Анализ и синтез в теории субоптимального анизотропийного робастного управления для дескрипторных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Андрианова, Ольга Геннадьевна

• Андрианова, Ольга Геннадьевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Андрианова, Ольга Геннадьевна

Оглавление

Сокращения и обозначения

Введение

1 Основы теории дескрипторных систем и анизотропийного анализа

1.1 Дескрипторные системы

1.2 Средняя анизотропия и анизотропийная норма

2 Анализ дескрипторных систем с центрированными входными возмущениями

2.1 Анизотропийная частотная теорема для дискретных дескрипторных систем: уравнения Риккати

2.2 Частотная теорема для анизотропийной нормы: ЛМН

2.3 Модифицированная анизотропийная частотная теорема

2.4 Выводы к главе 2

3 Синтез субоптимального управления для дескрипторных систем

3.1 Решение задачи субоптимальиого анизотропийного синтеза с помощью выпуклой оптимизации

3.2 Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного управления на основе обобщенных уравнений Риккати

3.2.1 Синтез субоптимальиого анизотропийного управления

в виде обратной связи по состоянию

3.2.2 Синтез субоптимального анизотропийного управления

по вектору полной информации

3.3 Выводы к главе 3

4 Анализ дескрнпторных систем с нецентрированными вход-

ными возмущениями

4.1 Основные понятия анизотроиийной теории для стационарных гауссовских последовательностей с ненулевым математическим ожиданием

4.1.1 Анизотропия случайного т-мерного вектора

4.1.2 Средняя анизотропия нецентрированной последовательности гауссовских случайных векторов

4.1.3 Анизотропийная норма дескринторной системы с нецентрированными входными возмущениями

4.2 Вычисление анизотроиийной нормы дескрипторной системы

с нецентрированными возмущениями

4.3 Выводы к главе 4

Заключение

Литература

Сокращения и обозначения

лмн

СККУ

ЭР-управление

П-управление

£(5(7-задача м, С Еп, Сп

щтгхп £щхп

91сг, Зтг

г*

и

с11ая(а:г)

А М)

det Л гапк А гтА

АТ

г*

линейное матричное неравенство; среднеквадратичный коэффициент усиления; закон управления в виде обратной связи по вектору состояния;

закон управления в виде обратной связи по вектору полной информации;

линейно-квадратичная гауссовская задача; множество действительных и комплексных чисел; множество п-мерных векторов с вещественными и комплексными элементами;

множество матриц размерности тп х п с вещественными и комплексными коэффициентами; действительная и мнимая части комплексного числа г Е С, г = + г Этг, г = л/^1; комплексное сопряжение г Е С: г* = — ¿Згги; единичная матрица размерности п х п; модуль скалярной величины, евклидова норма вектора;

блочно-диагональная матрица размерности (тп) х

(тп) с элементами щ размерности тхт, стоящими

на главной диагонали, г = 1,п;

]-ое собственное число матрицы А;

определитель матрицы А;

ранг матрицы А;

след матрицы А: Ьт А = а^',

транспонирование матрицы А = [г^] € М АТ = [а^]Т = [ац] € Жпхт;

эрмитово сопряжение матрицы Z = 6 С = € С

тхп.

тхп.

ЧПХТТ1.

обратная матрица;

спектральный радиус квадратной матрицы А:

р(А) = max |Aj(A)|;

j

спектральный радиус пары (Е, А):

максимальное сингулярное число матрицы А:

*(А) =

степень полинома (многочлена) Р;

значение передаточной функции F(z) на границе

единичного круга: F(co) = lim F(reÍW);

г—>1—0

окружность единичного радиуса на комплексной плоскости;

пространство матричнозпачных функций F : Г Срхт, которые имеют конечную Цхт(Г)-иорму;

H-i -норма передаточной функции линейной системы F: Ц-РЦг — ^ J tr(F*(Lü)F(üj))duj;

— 7Г

пространство Харди комплекснозначных (р х т)-матричных функций F, аналитичных внутри открытого единичного диска {,г£С:|г|<1},с конечной %2 -нормой;

пространство матричнозначных функций F : Г —> Срхт, которые существенно ограничены на Г;

ii/oo-норма передаточной функции линейной системы F: llFlloo = sup ä(F(z));

zeC:\z\<l

пространство Харди комплекснозначных (р х т)-матричных функций F, аналитичных внутри открытого единичного диска {z £ С : \z\ < 1}, с конечной üíoo-нормой;

анизотропия случайного вектора w; средняя анизотропия случайной последовательности W;

анизотропийная норма передаточной функции линейной дискретной системы F; математическое ожидание случайной величины;

мощностная норма сигнала У = {у(к)}к^ о

цу||„ = Л иш £ е'е^)!2;

V к=О

ковариационная матрица случайного вектора ги; точная нижняя грань скалярной функции; точная верхняя грань скалярной функции; конец доказательства теоремы или леммы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и синтез в теории субоптимального анизотропийного робастного управления для дескрипторных систем»

Введение

Актуальность темы. Большинство систем автоматического управления, используемых в технике, - это системы управления по отклонению, основанные на принципе управления по отклонению Ползунова-Уатта: регулируемая величина измеряется, затем сравнивается с задающим воздействием, а выявляющееся при этом отклонение преобразуется в управляющее воздействие. Последнее, влияя на объект управления, стремится уменьшить отклонение. Кроме принципа управления по отклонению, давно известен принцип автоматического управления по возмущению - принцип Понселе [67, 75]. Он заключается в том, что специальное устройство управления под влиянием возмущения воздействует на объект управления, в результате чего непосредственное влияние возмущения на объект уравновешивается. Целью управления является устранение влияния одного заранее выбранного возмущения, но принципиально возможна и полная компенсация.

