Метод σ-энтропийного анализа линейных стохастических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Бойченко Виктор Александрович

• Бойченко Виктор Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Бойченко Виктор Александрович

1.3 Выводы к главе

2 Дискретные линейные системы

с некоррелированным входным сигналом

2.1 Стохастический сигнал с конечной 12 нормой

2.2 Стохастический сигнал с конечной мощностной нормой

2.3 Ненулевые начальные условия

2.4 Выводы к главе

3 Спектральная теория для линейных стационарных

стохастических систем

3.1 Линейная стационарная стохастическая система с дискретным временем

3.1.1 Входная последовательность с конечной 12 нормой

3.1.2 Входная последовательность с конечной мощностной нормой

3.2 Линейная стационарная стохастическая система с непрерывным временем

3.2.1 Случайный сигнал с конечной L2 нормой

3.2.2 Случайный сигнал с конечной мощностной нормой

3.3 N норма

3.4 Выводы к главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод σ-энтропийного анализа линейных стохастических систем»

Введение

Актуальность темы. Реальные динамические системы функционируют в условиях различных помех и под влиянием неизвестных внешних воздействий, измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки, а управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. Поэтому проблема подавления неизвестных возмущений неизбежно возникает при проектировании современных систем управления техническими объектами и является чрезвычайно важным разделом теории управления. Задача подавления влияния внешнего возмущения восходит к классическим работам Г.В.Щипанова по теории инвариантности и в настоящее время решается в рамках различных теорий в зависимости от природы возмущения и моделей объекта.

Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества диктуется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. Одним из ярких результатов 60-х годов XX века в теории автоматического управления явилась теория построения регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества (Р. Калман [13, 58], А.М. Летов [18]), обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. Задача синтеза линейно-квадратичного регулятора - линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества - была одной из первых решённых задач оптимального управления по принципу обратной связи [18, 58]. При синтезе линейно-квадратичного гауссовского регулятора предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Эта задача является частным случаем более

общей задачи Н2 оптимизации, рассмотренной в работе Д. Дойла с соавторами [45, знаменитая „работа четырёх авторов"]. Синтез оптимального Ь((С регулятора представляет собой задачу нахождения оптимальной линейной постоянной обратной связи по вектору состояния, восстановленному с помощью оптимального наблюдателя - фильтра Калмана. Для линейного стационарного объекта управления, функционирующего на бесконечном временном интервале, данная задача сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати [14]. В реальных условиях Ь((С регуляторы эффективно работали, если аддитивная помеха была гауссов-ским белым шумом или слегка от него отличалась. Однако, если входное возмущение было сильно коррелированным, то качество работы системы резко падало и не удовлетворяло требованиям, предъявляемым к замкнутым этими регуляторами системам управления.

Попытки обойти недостатки теории построения регуляторов с квадратичным критерием качества [46] привели к возрождению частотного подхода в форме теории оптимизации. В 1981 году вышла работа Д. Зейм-са [88], в которой он предложил использовать другой критерий качества -норму замкнутой системы. ДляНто оптимального подхода не требуется знание статистического характера внешнего возмущения, предполагается лишь, что внешнее возмущение представляет собой сигнал, интегрируемый с квадратом. Эта работа заложила основы теории субоптимального управления, которая с тех пор составляет центральное ядро современной теории управления. Первоначально задача была решена в частотной области с применением теоремы Неванлинны-Пика [44, 49]. В работе [45] было получено полное решение задачи синтеза субоптимального регулятора для непрерывного линейного стационарного объекта в пространстве состояний, которое сводится к решению двух независимых алгебраических урав-

"

некоторый параметр и были похожи на уравнения в теории синтеза линейных регуляторов с квадратичным критерием качества. В случае, когда значение параметра стремилось к бесконечности, уравнения для синтеза субоптимального регулятора превращались в уравнения Риккати для

Ь(С задачи. Одиако оптимальные регуляторы, являясь минимаксными, то есть рассчитанными на наихудший случай входных возмущений, имели свои естественные недостатки - для реализации минимума критерия качества затраты на управление порой становился чрезмерно большими и такие регуляторы были трудно реализуемы. Таким образом оказалось, что Н2 и регуляторы являются эффективными лишь при достаточно точном выполнении гипотез о природе внешних возмущений: Ь((С или Н2 регулятор может стать неработоспособным в том случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум [43], в то время как регулятор, проектируемый для наихудшего случая детерминированного возмущения, проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал [45].

