Задача погружения и ее применения: индекс Шура, оптимальное управление тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Киселев, Денис Дмитриевич

• Киселев, Денис Дмитриевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Киселев, Денис Дмитриевич

Содержание

0 Введение

0.1 Актуальность темы

0.2 Цель работы

0.3 Методы исследования

0.4 Теоретическая и практическая ценность

0.5 Результаты автора по теме диссертации

0.6 Структура и объем диссертации

0.7 Апробация работы

0.8 Благодарности

1 Вспомогательные утверждения

1.1 Индекс Шура

1.1.1 Теорема Брауэра-Витта

1.1.2 Теорема Бенарда-Шахера

1.1.3 Результаты С. Д. Бермана об индексе Шура

1.1.4 Об одном результате Ю. Л. Баранника

1.2 Задача погружения

1.2.1 Алгебры Галуа

1.2.2 Подъем, спуск, сопутствующие задачи

1.2.3 Описание решений задачи погружения

1.2.4 Условие согласности, универсальная согласность

1.2.5 Условия погружения А. В. Яковлева

1.2.6 Об одной теореме Д. К. Фаддеева

2 Ультраразрешимые задачи погружения

2.1 Сингулярные и регулярные решения

2.2 Примеры

3 К теореме Голдшмидта-Айзекса

3.1 Исключительный случай р = 2

3.2 Новые достаточные условия

3.2.1 Об условии Фейна

3.2.2 Алгоритмический признак

3.2.3 Другой достаточный признак

3.2.4 Оценка индекса Шура над полем Q

4 Оценка индекса Шура

4.1 Описание главы

4.2 Доказательства теорем

4.3 Критерий согласности расширения

5 Линейная независимость корней многочлена

5.1 Введение

5.1.1 Иррациональная обмотка тора

5.2 Доказательство линейной независимости

5.3 Примеры

5.4 Обмотка тора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача погружения и ее применения: индекс Шура, оптимальное управление»

О Введение

0.1 Актуальность темы

Настоящая диссертационная работа посвящена во многом изучению как взаимосвязей между фундаментальным понятием индекса Шура (см. [62]) неприводимого комплексного характера конечной группы и разделом теории Галуа, известным как задача погружения (см. [16]) так и доказательству отдельных новых результатов в каждой из перечисленных областей.

Представляет довольно большой интерес построение оценок индекса Шура неприводимого комплексного представления конечной группы относительно поля рациональных чисел. Существует множество подходов к решению данной проблемы. Все они так или иначе используют различные редукционные средства (наиболее важным из них является, пожалуй, теорема Брауэра-Витта (см. [46, theorem 74.38]), и получаемые оценки могут быть трудно вычислимы, если про строение группы известно не очень много. Однако на практике приходится сталкиваться с необходимостью нетривиально оценивать индекс Шура "равномерно" по всем конечным группам заданного порядка или экспоненты и т.п. Такие "равномерные оценки" уже могут быть вычислены практически без использования какой-либо информации о внутреннем строении данной группы

(во многом это относится к таблице характеров а также к р-локальному строению). Представляет интерес помимо оценок индекса Шура еще и нахождение по возможности меньшего по размерности над Q поля алгебраических чисел, в котором данное неприводимое комплексное представление реализуется. Например, вопрос существования такого поля в n-круговом поле, где п- порядок или экспонента группы, весьма нетривиален [61]. Проблемам "равномерных" оценок индекса Шура посвящены главы 3,4.

С другой стороны, теория задач погружения предоставляет дополнительные средства для исследования индекса Шура, так как хорошо известное условие согласности Фаддеева-Хассе (см. [5] а также [54, 55]) для задач погружения с абелевым ядром представляет собой по существу критерий равенства индекса Шура единице над фиксированным полем. Такая точка зрения используется в главе 3 для упрощения некоторых доказательств а также в главе 4 уже по существу. Можно, однако, на основании результатов из теории индекса Шура исследовать некоторые вопросы теории погружения. Примеры этому приводятся в главе 4.