Целью автоматического управления в простейшем случае является поддержание требуемого значения некоторой регулируемой величины. В реальных системах всегда существуют внешние возмущения, которые при отсутствии управляющего закона отклоняют регулируемую величину от требуемого значения. В связи с этим встает задача уменьшения влияния внешних возмущений в системе управления.

По мере развития теории автоматического управления необходимость в решении проблемы уменьшения влияния и компенсации возмущений возрастала. В конце 30-х годов 20-го века профессор Г.В. Щипанов, формулируя цели автоматического управления, указал на то, что самой важной задачей регулятора является компенсация влияния возмущающих сил на объект управления. Для расчета регулятора, способного решать задачу компенсации, Щипанов нашел достаточные математические условия. Это была первая попытка нового подхода к решению задачи компенсации, положившая начало принципу инвариантности. После опубликования в 1939 г. статьи [38] Г.В. Щиианова развернулась широкая дискуссия по его работе в связи с тем, что автор применил условие компенсации возмущений при

синтезе одного класса систем управления, где условия полной компенсации практически реализовать невозможно [39].

В результате обобщения найденных Г.В. Щипановым "условий компенсации" [38] академиком H.H. Лузиным [26] в 1940 г. был получен принцип инвариантности одного из состояний динамической системы относительно возмущающего воздействия. Позднее академиком B.C. Кулебаки-ным [21] было показано, что принцип компенсации или инвариантности может быть применен для расчета ряда технических устройств, в частности, различных мостовых схем. H.H. Лузин и П.И. Кузнецов сформулировали принцип инвариантности с точностью до малой величины е [27, 28, 29]. Инвариантность с точностью до е подразумевает возможность приближения к нулю регулируемой величины с заданной заранее точностью. A.M. Поповским [35] было указано на связь между автономностью при регулировании взаимосвязанных систем и "восприимчивостью регулируемых величин к нагрузке".

На II Всесоюзном совещании по теории автоматического регулирования в 1953 г. B.C. Кулебакиным было рассмотрено применение введенного им понятия избирательной (селективной) инвариантности [22], которая предполагает независимость любой координаты объекта управления от одного или нескольких возмущений. На том же совещании Б.Н. Петров сформулировал критерий возможности применения условия инвариантности при расчете динамических систем и рассмотрел различные примеры использования этого критерия [33]. В частности, было показано, что условие автономности и условие инвариантности в некоторых случаях совпадают.

В ряде работ А.Г. Ивахненко [18, 19, 20] были исследованы возможности реализации условий инвариантности при расчете комбинированных систем регулирования с воздействием по нагрузке и разработаны методы расчета таких систем.

В работах [50, 64] изучались вопросы расчета систем управления с дополнительным воздействием по внешнему возмущению или так называемых систем замкнутого и разомкнутого циклов. Г.М. Улановым было показано, что в этих работах использовались расчетные соотношения, по существу совпадающие с условиями инвариантности. В докладе Б.Н. Петрова и Г.М. Уланова [34] были также рассмотрены некоторые вопросы применения условий инвариантности при расчете нелинейных систем управления.

В настоящее время теория инвариантности является широко разветвленным разделом теории автоматического управления. По функциональным возможностям выделяют следующие виды инвариантности [30]: аб-

солютная инвариантность, полная инвариантность, асимптотическая инвариантность, инвариантность с точностью до £, частичная (режимная, параметрическая, конструктивная) инвариантность, селективная (избирательная) инвариантность, инвариантность с точностью до влияния производных от возмущения.

При абсолютной инвариантности регулируемая величина не зависит от возмущения, независимо от того, в какой момент времени оно приложено. При полной инвариантности регулируемая величина не зависит от возмущения и его изменения во времени, однако начальное значение возмущения и его производных создают переходную составляющую регулируемой величины. В случаях, когда обеспечить абсолютную или полную инвариантность не удается, удается добиться инвариантности с точностью до е, о которой говорилось ранее.

Когда же по условиям практической осуществимости не удается реализовать абсолютную инвариантность, то говорят о частичной инвариантности. Частичная инвариантность может быть режимной, если условия абсолютной инвариантности обеспечиваются на расчетных режимах и не выдерживаются на других режимах работы. Если отклонение от условий абсолютной инвариантности вызвано изменением параметров во времени, то этот случай относят к параметрической инвариантности, если же конструктивными особенностями - к конструктивной инвариантности.

