Задачи анализа и синтеза в анизотропийной теории управления при ненулевом математическом ожидании внешнего возмущения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Кустов, Аркадий Юрьевич

• Кустов, Аркадий Юрьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кустов, Аркадий Юрьевич

Оглавление

Введение

1 Основы анизотропийного анализа

1.1 Анизотропия случайного вектора

1.2 Средняя анизотропия последовательности

случайных векторов

1.2.1 Вычисление средней анизотропии

в пространстве состояний

1.3 Анизотропийная норма линейной системы

1.3.1 Вычисление анизотропийной нормы

в частотной области

1.3.2 Вычисление анизотропийной нормы

в пространстве состояний

1.4 Выводы к главе 1

2 Основы синтеза анизотропийных регуляторов

2.1 Постановка задач синтеза анизотропийных регуляторов

2.2 Решение задачи синтеза оптимального

анизотропийного регулятора

2.2.1 Седловая точка условия оптимальности

2.2.2 "Наихудший" формирующий фильтр

2.2.3 Оптимальный оцениватель

2.2.4 Оптимальный регулятор

2.3 Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного регулятора

2.4 Выводы к главе 2

3 Анизотропийный анализ в случае

ненулевого математического ожидания

3.1 Анизотропия случайного вектора

с ненулевым математическим ожиданием

3.2 Средняя анизотропия последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями

3.3 Анизотропийная норма линейной системы

в случае ненулевого математического ожидания

3.3.1 Вычисление анизотропийной нормы

в частотной области

3.3.2 Вычисление анизотропийной нормы

в пространстве состояний

3.4 Синтез формирующего фильтра

3.4.1 Соединения формирующих фильтров

3.4.2 Синтез формирующего фильтра

по заданному уровню средней анизотропии

3.5 Выводы к главе 3

4 Синтез анизотропийных регуляторов в случае ненулевого математического ожидания

4.1 Постановка и решение задачи синтеза

4.2 Численный пример

4.3 Выводы к главе 4

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи анализа и синтеза в анизотропийной теории управления при ненулевом математическом ожидании внешнего возмущения»

Введение

Актуальность темы. Реальные динамические системы функционируют в условиях различных возмущений. Одной из основных задач при построении управления для динамических систем в присутствии внешнего или параметрического возмущений является обеспечение заданных характеристик системы или понижение влияния возмущений на определенные характеристики системы. Задачи подавления влияния внешнего возмущения восходят к работам Г.В. Щипанова по теории инвариантности и в настоящее время решаются в рамках различных теорий в зависимости от модели объекта и класса возмущений. Важным классом систем с управлением являются системы со стохастическими возмущениями.

Одним из ярких результатов 60-х годов XX века в теории автоматического управления явилась теория построения регуляторов для линейных систем при наличии квадратичного критерия качества (P.E. Калман [10,32], A.M. Летов [36-39]), обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. LQG-задача - это задача построения управления для объекта с линейной динамикой, возбужденной аддитивным гауссовским белым шумом, и критерием качества, пред ставимым в виде положительно-полуопределенной квадратичной формы [15]. В реальных задачах Ь^С-регулятор работал достаточно хорошо, если аддитивная помеха была гауссовским белым шумом. Однако, если векторы входного возмущения были сильно коррелированы друг с другом, системы с LQG-регуляторами не удовлетворяли требованиям, предъявляемым к замкнутым этими регуляторами системам управления.

Созданная в 80-х годах теория "Ноо-субоптимального управления, минимизирующая влияние квадратично интегрируемого внешнего возмущения,

базировалась на решении уравнений Риккати, содержащих некоторый параметр. Причем эти уравнения были похожи на уравнения в теории синтеза линейных регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества [5,6,9,27-30].