В качестве одного из способов преодоления указанных недостатков Н2 и регуляторов была предложена идея построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества этих регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны). Д. Бернстайн и В. Хаддад первыми использовали подход, в котором Н2 норма замкнутой системы минимизировалась при дополнительных ограничениях па норму системы [31]. Эта идея получила своё дальнейшее развитие на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного Н2/критерия качества [89]. В основе другого подхода, разработанного Д. Мустафой и К. Гловером [69], лежит минимизация функционала энтропии при ограничениях на норму замкнутой системы. Как показано в работе [51], задача синтеза регулятора, минимизирующего функционал энтропии, в известной степени эквивалентна задаче синтеза оптимального регулятора, чувствительного к риску.

Сходство алгоритмов синтеза Н2 и оптимальных регуляторов наводило на мысль, что должен существовать универсальный подход к управлению динамическими системами со стохастическими возмущениями,

в котором задачи H2 и оптимизации были бы частными случаями общей теории. К такому подходу можно отнести работы [61, 74, 79, 80]. В середине 1990-х годов И.Г. Владимировым, А.П. Курдюковым и A.B. Семёновым была создана теория, обобщающая подходы H2 и управления и получившая название анизотропийной теории стохастического ро-бастного управления [10, 11, 80, 81]. В рамках этого подхода робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации: статистическая неопределённость определяется в терминах энтропии, а показатель робастного качества выбирается так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Основополагающими понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы. Функционал анизотропии является энтропийной характеристикой отклонения вероятностного распределения случайного вектора от семейства гауссов-ских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Второе концептуальное понятие анизотропийной теории - это анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы, которая количественно определяет возможности системы по подавлению внешних возмущений. Анизотропийная норма является индуцированной нормой или, иначе говоря, максимальным коэффициентом усиления и определяется как максимум отношения могцностной нормы выхода системы к мощ-ностной норме её входа на множестве входных сигналов, средняя анизотропия которых не превышает заданного неотрицательного значения а. В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределённости, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в форме анизотропийной нормы замкнутой системы приводит к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший

консерватизм управления по сравнению с регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем Н2 регулятор. Таким образом, анизотропийная теория управления является эффективной и развивающейся теорией, у которой есть одно но: эта теория работает только со стохастическими сигналами в дискретном времени, поэтому построение подобной теории в непрерывном времени для детерминированных и стохастических сигналов является актуальной задачей.

Изложение диссертационной работы выполнено следующим образом. Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объёме диссертационной работы.

В главе 1 рассматриваются исторические предпосылки возникновения анизотропийной теории управления и формулируются её концептуальные понятия: анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия последовательности случайных векторов и анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы. Для всех результатов указаны ссылки на первоисточники.

В главе 2 представлены решения задач анализа линейной дискретной стационарной системы для некоррелированных входных сигналов с нулевыми и ненулевыми начальными условиями.

Глава 3 посвящена разработке а-энтропийного метода исследования линейных стохастических систем управления: вводятся понятия а-энтропии стохастического дискретного или непрерывного сигналов с 12/Ь2 и мощ-ностной нормами, определяется и вычисляется а-энтропийная норма линейной стохастической стационарной системы с дискретным или непрерывным входным сигналом.

а

энтропийного метода анализа линейных стационарных систем с внешним возмущением в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или мощностной нормой. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка а-эптропийпого метода анализа линейных стационарных систем с внешним возмущением в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или мощностной нормой. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать метод определения нижней границы анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы;

2. Провести анализ линейной дискретной стохастической системы с некоррелированной входной последовательностью и с ненулевыми начальными условиями;

3. Обосновать понятие а-эптропии для дискретных и непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или мощностной нормой и определить инвариантным, независимым от нормы способом а-энт-ропийную норму линейной стохастической стационарной системы;

а

хастической стационарной системы, на вход которой поступает внешнее возмущение в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или мощностной нормой.

