Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Чеботарев, Александр Юрьевич

• Чеботарев, Александр Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чеботарев, Александр Юрьевич

Введение

1 Стационарные неравенства для операторов типа Навье — Сток

1 Постановка задачи.

2 Разрешимость неравенств типа Навье - Стокса.

2.1 Свойства операторов типа Навье - Стокса.

2.2 Априорная оценка решения вариационного неравенства

2.3 Теорема существования

3 Структура множества решений вариационных неравенств типа Навье - Стокса.

3.1 Единственность решения при малых числах

Рейнольдса.

3.2 Структура множества всех решений задачи (1.5). 4 Нелинейные краевые задачи для стационарных уравнений На-| 'Ф вье - Стокса.

4.1 Вспомогательные сведения. Обобщенное решение субдифференциальной краевой задачи для уравнений Навье - Стокса.

4.2 Односторонние краевые задачи для стационарной

I системы Навье - Стокса.

4.3 Протекание вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде полного напора.

5 Движение вязкой жидкости с ограниченным вихрем и проблема исчезающей вязкости.

5.1 Вариационное неравенство на множестве с ограниченным вихрем.

5.2 Предельный переход по вязкости.

I 5.3 Интерпретация вариационного неравенства для оператора Эйлера

6 Разрешимость краевых задач с неоднородным условием для касательной компоненты скорости

6.1 Постановка задачи.

6.2 Определение обобщенного решения задачи (6.1)-(6.3)

6.3 Существование обобщенного решения.

2 Стационарные неравенства в моделях неоднородной или теп

Щ лопроводной жидкости

1 Субдифференциальная краевая задача для уравнений динамики неоднородной вязкой жидкости

1.1 Постановка задачи

1.2 Предварительные сведения

1.3 Вариационные неравенства 2 Разрешимость стационарных неравенств для вязкой неоднородной жидкости

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Разрешимость краевой задачи для плотности.

2.3 Вариационное неравенство для скорости.

3 Построение многозначного оператора задачи (1.1)—(1.4).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения»

1. Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем ма-/Щ тематической физики в 50-60 годы 20-го века, привели к бурному развитию этой тематики. В частности, стала развиваться математическая теория управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными и близкая к ней теория вариационных неравенств, причем наиболее интенсивно исследовался случай линейных уравнений. Потребности развития новых технологий в гидромеханике обусловили необходимость исследования вариационных задач динамики жидкости. Примерами таких задач являются вариационные неравенства для операторов гидродинамики, задачи оптимального управления и обратные задачи гидродинамики.

Решение вариационных задач гидродинамики связано со значительными трудностями по сравнению с классическим линейным случаем. Прежде всего ¿ф это объясняется необходимостью учета эффектов обусловленных нелинейностью моделей гидродинамики. Для нелинейных краевых задач гидродинамики, как правило, отсутствуют теоремы об однозначной разрешимости. Кроме того дополнительные нелинейные эффекты возникают при рассмотрении экстремальных задач гидродинамики с ограничениями, а также за счет постановки нелинейных граничных условий. Построение точной теории для задач этого класса, важных с точки зрения приложений, представляет интересную математическую проблему.

Одной из основных моделей теоретической гидродинамики является система уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Корректность основных краевых задач для этой системы рассмотрена в классической книге О. А. Ладыженской [30]. Моделирование нелинейных краевых условий привело к исследованию вариационных неравенств типа Навье - Стокса, теория которых начала разрабатываться Ж.Л.Лионсом [36],[129] и А.В.Кажиховым [26]. Отметим также работу П.П. Мосолова, В.П. Мясникова [46], в которой впервые предложено применять вариационные методы и неравенства при исследовании течений вязко-пластических сред. Следующий этап в развитии теории вариационных задач для системы Навье - Стокса - исследование экстремальных задач оптимизации течений. В работах А.В.Фурсикова [67]-[68] впервые рассмотрены задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости управляемой системы. В дальнейшем это направление развивали ряд авторов, в том числе М.СипгЬш^ег, Ь.Нои, Т.ЭуоЬоапу [123]-[126], Е.АЬе^е1, К.Тешат [95], Э.ЗгкЬагап [136]-[137], М.Беза1, К.Ию [112], Г.В.Алексеев [7]. К вариационным неравенствам и задачам управления для уравнений гидродинамики тесно примыкают обратные задачи об определении не только решения гидродинамических уравнений, но также внешних условий определяющих течение, по дополнительной информации о решении. В работах А.И.Прилепко, И.А.Васина [51]-[53], [134],[142] рассмотрены обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, заключающиеся в восстановлении плотности внешних сил или некоторых коэффициентов по определенной информации об искомом решении.

Таким образом, возникает проблема разработки единого подхода к вариационным проблемам гидродинамики вязкой жидкости, позволяющего проводить теоретическое исследование указанных постановок и строить алгоритмы их решения.

2. Целью данной диссертации является исследование вопросов корректности постановок вариационных задач гидродинамики, изучение качественных т свойств решений этих задач и разработка асимптотических алгоритмов для решения экстремальных задач гидродинамики.

Вариационные задачи для уравнений гидродинамики представляют значительный теоретический интерес как объект применения современных математических методов, а с другой стороны, важны для приложений в различных разделах физики и инженерной механики.