В случае, когда значение этого параметра стремилось к бесконечности, уравнения для синтеза T^oo-субоптимального регулятора превращались в уравнения Риккати для LQG-задачи. Однако 'Ноо-оптимальные регуляторы, являясь минимаксными, то есть рассчитанными на наихудший случай входных возмущений, имели свои естественные недостатки - для реализации минимума критерия качества величина управления порой становилась очень большой и такие системы были трудно реализуемы. Регуляторы, минимизирующие Т^оо-критерий качества, являются очень консервативными. Сходство алгоритмов решения описанных выше задач приводило многих ученых к мысли, что должен иметь место подход к управлению динамическими системами со стохастическими возмущениями, в котором задачи 712-и "Hoo-оптимизации были бы частными случаями [31]. К подобным работам можно отнести [11,16,18,19]. Другая теория, обобщающая подходы %2- и "Ноо-управления, была создана Владимировым И.Г., Курдюковым А.П. и Семеновым A.B. и получила название анизотропийная теория стохастического робастного управления. Анизотропийная теория управления существенным образом опирается на теоретико-информационное понятие относительной энтропии при описании неопределенности входных возмущений.

Другой подход к робастному управлению в стохастических системах, использующих понятие относительной энтропии для описания стохастической неопределенности можно найти в работах Петерсена, Угриновского и других [17], где важную роль играет связь между относительной энтропией и свойствами робастности регуляторов, минимизирующих расширенный линейно-квадратичный функционал. Хотя идеи ограничивающих энтропию индуцированных норм и ассоциированного с этим минимакса находят дальнейшее развитие в литературе по управлению, анизотропийная теория широко не известна.

В классических постановках задач анизотропийных анализа и синтеза

в качестве внешних входных возмущений рассматриваются стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями [13,19,21,23-26]. Равенство нулю математических ожиданий векторов означает, что средняя на бесконечном интервале ошибка, обусловленная наличием такого рода возмущений, зависит только от ковариационных матриц векторов последовательности. В качестве наглядного примера выступает уже упоминавшаяся теория 1-12/11(^0-управления, где внешнее возмущение - это гауссовский белый шум. Однако в реальных ситуациях, при различных сбоях в оборудовании или наличии нетривиального внешнего возмущения, средние значения векторов возмущения отличны от нуля. В связи с этим в рамках анизотропийной теории имеет смысл в качестве внешнего возмущения рассматривать стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми средними. Таким образом, при рассмотрении в анизотропийной теории случая ненулевых математических ожиданий у векторов входной последовательности фактически происходит расширение границ ее применения.

Изложение диссертационной работы выполнено следующим образом. Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В главе 1 приводятся основные определения и теоремы анизотропийно-го анализа - вводятся понятия анизотропии случайного вектора, средней анизотропии последовательности случайных векторов и анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы. Для всех результатов указаны ссылки на первоисточники, а для некоторых приведены доказательства.

В главе 2 представлены решения задач синтеза оптимального и субоптимального анизотропийных регуляторов. Решения этих задач известны, и поэтому приводятся в виде обзора с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 3 посвящена обобщению понятий анизотропии, средней анизо-

тропии и анизотропийной нормы на случай, когда векторы входного возмущения имеют ненулевые математические ожидания. Приведены теоремы о вычислении средней анизотропии и анизотропийной нормы в частотной области и пространстве состояний. Также рассмотрена задача синтеза формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии.

В главе 4 предложен подход к синтезу анизотропийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями. Приведен пример.

Цели исследования. Диссертационная работа преследует следующие цели: решение задач анизотропийного анализа и разработка метода синтеза анизотропийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

Методы исследования. В работе применяются математические методы теории управления, линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и теории вероятности.

Научная новизна. Обобщены понятие средней анизотропии на случай ненулевых математических ожиданий векторов последовательности и понятие анизотропийной нормы системы при данном внешнем возмущении. Получены формулы вычисления средней анизотропии и анизотропийной нормы при различной априорной информации о классе входных возмущений. Разработаны метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего окрашенную последовательность по заданному уровню средней анизотропии, и метод синтеза анизотропийных регуляторов, обеспечивающих заданное качество замкнутой системы при ограничении на среднюю анизотропию входной последовательности.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями, и позволяют осуществлять синтез линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, чем широко использующиеся Лоо-оптимальные регуляторы, и применимых для более широкого класса возмущений, чем ЬС}С-регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обобщение понятия средней анизотропии на класс последовательностей гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

2. Обобщение понятия анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

3. Формула вычисления средней анизотропии последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями (в пространстве состояния);

4. Формулы вычисления анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями (в частотной области и пространстве состояний);