Задача обеспечения инвариантности с точностью до производных ставится в тех случаях, когда регулируемая величина не зависит от ограниченного числа производных.

Асимптотическая инвариантность означает стремление к нулю выходных переменных или их невязок относительно заданных значений при стремлении времени переходного процесса к бесконечности независимо от действия возмущений. Селективная инвариантность рассматривалась выше.

С развитием теории управления и особенно с внедрением в эту теорию строгих математических методов многие идеи 30-х-40-х годов 20-го века были переосмыслены в соответствии с современными концепциями [1].

С 60-х годов в теории управления успешно развивается направление, связанное с построением наилучшего в смысле некого критерия качества управления, теория оптимального управления. Эта теория не только использовала результаты классического вариационного исчисления, но и создала новые направления в математической теории управления (например, принцип максимума Понтрягина, оптимальное линейное оценивание и другие). Был пересмотрен взгляд и на теорию инвариантности. Как указыва-

лось выше, H.H. Лузин и П.И. Кузнецов предложили принцип инвариантности с точностью до е. Этот принцип непосредственно связан с погружением задач теории инвариантности в строгие математические постановки задач оптимального управления. При таких постановках определяются классы функциональных пространств, которым принадлежат входные сигналы (в частности, входные возмущения), а также задается метрика в пространстве операторов, переводящих входные воздействия в выходные. Задачи теории инвариантности можно тогда трактовать как понижение величины некоторой нормы оператора замкнутой системы, действующего из пространства возмущающих сигналов в пространство выходов. Равенство нулю нормы этого оператора (коэффициента усиления) делает независимым выход системы от входа, что и подразумевает под собой инвариантность. Аналогичные трактовки можно дать и задачам построения селективно инвариантных систем, асимптотически инвариантных систем и так далее.

В теории управления нормы операторов, которые минимизируются (ограничиваются) в процессе решения оптимальной (субоптималыюй) задачи, всегда имеют физическую интерпретацию. Так, квадратичный функционал качества, минимизируемый в хорошо известной LQG-задаче (линейно-квадратичной гауссовской задаче) соответствует энергии, затрачиваемой системой на выполнение требуемого движения. Хорошо известно (см., например, [46]), что LQG-3&pß4a, построения оптимального и субоптимального управления может быть рассмотрена как задача подавления внешнего гауссовского возмущения в линейной системе за счет выбора управления. При этом задача является так называемой %2 -оптимальной (субоптимальной). %2 ~ пространство устойчивых передаточных функций с ограниченной %2 -нормой. Но задача подавления влияния внешних возмущений является обобщением задачи построения инвариантных систем управления, таким образом, мы можем рассматривать классическую LQG-задачу как некую модификацию задачи построения инвариантной системы с точностью до некоторого (к сожалению, не произвольного) значения е.

Известно [55], что системы, синтезируемые по среднеквадратичному критерию качества, не являются робастными, то есть могут терять устойчивость при малых изменениях параметров объекта. В 1981 году Дж. Зейм-сом был предложен другой критерий качества для синтеза систем управления [81]. Он характеризуется максимальным значением отношения энергетических норм выхода и входа системы для любого входного воздействия, то есть является максимальным отношением ¿2-н°Рм выхода и входа. Этот критерий на формальном математическом языке является 7i0с -нормой си-

стемы. Регуляторы, минимимизирующие или ограничивающие заданным числом /Н00 -норму, были названы оптимальными (субоптимальными) Ноо -регуляторами. Физический смысл таких регуляторов также понятен инженеру: надо минимизировать реакцию системы на наихудшее входное воздействие. На языке частотных методов синтеза систем с одним входом и одним выходом надо минимизировать максимум модуля частотной характеристики системы. Теория синтеза Ноо -регуляторов хорошо описана как в зарубежной, так и в российской научной литературе [8, 23, 82]. Легко заметить, что задача синтеза -регуляторов также является задачей понижения влияния внешних возмущений, однако эти внешние возмущения, в отличие от возмущений в ЬС^О-задаче, являются квадратично интегрируемыми функциями. Таким образом, задачи 7~Сос "Оптимизации можно рассматривать как задачи теории инвариантности с точностью до некоторого е для специального класса входных воздействий.

Заметим, что математические предположения о классах функций, являющихся входными возмущениями в ЬС}0- и Ноо -задачах, абсолютно разные. В ЬС^С-задаче входное возмущение является гауссовским белым шумом, тогда как в И^ -задаче входное возмущение является квадратично интегрируемой функцией. Однако схемы решений в ЬС^С- и -субоптимальных задачах являются идентичными и сводятся к решению уравнений Рик-кати. Это сходство позволило предположить, что должна существовать теория построения регуляторов, для которой ЬС^й- и 7/оо -регуляторы были бы частными случаями. Для линейных дискретных систем управления такая теория начала развиваться с 1994 года. Основы теории были заложены И.Г. Владимировым и соавторами в 90-е годы прошлого века [16, 17, 68]. Эта теория была названа анизотропийной теорией стохастического робаст-ного управления.