Наиболее полно вариационные неравенства и теория управления для уравнений с частными производными изучены в случае линейных уравнений. Особенностью нелинейных уравнений гидродинамики является то, что неизвестно существует ли функциональный класс, в котором трехмерные уравнения гидродинамики при естественных граничных и начальных условиях имеют единственное решение. Несмотря на существенный интерес к вариационным задачам гидродинамики, значительная часть проблем этого типа оставалась (и остается) открытой.

В качестве математической модели динамики жидкости будем рассматривать систему уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости: р + (и ■ V)uj = -Vp + /лАи + pf, div и = О, (1) uWp = 0. (2)

Здесь и = {ui}f=1 - вектор скорости течения, d = 2,3; р - давление, р - плотность, / - плотность внешних массовых сил, р, = Const > 0 - коэффициент

Ф динамической вязкости, (и • V)и = J2 uk-jS~u- Переменная t означает время, к=1 к х = {xi}f=1 - точку в Kd. Изучение установившихся процессов приводит к стационарной модели неоднородной вязкой жидкости: р{и • V)u = Vp + /¿Ди + pf, div и = 0, uVp = 0. (3)

В случае р = const > 0 (не нарушая общности, считаем р = 1) получаем классические стационарную и эволюционную модели однородной несжимаемой вязкой жидкости: иАи + (и • V)u = -Vp + /, div и = 0, (4) ди

---иАи+(и- V)u = -Vp + f, div u = О, (5)

C/u где и = р/р > 0 - коэффициент кинематической вязкости.

Первое векторное уравнение в (4) (уравнение импульсов) часто удобно записывать в форме Лэмба: иАи + ( rot и х и) = —Vh + /•

Величина h = р+ри2/2 в гидродинамике называется полным напором течения.

Рассматривается также стационарная модель Буссинеска, учитывающая тепловые эффекты, возникающие при движении среды. В этом случае в модели (4) можно положить = (6) где в - температура среды, (3 - коэффициент теплового расширения, д - ускорение свободного падения, и к системе (4) добавить уравнение теплопроводности

-аеД<9 + uVQ = q, (7) где ае - коэффициент температуропроводности, q - объемная плотность источников тепла.

Основным объектом исследований в работе являются системы (3)-(5) и модель (4),(6),(7).

Сформулируем общие постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Пусть П С Kd - ограниченная область с гладкой (кусочно-гладкой) границей Г = 8Q. Предположим, что граничные значения для гидродинамических величин {и,р} (соответственно, {р,и,р} в модели (3) или и, в в модели Буссинеска) являются полностью или частично неизвестными и требуется определить эти значения, а также найти отвечающее им течение (решение соответствующей системы уравнений) в области О по дополнительной информации о решении. В качестве указанной информации будем рассматривать следующие типы условий: а) Субдифференциальные соотношения между {и,р} (либо между температурой 9 и другими параметрами течения).

В этом случае мы получаем вариационные неравенства для оператора Навье — Стокса. Отметим, что классические краевые условия (например, типа Дирихле) являются частным случаем субдифференциальных граничных условий, а изучение последних позволяет исследовать весьма широкий класс физически интересных задач. б) Экстремальные условия.

Пусть 3 - некоторый функционал, выбираемый из физических соображений (функция качества или стоимости) и зависящий от гидродинамических параметров течения. Тогда условие

3 -»• , где минимум ищется на некотором множестве допустимых управлений и течений, приводит к задачам оптимального управления для системы Навье - Стокса. в) Задание дополнительных нелокальных условий на гидродинамические характеристики течения.

С точки зрения гидродинамики требуется определить внешние условия, определяющие течение, например, плотность внешних сил. Можно также вместо отсутствующего краевого условия на части границы рассматривать переопределение на другой части границы или другую дополнительную информацию о решении. При этом специфика задач протекания приводит к ограничениям в виде неравенств. Задачи такого типа будем называть граничными обратными задачами для системы Навье - Стокса.

При исследовании задач указанных типов методы и результаты, полученные для вариационных неравенств Навье - Стокса применяются к изучению условий оптимальности в экстремальных задачах, также имеющих форму вариационных неравенств. Особенностью предлагаемого метода исследования обратных задач является постановка их в форме вариационных неравенств или экстремальных задач и использование результатов, полученных при рассмотрении проблем типа (а),(б).

Результаты диссертации изложены для абстрактных нелинейных систем типа Навье - Стокса в гильбертовом пространстве, что позволяет получать приложения к различным гидродинамическим моделям и разным типам граничных условий.

3. Рассмотрим теперь вкратце содержание отдельных глав.

Впервой главе рассматриваются стационарные вариационные неравенства для оператора Навье - Стокса, связанные с системой (4). Исследование вариационных неравенств гидродинамики стимулировалось возникновением задач, содержащих ограничения типа неравенств (односторонние условия) на гидродинамические величины. Теория односторонних задач для уравнений Навье - Стокса впервые начала разрабатываться Ж.-Л.Лионсом [36], [129] им были рассмотрены примеры односторонних ограничений, при которых удается доказать разрешимость задач, интересные только в теоретическом плане. В работах А.В.Кажихова [10],[26],[27] рассмотрены постановки односторонних эволюционных задач гидродинамики, имеющие ясную физическую интерпретацию. Различные модификации эволюционных неравенств для операторов Навье - Стокса рассматривали H.Brezis [102][103], G.Prouse [135], M.Muller, J.Naumann [130],[131]. Рассматриваемые в диссертации постановки стационарных неравенств являются новыми и допускают различные физические приложения, поскольку позволяют моделировать широкий класс нелинейных граничных условий. Отметим также, что результаты первой главы могут быть использованы для исследования новых краевых задач гидродинамики, не содержащих неравенств, таких как задачи с заданным на границе течения полным напором или с заданной зависимостью между полным напором течения и другими гидродинамическими характеристиками. Результаты главы 1 заключаются в следующем:

• исследована корректность класса стационарных неравенств для оператора Навье - Стокса;

• получены условия разрешимости (без ограничений типа малости) и единственности (при малых числах Рейнольдса);

• описана структура множества решений вариационных неравенств как конечномерного компакта; последнее является обобщением классических результатов С.Ро1аз, К.Тетат [115] на случай субдифференциальных краевых задач;

• даны приложения полученных результатов для односторонних стационарных краевых задач для системы Навье - Стокса, в том числе и для задач с неоднородным краевым условием для касательной компоненты скорости течения;

• изучена проблема исчезающей вязкости методом вариационных неравенств, на основе моделирования течений с ограниченным вихрем, при этом описана структура решения предельного неравенства как новой модели динамики идеальной жидкости.

Вторая глава посвящена изучению стационарных вариационных неравенств в модели неоднородной несжимаемой жидкости (3) , а также субдифференциальных краевых задач для модели тепловой конвекции (4), (6)-(7). Учет неоднородности среды вносит существенные трудности при исследовании этой системы даже в случае двумерных течений. Первая краевая задача для эволюционной модели неоднородной жидкости исследована в работах А.В.Кажихова [10],[25],[27], а в стационарном случае - Н.Н.Фроловым [65],[66]. Эволюционные неравенства также рассматривались А.В.Кажиховым при изучении односторонних краевых задач [26]. В диссертации доказана разрешимость в целом для класса стационарных неравенств в модели неоднородной несжимаемой вязкой жидкости. Получены приложения к односторонним краевым задачам, а также к задачам с классическими краевыми условиями и задачам типа регулирования.

Далее во второй главе вводится класс обобщенных операторов типа На-вье - Стокса, позволяющий, в качестве приложения, исследовать как классические задачи гидродинамики, так и более сложные модели, учитывающие, например, тепловые эффекты. Для операторов указанного класса исследуются вариационные неравенства. Основной результат - теорема о разрешимости - применяется к различным односторонним задачам тепловой конвекции вязкой жидкости. Следует отметить, что указанный результат является аналогом принципа Лере-Шаудера для стационарных неравенств с обобщенным оператором типа Навье - Стокса. Применение данного обобщения известного принципа позволяет исследовать нелинейные краевые задачи с неравенствами и для более сложных моделей гидродинамики таких как модель среды с внутренними степенями свободы и модель неоднородной жидкости с учетом диффузии [10, с.148-155].

В главе 3 рассматриваются экстремальные задачи динамики вязкой жидкости. Основное внимание уделяется интересным для приложений задачам граничного управления. Предлагается новый подход к проблемам оптимизации течений, основанный на рассмотрении негладких граничных управлений класса Ь2. При выводе условий оптимальности применялся не классический принцип Лагранжа, а использовались методы непосредственных оценок производной функционала качества, либо аппроксимация задачи на основе метода штрафа. Это позволило более точно учитывать алгебраическую структуру задачи и в ряде случаев получить результаты, не содержащие ограничений типа малости. Введено новое понятие - регулярности множества допустимых управлений относительно течения. При выполнении условия регулярности вывод необходимых условий (или достаточных) оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина не связан с ограничениями типа малости или регулярности оптимальных течений. Основные результаты главы 3 заключаются в следующем.

Получены условия корректности задач оптимального управления стационарными уравнениями Навье - Стокса, где управляющим параметром является полный напор течения. Описана структура множества решений экстремальных задач и построены системы оптимальности. Описаны условия достаточности принципов максимума в задачах управления для уравнений гидродинамики.

Предложен метод получения и обоснования условий оптимальности для экстремальных задач связанных с нелинейными стационарными системами типа Навье - Стокса и даны приложения для задач оптимизации течений вязкой жидкости. Предложенный метод обоснования принципов максимума не содержит ограничений типа малости или регулярности на оптимальное состояние.

Доказаны нелокальные по времени принципы максимума в задачах граничного и стартового управления эволюционными системами Навье - Стокса.

Построены субоптимальные управления в экстремальных задачах гидродинамики при малых числах Рейнольдса и предложен асимптотический алгоритм решения задач оптимального управления.

Четвертая глава связана с исследованием обратных задач для системы Навье - Стокса. Обратные задачи для нестационарных уравнений гидродинамики изучались А.И.Прилепко и И.А.Васиным в работах [51]-[53],[134],[142], где рассмотрены постановки об определении плотности внешних сил по интегральному или финальному переопределению. В работе автора [71] рассмотрена линейная обратная задача гидродинамических потенциалов.

Обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, рассматриваемые в данной главе, связаны с нахождением не только скорости течения жидкости, но также и внешних условий, вызывающих это течение. При этом с прикладной точки зрения более реалистичным является определение граничных условий, определяющих движение жидкости. Для постановки таких обратных задач к системе уравнений следует добавить соотношения, содержащие дополнительную информацию о решении. Здесь в качестве условия переопределения рассматриваются субдифференциальные соотношения. Обычное интегральное переопределение является при этом частным случаем субдифференциального условия, а с другой стороны, такое условие позволяет рассмотреть широкий класс физически интересных постановок. Изучение поставленных обратных задач сводится к исследованию класса стационарных вариационных неравенств для оператора Навье - Стокса на основе результатов главы 1, а также к изучению эволюционных нелинейных неравенств, теория которых здесь строится. В данной главе рассмотрены новые постановки обратных задач с субдифференциальным переопределением для уравнений гидродинамики. Получены теоремы о разрешимости, единственности и структуре множества решений обратных задач для стационарных систем типа Навье — Стокса. Кроме этого исследованы обратные задачи для эволюционных систем типа Навье - Стокса, в том числе класс вариационных неравенств в гильбертовом пространстве для уравнений с квадратичной нелинейностью. Результаты - теоремы разрешимости и единственности - доказаны в целом по времени. Получены приложения для обратных задач об определении правых частей или граничных условий в системе Навье - Стокса, а также для задач типа управления или регулирования.

Введенный в работе класс нелинейных задач позволяет, в частности, изучать обратные задачи о нахождении граничных условий, определяющих течение, по заданным интегральным характеристикам течения. Для рассмотренного класса обратных задач получено условие на "регулярность"нелинейных членов, гарантирующее существование слабого решения на произвольном временном промежутке. При дополнительной "регулярности"исходных данных и нелинейного члена доказано существование и единственность сильного решения. Полученные результаты применяются для исследования задачи определения граничных условий (перепада полного напора) при протекании вязкой жидкости через ограниченную область по заданному расходу течения. Для трехмерных течений доказано существование слабого решения обратной задачи "в целом "по времени, а для двумерных течений - существование и единственность сильного решения. Отметим, что полученные результаты близки к классическим результатам о корректности краевых задач для уравнений Навье - Стокса [30],[31],[59].

4. Перечислим вкратце основные используемые методы.

Вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье - Стокса (с квадратичной нелинейностью) в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики с единой точки зрения, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье - Стокса и хорошо известным свойством ортогональности.

При получении результатов данной диссертации использовались методы исследования разрешимости краевых задач гидродинамики в шкалах функциональных пространств Соболева И^; свойства решений эллиптических и параболических краевых задач; теория и методы выпуклого анализа и многозначных отображений; методы регуляризации; методы исследования сингулярных экстремальных задач в гильбертовых пространствах.

Все рассмотренные в работе задачи логически связаны следующим образом. Методы исследования, развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики, и соответствующие результаты используются (или применяются непосредственно) для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления.

Отметим также стандартные (в настоящее время) методы исследования нелинейных задач, такие как метод априорных оценок решения и метод компактности, основанный на компактности оператора вложения некоторых пространств Соболева в пространства Лебега. Методы и результаты, изложенные в работе могут быть перенесены на широкий класс экстремальных и обратных задач для нелинейных систем. Практическая ценность работы следует из возможных приложений полученных в диссертации результатов при исследовании инженерных задач оптимизации течений вязкой жидкости. В частности, разработанные асимптотические алгоритмы решения экстремальных задач позволяют заменить трудоемкий процесс моделирования течений на основе нелинейной системы Навье - Стокса на задачу определения субоптимальных управлений, решаемую на основе линейных моделей гидродинамики.

5. По теме диссертации автором опубликовано более 50 печатных работ. Основные результаты представленные в диссертации опубликованы в работах [11], [21], [22], [28], [71]-[91], [96], [97], [104]-[109]. Работа выполнялась в рамках темы НИР "Экстремальные задачи математической физики ", номер государственной регистрации 01.9.80.009612. Кроме того работа поддерживалась грантами на конкурсной основе:

• Грант С.Петербургского Конкурсного центра фундаментального естествознания, 1993. Исполнитель.

• Грант программы "Университеты России "по направлению "Фундаментальные проблемы математики и механики", проект 1.5.53, 1993-95. Руководитель.

• Грант Российского фонда фундаментальных исследований, проект 9601-00256, 1996-98. Руководитель.

• Персональный грант губернатора Приморского края в области науки. 1997.

• Грант 6-го конкурса - экспертизы научных проектов молодых ученых

РАН по фундаментальным и прикладным исследованиям. 1999. Руководитель.

• Персональный грант международной Соросовской программы образования в области точных наук. 2000.

Автор признателен указанным программам и фондам без чьей финансовой поддержки работа над диссертацией осложнилась бы.

Автор выражает особую благодарность своим учителям и коллегам за интересные и полезные обсуждения многих вопросов, изложенных в диссертации:

A.B. КяжиУову|В.11. Коробейников^ в.Н. Монахову, П.И. Плотникову, A.B.

Фурсикову, A.M. Хлудневу, В.В. Шелухину. Особая признательность научному руководителю A.B. Кажихову, в дискуссиях с которым появились постановки многих задач, рассмотренных в диссертации.

Ряд ценных замечаний и советов высказали:

O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева, Н.М. Ивочкина, Н.В. Кузнецов, А.И. Прилепко, В.В. Катрахов, А.Г. Зарубин, Р.В. Намм, А.Г. Подгаев, Д.С. Ани-конов, J1.T. Ащепков, H.H. Фролов. Автор выражает им искреннюю благодарность.

Автор выражает признательность Г.В. Алексееву за пристальное внимание к работе.