Методы исследования. В работе применяются математические методы теории управления, линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и статистической теории случайных процессов.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработан метод определения нижней границы анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы;

2. Решена задача анализа линейной дискретной стохастической системы с некоррелированной входной последовательностью и с ненулевыми начальными условиями;

а

хаотических сигналов с конечной 12/Ь2 или могцностной нормой и

а

пийная норма линейной стохастической стационарной системы;

а

хастической стационарной системы, на вход которой поступает внешнее возмущение в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или могцностной нормой; а

стационарных систем, который обобщает анизотропийную теорию на случаи дискретного и непрерывного времени и входных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или могцностной нормой.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными стационарными объектами, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или могцностной нормой.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Алгоритм вычисления нижней границы анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы;

2. Анализ линейной дискретной стохастической системы с некоррелированной входной последовательностью и с ненулевыми начальными условиями;

а

стохастических сигналов с конечной 12/Ь2 или могцностной нормой и определение инвариантным, независимым от нормы способом

a-энтропийной нормы линейной стохастической стационарной системы;

4. Метод вычисления a-энтропийной нормы линейной стохастической стационарной системы, на вход которой поступает внешнее возмущение в виде дискретных или непрерывных стохастических сигналов с конечной I2/L2 или могцностной нормой;

5. Спектральный метод анализа линейных стохастических стационарных систем, который обобщает анизотропийную теорию на случаи дискретного и непрерывного времени и входных стохастических сигналов с конечной I2/L2 или могцностной нормой.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре Лаборатории № 7 ИПУ РАН под руководством д.т.н. Поляка Б.Т., на семинаре департамента автоматического управления Мексиканского центра научных исследований и высшего образования CINVESTAV, Мехико (El Departamento de Control Automático, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, CINVESTAV-IPN, Zacatenco, México), а также па пяти международных конференциях: XIII Международной конференции „Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого), Москва, Россия, 2016; 12th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 2016), Eindhoven, Netherlands, 2016; 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED

2017, Valletta, Malta), Valletta, Malta, 2017; XIV Международной конферен-

"

ренция Пятницкого), Москва, Россия, 2018; 15th International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control (CCE), México City, México, 2018. Работа награждена в 2017 г. премией имени академика Бориса Николаевича Петрова за лучшую работу в области общей теории управления, управления космическими аппаратами и движущимися объектами.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в двух статьях [4, 7] в российских журналах из перечня ВАК и Web of Science Scopus ВАК. соответственно, в трудах пяти международных конференций из перечня Web of Science/Scopus [3, 5, 34, 35, 36] и в трудах ВСПУ-2019 [6].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах, содержит 1 таблицу и 3 иллюстрации. Библиография включает 89 наименований.

Глава 1

Концептуальные основы аннзотропнйного анализа

На разных этапах развития теории автоматического управления линейными системами разработчики этой теории предъявляли различные требования к функционированию систем автоматического управления. На начальном периоде развития теории автоматического управления в первой половине 20-го века основной задачей, стоявшей перед разработчиками систем автоматического управления, являлась задача обеспечения устойчивости замкнутой системы. По мере усложнения целей функционирования систем управления к системам предъявлялись более сложные требования: обеспечение заданных характеристик переходных процессов, оптимизация определённых параметров и характеристик замкнутой системы управления и так далее. Все это привело к появлению теории оптимального управления, использующей традиционные и новые методы теории оптимизации.

Одной из важных характеристик системы управления является энергия, затрачиваемая системой в процессе своего функционирования. В случае описания системы управления с помощью дифференциальных уравнений энергия представляет собой интеграл от квадратичной формы, аргументами которой являются состояние объекта и управление, построенное для него. Для дискретного описания управляемой системы энергией будет некоторая сумма, являющаяся аналогом интеграла в непрерывном случае. Задача минимизации энергии, потребляемой управляемой системой,

является одной из важнейших задач теории оптимального управления, нашедшей свое применение при синтезе управления для многих технических систем. Энергия является интегральной характеристикой системы управления. При строгом математическом подходе такой критерий качества выражается в форме H2 нормы замкнутой системы.

Из множества других критериев качества обязательно нужно выделить один: а именно коэффициент подавления влияния наихудшего возмущения, действующего на систему. Обеспечение подавления наихудшего возмущения является чрезвычайно важной задачей при проектировании систем автоматического управления объектами, к которым предъявляются особые требования работоспособности в экстремальных условиях: системы управления самолетами, ядерными реакторами, аварийными ситуациями и так далее. Системы управления с такими критериями качества относятся к минимаксным системам. Математической квинтэссенцией этого критерия качества является норма замкнутой системы.

