Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Чайковский, Михаил Михайлович

• Чайковский, Михаил Михайлович
• доктор технических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор технических наук Чайковский, Михаил Михайлович

Обозначения

Введение

1 Основные понятия анизотропийного анализа

1.1 Выводы к главе 1.

2 Частотная теорема для анизотропийной нормы

2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2.2 Вычисление анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации

2.3 Предельные случаи.

2.4 Вычислительные эксперименты и сравнение с методом гомотопий.

2.5 Выводы к главе 2.

3 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации

3.1 Постановка задачи синтеза.

3.2 Решение задачи синтеза.

3.2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в задаче синтеза.

3.2.2 Статическая обратная связь по состоянию

3.2.3 Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы.

3.2.4 Регулятор по выходу полного порядка.

3.2.5 Статическая обратная связь по выходу

3.2.6 Синтез регулятора заданного порядка с помощью выпуклой оптимизации

3.3 Выводы к главе 3.

4 Многокритериальные задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов. Синтез управления для систем с неопределенными параметрами

4.1 Постановка многокритериальной задачи анизотропийного управления.

4.2 Решение многокритериальной задачи анизотропийного управления.

4.2.1 Синтез регулятора по выходу заданного порядка

4.2.2 Синтез регулятора в виде статической обратной связи по состоянию.

4.2.3 Синтез регулятора по выходу полного порядка

4.2.4 Статическая обратная связь по выходу.

4.3 Размещение полюсов замкнутой системы в ЛМН-области комплексной плоскости.

4.4 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем с неопределенными параметрами.

4.4.1 Постановка робастной задачи анизотропийного управления.

4.4.2 Решение робастной задачи анизотропийного управления.

4.5 Выводы к главе 4.

5 Решение задач стабилизации и слежения в условиях случайных возмущений для технических систем методами субоптимального анизотропийного управления

5.1 Управление продольным движением самолета в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений.

5.1.1 Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления.

5.1.2 Регуляторы полного порядка.

5.1.3 Регуляторы заданного порядка.

5.1.4 Статическая обратная связь по выходу.

5.2 Управление угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и неточных измерений.

5.2.1 Математическая модель одноосного гиростабили-затора с переменным кинетическим моментом ги-роблока.

5.2.2 Робастная стабилизация ГСП в условиях случайных возмущений.

5.2.3 Робастное анизотропийное управление угловым положением оси стабилизации ГСП

5.3 Примеры из библиотеки COMPleib.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации»

Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как возмущения, так и задающие команды; измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки; управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параметры реального технического объекта управления могут отличаться от параметров математической модели этого объекта, для которой проектировался закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе прочего, стохастической изменчивостью рабочей среды системы управления.

Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. Широко известные задачи 7^2 и Л^ оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании Ti-2 и 7^оо норм в соответствующих пространствах Харди матричных передаточных функций. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах A.M. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи "^-оптимизации, рассмотренной в работе Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекара, Б. Фрэнсиса [68]. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании 7^оо-°птимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, Т. Ива-саки, П. Гаинета, П. Апкаряна и многих других исследователей.

Задача о линейно-квадратичном регуляторе, называемая также задачей об аналитическом конструировании регуляторов, была одной из первых решенных задач оптимального управления по принципу обратной связи [15, 102]. В отличие от задач оптимального программного управления, например, от задачи оптимального быстродействия, ее решение формулируется в терминах обратной связи. Задача синтеза оптимального ЛКГ (TÎ2) регулятора, представляет собой задачу нахождения оптимальной линейной постоянной обратной связи по вектору состояния, восстановленному с помощью оптимального наблюдателя — фильтра Калмана [42, 68, 115, 144]. Для линейного стационарного объекта управления, функционирующего на бесконечном временном интервале, данная задача сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати [115, 177]. Для непрерывных и дискретных систем эти уравнения Риккати имеют различный вид (непрерывное и дискретное алгебраические уравнения Риккати, соответственно).

7^оо-оптимизация составляет ядро современной линейной теории управления [48, 63, 68, 72, 74, 81, 82, 86, 90, 121, 153, 188, 189]. Первоначально задача была решена в частотной области с использованием теоремы Неванлинны-Пика [69, 72]. В работе [68] было получено полное решение задачи синтеза Hсубоптимального регулятора для непрерывного линейного стационарного объекта в пространстве состояний, которое сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати ("2-Риккати подход"). Аналогичный подход к решению задачи Hoo-оптимизации дискретной линейной стационарной системы представлен в работах [74, 90, 121].

Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматриваемая как различие между неточно известным распределением реального шума измерений и распределением его номинальной модели, может значительно ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процедура синтеза регулятора основана на определенном законе распределения возмущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситуации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей среды системы управления. Так, И.2 и Ti^ регуляторы являются полностью эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез о внешних возмущениях. Известно, что 7i2 (или ЛКГ) регулятор может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум [67], в то время как Tioo регулятор, проектируемый для наихудшего случая детерминированного возмущения [68], проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.

Одна из первых идей, направленных на преодоление указанного недостатка линейно-квадратичного гауссовского регулятора в случае, когда внешнее возмущение не является гауссовским белым шумом, была представлена в работе [100], посвященной некоторой модификации критерия качества. Эта идея привела к развитию целого класса задач в теории управления — управление системами, чувствительными к рискам [175, 176].

Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества ЛКГ (7^2) и Ню регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны), возникли в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложенный Д. Бернстайном и В.Хаддадом в [51] и связанный с минимизацией И.2 нормы замкнутой системы при ограничениях на ее ТСоо норму. Эти идеи были расширены в [190, 142] на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного И-ъ/^Ноо критерия качества. Решение задачи стохастического смешанного И.2/Т~Соо управления для дискретных систем получено в [125].

В основе другого подхода, разработанного Д. Мустафой и К. Гловером в [127], лежит минимизация функционала энтропии при ограничениях на TLqq норму замкнутой системы. Как показано в [79], задача синтеза регулятора, минимизирующего функционал Ноо энтропии, до известной степени эквивалентна задаче синтеза оптимального регулятора, чувствительного к риску. Множество работ посвящено задачам, связанным с минимизацией функционала энтропии, см. например [92, 128, 91, 184, 73].

Во всех перечисленных выше работах применяются методики, основанные на решении определенных (иногда перекрестно связанных) уравнений Риккати. Вопросам исследования алгебраических уравнений Риккати, играющих важную роль в решении задач оптимизации линейных систем, посвящено множество научных работ, например [41, 55, 88, 93, 94, 95, 101, 116, 117, 126, 133, 143, 145, 152, 154, 155, 158, 177, 178, 179, 181]. Существуют различные численные методы решения алгебраических уравнений Риккати: метод собственных векторов, метод Шура, обобщенные методы, методы матричнозначной функции, методы Ньютона, описание которых можно найти в монографиях [61, 116] вместе с подробной библиографической информацией. В результате появления и бурного развития во второй половине XX века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации [20, 130, 53, 54], вычислительные подходы с применением линейных матричных неравенств широко применяются для решения задач Н2 и Т^оо оптимизации [2, 39, 53, 56, 77, 75, 96, 153]. Численные методы решения задач выпуклой оптимизации, линейных матричных неравенств и вычислительные алгоритмы решения соответствующих задач управления реализованы в виде пакетов программ для современной системы инженерных и научно-технических расчетов MATLAB [78, 122] наряду с численными методами решения алгебраических уравнений Риккати.