Существует довольно интригующая проблема в теории погружения, касающаяся решений таких задач. В теории задач погружения решения наиболее естественно искать в классе алгебр Галуа. Это дает возможность особенно в случае абелева ядра использовать аппарат гомологической алгебры. Именно на этом пути A.B. Яковлевым (см. [41]) было найдено необходимое и,достаточное условие существования решения задачи погружения в случае абелева ядра. Наиболее значительным применением теории погружения стало доказательство теоремы И. Р. Шафаревича о реализуемости конечной разрешимой группы в виде группы Галуа относительно произвольного поля алгебраических чисел (см. [36]-[39]). Это оказалось возможным потому, что в глобальных полях разрешимость задачи погружения с абелевым (теорема Д. К. Фаддеева-А. Шольца [16, Гл. 3.§6, теорема 3.6]) и, более общо, нильпотентным ядром (см. [15]) в смысле алгебр Галуа равносильна разрешимости в смысле полей. Последнее, к сожалению, возможно далеко не всегда. Простейший пример -задача погружения конечного расширения конечных полей в поле с нециклической группой Галуа. Более сложный пример - погружение конечного р-расширения р-локальных полей в поле с р-группой Галуа, число образующих которой больше числа образующих группы Демушкина (см. [7],[9],[10]) основ-

ного поля. В связи с этим представляет интерес проблема построения разрешимых задач погружения, все решения которых заведомо являются полями. Глава 2 полностью посвящена данному вопросу.

Наконец, в теории Галуа можно ставить естественный вопрос о размерности линейной оболочки над полем к корней сепарабельного многочлена f(x) £ к[х]. Довольно примечательно, что такая проблема имеет связи с теорией оптимального управления. В главе 5 приводятся некоторые общие результаты по данному вопросу а также изучаются частные случаи, имеющие отношение к задачам оптимального управления. Весьма примечательно, что и здесь используются некоторые результаты теории задач погружения.

0.2 Цель работы

Целью диссертации является построение равномерных оценок индекса Шура неприводимых комплексных представлений конечных групп заданной экспоненты или заданного порядка а также оптимальной равномерной оценки индекса Шура на классе конечных групп с известными простыми делителями . порядка; построение бесконечной нетривиальной серии примеров задач погружения, у которых все решения являются полями; решение проблемы М. И. Зеликина-Л. В. Локуциевского1 в некоторых частных случаях.

0.3 Методы исследования

В работе использованы методы алгебраической теории чисел, теории Галуа, теории погружения, гомологической теории, теории представлений конечных групп, теории индекса Шура.

0.4 Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории погружения, теории представлений конечных групп, теории оптимального управления. Материалы диссертации могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории погружения и ее применениям в теории индекса Шура.

И. Зеликин, Л. В. Локуциевский. Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277, (2012), 74-90, гипотеза 1.

0.5 Результаты автора по теме диссертации

Перечислим основные результаты, полученные автором. Все перечисляемые результаты являются новыми и составляют научную новизну диссертации.

Теорема 0.1 использует локальную двойственность Тейта (см. [16, теорема Д.3.2]). Понятие сингулярных и регулярных решений вводится в определении 2.3.

Теорема 0.1. Рассмотрим разрешимую задачу (К/к, О, <р, Ы) с абелевым ядром N. Обозначим Р = Од1(К/к). Пусть к-локальное поле. Фиксируем собственную подгруппу (если существует) А группы N, нормальную в С. Тогда любая фиксированная система представителей (по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в узком смысле сингулярных решений задачи (К/к, С?/А, ср1, N /А) находится в биективном соответствии с элементами группы

Нот^А, К*)/(Нот^АТ, К*)/Ъ.отР(Ы / А, К*)).

Рассмотрим конечное расширение Галуа глобальных полей Е/Ь. Фиксируем конечное множество 5 неархимедовых точек поля Е, соответствующие пополнения по которым полей Е и Ь (после ограничения точки поля Е), задают разветвленные расширения. Положим Се, б := ¿е!где Уе,б — П

а Ур- группа единиц р-пополнения поля Е. Штрих обозначает переход к двойственной группе.