Обозначения и символы

M - числовая прямая (—оо, оо)

Rd - d-мерное евклидово пространство

R+ = [0, +00), R" = (-оо, 0], 1 = (-оо; +оо]

Г2 - открытое множество в Ша

Г = дП - граница О,

Q = П х (0,Т), S = дП х (0, Т), где 0 < Т < оо • ||х - норма в линейном нормированном пространстве X

X' - сопряженное пространство, множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X у, х >= (у,х) - значение функционала у £ X' на элементе х G X df - субдифференциал / : X —> R, df{x) = {у EX': f(a) - f(x) >(у,а- х) Va G X} А* - оператор, сопряженный с оператором А замыкание множества С теавС - мера Лебега множества С С з1дпх = \\х\\х ' если х ^ О, х Е X

Оаи(х) = Эха! и[дхЬл , а = (а1,а2,.,ай), |а| = ах + . + аа, а{ > 0, г = 1,с?

1 "" (Л

С'г(П) - пространство вещественных функций, определенных на П, к раз непрерывно-дифференцируемых, О < к < оо о ^

С ($7) - подпространство функций из Ск(П) с компактным носителем в о оо

И{П) =С (П)

V (£)) - пространство распределений (обобщенных функций) на П

Ск{й) - пространство функций, определенных на Г2 , к раз непрерывно-дифференцируемых в производные до к-го порядка которых допускают непрерывное продолжение на 0,0 < к < оо

ЬР(П) - пространство р-интегрируемых функций и : П-^Мс нормой \\и\\р = (^\и(х)\^ху/р, 1<р<оо, 1М|оо = 8ирхеП ев«|и(а;)| для р = оо

W™(Q) - пространство Соболева {и € LP(Q);

Dau € LP(Ü), \a\<m}, 1 < p < oo

O m

Wp (íí) - замыкание D(Q,) по норме пространства W™(Í2) o m

W~m(Q) - пространство, сопряженное к Wp (Q), + ^ = 1 o s

H~s(fl) - пространство сопряженное к W2 > 0. и3(а, Ь; X) = Н*(X) - пространство ^интегрируемых функций (а, Ь) X, X - банахово пространство, 1 < р < оо, —оо < а < Ь < оо

С ([а, Ц;Х) - пространство непрерывных функций : [а, 6] —> X

Пространства вектор-функций обозначаются, если это не вызывает недоразумений, тем же символом, что и пространство, к которому принадлежат все компоненты вектор-функции, принадлежащей рассматриваемому пространству. При этом, если вектор-функция и = 1 £ X, то, как правило, ||и||х = (]£? Ии»||х) 2 в том случае) когда пространство X - гильбертово, или

1/р

MIW'(fi) = ( для пространства Соболева.

Будем говорить, что оператор А : X —ь У является слабо непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в слабо сходящиеся в У последовательности; компактным если он ограниченные в X множества переводит в компактные в У множества; вполне непрерывным если он непрерывен и компактен; усиленно непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в сильно сходящиеся в У последовательности.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Чеботарев, Александр Юрьевич

Заключение

1. Основная цель данной диссертации состояла в исследовании на основе единого подхода различных, на первый взгляд, классов задач для нелинейных уравнений Навье - Стокса таких как вариационные неравенства, экстремальные задачи или задачи оптимального управления для систем Навье - Стокса и обратные задачи гидродинамики.

Вариационные неравенства возникли в механике довольно давно в связи с моделированием односторонних краевых условий в теории упругости, а также в задачах моделирования вязко-пластических сред и в задачах динамики неньютоновских жидкостей. Этот класс неравенств возникает уже на этапе построения математической модели среды и постановки краевых задач для соответствующих уравнений. В рамках классических моделей гидродинамики, таких как уравнения Эйлера, Навье - Стокса, Буссинеска, вариационные неравенства являются сравнительно новым методом моделирования нелинейных краевых условий, а возникающие при этом математические задачи, как правило открытые.

Постановки краевых задач гидродинамики в форме вариационных неравенств естественно возникают при исследовании задач типа протекания среды через ограниченную область или в так называемых задачах регулирования, когда часть гидродинамических характеристик течения на границе является нелинейной (в общем случае даже негладкой) функцией других параметров течения. Результаты, приведенные в главах 1-2 для стационарных задач и в главе 4 для нестационарных неравенств дают возможность сравнить классические теоремы о разрешимости и единственности для уравнений гидродинамики с их аналогами для более сложных гидродинамических моделей, описываемых посредством неравенств.

Другой источник появления вариационных неравенств гидродинамики связан с так называемыми обратными задачами, в которых требуется определить не только решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику сплошной среды, но и внешние условия определяющие течение. Роль указанных условий часто выполняют неизвестные (полностью или частично) граничные данные, внешние силы или другие параметры соответствующих операторов гидродинамики. При этом для определения решения обратных задач нужно задавать дополнительные условия (условия переопределения), которые могут иметь различный характер.

В диссертации рассмотрены два основных типа таких дополнительных условий. Во первых, это экстремальные условия, рассмотрение которых приводит к задачам поиска течений, минимизирующих некоторые функционалы, обычно выбираемые из физических соображений. Обратные (экстремальные) задачи такого типа естественно формулировать как задачи оптимального управления течениями среды. Вариационные неравенства здесь появляются при построении систем оптимальности, а их обоснование и исследование приводит к принципам максимума типа Л.С. Понтрягина. Исследованию таких постановок посвящена глава 3.

