Базисы всплесков на основе нескольких масштабирующих функций и их аппроксимативные свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Плещева, Екатерина Александровна

• Плещева, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Плещева, Екатерина Александровна

Содержание

Введение

1 Построение ортогональных в Ь2(М) базисов мультивсплесков

1 КМА на основе нескольких базисных функций пространства

Уо (мультивсплески)

2 Базисы пространств мультивсплесков

2 Расширение класса ортогональных базисов всплесков за счет обобщения понятия КМА пространства

Ь2(М)

1 Обобщение КМА (2-раздельные КМА)

2 Необходимые и достаточные условия ортогональности в терминах преобразований Фурье масштабирующих функций, порождающих 2-раздельные КМА

3 Пространства всплесков и их базисы для 2-раздельных КМА

4 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование для 2-раздельных КМА и всплесков

5 п-раздельный КМА

6 Необходимые условия ортогональности в терминах масок п -раздельных КМА

7 Построение п -раздельного КМА

8 Пространства всплесков и их базисы для п -раздельных КМА

9 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование для

п -раздельных КМА и всплесков

3 Периодические базисы всплесков в Ь2[0,1) на основе

2-раздельных КМА

1 Определение и свойства

2 Ортогональность систем периодических всплесков и масштабирующих функций

3 Тригонометрические коэффициенты Фурье всплесков и масштабирующих функций в Ь2[0,1)

4 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование в периодическом случае

Обозначения

При заданном п € N,71 > 2, в выражениях вида </?5, (рРз, V?, V?" числа б, р8 согласованы по правилу

р3 = 14- Вычетов, п), вбМ,

в частности,

5 + 1, з = 0,1,2,

При п =

Г 1, 8 = 2,

Рз = <

[ 2, 5 = 1;

Ь2(М) - пространство интегрируемых с квадратом на (—оо, оо) функций над полем комплексных чисел;

Ь2[0,1) - пространство 1-периодических интегрируемых с квадратом на [0,1) функций, Ь2[0,1) - 1-периодизация пространства Ь2(М) ; Щ,к{х) = 2М2и{2'х - к), к е X,з е Я, где и{х) : Е —> С; (¿2 - оператор двоичного сжатия:

¿2/(:г) = /(2а;), ^ = {/(2а;), / € К},

(¡2 - степень оператора в.2,3 € Ъ в этих обозначениях =

к), 3,ке1.

/М = ($/){и) - преобразование Фурье функции /. Для / б

/4 /s

- обратное преобразование Фурье, для f(w) 6 L(R) (!S~1f)(x) — IZof(UJ)e2mXUJdu^ Ha L2(R) оператор $ продолжен по непрерывности;

{д,Л), = g{x)h(s0(hi - скалярное произведение в L2(R) функций д и h из L2(R);

Prvf - ортогональная проекция функции / на подпространство V С L2(R);

span М - линейная оболочка в L2(R) множества М € L2(R), М -замыкание М в L2(R) , span М = closer(щврап М замыкание в L2(R) линейной оболочки М;

(u, v) = Jq u(x)v(x)dx - скалярное произведение в L2[0,1).

Функцию (р{х) назовем ортонормированной, если ее целочисленные сдвиги образуют ортонормированную систему {<р(х — k)}kez , т.е. если (у>(х - к),<р(х - I)) = 8kj.

ОНБ - ортонормированный базис.

l2{Z) - пространство последовательностей {cn}nez, таких, что

Enezlcn|2 < 00.

Т - символ транспонирования матриц, а * - символ комплексного сопряжения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Базисы всплесков на основе нескольких масштабирующих функций и их аппроксимативные свойства»

Введение

Актуальность темы. Понятие "wavelet"(всплеск) с 80-х годов широко используется в теоретических и прикладных исследованиях. Большой вклад в развитие теории всплесков внесли I.Meyer ([24]), S.Mallat ([21], [22]), И. Добеши ([12]), К. Чуй ([4]), А. Cohen ([6]), W.M. Lawton ([17], [18]), И.Я. Новиков ([26]), М.А. Скопина ([35]), В.Ю. Протасов , В.Г. Захаров ([46], [47]), Ю.А. Фарков ([33]), и другие.

Ортонормированным всплеском называется функция ф(х) , такая, что множество функций {ij;jtk(x) = 2i/2ip(2jx - к) : k,j 6 Z2} образуют ОНБ пространства L2(R) .

Строить базисы ортогональных всплесков обычно начинают с построения КМА - кратномасштабного анализа (кратномасштабной аппроксимации пространства L2(R)), после того, как это понятие ввели Meyer Y. ([25]) и Mallat S. ([21]).

Определение 1. Последовательность {Vj}je% вложенных замкнутых подпространств пространства L2(R)

... С Vj С Vj+i С ... (0.0.1)

называется его КМА, если удовлетворяет условиям:

«) D7^ = L2(R);

б) а ^ =

в) f(x) в Vj ^ f(x - 1/2?) е Vj (I £ Z);

г) f{x) eVj & f(2x) в Vj+1(J е Z);

д) найдется такая функция ср(х), которую называют

б

масштабирующей, что множество {(fi{x — п)}пе% образует ОНБ пространства Vq .

