Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Терешко, Дмитрий Анатольевич

• Терешко, Дмитрий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Терешко, Дмитрий Анатольевич

Содержание

Введение

1 Постановки основных краевых задач

1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований

1.2 Основные функциональные пространства и интегральные формулы

1.3 Дополнительные сведения

2 Разрешимость основных краевых задач

2.1 Существование и единственность слабого решения основных краевых задач

2.1.1 Определение слабого решения Задачи 1

2.1.2 Существование слабого решения Задачи 1

2.1.3 Единственность решения Задачи 1

2.1.4 Случай линейной задачи тепловой конвекции

2.1.5 Введение граничных и распределенных управлений

2.2 Разрешимость Задачи 1 в особом случае

2.3 Случай уравнений Навье-Стокса

3 Исследование обратных экстремальных задач

3.1 Теорема существования

3.2 Применение метода неопределенных множителей Лагран-

жа

3.2.1 Существование множителей Лагранжа

3.2.2 Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа

3.3 Регулярность множителя Лагранжа

3.4 Единственность решения экстремальных задач

3.5 Исследование экстремальных задач в особом случае

3.6 Экстремальные задачи для уравнений Навье-Стокса

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями»

Введение

Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость получать течения с требуемыми свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются граничные значения на определенных участках границы области течения и правые части уравнений, которые находятся из условия минимума некоторого функционала качества.

Хотя первые исследования в этой области появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фурсикова [34-36], указанное направление стало интенсивно развиваться только в начале 90-х, когда вычислительная техника достигла уровня, позволяющего численно решать сложные задачи оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами. В большинстве работ, посвященных как теоретическим вопросам, так и чисто вычислительным аспектам решения задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, влияние тепловых эффектов на движение жидкости не учитывалось, а все рассмотрения проводились в рамках модели Навье-Стокса. Вместе с тем, для ряда процессов, происходящих в вязких жидкостях, тепловые эффекты играют важную роль. Поэтому исследование обратных экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес.

Основные трудности исследования таких задач связаны с наличием неоднородных граничных условий Дирихле для температуры при рассмотрении стационарной системы Обербека - Буссинеска, описыва-

ющей движение вязкой теплопроводной жидкости. В работах [44, 57] F. Abergel и Е. Casas в качестве управления использовалось граничное условие типа Неймана для температуры на части границы. Исследованию более сложных задач оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости с использованием управлений Дирихле для скорости и температуры посвящены работы Г.В. Алексеева [3,6].

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алексеева, является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости, когда на части границы задано однородное условие Дирихле для скорости, а на оставшейся части - нулевая тангенциальная компонента скорости и полный напор.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теорему существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установить условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследовать разрешимость обратных экстремальных задач для ста-

ционарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости.

5. Обосновать применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа и вывести системы оптимальности для определенных функционалов качества.

6. Установить достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы, написанной по материалам работ [5,7,30,48]. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.

Первая глава носит обзорный и вспомогательный характер. В §1 сформулированы основные краевые задачи для уравнений Обербека -Буссинеска и Навье-Стокса с нестандартными граничными условиями и их линейные аналоги. Обзор литературы, приведенный в этом параграфе, раскрывает современное состояние рассматриваемых в диссертации вопросов. Во втором параграфе приведены основные функциональные пространства и интегральные формулы, используемые в диссертационной работе. В §3 вошли дополнительные сведения, необходимые при рассмотрении особого случая исследуемых здесь задач.

Вторая глава посвящена исследованию разрешимости рассматриваемых в диссертации краевых задач. В первом параграфе рассматриваются вопросы существования и единственности слабого решения системы Буссинеска с нестандартными граничными условиями. В п. 1.1 представлена слабая формулировка основной краевой задачи и доказываются леммы, показывающие связь между слабой и классической формулировками. Пункт 1.2 посвящен исследованию существования слабого решения основной краевой задачи. Большое внимание здесь

уделено получению априорных оценок, устанавливающих ограниченность решения в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам. Основным результатом этого пункта является теорема существования слабого решения и указанные априорные оценки. В следующем пункте этого параграфа исследуется единственность слабого решения. Полученное достаточное условие единственности можно трактовать как ограничение на числа Рейнольдса и Рэлея. В п.1.4 рассмотрен линейный случай рассматриваемой краевой задачи. Доказана теорема об изоморфизме соответствующего линейного оператора, существенно используемая далее при исследовании обратных экстремальных задач. В последнем пункте первого параграфа вводятся граничные и распределенные управления. Здесь рассматривается вопрос согласования множеств, из которых выбираются управления, и оставшихся данных, исходя из выполнения условий теоремы существования слабого решения.