5. Метод построения формирующих фильтров, генерирующих последовательность гауссовских случайных векторов с указанным математическим ожиданием на стационарном режиме, по заданному уровню средней анизотропии;

6. Метод построения обеспечивающих заданное качество анизотропий-ных регуляторов для линейной системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Лаборатории №7 ИПУ РАН под руководством д.т.н. Поляка Б.Т., на семинаре кафедры системного анализа ВМК МГУ под руководством академика Куржанского A.B., на семинаре лаборатории механики управляемых систем и лаборатории робототехники и механики ИПМех РАН под руководством академика Черноусь-ко Ф.Л., на семинаре кафедры теории вероятностей МАИ под руководством д.т.н. Кибзуна А.И., на III-V Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация" (ТМШ 2011-2013), на конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012, г. Санкт-Петербург), на XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (КМУ-2013, г. Санкт-Петербург), а также на следующих зарубежных конференциях: 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP, Caen, France, 2013), 19th International Conference on Process Control (Strbske' pleso, High Tatras, Slovak Republic, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в одной монографии, двух статьях в российских журналах из перечня ВАК, в трудах двух международных конференций, двух тезисах докладов на Всероссийских конференциях.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 109 страницах, содержит 1 таблицу и 23 иллюстрации. Библиография включает 39 наименований.

Глава 1

Основы анизотропийного анализа

В данной главе даются основные определения и фундаментальные понятия анизотропийного анализа - анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов, анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы. Приводится их теоретико-информационная интерпретация, а также указаны методы вычисления введенных величин для случая нулевых математических ожиданий векторов входного возмущения. Результаты, представленные здесь, изложены в работах [1-3,19,22-25,35].

1.1 Анизотропия случайного вектора

В этом разделе, следуя [2,22], дадим необходимые сведения об анизотропии гауссовского т-мерного случайного вектора, имеющего нулевое математическое ожидание и произвольную ковариационную матрицу.

Рассмотрим два случайных вектора гс, г; G Мта с соответствующими им плотностями распределений /(х) и д(х):

/ : Мт [0; +оо), 0; +оо).

Существуют различные способы описания вероятностного и теоретико-информационного отличий одной случайной величины, воспринимаемой как случайный сигнал, от другой. В анизотропийной теории управления по аналогии с теорией информации мерой отличия случайного вектора ги от

случайного вектора у той же размерности (сНт('ш) = сИт(г>)) называют относительную энтропию [1] (или расстояние Кульбака-Лейблера) / относительно д, введенную посредством выражения

D(/|W = E/

ш (L

min(^yvm(X), (i.i)

где Е/[Ф] - математическое ожидание функции Ф, определенное по правилу

Е/[Ф] = [ ¡(х)Ф(х)(1Ут(х)

с использованием обозначения с1Ут(х) = ¿х\... ¿хт. Как и в теории меры, предполагается, что функция /(ж) является абсолютно непрерывной относительно д(х):

{жбГ: д(х) = 0} С {х £ Мт : /(ж) = 0} .

Кроме того, в случае /(х) = 0 А д(х) ф 0 будем считать, что

/М1п@)=01п0 = 0'

Введенная с помощью (1.1) функция Т>(/\\д) всегда является неотрицательной, что позволяет описывать меру отличия ио от у и воспринимать ее как "расстояние", но не является коммутативной функцией, поскольку 0(д||/), вообще говоря, не совпадает с Т)(/\\д).

. Ш\9) _

№) д{х)

Рис. 1: Относительная энтропия D(/||(/).

Если в качестве функции д(х) выбрать плотность распределения рл(ж) = (27гЛ)-т/2ехр|-^| , х G ,

гауссовского ш-мерного случайного вектора с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей А/т, то согласно (1.1) и в силу

I Кх)]пЫх))Мт(х) = I /М 1п(2тгА) - ^ с1Ут(х)

= -^1п(2тгА) Е[1"|2]

2 4 2А

получим

В(/|Ы = I Нх)]п(±^)мт(х)

Шт

= I/(х)ННх))Мт{х)- I/{х)\п(рХ(х))Мт(х)

Кт К"1

= -Л(Ш) + ^П(ЙГЛ) + М,

где ¡1(111) = —Е/ [1п /] = — /Кт /(ж) \п/(х)с№т(х) - дифференциальная энтропия случайного вектора т с плотностью распределения /(ж), а Е [|ги|2] = Е [гитги] - квадрат стохастической 2-нормы и>. Для описания меры отличия случайного вектора ио от множества случайных векторов с плотностями д(х) Е {р\(х) : А > 0} используют понятие цветности сигнала.