Известно ([21]), что для выполнения (0.0.1) необходимо и достаточно, чтобы

= ^hvViAx)' h„ = ((р,^), (0.0.2)

vez

что равносильно тому, что

<р{ш) = т(и/2)ф(ш/2), т(ш) = У] -i=^e-27ríVu;, т(и) Е L2[0,1). (0.0.3)

„gz V2

Функцию т{ш) называют маской функции (р. Необходимое условие ортогональности дает

Теорема А([21]). Пусть {(fi(x-\-k)}kez ~ ортонормированная система, и т(ш) определена в (0.0.3). Тогда

т(и)\2 + \т(ш + 1/2)|2 = 1 (0.0.4)

По схеме С.Малла ([21]) пространства всплесков У/^ определяются, как ортогональные дополнения У^ до а ортогональный всплеск

г1){х] строится так, чтобы система {Фз,к{х)}ке% ПРИ каждом ] Е Ъ была ортонормированным базисом пространства

Условия а)-д) в определении КМА не являются независимыми. При фактическом построении конкретного КМА наиболее трудным является условие д), согласованное с (0.0.1), даже если его заменить на формально более слабое условие д'), что система {ср(х — п)}пех образует базис Рисса порождаемого ей подпространства Уо = Зрап{(р(х — п)} ег,

удовлетворяющий, по определению, условию: существуют такие положительные числа А и В, что

жЕ н2)1/2 ^ il - n)iiL3(R) < Б(Е ы2)1/2

nez nez ne z

для любых последовательностей {an}, {Ьп} 6 12(Ъ).

Наиболее существенный вклад в преодоление указанной выше трудности

внес S.Mallat, заметивший, что из (0.0.2) и (0.0.3) следует, что для гладких

т(ш) функция (р(ш) - преобразование Фурье будущей функции ip(x)

- должна быть L2-пределом последовательности (pN(u) =

Реализуя эту идею, он нашел довольно широкие дополнительные к (0.0.4)

достаточные условия на т(ш), обеспечивающие ортогональность в L2(R)

системы {(р(х — п)}пеz, порождаемой маской т(ш) по правилу

00

(р{ш) = Цшф, Ф) = (0.0.5)

3=1

Более того, оказалось (см. [12, разд. 5.3]), что при довольно слабых дополнительных к д) и (0.0.1) ограничениях на (р(х) (типа ф{ш) непрерывна в нуле и ^(0) = 1 ) порождаемая функцией (р система подпространств

v3 = {/(®) = Е сз№>к : {°з*}кеZ € /2(Z)} (0.0.6)

автоматически образует кратномасштабный анализ пространства L2(R).

Эти условия на (р легко переформулировать как условия на т(и), при

этом из (0.0.5) при сходимости бесконечного произведения в L2(R) следует

(0.0.3), и значит, из (0.0.2) и (0.0.1).

Теорема Б([21]). Если т(ш) - непрерывно дифференцируемая

в окрестности точки ш = 0 1-периодическая функция, которая

8

удовлетворяет (0.0.4) и

|т(ш)| > 0, (0.0.7)

м<1/4

то бесконечное произведение в (0.0.5) сходится в Ь2(Е), (р и (р из (0.0.5) принадлежат Ь2(М), система {<р{х — к)}не% — ортонормированная, функция <р(х) порождает КМ А пространства Ь2(М) в соответствии с правилом: V} = Зрап{(р^к '■ к € Щ, з € Ъ.

Позже, развивая технику Малла, Коэн при условии, что т(и>) -тригонометрический полином, уменьшил окрестность нуля, в которой 7П(ш) не обращается в ноль, а также получил на этом пути необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов финитных масштабирующих функций:

Теорема В ([6]). Пусть т(и) является тригонометрическим многочленом, удовлетворяющим условию (0.0.4), причем функция <р(х) определена с помощью т{ш) и своего преобразования Фурье по формулам (0.0.5). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) {(р{х — к)}кеъ — ортонормированная система;

2) существует компактное множество К, конгруэнтное [—1/2,1/2] по модулю 1, содержащее некоторую окрестность нуля, и такое, что

т/ьо гп^ек\т(2~к^)\ > 0.

Условие 2) здесь не так прозрачно, как условие (0.0.7), и Коэн в той же работе в качестве следствия этой теоремы получил достаточное условие, аналогичное теореме Б Малла, заменив в (0.0.7) границу 1/4 на 1/6 в случае, когда т{ш) — тригонометрический полином.

9

Конструкцию всплеска ф для заданного КМА определяет следующая Теорема Г([21]). Пусть ф{х) = где /г^

- коэффициенты из (0.0.2). Тогда при каждом j 6 Z система ez является ортонормированным базисом пространства W3 — Vj—Vj-i, а система z является ортонормированным базисом

пространства L2(R) .

Параллельно с развитием общей теории всплесков строились различные конкретные ортогональные базисы всплесков: на основе сплайнов (Баттл, [1]; Лемарье, [19]; К.Чуй, [9]), знаменитые всплески с компактным носителем (И.Добеши, [11]), обобщение всплесков Хаара на базе ортогональных на отрезке многочленов Лежандра (Донохо, [13]), койфлеты, всплески Добеши с несколькими нулевыми степенными моментами (Coifman, [5]), периодические всплески (Осколков-ОШп, [31]), всплески для представления аналитических и гармонических функций в круге, кольце и полуплоскости (Субботин-Черных, [39]), всплески на сфере (М. А. Скопина, [38]), р-адические всплески (М. А. Скопина, [37]), биортогональные всплески на группах Виленкина (Ю. А. Фарков, [34]), и др. Почти одновременно с этим наметилась тенденция расширения понятия всплеска, которая продолжается до сих пор. При этом понятие всплеска обобщалось в разных направлениях: условие ортогональности системы {¡р{х — А;)} заменялось на ее биортогональность некоторой другой системе {(р(х — к)} ([7], [8], [44]), строились ортогональные "почти-всплески" на основе КМА со своей масштабирующей функцией сpj для каждого пространства Vj, j 6 Z (Берколайко, Новиков [28], [29]; К. de Boor [2] ), вэйвлет-пакеты Coifman'a и Мейера ([10]);

10

разрабатывались системы представления многомерных сигналов (выборок (samples) значений функций нескольких переменных), использующие от КМА только идею вложения систем подпространств со все более "мелкомасштабными" базисными функциями Swelden'a, [43].

