Задачи оптимального управления МГД-течением Гартмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Цыба, Владимир Евгеньевич

• Цыба, Владимир Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цыба, Владимир Евгеньевич

Введение

Обозначения и символы

1 Постановка начально-краевой задачи для модели Гарт-мана

1.1 Модель течения Гартмана.

1.2 Функциональные пространства и операторы.

1.3 Сведение начально-краевой задачи к задаче Коши для уравнения с операторными коэффициентами.

1.4 Существование и единственность решения. Априорные оценки решения.

2 Задача мультипликативного управления

2.1 Постановка задачи.

2.2 Теорема существования решения задачи 1.

2.3 Система оптимальности.

2.4 Условия конечности множества оптимальных управлений

2.5 Асимптотика оптимального управления.

3 Задача управления с заданным финальным состоянием

3.1 Постановка задачи с жестким управлением.

3.2 Формализация задачи управления.

3.3 Априорные оценки решения управляемой системы.

3.4 Существование и единственность решения задачи управления

3.5 О несуществовании решения

3.6 Система оптимальности.

4 Аппроксимативная управляемость

4.1 Постановка задачи.

4.2 Аппроксимативная управляемость системы.

4.3 Конструкция аппроксимативного управления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимального управления МГД-течением Гартмана»

Магнитная гидродинамика (МГД) — наука о движении электропроводящих жидкостей и газов в присутствии магнитного поля. Этот раздел физики развивается на стыке гидродинамики и классической электродинамики и широко используется для описания процессов, протекающих в плазме, жидких металлах и электролитах.

Основные положения МГД были сформулированы в 1940-х годах Альфвеном X. [1]-[2], который в 1970 году за создание магнитной гидродинамики был удостоен Нобелевской премии по физике. Активное развитие МГД началось в начале 1950-х годов с принятием в США, СССР и Великобритании национальных программ по исследованию проблем управляемого термоядерного синтеза. Появились и быстро совершенствовались многочисленные технические применения магнитной гидродинамики, такие как МГД-насосы, генераторы, сепараторы, ускорители, перспективные для космических полетов плазменные двигатели и пр.

В основе МГД лежат две группы законов физики [3]-[5]: уравнения гидродинамики (уравнения Навье-Стокса) и уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла). Первые описывают течения проводящей среды (жидкости или газа), однако, в отличие от обычной гидродинамики, эти течения связаны с распределенными по объему среды электрическими токами. Присутствие магнитного поля приводит к появлению в уравнениях дополнительного члена, соответствующего действующей на эти токи распределенной по объему электродинамической силе. Сами же токи в среде и вызываемые ими искажения магнитного поля определяются второй группой уравнений. Таким образом, в МГД уравнения гидродинамики и электродинамики оказываются существенно взаимосвязанными.

Наиболее часто задачи МГД рассматриваются в предположении, что внешнее магнитное поле не является существенным, и его воздействием на процесс течения можно либо пренебречь, либо свести воздействие к неоднородным краевым условиям для магнитного поля на границе области течения. Одной из первых работ по исследованию такого типа задач в нестационарном случае является работа Ладыженской O.A. и Солонникова В.А. [6]. В стационарном случае аналогичная задача была рассмотрена Солонниковым В.А. в [7].

После публикации этих статей вышел целый ряд работ, посвященных исследованию разрешимости начально-краевых задач магнитной гидродинамики. Среди них можно отметить работы Ступялиса Л.И. [8], [9], Алексеева Г.В. [10], Rappaz J. [11], Mair A.J. [12].

Помимо краевых задач магнитной гидродинамики, особый интерес представляют прикладные задачи - задачи управления. Они возникают при рассмотрении процессов, протекающих в МГД-двигателях и МГД-генераторах, при проектировании систем охлаждения ядерных реакторов и т.д. Такие задачи успешно решаются с помошыо различных численных методов. Разработке методов и алгоритмов решения задач управления, в том числе и МГД течениями, посвящено большое количество работ. Среди них можно, например, отметить работы Васильева Ф.П. [13], Ишмухаметова А.З. [14]-[16], Xu С. и Krstic M. [17]-[19], Kassinos S.С. [20], Gunzburger M. и Meir A. [21]-[22] и других.

Работ по численному решению различных задач оптимального управления МГД течениями достаточно много, и данный вопрос изучен достаточно хорошо. В гораздо меньшей степени изучены вопросы разрешимости таких задач. Среди работ, изучающих теоретические вопросы управления системами МГД, отметим работы Алексеева Г.В. [10], [23], [24], Чеботарева А.Ю. [27], [47], Фурсикова A.B. [25], [26], Barbu V. [28]-[30] и других авторов [31]-[36]. При изучении задач МГД в основном используются результаты, полученные для соответствующих уравнений гидродинамики (Навье-Стокса). Среди основных работ, посвященных изучению этих уравнений, можно выделить статьи Темама Р. [37], Gunzburger M.D. [38] и других [39]-[42].