Определение 1. Анизотропией случайного вектора т с плотностью распределения /(ж) называют число [2]

АИ = ттБ(/|\Рх). (1.2)

Величина 0(/||рд) как функция параметра А > 0 достигает минимума в точке А* = ^Е [|и>|2]. Действительно, решая уравнение

для нахождения точек, подозрительных на экстремум, получим

что приводит к

Хг = —Е [И21 , Л2 = +оо. т 1 -1

Поскольку Л может принимать только конечное значение, то единственным решением остается Л* = ^Е [|ги|2]. Следовательно, анизотропия вектора ги равна

АН = + ^ 1п(2ттЛ.) +

Анизотропия случайного вектора т в определенной степени характеризует меру его отличия от класса гауссовских случайных векторов с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей, то есть описывает "расстояние" до множества случайных векторов, распределенных по нормальному

закону М(0, Х1т) (см. рис. 2).

.——0

Лж) {рлМ : А > 0}

Рис. 2: Анизотропия А(ю) случайного вектора ги.

Если считать, что случайный вектор ги также распределен по нормальному закону и имеет плотность распределения

/(ж) = ((27г)тс1е1(<2)Г1/2ехр ^ж^^ж | , жеГ,

где (5 = >- 0 - ковариационная матрица ги, то относительная энтропия (1.1) примет вид

В(/||рл) = -ЛИ + у 1п(27ГА) + ^,

где ^(ф) = Е [|гу|2] - след матрицы ф. Следовательно, формула (1.2) для анизотропии случайного вектора ги перепишется в виде

аи = -ад + ^ ь (■—^(д)) . (1.з)

£ \ ТП I

Зная плотность распределения /(ж), вычислим дифференциальную энтропию вектора ги:

Кт) = /(ж)1п(/(ж))^т(ж)

+оо

\ 1п ((2ТГГ (!<£)) + I уЧ-У2'Чу

—оо

= 11п((2тгеГ <!<*№)), (1.4)

где с1е1;((5) - определитель матрицы . Учитывая (1.3) и (1.4), получим следующее выражение для анизотропии (1.2):

Анизотропия А(ги) случайного вектора обладает рядом свойств, которые позволяют рассматривать ее как меру неинвариантности распределения случайного вектора относительно его некоторых преобразований. Эти свойства приведены в следующей лемме.

Лемма 1. [22, лемма 1] Анизотропия А(ги) гауссовского т-мерного случайного вектора и) ~ Л/"(0, ) с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей ф обладает свойствами:

A) А(и>) инвариантна относительно умножения случайного вектора ги на ненулевое число или ортогональную матрицу:

А {Шт) = А(ги),

где

к е м\{0} , и е Мтхт, и~1 = иТ;

B) А(и>) ^ А (к/), где и/ - га-мерный случайный вектор, распределенный по произвольному закону с нулевым математическим ожида-

нием и ковариационной матрицей Я; иными словами, гшп{А(У) | Е [ио'\ = 0, соу(и/) = Я} =

хи'

В) А(ги) > 0; причем А(т) = 0 Я = \1т, что следует из (1.5) и неравенства

т

где \к{Я) ~ к-е собственное число матрицы Я.

□

В силу утверждения (А) приведенной леммы функция А(-ш) может служить теоретико-информационной характеристикой неинвариантности распределения случайного вектора и> относительно группы вращений. Продемонстрируем это свойство на простом двумерном примере.

Пусть ^ ~ Л/"(0, Яг), г = 1, 2,3, где

Ял

к О О к

Я2

2к О О к

Яз =

4 4

^ Ч

\~Тк 4 /

Вектор и>з на самом деле получен из вектора Ш2 умножением последнего на матрицу поворота

и =

являющуюся ортогональной:

и-1 = и1

( 1 ч/З Л 2 2 л/3 1 2 /

( \ _л/3\

2 2

л/3 1

VI" 2 / 16

Рис. 3: Плотность распределения случайного вектора и>1, справа показаны линии уровня различных сечений.

