Математическое моделирование и оптимальная стабилизация в классе квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Онегин Евгений Евгеньевич

• Онегин Евгений Евгеньевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Онегин Евгений Евгеньевич

1.7 Модельный пример

1.8 Результаты

2 Оптимальная стабилизация линейных стохастических систем с мультипликативными шумами при наличии информационных ограничений

2.1 Постановка задачи оптимальной стабилизации линейных стохастических систем с мультипликативными шумами при наличии информационных ограничений

2.2 Необходимые условия оптимальности стабилизирующего линейного стационарного регулятора

2.3 Численный метод синтеза оптимального стабилизирующего линейного стационарного регулятора

2.4 Субоптимальный линейный нестационарный регулятор

2.5 Модельный пример

2.6 Результаты

3 Оптимальная стабилизации линейных стохастических систем с мультипликативными шумами и полной обратной

связью

3.1 Постановка задачи оптимальной стабилизации линейных стохастических систем с мультипликативными шумами и полной обратной связью

3.2 Функционал Лагранжа-Кротова

3.3 Необходимые и достаточные условия оптимальности линейного стационарного регулятора

3.4 Результаты

4 Решение задач стабилизации технических систем

4.1 Комплекс программ для решения задач синтеза оптимального управления и компьютерного моделирования

4.2 Задача стабилизации спутника с упругой штангой

4.3 Задача стабилизации движения спутника на круговой орбите Земли

4.4 Задача сближения двух спутников на круговой орбите Земли

4.5 Результаты

Литература

Список основных обозначений

/(1),..., /(п) : А ^ В - /(1),..., /(п) являются функциями, которые определены на множестве А и принимают значения из множества В.

х ^ /(х) - / является функцией переменной х.

х ^ /(х) : А ^ В - / является функцией переменной х, которая определена на множестве А и принимает значения из множества В.

V™ - п-мерное евклидово пространство, V := V1.

Т - знак транспонирования.

||ж||, х Е V™ - евклидова норма вектора х, ||ж|| := Vхтх.

- множество неотрицательных вещественных чисел. Vйхт - пространство вещественных матриц размерности п х т.

п

1;гА Е Япхп - след матрицы Л, 1;г [А] := ^ Агг.

¡=1

ЦАЦ, А Е Vnхm - евклидова норма матрицы А, ЦАЦ := ^1г[АтА]

8п - пространство симметрических вещественных матриц размерности П х п, := [А Е ппхп : А = Лт}.

БУве [Р], Р Е - симметрическая векторизация матрицы Р,

8уее[Р] := (Ри, /1Р21,/2РП1,Р22, л/2р32, ..., /2Рп2,..., Рпп)т.

А В, А £ Кпхп, В £ ^пхп — симметрическое произведение Кронекера

п(п+1) п(п+1)

матриц Л и В, Л В £ кх:

(А В) зуее[Р] = 1 зуее [ЛРБт + ВРАт], УР £

2

Л >- В (А ^ В) — матрица А—В является положительно (неотрицательно) определенной.

М — множество натуральных чисел, М := {1, 2,3,... }.

г = j,k — сокращение для записи Уг £ ^ : ^ ^ г ^ к. Ь — время, Ь £ К+.

О — пространство элементарных исходов. Т — а-алгебра событий на О.

Р — вероятностная мера на измеримом пространстве (О, Т), т.е. Р : Т ^ К+, Р(О) =

{Т}^0 — поток а-алгебр на О.

Е — математическое ожидание, Е^ := £(ш)Р(<Лш), где £ — случайная величина на вероятностном пространстве (О,Т, Р).

С2(КП) — пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций на со значениями в К.

□ — символ, означающий полное завершение доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и оптимальная стабилизация в классе квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами»

Введение

Важнейшим научным подходом при изучении и конструировании всего многообразия объектов и явлений реального мира является математическое моделирование. Сущность данной методологии заключается в построении математических моделей рассматриваемых объектов или явлений и дальнейшем их исследовании [1]. Распространенным примером математической модели является динамическая система [2]. Динамические системы служат математическим описанием обширного множества эволюционирующих во времени объектов и явлений реального мира. Под управляемыми динамическими системами понимают динамические системы, которые содержат управляемые параметры. Данные параметры моделируют величины воздействующих на моделируемый объект управляющих возмущений. Закон, по которому в каждый момент времени определяются величины управляемых параметров, называется управлением или функцией управления. Управляемая динамическая система в совокупности с управлением представляют собой математическую модель системы управления [3]. Системы управления являются основным объектом изучения теории управления, которая играет ключевую роль в таких областях как управление промышленными и химическими процессами, реакторами, магистральными энергетическими системами, аэрокосмическое конструирование, теория квантовых систем и теория компьютерных систем [4].

В каждый момент времени значения функции управления могут определяться в зависимости от тех или иных параметров математической

модели. Как правило, в качестве таковых выступают текущий момент времени, а также некоторый набор величин, который называется вектором измерений или наблюдений. Если величина управляемых величин зависит только от текущего момента времени и не зависит от измерений состояния системы, то соответствующее управление называют программным. Функцию управления, построенную с учётом информации о величинах измеряемых параметров, называют управлением с обратной связью. При этом, если вектор измерений в каждый момент времени позволяет восстановить полную информацию о текущем состоянии системы, то такое управление называют управлением с полной обратной связью [3], иначе - управлением с неполной обратной связью. Во втором случае можно говорить о том, что на управление наложены информационные ограничения. Информационные ограничения естественным образом возникают в различных системах управления, например в крупномасштабных системах и в системах с децентрализованным управлением [5].

При построении управления, как правило, руководствуются структурными параметрами данной математической модели, а также целью управления. Цель управления можно определить как одно или сразу несколько свойств, которые система должна приобрести при выборе конкретного закона управления. Примерами таких, полезных с инженерной точки зрения, свойств управляемой системы являются устойчивость и асимптотическая устойчивость траекторий системы в пространстве состояний [6]. Задача синтеза управления, которое обеспечивает свойство устойчивости относительно желаемой траектории, называется задачей стабилизации. Другое важное свойство управляемой системы можно сформулировать следующим образом: траектории системы и управляющих параметров

должны обеспечивать минимум некоторого заранее заданного функционала. Этот функционал называют функционалом качества управления, а задачу синтеза подобного управления — задачей оптимального управления [3].