Оба этих критерия можно рассматривать с единой точки зрения подавления влияния внешних возмущений на линейную систему при различных предположениях о природе входных сигналов, воздействующих на систему. Это означает, что должны существовать теории, в которых эти критерии будут объединены в единый критерий качества. Одной из таких теорий является анизотропийная теория стохастического робастного управления. В основе анизотропийной теории управления лежат теоретико-информационные идеи описания неопределённости сигналов в системах управления, основанные на понятии энтропии. В последнее время теоретико-информационному описанию неопределённости в теории управления уделяется весьма большое внимание. По образному выражению Т. Кавера и Д. Томаса [40] „Теория информации отвечает на два фундаментальных вопроса: каково предельное сжатие данных (ответ: энтропия) и какова предельная скорость передачи данных (ответ: пропускная способность капала)". Теория управления обеспечивает выполнение двух основных требований, предъявляемых к системам управления: построение устойчивой системы и гарантия заданного качества управления системой. И теория информации,

и теория управления имеют дело с моделями сигналов. В теории управления сигналы в основном рассматриваются в роли входов и выходов собственно систем управления (объект плюс регулятор), созданию которых и посвящена теория. В теории информации сигналы и их характеристики служат основным предметом исследования.

В теории информации исследуются сигналы, имеющие стохастическую природу. Введение в теорию управления вероятностного описания приблизило модели систем управления к реальным техническим системам. По сути дела, описание системы управления с помощью вероятностных характеристик уже подразумевает некую неопределённость. Как отмечал в своей работе А.А.Красовский [17], „Статистическое рассмотрение позволяет построить некий мост от динамики систем к информационному описанию процессов в системах управления. Этот мост заключается в том, что переходные процессы получают описание в информационных терминал". Однако, можно ввести неопределённости в описание характеристик случайного процесса, участвующего в описании управляемой системы. Известно, что наиболее полной характеристикой случайного процесса является плотность распределения вероятностей. Неизвестные характеристики плотности распределения вероятностей входного случайного сигнала или случайных начальных условий являются неопределённостью в вероятностном описании системы, а различные модели описания неизвестных характеристик плотности позволяют ставить и решать содержательные задачи теории управления при наличии неопределённости.

Взаимосвязь и взаимопроникновение теории информации и теории управления прослеживается в двух направлениях. Первое - это включение теоретико-информационных объектов исследования в описание объекта управления (например, канала связи), что приводит к необходимости исследования традиционных задач теории управления с учётом изменившихся моделей. Второе направление состоит в привлечении хорошо развитого аппарата теории информации для описания сигналов, циркулирующих в системе как на её входе или выходе, так и внутри объекта управления. Учёт теоретико-вероятностной природы входных сигналов и сигналов внутри

объекта управления является основой апизотропийной теории управления, концептуальным основам которой посвящено дальнейшее изложение.

1.1 Исторические предпосылки возникновения анизотропийной теории

В 50-е годы двадцатого века на основе фундаментальной работы [16] по теории линейной фильтрации, опубликованной в 1941 г. А.Н. Колмогоровым, и аналогичной теории, параллельно разработанной Н. Винером, рассмотревшим задачи линейной фильтрации сигналов, а также их экстраполяции и интерполяции для непрерывного времени [84], появились исследования по применению вероятностных методов в теории фильтрации, а затем и в теории автоматического управления. До появления этих работ обычно предполагалось, что сигналы, функционирующие в системе управления, имеют детерминированный характер. Основой теории Колмогорова-Випера была спектральная теория случайных процессов, получившая своё развитие из фундаментальной работы А.Я. Хинчина [26], в которой было установлено, что корреляционная функция случайного процесса и его энергетический спектр мощности связаны преобразованием Фурье. Теория Колмогорова-Випера была достаточно сложна для понимания инженерами, которые в те годы не имели для этого необходимой математической подготовки. Поэтому в 1950 г. Г. Воде и К. Шеннон, используя интуитивно понятные соображения, дали упрощённое изложение этой теории [33]. Совершенно другой подход к проблемам выделения сигнала на фоне шума, отличный от теории Колмогорова-Випера и применимый к проблемам оптимальной линейной фильтрации сигналов, был предложен Р.Л. Стра-тоновичем в 1959 г. Теория Р.Л. Стратоновича [23] основывалась на представлении случайных процессов, моделирующих как полезный сигнал, так и шум, с помощью дифференциальных уравнений (уравнений состояния). Независимо от Р.Л. Стратоновича аналогичные результаты по оптимальной линейной фильтрации как в дискретном, так и в непрерывном времени

получили в 1961 г. Р. Калман и Р. Бьюси [59, 60]. Для гауссовских и марковских случайных процессов Р.Л. Стратоновичем, Р. Калманом и Р. Бьюси были выведены дифференциальные уравнения, определяющие структуру оптимального фильтра, на вход которого поступает случайный сигнал, и получено матричное уравнение Риккати, определяющее точность его оценки. Наличие дифференциальных уравнений оценки вместо интегрального представляет определённые практические преимущества, так как с помощью аналоговой или цифровой техники дифференциальные уравнения решаются намного легче, чем интегральные уравнения.