В [103] смешанная 'Hij'Hoo задача была рассмотрена в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и решена с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны эффективные алгоритмы внутренней точки [130, 52, 129], выпуклая оптимизация стала стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы линейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределейного программирования зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формирования проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов, применимая к широкому спектру линейных задач теории управления [53]. После того, как в [77, 96] было получено решение задачи синтеза Ноо регулятора с помощью JIMH, полуопределенное программирование успешно применяется для решения смешанных H.il'Hoo и многокритериальных задач управления [146, 58, 150, 123, 87, 134, 147, 45, 149, 47].

Один из подходов к подавлению неопределенных случайных возмущений на основе минимаксного управления был предложен в середине 1990-х годов C.B. Гусевым в [83]—[85] и впоследствии распространен на случай многомерных систем и синтез регуляторов с заданной структурой методами линейных и билинейных матричных неравенств в [148]. Вместо точного знания коэффициентов ковариации возмущения, при применении данного подхода требуется лишь, чтобы коэффициенты ковариации принадлежали известному множеству. Синтезируемый регулятор минимизирует наихудшую возможную асимптотическую дисперсию выхода для всех таких возмущений. Рассматриваемая задача является промежуточной между экстремальными И.2 и Ti^ сценариями синтеза и сводится к задаче робастного управления с неопределе-ностью в сигнале внешнего возмущения [148].

В то же время, другой перспективный подход на основе стохастического минимакса возник из идей И.Г. Владимирова, разработавшего анизотропийную теорию стохастического робастного управления, представленную в ряде работ [151, 7, 9, 173]. В свете этого подхода, робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации; статистическая неопределенность измеряется в терминах энтропии, а показатель робастного качества можно выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы.

Функционал анизотропии, введенный И.Г. Владимировым, является энтропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной случайной последовательности определяется как интенсивность анизотропии на единицу времени для достаточно длинных сегментов последовательности. Применительно к случайным возмущениям, действующим на систему, средняя анизотропия характеризует величину статистической неопределенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей возмущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со скалярной ковариационной матрицей [173, 65].

Вторым базовым понятием теории И.Г. Владимирова является а-анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы (ДЛСС), количественно определяющая возможности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии, что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотрицательного уровня а [173, 65]. Обобщение анизотропийного анализа ро-бастного качества на конечный интервал времени было сделано в [6].

В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший консерватизм управления по сравнению с ТСоо регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем ТС2 регулятор [65]. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым в [174], основано на решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати, алгебраического уравнения Ляпунова и уравнение относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в результате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (центральный регулятор) является единственным. Расширение этих результатов на класс объектов с параметрической неопределенностью было получено в [106, 13]. Но решение сложных систем перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий [64]. Вместе с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не направлена на синтез анизотропий-ных регуляторов пониженного или заданного порядка (а также децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оставались открытыми.

Следует отметить, что задачи синтеза регуляторов пониженного (заданного) порядка трудны, поскольку даже задача стабилизации одномерного линейного стационарного объекта регулятором заданного порядка не является выпуклой в пространстве параметров регулятора. Методы синтеза регуляторов пониженного порядка можно разделить на два класса: прямые, в которых параметры регулятора вычисляются при помощи оптимизации или какой-либо другой процедуры, и косвенные, в которых сначала находится регулятор полного порядка, равного порядку объекта управления, и затем он упрощается "(редуцируется), либо сперва выполняется редукция модели объекта управления и для редуцированной модели строится регулятор полного порядка, который затем применяется для управления исходным объектом. Таким образом, одним из этапов косвенных методов синтеза регуляторов пониженного (заданного) порядка является редукция модели регулятора или объекта управления. Заметим, что задачи редукции модели также являются классическими в теории управления системами высоких порядков.

Косвенные методы синтеза анизотропийных регуляторов пониженного порядка, основанные как на редукции модели объекта управления, так и на редукции замкнутой системы и самого регулятора, были разработаны и представлены в [113, 166, 159, 167, 29]. В [166, 159] предложен метод сбалансированного отсечения для редукции анизотро-пийного оптимального регулятора, являющегося решением нормализованной задачи анизотропийной стохастической Л^ оптимизации [165]. Применение техники отсечения неизбежно приводит к некоторой потере качества замкнутой системы и накладывает ограничения на пониженный порядок регулятора из-за возможной неустойчивости замкнутой системы, состоящей из объекта полного порядка и регулятора пониженного порядка. В [113, 167, 29] получено решение задачи редукции (аппроксимации) модели по критерию минимума анизотро-пийной нормы передаточной функции модели ошибки редукции. Задача заключается в том, чтобы для заданной устойчивой многомерной дискретной линейной динамической модели полного порядка, на вход которой поступает последовательность случайных гауссовских векторов с ограниченной средней анизотропией, найти устойчивую реализацию пониженного порядка, минимизирующую анизотропийную норму передаточной функции модели ошибки редукции. Метод гарантирует устойчивость полученной модели пониженного порядка без каких-либо дополнительных технических предположений. Модель пониженного порядка аппроксимирует поведение исходной системы в установившемся режиме, но не отражает динамики переходного режима исходной модели, поскольку при редукции не учитывается расположение полюсов исходной и редуцированной систем. Косвенные методы синтеза анизотропийных регуляторов пониженного порядка в диссертационной работе не рассматриваются.

В диссертационной работе разработаны прямые регулярные методы решения задач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов заданного порядка с помощью выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН). Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов является естественным продолжением оптимального подхода, предложенного И.Г.Владимировым в [174]. Вместо минимизации анизотропийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы заданным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального анизотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приводит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкнутой системе с целью достижения желаемого качества управления, например, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для достижения желаемого качества переходных процессов. Для решения задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора требуется критерий проверки ограниченности анизотропийной нормы системы заданным значением. Частотная теорема для анизотропийной нормы, представленная в [110], является стохастическим аналогом известной частотной теоремы для нормы ДЛСС под воздействием статистически неопределенных стационарных гауссовских возмущений с ограниченной средней анизотропией. Полученный критерий сформулирован в виде неравенства относительно логарифма детерминанта матрицы, выраженной из решения алгебраического уравнения Риккати, зависящего от скалярного параметра. Аналогичный критерий для дискретных линейных нестационарных систем, сформулированный в виде неравенства, зависящего от дискретного времени, и разностного уравнения Риккати, получен в [124]. Достаточная версия частотной теоремы для анизотропийной нормы была сформулирована в [170, 171] как задача выпуклой оптимизации при ограничениях в виде строгого неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и ЛМН. Было показано, что ограничение на детерминант линейно зависит от квадрата порогового значения анизотропийной нормы, минимизация которого на выпуклом множестве позволяет вычислять а-анизотропийную норму ДЛСС из решения задачи выпуклой оптимизации [171]. В диссертационной работе получены результаты, направленные на применение мощной методологии полуопределенного программирования (ЛМН) и выпуклой оптимизации к синтезу анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов в общем случае заданного порядка. Анизотропийные регуляторы являются мощной и гибкой альтернативой 7^2, 7~Соо и смешанным 7^2/7^00 регуляторам в задачах подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями. В сравнении с решением в пространстве состояний задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора, полученным ранее в [174], предлагаемый подход на основе численной оптимизации является новым и не требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритма на основе метода гомотопий [64]. Разработанные процедуры анализа и синтеза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющегося в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимизации [157, 122].

В диссертационной работе рассматриваются примеры применения разработанных методов синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов для синтеза систем управления техническими объектами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех, а также приводятся результаты решения задач синтеза регуляторов для ряда тестовых моделей.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом.