На практике часто встречаются ситуации [7], когда какие-либо параметры объекта управления не могут быть точно определены на этапе моделирования. К примеру, такая ситуация возникает, если система управления не может быть физически реализована с требуемой точностью, или если необходимо спроектировать управляющее устройство для уже существующего объекта, точные параметры которого невозможно определить. Поэтому особый интерес представляет решение задачи синтеза управления динамическими системами при наличии неопределенностей [8]. Примером подобного рода неопределенности является неопределенность воздействующих на объект управления неуправляемых внешних возмущений. Несмотря на отсутствие полной информации о присутствующих в системе возмущениях, иногда имеется априорная вспомогательная информация об их свойствах, например: возмущения ограничены по величине некоторой константой, являются непрерывными функциями времени, описываются некоторым обыкновенным дифференциальным уравнением [9] и др. Хорошо известны примеры динамических систем, в которых неопределенные внешние возмущения имеют случайный характер [10]. Естественно полагать, что чем больше информации о свойствах неуправляемых внешних воздействий учтено при моделировании, тем качественнее будет результат математического моделирования.

Среди динамических систем с непрерывными траекториями, имеется богатый подкласс математических моделей, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Это позволяет применять

в задачах анализа и синтеза управлений для математических моделей данного типа богатый аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, в рамках теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вообще говоря, не удается дать строгое математическое описание непрерывных динамических систем при наличии случайных возмущений [11,12]. Преодолеть данную проблему удалось К. 116, который в своих работах [13-15] ввел и обосновал понятие стохастического интеграла и связанное с ним понятие стохастического дифференциала. Конструкция стохастического интеграла позволила описать эволюцию динамических систем, которые формально можно представить в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих стохастические дифференциалы случайных процессов. Такие соотношения называют стохастическими дифференциальными уравнениями, а описываемые данными уравнениями динамические системы - стохастическими. Модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями, нашли широкое применение в экономике, физике, биологии, социологии, авиационной и ракетно-космической технике [10, 16, 17]. При этом естественный интерес представляют собой различные проблемы синтеза управлений для систем данного типа и, в частности, задачи стабилизации.

Задаче оптимального управления стохастическими динамическими системами посвящено большое количество работ (см., например, работы [18-36] и обзоры [37,38]). В данных работах получены обобщения на стохастические системы широко известных методов и принципов теории оптимального управления детерминированными системами. Стоит отметить, что полученные результаты, как правило, имеют достаточно общий характер, что усложняет их анализ и использование на практике. В свя-

зи с этим важной задачей является выделение среди всего многообразия математических моделей таких подклассов, которые с одной стороны являются достаточно богатыми, чтобы представлять практический интерес, а с другой стороны позволяют строить конструктивные условия оптимальности, с целью упростить задачи анализа математической модели и синтеза оптимального управления. Примером такого подкласса является класс линейных стохастических систем (см., например, работы [39—106] и обзоры [11,12,37,107—109]).

Тема диссертационной работы посвящена выделению и исследованию нового подкласса математических моделей, названных в диссертационной работе квазилинейными стохастическими системами с управляемыми параметрами. Данные математические модели описываются линейными однородными стохастическими дифференциальными уравнениями, матрицы которых (в общем случае нелинейно) зависят от управляемых параметров. В контексте задачи оптимальной стабилизации предложенный класс математических моделей является обобщением класса линейных стохастических систем с мультипликативными шумами. Вопреки данной общности для математических моделей предложенного класса возможно построение качественных и приближенных аналитических методов исследования моделей и разработка эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий. Вопросы построения методов исследования и разработки вычислительных методов для квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами представляют практический интерес, потому что, в частности, данные системы позволяют моделировать широкий спектр задач оптимизации регуляторов линейной структуры для оптимальной стабилизации объектов, описываемых линей-

ными стохастическими системами с мультипликативными шумами. Примером такой задачи является задача оптимальной стабилизации при наличии информационных ограничений. Таким образом, тема диссертационного исследования является актуальной.

Объектом диссертационного исследования является класс математических моделей, названный квазилинейными стохастическими системами с управляемыми параметрами.

Предметом диссертационного исследования является решение задачи оптимальной стабилизации в классе квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами.

Целью диссертационной работы является получение и исследование нового класса математических моделей, названных квазилинейными стохастическими системами с управляемыми параметрами, формализация и постановка задач оптимальной стабилизации для моделей данного класса, разработка методов и алгоритмов решения задачи оптимальной стабилизации и применение полученных результатов для построения качественных и приближенных аналитических методов, разработки эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий и реализации полученных численных методов и алгоритмов в виде комплексов программ для решения задачи оптимальной стабилизации линейных стохастических систем с мультипликативными шумами и информационными ограничениями.

В соответствии с целью диссертационной работы были поставлены следующие задачи исследования:

1) Формализовать новый класс математических моделей - квазилинейные стохастические системы с управляемыми параметрами. Сформу-

лировать и поставить задачу оптимальной стабилизации квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами.

2) Получить условия оптимальности в задаче оптимальной стабилизации:

- в классе квазилинейных стохастических систем с управляемыми параметрами;

- в классе линейных стохастических систем с мультипликативными шумами при наличии информационных ограничений;

- в классе линейных стохастических систем с мультипликативными шумами с полной информацией о состоянии.

3) Разработать алгоритмы и численные методы градиентного типа для поиска оптимальных и субоптимальных управлений в перечисленных задачах оптимальной стабилизации.

4) Разработать комплекс программ, реализующих указанные численные методы.

5) Полученные результаты применить для моделирования и решения ряда модельных примеров и прикладных задач авиационной и ракетно-космической техники.

Для того, чтобы привести обзор известных работ в области исследования и обосновать новизну полученных результатов, приведем далее ряд математических моделей и связанные с их анализом результаты. Далее будем полагать, что заданы полное фильтрованное вероятностное пространство (П, Т, {Т}^0, Р), где а-алгебра Т0 содержит все события нулевой меры;

J^-измеримая векторная случайная величина £о, Е||<^0||2 < +œ; независимые стандартные векторные винеровские процессы fî(г) : V+ x Q ^ Vbi, i = 1, 2, которые являются мартингалами относительно потока ограни-

ченные на каждом конечном интервале кусочно-непрерывные отображения: А(0), А(г) : V+ ^ Vnxn, В(0), В (г) : V+ ^ Vnxm, С(г) : V+ ^ Vn, i = ТЬ[ ; D(0), D(t) : V+ ^ VPixn, F(i) : V+ ^ VP1, i = 1Л; G : V+ ^ VP2xn; Q, R : V+ ^ Sn; S : V+ ^ Vnxm; E : V+ ^ Sm; E(t) ^ 0, R(t) h 0, Q(t) h S(t)E(t)-1S(t)T, t ^ 0.