Другой тип обратных задач гидродинамики, связан с так называемым субдифференциальным переопределением. Как показано в главе 4, к данному классу обратных задач можно свести как классические постановки в теории обратных задач с интегральными переопределениями, так и новые постановки, содержащие естественные ограничения типа неравенств на гидродинамические параметры. В главе 4 диссертации указанный класс обратных задач сводится к исследованию вариационных неравенств (стационарных или эволюционных) для оператора типа Навье - Стокса, общая теория которых развита в главе 1 для стационарных задач и в главе 4 для эволюционных.

2. Важной особенностью данной диссертации, по мнению автора, является то, что вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье -Стокса (с квадратичной нелинейностью) в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики с единой точки зрения, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье - Стокса и другими хорошо известными свойствами таких операторов как, например, свойство ортогональности квадратичного члена оператора решению соответствующей задачи.

В диссертации приведены примеры приложения полученных абстрактных результатов для анализа конкретных краевых задач гидродинамики: задач с односторонними условиями, задач типа регулирования, обратных задач с интегральным переопределением, задач оптимизации течений и т.п.

Все рассмотренные в работе типы вариационных задач логически связаны следующим образом. Методы исследования, развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики, и соответствующие результаты используются (или применяются непосредственно) для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления.

3. Конечно же, автору не удалось рассмотреть все важные вопросы в теории вариационных задач гидродинамики несжимаемой жидкости. В стороне осталось, например, исследование таких важных свойств решений вариационных задач как регулярность. Автор не касался в работе исследования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка (за исключением задачи стартового управления). Ряд постановок, которые нетрудно будет исследовать на основе предложенной методики, ожидает своего решения в том числе и в связи с вопросами нахождения наиболее эффективных механизмов и способов управления гидродинамическими полями. Автор не сомневается, что имеется еще значительное количество постановок задач в инженерной гидродинамике, которые можно свести к вариационным задачам рассмотренным в данной работе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чеботарев, Александр Юрьевич, 2003 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 203 с.

2. Алексеев Г.В. О существовании единственного течения проводящей жидкости в слабо искривленном канале // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1969. Вып. 3. С. 115-121.

3. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1972. Вып. 10. С. 5-27.

4. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости / / Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1972. Вып. 15. С. 7-17.

5. Алексеев Г.В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 15-35.

6. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25, N 8. С. 1189-1199.

7. Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции / Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. ДальНаука. 1996.

8. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стаг ционарных уравнений тепловой конвекции / Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. ДальНаука. 09-1997.

9. Алексеев Г.В., Терешко Д. А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 1998. T.l, N 2. С.24-44.

10. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 343 с.

11. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. N6, С.747-753.

12. Вайоки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1988. 546 с.

13. Выховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

14. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 757 с.

15. Васин И. А. О некоторых обратных задачах динамики вязкой несжимаемой жидкости в случае интегрального переопределения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.32. С. 1071-1079.

16. Вишик М.И., Фурсиков A.B. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 440 с.

17. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.:Наука, 1989.464 с.

18. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.

19. Зарубин А.Г. Задача стационарной тепловой конвекции // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1968. Т. 8. N 6. С. 1378-1383.

20. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. Некоторые задачи механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. N 9. С. 1632-1637.

21. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений смешанной краевой стационарной задачи для уравнений Навье Стокса. Владивосток: Дальнаука. 1999. Препринт. ИПМ ДВО РАН.

22. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. О разрешимости смешанной краевой стационарной задачи для уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N 5. С. 689-695.

23. Ильин В.П. К теоремам "вложения"// Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1959. Т 53. С. 359-386.

24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.480 с.

25. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, е5. С. 1008-1010.

26. Кажихов A.B. Разрешимость некоторых односторонних краевых задач для уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды: Нестационарные проблемы гидродинамики / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск. 1974. Вып. 16. С. 5-34.

27. Каоюихов A.B. К теории краевых задач для уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Тр. V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. II. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 65-76.

28. Коновалова Д.С., Чеботарев А.Ю. Оптимальное стартовое управление течением вязкой жидкости / / Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С.110-119.

29. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

30. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1970. 288 с.

31. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

32. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 538 с.

34. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

35. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

36. Лионе Ж,-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами // УМН. 1985. Т. 40, N 2(244). С. 55-68.

37. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 412 с.

38. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями в механике. М.: Наука, 1987. 386 с.

39. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -2-е изд., перераб. М.: Наука, 1965. 519 с.

40. Марчук Г. И. Численное решение задачи динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 303 с.

41. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 575 с.

42. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 420 с.

43. Монахов В.Н. Математические вопросы гидродинамики неоднородных жидкостей. В кн.: Теоретична и приложна механика: III национальный конгрес Болгарии. София. 1977. С. 229-232.

44. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течения вязко-пластических сред // ПММ, 1965. Т. 29. С. 468-492.

45. Обен Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 350 с.

46. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнение второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В кн.: Математический анализ. Итоги науки. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. 252 с.

47. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. 494 с.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272 с.

49. Прилепко А.И., Васин И.А. Некоторые обратные начально краевые задачи для нестационарных линейных уравнений Навье - Стокса / / Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. С. 106-117.

50. Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. матем. физ. 1990. Т. 29. е 2. С. 1540-1552.

51. Прилепко А.И., Васин И.А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. С. 697-705.

52. Рагулин В. В. К задачам протекания для уравнений идеальной жидкости. В кн.: Математические проблемы механики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979. С. 79-90. (Динамика сплошной среды, вып. 43).