Аналогичными теореме 0.1 рассуждениями, но только с применением глобальной двойственности Тейта (см. [16, следствие к теореме Д.3.5]), доказывается следующая

Теорема 0.2. Рассмотрим разрешимую задачу (К/к, (£>, ./V) с абелевым ядром N. Обозначим Р — Са1 (К/к). Пусть к-глобальное поле. Пусть 5-конечное множество точек поля К, содержащее все простые делители экспоненты N а также все разветвленные точки поля К над к. Фиксируем собственную подгруппу (если существует) А группы N. нормальную в С. Тогда любая фиксированная система представителей (по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в

узком смысле сингулярных решений задачи (K/k, G/A, </?i, N/A) находится в биективном соответствии с элементами группы

(Нот Р(А, С к, s)/ (Hom^(iV, Ск,3)/ЯотР(М/А, CKis)))'.

Следующая теорема является ключевой в построении бесконечной нетривиальной (т.е. ядро любой такой задачи не должно содержаться в группе Фрат-тини объемлющей группы) серии ультраразрешимых (см. определение 2.1) задач погружения.

Теорема 0.3. Рассмотрим ультраразрешимую задачу (К/к, G, (р, N). Поднимем ее до задачи (L/k, G Хр Fi, Тр, N), где F = Qdl(K/k), F\ = Gd\(L/k). В указанных ниже достаточных условиях поднятая задача будет ультраразрешимой: либо (1) композиционные факторы группы Gal(L/K) являются неабелевыми простыми группами, а все подгруппы группы N нормальны в N; либо (2) группа Gai (L/K) разрешима, а N совпадает со своим коммутантом.

По-видимому не существует примеров задач погружения, удовлетворяющих условию (2) теоремы 0.3, однако доказать или опровергнуть это утверждение весьма непросто. В диссертации рассматриваются случаи, когда ядро N является знакопеременной группой степени не ниже 4 или группой Ь2(р2) для всех простых р. В этих случаях действительно не существует примеров ультраразрешимых задач погружения.

Теорема 0.4. Пусть (К/к, G, N) -разрешимая задача погружения над произвольным полем к. Если N-знакопеременная группа степени не ниже 4 либо группа /^(р2) для некоторого простого р, то в качестве решения всегда можно выбрать алгебру Галуа, не являющуюся полем.

Задачи погружения, удовлетворяющие условию (1) теоремы 0.3, построить можно, и на этом основана следующая

Теорема 0.5. Существует семейство неабелевых простых групп (5, являющееся бесконечным, и такое, что для произвольной группы N\, композиционные факторы которой принадлежат задача погружения для произвольного расширения

1 -> iVi -► F = Gal(Q(\/3)/Q) -> 1

имеет поле-решение L. В частности, задача (L/Q, QsX-fFi, N) является ультраразрешимой, но при этом N ^ Ф(£?8 XF Fi)-

Следующая теорема строит "равномерную" оценку индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп порядка (или экспоненты) п.

Теорема 0.6. Пусть G-конечная группа порядка (или экспоненты) п, а т - порядок какой-нибудь максимальной циклической подгруппы в группе Z*. Если п ф 4, то m<q>(x) | для любого х £ IrrG.

В связи с теоремой 0.6 вводится и изучается понятие согласного кругового расширения (см. определение 4.1) и доказывается критерий согласности расширения (см. предложение 4.2). Приводится пример согласного нециклического расширения (см. пример 4.1).

Следующая теорема посвящена Э. Галуа.

Теорема 0.7. Рассмотрим конечную группу G нечетного порядка п. Пусть далее п — р^1 ... pkss - каноническое разложение числа п на простые множители. Обозначим т — pi.. .ps. Если правильный т-угольник допускает построение с помощью циркуля и линейки, то для любого характера х £ Irr G имеем mq(x) = 1-

Нередко на практике возникает потребность оценить индекс Шура неприводимого комплексного характера некоторой конечной группы, про которую известна лишь информация о простых делителях порядка. В таком случае естественная оценка является оптимальной.