Рассмотрим математическую модель системы управления, которая описывается стохастическими дифференциальными уравнениями Ито следующего вида:

d((t) = (A(0)(t)Ç(t) + В (0)(t)v(t))dt+

bi т (0.1) + Z {А(г)№(t) + ВU(t)v(t) + С(0(t))dfî(^i)(t), t(0) = 6,

i=l

d((t) = D(0)№(t)dt + £ {D(4m(t) + F(4t))dti2\t), С(0) = 0,

г=1 (0.2)

ф) = G(t)£(t), t > 0.

Уравнение (0.1) моделирует движение объекта управления, а система (0.2) описывает процесс измерений. Согласованный с потоком непрерывный случайный процесс £ : V+ x Q ^ Vn описывает эволюцию состояния системы во времени, v : V+ x Q ^ Vm - управление, ( : V+ x Q ^ VP1 содержит накопленные наблюдения о системе при наличии случайных ошибок, а ^ : V+ x Q ^ VP2 - точные мгновенные измерения состояния системы в каждый момент времени.

Управляемые динамические системы, которые описываются уравнениями вида (0.1), в литературе, как правило, называют линейными стохастическими системами [11,12]. Слагаемые £)== х С(%\t)dfîf\t) интерпре-

тируются как действующие на объект управления аддитивные гауссовские шумы, а 1 А(г)(г)(й^й и 1 В^фВД^ВД — действующие на

объект управления мультипликативные по состоянию и управлению слу-

ъ2

чайные возмущения. Слагаемое ]Т (Б({)(г)ф) + Р(г)С0) ^г(2)(;£) моделирует

¡=1

случайные ошибки в канале измерения.

Вопросам оптимального управления на конечном интервале времени системами вида (0.1)—(0.2) посвящено обширное множество работ [39—62]. Среди них отдельно стоит выделить работы [42—45], в которых допускается, что матрицы системы могут быть случайными функциями времени. В подавляющем большинстве работ в качестве критерия качества управления выбрано математическое ожидание классического квадратичного критерия качества управления [42—62]

Зч(V) = Е / и(8)тЯ(З)£(З)+ £(*)ТЯ(*)У(З)+ У(З)тЗ(з)Т^(З) + о к

+у(в)ТЕ (в)у (в)^ (18 + Е £ (г! ) £ (г!), ^ > 0. Задачи оптимального управления линейными системами с квадратичным критерием качества управления известны как задачи линейно-квадратичного управления. Если в системе управления присутствуют только аддитивные гауссовские возмущения (т.е. при А(г)^) = В(г)^) = 0, г = 1,Ь1, В(г")(Ь) = 0, г = 1, Ь2), то такие задачи называют задачами линейно-квадратичного гауссовского управления. В указанных выше работах по линейно-квадратичной задаче на конечном интервале времени можно выделить два подхода к построению оптимальных регуляторов с неполной обратной связью: построение статических регуляторов (или регуляторов с мгновенной обратной связью) [11,47—57] и построение динамических регуляторов [12,58—61,109]. Первый подход заключается в том, что управление в каждый момент времени находится как значение некоторой функ-

ции времени и текущих измерений = и(Ъ,С, (Ъ),^^)), £ ^ 0, где

и : Я+ х V1 х V2 ^ Ят — некоторая борелевская функция. При этом, как правило, постулируется линейная структура функции и относительно наблюдений и строятся условия оптимальности в более узком классе допустимых законов управления. В случае динамической обратной связи полагается, что величина управляющих воздействий в каждый момент времени определяется на основании информации о всей истории наблюдений до данного момента времени.

Классический пример регулятора, построенного по принципу динамической обратной связи, дает известный принцип разделения (см. работы [12, 37, 41, 61, 62, 109]). Согласно данному принципу решение в задаче линейно-квадратичного гауссовского управления имеет вид = —К(Ь)^(Ь), £ ^ 0, где матричный коэффициент К : Я+ ^ ятхп в точности совпадает с соответствующим коэффициентом регулятора с полной обратной связью, а £ (I) — наилучшая в среднем квадратическом оценка состояния системы, полученная на основе всех измерений до момента времени £, которая может быть получена с использованием линейных уравнений фильтра Калмана—Бьюси [63]. При этом выбор оптимальных параметров фильтра не зависит от выбора оптимального коэффициента регулятора, и наоборот. Таким образом, задача оптимального управления при неполной информации сведена к двум раздельным задачам оптимального управления и оценивания.

Стоит отметить, что для линейных систем с мультипликативными случайными возмущениями уравнения фильтра для оптимальной оценки состояния не являются линейными, что усложняет его исследование и реализацию [64,65]. Это приводит к необходимости построения оптимальных

фильтров линейной структуры [64,66]. Помимо этого, для линейных систем с мультипликативными шумами, вообще говоря, не справедлив принцип разделения и поэтому задача синтеза оптимального динамического регулятора приводит к решению двух связанных задач оптимального управления и оценивания [58—60,67].

Известно, что задача линейно-квадратичного гауссовского управления, вообще говоря, не имеет решения, если матрицы Е(Ь), £ ^ 0, в критерии не являются положительно определенными. При этом в работах [48,50,51,57] отмечается, что если на систему действуют мультипликативные по управлению возмущения, то задача перестает быть вырожденной даже в том случае, когда матрицы Е(Ь), £ ^ 0, являются отрицательно определенными. С целью подчеркнуть указанные здесь и другие особенности, системы, описываемые уравнениями вида (0.1), называют: линейными в широком смысле [110], билинейными [111], с мультипликативными по состоянию и управлению шумами [45,50,60,68—70,108], с зависящими от состояния и управления шумами [58,59,66,71—80] или квазилинейными [52—55].

