Оптимальное мультипликативное управление гармоническими волновыми процессами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Савенкова, Анастасия Сергеевна

• Савенкова, Анастасия Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савенкова, Анастасия Сергеевна

Введение

Обозначения и символы

1 Задача управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области

1.1 Рассеяние акустических волн, гармонически зависящих от времени. Уравнение Гельмгольца.

1.2 Постановка и разрешимость прямой задачи.

1.2.1 Физический смысл ограничений. Выбор условий на волновое число и импеданс.

1.2.2 Функциональные пространства. Определение слабого решения.

1.2.3 Разрешимость прямой задачи.

1.3 Постановка и разрешимость задачи управления.

1.4 Вывод системы оптимальности.

1.5 Условия единственности решения системы оптимальности

2 Задача управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области

2.1 Постановка и разрешимость краевой задачи

2.1.1 Априорная оценка слабого решения.

2.1.2 Связь между условиями излучения и принадлежностью решения пространству V.

2.1.3 Свойства отображения Ф : а и.

2.2 Постановка и разрешимость задачи управления.

2.2.1 Существование решений задачи управления.

2.2.2 Изолированность решений.

2.3 Вывод системы оптимальности.

2.4 Свойства множества решений задачи оптимального управления

2.5 Принцип bang-bang для оптимального управления.

2.6 Вывод априорной оценки для сопряженного состояния

2.7 Асимптотика оптимального решения по параметру регуляризации

3 Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме

3.1 Распространение электромагнитных волн, гармонически зависящих от времени. Уравнения Максвелла.

3.2 Постановка и разрешимость краевой задачи

3.3 Постановка и разрешимость задачи управления.

3.4 Вывод системы оптимальности.

3.5 Вывод условий единственности и устойчивости решения задачи оптимального управления.

3.6 Регулярность решения краевой задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное мультипликативное управление гармоническими волновыми процессами»

1. Задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн играют важную роль во многих областях прикладных наук. Акустические и электромагнитные волны используются и исследуются в таких разных областях, как медицина, ультразвуковая томография, оптика, материаловедение, неразрушающее тестирование, удаленное обследование, радиолокация, аэронавтика, сейсмические исследования [55], [93].

Существует два основных подхода для рассмотрения задач данного класса. Первый рассматривает задачу в четырехмерном пространстве (включая время), второй — в области только пространственных переменными за счет перехода к гармоническим по времени функциям. В работе будет использоваться второй подход, связанный с изучением стационарных волновых полей акустической или электромагнитной природы в гармоническом режиме.

К 50-м годам XX века основные вопросы, касающиеся линейных эллиптических уравнений второго порядка в ограниченной области с гладкими коэффициентами и границами области были изучены практически полностью. Далее вопросы решения таких задач стали рассматриваться с позиции функционального анализа в работах Г. Вейля, М.И. Витпика, O.A. Ладыженской [22], [23], С.Г. Михлина, Д. Гилбарг, Н. Трудингер [14], К.О. Фридрихса и других авторов. Задача сводилась к исследованию уравнения х + Ах = f с вполне непрерывным оператором А в некоторых гильбертовых пространствах, были получены результаты о существовании обобщенных решений.

Дальнейшие исследования были направлены в сторону изучения нелинейных задач, обратных задач и позднее задач оптимального управления для эллиптических уравнений. Одной из первых монографий по математической тореии оптимального управления уравнениями и системами уравнений в частных производных была монография Ж.-Л. Лиопса [25]. Среди других книг, посвященных теории оптимального управления распределенными системами, можно отметить книги следующих авторов: А.Г. Бутковский [131, А-и- Егоров [15], В.Г. Литвинов [26], А.В. Фурси-ков [36], V. Barbu [44]-[45], J. Zabczyk [94].

2. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца наиболее полно исследовались начиная с 60-ых годов XX века. В работе L. Levin [84j была доказана классическая теорема единственности для уравнения Гельмгольца в простейшей форме для гладких функций класса С2. Работа С. Liu [85] посвящена изучению внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца (Д + к2)и = 0 для липшицевой области и постоянного волнового числа к € С, Im к > 0. Наиболее полная теория классических краевых задач для уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла изложена в монографии Д. Колтона, Р. Кресса [20]. Более поздняя монография этих же авторов [55] содержит также исследования по обратным задачам для данных моделей. Также отметим следующие работы в этом направлении: Г.В. Алексеев [1],[2], Ж.-Л. Лионе [24], О.И. Панич [27], С.И. Смагин [34], S.N. Chandler-Wilde [53], S.N. Chandler-Wilde, Bo Zhang [52], D. Colton [54], D. Colton, F. Cakoni. [47], A. Kirsch [75], Kriegsman, Morawetz [76], T. Senior [89].

