Вычислительные методы анизотропийного анализа и синтеза оптимального управления для систем с неопределенностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Чайковский, Михаил Михайлович

• Чайковский, Михаил Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чайковский, Михаил Михайлович

Обозначения

Введение

1 Основные понятия анизотропийного анализа

1.1. Анизотропия случайного вектора.

1.2. Средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности

1.3. Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы.

1.4. Выводы к главе 1.

2 Вычислительные методы решения задач анизотропийного анализа

2.1. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в пространстве состояний.

2.2. Вычисление анизотропийной нормы системы в частотной области.

2.3. Вычисление анизотропийной нормы системы в пространстве состояний.

2.3.1. Применение метода Ньютона.

2.4. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства.

2.5. Решение задач анизотропийного анализа с помощью линейных матричных неравенств.

2.5.1. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности.

2.5.2. Вычисление анизотропийной нормы системы

2.5.3. Численные примеры.

2.6. Выводы к главе 2.

3 Решение задачи стохастической (анизотропийной) %оо-оптимизации систем с неопределенностью методом гомотопии

3.1. Постановка и аналитическое решение задачи.

3.2. Метод гомотопии с ньютоновскими итерациями.

3.2.1. Вычислительный алгоритм решения задачи

3.2.2. Правила и формулы для дифференцирования матричнозначных отображений.

3.2.3. Явные выражения для матричных производных

3.3. Численный пример: робастное управление самолетом.

3.3.1. Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления.

3.3.2. Результаты решения задачи и моделирования

3.4. Выводы к главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные методы анизотропийного анализа и синтеза оптимального управления для систем с неопределенностью»

Актуальность темы. Задачи оптимального управления играют решающую роль при синтезе современных систем управления. Обычно система управления действует в присутствии внешних возмущений, и поэтому выбор критерия качества в задаче оптимизации мотивируется различными предположениями о природе возмущения, воздействующего на систему. Широко известные задачи Н2- и Т^-оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании V.2- и 7^оо-норм в соответствующих пространствах Харди матричных передаточных функций. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах A.M. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи ^-оптимизации, рассмотренной в работах Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекера, Б. Фрэнсиса, П. Гаи-нета. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна, или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании TYoo-оптималыюго подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Данное направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, П. Гаинета.

Задача о линейно-квадратичном регуляторе, называемая также задачей об аналитическом конструировании регуляторов, была одной из первых решенных задач оптимального управления [16, 63]. В отличие от задач оптимального программного управления, например, от задачи оптимального быстродействия, ее решение формулируется в терминах обратной связи. Задача синтеза оптимального линейно-квадратичного гауссовского регулятора, минимизирующего 7^2-норму замкнутой системы, представляет собой задачу отыскания оптимальной линейной постоянной обратной связи по вектору состояния, восстановленному с помощью оптимального наблюдателя — фильтра Кал-мана [29, 43, 71, 82]. Для линейного стационарного объекта управления, функционирующего на бесконечном временном интервале, данная задача сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати [71, 95]. Для непрерывных и дискретных систем эти уравнения Риккати имеют различный вид (непрерывное и дискретное алгебраические уравнения Риккати, соответственно).

Ноо-оптимизация составляет ядро современной линейной теории управления [30, 39, 43, 45, 46, 52, 53, 54, 56, 74, 86, 99, 100]. Первоначально задача была решена в частотной области с использованием теоремы Неванлинны-Пика [44, 45]. В работе [43] было получено полное решение задачи синтеза Т^оо-субоптималыюго регулятора для непрерывного линейного стационарного объекта в пространстве состояний, которое сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати ("2-Риккати подход"). Аналогичный подход к решению задачи ?4о-оптимизации дискретной линейной стационарной системы представлен в работах [46, 56, 74].

