Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бризицкий, Роман Викторович

• Бризицкий, Роман Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бризицкий, Роман Викторович

Введение

1 Постановка краевых задач. Основные сведения

1.1 Постановка краевых задач.

1.2 Функциональные пространства.

2 Разрешимость краевых задач для уравнений МГД вязкой жидкости со смешанными граничными условиями

2.1 Разрешимость краевой задачи с однородными смешанными краевыми условиями для скорости.

2.1.1 Определение слабого решения задачи 1а.

2.1.2 Единственность слабого решения задачи 1а.

2.1.3 Доказательство глобальной разрешимости

2.2 Анализ линейной краевой задачи МГД

2.3 Разрешимость неоднородной краевой задачи.

2.3.1 Определение слабого решения задачи 1.

2.3.2 Доказательство глобальной разрешимости

2.4 Уравнения МГД с альтернативными граничными условиями

3 Исследование задач' управления для стационарных уравнений МГД вязкой жидкости

3.1 Постановки и разрешимость задач управления.

3.1.1 Постановка и разрешимость задачи управления и общем случае.

3.2 Вы под и анализ системы оптимальности.

3.2.1 Существование миожителей Лагранжа.

3.2.2 Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для миожителей Лагранжа.

3.3 Единственность решения экстремальной задачи.

3.3.1 Положительность множителя Лагранжа Ао.

3.3.2 Единственность решения экстремальной задачи для функционала 1/1.

3.3.3 Единственность решения экстремальной задачи для функционала 1/4.

3.4 Экстремальная задача для системы Навье - Стокса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости»

Магнитная гидродинамика (МГД) представляет собой теорию макроскопического взаимодействия электрически проводящих жидкостей и электромагнитных полей. Она имеет важные приложения в астрономии и геофизике, а также в таких инженерных областях как управляемый термоядерный синтез, охлаждение ядерных реакторов жидкими металлами, электромагнитное литье металлов, МГД - генераторы и МГД - ионные двигатели.

Хорошо известно [1-5], что течение вязкой проводящей несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса для скорости и давления и уравнениями Максвелла без токов смещения для электромагнитного ноля. Указанные уравнения связаны между собой через силу Лоренца и обобщенный закон Ома для движущейся жидкости. Однако, если уравнения Навье-Стокса следует рассматривать лишь в области Г2, занятой жидкостью, то уравнения Максвелла нужно рассматривать как в области ГI, так и в ее внешности = Е3\£]. При этом электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям магнитной гидродинамики (вместе со скоростью и давлением) в О,, уравнениям Максвелла в £7е и определенным условиям сопряжения на границе Г области Q. Подчеркнем, что указанный эффект, связанный с необходимостью рассмотрения уравнений Максвелла всюду в пространстве К3, существенно отличает задачи МГД от задач гидродинамики и серьезно осложняет их теоретическое исследование. Именно по этой причине большинство работ по исследованию уравнений МГД было посвящено изучению ситуаций, когда внешнее электромагнитное поле не является существенным, так что им можно пренебречь, либо свести его действие к соответствующим неоднородным красным условиям для электромагнитного ноля па границе области течения.

Самым популярным примером такой ситуации является случай, когда граница Г области Q является идеально проводящей. Действительно, в этом случае в силу физических законов поведения электромагнитного поля (см. например, [6j, [7] на идеально-проводящей границе необходимо обращаются в нуль нормальная компонента магнитного ноля и тангенциальная компонента электрического поля. Исследованию данного класса задач МГД (при выполнении условия прилипания для скорости) были направлены усилия математиков в 60-е и 70-е годы прошлого столетия. Одной из первых работ в этом направлении явилась фундаментальная работа O.A. Ладыженской и В.А. Со-лонникова [9] (см. также их краткую заметку [8]). В этой работе детально исследованы три начально-краевые задачи для нестационарных уравнений МГД: упомянутая выше задача о течении жидкости в ограниченной области с идеально проводящей непроницаемой границей, задача о течении проводящей жидкости в области Q и протекании электрического тока в токонесущем твердом проводнике при условии, что Q и Q' находятся в более широкой области, заполненной идеальным изолятором и ограниченной извне идеально проводящими стенками, и, наконец, задача исследования течения жидкости в ограниченной области, окруженной идеальным изолятором бесконечной протяженности. Основной вклад работы [9] состоит в том, что результаты о разрешимости указанных трех задач аналогичны соответствующим результатам о разрешимости начально-краевых задач для нестационарных уравнений Навье-Стокса. Аналогичные результаты были получены В.А. Солонниковым в [10] для стационарных уравнений МГД, рассматриваемых при соответствующих однородных краевых условиях.