Другой путь расширения понятия всплеска - введение мультивсплесков ([15], [32, с. 103], [40], [41], [42]), состоит в том, что условие д) в определении КМА заменяется на следующее:

д") найдется система функций ip1(x),(p2(x), ...,(рп(х), такая, что система {(р1(х — к),(р2(х — к),(рп(х — k)}kez образует ортонормированный базис подпространства Vq.

Для выполнения (0.0.1) здесь необходимо, чтобы выполнялась (вместо одного) система масштабирующих соотношений (ps =

s = 1,2, ...п. Но даже в случае двух функций реализация идеи Мейера-Малла построения всплесков через масштабирующие функции здесь довольно затруднена из-за громоздкости формул, поэтому обычно рассматривают только конкретные примеры всплесков, которые в некоторых случаях по заверению авторов ([20]) работают лучше классических при обработке сигналов и сжатии изображений. Универсальный алгоритм построения биортогональных мультивсплесков с компактным носителем приведен в работе ([36]).

Цель работы. Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе сужения систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, ограничиваясь только двумя (в общем случае -п) масштабирующими функциями с сохранением почти всех свойств классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков

с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямого и обратного дискретного всплеск-преобразования.

Методы исследования. В диссертации использовались методы математического анализа, теориии функций, линейной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

— Построен алгоритм построения базисов мультивсплесков по масштабирующим функциям независимо от свойств масштабирующих функций.

— Приведен способ ортогонализации базиса Рисса мультимасштабирующих функций.

— Построены новые системы пространств кратномасштабного анализа на основе нескольких масштабирующих функций, и при использовании их свойств образованы новые базисы пространства Ь2(М) на основе классических масок, в частности, масок Добеши, Хаара, Котельникова-Шеннона, и др.

— Построены схемы вычисления коэффициентов разложения функции по базису пространств кратномасштабного анализа, используя коэффициенты разложения этой функции по базисам предыдущих пространств кратномасштабного анализа и дополняющих их пространств всплесков, а также, наоборот, вычисления коэффициентов разложения функции по базису предыдущего пространства, используя известные коэффициенты разложения по базису пространства с большим номером (прямые и обратные дискретные всплеск-преобразования).

— Для построенных неклассических всплесков доказаны теоремы,

12

которые являются распространением на п-раздельный случай теоремы Малла о достаточных условиях на маски для того, чтобы система сдвигов соответствующих построенных по ним масштабирующих функций была ортонормированна, а также, используя эти условия, получены оценки скорости сходимости.

— Построены примеры некоторых всплесков на основе классических масок с использованием пирамидальных схем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Предложенные алгоритмы позволяют построить множество новых ортонормированных базисов, обладающих свойствами, подобными свойствам классических всплесков, даже используя только уже известные классические маски.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2011); на Всероссийских молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); па летних Школах C.B. Стечкина по теории функций (2011, 2012, 2013); на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, 2013); на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48]-[53]. Из них статьи [48], [49] опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию,

13

получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 121 страница. Список литературы содержит 53 наименования.

Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена мультивсплескам. В первом параграфе рассмотрена конструкция базисов КМ А на основе нескольких масштабирующих функций, которая используется для построения мультивсплесков:

Определение Последовательность вложенных друг в друга замкнутых подпространств

... С Vj С Vj+1 С...

пространства L2(1R) называется его кратномасштабным анализом размерности k (KMAf-), если удовлетворяет следующим условиям:

а) \JjVj = L2(M);

б) а- У5 = {0} ;

в) f(x) eVj&yie z f(x - l/2j) e v5;

г) f(x) ev0^\fje Z /(24c) e Vj ;

д) найдутся такие функции {ip1(x),(p2(x): ...,ipk(x)} из V0 С L2(R), что множество их сдвигов {у?1{х — п), ср2(х — п),..., (pk{x — n)}nez образует ортонормированный базис пространства Vq .

Показано, что для КМ А к условие д, как и в классическом случае, эквивалентно условию д') найдутся такие функции {g1{x),g2(x), ...,gk(x)} , что множество их сдвигов {gl(x — n),g2(x — n),...,gk(x — п)} образует базис Рисса пространства Vo, то есть

14

».■лс—- -яге

существуют такие А и В, что

¿(В 1412 + + - + 1412))1/2 <

пеЪ

< II - п) + с2<г2(я - п) + ... + скдк{х - тг))||ь2(к) <

п€2

пе2

Обозначив для краткости

А г, = ¿еЬ

^ ¿1,1 . . . ¿1,/г ^

^2,1 ¿2,2 - • • ¿2,А;-1 ¿2,к

\ Ьк,2 ... Ьк,к-\ ^к,к /

построим ОНБ по базису Рисса следующим образом:

Теорема 2. Пусть {д1(х — п), д2(х — п),..., дк(х — п)}пе% - система Рисса. Тогда система определяемых своими преобразованиями Фурье функций {<р1(х - п), р2(х — тг),..., (рк(х — гг)}пех

Рм

у?1 И = /у-'

-¿гд^М + ¿1,1 .