Введение в теорию управления сигналов, обладающих вероятностными характеристиками, позволило ставить и решать новый класс задач теории управления. Одним из ярких результатов того времени явилась теория построения регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества, обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. Так называемая LQG задача [13, 58] (аббревиатура LQG соответствует первым буквам английских слов в выражении „linear quadratic Gaussian") - это задача построения управления для объекта с линейной динамикой, возбуждённой аддитивным гауссовским шумом, и критерием качества, который является математическим ожиданием положительно полуопределённой квадратичной формы. Линейно-квадратичный гауссовский регулятор, являющийся решением этой задачи, оказывается линейной функцией состояния и идентичен регулятору в задаче, в которой отсутствует гауссовский шум. Такая задача называется задачей построения LQR регулятора (аббревиатура LQR соответствует первым буквам

"

ла решена в работах A.M. Летова [18].

1.1.1 LQG и LEQG регуляторы

LQG

нейная нестационарная дискретная система управления, описываемая следующими уравнениями

хк+1 = Ак хк + Бк щ + П)к ук = Ск Хк + Ук

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бойченко Виктор Александрович, 2019 год

Литература

[1] Аров Д.З., Крейн М.Г. Задача поиска минимума энтропии в проблеме продолжения. Функцион. анализ и его приложения, 1981, т. 4, с. 73-75.

[2] Аров Д.З., Крейн М.Г. О вычислении энтропийных интегралов и их минимумов в обобщенных проблемах продолжения. Acta Scienta Matematica, 1983, т. 45, с. 33-50.

[3] Бойченко В.А. К вопросу о вычислении Н2-нормы стохастической стационарной системы. Материалы XIII Международной конференции „Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого). М.: ИПУ РАН, 2016, с. 65-68.

Boichenko V.A. On calculation of H2-norm of stochastic stationary

system. Proc. 2016 International Conference "Stability and Oscillations

of Nonlinear Control Systems" (Pyatnitskiy's Conference). M.: IEEE,

2016, pp. 1-2. DOI: 10.1109/STAB.2016.7541169

http: //ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=7541169&

filter%3DAND%28p_IS_Number%3A7541147%29

[4] Бойченко В.А. Анизотропийный анализ в случае ненулевых начальных условий. Управление большими системами, 2017, вып. 67, с. 3251.

[5] Бойченко В.А. Новый подход к анализу линейных систем управления. Материалы XIV Международной конференции „Устойчивость и

колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого). М.: ИПУ РАН, 2018, с. 81-84.

Boichenko V.A. The new approach to the analysis of linear control systems. Proc. 14th International Conference "Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems" (Pyatnitskiy's Conference) (STAB-2018, Moscow). M.: IEEE, 2018, pp. 1-4. DOI: 10.1109/STAB.2018.8408349 https://ieeexplore.ieee.org/document /8408349

[6] Бойченко В.А. Спектральный метод анализа стохастических систем управления. Труды XIII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2019, Москва). Принято к печати.

[7] Бойченко В.А., Курдюков А.П. О нижней границе анизотропийной нормы линейной стохастической системы. Автоматика и Телемеханика, 2017, № 4, с. 78-91.

Boichenko V.A., Kurdyukov А.P. On the lower hound of the anisotropic norm of the linear stochastic system. Automation and Remote Control, 2017, vol. 78, no. 4, pp. 643-653.

[8] Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П.Е. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном, временном интервале. Автоматика и Телемеханика, 2006, № 8, с. 92-111.

[9] Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Максимов Е.А., Тимин В.Н. Ани-зотропийная теория управления - новый подход к стохастической

теории робастного управления. Тр. IV Междунар. конф. „Иденти-

"

2005, с. 29-94.