После выхода статей [В]—[10] был опубликован еще ряд статей о разрешимости краевых и начально-краевых задач для уравнений МГД (отметим среди них в хронологическом порядке работы [11]-[G3]). В преобладающем большинстве этих работ уравнения МГД рассматривались ири однородных красных условиях. Отмстим срсди них статьи G. Duvaut & J.-L. Lions [22|, Ш. Сахаева и В.А. Солонникова [23], O.A. Ладыженской и В.А. Солонникова [26], монографию Г.Г. Брановсра и A.B. Цинобера (21|, статьи M. Scrinaiigc & R. Tcmam [31], Z. Yoshida & Y. Giga [32]. Ряд работ был посвящен исследованию начально-краевых задач для модернизированных уравнений МГД. Отметим среди них статьи Л.И. Стуиялиса [24],[28],[29], Y. Giga & Z. Yoshida [34], D. Ebel & M.C. Shen [35], [ЗС], В.Л. Поспелова [39], В.Н. Самохина [41], M. Spada & H. Wobig [47] и G. Ströhmer [48]. В последней работе было введен альтернативный класс граничных условий для электромагнитного поля, вполне правдоподобный в физическом плане.

Еще один альтернативный способ задания краевых условий, более удобный в математическом плане, хотя и менее физичный, состоит в задании условий Дирихле как для магнитного поля, так и для скорости. Задачи с условиями Дирихле для скорости и магнитного поля изучались в работах R.H. Dyer & D.E. Edmuns [12], J. Förste [15],[16], G. Lassner [17], C.B. Чижонкова [33] и ряде других. Однако следует отметить, что задача Дирихле для уравнений МГД обладает существенным недостатком. Он заключается в том, что решение задачи Дирихле не удовлетворяет, вообще говоря, исходным уравнениям МГД, как было показано в [17], хотя и удовлетворяет другим уравнениям, получаемым путем использования определенной модификации закона Ома.

Мы также отметим, что ряд работ посвящен исследованию задач, которые выше были названы задачами сопряжения. Среди работ в этом направлении отметим, наряду с первыми пионерскими работами [8]-[10], статьи R.H. Dyer & D.E. Edmunds [И], D.E. Edmunds [13], Е. Sanchez-Palencia [18], [19], а также цикл работ A.J. Meir & P.G. Schmidt [51], [58], [62]. В последнем цикле работ авторы рассматривают модельные задачи сопряжения, заключающиеся в нахождении движения проводящей жидкости в ограниченной области пространства, окруженной вакуумом или безграничным идеальным твердым диэлектриком. Подчеркнем, что в отличие от развиваемых ранее подходов к исследованию уравнений МГД, кочч)р1>!х происходит исключение, давления и электрического ноля, авторы развивают альтернативный вариан т исследования рассматриваемых краевых задач для уравнении МГД. Он основан па исключении магнитного поля и использовании в качестве; искомых величин скорости и плотности электрического тока, а также использовании давления и электростатического потенциала в качестве множителей Лагранжа, отвечающих условиям солепоидальности скорости и плотности электрического тока. Отметим, что разрешимость краевых задач в этих статьях доказана лини» при условии малости функций, стоящих в правых частях рассматриваемых граничных условий.