ДЛ^!,! (¿1,1^2,2 ~ 1^2,112)

• )

/

¿1,1 и,2 ■■■ Ь^к-1 д1 (и) -^2,1 -^2,2 • • • 1>2,к-\ 92{ш)

\

¿еЬ

\ ьк,1 ьк,2 • • • 1 /

(0.0.8)

л/АкАк-1

является ортонормированной.

Отметим, что данное представление не является однозначным и зависит от порядка, в котором берутся функции дк в представлении (1.1.5).

Далее приведен способ построения мультивсплесков по известной ортонормированной системе мультимасштабирующих функций. В отличие от алгоритма, приведенного в статье ([36]), метод, приведенный в диссертации, не использует свойства компактности носителя мультимасштабирующих функций, поэтому может применяться для любых мультимасштабирующих функций. Но для того, чтобы из мультимасштабирующих функций с компактным носителем получить ортонормированные мультивсплески с компактным носителем, требуется специальный подбор дополнительных функций, тогда как в работе ([36]) компактность носителя мультивсплесков сохраняется.

Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, но ограничиваясь при этом только двумя (в общем случае - конечным числом п) масштабирующими функциями, порождающими цепочку вложенных подпространств, в отличие от мультивсплесков -каждое своей функцией. При этом сохраненяются почти все свойства классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков

с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямого и обратного дискретного всплеск-преобразования.

Во второй главе диссертации рассмотрен этот новый вариант расширения понятия КМА и соответствующих всплесков. А именно, для двух функций р1 (х), ср2 (х) 6 И|2(М) строятся два отдельных подпространства V2 пространства Ь2(М) и считается, что вместо (0.0.2) выполняются соотношения:

4>\х) = - V), 6 12{Ъ), (0.0.9)

1>е2.

1р2(х) = ]Г - е 1\ъ). (о.о.ю)

Затем с помощью р1(х),(р2(х) строится две различные возрастающие последовательности подпространств, названные 2-раздельными КМА, отличные от КМА Малла, одна последовательность - на основе подпространств УЦ- и ^"Ц? := № е а ДРУгая ~ на основе У02 и ^ := У^ (у^ е VI). Далее приводятся необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов масштабирующих функций (р1(х),ф2(х). В частности, доказана следующая

Теорема 4. Пусть т(ш) - 1-периодическая функция, такая, что для нее выполнено условие вида (2.2.18), т.е.

|тМ|2 + |т(ш + 1/4)|2 + |т(ш + 1/2)|2 + \т(и + 3/4)|2 я=в' 1, (0.0.11)

т(и) непрерывна в окрестности точки ш = 0, т(0) = 1, а кроме того, \т(и)\ > Со > 0 при \и\ < | и справедливо неравенство

\т(ш) — т(0)| < Г2(М) (0.0.12)

17

\

для некоторой неубывающей в правой полуокрестности нуля функции 0.(и>), для которой ряд для некоторого и>о > 0 (а значит,

и для всех и > О в силу неубывания функции Г2(о>)) сходится. Тогда

е а функция <р(х) с преобразованием Фурье

ф{ш) порождает ортонормированную в Ь2(Е) систему {(р{х —

По этим функциям построены две системы ортогональных функций типа всплесков, соответствующих этим КМА, получена формула, выражающая такие всплески через сдвиги масштабирующих функций (р1{х),(р2{х). Кроме того, выведены формулы для прямых и обратных дискретных всплеск-преобразований, соответствующих построенным всплеск-подобным системам, приведены примеры построения таких всплесков и простейших применений к сжатию изображений.

В параграфах 5-9 второй главы по этой же схеме для любого заданного натурального п построены п различных последовательностей вложенных подпространств пространства Ь2(М), названные п -раздельными КМА, обладающие свойствами, подобными свойствам 2-раздельных КМА, обобщены результаты для 2-раздельных КМА: конструкции масштабирующих функций (р1(х),(р2(х), ...,(рп(х), соответствующие им базисы всплесков, то есть системы функций {■ф1(х),ф2(х), ...,/фп(х)} , порождающих сразу п различных ортогональных систем {ф1(2п:,х — к),1рР1(2п1+1х - - к) : к,з 6 I = 1,2,...,п},

каждая из которых образует ортонормированный базис пространства Ь2(Е). Этот способ расширения понятия всплеска отличается от мультивсплесков, изучающихся в главе 1 и, в частных случаях, в работах [40], [41], [42], где ортогональным базисом Ь2(М) является система вида

18

{ф1(Ух - к),ф2{Ух - - к) : к,э € Z}. Несмотря на

кажущуюся громоздкость нашей новой конструкции, она, в отличии от мультивсплесков, легко реализуется не только при п = 2, а при любом п, и по сложности сравнима с классической конструкцией Малла.

г-.

I • I

Для масштабирующих функций доказан аналог теоремы Малла с гораздо более слабым ограничением на нули функции т3(и), в — 1,2, ...,п. Обозначим для краткости при т3(и}) = т{ш), (р8(ш) = <р(ш). Тогда для них справедлива следующая

Теорема 10. Пусть т(ш) — 1-периодическая функция такая, что для нее выполнено условие вида (2.6.45) , т.е.