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

54. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

55. Солонников В.А., Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье Стокса. - В кн.: Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1973. Т. 125. С. 196-210.

56. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

57. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1966. 724 с.

58. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 497 с.

59. Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. N 2. С. 295-300.

60. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

61. Фояш Ч. Статистические решения нелинейных эволюционных уравнений Математика. Сборник переводов. 1973, 17:3. С. 90-113.

62. Фролов H.H. О разрешимости краевой задачи движения неоднородной жидкости // Матем. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 6. С. 130-140.

63. Фролов H.H. Краевая задача, описывающая движение неоднородной жидкости // Сиб. матем. журнал. 1996. Т. 37. е 2. С. 433-451.

64. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы,касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье Стокса и Эйлера. // Мат.сб. 1981. Т.115, N 2. С.281-306.

65. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье Стокса. // Мат.сб. 1982. Т.118, N 3. С.323-349.

66. Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье Стокса // Мат. сб. 1996. Т. 187, е 9. С. 103-138.

67. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

68. Чеботарев А.Ю. К вопросу об определении внешней силы по заданным потенциалам системы Стокса / / Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры. Новосибирск: НГУ. 1985.

69. Чеботарев А.Ю. О разрешимости односторонней краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1986. Вып. 74. С.87-107.

70. Чеботарев А.Ю. Разрешимость стационарной односторонней задачи протекания для идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 79. С. 129-135.

71. Чеботарев А.Ю. Об оптимальном управлении в задаче протекания для уравнений идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 81. С. 138-150.

72. Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление системой Стокса с односторонними ограничениями // Краевые задачи математической физики и проблемы экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР. 1990. С. 69-85.

73. Чеботарев А.Ю. Об односторонних экстремальных задачах, связанных с системой Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1991. Вып. 102. С. 133-147.

74. Чеботарев А.Ю. Стационарные неравенства для оператора Навье -Стокса и субдифференциальные краевые условия. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО АН СССР. 1991. 15 с.

75. Чеботарев А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи для стационарных уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28, N 8. С. 1443-1450.

76. Чеботарев А.Ю. Математическое моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде / / Проблемы математического моделирования. Владивосток: ДВО РАН. 1992. С. 106-112.

77. Чеботарев А.Ю. Задачи граничного оптимального управления стационарными течениями вязкой жидкости. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО РАН. 1992. 31 с.

78. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34. N 5. С. 202-213.

79. Чеботарев А.Ю., Беспалова Т.В. Моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде и вариационные неравенства. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО РАН. 1993. 22 с.

80. Чеботарев А.Ю. Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО РАН. 1993. Вып. 107.

81. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в задаче граничного управления течением вязкой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34. N 6. С. 189-197.

82. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье Стокса // Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. N 4. С. 934-942.

83. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в обратных экстремальных задачах для стационарных систем типа Навье Стокса // Дальневосточный математический сборник. 1995. Вып.1. С. 92-100.

84. Чеботарев А.Ю. Обратные задачи для нелинейных эволюционных уравнений типа Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 3. С. 517-524.

85. Чеботарев А.Ю. Граничные обратные задачи для уравнений Навье -Стокса с субдифференциальным переопределением // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 5.

86. Чеботарев А.Ю. Предельный переход по вязкости в вариационных неравенствах для оператора Навье Стокса / / Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С. 193-197.

87. Чеботарев А.Ю. Стационарные вариационные неравенства в модели неоднородной несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1997. Т.38. N 5. С. 1184-1193.

88. Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства для оператора типа Навье Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Математические заметки. 2001. Т.70. Вып. 2. С. 296 - 307.

89. Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30. N 6. С. 1000-1005.

90. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление / / Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. N 1. С. 101-111.

91. Abergel F. and Casas F. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V 27. P. 223-247.

92. Abergel F., Temarn R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V.l. P. 303-325.

93. Alekseev G. V., Chebotarev A. Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viscous hydrodynamics // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag Basel. P. 1-11.

94. Alekseev G.V., Chebotarev A. Yu. Nonlinear inverse problems of acoustic potential // 111 Posed Problems in Natural Sciences. Proceedings. Moscow. 1992. VSP/TSP. P. 227-232.

95. Aubin J.P.Optimal and Equilibria. Springer-Verlag, 1993.

96. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. Academic Press, San Diego, 1993.

97. Be'gue C., Conca C., Murât F. et Pironneau 0. A nouveau gur les e'quetions de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // С/R/ Acad. Se. Paris. Se'rie I. 1987. V. 304. 2. P. 23-28.

98. Biroli M. Sur la solution faible des inequations d'évolution du type de Navier-Stokes avec convexe dependant du temps. // Boll. Unione Mat. ital., 1975. V. 11, N 4. P. 309-321.

99. Brezis H. Inequations variationnelles relatives a l'operateur de Navier-Stokes // J. Math. Analysis and Applic. 1972. V. 39, N 1. P. 159-165.

100. Brezis H. Problèmes unilatéraux // J. Math, pures et appl. 1972. T. 51, fs. 1. P. 1-116.

101. Chebotarev A.Yu. Analysis and approximation of the stationary Navie-Stokes inequalities // Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Book of Abstracts. 1992. P. 11.

102. Chebotarev A.Yu. Boundary inverse problems for stationary Navier-Stokes equations with subdifferential conditions. Preprint of Institute for Applied Mathematics FEB RAS. 04-1994. P.l-16.