Отметим еще раз, что во многих цитируемых выше работах начально-краевые задачи для уравнений МГД рассматривались при однородных краевых условиях. Именно в случае однородных краевых условий авторам удалось получить результаты, близкие к результатам для уравнений Навье-Стокса и в, частности, доказать теоремы глобальной разрешимости в трехмерном стационарном случае. Однако, когда исследователи обратились к изучению соответствующих неоднородных краевых задач для уравнений МГД, то оказалось, что не все результаты, полученные при исследовании неоднородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса, удается перенести для уравнений МГД. В частности, не удалось доказать глобальной разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений МГД. Это объясняется тем, что в силу специфики уравнений МГД не удается построить соответствующего аналога известной в гидродинамике леммы Хопфа. Поэтому в работах, посвященных исследованию неоднородных краевых задач для стационарных уравнений МГД, существование решения, как правило, доказывается "в малом", т.е. при определенных условиях малости исходных данных (см., например, уже цитированные работы [49], [51], [58], [62], а также статью М.Э. СипгЬш^ег и др. [42]). Недавно в работе Г.В. Алексеева [64] была доказана глобальная разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений

МГД в случае, когда граничный вектор, »ходящий » неоднородное; условие Дирихле для скорости, является тангенциальным. Следует также отметить, что » недавно вышедшей статье М. Wiedmer [Glj была С(1)ормулирована и доказана теорема глобальной разрешимости неоднородной краевой задачи, локальная разрешимость которой была установлена в [42], однако приведенное в [61] доказательство содержит пробелы.

В некоторых ситуациях более точной » физическом плане является та постановка, в которой на границе или некоторой ее части задастся тангенциальная компонента скорости вместе с полным напором, либо нормальная компонента скорости и тангенциальная компонента вихря скорости, либо некоторая компонента тензора напряжения и т.д. Соответствующие граничные условия принято называть смешапыми граничными условиями.

Разрешимость смешанных краевых задач исследовалась в работах В.А. Солонникова [66], О. Pironneau и др. [67], [68], A.A. Илларионова и А.Ю. Чеботарева [69] - [71] для уравнений Навье - Стокса, в работах Г.В. Алексеева, А.Б. Смышляева и Д.А. Терешко [72] - [80] для уравнений тепловой конвекции и в статье A.J. Meir [49] для уравнений МГД.

Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных областей магнитной гидродинамики играют задачи управления для уравнений МГД. К ним относятся управляемый термоядерный синтез, моделирование систем охлаждения ядерных реакторов, создание новых подводных двигателей, разработка МГД - генераторов. Разработке методов и алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ. В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления. Среди работ этого плана отметим работы [64], [65], посвященные исследованию разрешимости задач управления для стационарных уравнений МГД, рассматриваемых при условии Дирихле для скорости и стандартных краевых условиях для электромагнитного поля на границе области течения.

Отмстим также работы J.-L. Lions [81], F. Abergel и R. Temam [82], M. Gunz-burger, L.S. Hou, T.P. Svobodny [83] - [8G], A.B. Фурсикова и О.Ю. Эмануилова [87] - [90] А.Ю. Чеботарева [91], [92], Г.В. Алексеева и В.В. Малыкина [93], F. Abergel и Е. Casas [94], M. Desai, К. Ito [95], Е. Casas [9G]j Г.В. Алексеева [97] - [99], Г.В. Алексеева и Э.А. Адомавичюса [102] - [104], К. Ito и S.S. Ravindran [105], A.A. Илларионова [10G], посвященные исследованию задач управления, возникающих в гидродинамике, тепловой конвекции и массопереносе.

Настоящая работа преследует двоякую цель. Во-первых, в диссертации будет доказана глобальная разрешимость неоднородной краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики при неоднородных краевых условиях для электромагнитного ноля и однородных либо неоднородных смешанных граничных условиях для скорости при некоторых дополнительных условиях на исходные данные, не имеющих смысла условия малости. Основным условием является равенство нулю нормальной компоненты граничного вектора, входящего в неоднородное краевое условие для скорости. При выполнении этого условия можно воспользоваться доказанным в работе [77] аналогом леммы Хопфа. Используя указанный результат, мы докажем теорему глобальной разрешимости рассматриваемой краевой задачи и выведем априорные оценки решения в виде функций, непрерывно зависящих от норм исходных данных.