1 2 2" — 1 |т(и;)|2 + \т(и + -)|2 + \т(и + -)|2 + ... + |т(ш + = 1, (0.0.13)

т{и) непрерывна в окрестности точки и = 0, т(0) = 1, а кроме того, \т(и)\ > Со > 0 при |а;| < тр^ и справедливо неравенство

\т{си) - т(0)| < П(\ш\) (0.0.14)

для некоторой неубывающей функции Г2(а;), такой, что ряд Х)^ ^(^г) сходится. Тогда (р(и) := € Ь2(Е), а функция (р(х) с

преобразованием Фурье (р(и) порождает ортонормированную в Ь2(М) систему {(р(х — к)}ке%-

Такие всплески можно рассматривать, как интересный частный случай нестационарных всплесков, Берколайко-Новикова и Де Бор'а, описанных, например, в книге [30, с.393]. Нестационарные всплески, в отличие от стационарных, порождены не одной функцией <р(х), а последовательностью функций {¡Рз(х) : ] € Щ. Если построенная затем

по классической схеме система ^(х — к • 2--7) : j,k Е Ъ2}

образует базис пространства Ь2(М), то она называется нестационарным базисом всплесков. Такие базисы впервые введены в теорию всплесков под названием "почти-всплески" И.Я. Новиковым и М.З Берколайко в работе [28] в 1992 году. Закрепившийся в литературе термин "нестационарные всплески" принадлежит авторам работы [2], несколько позже использовавшим ту же идею для построения базиса в Ъ2(Ж). В отличие от указанной конструкции нестационарных всплесков, порождаемых бесконечной последовательностью масштабирующих функций с бесконечным числом масштабирующих уравнений и масок, в нашем случае, более близком к классическому, используется конечное число масштабирующих функций, масштабирующих соотношений и масок. Просто выбранные масштабирующие функции в процессе сжатия "циклируются". Для образности можно сказать, что в классическом случае "циклируется" одна функция ср : (р(х) (вместе со сдвигами 1р(х — к), к Е Z) порождает Уо? (р(2х) (вместе с </?(2х — к), к Е 2^) порождает Ц, <р(22х) порождает и т.д. В 2-раздельном КМА

... С х^о1 С V2 С V? С ...

порождаются функциями

...,4>\х), <р\2х), (р1(22х),...

(вместе с соответствующими сдвигами). Аналогично в случае п-раздельных КМА первая цепочка подпространств

...С^С^С.-.С^С^С...

20

порождается функциями

*)Ь, - k)h, • • •, {(рп{2пх - к), - А;)}*,...

и так далее - по циклу.

Третья глава посвящена периодизации таких всплесков, распространению свойств всплесков на прямой на всплески на периоде. В ней построены периодические масштабирующие функции и всплески на основе п -раздельного КМ А.

Периодизация происходит следующим образом:

пм = Е <рЫ*+о, = Е +о № = о, 1,..., -1).

lez le z

(0.0.15)

При этом пространства КМА и всплесков выглядят так:

Vj = Span{Ф]к(х) : к € Z}, WJ - : к G Z}.

В первом параграфе доказывается конечномерность данных пространств, корректность определения функций Ф^ж), после чего вводится определение периодического 2-КМА:

Vq С V2 С V2 С (0.0.16)

Vg С V| С Vf С ... (0.0.17)

Аналогично свойствам а) и б) в определении 2-раздельного КМА, выполняются следующие свойства:

1) Так как система функций {Фц+г,к(х) > fcWb'^ez, s = 1> 2, является базисом пространства L2(R), то .(x)},j е Z+,к е

{0,1,2, ...2-7 — 1}, s = 1, 2, является базисом пространства L2[0,1).

21

2) В силу того, что выполняются вложения (3.1.3), (3.1.4), П/ez Vij ~

vg.

3) Из свойства {Jjez^jíUjez^+i) = L2(K),s = 1,2, следует, что Vjez+VS2Mez+VP2j+1) = L2[0,1), s = 1, 2.

Второй параграф посвящен доказательству ортонормированности в пространстве L2[0,1) построенных периодических функций и всплесков:

Утверждение 4. Периодические масштабирующие функции и всплески ортоиормированы:

(Ф* ф;м) = 5кМ, к, к\ е {0,1,2,..., 22^ — 1}; (0.0.18)

(Ф£Л, = о, к в {0,1,2,22j - 1}, h е {0,1,2,..., 22jl - 1}; (0.0.19)

(4k, Чм) = hM&üi&w к е {0,1, 2,..., 22' - 1}, к, е {0,1, 2,..., 22* - 1},

(0.0.20)

где, если г и j - числа одной четности, то s и j\ также числа одной четности, а если г и j - числа разной четности, то s и j\ также числа разной четности.

В третьем параграфе находим тригонометрические коэффициенты Фурье функций Ф^Дж) при разложении их в ряд по системе

e2mv{x-k/2i)

Утверждение 5. Пусть Щк{х) определены в (3.1.1). Тогда

их можно представить следующим образом:

ФЫХ) = Y12-j/2$s{u/2j)e2iriu^23\ (0.0.21)

vez

Чк(Х) =Y;2~j/2^/2j)e2™{X~k/23)-

vez

Наконец, четвертый параграф посвящен быстрым алгоритмам вычисления коэффициентов разложения проекции функции f(x) £ L2[0,1) на пространства = Vj,s = 1,2. Для них

справедливы равенства:

prv,m = Е = Е (^"'«jiwW + *(*))•

k=0 k=0

(0.0.22)

22j—1 22'-1 Cf-J-' = E crh¡%; D= E С^ЫГ'ТЩ^-,

k=0 a;=0

kez

1 Построение ортогональных в L2(M) базисов мультивсплесков

1 КМА на основе нескольких базисных функций пространства Vq (мультивсплески).