В главе 1 приводится краткое изложение основ анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме со ссылками на первоисточники.

В главе 2 сформулирована и доказана частотная теорема для ани-зотропийной нормы, представляющая собой расширение известной частотной теоремы для "Н^ нормы на класс дискретных линейных стационарных систем, на вход которых поступают случайные воздействия, распределения которых известны неточно. Статистическая неопределенность измеряется с использованием функционала средней анизотропии. Возможности системы по подавлению возмущений количественно измеряются ее анизотропийной нормой, представляющей собой стохастический аналог 'Н0й нормы. Получен достаточный критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы ДЛСС заданным пороговым значением. Этот критерий сформулирован в терминах реализации ДЛСС в пространстве состояний. Условия частотной теоремы для анизотропийной нормы выражены в виде строгого неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и ЛМН. Показано, что незначительная модификация этих условий позволяет эффективно вычислять анизотропийную норму ДЛСС из решения задачи выпуклой оптимизации.

В главе 3 предлагается подход к решению задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами полуопределейного программирования и выпуклой оптимизации. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов является естественным продолжением оптимального подхода, разработанного в [174]. Вместо минимизации анизотропийной нормы замкнутой системы, субоптимальный регулятор гарантирует, что ее норма не превосходит заданного порогового значения. Общая процедура синтеза регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух ЛМН относительно взаимнообратных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Матрицы параметров регулятора непосредственно входят в ЛМН синтеза, что позволяет накладывать на реализацию регулятора некоторые структурные требования для синтеза, например, децентрализованного управления или регулятора заданной структуры. Применением стандартных процедур овыпукления (линеаризующих замен переменных и введения дополнительных переменных) показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка по выходу и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для некоторых классов объектов, определяемых их структурными свойствами. Для этих задач можно найти анизотропийные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. Предлагаемый подход к синтезу регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации является новым и не требует разработки специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий.

В главе 4 решается многокритериальная задача анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить группы каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемым выходам, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Также рассматривается решение задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Полученные результаты применяются для решения задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры.

В главе 5 рассматриваются примеры применения разработанных методов синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов для синтеза систем управления техническими объектами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех, а также приводятся результаты решения задач синтеза регуляторов для ряда тестовых моделей.

Целью диссертационной работы является разработка регулярных методов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических ро-бастных регуляторов для управления дискретными линейными стационарными системами под воздействием случайных возмущений, а также распространение стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотропийной теории стохастического робастного управления. К основным новым результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимизации. Разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных 7-оптимальных регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийно-го управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы являются развитием методов математической теории управления линейными системами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характеризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими затратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в настоящее время ТСоо и ^г/Т^с© регуляторами. Благодаря распространению методов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управления разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также желаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссертационной работе метод используется для решения задач анизотропийной 7-оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотропийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями, сформулированными в терминах ЛМН, в стандартных современных многокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления множественными объектами.

Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптимальных и 7-оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Эти методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизиро-ванной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике Н.2, Ноо и 71,2/Н-оо управлением, а замкнутые системы с анизотропийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

Реализация результатов работы. На основе результатов диссертационной работы совместно с ФГУП "НПЦ Автоматики и приборостроения им. акад. Н.А.Пилюгина" разработаны методы расчета системы управления одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навигационной системы [17]. Методы показали достаточную простоту и пригодность для применения в инженерной практике. Для их численной реализации может использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым кодом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу методами полуопределейного программирования и численной оптимизации.

3. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

4. Синтез анизотропийных 7-оптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации.

5. Решение многокритериальных задач анизотропийного управления.

6. Решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости.

7. Решение задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории автоматического управления и оптимизации Лаборатории №7 им. академика Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборатории анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC, LAAS-CNRS, Toulouse, France), Лаборатории сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire de Signaux et Systèmes, SUPELEC, Paris, France), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), на семинарах по теории автоматического управления Лаборатории №1 динамических информационно-управляющих систем ИПУ РАН, на семинаре "Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление" Кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, X, XI Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17-й Международной конференции по управлению процессами РС'09 (Штрбске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синтезу робастного управления IFAC ROCOND'09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня 2009 г.), 3-й Мульти-конференции IEEE по системам и управлению IEEE MSC'09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной научной конференции по физике и управлению PHYSCON'09 (Катания, Италия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конференции "Мехатроника, автоматизация и управление" (Дивноморское, Россия, 28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем MTNS'10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля 2010 г.), 18-м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике IFAC АСА'10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции "Управление в технических системах" УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 12-14 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, 28 августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика 2011" (Львов, Украина, 2011 г.), XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам, (Санкт-Петербург, 28-30 мая, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 статей в рецензируемых журналах [164, 26, 4, 37, 159, 160, 29, 33, 36, 30, 24, 18, 19] (5 без соавторов), из них 9 статей в журналах, включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и Scopus [164, 26, 37, 160, 29, 33, 36, 30, 24] (4 без соавторов); 26 работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [163, 108, 25, 109, 107, 112, 182, 113, 114, 183, 161, 165, 166, 167, 32, 14, 28, 110, 168, 34, 170, 35, 17, 31, 17, 162], в их числе 10 работ в рецензируемых сборниках трудов международных конференций, симпозиумов и конгрессов ИФАК, IEEE, MTNS [107, 112, 182, 183, 165, 166, 110, 168, 170, 162], а также 4 работы в рецензируемых сборниках трудов других международных конференций [163, 109, 161, 167].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, постановки и решения задач, формулировки и доказательства теорем, вычислительные эксперименты выполнены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию без ссылки включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы (190 источников), содержит 62 рисунка, 13 таблиц. Объем диссертации 192 страницы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Чайковский, Михаил Михайлович

4.5 Выводы к главе 4

В этой главе получено решение многокритериальной задачи анизотро-пийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Общая процедура синтеза многокритериального анизо-тропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению системы неравенств относительно детерминантов положительно определенных матриц и ЛМН относительно взаимнообрат-ных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Применением стандартных процедур овыпукления, рассмотренных в главе 3, показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для класса объектов управления, обладающих структурным свойством Руи(г) — 0. Также приводятся решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области обеспечивает желаемое качество переходных процессов. Показано, что ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в произвольной ЛМН-области можно учитывать при решении трех задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами ЛМН и выпуклой оптимизации — задачи управления при точном измерении вектора состояния объекта управления, задачи синтеза динамического регулятора полного порядка и задачи синтеза регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта, характеризующегося структурным свойством Руи(г) = 0. В задачах синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка и регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида можно учитывать ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в диске заданного радиуса с центром в начале координат.

Полученные результаты применяются для решения робастной задачи анизотропийного субоптимального управления для объекта с неструктурированной параметрической неопределенностью с ограниченной спектральной нормой. Исходная задача синтеза для объекта с параметрической неопределенностью сводится к задаче синтеза для вспомогательного объекта с определенными параметрами, расширенным управляемым выходом, включающим выход неопределенности, и дополнительным входом неопределенности. Задача синтеза для вспомогательного объекта управления представляет собой задачу синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора. Общая процедура синтеза робастного анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и трех ЛМН относительно двух пар взаимнообратных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Применение стандартных линеаризующих замен переменных, рассмотренных в главе 3, позволяет сделать выпуклыми результирующие задачи оптимизации для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию (в случае полной информации о векторе состояния) и динамических регуляторов полного порядка по измеряемому выходу. В этих задачах синтеза можно учитывать ограничения на размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области для всех допустимых неопределенностей, применяя результаты работы [57] по квадратичной ^-устойчивости систем с неопределенностью.