Во-вторых, в диссертации будут сформулированы задачи управления для рассматриваемой модели магнитной гидродинамики и проведено их детальное теоретическое исследование.

По своей структуре диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 122 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Бризицкий, Роман Викторович

Заключение

В данном заключении, сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказаны теоремы глобальной разрешимости краевой задачи для стационарной системы уравнений МГД вязкой несжимаемой жидкости, рассматриваемой при смешанных граничных условиях для скорости и неоднородных краевых условиях для электромагнитного поля. Установлены достаточные условия единственности решения.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда исходные данные рассматриваемой краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Доказаны теоремы разрешимости задач управления для рассматриваемой системы уравнений МГД, обосновано применение принципа неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества.

4. Получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения задачи управления для конкретного функционала качества.

5. В частном случае, когда Н = О, Е = 0, полученные результаты переходят в новые результаты, касающиеся свойств решения задач управления для уравнений Навье - Стокса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для скорости течения.

В заключении хочу выразить глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. паук, профессору Г.В. Алексееву за ценные; советы и постоянное внимание к данной {заботе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бризицкий, Роман Викторович, 2003 год

1. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физ-матгиз, 1962. 248 с.

2. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. М.: Мир, 1967. 320 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика. Т. 8. М.: Наука, 1982. 624 с.

4. Альфен Г., Фельтхаммар К.Г. Космическая электродинамика. Основные принципы. М.: Мир, 1967. 260 с.

5. Ладыженская O.A., Солонников B.A. О разрешимости нестационарных задач в магнитной гидродинамике // Докл. АН СССР. 1959. V.124. Р.26-28.

6. Солонников В.А. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А. Стеклова. Математические вопросы гидродинамики и магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. 1960. Т.59. С.174-187.

7. Dyer R.H. &; Edmunds D.E. A uniqueness theorem in magnetohydrodynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1961. V.8. P.254-262.

8. Dyer R.H. & Edmunds D.E. On the existence of solutions of the équations of magnetohydrodynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V.9. P.403-410.

9. Edmunds D.E. Stir l'unicité des solutions des équations de la magnétohydrodynamique // С.r. Acad. Sei. Paris. 1962. V.254. P.1377-1379.

10. Edmunds D.E. Sur les équations différentielles de la magnétohydro dynamique и С.r. Acad. Sei. Paris. 1962. P.4248-4250.

11. Förste J. Ein Existenzsatz für stationäre Strömungen in der Magnetohydrodynamik // Mon. Deutsch. Wiss. Berlin. 1964. V.6. P.886-894.

12. Förste J. Ein Einzigkeitssatz für stationäre Strömungen in der Magnetohydrodynamik // Mon. Deutsch. Wiss. Berlin. 1967. V.9. P.241-247.

13. Lassner G. Uber ein Rand1-Anfangswertproblem der Magnetohydrodynamik // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.30. P.388-405.

14. Sanchez-Palencia E. Existence des solutions de certains problèmes aux limites en magnétohydro dynamique / / J. Méc. 1968. V.7. N3. P.405-426.

15. Sanchez-Palencia E. Quelques résultats d'existence et d'unicité pour des écoulements magnétohydro dynamique non stationnaires / / J. Méc. 1969. V.8. N4. P.509-541.

16. J20J Алексеев Г.В. О существовании течения проводящей о/сидкости <> слабо искривленном канале // Динамика сплошных сред. Новосибирск. Пзд-ко ИГ СО РАН, 1969. Вып. 3. С.7-16.

17. Брановер Г.Г., Цинобер A.B. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Наука, 1970. 380 с.