Теорема 0.8. 2 Рассмотрим для конечного множества простых чисел -к класс конечных групп вида

<5* |G| = JJ ptp, tp € N}.

pGir

Если 17г| > 1. либо тт = {p ф 2}; то оптимальной равномерной оценкой индекса Шура над полем Q неприводимых характеров групп класса является

I [{(Р - 1), : Р е тг, р ф 2}] VG G VX G IrrG.

2 Для натуральных чисел aj,..., а^ символом [ai,.... a/t] обозначается их наименьшее общее кратное.

Если же 7г = {2}, то

т®{Х) |2,УСеб„ УХе1ггС.

Наконец, результаты главы 5 посвящены оценке снизу размерности векторного пространства над полем к, порожденного корнями некоторого многочлена из кольца к[х]. В следующей теореме Щ(х) обозначает обобщенный многочлен Чебышева-Лагерра степени п (см. определение 5.1).

Теорема 0.9. Пусть а Е 0 \ %<<о, либо а = 1 — п — г для некоторого г £ Тогда для всех натуральных п, кроме, быть может, конечного числа, любая система из корней многочлена квадраты любых двух

элементов которой различны, линейно независима над (Ц).

В следующей теореме Нп(х) обозначает многочлен Чебышева-Эрмита степени п.

Теорема 0.10. При п > 12 многочлены П2П(х) и ^Н2П+\{х) удовлетворяют свойству: для каждого указанного многочлена любая подсистема из его корней, квадраты любых двух элементов которой различны, линейно независима над (Ц).

Представляется весьма любопытным, что задача об оценке снизу размерности векторного пространства, порожденного над к корнями некоторого многочлена из к[х], находит свое применение в теории задач оптимального управления.

Теорема 0.11. Для натурального п ^ 2 можно построить многомерную задачу оптимального управления, имеющую в качестве решения траекторию в виде логарифмической спирали, проходимой полностью за конечное время, а в качестве управления- траекторию в виде всюду плотной обмотки -мерного клиффордова тора, которая проходится за конечное время (точнее та ее половина, что соответствует положительному направлению времени), если многочлен К{х) степени п — 1. определяемый из условия

^ 2 п

И(х2) = — 1т ТТ(г£ + ])■> х 11 з=1

имеет относительно поля <0> группу Галуа, содержащую 1 (после канонического вложения в 5„_1). В частности, это так при п ^ 15.

0.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и 5 глав. Главы подразделяются на разделы и подразделы. В главах 2,4 подразделы отсутствуют. В главе 1 излагаются некоторые известные результаты в проблеме погружения и теории индекса Шура, многократно используемые в диссертации. За исключением вводной части главы 5 (раздел 5.1) все результаты глав 2-5 получены диссертантом самостоятельно.

Диссертация написана на 121 странице. Список литературы состоит из 63 наименований.

0.7 Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры (2011-2013 гг.), на семинаре "Избранные вопросы алгебры" кафедры высшей алгебры (2009-2013 гг.) а также на семинаре "Геометрические методы в теории оптимального управления" кафедры общих проблем (октябрь, 2012 г.) управления механико-математического факультета МГУ. Результаты главы 3 докладывались на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультете МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалева (Москва, 15-18 ноября 2010 г.) а также на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, ноябрь 2011 г.). Результаты главы 5 докладывались на международной конференции "Алгебра и комбинаторика", посвященной 60-летию чл.-корр. РАН профессора А. А. Махнева (Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г.).

По теме диссертации автором опубликованы 4 работы в журналах ВАК (работы [20]-[23]). В работе [21] соавтором написано введение, проверено условие согласности в задаче погружения квадратичного расширения поля с характеристикой отличной от двух в поле с кватернионной группой восьмого порядка, а также сделаны замечания по поводу универсально разрешимых задач погружения. Остальная часть работы [21] выполнена диссертантом самостоятельно.

В работе [20] в формулировке теоремы 1.4 (и, как следствие, теоремы 2.1) допущены опечатки, не влияющие на правильность доказательства. Формулировка теоремы 3.2 настоящей диссертации есть корректное исправление фор-

мулировок указанных выше теорем. В работе [21] доказательство леммы 1 не является полным, поэтому в диссертации теорема 0.4 и, как следствие, теорема 2.3 имеют измененные формулировки по сравнению с исходной работой. По поводу спорадических ядер сформулировано замечание 2.1.