Глава 5

Решение задач стабилизации и слежения в условиях случайных возмущений для технических систем методами субоптимального анизотропийного управления

В этой главе рассматриваются примеры решения задач синтеза анизо-тропийных 7-оптимальных и субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования для управления техническими системами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением ги-ростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. Приводятся результаты решения задач синтеза субоптимальных ани-зотропийных регуляторов для ряда тестовых моделей из коллекции COMPleib [119, 120].

Все вычисления выполнялись в системе MATLAB 7.9.0 (R2009b) средствами пакетов Control System Toolbox и Robust Control Toolbox в сочетании с интерфейсом YALMIP [122] и решателем SeDuMi [157] на процессоре Р8700 2 х 2.53 ГГц. Ограничения, содержащие детерминант положительно определенной матрицы, формируются в интерфейсе YALMIP с помощью функции geomean, возвращающей геометрическое среднее собственных чисел симметричной матрицы-аргумента.

5.1 Управление продольным движением самолета в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений

Рассмотрим решение задачи управления продольным движением самолета при заходе на посадку по глиссаде с заданным углом наклона в условиях сдвига ветра при наличии шума измерений и органов управления, иллюстрирующее метод анизотропийного сбалансированного отсечения, изложенный в главе 3. Эта задача решена в [111] с помощью анизотропийного оптимального регулятора полного порядка. Полученный регулятор стабилизирует линеаризованную модель объекта управления в отклонениях от желаемых значений переменных состояния при движении по глиссаде с заданным углом наклона в присутствии детерминированного (сдвиг ветра) и стохастических возмущений.

5.1.1 Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления

Продольное движение самолета с учетом ветровых возмущений в скоростной системе координат (касательная и нормаль к траектории полета) описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [3, 5] mV = Т cos а — D — mg sin 9 — m(wx cos 9 + wy sin 9), mV9 — T sin a + L — mg eos 9 + m(wx sin 9 — wy eos 9),

JZÜJZ = Mz, & = где m — масса самолета, V — воздушная скорость, Т — сила тяги, а — угол атаки, D — сила лобового сопротивления, д — ускорение свободного падения, 9 — угол наклона траектории полета, wx и wy — полные градиенты горизонтальной и вертикальной составляющих скорости ветра в инерциальной системе отсчета, соответственно, L — подъемная сила, Jz — момент инерции относительно поперечной оси z самолета, uz — угловая скорость относительно поперечной оси 2 самолета, Mz — момент тангажа и $ — а + 9 — угол тангажа (см. рис. 5.1).

5.1)

Продольная ось самолета

P = mg

Рис. 5.1. К задаче управления продольным движением самолета. Система координат и переменные

Эти уравнения справедливы в предположении, что самолет жесткий, направление силы тяги совпадает с осью самолета, масса самолета постоянна, Земля плоская, ветер стационарный [5]. Также, модель (5.1) не содержит аналитических зависимостей для силы лобового сопротивления Б, подъемной силы Ь, момента инерции самолета ,/2 и момента тангажа М2. Предполагается, что значения этих переменных являются табличными значениями, полученными в результате экспериментов, и выбираются из соответствующих таблиц при линеаризации нелинейной модели (5.1) [22, 23].

Сила тяги Т и угол атаки а являются переменными управления в уравнениях (5.1) и в свою очередь зависят от отклонения сектора газа и обобщенного руля высоты самолета 5е, соответственно. Таким образом, управление самолетом в продольной плоскости реализуется с помощью обобщенного руля высоты 5е и сектора газа бг

Дифференциальное уравнение для высоты центра масс самолета имеет вид к = Уътв + <шу. (5.2)

Динамика двигателя описывается следующим уравнением

АТ=±-(-АТ + КеА5г), (5.3) е где Те — постоянная времени двигателя, Ке — некоторый заданный числовой коэффициент и — отклонение сектора газа от предписанного значения.

Отклонение обобщенного руля высоты Д^ с учетом контура короткопериодического движения формируется следующим образом

А 6е = Ки,Ашг + К#М + КсуМ су 1 где КШг, и Ксу некоторые заданные числовые коэффициенты,

А 19су — сигнал управления, формируемый регулятором.

Анизотропийный, линейно-квадратичный гауссовский и Л^ регуляторы синтезированы для модели самолета ТУ-154 при заходе на посадку по глиссаде с углом наклона = —2.7град. Нелинейные уравнения (5.1)—(5.3), описывающие продольное движение самолета, линеаризованы в точке траектории

Уо = 71.375 м/сек, во — —2.7 град, и>г0 = 0 сек-1 $о = 0 град, Но = 600 м, Т0 = 52540 Н.

Стандартная линеаризованная дискретная стационарная модель объекта управления (3.1) была получена для значения шага дискретизации 0.01 с, имеет порядок п = 6. В окрестности заданной глиссады продольное движение самолета аппроксимируется дискретной линеаризованной моделью в отклонениях (3.1), где

- [АУк А9к Асог>к А$к АИк АТк]т, и2,к пу1,к пу2,к "1Т

Хк

IVк — [ П.'щ,к ^"¡¿2,к Т1у1,к П'У2,к ] } = [ Д6су,к Ад^к ] , щ Ук [ АУк АКк Ат9су1к А5г,к]\ = [ АУк + Пуик А¡ък + пУък ]т, где Ук — воздушная скорость самолета; вк — угол наклона траектории; со2!к — угловая скорость тангажа; — угол тангажа; кк — высота центра масс; Тк — тяга двигателей; 9су^ — управление обобщенными рулями высоты; — управление сектором газа; пиик, пи2>к, пУък, пУ2,к — шумы приводов и измерений. Матрицы реализации модели в пространстве состояний имеют вид

А =

0.9994 0.0022 0.0001 0

-0.0005 0

-0.0008 0.9938 0.0052 0

0.0124 0 0

0.0011 0.9842 0.0099 0 0

-0.0009 0.0072 -0.0154 0.9999 0 0

0.0009 0 0 0 0

0.9960 д.

Д, = о о о о 0 01 о

0 0

-0 0012 0

0 0117 0

0 0001 0

0 0

0 0 004

-0 01 0 0005

-0 0004 -0 008

0 0

0 0

0 0

0 0

000 yw — 0 0 0

Cv —

О О О О о о о о

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ся =

В Z1I. 1 0 0 0 0 0 "

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 о h

5.1.2 Регуляторы полного порядка

Анизотропийный 7-оптимальный регулятор полного порядка Ка был получен из решения задачи выпуклой оптимизации (3.51) по теореме 3.2 Реализация в пространстве состояний анизотропийного 7-оптимального регулятора Ка была вычислена для уровня средней анизотропии возмущения а = 0.7; реализации 7i2 и Tt^ регуляторов К2 и Kqo были вычислены функциями пакета Robust Control Toolbox системы MATLAB h2syn (решение уравнений Риккати) и hmf syn (JIMH) Реализации синтезированных регуляторов приводятся ниже:

К2 =

0 9901 -0 0008 0 -0 0009 -0 000133 0 0009 0 009301 0 000133

0 002025 0 9962 0 001999 0 008616 -0 002482 6 243 10"5 0 0009729 0 003669

-0 007851 -0 01844 0 9754 -0 0292 -0 01198 -0 0006086 0 0001711 0 0003985

-0 0001271 -0 0002021 0 009825 0 9998 -0 001113 -5 202 10"6 6 059 10"5 0 001014

-0 0006442 0 0124 0 0 0 9862 0 0 0001442 0 01381

-0 003035 -0 0006769 -0 0001388 -0 0001432 -0 0004761 0 9954 0 0

-0 6649 -2 021 -0 749 -1 18 -0 9897 -0 05202 0 0

-0 7587 -0 1692 -0 03469 -0 03581 -0 119 -0 1572 0 0

0 9959 -0 0001701 -0 0009358 -0 001023 0 005572 0 01975 1 698 0 7115

-0 001248 0 9946 0 007195 -0 0001598 -0 00115 0 002974 0 2287 0 1535

0 003114 -0 01651 0 9865 0 0004621 0 01104 -0 004157 -0 02124 -0 06646

0 0009071 0 0004571 -0 002899 0 9953 -0 00819 0 006493 -5 48 -1 223

-0 001239 -0 004594 -0 002913 -0 0006268 0 9905 -0 003993 22 7 1 848

-0 0006717 -0 0216 -0 0315 -0 06266 0 007809 0 9647 79 44 34 71

5 558 10"ь 4 835 10"ь -2 522 10"ь 0 0006601 0 002001 -0 001502 -0 08091 -0 05013

1 122 10"5 4 891 Ю-5 7 805 10"5 0 0001031 -0 0005779 -0 001997 -0 1794 -0 07335

0 9953 -0 01065 0 0009194 0 001878 0 001211 -0 0018 0 005824 0 002953

0 01093 0 9835 0 001251 0 001524 0 001613 -0 003523 0 01302 -0 004987

-0 004656 0 005729 0 9938 -0 0003104 -0 0007016 -0 003079 0 01889 0 009435

0 0032 -0 03714 0 009426 0 9808 -0 003764 0 005483 0 01575 -0 2312

-0 004986 0 09533 -0 01069 0 05927 0 9833 0 009611 -0 2954 0 9168

0 1371 -0 23 0 3707 -0 1227 -0 004499 0 805 -5 644 -2 599

0 01302 -0 007612 0 02119 -0 0378 -0 06662 0 1193 -0 3646 -0 1998

0 01882 -0 02973 0 05876 -0 01479 0 01373 0 2482 -0 778 -0 3508

Результаты моделирования замкнутых систем в условиях сдвига ветра и шумов измерений представлены вместе с результатами решения задачи в табл 5 1 и проиллюстрированы на рис. 5.2-5.7. При моделировании применялся типичный профиль ветра, описываемый моделью в форме вихревого кольца [98].

В заключение сформулируем основные выводы и перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. В диссертационной работе представлены новые методы синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядков) для управления дискретными линейными стационарными системами (ДЛСС) в условиях случайных возмущений. Новые методы синтеза регуляторов разработаны в результате распространения стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов.

2. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропий-ной нормы в терминах неравенств. Полученный результат применяется для проверки строгой ограниченности анизотропийной нормы ДЛСС заданным пороговым значением. Критерий имеет вид системы неравенств, состоящей из линейного матричного неравенства (ЛМН) и неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и скалярного параметра. Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств является ключевым результатом, который применяется для решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных (и 7-оптимальных) регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Такие регуляторы гарантируют ограниченность анизотропийной нормы замкнутой системы заданным пороговым значением или, соответственно, синтезируются для минимального порогового значения.

3. Разработан подход к решению задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Общая процедура синтеза регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух ЛМН относительно взаимнообрат-ных матриц, результирующая задача оптимизации не является выпуклой и требует применения алгоритмов поиска взаимнооб-ратных матриц. Матрицы параметров регулятора непосредственно входят в неравенства синтеза, что позволяет накладывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления или регулятора заданной структуры. Применением стандартных процедур овыпукления показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для некоторых классов объектов с определенными структурными свойствами. Для этих задач можно найти анизо-тропийные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. Предлагаемый подход на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации является новым и более привлекательным с точки зрения простоты и доступности реализации вычислительного аппарата для инженерных расчетов.

4. Получено решение многокритериальной субоптимальной задачи анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Общая процедура синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению системы неравенств относительно детерминантов положительно определенных матриц и ЛМН относительно взаимнообратных матриц. Результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Также приводятся решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов с размещением полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости, полученные применением известного критерия ^-устойчивости систем. Размещение полюсов в заданной области обеспечивает желаемое качество переходных процессов.

5. Представлено решение робастной задачи анизотропийного субоптимального управления для объекта с неструктурированной параметрической неопределенностью с ограниченной спектральной нормой методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Исходная задача синтеза для объекта с параметрической неопределенностью сводится к задаче синтеза для вспомогательного объекта с определенными параметрами, расширенным управляемым выходом, включающим выход неопределенности, и дополнительным входом неопределенности. Задача синтеза для вспомогательного объекта управления представляет собой задачу синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора и решается на основе результатов, полученных в диссертационной работе. Общая процедура синтеза ро-бастного анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и трех ЛМН относительно двух пар взаимнообратных матриц. Применение стандартных линеаризующих замен переменных позволяет сделать выпуклыми результирующие задачи оптимизации для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию (в случае полной информации о векторе состояния) и динамических регуляторов полного порядка по измеряемому выходу. В этих задачах синтеза можно учитывать ограничения на размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области для всех допустимых неопределенностей на основе известного критерия квадратичной Р-устойчивости систем с неопределенностью.

6. Методы решения задач синтеза субоптимальных и 7-оптималь-ных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике 7^2) Т^оо и И-ч/Иоо управлением, а замкнутые системы с ани-зотропийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Чайковский, Михаил Михайлович, 2012 год

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаим-нообратных матриц // АиТ, 2005, №1, с. 82-99.

2. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М: Физматлит, 2007.

3. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М: Оборонгиз, 1961.

4. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / / Управление большими системами. Выпуск 19. М.: ИПУ РАН, 2007, с. 23-126.

5. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

6. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // АиТ, 2006, №8, с. 92111.

7. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // ДАН, 1995, №3, с. 583-585.

8. Владимиров И.Р, Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем // АиТ,1999, т.

9. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема ^-оптимизации //ДАН, 1995, Т. 343, №5, с. 607-609.

10. Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды международного конгресса ИФАК, Т. 2. М.: АН СССР, 1961, с. 521-547.

11. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение задачи стохастической Ноо-оптимизации для линейной системы с неопределенностью // AuT, 2006, №8, с. 112-142.

12. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I—IV // АиТ, 1960, №4, с. 436-441; №5, с. 561-568; №6, с. 661-665; 1961, №4, с. 425-435.

13. Максимов Е.А. Разработка алгоритмов синтеза анизотропийных регуляторов для линейных стационарных систем с параметрической неопределенностью // Диссерт. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.

14. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

15. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

16. Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полетом в сложных условиях. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №074-95/01. М: Институт проблем управления РАН, 1995.

17. Разработка принципов автоматизации полета и исследования новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №053-93/01. М: Институт проблем управления РАН, 1993.

18. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизотропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации // ДАН, 2012, Т. 444, №6, с. 612-615.

19. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // АиТ, 2007, №9, с. 96-105.

20. Чайковский М.М. Вычислительные методы анизотропийного анализа и синтеза оптимального управления для систем с неопределенностью // Диссерт. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: ИПУ РАН, 2007.

21. Чайковский М.М. Анизотропийная е-оптимальная редукция дискретной линейной стационарной системы // АиТ, 2010, №12, с. 86-110.

22. Чайковский М.М. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Дифф. ур., 2012, Т. 48, №2, с. 156-158.

23. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Робастное управление переходными процессами в энергетических системах // Доклады Четвертой международной конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 2009.

24. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Нормализованная задача ани-зотропийной стохастической ТСоо оптимизации для редукции замкнутой системы методом сбалансированного отсечения // АиТ, 2010, № 5, с. 53-69.

25. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Оптимальный анизотропий-ный регулятор на основе наблюдателя Люенбергера минимального порядка // Труды 18-й Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика 2011", Львов, Украина, 2011.

26. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных неравенств // ДАН, 2011, Т. 441, №3, с. 318-321.

27. Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Оптимальная настройка ПИД-регуляторов для многосвязных билинейных объектов управления // АиТ, 2009, № 1, с. 130-146.

28. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

29. Ait Rami М., and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control // IEEE Trans. A C, 1996, Vol. 41, p. 1666-1671.

30. Ait Rami M., and Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls // IEEE Trans. AC, 2000, Vol. 45, p. 1131-1143.

31. Ait Rami M., Chen X., Moore J.B., and Zhou X.Y. Solvability and asymptotic behavior of generalized Riccati equations arising in indefinite stochastic LQ controls // IEEE Trans. AC, 2001, Vol. 46, p. 428-440.

32. Anderson B.D.O., and Moore J.B. Optimal control: Linear quadratic methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1989.

33. Andrievsky В., Peaucelle D., Fradkov A.L. Adaptive control of 3DOF motion for LAAS Helicopter benchmark: Design and experiments // Proc. IEEE American Contr. Conf., 2007, p. 3312-3317.

34. Apkarian P., Noll D., and Tuan H.D. Fixed-order TCoo control design via a partially augmented Lagrangian method // Int. J. of Nonlinear and Robust Contr., 2003, Vol. 13, p. 1137-1148.

35. Apkarian P., Pellanda P.C., and Tuan H.D. Mixed H^/Hoo multichannel linear parameter-varying control in discrete time // Syst. & Contr. Let., 2000, Vol. 41, p. 333-346.

36. Apkarian P. and Tuan H.D. Concave programming in control theory // J. of Glob. Opt, 1999, Vol. 15, p. 343-370.

37. Arzelier D. and Peaucelle D. An iterative method for mixed T^/^oo synthesis via static output feedback // Proc. IEEE Conf. Dec. Contr., 2002, p. 3464-3469.

38. Basar T. and Bernhard P. Hoo-optimal control and related minimax design problems: A game approach. Birkhauser, Boston, 1991.

39. Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000.

40. Bernstein D.S. Matrix mathematix: Theory, facts, and formulas with application to linear systems theory. New Jersey: Princeton University Press, 2005.

41. Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an Tioo performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293-305.

42. Boyd S.P. and ElGhaoui L. Method of centers for minimizing generalized eigenvalues. Lin. Alg. Appl, 1993, Vol. 188, p. 63-111.

43. Boyd S.P., El Ghaoui L„ Feron E., and Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control theory. SI AM, Philadelphia, PA, 1994.

44. Boyd S.P. and Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

45. Carpanese N. On the geometry of symplectic pencils arising from discrete-time matrix equations // Syst. & Contr. Let., 2002, Vol. 46, p. 181-185.

46. Chilali M. and Gahinet P. H.^ Design with pole placement constraints: an LMI approach // IEEE Trans. AC, 1996, Vol. 41, No. 3, p. 358-367.

47. Chilali M., Gahinet P., Apkarian P. Robust pole placement in LMI regions // IEEE Trans. AC, 1999, Vol. 44, No. 12, p. 2257-2270.

48. Chen X. and Wen J.T. A linear matrix inequality approach to the general mixed 7^2/^00 control problem // Proc. American Control Conf., 1995, p. 1443-1447.

49. Clements D.J. and Wimmer H.K. Monotonicity of the optimal cost in the discrete-time regulator problem and Schur complements // Automatica, 2001, Vol. 37, p. 1779-1786.

50. Cover T.M. and Thomas J.A. Elements of information theory. John Wiley and Sons, New York, 1991.

51. Datta B.N. Numerical Methods for Linear Control Systems Design and Analysis. Elsvier Academic Press, San Diego, California, 2004.

52. De Souza C.E. On stabilizing properties of solutions of the Riccati difference equation // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. AC-34, p. 13131316.

53. De Souza C.E., and Xie L. On the discrete-time bounded real lemma with application in the characterization of static state feedback H00 controllers // Syst. & Contr. Let., 1992, Vol. 18, p. 61-71.

54. Diamond P., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V., and Vladimirov I.G. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Hoo-optimiza-tion of control systems. Report 97-14• The University of Queensland, Australia, 1997, p. 1-22.

55. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28-42.

56. Dorato P. and Levis A.H. Optimal linear regulators: The discrete-time case // IEEE Trans. AC, 1971, Vol. 16, p. 613-620.

57. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 756-757.

58. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. Statespace solutions to standard 7^2 and 7~£oo control problems / / IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831-847.

59. Doyle J.C., Fransis B.A., and Tannenbaum A.R. Feedback control theory. Englewood Cliffs, N.J.: MacMillan, 1992.

60. El Ghaoui L., Oustry F., and Ait Rami M. A cone complementary linearization algorithm for static output-feedback and related problems // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 1171-1176.

61. Fares B., Apkarian P., and Noll D. An augmented Lagrangian method for a class of LMI-constrained problems in robust control theory // Int. J. Contr., 2001, Vol. 74, p. 348-360.

62. Francis B.A. A course in TCoo-control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

63. Fridman E. and Shaked U. Robust Ti^ minimum entropy static output-feedback control of singularly perturbed systems // Automatica, 2000, Vol. 36, p. 1181-1188.

64. Furuta K. and Phoojaruenchanachai S. An algebraic approach to discrete-time Ti^ control problems // Proc. 1990 American Control Conf., 1990, p. 2067-3072, San Diego, CA.

65. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based synthesis // Proc. Amer. Contr. Conf., 1994, p. 2396-2400.

66. P. Gahinet. Explicit controller formulas for LMI-based TLoo synthesis // Automatica, 1996, Vol. 32, p. 1007-1014.

67. Gahinet P. and Apkarian P. A linear matrix inequality approach to 7^ooControl // Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 1994, Vol. 4, p. 421-448.

68. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., and Chilali M. LMI Control Toolbox user's guide. The Mathworks Partner Series, 1995.

69. Glover K. and Doyle J.C. State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an Woo-norm bound and relations to risk sensitivity //Syst. & Contr. Let., 1988, Vol. 11, p. 167-172.

70. Gray R. Entropy and information theory. New York, Springer, 1990.

71. Green M. and Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

72. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., and Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Ti^ optimization // Int. J. Contr., 1989, Vol. 49, p. 1683-1723.

73. Gusev S.V. Minimax control under a bound on the partial covariance sequence of the disturbance // Automatica, 1995, Vol. 31, p. 12871301.

74. Gusev S.V. Minimax control under a restriction on the moments of disturbance // Proc. 34th IEEE Conf. on Decision and Control, New Orleans, USA, 1995, p. 1195-1200.

75. Gusev S.V. Method of moment restrictions in robust control and filtering // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, USA, 1996, p. 415-420.

76. Hassibi B., Sayed A.H., and Kailath T. Indefinite-quadratic estimation and control. A unified approach to H.2 and Tioo theories. SIAM, Philadelphia, 1999.

77. Hindi H.A., Hassibi B., and Boyd S.P. Multiobjective T^/'Hoo-optimal control via finite dimensional Q-parametrization and linear matrix inequalities // Proc. American Control Conf., 1998, p. 32443248.