Неопределенность входного сигнала в задачах анизотропийной теории управления характеризовалась в теоретико-информационных терминах относительной энтропией (расстоянием Кульбака-Лейблера [51]) между неизвестной плотностью распределения входного сигнала и плотностью гаус-совского белого шума. Это рассогласование и было названо анизотропией. Усреднение значения анизотропии по всей входной последовательности было названо средней анизотропией. Средняя анизотропия принимает значения от нуля (на входе гауссовский белый шум) до бесконечности (на входе детерминированнный сигнал). Для систем управления, на вход которых поступают случайные последовательности с ограниченным уровнем средней анизотропии, было введено понятие анизотропийной нормы. Анизотропий-ная норма системы определяется как индуцированная норма системы, на

вход которой поступает сигнал с ограниченным уровнем средней анизотропии. С основами анизотропийной теории можно познакомиться в [25]. Оказалось, что анизотропийная норма линейной дискретной системы лежит между ее нормированной квадратным корнем степени вектора состояния % -нормой и ее Н00 -нормой. Это зргачит, что регуляторы, построенные по критерию минимума анизотропийной нормы системы занимают промежуточное положение между 7^2- и -регуляторами. Из вышесказанного ясно, что задача синтеза регуляторов, минимизирующих анизотроний-ную норму, является задачей понижения влияния внешних возмущений, а, следовательно, одним из частных случаев обеспечения инвариантности замкнутой системы к возмущениям, имеющим определенный уровень отличия от гауссовского белого шума.

В последние годы получила развитие теория построения регуляторов для дескрипторных систем [14, 48, 52, 72, 77], систем, в описании математических моделей которых вместе с дифференциальными (разностными) уравнениями присутствуют и алгебраические уравнения, задающие в пространстве состояний многообразие, на котором происходит движение системы. Такими моделями описываются многие реальные системы управления в различных областях: при моделировании движения летательных аппаратов [69], в схемотехнике [65, 66], электроэнергетике [31, 32], а также технические [59] и экономические системы [63]. Для дескрипторных систем также актуальной является задача понижения влияния внешних возмущений, а значит одна из подзадач теории инвариантности замкнутой системы относительно входных возмущений определенного класса.

Поэтому задача обобщения анизотропийной теории построения субоптимальных регуляторов на класс дискретных дескрипторных систем является неизученным и довольно перспективным направлением.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом. Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые па защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В главе 1 рассмотрены основные особенности дискретных дескрипторных систем, и дано краткое изложение теории анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 2 посвящена нахождению условий ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы с центрированным входным сигналом

и разработке алгоритма вычисления анизотропийной нормы.

В главе 3 поставлена и решена задача синтеза субоптимального ани-зотропийного управления для дескрипторных систем по состоянию и по вектору полной информации.

В главе 4 базовые понятия анизотропийного анализа определены для дескрипторных систем с нецентрированным входным воздействием. Разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы в частотной области и в пространстве состояний.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка методов анизотропийного анализа и синтеза субоптимальных ани-зотропийных регуляторов для линейных дискретных дескрипторных систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Найдены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированным входным возмущением. Основные понятия анизотропийной теории обобщены на класс дескрипторных систем с нецентрированными возмущениями. Разработаны алгоритмы вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы для случая центрированного и нецентрированного возмущений. Получен алгоритм синтеза субоптимального регулятора в форме обратной связи по состоянию и по вектору полной информации, ограничивающего значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенным внешним возмущениям из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, математические модели которых заданы в дескрипторной форме, и позволяют осуществлять синтез новых линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности

и большей эффективностью в подавлении коррелированных стохастических возмущений с неизвестными распределениями, чем широко используемые Дэо-субоптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Получены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрии-торной системы.

2. Обобщены понятия теории анизотропийного анализа на класс де-скрипторных систем с нецентрированными возмущениями.

3. Разработаны алгоритмы вычисления анизотропийной нормы дескрип-торной системы с центрированными и нецентрированными возмущениями.

4. Предложена методика построения субоптимальных анизотропийных регулятора по состоянию и по вектору полной информации для де-скрипторных систем с центрированным входным сигналом.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре научной школы "Нелинейные динамические системы и процессы управления" кафедры ФН-12 "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана (под руководством член-корр. РАН Крищенко А.П.), на XV и XVII конференциях молодых ученых "Навигация и управление движением" (ЦНИИ "Электроприбор", г. Санкт-Петербург, 2013, 2015), на X и XI Всероссийских школах-конфереициях молодых ученых "Управление большими системами" (г. Уфа, 2013 г., г. Арзамас, 2014 г.), а также на международных конференциях: the International Workshop on Navigation and Motion Control (ЦНИИ "Электроприбор", Ладога, мыс Черемухин, 2014 г.), the 19th International Conference on Process Control (University of Pardubice, Strbske Pleso, Slovak Republic, 2013), the 15th International Carpathian Control Conference (Velke Karlovice, Czech Republic, 2014), the European Control Conference (Strasbourg, France, 2014).