Рис. 4: Плотность распределения случайного вектора и>2, справа показаны линии уровня различных сечений.

Рис. 5: Плотность распределения случайного вектора справа показаны линии уровня различных сечений.

Несложно убедиться, что

»■■"-¡""Ш'-НШ

Анизотропия вектора и)\ равна нулю, поскольку и>1 принадлежит эталонному множеству - множеству гауссовских случайных векторов с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей. Значения анизотропий векторов У32 и г^з одинаковы в силу их связи посредством ортогональной матрицы Я.

1 =0 >

1 /

-In

2 I

1 , / 9

-In -

2 1 u

1.2 Средняя анизотропия последовательности случайных векторов

В этом разделе на основе [2,3,19,22-25,35] формулируются основные требования к исследуемым последовательностям и вводится понятие средней анизотропии последовательности случайных векторов.

Пусть {^/cjfcLo ~ бесконечная стационарная эргодическая последовательность гауссовских m-мерных случайных векторов [35]. Значит, для нее справедливы соотношения

1) lim Е[wk] — const, lim cov(ги&) = const,

к—>oo fc—»00

I N-l

2) lim —: wk= Hm E[wn] ,

iV->oo iV f-—i N-»oo

X N-l

3) lim — £ \wk-E[wk]\2= lim tr{cov{wN)).

N-too iV N->00

Указанные свойства стационарности и эргодичности будут необходимы для существования предела в следующем ниже определении. Введем обозначение

/ ,„ \

ws

Ws+1

V ^ /

для случайного вектора, образованного векторами из3,..., г^ последовательности {«;&}

оо

до-

определение 2. Средней анизотропией последовательности W = {lUfcj^Q называют число [2,22]

Замечание 1. Важно заметить, что определением средней анизотропии последовательности не может выступать предел усреднения суммы значений анизотропий каждого вектора

I N-1 k=0

равный в силу свойств стационарности и эргодичности последовательности {w^I^Lq "предельной" анизотропии:

х N-1

lim — > A(wk) = lim A(wm) = const. fc=0

При таком подходе будет теряться информация о динамике самой последовательности и оставаться только предельный случай, являющийся тривиальным и не представляющийся интересным.

Для непосредственного использования формулы (1.6) необходимо уточнить информацию о последовательности W. Пусть V = ~ стандартный гауссовский белый шум, то есть последовательность некоррелированных между собой гауссовских m-мерных случайных векторов с нулевым

средним Е[г>/с] = 0 и единичной ковариационной матрицей cov(^/c) = Im. Предположим также, что последовательность W получается из V с помощью формирующего фильтра [25]

00

= дкеШГхт, ¿ = 0,1,.... (1.7)

к=О

Передаточная функция такого фильтра равна

оо

G(*) = И<1, (1.8)

к—О

и принадлежит пространству Харди 1-1™ХТп комплекснозначных матричных функций, аналитичных внутри единичного диска {z £ С : \z\ < 1}.

Показано [19,23-25], что среднюю анизотропию последовательности W можно вычислить следующим образом:

ÄW^/lndetfgCK

— 7Г

где

S(w) = G*{üj)G(üj), -тг ^ ш < тг,

- спектральная плотность фильтра G или соответствующей ему последо-

—т

вательности {wk}%L0; (•)* = (') обозначает операцию транспонирования комплексно сопряженной матрицы; G(w) = lim G(relw) - значение пере-

г->1-0

даточной функции G(z) на границе единичного круга; г — л/^1 - мнимая единица, а ||С||2 - "Нг-норма передаточной функции (1.8):

/+оо \ V2

\к=о /

/Ч /S

Функционал (1.9) неотрицателен при любых S(co) = G*(uj)G(u>), и принимает конечное значение, если формирующий фильтр G имеет полный ранг, то есть если rank(G(t<j)) = m V и £ [—7г, 7г); в противном случае в

^ Jtr(S(u))du;j

\ i/z

силу того, что с^^б^и;)) = 0, имеет место равенство

и, как следствие, А(И^) = +оо. Иногда для удобства наряду с обозначением А(Ж) будет использоваться обозначение А(С), подразумевающее, что последовательность IV генерируется формирующим фильтром С из стандартного гауссовского белого шума V.