18. Duvaiit G. & Lions J.-L. Inéquations en thermoélasticité et magnéto hydro dynamique // Arch. Rat. Mecli. Anal. 1972. V.46. P.241-279.

19. Сахаев Ш., Солонников В.A. Оценки решения одной краевой задачи магнитной гидродинамики // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1975. (Краевые задачи математической физики 9).Т.127. С.87-108.

20. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1975. Т.52. С.175-217.

21. Ступялис Л.И. О разрешимости начально краевой задачи магнитной гидродинамики // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1977. T.G9. С.219-239.

22. Ladyzhenskaya O.A. &: Solonnikov V.A. The linearization principle, and invariant manifold problems of magnetohydr о dynamics // J. Sov. Math. 1977. V.8. P.384-422.

23. Förste J. Uber die Grundgleichungen der Plasmadynamick auf der Basis der Zweiflüssigkeitstheorie // Z. Angew. Math. Mech. 1979. V.59. P.553-558.

24. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147. N 10. С.156-168.

25. Ступялис Л.И. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А.

26. Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147. N 10. C.1G9-193.

27. Алексеев Г.В. О разрешимости однородной краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной о/сидкосгпи // Динамика сплошной среды. Новосибирск. Изд-во ИГ СО РАН, 1982. Выи. 57. C.G-24.

28. Sermange М. & Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations // Coinm Pure. Appl. Math. 1983. V.36. P.G35-GG4.

29. Yoshida Z. & Giga Y. On the Ohm-Navier-Stokes system in magnetohydrodynamies // J. Math. Phys. 1983. V. P.28G0-2864.

30. Чижонков С.В. Об одной системе уравнений типа магнитной гидродинамики И Докл. АН СССР. 1984. Т.278. N 5. С.1074-1077.

31. Giga Y. & Yoshida Z. On the equations of the two-component theory in magnetohydrodynamies // Communs. Partial Diff. Eqns. 1984. V.9. P.503-522.

32. Blum J. Numerical simulation and optimal control in plasma physics: with applications in tokamaks // Gauthier-Viellars. Paris. 1989.

33. Giga Y. & Yoshida Z. A dynamic free-boundary problem in physics // SI AM J. Math. Anal. 1990. P.1118-1138.1301 Поспелов B.JI. ОС) устойчивости стационарного решения одной задачи магнитной гидродинамики // Дифференц. ур-я. 1991. Т.27. N 5. С.875-88G.

34. Самохин В.Н. (9 системе уравнений магнитной гидродинамики нелинейно вязких сред // Дифференц. ур-я. 1991. Т.27. N 5. C.88G-89G.

35. Самохин В.Н. Сугцествование решения одной модификации системы уравнений магнитной гидродинамики // Матсм. сб. 1991. Т.182. N 3. С.395-407.

36. Gunzburger M.D., Meir A.J. & Peterson J.S. On the existence, uniqueness, and finite element approximation of solution of the equations of stationary, incompressible magnetohyd.rodynamics // Math. Сотр. 1991. V.56. N 194. P.523-5G3.

37. Besson O., Bourgeois J., Chevalier P.-A., Rappaz J. & Touzani R. Numerical model of electromagnetic casting processes //J. Сотр. Phys. 1991. V.92. P.482-507.

38. Rappaz J. k. Touzani R. Modelling of a two-dimensional magnetoliydrodynamic problem // Eur. Jour. Mech. B/Fluids. 1991. V.10. N 5. P.451-453.

39. Spada М. & Wobig Н. On the existence and uniqueness of dissipative plasma equilibria in a toroidal 11 J. Phys. A. 1992. V.25. P.1575-1591.48j Strôhmor G. About an initial-boundary value problem from magne.to-hydrodynamics // Math. Z. 1992. V.209. P.

40. Meir A.J. The equations of stationary, incompressible, magnetohydrodynamics with mixed boundary conditions // Comp. Math. Applic. 1993. V.25. P.13-29.