Публикации. Основные результаты опубликованы в двух статьях в журналах из перечня ВАК [3, 6], одной монографии [7], трудах четырех международных конференций [40, 42, 41, 43] и четырех тезисах докладов Всероссийских конференций [2, 4, 5, 10].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 99 страницах, содержит 5 таблиц и 12 иллюстраций. Библиография включает 82 наименования.

Глава 1

Основы теории дескрипторных систем и анизотропийного анализа

1.1 Дескрипторные системы

Математические модели объектов управления не всегда могут быть описаны только дифференциальными или разностными уравнениями, также они могут содержать алгебраические уравнения. Такие системы, называемые дифференциально-алгебраическими или алгебро-разностными, существенно отличаются от обыкновенных систем. В иностранной литературе системы такого типа также называют дескрипторными, т.е. описательными. Смысл понятия "дескрипторные системы" заключается в том, что переменные состояния имеют физический (описательный) характер. Из-за наличия алгебраических связей между переменными состояния, модель приобретает свойства, не характерные для обыкновенных систем. К таким свойствам можно отнести невозможность разрешить систему относительно производной, необходимость подачи на вход системы достаточно гладких сигналов, а также нспричинное в дискретном случае (импульсное в непрерывном случае) поведение.

В этом разделе даны основные определения теории дескрипторных систем, а именно понятие регулярности, устойчивости, причинности и допустимости. Обобщены понятия норм обыкновенных дискретных систем на класс дискретных дескрипторных систем. Приведены выражения для эквивалентных форм (первой и второй). Рассмотрены понятия причинной управляемости и стабилизируемое™. Более подробную информацию мож-

но найти в [52, 77].

Модель дискретной линейной дескрипторной системы в пространстве состояний имеет вид

Ех{к + 1) = Ах(к) + В/(к), (1.1)

у(к) = Сх{к) + П/(к), (1.2)

где х (к) £ Мп - вектор состояния, /(к) € и у (к) 6 I1" - входной и выходной сигналы соответственно, А, В, С, Б - постоянные матрицы соответствующих размерностей, Е £ - вырожденная матрица, то есть г&пкЕ = г < п.

Одним из ключевых понятий теории дескрипторных систем является понятие регулярности системы. Регулярность является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы (1.1). Будем предполагать, что все рассматриваемые дескрипторные системы являются регулярными.

Определение 1.1. Система (1.1) (пара (Е, А)) называется регулярной, если ЗА ф 0 : ¿а{\Е - А) ^ 0.

Следующая лемма [52] дает эквивалентные необходимые и достаточные условия регулярности системы (1.1).

Лемма 1.1. Система (1.1) является регулярной тогда и только тогда, когда существуют две певыроэюденные матрицы и К\ такие, что

ЯгЕЯг = сИ), ЯгА^ = с^(Ль 7„_г), (1.3)

где А\ € Егхг, N - иильпотент, т.е. = 0 для любого целого ¡г ^ /¿о, /го ~ индекс нилъпотента N.

В соответствии с леммой 1.1, уравнение состояния (1.1) может быть представлено в следующем виде:

Х\(к + 1) = А1х1{к) + В1Цк), (1.4)

Мс2(Аг + 1) - х2{к) + В2/(к), (1.5)

где х\(к) е Мг, х2{к) е [В^ В%]Т = СкВ.

Определение 1.2. Систему (1.4) (1.5) называют первой эквивалентной формой системы (1.1) [52].

Дескрипторные системы имеют решения не при любых начальных условиях.

Определение 1.3. Начальные условия ш(0), при которых регулярная де-скрипторная система (1.1) имеет решение, называют согласованными.

Согласованные начальные условия удовлетворяют следующему равенству:

/г-1

[о 1}щЧ{ 0) = ^iv%/(i).

¿=0

Определение 1.4. Система (1.1) (пара (Е, А)) называется причинной, если ее решение х{к) при согласованных начальных условиях зависит только от f(k), ../(0) и x(k — 1), ..я;(0).

Это имеет место, если индекс нильпотента N равен 1.

Теорема 1.1. Система (1.1) является причинной тогда и только тогда, когда degdet(zE—A) — rankЕ или N = 0, т.е. система не имеет полюсов на бесконечности.

Введем теперь понятия устойчивости и допустимости линейной дискретной дескрипторной системы.

Определение 1.5. Систему (1.1) (пару (Е, А)) называют устойчивой, если р(Е,А) < 1, где р(Е:А) = max | А|Ae{zeC| dctC^—л)=о} ~ спектральный радиус пары (Е,А).

Определение 1.6. Дескрипторная система (1.1) (пара (Е, А)) называется допустимой, если она регулярная, причинная и устойчивая.

