П.А.: Тестирование предсказательной способности при наличии структурных сдвигов. С^иапШе, 8:127-136, 2010.

18. Яськов П.А.: Сильная сходимость кратных сумм неортогональных случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 55(2):382-386, 2010.

19. Abramowitz M., Stegun I.A.: Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. NBS Applied Mathematics Series, 55, 1972.

20. Andreou E., Ghysels E.: Structural breaks in financial time series. Handbook of financial time series, 2009.

21. Andrews D.W.K.: Heteroscedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation. Econometrica, 59:817-858, 1991.

22. Andrienko V.A.: Rate of approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series. Analysis Math., 22(4):243-266, 1996.

23. Azmoodeh E., Mishura Y., Valkeila E.: On hedging European options in geometric fractional Drownian motion market model. Statistics&Decisions, 27(2):129—143, 2009.

24. Barlett M.S.: Some evolutionary stochastic process. J. R. Statist. Soc., Ser. B, 11:211-229, 1949.

25. Barlett M.S.: On functional central limit theorem for Markov population processes. Adv. Appl. Probab., 6:21-39, 1974.

26. Becker N.: The uses of epidemic models. Biometrics, 35:295-305, 1979.

27. Biernes H.J.: Introduction to the mathematical and statistical foundations of econometrics. Cambridge university press, Cambridge, 2005.

28. Boldeay O., Hall A.R.: Estimation and inference in unstable nonlinear least squares models. In print, 2010.

29. Brown B.M.: Characteristic functions, moments, and the central limit theorem. Ann. Math. Statist., 41:658-664, 1970.

30. Cabrera M.O., Volodin A.I.: Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability. J. Math. Anal. Appl., 305:644-658, 2005.

31. Clark Т.Е., McCracken M.W.: Tests of equal forecast accuracy and encompassing for nested models. Journal of Econometrics, 105(1):85-110, 2001.

32. Corradi V., Swanson N.R.: Predictive density evaluation. Handbook of economic forecasting, страницы 595-620, 2005.

33. Daley D.J., Gani J.: Epidemic Modelling: An Introduction. Cambridge university press, Cambridge, 2001.

34. Davidson J., De Jong R.M.: The functional limit theorems and weak convergence to stochastic integrals I. Econometirc Theory, 23:621-642, 2000.

35. De Jong R.M., Davidson J.: The functional central limit theorem and weak convergence to stochastic integrals I. Econometric Theory, 16:621-642, 2000.

36. Dedecker J., Prieur C.: Coupling for r-dependent sequences and applications. Journal of Theoretical Probability, 17:861-885, 2004.

37. Dudley R.M.: Uniform central limit theorems. Cambridge university press, Cambridge, 1999.

38. Dudley R.M., Norvaisa R.: Differentiability of six operators on non-smooth functionsand p-variation. Springer, 1999.

39. Esseen C.-G., Janson S.: On convergence of partial sums of independent random variables. Stochastic Process. AppL, 19:173-182, 1985.

40. Etemadi N.: On sums of independent random vectors. Comm. Statist. Theory Methods, 16(l):241-252, 1987.

41. Etemadi N.: On convergence of partial sums of independent random variables. Convergence in ergodic theory and probability (Columbus, OH, 1993), 137144, 1996.

42. Fazecas I., Klesov O.: A general approach to the strong laws of large numbers. Теория вероятн. и ее примен., 45(3):568-583, 2001.

43. Fazecas I., Klesov О.: Extensions of the Menchoff-Rademacher theorem with applications to ergodic theory. Israel Jour, of Math., 148(1):41-86, 2005.

44. Fazecas I., Klesov O., Nozaly C. Tomacs Т.: Strong laws of large numbers for sequences and fields. Theory of Stoch. Proc., 5(21)(3-4):91-104, 1999.

45. Gal I., Koksma J.: Sur I'odre de grandeur des fonctionnes sommables. Proc. Koninkl. Nederland. Ak. Wet., 53(15):192-207, 1950.

46. Giacomini R., Rossi В.: Forecast comparisons in unstable environments. Journal of Applied Econometrics, 25(4):595—620, 2008.

47. Giacomini R., White H.: Tests for conditional predictive ability. Econometrica, 74:1545-1578, 2006.

48. Gut A.: The weak law of large numbers for arrays. Statist. Probab. Lett., 14(l):49-52, 1992.

49. Hall P.: On the Lp convergence of sums of independent random. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 82:439-446, 1977.

50. Hamilton J.D.: Differentiability of six operators on non-smooth functionsand p-variation. Princeton University Press, Princeton, 1994.

51. Hirukawa M.: A two-stage plug-in bandwidth selection and its implementation for covariance estimation. Econometric Theory, 26:710-743, 2010.