Во втором параграфе исследуется разрешимость краевой задачи в особом случае. В §3 приводятся результаты о разрешимости соответствующей краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости, полученные в качестве следствия изложенной выше теории.

Третья глава диссертации посвящена исследованию обратных экстремальных задач. В §1 указанные задачи формулируются как задачи минимизации определенных функционалов качества на слабых решениях системы Обербека - Буссинеска при соответствующих граничных условиях. Доказывается общая теорема существования решения обратной экстремальной задачи для произвольного ограниченного снизу, слабо полунепрерывного снизу функционала. Здесь же представлены шесть функционалов, удовлетворяющие условиям этой теоремы и имеющие конкретный физический смысл. Второй параграф посвящен обоснованию применения метода неопределенных множителей Ла-

гранжа. В первом пункте доказывается теорема о существовании множителей Лагранжа, основанная на экстремальном принципе в гладко - выпуклых задачах условной минимизации, изложенном в [16]. Во втором пункте этого параграфа из уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся дифференциальные соотношения и граничные условия, которым (в предположении определенной гладкости) удовлетворяют множители Лагранжа и оптимальное состояние: скорость и температура. Указанные соотношения сначала выводятся для произвольного дифференцируемого функционала качества, а затем конкретизируются для всех шести рассматриваемых в работе функционалов. В §3 исследуется регулярность множителя Лагранжа с использованием двух альтернативных подходов: один основан на использовании так называемого свойства "С" для множества управлений, введенного в [82], другой -на условиях типа малости размеров множества управлении.

В §4 изучается единственность решения обратной экстремальной задачи для конкретного функционала качества. В пятом параграфе исследуются экстремальные задачи в особом случае. В §6 приводятся результаты о разрешимости обратных экстремальных задач для системы Навье-Стокса, которые являются следствиями соответствующей теории для модели Обербека-Буссинеска.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Терешко, Дмитрий Анатольевич

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказана теорема существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установлены условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследована разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости.

5. Обосновано применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа для дифференцируемого функционала качества и выведены системы оптимальности для конкретных функционалов качества.

6. Установлены достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Терешко, Дмитрий Анатольевич, 1998 год

Литература

[1] Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74-85.

[2] Алексеев Г.В., Малыкин В.В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5-16.

[3] Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1996.

[4] Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А., Смышляев А.Б., Терешко Д.А., Ширшов О.Н. Численное исследование задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости // Тез. докл. международ, конф. "Математические модели и численные методы механики сплошных сред". Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. С. 123-125.

[5] Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997.

[6] Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N 5. С. 982-998.

[7] Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции II. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998.

[8] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико - групповых методов в гидродинамике. М.: Наука,

1994.

[9] Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

[10] Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых на заданной области // Тр. Мат. института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 3-63.

[11] Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.

[12] Зарубин А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, N 6. С. 1378-1383.

[13] Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О некоторых задачах механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифферент ур-я. 1978. Т. 14, N 9. С. 1632-1637.

[14] Зарубин А.Г. Численный анализ начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, N 6. С. 471-473.

[15] Зарубин А.Г. Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

1995. Т. 35, N 5. С. 728-738.

[16] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

[17] Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. Вып. 40. С. 127-133.

[18] Коренев H.K. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. 1971. Вып. 2, N 7. С. 29.

[19] Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

[20] Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

[21] Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. IV.). М.: Наука, 1988.

[22] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

[23] Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

[24] Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989.

[25] Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. физ. 1990. Т. 30. N 2. Р. 1540-1552.

[26] Рагулин В.В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО

АН СССР, 1976. Вып. 27. С. 78-92. \

[27] Смышляев А.Б. Экстремальные задачи граничного управления для линейной системы уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 86-101.

[28] Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Задачи оптимального граничного управления для системы уравнений тепловой конвекции // Тез.

XVI Международной школы-семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1998.

[29] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

[30] Терешко Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Дальневосточный матем. сб. 1997. Вып. 4. С. 75-85.