Для регулярной системы (1.1) существуют две невырожденные матрицы Q2 и такие, что [52]

Q2ER2 = diag(/r, 0). Рассмотрим преобразование координат

r=Ы ■ (1-о)

где х\(к) еГи Х2{к) € Тогда, умножая уравнение (1.1) слева на

матрицу (^2 и учитывая преобразование координат (1.6), запишем систему (1.1)—(1.2) в форме [52]

х1(к + 1) = Апх1{к) + А12х2{к) + В1/(к), (1.7)

О = А21х1(к)+А22х2{к) + В2/(к), (1.8)

у(к) = С1Х1(к) + С2х2(к) + В/(к), (1.9)

где

Я2АЯ2 =

Аи л12 Л21 А 22

Я2В =

Вг В2

СЯ2 = [Сг С2]

Матрицы 2 и Я2 находятся из сингулярной декомпозиции

Е = í7diag(S,, 0П_Г)УТ,

в которой II и У — вещественные ортогональные матрицы, а Б — диагональная матрица порядка г, образованная отличными от нуля сингулярными значениями матрицы Е:

д2 = «ш^-1, /п_г)с/т, я2 = уа!а§(5-1, /п>г).

Определение 1.7. Систему (1.7) —(1.9) называют второй эквивалентной формой системы (1.1)-(1.2).

Для системы (1.1)—(1.2) во второй эквивалентной форме (1.7)—(1.9) справедлива следующая лемма [77]:

Лемма 1.2. Система (1.1) является

1. причинной тогда и только тогда, когда матрица А22 - невырожденная;

2. допустимой тогда и только тогда, когда она причинная и р(Ап - А12А^А21) < 1.

При решении задач управления для дескрипторных систем необходимо не только обеспечить устойчивость динамической подсистемы, но также исключить нежелательное непричинное поведение. Поэтому для дескрипторных систем различают причинную управляемость и стабилизируемость. Рассмотрим их подробнее.

Примем /(к) за управление и выберем его в виде обратной связи по состоянию

¡(к) = Есх(к) + Нк), (1.10)

где 6 Мтхп — постоянная матрица, Н(к) — новый входной сигнал. Тогда замкнутая система примет вид

Ех(к + 1) = (А + ВЕс)х(к) + ВН(к). (1.11)

Определение 1.8. Система (1.1) называется причинно управляемой, если существует обратная связь вида (1.10) такая, что замкнутая система (1.11) является причинной.

В большинстве реальных систем непричинное поведение является достаточно редким, но может создавать множество проблем при решении задач управления. Причинная управляемость дает возможность обеспечить причинность с помощью обратной связи по состоянию вида (1.10).

Свойство причинной управляемости можно проверить, используя следующий ранговый критерий [52].

Теорема 1.2. Система (1.1) является причинно управляемой, если

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андрианова, Ольга Геннадьевна, 2015 год

Литература

[1] Айзерман М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования и управления // Автоматика и телемеханика. 1993. № 7. С. 6-17.

[2] Андрианова О. Г. Анизотропийная частотная теорема для дескрии-торных систем // Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.: Изд-во ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2013. С. 344-349.

[3] Андрианова О.Г. On Some Anisotropy-Based Analysis Problems for Linear Discrete-Time Descriptor Systems with Nonzero-Mean Input Signals // "Наука и образование": электронное научное издание. 2014. № 4. С. 160-174. [Электронный ресурс]. DOI: 10.7463/0414.0704850. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/704850.html (дата обращения: 07.03.2015).

[4] Андрианова О. Г. Синтез субоптималыюго анизотропийного регулятора для дескрипторных систем в терминах уравнений Риккати // Материалы XI Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". - Арзамас, 2014. С. 20-32.

[5] Андрианова О.Г., Белов A.A. Алгоритм вычисления анизотропий-ной нормы дескрипторной системы на основе частотной теоремы // Материалы X Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2013. Т. 1. С. 19-23.

[6] Андрианова О.Г., Белов A.A., Курдюков А.П. Условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. № 1. С. 29-40.

[7] Андрианова О.Г., Курдюков А.П. О некоторых подходах теории ин-

вариантности к системам управления. - М.: ИПУ РАН, 2015. - 152 с. ISBN 978-5-91450-165-2.

[8] Баландин Д.В., Коган М.М. Алгоритмы синтеза робастного управления динамическими системами. - Н. Новгород: Изд-во НГУ им. Лобачевского, 2007.

[9] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[10] Белов A.A., Андрианова О.Г. Анизотропийный анализ для дескрип-торных систем с использованием ЛМН // Материалы XI Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". - Арзамас, 2014. С. 33-45.

[11] Белов A.A. Синтез анизотропийных регуляторов для дескрипторных систем: Дис. канд. физ.-мат. паук. М., 2011. 90 с.

[12] Белов A.A., Курдюков А.П. Вычисление анизотронийной нормы де-скрипторной системы // Автоматика и телемеханика. 2010. № 6. С. 51-63.

[13] Белов A.A., Курдюков А.П. Линейные дескрипторные системы дискретного времени. - М.: ИПУ РАН, 2011.

[14] Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. / Под ред. С.Н. Васильева. - Новосибирск: Наука, 2000.