[10] Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Анизотропия сигналов и энтропия, линейных стационарных систем. Доклады АН СССР, 1995, т. 342, № 5, с. 583-585.

[11] Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика ани-зотропийпой нормы линейных стационарных систем. Автоматика и Телемеханика, 1999, № 3, с. 78-87.

[12] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. 576 с.

[13] Калман Р.Э. Об общей теории систем управления. Труды Между-нар. конгресса ИФАК. М.: АН СССР, 1961, т. 2, с. 521-547.

[14] Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. 650 с.

[15] Коган М.М. Синтез оптимального иробастного управлений критерием. Автоматика и Телемеханика, 2016, № 8, с. 3-23.

[16] Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР. Сер. ма-тем., 1941, т. 5, № 1, с. 3-14.

[17] Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. — М.: Наука, 1968. 240 с.

[18] Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов I-IV. Автоматика и Телемеханика. 1960, т. 21, № 4, с. 436-441; т. 21, № 5, с. 561-568; т. 21, № 6, с. 661-665. 1961, т. 22, № 4, с. 425-435.

[19] Маслов В.П.,Черный A.C. О минимизации и максимизации энтропии в различных дисциплинах. Теория вероятностей и ее применения, 2003, т. 48, вып. 3, с. 466-486.

[20] Пинскер М.С. Количество информации о гауссовском случайном, процессе, содержащейся во втором процессе, стационарно с ним связанном. Доклады АН СССР, 1954, т. 98, с. 213-216.

[21] Плеснер А.Н. Спектральная теория линейных операторов. — М.: Наука, 1967. 624 с.

[22] Позняк А.С. Лекции по основам оптимального управления. — М.: Изд. МФТИ, 1991.

[23] Стратонович Р.Л. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций. Теория вероятностей и ее применение, 1959, т. 4, вып. 2, с. 239-242.

[24] Фомин В. И. Методы управления линейными дискретными объектами. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 336 с.

[25] Фомин В. И., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981. 448 с.

[26] Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. Успехи математических наук, 1938, № 5, с. 42-51.

[27] Athans М. Editorial on the LQG Problem. IEEE Trans, on Automatic Control, 1971, vol. 16, no. 6, p. 528.

[28] Bensoussan A., Van Schuppen J. H. Optimal Control of Partially Observable Stochastic Systems with an Exponential of Integral Performance Index. SIAM J. on Control and Optimization, 1985, vol. 23, no. 4, pp. 599^613.

[29] Basar Т., Bernhard P. H^-Optimal Control and Related Minimax Design Problems: a Dynamic Game Approach. Birkhauser, Boston, 1995. 481 p.

[30] Bernstein D.S. "Minimum Entropy Control" by D.Mustafa and K. Glover. Book review. IEEE Trans, on Automatic Control, 1992, vol. 37, no. 8, pp.1276-1277.

[31] Bernstein D.S., Haddad W.M. LQG Control with an Performance Bound: A Riccati Equation Approach. IEEE Trans, on Automatic Control, 1989, vol. 34, no. 3, pp. 293-305.

[32] Bertsekas D.P. Dynamic Programming and Stochastic Control. Academic Press, New York, 1976. 397 p.

[33] Bode H.W., Shannon C.E. A Simplified Derivation of Linear Least Square Smoothing and Prediction Theory. Proc. IRE, 1950, vol. 38, no. 4, pp. 417-425.

[34] Boichenko V.A., Belov A.A. On Stochastic Gain of Linear Systems with Nonzero Initial Condition. Proc. 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2017, Valletta, Malta). Valletta, Malta: IEEE, 2017, pp. 817-821.

[35] Boichenko V.A., Kurdyukov A.P. On Lower Bound of Anisotropic Norm. 12th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 2016), Eindhoven. IFAC-PapersOnLine, 2016, vol. 49, issue 13, pp. 48-52.

[36] Boichenko V.A., Kurdyukov A.P., Kustov A.Yu. From, the anisotropy-based theory towards the a-entropy theory. Proc. 2018 15th International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control (CCE). Mexico: IEEE, 2018, pp. 1-6.

DOI: 10.1109/ICEEE.2018.8533923

[37] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, PA, 1994. 193 p.

[38] Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. 730 p.

[39] Colaneri P., Geromel J.C., Locatelli A. Control Theory and Design: A RH2 and RHTO Viewpoint. Academic press, Elsevier, 1997. 378 p.