Вопросам исследования алгебраических уравнений Риккати, играющих большую роль в решении задач оптимизации линейных систем, посвящено большое количество работ [28, 35, 55, 57, 58, 59, 62, 72, 73, 75, 77, 80, 83, 85, 87, 88, 89, 95, 96, 97, 98]. Существуют различные численные методы решения алгебраических уравнений Риккати: метод собственных векторов, метод Шура, обобщенные методы, методы мат-ричнозначной функции, методы Ньютона, описание которых можно найти в монографиях [10, 38, 72] вместе с подробной библиографической информацией. После появления в середине 90-х годов прошлого века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации, изложенных в работах [33, 34, 76], вычислительные подходы с применением линейных матричных неравенств широко применяется для решения задач Н2 и Ноо-оптимизации [1, 26, 33, 36, 47, 48, 60, 86]. Подробную библиографию по вопросам взаимосвязи линейных матричных неравенств с соответствующими алгебраическими уравнениями Риккати можно найти в обзоре [24]. Численные методы решения линейных матричных неравенств и вычислительные алгоритмы решения соответствующих задач управления реализованы в виде пакетов программ мощной системы инженерных и научно-технических расчетов МАТЬАВ [49, 79] наряду с численными методами решения алгебраических уравнений Риккати.

Однако, несмотря на элегантность и строгость решений соответствующих задач, линейно-квадратичный гауссовский регулятор и Ноо-оптимальный регулятор эффективны только в том случае, когда базовые предположения о природе внешних возмущений выполняются полностью. Использование линейно-квадратичного гауссовского регулятора в контуре обратной связи приводит к плохому функционированию замкнутой системы автоматического управления в том случае, когда на вход данной системы поступает сильно окрашенный шум [41]. Кроме того, в работе [42] было показано, что такая система теряет устойчивость при малых возмущениях математической модели объекта управления. С другой стороны, Т^-оптимальные регуляторы, рассчитанные на детерминированный наихудший случай, проявляют излишнюю консервативность (высокие энергетические затраты органов управления объекта) в тех случаях, когда внешнее возмущение является белым или слабо окрашенным шумом [41]. Вследствие этого представляется привлекательной задача синтеза робастного регулятора, обладающего меньшей степенью консервативности в сравнении с 7-4о-оптимальным регулятором.

Существует несколько подходов к решению данной задачи. Один из них — смешанный Н2/Н00 подход — предполагает разбиение внешнего возмущения на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и использование многоцелевого критерия качества [31, 81, 101]. Второй подход связан с синтезом регуляторов, рассчитанных на случай функционирования системы в присутствии случайных внешних возмущений, вероятностные характеристики которых известны неточно. Это направление предполагает использование теоретико-информационных критериев качества и называется стохастической Ноо-оптимизацией [4, 6, 8, 13, 64, 84, 92, 93]. Стохастическая норма передаточной функции замкнутой системы является одним из применяемых информационных критериев. Она характеризует чувствительность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное распределение которых известно неточно.

Анизотропийная норма системы представляет собой частный случай стохастической нормы и применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение является гауссовской случайной последовательностью с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [6, 84]. Средняя анизотропия последовательности случайных векторов является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (окрашенности), или, что то же самое, мерой отклонения последовательности случайных величин от белого шума [41]. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы системы составляют задачи анизотропийного анализа. В диссертационной работе представлено решение задач анизотропийного анализа с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации. Применение линейных матричных неравенств для оценки и вычисления средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийной нормы системы является актуальным и представляется привлекательным с вычислительной точки зрения.

Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму передаточной функции дискретной линейной стационарной замкнутой системы, была поставлена в работе [8] и решена в [93]. Аналитическое решение задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для системы с неопределенностью представлено в работах [13, 64]. Решение данной задачи сводится к отысканию решения системы алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида. Разработке вычислительного метода для решения этой сложной системы нелинейных алгебраических уравнений посвящена вторая часть диссертационной работы.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом.