Большая часть работ по изучению обратных задач для уравнения Гельмгольца посвящена задачам восстановления формы препятствия и характера границы из информации о диаграмме рассеяния (о поле в дальней зоне). Первоначально рассматривалась только задача определения формы препятствия, F. Gylys-Colwell [64], M. Lassas, M. Chaney, G. Uhlmann [86], затем стали добавляться требования определения импеданса, R. Kress, W. Rimdell[81], уменьшения количества данных (измерения на части границы, ограниченное число падающих волн), изучались задачи для полупространства, G. Karamyan [70], G. Yan [92] и множества рассеивателей H. Ammari, A. Ramm [40]. Следует упомянуть работы по обратным задачам для стационарных моделей акустики, переноса тепла и масс: Г.В. Алексеев, А.Ю. Чеботарев [7], Г.В. Алексеев [3]-[4], Г.В. Алексеев, О.В. Соболева, Д.А. Терешко [5], D. Colton, A. Kirsch [61], A. Kirsch, R. Kress [74], Е. Sincich [90].

Задачи управления для уравнения Гельмгольца в случае гладких областей и постоянного волнового числа изучались с использованием классической теории потенциалов начиная с 80-ых годов прошлого столетия.

В работах Т. Angell, R. Kleinman [42] и A. Kirsch [72] рассматривались задачи оптимального управления для уравнения Гельмгольца, связанные с излучением или рассеянием волн бесконечным цилиндром. Область считается заданной, задача состоит в том, чтобы управлять граничными условиями так, чтобы поток энергии в дальней зоне в пределах заданного угла был максимальным. В качестве граничных условий выбирается условие Дирихле и импедансное граничное условие. С физической точки зрения эти задачи могут рассматриваться как задачи об излучении или задачи синтеза антенн. В статье А. Kirsch [73] дополнительно выводится специальное свойство граничного управления — принцип bang-bang.

В работе F. Criado, G. Meladze, N. Odisehlidze [59] приводится решение задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Гельмгольца, задача сводится к минимизации квадратичного функционала. Статья A. Habbai [69] посвящена исследованию задачи оптимизации для формы части границы с целью достижения нужного акустического давления в некоторой подобласти. Интересно отметить с точки зрения физических приложений работу Cao Yanzhao, D. Stanescu [60], в которой оптимизация заключается в подборе такой формы турбины, которая уменьшает звуковой шум от двигателя самолета. Из других авторов отметим G. Fcijóo, A. Obérai, P. Pinsky [63], Е. Divo, A. Kassab, M. Ingber [62].

Упомянем также ряд работ, посвященных численным методам и алгоритмами решения задач управления и обратных задач для уравнения Гельмгольца: Г.В. Алексеев, Е.Г. Комаров [37], I. Babuska, Kang-man Liu [87], I. Harari [68], G. Oliver [88].

3. Математические постановки задач, связанные с уравнениями Максвелла в гармоническом режиме во многом близки аналогичным постановкам задач для уравнения Гельмгольца, но отличаются большей сложностью. Многие авторы исследуют последовательно задачи для уравнения Гельмгольца, векторного уравнения Гельмгольца, уравнений Максвелла. Подробная теория изложена, например, в монографиях T.S. Angelí, A. Kirsch [43] (Методы оптимизации в задачах электромагнитного излучения), D. Colton, R. Kress [55] (Обратные задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн).

Среди исследований о разрешимости и регулярности краевых задач для уравнений Максвелла (в том числе с импедансным краевым условием) выделим следующие: О.И. Панич [27], H. Ammari, С. Latiri-grouz J.-C. Nédélec [39]-[83], T.S. Angelí, A. Kirsch [41], A. Bufia, M. Costabel, D. Sheen [46], D. Colton, R. Kress [56].

Обратные задачи для рассеивающих объектов разной формы (выпуклая область, экраны), имеющие целью восстановление формы и/или качественных свойств рассеивателя по информации о поле в дальней зоне, изучались в работах F. Cakoni, D. Colton, Е. Darrigrand [51], F. Cakoni, D. Colton [48],[50], F. Cakoni, D. Colton, P. Monk [49], F. Hettlich [67], A. Kirsch [71].

Говоря о задачах оптимизации и управления для уравнений Маквел-ла, можно отметить работы J.E. Lagnese [82], К.A. Kime [79], V. Komornik [80], S.S. Krigman, C.E. Wayne [77]-[78] по граничной управляемости для нестационарных уравнений Максвелла. Вариционные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и уравнений гидродинамики изучались в работах Т.В. Беспаловой, А.Ю. Чеботарева [8], A.C. Савенковой, А.Ю. Чеботарева [32].