[15] Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8. С. 92-111.

[16] Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Докл. РАН. 1995. Т. 342, № 3. С. 583-585.

[17] Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая задача Яоо-оптимизации // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 5. С. 607-609.

[18] Ивахненко А.Г. О способах устранения самонастраивающейся ошибки систем автоматического регулирования // Докл. АН СССР. Нов. сер. 1952. Т. 67, №6. С. 949-952.

[19] Нвахненко A.B. Определение оптимальных значений варьируемых параметров комбинированных систем регулирования обратным методом (способом расчета "по частям") // Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. - М.; JL: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 2. С. 208-232.

Ивахненко А.Г. Электроавтоматика. - Киев: Гостехиздат УССР, 1957.

Кулебакин В. С. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физических реальных системах // Докл. АН СССР. 1948. Т. LX, т. С. 231-234.

Кулебакин В. С. Об основных задачах и методах повышения качества автоматически управляемых систем // Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. - М.; JL: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 2. С. 184-207.

Курдюков А.П. Основы робастного управления: Учебное пособие / Под ред. К.А. Пупкова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

Кустов А.Ю. Задачи анализа и синтеза в анизотропийной теории управления при непулевом математическом ожидании внешнего возмущения: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 109 с.

Кустов А.10., Курдюков А.П., Начинкина Г.Н. Стохастическая теория анизотроиийного робастного управления. - М.: ИПУ РАН, 2012.

Лузин H.H. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1940. N2 5. С. 3-66.

Лузин H.H., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантности и инвариантности до г в теории дифференциальных уравнений I // Докл. АН СССР. 1946. Т. LI, № 4. С. 247-249.

Лузин H.H., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантности и инвариантности до £ в теории дифференциальных уравнений II // Докл. АН СССР. 1946. Т. LI, № 5. С. 331-333.

[29] Лузин H.H., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантности и инвариантности до е в теории дифференциальных уравнений III // Докл. АН СССР. 1951. Т. LXXX, № 3. С. 325-327.

[30] Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. - М.: Энергоатомиздат, 2003.

[31] Мисриханов М.Н., Рлбченко В.Н. Новый критерий статической устойчивости электроэнергетической системы с математической моделью в форме алгебро-дифференциальных уравнений // Вестн. Ивановен Гос. Энерг. Ун. 2009. № 2. С. 76-81.

[32] Мисриханов М.Н., Рябченко В.Н. Итерационный критерий статической устойчивости электроэнергетической системы, заданной в алгебро-дифференциальной форме // Стохастическая оптимизация в информатике. 2009. Т. 5, № 1-1. С. 209-225.

[33] Петров Б.П. О применении условий инвариантности // Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 2, С. 241-246.

[34] Петров Б.П., Уланов P.M. Вопросы теории комбинированного управления // Труды сессии АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. - М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 191-209.

[35] Поповский A.M. О свободе выбора параметров автоматических процессов регулирования нескольких взаимосвязанных величин // Автоматика и телемеханика. 1949. № 6. С. 401-423.

[36] Чайковский М.М. Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации: Дис. док. техн. наук. М., 2012. 193 с.

[37] Чайковский М.М. Синтез анизотропийных регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования // Управление большими системами. 2013. Т. 42. С. 100-152. URL: http://ubs.mtas.ru/upload/library/UBS4205.pclf (дата обращения: 07.03.2015).

[38] Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1. С. 49-66.

[39] Г.В. Щппанов и теория инвариантности (Труды и документы): Составители З.М. Лезииа, В.И. Лезин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

[40] Andrianova О. On a State Feedback Anisotropy-based Control Problem for Linear Discrete-time Descriptor Systems // Proc. 15th International

Carpathian Control Conference. 2014. P. 1-5. IEEE Catalog Number: CFP1442L-CDR.

Andrianova O., Belov A. Anisotropy-based bounded real lemma for linear discrete-time descriptor systems // Proc. 2013 International Conference on Process Control. 2013. P. 57-62.

Andrianova 0., Kurdyukov A., Belov A., Kustov A. Anisotropy-based analysis for descriptor systems with nonzero-mean input signals // Proc. 2014 European Control Conference. 2014. P. 430-435.

Belov A., Andrianova O. Computation of anisotropic norm for descriptor systems using convex optimization // Proc. 2013 International Conference on Process Control. 2013. P. 173-178.

Ben-Tal ANemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. - Haifa, Israel: Technicon, 2000.

Bernstein B.S. Matrix mathematics: Theory, facts, and formulas with application to linear systems theory. - New Jersey: Princeton University Press, 2005.

Bosgra O.H., Kwakernaak E., Meinsma G. Methods for Control Systems - DISC lecture notes 2000-2001. URL: http://web.boun.edu.tr/eskinat/ME687.html. (accessed 07.03.2015).

Boyd S., Ghaoui L. E., Feron E. Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. SIAM Studies in Applied Mathematics. - Philadelphia, Pennsylvania, 1994.

Campbell S.L. Singular Systems of Differential Equations. - San Francisco: Pitman, 1980.