Настоящая работа также посвящена теоретическому изучению задач оптимального управления магнитогидродинамическим течением в одномерном случае. Изучение одномерного случая существенно упрощает уравнения МГД. Однако, именно благодаря такой постановке задачи удается более детально изучить теоретические основы процесса МГД-течения и подробно исследовать связь между скоростью течения и электромагнитным полем. Особенностью работы является то, что ранее для данной модели подобные задачи оптимального управления не рассматривались, и в этом смысле результаты работы являются новыми. Кроме того, для анализа были выбраны наиболее сложные и наименее изученные типы задач: задача мультипликативного управления и задача жесткого управления. Мы не рассматривали задачи, для изучения которых необходимо лишь проверить условия применимости известных результатов. Именно по этой причине не были, например, рассмотрены задачи стартового и граничного управления. Наконец, особенностью данной диссертационной работы является то, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений не симметрична, и нет возможности применить широко известные результаты, приведенные, например, в [26].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 51 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Цыба, Владимир Евгеньевич

Заключение

1. Основная цель данной диссертации состояла в исследовании различных задач управления для параболической системы дифференциальных уравнений, моделирующих МГД течение Гартмана. При этом, на основе абстрактной формулировки основной модели в виде задачи Коши для уравнения в гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами удалось развить методику исследования различных нетривиальных задач управления МГД системой. Задачи мультипликативного управления сложны для анализа, поскольку отображение, ставящее в соответствие управлению состояние системы, является нелинейным даже в случае, когда управляемая система линейна по фазовой переменной. При рассмотрении задач жесткого управления возникают интересные особенности, связанные с условиями разрешимости, а при анализе соответствующей системы оптимальности следует учитывать, что оптимальное управление, как правило, оказывается на границе множества допустимых управлений. Наконец, задачи управляемости точной или аппроксимативной требуют привлечения тонких методов анализа, таких как метод единственности Гильберта или метод единственности продолжения, основанный на карлемановских оценках.

2. Рассмотренные в диссертации постановки связаны между собой, вопервых, методикой исследования, основанной на результатах теории оптимального управления системами с частными производными и на развитой технике получения априорных оценок решений параболических систем, возникающих в магнитной гидродинамике. Во-вторых, рассмотренные задачи взаимно дополняют друг друга, создавая относительно полную теорию задач управления для нестационарной модели Гартма-на.

3. Конечно же, автору не удалось рассмотреть все важные вопросы в теории оптимального управления в магнитной гидродинамике. В стороне осталось, например, исследование таких важных свойств решений задач управления как регулярность. Автор не касался в работе исследования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка. Однако ряд постановок, которые нетрудно будет исследовать на основе предложенной методики, ожидает своего решения, в том числе и в связи с вопросами нахождения наиболее эффективных механизмов и способов управления МГД полями. Автор не сомневается, что имеется значительное количество постановок задач в инженерной МГД, которые можно свести к задачам рассмотренным в данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цыба, Владимир Евгеньевич, 2009 год

1. Alfven Н. Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic Waves // Nature. 1942. V. 150. P. 405-406.

2. Альфен Г., Фельтхаммар К.Г. Космическая электродинамика. Основные принципы. М.:Мир, 1967. 260 с.

3. Ватажин A.B., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинами-ческие течения в каналах. М.: Наука, 1970. 672 с.

4. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. М.: Мир., 1967. 320 с.

5. ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

6. Солонников В.А. О некоторых стационарных задачах магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Математические вопросы гидродинамики и магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. 1960. Т. 59. С. 174-187.

7. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147, то. С. 156-168.

8. Ступялис Л.И. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147, №10. С. 169-193.

9. Алексеев Г.В. О разрешимости однородной краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1982. Вып. 57. С. 6-24.

10. Rappaz J., Touzani R. On a two-dimentional magnetohydrodynamic problem // Rairo Model. Math. Anal. Number. 1982. V. 26, №2. P. 347364.

11. Mair A.J. The equation of stationary, incompressible magnetohydrodynamics with mixt boundary condition // Comp. Math. Applic. 1993. V. 25. P. 13-29.

12. Васильев Ф.П., Ишмухаметов A.3., Потапов M.M. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989. 144 с.

13. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43, №12. С. 1896-1909.

14. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, М.:ВЦ РАН, 1998. 120 с.

15. Ишмухаметов А.З., Юлина А.В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой // Ж. Вестник МЭИ. 1998. №6. С. 73-84.

16. Schustera Е., Luoa L., Krstic М. MHD channel flow control in 2D: Mixing enhancement by boundary feedback // Automatica. 2008. V. 44, №10. P. 2498-2507.

17. Xu C., Schuster E., Vazquez R., Krstic M. Stabilization of linearized 2D magnetohydrodynamic channel flow by backstepping boundary control // Systems and Control Letters. 2008. V. 57. P. 805-812.

18. Xu C., Schuster E., Vazquez R., Krstic M. MHD channel flow control in 2D: Mixing enhancement by boundary feedback // Automatica. 2008. V. 44, №10. P. 2498-2507.

19. Grigoriadisa D.G.E., Kassinos S.C., Votyakova E.V. Immersed boundary method for the MHD flows of liquid metals // Journal of Computational Physics. 2009. V. 228, №3. P. 903-920.

20. Gunzburger M., Trenchea С. Optimal control of the time-periodic MHD equations // Nonlinear Analysis. 2005. V.63. P. 1687 1699.

21. Gunzburger M., Meir A., Peterson J. On the existence, uniqueness, and finite element approximation of solutions of the equations of stationary, incompressible magnetohydrodynamics // Math. Comput. 1991. V.56, №194. P. 523-563.

22. Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных задач магиитиой гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Препринт 1, ИПМ ДВО РАН, Владивосток: Даль-наука, 2002. 78 с.

23. Алексеев Г.В. Задача управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. мех. техн. физ. 2003. Т. 44, №6. С. 170-179.

24. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Controllability of evolution equations. Lecture Notes Series 34. Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1996.

25. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

26. Чеботарев А. Ю. Управление МГД течением при создании магнитного поля заданной конфигурации. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. №11.

27. Barbu V. Analisys and Control of Nonlinear Infinite Dimensional Systems. Boston. Academic Press, 1993. 488 p.

28. Barbu V. Mathematical Methods in Optimization of Differential Systems. Springer, 1994. 272 p.

29. Barbu V., Havarneanu Т., Popa С., Sritharan S.S. Exact controllability for magnetohydrodinamic equation // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V. 56. P. 732-783.

30. Coron J.M. On the controllability of 2D incompressible perfect fluids // J. Math. Pures. Appl. 1996. V. 75. P. 155-188.

31. Fernandez-Cara E., Zuazua E. The cost of approximate contollability for heat equation: The linear case // Advances Diff. Eqs. 2000. V. 5. P. 465-514.

32. Russell D.L. A unified boundary controllability theory for hiperbolic and parabolic partial differantial equations // Studies in Appl. Math. 1973. V. 52. P. 189-221.

33. Sermange M., Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations // Comm. Pure Appl. Math. 1983. V. 36. P. 635-664.

34. Илларионов А. А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для уравнения Навье-Стокса. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 1061-1071.

35. Савенкова А. С. Асимптотика оптимального управления в задаче рассеяния гармонических волн на препятствии. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №9. С. 1635-1641.

36. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

37. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the navier-Stokes equations // App. Math. Letters. 1989. V. 2, №1. P. 29-31.

38. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы,касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. // Мат.сб. 1981. Т. 115, №2. С. 281-306.

39. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34, т. С. 202-213.

40. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V. 1. P. 303-325.

41. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V.32, №5. P. 1428-1446.

42. Ишмухаметов A.3., Цыба B.E. О задаче оптимального управления магнитогидродинамическим течением // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Издательство ВЦ РАН. 2006. С. 144-148.

43. Цыба В.Е. Мультипликативное управление МГД течением Гартма-на // Труды института системного анализа. 2008. №32(1). С. 87-100.

44. Цыба В.Е., Чеботарев А.Ю. Асимптотика оптимального управления магнитогидродинамическим течением // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 2009. Т. 49, №3. С. 482-489.

45. Цыба В.Е. Задача о минимизации работы при создании магнитного поля заданной конфигурации // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. №1-2. С. 194-203.

46. Чеботарев А.Ю., Цыба В.Е. Обратная задача магнитной гидродинамики // Математические заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 139150.

47. Цыба В.Е. Аппроксимативная управляемость МГД-течения Гартма-на // Владивосток: Дальнаука, 2009. 12 с. Препринт / ДВО РАН. Институт прикладной математики; № 4.

48. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 412 с.

49. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

50. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

51. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.:Мир, 1977. 504 с.