В главе 1 приводится краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 2 диссертационной работы посвящена вычислительным методам анизотропийного анализа дискретных линейных стационарных систем, а именно, вычислению средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром, заданным реализацией в пространстве состояний, и вычислению ани-зотропийной нормы дискретных линейных стационарных систем с помощью линейных матричных неравенств. Сформулировано достаточное условие для нахождения сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида. Проведена оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств. Задача вычисления точного значения средней анизотропии гауссовской случайной последовательности сведена к нахождению решения выпуклой оптимизационной задачи. Задача вычисления анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы также формулируется в терминах линейных матричных неравенств — в виде задачи выпуклой оптимизации.

В главе 3 диссертационной работы представлен вычислительный метод гомотопии для решения задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для дискретной линейной системы с параметрической неопределенностью, функционирующией в условиях случайных гауссовских возмущений с ограниченной средней анизотропии. Аналитическое решение данной задачи сводится к решению системы матричных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида. Для решения сложной системы матричных алгебраических уравнений разработан вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями. Вычислительный процесс начинается с решения задачи ^-оптимизации, которое соответствует нулевому уровню средней анизотропии внешнего случайного возмущения и может быть легко получено с помощью стандартных вычислительных методов. Н2-оптимальный регулятор является исходной точкой для метода гомотопии. В диссертационной работе используется дискретный вариант метода гомотопии, предполагающий построение конечной последовательности задач, которая начинается легко разрешимой системой уравнений для нулевого уровня средней анизотропии внешнего возмущения и "плавно" переходит в систему уравнений для заданного уровня средней анизотропии внешнего случайного возмущения. Решение очередного уравнения в этой цепочки осуществляется с помощью локальной итерационной схемы — метода Ньютона. В диссертационной работе получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе. В качестве вычислительного примера рассматривается решение задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений, шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления. Данный регулятор обеспечивает максимальное подавление внешних возмущений с уровнем средней анизотропии не выше заданного.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычисления средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром с известной реализацией в пространстве состояний, и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы. Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит разработка вычислительного метода решения задачи синтеза оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем со структурированной параметрической неопределенностью.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также вычислительной математики.

Научная новизна. Получено необходимое и достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии гаус-совской случайной последовательности. Разработаны вычислительные методы расчета средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации. Разработан вычислительный метод решения задачи синтеза линейного робастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям модели объекта управления из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов математической теории управления линейными объектами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности в сравнении с широко использующимися в настоящее время Ноо-оптимальными регуляторами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида.

2. Оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств. Вычисление точного значения средней анизотропии с помощью аппарата выпуклой оптимизации.

3. Вычисление анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации.

4. Вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью.

5. Применение разработанного вычислительного метода для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях внешних возмущений и шумов измерений с ограниченной средней анизотропией.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях: 15-й Международной конференции "Управление процессами"(Штрбске Плесо, Словакия, 2005), 4-й Международной конференции "Идентификация систем и проблемы управления" (ИПУ РАН, 2006), 9-м Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем"имени Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН, 2006), 7-й Международной конференции "Управление процессами"(Коути-над-Десноу, Чехия, 2006), 5-м Международном симпозиуме IFAC "Синтез робастного управления "(Тулуза, Франция, 2006), 25-й Конференции памяти H.H. Острякова (Санкт-Петербург, 2006), 17-м Международном симпозиуме IFAC "Управление в авиации и космонавтике" (Тулуза, Франция, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи [14, 22, 91] в научных журналах и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [15, 23, 65, 66, 67, 69, 70, 90, 94].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (101 источник), а также содержит 21 рисунок. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Чайковский, Михаил Михайлович

3.4. Выводы к главе 3

В третьей главе рассматривается вычислительный алгоритм решения задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для линейной дискретной стационарной системы со структурированной параметрической неопределенностью. Оптимальный анизотро-пийный регулятор минимизирует анизотропийную норму замкнутой системы для заданного уровня средней анизотропии внешнего возмущения. Первоначальная задача со структурированной параметрической неопределенностью погружается в стохастическую задачу Ноо-оптимизации системы без параметрической неопределенности с дополнительным входом, являющуюся по сути задачей смешанной "Нг/^оо-оптимизации. Решение задачи стохастической Т^оо-оптимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, включающей четыре уравнения Риккати, уравнение Ляпунова и нелинейное уравнение специального вида. Данная система разрешима в рамках стандартных допущений задачи 7^оо-оптимизации.