103. Chebotarev A. Yu. Subdifferential inverse problems for stationary systems of Navier-Stokes type // J.Inverse and 111 Posed Problems. 1995. V.3. No. 4. P. 268-279.

104. Chebotarev A.Yu. Controllability for stationary flows of viscous fluid: Preprint of Institute for Applied Mathematics FEB RAS. 09-1996. P. 1-8.

105. Chebotarev A.Yu. Suboptimal controls in extremum problems of viscous hydrodynamics / / Дальневосточный математический сборник. 1997. Вып. 3. С. 1-5.

106. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for evolution Navier-Stokes systems // J. Inverse and 111 Posed Problems. 2000. V. 8. No. 3. P. 243 254.

107. Constantin P. A Few Results and Open Problems Regarding Incompressible Fluid. Notice of AMS. 1995. V. 42. N 6. P. 658-663.

108. Conca C., Murat F., Pironneau O. The Stokes and Navier- Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan J. Math. 1994. V.20, N 2. P. 279 318.

109. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V.32. N 5. P. 1428-1446.

110. Fabre С. Uniqueness results for Stokes equations and their consequences in linear and nonlinear control problems. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1996. Vol.1. P.267-302.

111. Finn R. On steady state solutions of the Navier-Stokes partial differential equations // Arch. Rational Mech. and Analysis. 1959. V. 3, N 4. P. 381-396.

112. Foias C., Temam R. Structure of the set of stationary solutions of the Navier-Stokes equations // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 149-164.

113. Fujita H. On the existence and regularity of the steady state solutions of the Navier-Stokes equations // J. Facults. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1. 1961. V. 9, N 1. P. 59-102.

114. Fursikov A. V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris. 1996. V. 323. Serie 1. P. 275-280.

115. Fuchs M. Variational models for quasi-static non- newtonian fluids // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 27. Записки научных семинаров ПОМИ. Т.233. СПб. 1996. С.55-62.

116. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer Verlag, New York. 1986.

117. Girault V. Incompressible finite element methods for Navier-Stokesзequations with non-standart boundary conditions in К // Math. Сотр. 1988. V. 15, e 183. P. 55-74.

118. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston: Pitman, 1985. 410 p.

119. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the navier-Stokes equations // App. Math. Letters 1989. 2. N 1. P. 29-31.

120. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math. Comp. 1991. V. 57. N 195. P. 123-151.

121. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modeling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711-748.

122. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow application to viscous drag reduction / / SI AM J. Contr. Optim. 1992. V.30. N1. P. 167-182.

123. Kraëmar S., Neustupa J. A weak solvability of a steady variational inequality of the Navier- Stokes type with mixed boundary conditions / / J. of nonlinear analys. 2001. V.47. P. 4169 4180.

124. Kracmar S. Channel flows and steady variational inequalities of the Navier-Stokes type // Вычислительные технологии. 2002. T.7. N 1. С. 83 95.

125. Lions J.-L. Sur quelques propriétés des solutions d'inéquations variationnelles // C. R. Acad. Sei Paris, Ser. A. 1968. T. 267, N 11. P. 631-633.

126. Müller M., Naumann J. On evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type. I, II, III // Aplikace Matematiky. 1978. V.24. N 2.P. 174-184; N 6.P.397-407; 1979.V.24.N 2. P. 81-91.

127. Naumann J. Periodic solutions to evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type // Boll. Unione mat. ital. 1978. V. 15, N5. P. 351-369.

128. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Annali Scuola Norm. Super. Pisa, ser. III. 1959. V. 13, N 2. P. 115-162.

129. Pironneau O. Conditions aux limiles sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier Stokes // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1986. V.303, N 9. P. 403-406.

130. Prilepko A.I., Vasin LA. On a non-linear non-stationary inverse problems of hydrodynamics // Inverse Problems. 1991. V. 7. L13-L16.

131. Prouse G. On a unilateral problem for the Navier-Stokes equation, I, II // Atti Accad. Naz. Lincei, Rendiconti, cl. sc. fis., mat, natur. 1972. V. 52, N 3. P. 337-342; N 4. P. 467-478.

132. Sritharan S.S. Dynamic programming of the Navier-Stokes equations // Systems and Controls Letters 1991. V 6. P. 299-307.

133. Sritharan S.S. Pontryagin maximum principle and dynamic programming for viscous hydrodynamics // Optimization and Nonlinear Analysis. Pitman research Notes in Math. Ser. 244. 1992. P. 286-297.

134. Swann H.S. The convergence with vanishing viscosity of noustationary Navier-Stokes flow to ideal in R3. Trans. Amer. Math. Soc., 1970 (1971). V. 157, pt. 2. P. 373-398.

135. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1974. V. 10, N 1. P. 209-233.

136. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V. 13, N 1. P. 193-253.

137. Temam R. On the Euler equations of incompressible perfect fluids //J. Functional Analysis. 1975. V. 20, N 1. P. 32-43.

138. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // III-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25, 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

139. White L. W. A Study of Uniqueness for the Initialization Problem for Burgers Equation // Math. Analysis and Applications 172, 1993. P. 412-431.

140. Wolibner W. Un theorem sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infiniment long // Math. Z. 1933. Bd 37. S. 698-726.

141. Yih, Chia-Shun. Dynamics of nonhomogeneous fluids. New York - London; Macmillan. 1965. 306 p.