41. Meir A.J. Thermally coupled magnetohydrodynamics flow // Proc. of the First Mississippi State Annual Conference on Differential Equations and Computational Simulations. Mississippi State University. 1993. Appl. Math. Comp. 1994. V.65. P.79-94.

42. Meir A.J. & Schmidt P.G. A velocity-current formulation for stationary MHD flow // Appl. Math. Comp. 1994. V.65. P.95-109.

43. Hou L.S., Ravidran S.S. Finite element approximation of optimal control problems for electrically conducting fluids // Proc. Sympos. Appl. Math. 1994. V.48. (Ainer. Math. Soc.) Providence. PI. P.

44. Saramito B. Stabilité d'un plasma: modélisation mathématique et simulation numérique. (Recherches en mathématiques appliquées) // 1994. Masson. Paris. Milan. Barselone.

45. Milone G., Solonnikov V.A. On an initial boundary-value problem for equations of magnetohydrodynamics with Hall and ion-sleep effect // Zap. Nauchn. Sem. S. Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI). 1995. V.221. P.167-184.

46. Meir A.J. & Schmidt P.G. Variational methods for stationary MIJD flow under natural interface conditions // Nonlinear Analysis. 1996. V.2G. N 4. P.659-689.

47. Gerbeau J.-F. & Le Bris C. Existence of solution for a density-dependent magnetohydrodynamic equation // Advances in Differential Equations. 1997. V.2. N 3. P.427-452.

48. GO. Gerbeau J.-F. & Le Bris C. On a coupled system arising in magnetohydrodynamics // Appl. Math. Letters. 1999. V.12. P.53-57.

49. Gl. Wiedrner M. Finite element approximation for equations of magnetohydrodynamics j/ Math. Сотр. 1999. V.69. N 229. P.83-101.

50. Meir A.J. & Schmidt P.G. Analysis and numerical approximation of a stationary MUD flow problem with nonideal boundary j j SIAM J. Numer. Anal. 2000. V.36. N 4. P.1304-1332.

51. Gerbeau J.-F. A stabilized finite element method for the incompressible magnetohydrodynamics equations // Numer. Math. 2000. V. 87. P. 83-111.

52. Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой э/сидкости. Препринт N 1. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука. 2002. 78 с.

53. Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несэ/симасмой о!сидкости // Прикл. мех. техн. физ. 2003. Т. 44. N 6. С. 170-179.

54. GG. Солонников В.А., Скадилов В.Е. О краевой задаче для стационарной системы Навье Стокса// Тр. Мат. ин-та им. Стеклова. 1973. Т. 125. С. 196-210.

55. Сопса С., Murât F. and Pironneau О. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan. J. Math. 1994. V.20. P.196-210.

56. Conca C., Parés С., Pironneau О., Thiriet M. Navier-Stokes equations with imposed pressure and velocity fluxes //J. Numer. Methods Fluids. 1995. V. 20. P. 267-287.

57. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений смешанной стационарной задачи для уравнений Навье-Стокса. Препринт N 11. Владивосток. ИПМ ДВО РАН, 1999. 16 с.

58. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. Т. 37. N. 5. 2001. С.689 - 695.

59. Илларионов A.A. О разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Навье Стокса // Дальневост. мат. ж. 2001. Т.2. N 1. С. 16 -36.

60. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции II. Препринт N 30. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998. 48 с.

61. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной oicudкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т. 1. N 2. С. 22-44.

62. Терешко Д.А. Разрешимость экстремальной задачи для течения вязкой жидкости теплопроводной э\сидкости в канале // Дальненост. ма-тем. сб. 1999. Вып. 8. С. 130 139.

63. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость неоднородных краевых задач для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости. Препринт N 6. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль наука, 1999. 56 с.

64. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями. Препринт N 17. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука, 1999. 42 с.

65. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Неоднородные краевые задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса. Препринт N 19. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальиаука. 2000. 60 с.