Рассмотрим, как в [40], [41], [42], вместо одной масштабирующей функции систему функций, чьи сдвиги и сжатия порождают по классической схеме Малла соответствующий им кратномасштабный анализ.

Определение 1. Последовательность вложенных друг в друга замкнутых подпространств

... С Vj С Vj+1 С...

пространства L2(M) называется его кратномасштабным анализом размерности к (КМА& ), если удовлетворяет следующим условиям:

а) 07^ = Ь2(Е)

б) П.- Ц = {0}

в) f(x) eVj&wiez fix -1/2') Е Vj

г) f(x) eVo^Vje Z /(2*x) E Vj

д) найдутся такие функции {(pl(x), ip2{x),..., ipk(x)} из Vo С L2(R), что множество их сдвигов {^(х—п), (р2(х—п),..., <pk(x—n)}nez образует ортонормированный базис пространства Vq .

Условие д) можно заменить на

д') найдутся такие функции {g1(x), д2(х),gh(x)} , что множество их сдвигов {дг(х — п),д2(х — п),...,дк(х — п)} образует базис Рисса

24

пространства Vo, то есть существуют такие А ж В, что

ЖЕ(Й12 + 1сп12 + - + Й2))1/2<

ne ъ

< II ~ п) + спд2(х ~ + - + сп9к(<х П))1Ь2(К) <

ne z

пет

Следующая теорема доказывается почти так же, как для биортогональных систем и приводится здесь с доказательством для полноты изложения.

Теорема 1. Пусть {(р1(х)^(р2(х)1 ...,рк(х)} 6 L2(R). Система функций {cp1(x — n),(p2(x — n),...,ipk(x — n)}nGz ~ ортонормирована тогда и только тогда, когда для i,j — 1,2,...,/с выполняются следующие условия:

+ =e-l, i = 1,2.....А; (1.1.1)

nez

+ + П='0, = (1.1.2)

nez

Заметим, что из условия </?s G L2(R), s = 1,2, ...,k, следует суммируемость функций \<pj\2,(рг(рЗ, и значит, в силу теоремы Леви, абсолютная сходимость почти всюду и суммируемость на [0,1] рядов (1.1.1) и (1.1.2) .

. Доказательство Система {<p>l{x — n),ip2{x — n),:..,(pk(x — п)}пеz~ ортонормирована. Это значит, что

<pr(x)(fis(x - n)dx = Ôqtn6rt8, r, s = 1,..., k, n e Z,

fm

что в силу равенства Парсеваля (учитывая, что (<р3(- — п)У(ш) = (р8(и)е~27ггт;) эквивалентно условию

/ фг(х)<р8(х — п)йх = / (рг(и>)(1р3(х — п)){ш)йш =

./М

= [ = [ = 50>п8г,3.

Разобьем М на множество полуинтервалов [и, V + 1) . Тогда, учитывая суммируемость функций (рт(и>)(р3(и>), получим

¡•и+1 _

иеъ ^

Сделаем в каждом интеграле замену и на ш + V. Учитывая то, что е2ттш _ 1_периодическая функция, получим:

+ 1/)<р*(ш + и)е гт}(кй = 6огП6Г13.

Преобразуем аналогичным образом интеграл I = /Е \(рг{(^)ф3{и))\йш < оо. Получим, применив теорему Леви, что

/ = \<рг(ш + 1/)у?в(о7 + ту)\с1и = / \<Рг{ш + 1/)(ра(ш + у)\вш < оо,

так что мажоранта Х^ег + + г/)| функций Х^слт*/?7'^ +

+ 1/)е~2ттш - суммируемая на периоде [0,1] функция. Применим теорему Лебега о мажорантной сходимости, заменив сумму интегралов интегралом от суммы и вынесем е2ттш за знак суммы. Получим

£ + = 60„6г,в. (1.1.3)

I/е2

Заметим, что {е 2тт}]П£Ъ является полной тригонометрической системой 1-иериодических функций из Ь2[0,1] , а поскольку интеграл

(1.1.3) выражает коэффициенты Фурье функции Ч?^ + + и)

по системе {е~2ттш}пе% , то при г Ф в все эти коэффициенты равны нулю, то есть выполнено (1.1.2). С другой стороны, единственный ненулевой коэффициент, соответствующий п = 0 при г = б, равен единице, то есть выполнено (1.1.1).

Докажем обратное. Пусть выполнено (1.1.1), (1.1.2). В силу известного критерия условие (1.1.1) означает, что при каждом ^ = 1 ,...,£; система {(р(х — тг)}п62 ~ ортонормированная. Как отмечено выше, ряд слева в (1.1.2) есть суммируемая на [0,1) функция с суммируемой мажорантой + + и тогда из (1.1.2) следует, что при г ф 5

О - Г е2ж1шо "Г Щш + + = ¿о, А* =

= у\( <рг{и + + и)еМпы<Ь> = 6о,п6г,а.