[31] Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями // Тез. Международной конференции по обратным задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.

[32] Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

[33] Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27, N 2. С. 295-300.

[34] Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, N 5. С. 1066-1070.

[35] Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сб. 1981. Т. 115, N 2. С. 281-306.

[36] Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Мат. сб. 1982. Т. 118, N 3. С. 323-349.

[37] Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 5. С. 202-213.

[38] Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 4. С. 934-942.

[39] Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. Т. 6, N 2, С. 283-303.

[40] Эмануилов О.Ю. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. N 15. С. 108-127.

[41] Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикл. матем. и механика. 1966. Т. 30, N 6. С. 1000-1005.

[42] Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, N 1. С. 101-111.

[43] Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. V. 1. P. 303-325.

[44] Abergel F., Casas E. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V. 27. P. 223-247.

[45] Adams R. Sobolev Spaces. Academic Press. New York, 1975.

[46] Alekseev G.V., Malikin V.V. Optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary control. Preprint. Vladivostok: Dalnauka, 1993.

[47] Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical analysis of optimal boundary control problems for Navier-Stokes equations // Comp. Fluid Dynamics J. 1994. V. 3. N 1. P. 1-26.

[48] Alekseev G.V., Tereshko D.A. Solvability of the inverse extremal problem for the incompressible heatconducting fluid equations //J. Inverse Ill-posed Problems. 1998. V. 6.

[49] Bègue C., Conca C., Murât F., Pironneau O. A nouveau sur les équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // C. R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1987. V. 304, N 2. P. 23-28.

[50] Bègue C., Conca C., Murât C., Pironneau O. Les équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications, College de France Seminar, Vol. IX (1988) H. Brezis and J.L. Lions (eds.), Pitman Research Notes in Mathematics (181) - Longman.

[51] Bendali A., Dominguez J.M., Gallic S. A variational approach for the vector potential formulation of the Stokes and Navier-Stokes problems in three dimensional domains //J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 107, N. 2. P. 537-560.

[52] Bernardi C., Canuto C., Maday Y. Spectral approximations of the Stokes equations with boundary conditions on the pressure // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28, N 2. P. 333-362.

[53] A. Bossavit A. Les deux isomorphismes du rotationnel et les deux formes du problème de la magnetostatique dans un domaine borné (Premiér partie) // Bulletin de la direction des etudes et recherches. Serie C. Mathématiques informatique. 1986. N 1. P. 5-20.

[54] Burkardt J., Peterson J. Control of steady incompressible 2D channel flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.lll-126.

[55] Casas E., Fernandez L. A Green's formula for quasilinear elliptic operators //J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 62-72.

[56] Casas E. The Navier-Stokes equations coupled with the heat equation: analysis and control // Control Cybernet. 1994. V. 23, N 4. P. 605-620.

[57] Casas E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 127-147.

[58] Conca C. Approximation de quelques problèmes de type Stokes par une method d'elements finis mixtes // Numer. Math. 1984. V. 45, N 1. P. 75-91.

[59] Conca C. On the aplication of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics //J. Math. Pures Appl. 1985. V. 64, N 1. P. 31-75.

[60] Conca C., Murat F., Pironneau 0. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan. J. Math. 1994. V. 20, N 2. P. 279-318.

[61] Conca C., Parés C., Pironneau O., Thiriet M. Navier-Stokes equations with imposed pressure and velocity fluxes //J. Numer. Methods Fluids. 1995. V. 20. P. 267-287.

[62] Dabaghi F.E., Pironneau O. Stream vectors in three dimensional aerodynamics // Numer. Math. 1986. V. 48. P. 561-589.

[63] Desai M. and Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Opt. 1994. V. 32. N 5. P. 1428-1446.

[64] Dubois F. Discrete vector potential representation of a divergence-free vector field in three-dimensional domains: numerical analysis of a model problem // SIAM J. Numer. Anal. 1990. V. 27, N 3.

[65] Ito K., Ravindran S.S. A reduced basis method for control problems goverened by PDEs. Preprint, Department of Mathematics, North Carolina State University, USA, 1997.

[66] Fattorini H., Sritharam S.S. Existence of optimal controls for viscous flow problems // Proc. of the Royal Soc. of London, Serie 1. 1992. V. 439. P.81-102.