Для численного решения указанной системы нелинейных алгебра

30 40

Time [secl

S 0

Рис. 3.13. Измеряемые переменные уг (ДУ, Рис. 3.14. Управляемые переменные (ДУ, м/сек) и у2 (Л/г, м) в присутствии наихудшего м/сек) и гг (Д/ц м) (в присутствии наихудших шума измерений возмущений)

20 30 40

Time [sec]

Рис. 3.15. Переменные управления щ (Дг*су, град) и иг (Д<^, град) (в присутствии наихудших возмущений) ических уравнений разработан вычислительный алгоритм на основе дискретного варианта метода гомотопий, использующий в качестве начального приближения ^-оптимальный регулятор. В описании алгоритма приводятся явные выражения для матричных производных, используемых при вычислениях. С помощью данного метода рассчитан робастный анизотропийный регулятор для управления самолетом на режиме посадки в условиях внешних возмущений, шумов измерений и интервальной неопределенности модели объекта. Моделирование замкнутой системы показывает, что полученный анизотропийный регулятор обеспечивает внутреннюю устойчивость замкнутой системы для граничных и промежуточных наборов неопределенных параметров модели объекта. Сравнительный анализ робастного анизотропийного и Ноо-субоптимального регуляторов в условиях наихудших случайных возмущений и неопределенностей демонстрирует основные преимущества анизотропийного регулятора, а именно, гладкость и физическую реализуемость сигналов управления наряду с достаточно хорошим подавлением случайных и детерминированных внешних возмущений в присутствии неопределенности модели объекта управления.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы:

1. Получено достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения нестрогого линейного матричного неравенства определенного вида. Сильно минимизирующее ранг решение рассматриваемого линейного матричного неравенства удовлетворяет ассоциированному обобщенному алгебраическому уравнению Риккати, возникающему при решении задач анализа и синтеза линейных стационарных систем с дискретным временем. Представленное достаточное условие позволяет свести решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати к решению выпуклой задачи полуопределенного программирования.

2. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии многомерной гауссовской случайной последовательности, генерируемой устойчивым формирующим фильтром из многомерного гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей. Показано, что при нахождении сильно минимизирующего ранг решения определенного линейного матричного неравенства данная оценка дает точное значение средней анизотропии.

3. Представлены формулы для вычисления анизотропийной нормы линейной стационарной системы с дискретным временем в пространстве состояний с помощью линейных матричных неравенств. Данная задача сводится к отысканию сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства, то есть к решению выпуклой оптимизационной задачи.

4. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода гомото-пии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза робастных оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем с параметрической неопределенностью. Решение данной задачи сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида. Данная система разрешима в рамках стандартных допущений задачи Ноо-оптимизации. В качестве начального приближения разработанного вычислительного метода используется ^-оптимальный регулятор. Получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе.

5. С помощью разработанного вычислительного метода получен ро-бастный оптимальный анизотропийный регулятор для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений (сдвиг ветра), шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления. Данный регулятор обеспечивает максимальное подавление внешних возмущений с уровнем средней анизотропии не выше заданного. По результатам компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ полученного анизотропийного регулятора и "Ноо-субоптималыюго регулятора. Анализ показал, что сигналы управления робастного анизотропийного регулятора характеризуются меньшими максимальными значениями, а также большей гладкостью по сравнению с управлением, вырабатываемым субоптимальным регулятором. Разработанный вычислительный метод показал свою эффективность и пригодность в использовании при решении задачи управления самолетом на режиме посадки в условиях сдвига ветра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чайковский, Михаил Михайлович, 2007 год

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М: Физматлит, 2007.

2. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М: Оборонгиз, 1961.

3. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

4. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале. АиТ, 2006, №8, с. 92111.

5. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем. ДАН, 1995, №3, с. 583-585.

6. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем. АиТ,1999, т.

7. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема Коо-оптимизации. ДАН, 1995, т.343, №5, с. 607-609.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4~е изд. М: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1988.

9. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

10. И. Калман Р. Об общей теории систем управления. Труды международного конгресса ИФАК, т.2. М.: АН СССР, 1961, с. 521-547.

11. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987.

12. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение задачи стохастической Koo-оптимизации для линейной системы с неопределенностью. АиТ, 2006, №8, с. 112-142.

13. Курдюков А.П., Чайковский М.М. Алгоритмическая и программная реализация вычислительных методов решения задач анизо-тропийного анализа и синтеза. Тезисы докладов XXV конференции памяти H.H. Острякова, Санкт-Петербург, 2006.

14. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I-IV. АиТ, 1960, №4, с. 436-441; №5, с. 561-568; №6, с. 661-665; 1961, М, с. 425-435.

15. Максимов Е.А. О связи задачи синтеза анизотропийных регуляторов с классическими задачами оптимального управления. АиТ, 2007, №9, с. 134-144.

16. Поляк, Б.Т., Щербаков, П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

17. Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полетом в сложных условиях. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №074-95/01. М: Институт проблем управления РАН, 1995.

18. Разработка принципов автоматизации полета и исследования новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №053-93/01. М: Институт проблем управления РАН, 1993.

19. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

20. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства. АиТ, 2007, №9, с. 96105.

21. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Алгебраические уравнения Рик-кати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени. Научное издание. М.: Ин-т проблем управления РАН, 2005.

22. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

23. Ait Rami М., and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control. IEEE Trans. Automat. Contr., 1996, v.41, pp. 1666-1671.

24. Ait Rami M., and Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls. IEEE Trans. Automat. Contr., 2000, v.45, pp. 1131-1143.

25. Ait Rami M., Chen X., Moore J.B., and Zhou X.Y. Solvability and asymptotic behavior of generalized Riccati equations arising in indefinite stochastic LQ controls. IEEE Trans. Automat. Contr., 2001, v.46, pp. 428-440.

26. Anderson B.D.O., and Moore J.B. Optimal control: Linear quadratic methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1989.

27. Ba§ar T., and Bernhard P. Hoo-optimal control and related minimax design problems: A game approach. Birkhauser, Boston, 1991.

28. Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an Hoo performance bound: a Riccati equation approach. IEEE Transactions on Automatic Contr., 1989, v.34, pp. 293-305.

29. Bernstein D.S. Matrix mathematix: Theory, facts, and formulas with application to linear systems theory. New Jersey: Princeton University Press, 2005.

30. Boyd S., Feron E., and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. SI AM, Philadelphia, 1994.

31. Boyd, S., Vandenberghe, L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

32. Carpanese N. On the geometry of symplectic pencils arising from discrete-time matrix equations. Systems Control Lett., 2002, v.46, pp. 181-185.

33. Chilali ML, and Gahinet P. H oo Design with Pole Placement Constraints: An LMI Approach. IEEE Transactions on Automatic Contr., 1996, v.41, No.3, pp. 358-367.

34. Cover T.M., and Thomas J.A. Elements of information theory. John Wiley and Sons, New York, 1991.

35. Datta B.N. Numerical Methods for Linear Control Systems Design and Analysis. Elsvier Academic Press, San Diego, California, 2004.

36. De Souza C.E., and Xie L. On the discrete-time bounded real lemma with application in the characterization of static state feedback Hoo controllers. Systems Control Lett., 1992, v. 18, pp. 61-71.

37. Diamond P., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V., and Vladimirov I.G. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Tioo-optimiza-tion of control systems. Report 97-14. The University of Queensland, Australia, 1997, pp. 1-22.

38. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems. Int. J. of Control, 2001, No.74, pp. 28-42.

39. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators. IEEE Trans. Automat. Contr., 1978, v.23, pp. 756-757.

40. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H00 control problems. IEEE Trans. Automat. Contr., 1989, v.34, pp. 831-847.

41. Doyle J.C., Fransis B.A., and Tannenbaum A.R. Feedback control theory. Englewood Cliffs, N.J.: MacMillan, 1992.

42. Francis B.A. A course in Hoo-control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

43. Furuta K., and Phoojaruenchanachai S. An algebraic approach to discrete-time Hoo control problems. Proc. 1990 American Control Conf., pp. 2067-3072, San Diego, CA, May 1990.

44. Gahinet P., and Apkarian P. A linear matrix inequality approach to 7YooControl. Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 1994, v.4, pp. 421-448.

45. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based synthesis. Proc. Amer. Contr. Conf., 1994, pp. 2396-2400.

46. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., and (Mali M. LMI control toolbox user's guide. The Mathworks Partner Series, 1995.

47. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their £oo-error bounds. Int. J. of Control, 1984, v.39, pp. 1115-1193.

48. Gray R. Entropy and information theory. New York, Springer, 1990.

49. Green M., and Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

50. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., and Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Hqo optimization. Int. J. of Contr., 1989, v.49, pp. 1683-1723.

51. Hassibi B., Sayed A.H., and Kailath T. Indefinite-quadratic estimation and control. A unified approach to TÍ2 and Tioo theories. SIAM, Philadelphia, 1999.

52. Hung Y.S., and Chu D.L. Relationship between discrete-time and continuos time algebraic Riccati inequalities. Linear Algebra Appl, 1998, v.270, pp. 287-313.

53. Iglesias P.A., and Glover K. State-space approach to discrete-time Hoo control. Int. J. of Control, 1991, v.54, No.5, pp. 1031-1073.

54. Ionescu V., Oará C., and Weiss M. Generalized Riccati theory and robust control: A Popov function. John Wiley, New York, 1999.

55. Ionescu V., and Weiss M. On computing the stabilizing solution of the discrete-time Riccaty equation. Linear Algebra Appl., 1992, v.174, pp. 229-338.

56. Ionescu V., and Weiss M. Continuous and discrete-time Riccati theory: A Popov function approach. Linear Algebra Appl., 1993, v.193, pp. 173-210.

57. Iwasaki T., and Skelton R.E. All controllers for the general H00 control problem: LMI existence conditions and state-space formulas. Automatica, 1994, v.30, pp. 1307-1317.

58. Nesterov Y., and Nemirovski A. Interior-point polynomial methods in convex programming. SIAM Studies in Applied Mathematics, 1994, v.13, Philadelphia, Pennsylvania.

59. Jonkheere E. On the existence of a negative definite, antistabilizing solution to the discrete-time algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat. Contr1981, v.AC-26, pp. 707-712.

60. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Méx., 1960, No.5, pp. 102-199.

61. Kurdyukov A.P., and Maximov E.A. State-space solution to stochastic Tioo-optimization problem with uncertainty. Proc. of the 16th IFAC World Congress. Praha, Czech Republic, 2005.

62. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic ?4o-optimization problem with uncertainty. Proc. of 5th IFAC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, 2006.

63. Kurdyukov A.P., Pavlov B.V., Timin V.N., and Vladimirov I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear. Preprints of 16th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Saint-Petersburg, 2004.

64. Kurdyukov A.P., and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal flight control in a windshear. Preprints of 17th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, 2007.

65. Kurdyukov A.P., Tchaikovsky M.M., and Vladimirov I.G. ABO — Matlab package for anisotropy-based performance analysis and controller design. Proc. of 3rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

66. Kwakernaak H., and Sivan R. Linear optimal control systems. Wiley, New York, 1972.

67. Lancaster P., and Rodman L. Algebraic Riccati equations. Clarendon, Oxford, 1995.

68. Langer H., Ran A.C.M., and Temme D. Nonnegative solutions of algebraic Riccati equations. Linear Algebra Appl, 1997, v. 261, pp. 317-352.