Учитывая 1-периодичность е2шпи} и заменяя и + у на и, получим:

ги+1 __/> _

Е / срг(ш)^(ш)е2п{тш(1ш = / (рг(ш)р(ш)е2тпш(1ш = 0.

,,¿1*7?

А по равенству Парсеваля и

'к

следовательно,

/ (рг(х)(р8(х — п)с1х = 0, гфв и К

/ <рт(х — тп)(р3{х - п)(1х = 0 (г ф т,п

Таким образом, доказано, что

{(р1(х - п), (р2{х - п),..., (рк{х - п)}пе%

- ортонормированная система.

Введем масштабирующую вектор-функцию

□

Ф(х) =

( ipl{x) N

(р2(х) { )

В векторном виде условия теоремы 1 ортонормированности системы {<р1{х — п), ср2(х — п),..., (рк(х — n)}nez можно записать в виде

У^ Ф(ш - п)Ф*(ш -п) = /,

neZ

где / - единичная матрица размера к х к.

Пусть система {д1(х — п),д2(х — п), ...,дк(х — п)}п6% является базисом Рисса пространства Vo из определения 2. Тогда по определению системы Рисса существуют такие А и В, что

д£(1412+Iе"!2+-+ic"i2))1/2 s

ne z

< Il - n) + - n) + ... + ckngk(x - n))||L2(K) <

<Б(Е(кГ + l4l2 + ... + |cSl2))1/a. (1.1.4)

ne z

ne z

При этом С Vj.fi , где V} удовлетворяют условиям а)-г)

определения 1. Покажем, что тогда выполняется д) этого определения.

Для этого построим ортонормированный базис пространства Vq — {/ =

Е„а Et, <Wix - п) : {4}п 6 Р(Щ. _

__/»S УЧ

Для краткости обозначим Lij = Yhnez9j{u + п)9г(и + n)i а

^ ¿1,1 ¿1,2 • • • ¿l,fc-l ¿l.Jfc ^

. , ¿2,1 ¿2,2 • • • ¿2,fc—1 ¿2,А;

Ak = det

\ ¿fc,i ¿fc,2 • • • Lk,k-i Lk,k

Преобразование Фурье ортонормированной масштабирующей функции <р(х) по системе Рисса строится просто. Порождающая его функция ipl(x) задается преобразованием Фурье, определяемым формулой:

зЧ")

=

В общем случае ситуация более сложная. Мы докажем, что при к > 1 ортогональную систему ортонормированных функций {<р1, (р2,..., <рк) можно определить, как:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плещева, Екатерина Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] G. Battle A block spin construction of ondelettes. Part I: Lemarie functions // Comm.Math.Phys., 1987, 110, p. 601-615.

[2] de Boor C., DeVore R., Ron A. On construction of multivariate (pre) waveletes // Const.Approx., 1993, V. 9; p. 123-166.

[3] de Boor C., DeVore R., Ron A. Approximation from shift-invariant subspaces of L2(Md) // Center for the Mathematical Sciences University of Wisconsin-Madison, 1991, V. 9; p. 123-166.

[4] Чуй К. Введение в вэйвлеты. М. Мир, 2001. 412 с.

[5] Coifman, R.Geshwind, F.Meyer, Y. Noiselets. (English summary) Appl. Comput. Harmon. Anal. 10, 2001, no. 1, 27-44.

[6] A. Cohen Ondelettes, analyses multiresolutions et filters miroir en quadrature, Ann. Inst. H. Poincare, Anal, non lineaire, 7, pp. 439-159.

[7] A.Cohen and I.Daubechies A stability criterion for biorthogonal wavelet bases and their related subband coding schemes, // Duke Math. J., 1992, 68, Pp.313-335.

[8] A.Cohen, I.Daubechies and J.C.Feauveau Biorthogonal bases of compactly supported wavelets, // Comm. Pure Appl. Math., 1992, 45, Pp.485-500.

[9] C.K. Chui On cardinal spline wavelets, in Ruskai et al., 1992, pp. 419-438.

[10] R.Coifman, Y.Meyer, and M.V.Wickerhauser Wavelet analysis and signal processing, in Ruskai et al., 1992, pp. 153-178; and Size properties of wavelet packets, in Ruskai et al., 1992, pp. 453-470.

[11] I.Daubechies Orthonormal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure Appl. Math., 1988, 41, pp. 909-996.

[12] Добеши И. Десять лекций по вэйвлетам. Москва-Ижевск: Динамика, 2001, 464 с.

[13] David L. Donoho, Nira Dyn, David Levin, Thomas P. Y. Yu ,

Smooth multiwavelet duals of Alpert bases by moment-interpolating refinement, Applied and Computationel Harmonic Analysis, 2003, 9, 166-203.

[14] Ю. А. Фарков Биортогональные всплески на группах Виленкина, Труды Математического Института имени В. А. Стеклова, 2009, С. 110-124.

[15] J. Geronimo, D. Hardin, P.R. Massopust Fractal functions and wavelet expansions based on several functions, J. of Approx. Theory, 1994, 78, 373-401.

[16] Fritz Keinert.Wavelets and multiwavelets, Chapman and Hall/CRC, 2004, 269.

[17] Lawton, Wayne M.Tight frames of compactly supported affine wavelets. J. Math. Phys. 31, 1990, no. 8, 1898-1901.

[18] Lawton, Wayne M.Necessary and sufficient conditions for constructing orthonormal wavelet bases. J. Math. Phys. 32, 1991, no. 1, pp. 57-61.