Задача оптимального управления линейными стохастическими системами на бесконечном интервале времени тесно связана с задачей стабилизации данных систем. Различные вопросы устойчивости линейных стохастических систем исследовались в работах [65,68,73,77,81,83,89,92—94,98, 101, 104, 112, 113]. Как правило, изучение вопросов устойчивости и оптимальной стабилизации проводится для стационарных (или автономных) стохастических систем. Это, в первую очередь, связано с тем, что даже при отсутствии случайных возмущений анализ асимптотической устойчивости и решение задачи оптимальной стабилизации для нестационарных систем сопряжены с рядом трудностей. Поэтому будем дальше полагать,

что матрицы системы и критерия не зависят от времени: d((t) = (А(0)£ (t) + В (0)v(t))dt+

h m (0-3)

+ Е {А(г)С(t) + В(%(t) + сW)dß?\t), с(0) = Со,

г=1

d((t) = D(0)^(t)dt + E {D(4(t) + FM)drf2)(t), ((0) = 0,

i=i

rj(t) = GC(t), t > 0, /

,Uv) = E f U(s)TQ^(s)+ £(S)TSv(S) + 0 v

+v(s)TS T^(s) + u(s)T E u(s)j ds, где A(0), А(г) e Ппхп, В(0), В(г) e Ппхт, С(г) еПп, i = Т7&Ц; D(0), D(l) e ПР1хП, F(i) e npi, i = l7&2; G e кР2Хп, Q e Sn, S e ипхт, E e nmxm; E ^ 0, Q ± SE-15T.

Нетрудно видеть, что критерий Jo устроен таким образом, что для того, чтобы значение критерия Jo(v) было конечным, управление v должно обеспечивать достаточную скорость сходимости в среднем квадратиче-ском процесса £ к нулю при t ^ +o. Однако, при воздействии на систему аддитивных случайных возмущений Е^ 1 С(l^dß(1\t) этого невозможно добиться. При этом теряет содержательный смысл постановка вопроса об оптимальном управлении линейными системами на бесконечном интервале времени с классическим квадратичным критерием качества управления Jo. В связи с этим в ряде работ по оптимальной стабилизации стохастических систем используются [45,60,74,75,79,80,90,103,106] усредненный

по времени интегральный функционал

1 tf /

Joo(v) = t lim -EJ U(s)TQC(s) + ^(s)TSv(s) + tftf о ^

+v(s)TS T^(s)+v(s)TEv(s)^j ds,

или не интегральный по времени критерий вида

Хо (у) = 11111 (ь (ь) + £ (Ь ) +

tf \

+г(, )т вт* Ц,) + )т }).

Для того, чтобы значения данных критериев были определены, управление V должно обеспечивать лишь существование конечного предела в среднем квадратическом на бесконечности для процесса £.

Имеется ряд результатов [47,50,67,72,76,85,86,91,95,97,100,102,114, 115] по оптимальной с критерием стабилизации линейных стохастических систем, которые не содержат аддитивных случайных возмущений (т.е. когда С=0, г = 1, Ь\; при этом уравнения движения системы иногда классифицируют как линейные однородные стохастические дифференциальные уравнения [116]). Дело в том, что при С (0 = 0, г = 1, Ь\ уравнение состояния (0.3) допускает нулевое решение ^(Ъ) = 0 и становится возможным обеспечить его асимптотическую устойчивость в среднем квадратическом [73]. В данном случае приобретает интересную интерпретацию следующая задача стабилизации системы (0.3). Предположим, что имеется функция и : х Ъ1Р1 х ЪР2 ^ Ът такая, что при любом начальном условии £0, Щ\¿;о||2 < управление = и(Ъ, ), г]^)), £ ^ 0, вместе с решением системы (0.3) с заданным управлением асимптотически стремятся к нулю в среднем квадратическом. Тогда коэффициенты (1) + Вг = 1, Ь\, при шуме также стремятся к нулю в среднем квадратическом. Другими словами, интенсивность воздействующих на объект управления шумов уменьшается с течением времени, т.е. данное управление «подавляет» воздействие случайных возмущений на объект управления. С целью подчеркнуть данную особенность, задача оптимальной стабилизации, которая заключается в поиске стратегии управления и,

которая обеспечивают асимптотическую устойчивость в среднем квадра-тическом замкнутой системы (0.3), в диссертационной работе также называется задачей подавления случайных возмущений, а соответствующая задача оптимизации - задача оптимизации процесса подавления случайных возмущений. Будем далее полагать, что С= 0, г = 1, Ь\.

Из работ по оптимальной стабилизации с критерием линейных стохастических систем без аддитивных шумов стоит выделить работы [47, 50, 76, 91, 100, 114, 115], в которых при различных предположениях о системе и критерии исследуется задача оптимальной стабилизации с полной информацией о состоянии системы (т.е. при г](Ъ) = ^(Ъ), £ ^ 0). Частные случаи поставленной задачи изучены в [47,76,115]. В работе [114] в данной задаче получены достаточные условия оптимальности. В работах [50,100], с допущением, что матрицы в критерии могут быть неопределенными, получены необходимые условия оптимальности. Стоит отметить, что во всех перечисленных здесь работах оптимальное управление принимает вид линейного стационарного регулятора. В диссертационной работе для данной задачи, допуская лишь неотрицательную определенность матрицы , получены необходимые и одновременно достаточные условия оптимальности линейного стационарного регулятора среди широкого множества допустимых управлений.

Также стоит отметить работы [47,72,86], которые посвящены задаче синтеза оптимального стабилизирующего линейного стационарного регулятора вида у(Ъ) = —Кг](Ъ), К Е ЪтхР2, £ ^ 0, для линейных стохастических систем с мультипликативными шумами. В работе [86] предложена численная процедура синтеза оптимального скалярного линейного стационарного регулятора, а в [47, 72] получены достаточные условия оптимальности в

классе линейных стационарных регуляторов. В диссертационном исследовании получены необходимые условия оптимальности стабилизирующего линейного стационарного регулятора. Кроме того, получены необходимые условия оптимальности с информационными ограничениями более общего вида, которые заключаются в том, что каждая компонента управления зависит от заранее заданного набора компонент вектора измерений. Такие ограничения характерны при управлении крупномасштабными объектами или децентрализованном управлении.

С учетом перечисленных работ можно заключить, что подавляющее большинство результатов в задаче оптимальной стабилизации линейных стохастических систем касается статических и динамических регуляторов линейной структуры. При этом если изначально предполагать линейную структуру регулятора, то изначальная задача сводится к частному случаю задачи следующего вида:

^= А(0)(итт+Е т = (0.4)

%=1

+с»

3^(и) = Е / £(з)ТЬ(и(з)) £(з)с1з, (0.5)

о

где А(г) : гКт ^ ^пхп, г = 1,Ь, - непрерывно дифференцируемые на гКт матричнозначные отображения; и : ^ гКт - управление; 3 : х ^ ^ V - стандартный винеровский процесс, который является мартингалом относительно потока Ь : Vт ^ 6>пхп - дифференцируемое на 'Кт

матричнозначное отображение, Ь(у) У 0, V Е

Математические модели, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями вида (0.4), здесь и далее называются квазилинейными стохастическими системами с управляемыми параметрами и являются основным объектом исследования диссертационной работы.