Chadli M., Darouach M. Novel bounded real lemma for discrete-timc descriptor systems: Application to H0c control design // Automatica. 2012. V. 48. P. 449-453.

Colomb M., Usdin E.A. A theory of multidimensional servosystems //J. Franklin Inst. 1952. V. 253. P. 29-57.

Cover T.M., and Thomas J.A. Elements of Information Theory- New Jersey: Wiley, 2006.

Dai L. Singular Control Systems.Lecture Notes in Control and Information Sciences. - N.Y.: Springer-Verlag, 1989.

Diamond P.,Vladimirov I., Kurdyukov A., Semyonov A. Anisopropy-based performance analysis of linear discrete-timc-invariant control systems // Int. J. of Control. 2001. V. 74. P. 28-42.

Diamond P., Kloeden P., Vladimirov I. Mean anisotropy of homogeneous gaussian random fields and anisotropic norms of linear translationinvariant operators on multidimensional integer lattices //J. Appl. Math, and Stoch. Analysis. 2003. V. 16:3. P. 209-231.

Doyle J. C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. Aut. Control. 1978. V. 23. P. 756-757.

Feng Yu., Yagoubi M. On state feedback TC^ control for discrete-time singular systems // IEEE Trans. Aut. Control. 2013. V. 58, № 10. P. 26742679.

Gray R.M. Entropy and information theory. - N.Y.: Springer, 1991.

Grenander U., Szego G. Toeplitz forms and their applications. -University of California Press, 1958.

Hemami H., Wyman B.F. Modeling and control of constrained dynamic systems with application to biped locomotion in the frontal plane // IEEE Trans. Automat, Control. 1979. V. 24. P. 526-535.

Horn R.A., Johnson C.R. Matrix analysis. - N.Y.: Cambrige University Press, 2007.

Kurdyukov A., Maxirnov E., Tchaikovsky M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. of Mathematical Theory of Networks and Systems. 2010. P. 2391-2397.

Kurdyukov A., Kustov A., Tchaikovsky M., Karny M. The concept of mean anisotropy of signals with nonzero mean // Proc. 2013 International Conference on Process Control. 2013. P. 37-41.

Luenberger A.; Arbel D.G. Singular dynamic Leontief systems // Econometrica. 1977. V. 45. P. 991-995.

Moore J.R. Combination open-cycle, closed-cycle systems // Proc. IRE. 1951. V. 39, № 11. P. 1421-1432.

Newcomb R. W. The semistate description of nonlinear time-variable circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. 1981. V. 28. P. 62-71.

Newcomb R.W., Dziurla B. Some circuits and systems applications of semistate theory // Circuit. Syst. Sig. Process. 1989. V. 8. P. 235-260.

Preminger J., Rootenberg J. Some considerations relating to control systems employing the invariance principle // IEEE Trans. Aut. Control. 1964. V. 9, №. 3. P. 209-215.

Semyonov A., Vladimirov I., Kurdyukov A. Stochastic approach to %oq-optimization // Proc. 33rd IEEE Conf. on Decision and Control. 1994. P. 2249-2250.

Stevens B.L., Lewis F.L. Aircraft Modeling, Dynamics and Control. -N.Y.: Wiley, 1991.

Stoorvogel A.A. The Hqo Control Problem: A State Space Approach. Ann Arbor: University of Michigan, 2000.

Stykel T. Analisys and numerical solutions of generalised Lyapunov equations: Ph. D. thesis, Institut fur Mathematik, Techische Universität Berlin, Berlin, 2002.

Stykel T. Input-Output Invariants for Descriptor Systems. - Calgary, AB, Canada: University of Calgary, 2003.

Stykel T. Gramian based model reduction for descriptor systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems. 2004. V. 16. P. 297-319.

Tchaikovsky M., Kurdyukov A., Timin V. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr. 2011. P. 2332-2337.

Tian G., Gao Z. From Poncelet's invariance principle to active disturbance rejection // Proc. 2009 American Contr. Conference. 2009. P. 2451-2457.

Vladimirov I., Kurdyukov A., Semyonov A. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // Proc. 13th IFAC World Congr. 1996. P. 179-184.

[77] Xu S., Lam J. Robust Control and Filtering of Singular Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Berlin: Springer-Verlag, 2006.

[78] Xu S., Yang C. State Feedback Control for Discrete Singular Systems // IEEE Trans. Aut. Control. 2000. V. 45, № 7. R 1405-1409.

[79] Yung C.F. % oo control for linear discretc-time descriptor systems: state feedback and full information cases // Proc. 17th IFAC World Congr. 2008. P. 10003-10008.

[80] Yung C.F., Wang C.C., Wu P.F., Wang Y.S. Bounded real lemma for linear discrete-time descriptor systems // Proc. 17th IFAC World Congr. 2008. P. 9982-9986.

[81] Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Aut. Control. 1981. V. AC-26. P. 301-320.

[82] Zhow K., Doyle J.C. Essential of Robust Control. - New Jersey: Prentice Hall, 1998.