66. Alekseev G.V. and Smishliaev А.В. Solvability of the boundary-value problems for the Boussinesq équations with inhomogeneous boundary conditions // J. Math. Fluid Mech. 2001. V.3. N 1. 18-39.

67. Терешко Д.А. Краевые задачи тепломассопереноса с однородными граничными условиями для скорости I j Дальневост. матем. ж. 2002. Т.З. N 1. С. 24 33.

68. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условиях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. N1. Р. 84-98.

69. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

70. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. V. 1. P. 303-325.

71. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the Navier-Stokes equations // App. Math. Letters. 1989. 2. N 1. P.29-31.

72. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math, of Сотр. 1991. V. 57, N 195. P. 123-151.

73. Gunzburger M., Hou L., Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modelling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711-748.

74. Gunzburger M.D. Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous dray reduction // SI AM Л. Control Optim. 1992. V. 30, N 1. P. 167-182.

75. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. C7-76.

76. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local cxact boundary controllability of the. Doussincsq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 3G, N 2. P. 391-421.

77. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задает динамики вязкой нееэюимаемой жидкости // Сиб. мат. жури. 1993. Т. 34. N 5. С. 202213.

78. Чеботарев А.Ю. Нормальные региения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 4. С. 934942.

79. Алексеев Г.В., Малыкин В.В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой э/сидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5-16.

80. Abergel F., Casas Е. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V. 27. P. 223-247.

81. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM Л. Contr. Opt. 1994. V. 32. N 5. P. 1428-1446.

82. Casas-E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 127-147.

83. Алексеев Г.В. Стацгюнариые задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 2. С. 174-177.

84. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сибирский матем. журн. 1998. Т. 39. N 5. С. 982-998.

85. Алексее» Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Ж. вычисл. матем. матем. физ. 2002. Т. 42. N 3. С. 380-394.

86. Alekseev G.V., Adomavichus Е.А. Theoretical analysis of inverse extremal problems of admixture diffusion in viscous fluids // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. V. 9. N 5. P. 435-408.

87. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. О разрешимости неоднородных краевых задач для спищионарных уравнений массопереноса // Дальневосточный матем. журнал. 2001. Т. 2. N 2. С. 138 153.

88. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. Исследование обратных экстремаль-пых задач для нелинейных стационарных уравнений переноса вещества // Дальневосточный матем. журнал. 2002. Т. 3. N 1. С. 79-92.

89. Ito К., Ravindran S.S. Optimal control of thermally convected fluid flows и SI AM J. Sci. Comput. 1998. V. 19, N 0. P. 1847 1869.

90. Илларионов A.A. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной иесэ/симаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 5. С. 666 678.

91. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Разрешимость смешанной задачи для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой oicudкости// Дальневост. мат. ж. 2002. Т.З. N 2. С. 285-301.

92. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости со смешанными граничными условиями // Дальневост. мат. ж. 2003. Т.4. N 1. С. 108 12G.

93. Бризицкий Р.В. Исследование задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой оюидкости // Выч. техн. 2003. Т.З. Спец. вып. Ч. 1. С. 158 163.

94. Бризицкий Р.В. О регулярности и единственности решений задач управления для стационарных уравнений МГД вязкой эюидкости со смешанными граничными условиямг1 // Дальневост. мат. ж. 2003. Т. 4 N 2 (в печати).

95. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их прилоэ/сения. М.: Мир, 1989. 494 с.

96. Haslenger J., Hlavacek J. Approximation of the Signorini problem with friction by a mixed finite element method //J. Math. Anal. 1982. V. 86. P. 99-122.

97. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

98. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

99. Galdi G. An introduction to the mathematical theory of Navier Stokes equations. V. 1. New York: Springer - Verlag. 1994.

100. Треногин В.А. Функциональный анализ. M.: Наука, 1980. 49G с.

101. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

102. Hon L., Ravindran S. Computations of boundary optimal control problems for an electrically conducting fluid //J. Coinp. Phys. 199G. V.128. P.319-330.