Детерминированный аналог системы подобного вида рассматривался в работе [117], модификация данной системы при наличии только аддитивных шумов встречалась в работе [118], в [119-121] рассматривались математические модели с наличием мультипликативных и аддитивных шумов, а в работе [122] решена задача оптимальной стабилизации с усредненным по времени интегральным критерием систем данного вида при наличии мультипликативных и аддитивных шумов. Результатов в задаче оптимальной стабилизации системы вида (0.4) с критерием (0.5) на текущий момент не известно.

Стоит отметить, что управление и является детерминированным программным управлением. На первый взгляд такая постановка задачи противоречит духу теории стохастического управления, в которой обычно искомое управление зависит от текущих измерений. Однако, можно принять точку зрения, что и задает структуру действующих на объект управляющих воздействий. В частности, если отображения А®, г = 0,Ь линейны, то и играет роль коэффициентов линейного регулятора, подставленного в систему.

Для того, чтобы сформулировать основной результат диссертационной работы, введем следующие обозначения. Обозначим через множество допустимых процессов управления ^ = (£,и), которые являются парами случайных процессов £ и векторов V € , таких что

1. Непрерывный случайный процесс является решением уравнения (0.4) с начальным условием <^0 и управлением и(Ъ) = V.

2. Выполнено условие

Е J ||^(в^Зв < о

Определение. Вектор и, для которого существует допустимый процесс управления ^ = (£, у) Е , будем называть допустимым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Онегин Евгений Евгеньевич, 2019 год

Литература

1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — Физматлит М., 2001.

2. Калман Р. Э., Фалб П. Л., Арбиб М. А. Очерки по математической теории систем / Под ред. Я. З. Цыпкин. — Едиториал УРСС, 2004.

3. Пантелеев А. В., Бортаковский А. С. Теория управления в примерах и задачах. — Высшая школа, 2003.

4. Klamka J. Controllability of dynamical systems. A survey // Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences. — 2013. — Vol. 61, no. 2.-P. 335-342.

5. Bakule L. Decentralized control: An overview // Annual reviews in control. - 2008. - Vol. 32, no. 1. — P. 87-98.

6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.— Лань, 2008.

7. Hofer E., Sagirow P. Optimal systems depending on parameters // AIAA Journal. - 1968. - Vol. 6, no. 5. - P. 953-956.

8. Dorato P. A historical review of robust control // IEEE Control Systems Magazine. - 1987. - Vol. 7, no. 2. — P. 44-47.

9. Johnson C. Further study of the linear regulator with disturbances - The case of vector disturbances satisfying a linear differential equation //

IEEE Transactions on Automatic Control. — 1970.— Vol. 15, no. 2.— P. 222-228.

10. 0ksendal B. Stochastic differential equations: an introduction with applications. — Springer, 2002.

11. Вонэм В. М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика.— 1973.— Т. 17, № 4.— С. 129-167.— Probab. Methods appl. Math. - 1970 - no. 2 - P. 131-212.

12. Вонэм В. М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика. — 1973.— Т. 17, № 5.— С. 82-114.— Probab. Methods appl. Math. - 1970 - no. 2 - P. 131-212.

13. Ito K. Stochastic integral // Proceedings of the Imperial Academy. — 1944. - Vol. 20, no. 8. - P. 519-524.

14. Ito K. On a stochastic integral equation // Proceedings of the Japan Academy. - 1946. - Vol. 22, no. 2. - P. 32-35.

15. Ito K. Stochastic differential equations in a differentiable manifold // Nagoya Mathematical Journal. — 1950. — Vol. 1. — P. 35-47.

16. Sagirow P. Stochastic methods in the dynamics of satellites. — Springer, 1970.

17. Allen E. Modeling with Ito stochastic differential equations. — Springer Science & Business Media, 2007. - Vol. 22.

18. Benes V. E. Existence of optimal strategies based on specified information, for a class of stochastic decision problems // SIAM Journal on control. - 1970. - Vol. 8, no. 2. — P. 179-188.

19. Bensoussan A. Maximum principle and dynamic programming approaches of the optimal control of partially observed diffusions // Stochastics: An International Journal of Probability and Stochastic Processes. - 1983. - Vol. 9, no. 3. - P. 169-222.

20. Davis M. H. A., Varaiya P. Dynamic programming conditions for partially observable stochastic systems // SIAM Journal on Control. — 1973. - Vol. 11, no. 2. - P. 226-261.

21. Elliott R. J., Kohlmann M. The variational principle for optimal control of diffusions with partial information // Systems & control letters. — 1989. - Vol. 12, no. 1. - P. 63-69.

22. Fleming W. H. Optimal control of partially observable diffusions // SIAM Journal on Control. - 1968. - Vol. 6, no. 2. — P. 194-214.

/

23. Fleming W. H., Pardoux E. Optimal control for partially observed diffusions // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1982. — Vol. 20, no. 2.-P. 261-285.

24. Haussmann U. G. General necessary conditions for optimal control of stochastic systems // Stochastic Systems: Modeling, Identification and Optimization, II. — Springer, 1976. — P. 30-48.

25. Haussmann U. G. Existence of partially observable stochastic optimal controls // Stochastic differential systems. — Springer, 1981. — P. 79-84.

26. Haussmann U. G. On the existence of optimal controls for partially observed diffusions // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1982. - Vol. 20, no. 3. - P. 385-407.

27. Haussmann U. G. Optimal control of partially observed diffusions via the separation principle // Stochastic Differential Systems. — Springer, 1982.- P. 302-311.

28. Haussmann U. G. The maximum principle for optimal control of diffusions with partial information // SIAM journal on control and optimization. - 1987. - Vol. 25, no. 2. — P. 341-361.

29. Haussmann U. G., Lepeltier J. P. On the existence of optimal controls // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1990. — Vol. 28, no. 4. — P. 851-902.

30. Haussmann U. G. Generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equation of stochastic control // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1994. - Vol. 32, no. 3. - P. 728-743.

31. Хрусталёв М. М. Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности игроков о состоянии // Изв. РАН. — 1995.— № 6.— С. 194-208.

32. Хрусталёв М. М. Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности игроков о состоянии // Изв. РАН. — 1996. — № 1. — С. 72-79.

33. Хрусталёв М. М. Синтез оптимальных и устойчивых управляемых стохастических систем при неполной информации о состоянии на неограниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 11. — С. 174-190.