1.2.1 Формулы для средней анизотропии в пространстве состояний

Более удобным способом описания формирующего фильтра (1.7) является применение линейной дискретной стационарной системы

G„í°i» = A4 + Bvk,

[ wk = Схдк + Dvk ,

с матрицами А в МпзХ7\ В е М%хто, С е Mmxr\ D е Rmxm, использующей в качестве входа стандартный гауссовский белый шум V. Для выполнения свойств стационарности и эргодичности последовательности {wk}^L0 потребуем от системы (1.10), чтобы матрица А была асимптотически устойчивой:

р{А) = шах \\{А)\ < 1,

г=1 ,пд

а матрица D - невырожденной: det(D) ф 0. Коэффициенты дк представления (1.8) связаны с матрицами системы (1.10) соотношениями

g0 = D, дк = САк-1В, А; = 1,2,....

Следовательно, матричная передаточная функция (1.8) для фильтра (1.10) может быть представлена в виде

G(z) = D + C(z~lIn - A)~lB , геС, \z\ < 1.

Использование (1.10) для описания внешнего возмущения позволяет привести формулу вычисления средней анизотропии А(VI/) в терминах матриц А, В, С, D.

Теорема 1. [3, теорема 1] Средняя анизотропия A(W) последовательности W, сформированной фильтром G в представлении (1.10) с асимптотически устойчивой матрицей А и невырожденной матрицей D из стандартного гауссовского белого шума V, вычисляется по правилу

= с1-")

где матрицы Е = Ег >- 0 и ЕЕ = БТ (Е + 3 >- 0) связаны выражениями

Е = СРСТ + DDT , Н = CRCT

с решением Р = Рт >- 0 уравнения Ляпунова

Р = АРАТ + ВВТ , (1.12)

и решением R = RT уравнения Риккати

R = ARAT-A{ £ + Е)_1Лт, (1.13)

Л = ARCT + A(P + R)CT.

Доказательство теоремы приведено в [3, теорема 1], а с некоторыми переобозначениями его можно найти в [35, теорема 3.9]. Связь формулы (1.11) с выражением (1.9) определяет так называемая формула типа Колмогорова-Сегё, согласно которой

7Г

J (д*{ш)д{ш)^ (Ь) = lndet(E + Б). (1.14)

— 7Г

Учитывая также, что ^(Е) = ЦСЦ^ , из формулы (1.9) можно легко получить (1.11), и наоборот.

1.3 Анизотропийная норма линейной системы

В теориях %2~ и "Ноо-управления в роли показателя качества системы Тгги со входом IV и выходом 2 выступают %2~ и "Ноо-нормы соответственно. Первая из них характеризует энергию выходного сигнала Z системы, вторая - максимальный коэффициент усиления по всем частотам:

В анизотропийной теории управления введена норма, позволяющая с определенной точки зрения обобщить понятия И2- и "Ноо-норм [19]. В данном разделе дается определение анизотропийной нормы системы и приводятся формулы для ее вычисления в частотной области и пространстве состояний.

Рассмотрим линейную дискретную стационарную систему £ с ш-мерным входом V/ и р-мерным выходом Z■.

В дальнейшем система (1-15) будет соответствовать объекту управления, замкнутому выбранным регулятором, отсюда и обозначение Fd - closed loop system. Передаточная функция такой системы равна Fci(z) = Dd + Cd{z-lIncl — Ad)~lBd. В качестве входа W будем рассматривать последовательность с ограниченной сверху числом а ^ 0 средней анизотропией, то есть последовательность, сгенерированную формирующим фильтром (1.10) из множества

Определение 3. Анизотропийной нормой системы (1.15) называют число [25]

11^11«,= sup a(Tzw(e™)).

7Г,7Г)

= Adxf + Bdwk, = Сах^ + Ddwk ,

Аы e , Вы e MndXm, Cd 6 Rpxncl, Dd e Mpxm.

(1.15)

Ga = {G E n^xm : A(G) ^ a} .