52. Hu T.-C., Rosalsky A., Volodin A.I.: On convergence properties of sums of dependent random variables under second moment and covariance restrictions. Statist. Probab. Lett., 78(14):1999-2005, 2008.

53. Hu T.-C., Weber N.C.: A note on strong convergence of sums of dependent random variables. Journal of Probability and Statistics, 2009(ID 873274), 2009.

54. Klesov O.: On the order of growth of orthogonal random fields. Analysis Math., 29(l):15-28, 2003.

55. Ligget T.M.: Interacting particle systems. Springer, 2004.

56. Lyons R.: Strong laws of large numbers for weakly correlated random variables. Michigan Math. J., 35(3):353-359, 1988.

57. Lyons T.: On non-existence of path integrals. Proceedings: Mathematical and Physical Science, 432(1885):281-290, 1991.

58. Massart P.: The tight constant in the Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz inequality. Ann. Probab., 18:1269-1283, 1990.

59. Mishura Yu. S., Rode S. H.: Weak convergence of integral functionals of random walks weakly convergent to fractional Brownian motion. Ukranian Math. J., 59(8):1040-1046, 2007.

60. Mollison D.: Epidemic models: their structure and relation to data. Cambridge university press, Cambridge, 1995.

61. Moricz F.: Strong laws of large numbers for quasi-stationary random fields. Z. Wahrsch. Verw. Gebeite, 51(3):249-268, 1980.

62. Moricz F.: The strong laws of large numbers for quasi-stationary sequences. Z. Wahrsch. Verw. Gebeite, 38(3):223-236, 1980.

63. Moricz F.: A general moment inequality for the maximum of partial sums of single series. Acta. Sci. Math., 44:67-75, 1982.

64. Moricz F.: A general maximal inequality of the rectangular partial sums of multiple series. Acta Math. Hungar., 41(3-4):337-346, 1983.

65. Moricz F.: SLLN and convergence rates for nearly orthogonal sequences of random variables. Proc. Amer. Math. Soc., 95(2):287-294, 1985.

66. Moricz F., Serfling R.J., Stout W.F.: Moment and probability bounds with quasi-superadditive structure for the maximum partial sum. Ann. of Probab., 10(4) :1032-1040, 1982.

67. Moricz F., Tandori K.: Counterexamples in the theory of orthogonal series. Acta Math. Hung., 49(l-2):283-290, 1987.

68. Perron P.: Dealing with structural breaks. Palgrave Handbook of Econometrics, 2006.

69. Petrov V.V.: Limit theorems of probability theory: sequences of independent random variables. Clarendon Press, Oxford, 1995.

70. Reinert G.: The asymptotic evolution of the General Stochastic Epidemic. Ann. Appl. Probab., 5:1061-1086, 1995.

71. Reinert G.: A weak law of large numbers for empirical measures via Stein's method. Ann. Probab., 23:334-354, 1995.

72. Reinert G.: Stein's method for epidemic processes. Complex Stochastic Systems, 5:235-275, 2001.

73. Rio E.: Théorie asymptotique des processus aléatoires faiblement dépendants. Springer, 2000.

74. Sellke T.: On the asymptotic distribution of the size of a stochastic epidemic. J. Appl. Probab., 20:390-394, 1983.

75. Shao Q.-M.: Maximal type inequalities for partial sums of p-mixing sequences. Ann. of Probab., 23(2):948-965, 1995.

76. Sung S.-H., Lisawadi S., Volodin A.: Weak laws of large numbers for arrays under a condition of uniform integrability. J. Korean Math. Soc., 45(1):289-300, 2008.

77. Sung S.H.: Maximal inequalities for dependent random variables and applications. Journal of Inequalities and Applications, 2008(ID 598319), 2008.

78. Sunklodas J.: On normal approximation for strongly mixing random fields. Theory Probab. Appl., 52(1):125-132, 2010.

79. Vapnik V.N.: Statistical learning theory. John Wiley, New York, 1998.

80. Walk H.: Almost sure Cesaro and Euler summability of sequences of dependent random variables. Archiv der Math., 89(5):466-480, 2007.

81. West K.D.: Asymptotic inference about predictive ability. Econometrica, 64:1067-1084, 1998.

82. West K.D., McCracken M.: Regression-based tests of predictive ability. International Economic Review, 39:817-840, 1998.

83. White H.: A reality check for data snooping. Econometrica, 68:1097-1126,

84. Yaskov P. A.: On the mean-field approximation for a certain class of epidemic processes. Stochastic analysis and random dynamics (Lviv, 14-20 June, 2009), Abstracts, 265-266, 2009.

85. Young L.C.: General inequalities for Stieltjes integrals and the convergence of Fourier series. Math. Ann., 115:581-612, 1938.

86. Zhien Ma, Jia Li: Dynamical modeling and analysis of epidemics. World Scientific, Singapore, 2009.2000.