34. Kushner H. J. Optimal discounted stochastic control for diffusion pro-

cesses // SIAM Journal on Control. - 1967.- Vol. 5, no. 4. - P. 520531.

35. Kushner H. J. Necessary conditions for continuous parameter stochastic optimization problems // SIAM Journal on Control. — 1972. — Vol. 10, no. 3. - P. 550-565.

36. Peng S. A general stochastic maximum principle for optimal control problems // SIAM Journal on control and optimization. — 1990. — Vol. 28, no. 4.-P. 966-979.

37. Fleming W. H. Optimal continuous-parameter stochastic control // SIAM review. - 1969. - Vol. 11, no. 4. - P. 470-509.

38. Kushner H. J. A partial history of the early development of continuous-time nonlinear stochastic systems theory // Automatica. — 2014. — Vol. 50, no. 2.-P. 303-334.

39. Hu Y., Zhou X. Y. Constrained stochastic LQ control with random coefficients, and application to portfolio selection // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2005. — Vol. 44, no. 2. — P. 444-466.

40. Davis M. H. A., Varaiya P. Information states for linear stochastic systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1972. — Vol. 37, no. 2.-P. 384-402.

41. Haussmann U. G. Examples of optimal controls for linear stochastic control systems with partial observation // Stochastics: An International Journal of Probability and Stochastic Processes. — 1987. — Vol. 22, no. 3-4. - P. 289-323.

42. Bismut J. M. Linear quadratic optimal stochastic control with random coefficients // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1976. — Vol. 14, no. 3. - P. 419-444.

43. Bismut J. M. On optimal control of linear stochastic equations with a linear-quadratic criterion // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1977. - Vol. 15, no. 1. - P. 1-4.

44. Chen S., Yong J. Stochastic linear quadratic optimal control problems // Applied Mathematics and Optimization.— 2001.— Vol. 43, no. 1.— P. 21-45.

45. Hopkins Jr. W. E. Optimal stabilization of families of linear stochastic differential equations with jump coefficients and multiplicative noise // SIAM journal on control and optimization.— 1987.— Vol. 25, no. 6.— P. 1587-1600.

46. Damm T., Mena H., Stillfjord T. Numerical solution of the finite horizon stochastic linear quadratic control problem // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2017. — Vol. 24, no. 4. — P. e2091.

47. McLane P. J. Linear optimal stochastic control using instantaneous output feedback // International Journal of Control.— 1971.— Vol. 13, no. 2.-P. 383-396.

48. Chen S., Zhou X. Y. Stochastic linear quadratic regulators with indefinite control weight costs II // SIAM Journal on Control and Optimization. - 2000. - Vol. 39, no. 4. - P. 1065-1081.

49. Ляшенко Е. А., Ряшко Л. Б. О регуляторах с помехой в динамическом звене // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 10. — С. 59-70.

50. Solvability and asymptotic behavior of generalized Riccati equations arising in indefinite stochastic LQ controls / M. A. Rami, X. Chen, J. B. Moore, X. Y. Zhou // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2001. - Vol. 46, no. 3. - P. 428-440.

51. Rami M. A., Moore J. B., Zhou X. Y. Indefinite stochastic linear quadratic control and generalized differential Riccati equation // SIAM Journal on Control and Optimization.— 2001.— Vol. 40, no. 4.— P. 1296-1311.

52. Румянцев Д. С., Хрусталёв М. М. Оптимальное управление квазилинейными системами диффузионного типа при неполной информации о состоянии // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2006. — № 5. — С. 43-51.

53. Румянцев Д. С., Хрусталёв М. М., Царьков К. А. Алгоритм поиска субоптимальных стратегий управления квазилинейными динамическими стохастическими системами диффузионного типа // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2014. — № 1. — С. 74-86.

54. Румянцев Д. С., Царьков К. А. Управление квазилинейными стохастическими системами с неполной информацией на примере механического манипулятора // Труды МАИ. — 2014. — № 74.

55. Параев Ю. И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. Библиотека технической кибернетики. — Советское радио, 1976.

56. Kurtaran B. Z., Sidar M. Optimal instantaneous output-feedback controllers for linear stochastic systems // International Journal of Control. - 1974. - Vol. 19, no. 4. - P. 797-816.

57. Chen S., Li X., Zhou X. Y. Stochastic linear quadratic regulators with indefinite control weight costs // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1998. - Vol. 36, no. 5. — P. 1685-1702.

58. Carravetta F., Mavelli G. Linear output-feedback control of stochastic linear systems with state-and control-dependent disturbances // Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control / IEEE. - 2005. - P. 554-559.

59. Carravetta F., Mavelli G. Suboptimal stochastic linear feedback control of linear systems with state-and control-dependent noise: The incomplete information case // Automatica. — 2007. — Vol. 43, no. 5. — P. 751-757.

60. Phillis Y. Controller design of systems with multiplicative noise // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1985. — Vol. 30, no. 10. — P. 1017-1019.

61. Tse E. On the optimal control of stochastic linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1971. — Vol. 16, no. 6. — P. 776785.

62. Wonham W. M. On the separation theorem of stochastic control // SIAM Journal on Control. - 1968. - Vol. 6, no. 2. - P. 312-326.

63. Kalman R. E., Bucy R. S. New results in linear filtering and prediction

theory // Journal of basic engineering. — 1961. — Vol. 83, no. 1. — P. 95108.

64. Мильштейн Г. Н., Ряшко Л. Б. Оценивание в управляемых стохастических системах с мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 6. — С. 88-94.

65. Ряшко Л. Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 7. — С. 80-89.

66. McLane P. J. Optimal linear filtering for linear systems with state-dependent noise // International Journal of Control. — 1969. — Vol. 10, no. 1. —P. 41-51.

67. Мильштейн Г. Н. Построение стабилизирующего регулятора при неполной информации о состоянии для линейных стохастических систем с мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. — 1982. — № 5. — С. 98-106.

68. Wise G., Marcus S. Stochastic stability for a class of systems with multiplicative state noise // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1979. - Vol. 24, no. 2. - P. 333-335.

69. El Ghaoui L. State-feedback control of systems with multiplicative noise via linear matrix inequalities // Systems & Control Letters. — 1995. — Vol. 24, no. 3. - P. 223-228.

70. Sasagawa T. LP-stabilization problem for linear stochastic control systems with multiplicative noise // Journal of optimization theory and applications. - 1989. - Vol. 61, no. 3. - P. 451-471.