78. Hung Y.S. and Chu D.L. Relationship between discrete-time and continuos time algebraic Riccati inequalities // Lin. Alg. Appl, 1998, Vol. 270, p. 287-313.

79. Hung Y.S. and MacFarlane A.G.J. Multivariable feedback: A quasi-classical approach, Vol. 40 of Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

80. Iglesias P.A., and Glover K. State-space approach to discrete-time H0o control // Int. J. Contr., 1991, Vol. 54, No. 5, p. 1031-1073.

81. Iglesias P. A. and Mustafa D. State-space solution of the discrete-time minimum entropy control problem via separation // IEEE Trans. AC, 1993, Vol. 38, p. 1525-1530.

82. Iglesias P.A., Mustafa D., and Glover K. Discrete time Tioo controllers satisfying a minimum entropy criterion // Syst. & Contr. Let., 1990, Vol. 14, p. 275-286.

83. Ionescu V., Oará C., and Weiss M. Generalized Riccati theory and robust control: A Popov function. John Wiley, New York, 1999.

84. Ionescu V., and Weiss M. On computing the stabilizing solution of the discrete-time Riccaty equation // Lin. Alg. Appl., 1992, Vol. 174, p. 229-338.

85. Ionescu V., and Weiss M. Continuous and discrete-time Riccati theory: A Popov function approach // Lin. Alg. Appl., 1993, Vol. 193, p. 173-210.

86. Iwasaki T. and Skelton R.E. All controllers for the general Hoo control problem: LMI existence conditions and state-space formulas // Automatica, 1994, Vol. 30, pp. 1307-1317.

87. Iwasaki T. and Skelton R.E. The XY-centering algorithm for the dual LMI Problem: A new approach to fixed order design // Int. J. Contr., 1995, Vol. 62, p. 1257-1272.

88. Ivan M. A ring vortex downburst model for flight simulation // J. Aircraft, 1996, Vol. 23, p. 232-236.

89. Nesterov Y. and Nemirovski A. Interior-point polynomial methods in convex programming / / SI AM Studies in Applied Mathematics, 1994, Vol. 13, Philadelphia, Pennsylvania.

90. Jacobson D.H. Extensions of Linear-Quadratic Control, Optimization and Matrix Theory. Academic Press, NY, 1977.

91. Jonkheere E. On the existence of a negative definite, antistabilizing solution to the discrete-time algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC, 1981, Vol. AC-26, p. 707-712.

92. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat. Mex., 1960, No. 5, p. 102-199.

93. Khargonekar P.P. and Rotea M.A. Mixed Hz/H-oa control: a convex optimization approach // IEEE Trans. AC, 1991, Vol. 36, p. 824-837.

94. Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC, 1975, Vol. AC-20, p. 509-516.

95. Kucera V. Stability of discrete linear feedback systems // Proc. IFAC World Congress, Boston, Massachussetts, 1975, paper No. 44-1.

96. Kurdyukov A.P., and Maximov E.A. State-space solution to stochastic Tioo-optimization problem with uncertainty // Proc. 16th IFAC World CongrPraha, Czech Republic, 2005.

97. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic TCoo optimization problem with uncertainty // Proc. 5th IFAC Symp. Robust Control Design, Toulouse, France, 2006.

98. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, p. 23912397.

99. Kurdyukov A.P., Pavlov B.V., Timin V.N., and Vladimirov I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear // Prep. 16th IF AC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Saint-Petersburg, 2004, Vol. I, p. 430-433.

100. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal flight control in a windshear // Prep. 17th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007.

101. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Model reduction according to minimum anisotropic norm performance // Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems: Book of Abstracts of E.S. Pyatnitskiy X Int. Workshop, Moscow, 2008, p. 166-167.

102. Kurdykov A.P., Tchaikovsky M.M., Misrikhanov M.S., and Ryabchenko V.N. LMI-Based robust controller design for power systems // Proc. Int. Conf. on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences, Genoa, Italy, 2008.

103. Kwakernaak H., and Sivan R. Linear optimal control systems. Wiley, New York, 1972.

104. Lancaster P., and Rodman L. Algebraic Riccati equations. Clarendon, Oxford, 1995.

105. Langer H., Ran A.C.M., and Temme D. Nonnegative solutions of algebraic Riccati equations // Lin. Alg. Appl, 1997, Vol. 261, p. 317352.

106. Lee K.H., Lee J.H., and Kwon W.H. Sufficient LMI conditions for Hoo output feedback stabilization of linear discrete-time systems // IEEE Trans. AC, 2006, Vol. 51, p. 675-680.

107. Leibfritz F. and Lipinski W. Description of the benchmark examples in COMPleib 1.0. Tech. rep. of the University of Trier, Germany, 2003, http://www.complib.de.

108. Limebeer D.J.N., Green M., and Walker D. Discrete time H oo control // Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control, Tampa, FL, 1989, p. 392-396.

109. Lofberg J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB // Proc. CACSD Conference, Taipei, Taiwan, 2004. Available from http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/.

110. Masubuchi I., Ohara A., and Suda N. LMI-based controller synthesis: A unified formulation and solution // Int. J. of Robust and Nonlinear Contr., 1998, Vol. 8, p. 669-686.

111. Maximov E.A., Kurdyukov A.P., and Vladimirov I.G. Anisotropy-based bounded real lemma for linear discrete time varying systems // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

112. Miradore R. and Ricci G. Mixed T^/^oo control: the discrete-time case // Syst. & Contr. Let., 2005, Vol. 54, p. 1-13.

113. Molinari B.P. The stabilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC., 1975, Vol. AC-20, p. 396-399.

114. Mustafa D. and Glover K. Minimum Entropy Hoo Control. SpringerVerlag, NY, 1991.

115. Mustafa D., Glover K., and Limebeer D. Solutions to the Hoo general distance problem which minimize an entropy integral // Automatica, 1991, Vol. 27, p. 193-199.

116. Nemirovskii A. and Gahinet P. The projective method for solving linear matrix inequalities // Math. Programming Series B, 1997, Vol. 77, p. 163-190.

117. Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.

118. Nesterov Yu. and Todd M.J. Self-scaled barriers and interior-point methods for convex programming // Mathematics of Operations Research, 1997, Vol. 22, No. 1, p. 1-42.

119. Noll D., Torki M., Apkarian P. Partially augmented Lagrangian method for matrix inequality constraints // SI AM J. on Opt., 2004, Vol. 15, p. 161-184.

120. Oara C. Generilized Riccati theory: A Popov function approach. Ph.D. Thesis, Polytechnic Univ. Bucharest, Bucharest, Romania, 1995.

121. Oliveira M.C., Geromel J.C., and Berbnussou J. An LMI optimization approach to multiobjective controller design for discrete-time systems // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, 1999, p. 27-38.

122. Ortega J.M.- and Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press, 1970.

123. Peaucelle D., Andrievsky B., Mahout V., Fradkov A.L. Robust simple adaptive control with relaxed passivity and PID control of a heicopter benchmarks // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

124. Peaucelle D., Fradkov A.L., Andrievsky B. Adaptive identification of angular motion model parameters for LAAS Helicopter benchmark // Proc. 3rd IEEE Multiconf Syst. Contr., Singapore, 2007, p. 825830.

125. Peaucelle D., Mahout V. 3D 'Helicopter' benchmark: Modeling // LAAS, Tech. Report No. 05454, 2005.

126. Polyak B.T. and Gryazina E.N. Hit-and-Run: Randomized technique for control problems recasted as concave programming // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

127. Polyak B.T. and Gryazina E.N. Markov chain Monte Carlo method exploiting barrier functions with applications to control and optimization // Proc. IEEE Multi-Conf. on Systems and Control, 2010, p. 1553-1557.