[40] Cover T.M., Thomas J.A. Elements of Information Theory. John Wiley k Sons, Inc, 1991. 542 p.

[41] Diamond P., Kloeden P., Vladimirov I. Mean Anisotropy of Homogeneous Gaussian Random Fields and Anisotropic Norms of Linear TranslationInvariant Operators on Multidimensional Integer Lattices. Journal of

Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2003, vol. 16, no. 3, pp. 209-231.

[42] Diamond P.M., Vladimirov I.G. Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Aniso-tropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems. Int. Journal of Control, 2001, vol. 74, no. 1, pp. 28-42.

[43] Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators. IEEE Trans, on Automatic Control, 1978, vol. 23, no. 4, pp. 756-767.

[44] Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbaum A.R. Feedback Control Theory. Macmillan Publishing Company, 1992. 202 p.

[45] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and control problems. IEEE Trans, on Automatic Control, 1989, vol. 34, no. 8, pp. 831-847.

[46] Doyle J.C., Stein G. Robustness with observers. IEEE Trans, on Automatic Control, 1979, vol. 24, no. 4, pp. 607-611.

[47] Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis. IEEE Trans, on Automatic Control, 1981, vol. 26, no. 1, pp. 4-16.

[48] Doyle J., Zhou K., Glover K., Bodenheimer B. Mixed H2 and performance objectives II: Optimal control. IEEE Trans, on Automatic Control, 1994, vol. 39, no. 8, pp. 1575-1587.

[49] Francis B.A. A Course in Control Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 88. Springer-Verlag, Berlin, 1987. 150 p.

[50] Fridman E., Shaked U. Robust H^ minimum entropy static output-feedback control of singularly perturbed systems. Automatica, 2000, vol. 36, pp. 1181-1188.

[51] Glover K., Doyle J. State-Space Formulae for All Stabilizing Controllers that Satisfy an Norm Bound and Relations to Risk Sensitivity. Systems & Control Letters, 1988, vol. 11, pp. 167-172.

52] Glover K., Mustafa D. Derivation of the Maximum Entropy Hœ Controller and a State-Space Formula for its Entropy. Int. J. Control, 1989, vol. 50, no. 3, pp. 899-916.

53] Iglesias P.A. An Entropy Formula for Time-Varying Discrete-Time Control System. SIAM J. on Control and Optimization, 1996, vol. 34, no. 5, pp. 1691-1706.

54] Iglesias P.A., Glover K. State-space Approach to Discrete-Time Control. Int. J. Control, 1991, vol. 54, no. 5, pp. 1031-1073.

55] Iglesias P.A., Mustafa D. State-space Solution of the Discrete-Time Minimum Entropy Control Problem, via Separation. IEEE Trans, on Automatic Control, 1993, vol. 38, no. 10, pp. 1525-1530.

56] Iglesias P.A., Mustafa D., Glover K. Discrete Time Controllers Satisfying a Minimum Entropy Criterion. Systems & Control Letters, 1990, vol. 14, no. 4, pp. 275-286.

57] Jacobson D.H. Optimal Stochastic Linear Systems with Exponential Performance Criteria and Their Relation to Deterministic Differential Games. IEEE Trans, on Automatic Control, 1973, vol. 18, no. 2, pp. 124131.

58] Kaiman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 1960, vol. 5, pp. 102-119.

59] Kaiman R.E. New Methods and Results in Linear Prediction and Filtering Theory. Technical Report 61-1, Research Institute for Advanced Studies, Baltimore, Md. 1961, pp. 1-61.

[60] Kaiman R.E., Bucy R. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory. Trans. ASME, Ser. D, J. Basic Eng., Dec. 1961, vol. 83, pp. 95107.

[61] Karny M. Towards fully probabilistic control design. Automatica, 1996, vol. 32, pp. 1719-1722.

[62] Karny M., Guy T.V. Fully probabilistic control design. Systems & Control Letters, 2006, vol. 55, no. 4, pp. 259-265.

[63] Karny M., Kroupa T. Axiomatisation of fully probabilistic design. Information Sciences, 2012, vol. 186, no. 1, pp. 105-113.

[64] Khargonekar P.P., Rotea M.A. MixedH2/HTO Control: A Convex Optimization Approach. IEEE Trans, on Automatic Control, 1991, vol. 36, no. 7, pp. 824-837.