Ill ^ci III a = sup Q(FchW) =

a

W: А(И0^а

(1.16)

где || • ||2 ~ обозначение %2-нормы матричной передаточной функции:

1/2

цс||2 = | [щд*(ш)д(ш))<1и

Анизотропийная норма системы является непрерывной, неубывающей по параметру а Е [0; +оо) функцией, причем справедливы неравенства [25]

Ит 11^11 < Ш\а < Ит ||^||а=Иоо,

у/т а-^0+0 а-Ц-оо

из которых следует, что хорошо известные %2- и Т^оо-нормы являются частными случаями анизотропийной нормы.

Анизотропийная норма системы Ц-^Иа играет роль максимального среднеквадратичного коэффициента усиления по всем возможным входным возмущениям с уровнем средней анизотропии, не превосходящим число а. В случае нулевого значения а = 0 отношение норм (1.16) превращается в масштабированную "Нг-норму системы, т.к. множество Со состоит из тривиальных формирующих фильтров, генерирующих с точностью до умножения на ненулевое число или ортогональную матрицу (см. лемму 1) стандартный гауссовский белый шум. В случае а —+оо супремум берется по всем возможным возмущениям без ограничения на среднюю анизотропию, и анизотропийная норма превращается в "Коо-норму системы.

1.3.1 Вычисление анизотропийной нормы в частотной области

Вычисление супремума в (1.16) напрямую представляет трудность. Однако параметризация некоторым скаляром всех формирующих фильтров, на которых достигается этот супремум, позволила бы заменить исходную задачу на гораздо более простую задачу нахождения супремума по параметру.

Для удобства дальнейшего изложения введем несколько новых обозначений. Множество наихудших фильтров, на которых достигается супре-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кустов, Аркадий Юрьевич, 2014 год

Литература

[1] Cover T.M., Thomas J.A., Elements of Information Theory, 2nd ed. a Whiley-interscince publication, 2006.

[2] Diamond P.M., Kloeden P.D. and Vladimirov I.G., Mean Anisotropy of Homogeneous Gaussian Random Fields and Anisotropic Norms of Linear Translation-Invariant Operators on Multidimensional Integer Lattices. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 16:3 (2003), 209-231.

[3] Diamond P.M., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. and Semyonov A.V., Anisotropy-Based Performance Analysis of Linear Discrete Time Invariant Control Systems. International Journal of Control, 2001, 74:1, 28-42.

[4] Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbaum A.R., Feedback Control Theory. Macmillan, New York, 1992.

[5] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A., State-Space Solutions to Standard V.2- and H^-Control Problems. IEEE Trans. AC, 1989, V.34, 831-847.

[6] Francis B.A., A Course in H^-Control Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences, V.88, New York: Springer-Verlag, 1987.

[7] Green M., Limebeer D.J.N., Linear Robust Control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

[8] Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D. and Postlethwaite I. State-space Formulae for Discrete-time Optimization. Int. J. Contr., 49, 5, 1989.

[9] Iglesias P.A., Glover K. State-space approach to discrete-time Hqo-control. Int. J. Control. - 1991. - V. 54. P. 1031-1073.

[10] Kalman R.E., Contributions to the Theory of Optimal Control. Bol. Soc. Mat. Mexanicana, 1960, № 5, 102-119.

[11] Karny M., Towards Fully Probabilistic Control Design. Automatica, 1996, V.32(12), 1719-1722.

[12] Kurdyukov A.P., Kustov A.Yu., Tchaikovsky M.M. and Karny M., The Concept of Mean Anisotropy of Signals with Nonzero Mean. Proc. Int. Conf. on Process Control, Strbske Pleso, Slovakia, 2013, 37-41.

[13] Kurdyukov A.P., Maximov E.A. and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-Based Bounded Real Lemma. Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, 23911,1-2397.

[14] Kurdyukov A.P., Vladimirov I.G., Propagation of Mean Anisotropy of Signals in Filter Connections. Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control, Seoul, Korea, 2008, 6313-6318.

[15] Kwakernaak H., Sivan R., Linear Optimal Control Systems. Wiley, New York, 1972.