128. Poznyak A.S. Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Volumes 1,2: Deterministic Techniques, Stochastic Techniques. Elsevier, 2008, 2009.

129. Rotstein H. and Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed T^/'Hoo problems via convex optimization // IEEE Trans. AC, 1998, Vol. 43, 1475-1481.143144145146147148149150151

130. Ran A.C.M. and Vreugdenhil R. Existence and comparison theorems for algebraic Riccati eqations for continuous- and discrete-time systems // Lin. Alg. Appl., 1988, Vol. 99, p. 63-83.

131. Saberi A., Sanutti P., and Chen B.M. TL2 optimal control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995.

132. Scherer C.W. The general nonstrict algebraic Riccati inequality // Lm. Alg. Appl, 1995, Vol. 219, p. 1-33.

133. Scherer C.W. Multiobjective control. IEEE Trans. AC,1995, Vol. 40, p. 1054-1062.

134. Scherer C.W. An efficient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr. Let., 2000, Vol. 40. p. 43-57.

135. Scherer C.W. Robust controller design by output feedback against uncertain stochastic disturbances // Proc. 3rd IFAC Symp. on Robust Control Design, Prague, Czechia, 2000.

136. Scherer C.W. Multi-objective control without Youla parametrization 11 In Perspectives in Robust Control. Lecture Notes on Control and Information Sciences, 2001, Vol. 268, p. 311-325.

137. Scherer C.W., Gahinet P., and Chilali M. Multiobjective outputfeedback control via LMI optimization // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 896-911.

138. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., and Kurdjukov A.P. Stochastic approach to Hoo-optimization // Proc. 33rd Conf. Decision and Control, Florida, USA, 1994, Vol. 3, p. 2249-2250.

139. Silverman L. Discrete Riccati equations: Alternative algorithms, asymptotic properties, and system theory interpretations // Control Dynam. Systems, 1976, Vol. 12, p. 313-386.

140. Stoorvogel A.A. The Hqq control problem: A state space approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

141. Stoorvogel A.A. and Saberi A. The discrete algebraic Riccati equation and linear matrix inequality // Lin. Alg. Appl., 1998, Vol. 274, p. 317-365.

142. Stoorvogel A.A. and Saberi A. Continuity properties of solutions to TÍ2 and Hoo Riccati equations // Syst. & Contr. Let., 1996, Vol. 27, p. 209-222.

143. Sturm J.F. Primal-Dual Interior Point Approach to Semidefinite Programming, volume 156 of Tinbergen Institute Research Series. Thesis Publishers, Amsterdam, The Netherlands, 1997.

144. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones // Optimization Methods and Software, 1999, Vol. 11, p. 625-653.

145. Sun J.-G. Sensitivity analysis of the discrete-time algebraic Riccati equations // Lin. Alg. Appl., 1998, Vol. 275-276, p. 595-615.

146. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // AT&P J. Plus 2 (ISSN 13365010), 2009, p. 6-18.

147. Tchaikovsky M.M. Stochastic robust flight control under windshear by reduced-order anisotropic controller // Archives of Control Sciences, 2009, Vol. 19(LV), No.4, p. 385-422.

148. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // Proc. 17th International Conference on Process Control, Strbské Pleso, Slovakia, June 9-12, 2009, p. 14-27.

149. Tchaikovsky M.M. Static Output Feedback Anisotropic Controller Design by LMI-Based Approach: General and Special Cases // Proc. 2012 American Control Conf, Montreal, Canada, June 27-29, 2012.

150. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariantsystem // Proc. 15th Int. Conf. on Process Control, Strbske Pleso, Slovakia, 2005.

151. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On computing anisotropic norm of linear discrete-time-invariant system via LMI-based approach // Archives of Control Sciences, 2006, Vol. 16, No.3, p. 257281.

152. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On simplifying solution to normalized anisotropy-based stochastic Hoo problem // Proc. 6th IFAC Symp. Robust Control Design, Haifa, Israel, 2009, p. 161-166.

153. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Stochastic robust controller reduction by anisotropic balanced truncation // Proc. J^th IEEE Multiconf. Syst. Contr., Saint-Petersburg, Russia, 2009, p. 17721777.

154. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Anisotropy-based approximation of linear discrete time-invariant stochastic system // Proc. 4th Int. Scientific Conf on Physics and Contr., Catania, Italy, 2009.

155. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Reduced-order stochastic robust controller design for aircraft control in landing approach // Proc. 18th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Nara, Japan, September 6-10, 2010.

156. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Synthesis of anisotropic suboptimal controllers by convex optimization // Submitted to European J. of Contr. Preprint is available from http://arxiv.org/abs/1108.4982, 2011.

157. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

158. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma // Preprint. Available from http://arxiv.org/abs/1108.5140, 2011.

159. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Strict anisotropic norm bounded real lemma: A convex formulation // Submitted to IMA J. of Math. Contr. and Information, 2011.

160. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179-184.

161. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Tioo-optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congr., 1996, p. 427-432.

162. Whittle P. Risk-sensitive linear/quadratic/Gaussian control // Adv. Appl. Prob., 1981, Vol. 13, p. 764-777.

163. Whittle P. Entropy-minimizing and risk-sensitive control rules // Syst. & Contr. Let., 1989, Vol. 13, p. 1-7.

164. Willems J.C. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC, 1971, Vol. AC-16, p. 621-634.

165. Wimmer H.K. Strong solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation // Syst. & Contr. Let., 1989, Vol. 13, p. 455-457.

166. Wimmer H.K. Unmixed solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation // SI AM J. Contr. Optim., 1992, Vol. 30, p. 867878.

167. Wimmer H.K. Monotonicity and maximality of solutions of discrete-time algebraic Riccati equations // J. Math. Systems Estimat. Contr., 1972, Vol. 2, p. 219-235.

168. Wimmer H.K. Intervals of solutions of the discrete-time algebraic Riccati equations // Syst. & Contr. Let., 1999, Vol. 36, p. 207-212.

169. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. PID Controller tuning for bilinear continuous time invariant MIMO system // Proc. of 3rd IFAC Symp. on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

170. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. Optimal industrial controller tuning algorithms in view of constraints for stability margins // Proc. 13th IF AC Symp. on Information Control Problems in Manufacturing, Moscow, Russia, June 3-5, 2009.

171. Yaesh I. and Shaked U. Minimum entropy static output-feedback control with an T^oo-norm performance bound // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 853-858.

172. Ye Y., Todd M.J., and Mizuno S. An 0(v^£)-iteration homogeneous and self-dual linear programming algorithm // Mathematics of Operations Research, 1994, Vol. 19, p. 53-67.

173. Youla D.C., Jabr H.A., and Bongiorno J.J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II: the Multivariable case // IEEE Trans. AC, 1976, Vol. 21, p. 319-338.

174. Yu J. A new static output feedback approach to the suboptimal mixed T^/T^oo problem // Int. J. of Robust and Nonlinear Contr., 2004, Vol. 14, p. 1023-1034.

175. Zamcs G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. AC, 1981, Vol. 26, p. 301-320.

176. Zhou K., Doyle J.C., and Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.

177. Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., and Doyle J. Mixed H2 and 7Yoo performance objectives // IEEE Trans. AC, 1994, Vol. 39, I: Robust performance analysis, p. 1564-1574; II: Optimal control, p. 15751578.