[65] Lin Z., Saberi A., Sannuti P. Shamash Y.A. A Direct Method of Constructing H2 Suboptimal Controllers: Discrete-Time Systems. J. of Optimization Theory and Applications, 1998, vol. 99, no. 3, pp. 617-653.

[66] Miradore R., Ricci G. Mixed H2/HTO control: the discrete-time case. Systems & Control Letters, 2005, vol. 54, no. 1, pp. 1-13.

[67] Mustafa D. Relations beetwen maximum entropy/Hœ control and combined Hœ/LQG control. Systems & Control Letters, 1989, vol. 12, no. 3, pp. 193-203.

[68] Mustafa D., Glover K. Controllers which satisfy a closed-loop Hœ norm bound and maximize an entropy integral. Proc. of the Conference on Decision and Control, Austin, TX, 1988, pp. 959-964.

[69] Mustafa D., Glover K. Minimum, Entropy Hœ Control. Vol. 146 of Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer Verlag, 1990. 144 p.

[70] Nesterov Y., Nemirovsky A. Interior point polynomial methods in convex programming: Theory and Applications. Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, PA, 1994. 423 p.

[71] Peters M.A., Iglesias P.A. Minimum, Entriopy Control for Discrete-Time Time-Varying Systems. Automatica, 1997, vol. 33, no. 4, pp. 591-605.

[72] Peters M.A., Iglesias P.A. The Relationship Between Minim,um, Entropy Control and Risk-Sensitive Control for Time-Varying Systems. IEEE Trans, on Automatic Control, 1999, vol. 44, no. 5, pp. 1065-1069.

[73] Petersen I.R. Disturbance attenuation and optimization: A design method based on the algebraic Riccati equation. IEEE Trans, on Automatic Control, 1987, vol. 32, no. 5, pp. 427-429.

[74] Petersen I.R., James M.R., Dupuis P. Minim,ax Optimal Control of Stochastic Uncertain Systems with Relative Constraints. IEEE Trans, on Automatic Control, 2000, vol. 45, no. 3, pp. 398-412.

[75] Poznyak A.S. Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Vol. I. Deterministic Systems. Elsevier, Amsterdam, 2008. 775 p.

[76] Redheffer R. On a certain linear fractional transformation. Journal of Mathematics and Phisics, 1960, vol. 39, pp. 269-286.

[77] Rosenbrock H.H., McMorran P.D. Good, bad, or optimal? IEEE Trans, on Automatic Control, 1971, vol. 16, no. 6, pp. 552-554.

[78] Saberi A., Sannuti P., Chen B.M. Optimal Control. Prentice Hall International, London, 1995. 464 p.

[79] Saridis G.N. Entropy Formulation of Optimal and Adaptive Control. IEEE Trans, on Automatic Control, 1988, vol. 33, no. 8, pp. 713-721.

[80] Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to

optimization. Proc. 33rd IEEE Conference on Decision and Control, Florida(USA), 1994, pp. 2249-2250.

[81] Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. On Computing the Anisotropic Norm of Linear Discrete-Time-Invariant Systems. Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, CA, USA, 1996, pp. 179-184.

[82] Whittle P. Risk-sensitive linear/quadratic/Gaussian control. Adv. Appl. Prob., 1981, vol. 13, pp. 764-777.

[83] Whittle P. Entropy-minimising and risk-sensitive control rules. Systems & Control Letters, 1989, vol. 13 pp. 1-7.

[84] Wiener N. Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Technology Press of Massachusetts Institute of Technology, and New York, Wiley, 1949. 10+163 p.

[85] Yaesh I., Shaked U. Minimum Entropy Static Output-feedback Control with an H^-norm Performance Bound. IEEE Trans, on Automatic Control, 1997, vol. 42, no. 6, pp. 853-858.

[86] Zames G. On the input-ouput stability of nonlinear time-varying feedback systems, Part I: Conditions derived using concepts of loop gain, conicity and positivity. IEEE Trans, on Automatic Control, 1966, vol. 11, no. 2, pp. 228-238.

[87] Zames G. On the input-ouput stability of nonlinear time-varying feedback systems, Part II: Conditions involving circles in the frequency plane and sector nonlinearities. IEEE Trans, on Automatic Control, 1966, vol. 11, no. 3, pp. 465-476.

[88] Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans, on Automatic Control, 1981, vol. 26, no. 2, pp. 301-320.

[89] Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed and performance objectives I: Robust performance analysis. IEEE Trans, on Automatic Control, 1994, vol. 39, no. 8, pp. 1564-1574.