[16] Petersen I.R., James M.R., Dupuis P., Minimax Optimal Control of Stochastic Uuncertain Systems with Pelative Entrfopy Constraints. IEEE Trans, on Autom. Control, 2000, V.45, 398-412.

[17] Petersen I.R., Ugrinovskii V.A., Savkin A.V., Robust Control Design Using H-infinity Methods. Springer, Communication and control engineering series, 2000.

[18] Saridis G.N., Entropy Formulation of Optimal and Adaptive Control. IEEE Trans. Automat. Control, 1988, 33, № 8, 713-721.

[19] Semyonov A.V., Vladimirov I.G. and Kurdjukov A.P., Stochastic Approach to Hqq-Optimization. Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control, Florida, USA, 1994, V.3, 2249-2250.

[20] Tchaikovsky M.M., Stochastic Robust Flight Control Under Windshear by Reduced-Order Anisotropic Controller. Archives of Control Sciences, 2009, V.19 (LV), № 4, 385-422.

[21] Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Synthesis of Anisotropic Suboptimal Controllers by Convex Optimization. http://arxiv.org/pdf/1108.4982.

[22] Vladimirov I.G., Diamond P.M. and Kloeden P.D., Anisotropy-Based Robust Performance Analysis of Finite Horizon Linear Discrete Time Varying Systems. CADSMAP Research Report 01-01 (2001), The University of Quennsland.

[23] Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. and Semyonov A.V., Anisotropy of Signals and the Entropy of Linear Stationary Systems. Doklady Math., 1995, V.51, 388-390.

[24] Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. and Semyonov A.V., The Stochastic Problem of Hoo-Optimization. Dokl. Akad. Nauk., 1995, V.52, № 1, 155157.

[25] Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. and Semyonov A.V., On Computing the Anisotropic Norm of Linear Discrete-Time-Invariant Systems. Proceedings of the 13th IFAC World Congress, San-Francisco, USA, 1996, 179-184.

[26] Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. and Semyonov A.V., State-Space Solution to Anis otropy-Based Stochastic Hoo- Optimization Problem.

Proceedings of the 13th IFAC World Congress, San-Francisco, USA, 1996, 427-432.

[27] Yaesh I., Shaked U., A Transfer Function Approach to the Problems of Discrete-Time Systems: Ню-Optimal Linear Control and Filtering, IEEE Trans, on Autom. Control, 1991, V.36, 1264-1271.

[28] Zames G., Feedback Minimax Sesitivity and Optimal Robustness. IEEE Trans, on Autom. Control, 1983, V.28, 585-601.

[29] Zhou K., Glover K., Bodenheimer В., Doyle J., Mixed H2 and Hqo Performance Objectives I: Robust Perfomance Analysis. IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. V. 39. P. 1564-1574.

[30] Doyle J., Zhou K., Glover K., Bodenheimer В., Mixed V.2 and "Hoo Performance Objectives II: Optimal control. IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. V. 39. P. 1575-1587.

[31] Андриевский Б.P., Матвеев А.С., Фрадков A.JI., Управление и оценивание при информационных ограничениях: к единой теории управления, вычислений и связи. Автоматика и Телемеханика, 2010, № 4, 34-99.

[32] Калман Р.Е. Об общей теории систем управления. Труды I Конгресса IFAC, т.2, Изд-во АН СССР, М., 1961.

[33] Кустов А.Ю. Анизотропийный анализ в случае ненулевого математического ожидания входного возмущения. Управление большими системами. 2014. №49. С. 5-20.

[34] Кустов А.Ю., Курдюков А.П. Синтез формирующего фильтра, обеспечивающего на своем выходе заданный уровень средней анизотропии. Автоматика и телемеханика. 2013. №3. С. 51-66.

[35] Кустов А.Ю., Курдюков А.П., Начинкина Г.Н., Стохастическая теория анизотропийного робастного управления. ИПУ РАН, Москва, 2012. ISBN 978-5-91450-127-0.

[36] Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I. Автоматика и Телемеханика, 1960, т.21, № 4.

[37] Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов II. Автоматика и Телемеханика, 1960, т.21, № 5.

[38] Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов III. Автоматика и Телемеханика, 1960, т.21, № 6.

[39] Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов IV. Автоматика и Телемеханика, 1960, т.22, № 4.