71. Gao Z. Y., Ahmed N. U. Feedback stabilizability of non-linear stochastic systems with state-dependent noise // International Journal of Control. - 1987. - Vol. 45, no. 2. - P. 729-737.

72. McLane P. J. Optimal stochastic control of linear systems with state-and control-dependent disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1971. - Vol. 16, no. 6. - P. 793-798.

73. Willems J. L., Willems J. C. Feedback stabilizability for stochastic systems with state and control dependent noise // Automatica. — 1976. — Vol. 12, no. 3. —P. 277-283.

74. Kleinman D. L. Optimal stationary control of linear systems with control-dependent noise // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1969. - Vol. 14, no. 6. - P. 673-677.

75. Haussmann U. G. Optimal stationary control with state control dependent noise // SIAM Journal on Control.— 1971.— Vol. 9, no. 2.— P. 184-198.

76. Wonham W. M. Optimal stationary control of a linear system with state-dependent noise // SIAM Journal on Control. — 1967.— Vol. 5, no. 3. - P. 486-500.

77. Haussmann U. G. Stability of linear systems with control dependent noise // SIAM Journal on Control. - 1973. — Vol. 11, no. 2. — P. 382394.

78. Gajic Z., Losada R. Solution of the state-dependent noise optimal control problem in terms of Lyapunov iterations // Automatica. — 1999. — Vol. 35, no. 5.-P. 951-954.

79. Kleinman D. L. Numerical solution of the state dependent noise problem // IEEE Transactions on Automatic Control.— 1976.— Vol. 21, no. 3. - P. 419-420.

80. Dragan V., Morozan T., Halanay A. Optimal stabilizing compensator for linear systems with state-dependent noise // Stochastic analysis and applications. - 1992. - Vol. 10, no. 5. - P. 557-572.

81. El Bouhtouri A., Hinrichsen D., Pritchard A. J. On the disturbance attenuation problem for a wide class of time invariant linear stochastic systems // Stochastics: An International Journal of Probability and Stochastic Processes. - 1999. - Vol. 65, no. 3-4. - P. 255-297.

82. Ряшко Л. Б. Стабилизация линейных систем с мультипликативными шумами при неполной информации // Прикладная математика и механика. — 1981. — Т. 45, № 5. — С. 778.

83. Bernstein D. S., Haddad W. M. Robust stability and performance analysis for state-space systems via quadratic Lyapunov bounds // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 1990. — Vol. 11, no. 2. — P. 239-271.

84. Невельсон М. Б. Критерий существования линейного оптимального управления для одного класса линейных стохаетических систем // Прикл. математика и механика. — 1969. — Т. 33, № 3. — С. 573.

85. Hinrichsen D., Pritchard A. J. Stochastic Нж // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1998. — Vol. 36, no. 5. - P. 1504-1538.

86. Мильштейн Г. Н., Ряшко Л. Б. Оптимальная стабилизация линей-

ных стохастических систем // Прикладная математика и механика. — 1976. — Т. 40, № 6.

87. Speyer J. A nonlinear control law for a stochastic infinite time problem // IEEE Transactions on Automatic Control.— 1976.— Vol. 21, no. 4. - P. 560-564.

88. Georgiou T. T., Lindquist A. The separation principle in stochastic control, redux // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2013. — Vol. 58, no. 10.-P. 2481-2494.

89. Ryashko L. B., Schurz H. Mean square stability analysis of some linear stochastic systems // Dynamic Systems and Applications. — 1997. — Vol. 6. - P. 165-190.

90. Bernstein D. S. Robust static and dynamic output-feedback stabilization: Deterministic and stochastic perspectives // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1987. — Vol. 32, no. 12. — P. 1076-1084.

91. Damm T. Generalized Riccati equations and stabilization of stochastic systems // IFAC Proceedings Volumes. — 2000. — Vol. 33, no. 16. — P. 437-442.

92. Damm T., Hinrichsen D. Newton's method for a rational matrix equation occurring in stochastic control // Linear Algebra and its Applications. - 2001. - Vol. 332. - P. 81-109.

93. Haussmann U. G. Stability of linear systems with control dependent noise // SIAM Journal on Control. - 1973. — Vol. 11, no. 2. — P. 382394.

94. Kleinman D. L. On the stability of linear stochastic systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1969. — Vol. 14, no. 4. — P. 429430.

95. Мильштейн Г. Н. Линейные оптимальные регуляторы заданной структуры в системах с неполной информацией // Автоматика и телемеханика. — 1976. — № 8. — С. 48-53.

96. Phillis Y. A. Optimal stabilization of stochastic systems // Journal of mathematical analysis and applications. — 1983. — Vol. 94, no. 2. — P. 489-500.

97. Chen X., Zhou X. Y. Stochastic linear-quadratic control with conic control constraints on an infinite time horizon // SIAM journal on control and optimization. — 2004. — Vol. 43, no. 3. - P. 1120-1150.

98. Hinrichsen D., Pritchard A. J. Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback // SIAM journal on control and optimization. — 1996. — Vol. 34, no. 6. — P. 1972-1998.

99. Bernstein D. S., Hyland D. C. Optimal projection equations for reduced-order modelling, estimation, and control of linear systems with multiplicative white noise // Journal of optimization theory and applications. - 1988. - Vol. 58, no. 3. - P. 387-409.

100. Rami M. A., Zhou X. Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2000. — Vol. 45, no. 6. - P. 1131-1143.

101. Haussmann U. G. On the existence of moments of stationary linear sys-

tems with multiplicative noise // SIAM Journal on Control. — 1974. — Vol. 12, no. 1. —P. 99-105.

102. Мильштейн Г. Н. О принципе эквивалентности для стохастических систем в задачах минимизации среднеквадратичного критерия // Автоматика и телемеханика. — 1974. — № 2. — С. 25-30.

103. Bernstein D. S., Haddad W. M. LQG control with an Нж performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1989. - Vol. 34, no. 3. - P. 293-305.

104. Sasagawa T. On the exponential stability and instability of linear stochastic systems // International Journal of Control.— 1981. — Vol. 33, no. 2.-P. 363-370.

105. Ряшко Л. Б. Стабилизация линейных стохастических систем с возмущениями, зависящими от состояния и управления // Прикладная математика и механика. — 1979. — Т. 43, № 4. — С. 612.

106. Dragan V., Morozan T., Stoica A. H2 optimal control for linear stochastic systems // Automatica. — 2004. — Vol. 40, no. 7. — P. 1103-1113.