В работе A. Jüschke, J. Jahn, A. Kirsch [65] рассматривается задача многоцелевой оптимизации для уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами. Цель оптимизации — направить поле наибольшей мощности (точнее, максимизировать интенсивность излучения — отношение мощности излучения к подводимой мощности) в заданном направлении и минимизировать мощность поля в остальных направлениях. Продолжение этих исследований опубликовано в статье J. Jahn, A. Kirsch, С. Wagner [66].

4. Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных наук играют задачи управления волновыми полями. Разработке методов и численных алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ (см. выше). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления.

Задачи оптимального управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла, с одной стороны, представляют значительный теоретический интерес как объект применения современных математических методов, с другой стороны, важны для приложений в различных областях прикладных наук: медицина, томография, материаловедение, акустика, радиолокация и т.д.

Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, в случае когда отображение управление—»состояние является линейным или афинным, изучены достаточно полно и являются классическими задачами в этой области, тогда как нелинейность отображения приводит к возникновению трудностей, не решаемых стандартными методами. В данной работе изучается задача граничного мультипликативного управления для двух математических моделей — уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла (соответственно, распространение акустических и электромагнитных волн в гармоническом режиме), то есть функции состояния и управления входят в основную постановку задачи как множители, что и приводит к возникновению нелинейных эффектов в задаче, другими словами, отображение отображение управление—»состояние не является линейным.

Целью данной диссертационной работы является исследование вопросов корректности постановок краевых задач для скалярного и векторного уравнения Гельмгольца, анализ разрешимости задач мультипликативного граничного управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла в гармоническом режиме, изучение свойств решений этих задач, разработка асимптотических алгоритмов для решения задач оптимизации.

Рассматриваемые постановки задач связаны с обратными задачами рассеяния. Однако, в отличие от задач, изученных в упомянутых выше работах, в данной диссертации предлагается сведение обратной задачи рассеяния к задаче управления, причем в качестве управления выбирается функция импеданса, мультипликативно входящая в граничное условие, а в целевой функционал входят желаемые значения акустического или электрического поля в некоторой области или подобласти (не в дальней зоне). Новизна заключается также в том, что во всех изучаемых задачах используется более общее (по сравнению с условиями Дирихле и Неймана) граничное условие третьего рода.

5. По своей структуре диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 94 наименований. Работа изложена на 97 страницах машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Савенкова, Анастасия Сергеевна

Заключение

1. Основная цель диссертации состояла в исследовании задач управления волновыми процессами в гармоническом режиме. Сформулируем кратко основные результаты диссертации:

1. Для задачи оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области доказана разрешимость, на основании принципа множителей Лагранжа выведена система оптимальности (необходимые условия экстремума), получены достаточные условия единственности решения системы оптимальности.

2. Для задачи оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области исследована разрешимость, выведена система оптимальности и достаточные условия единственности ее решения. Изучены свойства множества решений, получен результат типа принципа bang-bang для оптимального управления, построена асимптотика решения по параметру регуляризации.

3. Доказаны существование и единственность слабого решения краевой задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области, выведены условия, обеспечивающие регулярность решения. На основании принципа неопределенных множителей Лагранжа построена и исследована система оптимальности, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения.

2. В диссертации были применены различные методы исследования как разрешимости краевых задач для уравнений Гельмгольца и Максвелла (метод априорных оценок, теория фредгольмовых операторов), так и вывода и определения свойств системы оптимальности (метод множителей Лагранжа, прямой вывод системы оптимальности из необходимого условия экстремума выпуклого функционала, методы получение условий достаточных единственности решения системы оптимальности). Использованные подходы могут быть успешно распространены на другие задачи оптимального (мультипликативного) управления эллиптическими уравнениями и системами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савенкова, Анастасия Сергеевна, 2009 год

1. Алексеев Г.В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 360 с.

2. Алексеев Г. В. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов. Часть 2. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1991. 140 с.

3. Алексеев Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции // Вест. НГУ, Серия: матем., механ. и информатика. 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 6-32.

4. Алексеев Г. В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 1055-1076.

5. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели массопереноса // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49. № 4. С. 24-35.

6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 364 с.

7. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. № 8. С. 1189-1199.

8. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла вгармоническом режиме // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 689-701.

9. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

10. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. Асимптотика решений задач мультипликативного управления для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 9. С. 1607-1618.

11. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. О регулярности решения одной краевой задачи для уравнений Максвелла // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. № 1-2. С. 24-28.

12. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // ИПМ ДВО РАН. Препринт №. 2009. 20 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 465 с.

15. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

16. Илларионов A.A. Асимптотика решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2000. Т. 40. № 7. С. 1061-1070.1819 2021