[67] Foias C., Temam R. Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationnaires et les phenomenes successifs de bifurcation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, IV. 1978. V. 5, N 1. P. 29-63.

[68] Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67-76.

[69] Fursikov A.V. Exact boudary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations //J. of Dynamical and Control Syst. 1995. V. 1, N 3. P. 325-350.

[70] Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.149-153.

[71] Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sei. Paris. Serie I. 1996. V. 323, N 3. P. 275-280.

[72] Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact boundary controllability of the Boussinesq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 2. P. 391-421.

[73] Fursikov A.V., Gunzburger M.D., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 3. P. 852894.

[74] Gad-el-Hak M. Flow control // Appl. Mech. Rev. 1989. V. 42. P. 261293.

[75] Gaultier M., Lezaun M. Equations de Navier-Stokes couplées a des équations de la chaleur: résolution par une méthode de pointe fixe en dimension infininie // Ann. Sc. Math. Québec. 1989. V. 13. P. 1-17.

[76] Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

[77] Girault V. Incompressible finite element methods for Navier-Stokes equations with non-standard boundary conditions in M3 // Math, of Comp. 1988. V. 15, N 183. P. 55-74.

[78] Girault V. Curl-conforming finite element methods for Navier-Stokes equations with non-standard boundary conditions in R3 // Proc. of the Oberwolfach Meeting on Navier-Stokes Equations and Numerical Methods, (ed R. Rautmann). Lecture Notes in Mathematics, Springer. 1990. P.

[79] Grisvard P. Boundary value problems in non-smooth domains. Pitman. London, 1985.

[80] Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math, of Comp. 1991. V. 57, N 195. P. 123-151.

[81] Gunzburger M., Hou L., Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-

Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modelling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711-748.

[82] Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Control Optim. 1992. V. 30, N 1. P. 167-182.

[83] Gunzburger M.D. A prehistory of flow control and optimization // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.185-195.

[84] Hishida T. Asymptotic behavior and stability of solutions to the exterior convection problem // Nonlinear Anal. 1994. V. 22. P. 895925.

[85] Antontsev S.N., Kazhikhov A.V., Monakhov V.N. Boundary value problems in mechanics of nonhomogenuous fluids. North-Holland,

1990.

[86] Lukaszewicz G. On the stationary flows of viscous incompressible and heat-conducting fluids // Math. Methods in the Appl. Sci. 1988. V. 10. P. 329-337.

[87] Morimoto H. On the existence of weak solutions of equation of natural convection //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1989. Sect. IA. V. 36. P. 87-102.

[88] Morimoto H. On the existence and uniqueness of the stationary solution to the equations of natural convection // Tokyo J. Math.

1991. V. 14. P. 217-226.

[89] Morimoto H. Non-stationary Boussinesq equations //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1992. V. 39. P. 61-75.

[90] Necas J. Les methodes directese en theorie des equations elliptiques. Masson. Paris, 1967.

[91] Oeda K. Weak and strong solutions of the heat convection equations in regions with moving boundaries //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1989. V. 36. P. 491-536.

[92] Oeda K. Stationary solutions of the heat convection equations in exterior domains // Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A. 1997. V. 73. N 61. P. 111-115.

[93] Pironneau 0. Conditions aux limites sur la pression pour les équations de Stokes et de Navier-Stokes // C. R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1986. V. 303, N 9. P. 403-406.

[94] Saranen J. On generalized harmonie fields in domains with anizotropic nonhomogeneous media // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 88, N 1. P. 104-115.

[95] Shinbrot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for viscous heat-conducting // J. Math. Analys. and Appl. 1974. V. 45. P. 1-22.

[96] Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodynamics // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 325-339.

[97] Temam R. Remarks on the control of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.357-371.

[98] Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25. 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

[99] Verfurth R. Finite element approximation of steady Navier-Stokes equations with mixed boundary conditions // RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 1985. V. 19. P. 461-475.

[100] Verfiirth R. Finite element approximation of incompressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions // Numer. Math. 1987. V. 50. R 697-721.

[101] Verfiirth R. Mixed finite element approximation of the vector potential // Numer. Math. 1987. V. 50. R 685-695.

[102] Yuh-Roung Ou. Mathematical modelling and numerical simulation in external flow control // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. R219-255.

[103] Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1994. V. 4. R 323-332.