116

[19] P.G. LemarieOndelettes a localisation exponentielle. J. Math. Pure and Appl., 1988, 67, p. 227-236.

[20] En-Bing Lin and Zhengchu Xiao(1998) Multi-scaling function interpolation and approximation, Contemporary mathematics, 216, pp. 129-147.

[21] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets // Trans. AMS. 1989 V. 315. P. 69-88.

[22] Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов // Пеевод с англ. - М: Мир, 2005, 671 е., илл.

[23] Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'operateurs // Seminaire Bourbaki, 1985-1986, no. 86, p.209-223.

[24] Meyer Y. Wavelets and operators // Cambridge University Press, 1992, vol. 37, 223 pp.

[25] Meyer Y. Ondelets, functions splines et analyses graduees [Wavelets, spline functions, and multiresolution analysis], Rend. Sem. Mat. Univ. Po-litec. Torino, 1987, 45, 1-42. Translated by John Horvath.

[26] Новиков И. Я. Онделетты И. Мейера — оптимальный базис в С(0,1) // Матем.заметки. 1992, Т. 52, № 5, с. 88-92.

[27] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998, ноябрь-декабрь, т. 53, вып. 6(324), с. 53128.

[28] Берколайко М.З, Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем. // Докл.РАН. 1992, т. 326, № 6. С. 935-938.

[29] Берколайко ,М.З, Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем. // Матем. заметки, 1994, т. 55, № 3, с. 3-12.

[30] Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков // М., ФИЗМАТЛИТ, 2005, 616 с.

[31] D. Offin, К. Oskolkov, A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constr. Appr., 1993, 9 (1), 319-325.

[32] Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков // СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1999, 132 с.

[33] Ю. А. Фарков Ортогональные всплески на локально компактных абелевых группах // Функц. анализ и его прил., 1997, 31:4, 86-88.

[34] Фарков Ю. А. Биортогональные всплески на группах Виленкина // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 2009, т.265, с.110-124.

[35] Скопина М. А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки, 1996, т. 59, № 5, с. 780-783.

[36] M. Scopina On construction of multivariate wavelet frames // Applied and Computational Harmonic Analysis. Volume 27, Issue 1, July 2009, Pages 55-72.

[37] Shelkovich, Vladimir (RS-STPCE); Skopina, Maria p-adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators. (English summary) //J. Fourier Anal. Appl. 15 (2009), no. 3, 366-393.

[38] Hemmat, A. Askari; Dehghan, M. A.; Skopina, M.Ridge wavelets on the ball. (English summary) //J. Approx. Theory 136 (2005), no. 2, 129-139.

[39] Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных Всплески в пространствах гармонических функций. // Изв. РАН, серия математика, 2000, т.64, №1, с.145-174.

[40] Strela V. Multiwavelets: regularity, orthogonality and symmetry via two-scale similarity transform // Stud. Appl. Math. 98, 1997, no. 4, p. 335-354.

[41] Strela V., Heller P.N., Strang G., Topivala P., Heil C. The application of multiwavelet filter banks to image processing // IEEE Transactions on signal processing, 1999, V. 8; No 4, p. 548-563.

[42] Strang G., Strela V. Short wavelets and matrix dilation equations // IEEE Transactions on signal processing, 1995, V. 43; No 1, p. 108-115.

[43] W. Swelden The lifting scheme: a construction of second generation wavelets. // SIAM J. of Math. Analysis, 1997, 29(2), p. 511-546.

[44] M.Vetterli and С.Her ley Wavelets and filer banks: theory and design, // IEEE Trans. Signal Process, 10, 1992, Pp.2207-2232.

[45] Carl de Boor, Ronald A. DeVore, and Amos Ron Approximation from shift-invariant subspaces of L2(Rd), // Trans. Amer. Math. Soc., 1994, 341, 787-806.

[46] Захаров В. Г. Многомерный вейвлет-базис, образованный одним типом функций // Тезисы X зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995, с. 103-104.

[47] Захаров В. Г. Применение вейвлет-базисов для решения уравнения Бюргерса // Тезисы X зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995, с. 104-105.

[48] Плещева Е.А. Кратномасштабный анализ пространства L2(R) в случае двух масштабирующих функций. // Известия Тульского гос. Университета, серия естественные науки, г.. 2009, №3, с. 81-91.

[49] Плещева Е.А. Новое обобщение ортогональных базисов всплесков. / / Труды Института Математики и Механики УрО РАН, Екатеринбург 2010, Т. 16, с. 264-271.

[50] Плещева Е.А. КМА-подобные последовательности подпространств L2(R) в случае двух масштабирующих функций. // Проблемы теоретической и прикладной математики, Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции 26-30 января 2009 г., Екатеринбург 2009, с. 88-92.

[51] Плещева Е.А. Построение и свойства п-раздельного КМА. // Современные проблемы математики, Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции, 26-30 января 2010 г., Екатеринбург 2010, с. 165-171.

[52] Плещева Е.А. Периодические всплески на основе нескольких функций. // Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Воронежской зимней математической школы, Издательско-полиграфический центр Воронежского гос. Университета, 2011, с. 261-262.

[53] Плещева Е.А., Черных Н.И. Базисы пространств мультивсплесков. // Современные проблемы математики, механики, информатики, Материалы Международной научной конференции, Тула: Изд-во ТулГУ, 2013, с. 92-97.

& 121V*