69. Limebeer D.J.N., Green M., and Walker D. Discrete time H00 control. Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control, pp. 392-396, Tampa, FL, Dec. 1989.

70. Molinari B.P. The stabilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat Contr., 1975, v.AC-20, pp. 396-399.

71. Nesterov Yu., and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming. SIAM, Philadelphia, 1994.

72. Oara C. Generilized Riccati theory: A Popov function approach. Ph.D. Thesis, Polytechnic Univ. Bucharest, Bucharest, Romania, 1995.

73. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press, 1970.

74. Peauculle D., Henrion D., and Labit Y. User's guide for SeDuMi Interface 1.01: Solving LMI problems with SeDuMi. LAAS -CNRS, Toulouse, France, 2002.

75. Ran A.C.M., and Vreugdenhil R. Existence and comparison theorems for algebraic Riccati eqations for continuous- and discrete-time systems. Linear Algebra Appl, 1988, v.99, pp. 63-83.

76. Rotstein H., and Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed ^2/^00 problems via convex optimization. IEEE Trans. Automat. Contr., 1998, v.43, pp. 1475-1481.

77. Saberi A., Sanutti P., and Chen B.M. H2 optimal control Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995.

78. Scherer C. The general nonstrict algebraic Riccati inequality. Linear Algebra Appl., 1995, v.219, pp. 1-33.

79. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., and Kurdjukov A.P. Stochastic approach to TYoo-optimization. Proc. 33rd Conf. Decision and Control. Florida, USA, 1994, v.3, pp. 2249-2250.

80. Silverman L. Discrete Riccati equations: Alternative algorithms, asymptotic properties, and system theory interpretations. Control Dynam. Systems, 1976, v.12, pp. 313-386.

81. Stoorvogel A.A. The Tioo control problem: A state space approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

82. Stoorvogel A.A., and Saberi A. The discrete algebraic Riccati equation and linear matrix inequality. Linear Algebra Appl., 1998, v.274, pp. 317-365.

83. Stoorvogel A.A., and Saberi A. Continuity properties of solutions to H2 and Hoo Riccati equations. Systems Control Lett., 1996, v.27, pp. 209-222.

84. Sun J.-G. Sensitivity analysis of the discrete-time algebraic Riccati equations. Linear Algebra Appl., 1998, v.275-276, pp. 595-615.

85. Tchaikovsky M.M., and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system. Proc. of 15th International Conference on Process Control. Strbske Pleso, Slovakia, 2005.

86. Tchaikovsky M.M., and Kurdyukov A.P. On Computing Anisotropic Norm of Linear Discrete-Time-Invariant System via LMI-Based Approach. Archives of Control Sciences, 2006, v. 16, No.3, pp.257-281.

87. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems. Proc. of the 13-th IFAC World Congress. San-Francisco, California, USA. G:IFAC-3d-01.6,1996.

88. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Hoo-optimization problem. Proc. of the 13th IFAC World Congress. 1996, pp. 427-432.

89. Willems J.C. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat. Contr., 1971, v.AC-16, pp. 621-634.

90. Wimmer H.K. Strong solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation. Systems Control Lett., 1989, v. 13, pp. 455-457.

91. Wimmer H.K. Unmixed solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation. SIAM J. Contr. Optim1992, v.30, pp. 867-878.

92. Wimmer H.K. Intervals of solutions of the discrete-time algebraic Riccati equations. Systems Control Lett, 1999, v.36, pp. 207-212.

93. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Automat. Contr., 1981, v.26, pp. 301-320.

94. Zhou K., Doyle J.C., and Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.

95. Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., and Doyle J. Mixed H2 and ^performance objectives. IEEE Trans. Automat. Contr., 1994, v.39, I: Robust performance analysis, pp. 1564-1574; II: Optimal control, pp. 1575-1578.