107. Mendel J., Gieseking D. Bibliography on the linear-quadratic-Gaussian problem // IEEE Transactions on Automatic Control.— 1971.— Vol. 16, no. 6.-P. 847-869.

108. Panossian H. V. Review of linear stochastic optimal control systems and applications // Journal of Vibration Acoustics Stress and Reliability in Design. - 1989. - Vol. 111, no. 4. - P. 399.

109. Willems J. C. The LQG-problem: A brief tutorial exposition // Stochastic Systems: The Mathematics of Filtering and Identification and Applications. — Springer, 1981. — P. 29-44.

110. Arnold L. Stochastic differential equations: Theory and applications.— John Wiley & John Wiley & Sons, 1974.

111. Verriest E. I., Florchinger P. Stability of stochastic systems with uncertain time delays // Systems & Control Letters. — 1995. — Vol. 24, no. 1.-P. 41-47.

112. Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. Об устойчивости стохастических систем // Проблемы передачи информации.— 1966.— Т. 2, № 3. — С. 76-91.

113. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — Наука, 1969.

114. Damm T. Rational matrix equations in stochastic control. — Springer Berlin Heidelberg, 2004. — ISBN: 3540205160.

115. Kleinman D. L. Optimal stationary control of linear systems with control-dependent noise // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1969. - Vol. 14, no. 6. - P. 673-677.

116. Jankunas A., Khasminskii R. Z. Estimation of parameters of linear homogeneous stochastic differential equations // Stochastic processes and their applications. - 1997. — Vol. 72, no. 2.- P. 205-219.

117. Трушкова Е. А. Алгоритмы глобального поиска оптимального управления // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 6. — С. 151-159.

118. Черноусько Ф. Л. Оптимизация процессов управления и наблюдения в динамической системе при случайных возмущениях // Automation and Remote Control. — 1972. — Т. 33, № 4. — С. 562-569.

119. Khrustalev M. M., Rumyantsev D. S., Tsar'kov K. A. Optimization of quasilinear stochastic control-nonlinear diffusion systems // Automation and Remote Control. — 2017. — Vol. 78, no. 6. - P. 1028-1045.

120. Хрусталёв М. М., Румянцев Д. С., Царьков К. А. Оптимизация квазилинейных стохастических систем диффузионного типа, нелинейных по управлению // Автоматика и телемеханика. — 2017. — № 6. — С. 84105.

121. Хрусталёв М. М., Царьков К. А. Достаточные условия относительного минимума в задаче оптимального управления квазилинейными стохастическими системами // Автоматика и телемеханика. — 2018. — № 12. — С. 83-102.

122. Халина А. С., Хрусталёв М. М. Оптимизация облика и стабилизация управляемых квазилинейных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени. // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2017. — № 1. — С. 6588.

123. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. № 82.— Наука, 1985.

124. Хрусталёв М. М., Онегин Е. Е. Необходимые и достаточные условия в задаче оптимальной стабилизации квазилинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 2019. — № 7. — С. 89-104. —

Khrustalev M. M., Onegin E. E. Necessary and sufficient conditions for optimal stabilization of quasi-linear stochastic systems // Automation and Remote Control. - 2019. - Vol. 80. no. 7. - P. 1252-1264.

125. Онегин Е. Е. Оптимальная стабилизация квазилинейной стохастической системы с управляемыми параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2019. — Т. 20, № 10. — С. 589-599.

126. Хрусталёв М. М., Онегин Е. Е. Оптимальное подавление возмущений в квазилинейной стохастической системе, функционирующей на неограниченном интервале времени, при управлении по выходу // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого) / ИПУ РАН.— Москва, 2016.— С. 402-404.— Onegin E., Khrustalev M. The Optimal Disturbance Suppression Problem on the Infinite Time Interval for Quasilinear Stochastic Systems with Output Feed-back // Proceedings of 2016 International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference). IEEE, 2016, http://ieeexplore.ieee.org/document/7541193/.

127. Онегин Е. Е., Хрусталёв М. М. Оптимальная стабилизация квазилинейной стохастической системы с управляемыми параметрами // Материалы 14-й Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(конференция Пятницкого) (Москва, 2018).— Москва : ИПУ РАН, 2018.— С. 311314.— Onegin E., Khrustalev M. Optimal stabilisation of a quasilinear stochastic system with controllable parameters / Proceedings of 2018 14th International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear

Control Systems (Pyatnitskiys Conference), STAB 2018. М.: IEEE, 2018, https://ieeexplore.ieee.org/document/840838.

128. Хрусталёв М. М., Онегин Е. Е. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для квазилинейных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени // Программные системы: теория и приложения. — 2015. — Т. 6, № 2. — С. 2944.

129. Хрусталёв М. М., Онегин Е. Е. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для квазилинейных стохастических систем // Материалы 19-ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМ-СППС'2015, Алушта). — Алушта : МАИ, 2015. — С. 669-672.

130. Онегин Е. Е. Асимптотическая стабилизация спутника с упругой штангой при наличии случайных возмущений // Тезисы докладов 14-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2015». — МАИ, 2015. — С. 442-443.

131. Онегин Е. Е., Хрусталёв М. М. Оптимальное подавление случайных возмущений при управлении по выходу в квазилинейных стохастических системах на неограниченном интервале времени // Сборник тезисов докладов 42-ой Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения-2016». — Т. 1.— Москва : МАИ, 2016.— С. 469-470.

132. Онегин Е. Е., М. Хрусталёв М. Субоптимальная стабилизириующая стратегия управления линейной стохастической системой с управляе-

мыми параметрами // Труды 13-го Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ XIII, Москва, 2019). — Москва : ИПУ РАН, 2019.— С. 870-874.

133. Онегин Е. Е. Программный комплекс для решения задач оптимальной стабилизации и моделирования квазилинейных стохастических систем // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2018616557. Федеральная служба по интеллектуальной собственности. — 04.06.2018.

134. Андрейченко Д. К., Андрейченко К. П. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями // Теория и системы управления. — 2004. — № 6. — С. 150-163.

135. Хрусталёв М. М., Румянцев Д. С. Синтез стратегий оптимального управления гибким спутником при информационных ограничениях // Вестник Московского авиационного института. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 147-154.

136. Лебедев А. А., Красильщиков М. Н., Малышев В. В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. — Машиностроение, 1974.

137. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов / А. А. Лебедев, В. Т. Бобронников, М. Н. Красильщиков, В. В. Малышев. — Машиностроение, 1985.