0.8 Благодарности

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить: к.ф.-м.н. доцента И. А. Чубарова за научное руководство, внимание к работе и посильную помощь; д.ф.-м.н. профессора A.B. Яковлева за исключительно полезные обсуждения по теории задач погружения и "бесконечномерную" отзывчивость; д.ф.-м.н. старшего научного сотрудника ПОМИ РАН Б. Б. Лурье за некоторые соображения по поводу главы 2 и предложение работать в соавторстве; д.ф.-м.н. профессора Э.Б. Винберга за рекомендацию заметки [23] в УМН; чл.-корр. РАН д.ф.-м.н. профессора М. И. Зеликина и к.ф.-м.н. Л. В. Локуци-евского за интересную постановку задачи из главы 5.

Диссертационная работа посвящается любимой бабушке Грибушиной Людмиле Ивановне, ушедшей в лучший мир 26.07.2012.

Глава 1 Вспомогательные утверждения

1.1 Индекс Шура

1.1.1 Теорема Брауэра-Витта

В данном подразделе все поля, если не оговорено противное, предполагаются полями нулевой характеристики. Под еп будет пониматься примитивный корень степени п из единицы. Иногда, если ясно из контекста, будем просто писать е. G всегда будет обозначать конечную группу.

Определение 1.1. Пусть А := (К(е)/К, /)-скрещенная алгебра с множеством факторов /, где К(е)/К-расширение Галуа над произвольным полем К нулевой характеристики, е-примитивный корень некоторой степени из единицы. Если Im / С (е), то А называют циклотомической алгеброй (или алгеброй деления круга).

Наша основная цель в данном подразделе-доказать, что любая простая центральная РГ-алгебра, которая является простой компонентой в разложении групповой алгебры KG некоторой конечной группы G, эквивалентна некоторой циклотомической алгебре.

Введем обозначение: А(К, х) ~ простая компонента групповой алгебры KG конечной группы G.

Определение 1.2. Пусть п = exp G, р-простое число. Говорят, что подгруппа Н ^ G является (К, р)-элементарной, если Н = (а) \Р, где (а) -р'-группа, Р-р-группа. Более того, требуется

Vг Е Ъа сопряжено с аг <3- £п алгебраически сопряжен с егп над К.

Следующая теорема используется в приводимом ниже доказательстве теоремы Брауэра-Витта а также представляет самостоятельный интерес. Доказательство см. в [46, theorem 74.29].

Теорема 1.1 (Э. Витт, С. Д. Берман). Пусть р-простое число, г Е Z : (г, р) = 1. Тогда г • 1 q является Ъ-линейной комбинацией характеров pf, где {цг} - некоторые К-характеры (т.е. характеры представлений соответствующей группы над полем К) некоторых (К, р) -элементарных подгрупп в G.

Лемма 1.1. Пусть р-простое число ( Е IrrG. Пусть далее, F-поле в башне К{() С F С К(£т), где (РГ(ет) : F) = ps. Тогда найдется такая (Р, р)-элементарная подгруппа Н ^ G, £ Е Irr Н : р \ ((я, £)я> Р(£) = F.

Доказательство. Пусть г-р'-часть числа \G\. Тогда по теореме 1.1 получаем: г-Iq = где цг-F-xарактер некоторой (Р, р)-элементарной подгруппы

г

Нг ^ G. Далее,

г ' С = Y2 = S

г г

Положим для Н ^ G, £ Е Irr Н Тгр(^) '■= Y2 . Тогда любой ха-

a£Ga\(K(sm)/F)

рактер fi группы Р, лежащий в Р, является Z-линейной комбинацией таких

"следов" Тгр(£), £ G IrrН. Применяя это к #г, получим:

г ■ С = bi GZ^iG 1ггЯг г = (С, =

г г

= Е6*Кяг,ТгИ&))яг

г

в силу закона взаимности Фробениуса. Но (£#г, £г-)<з = (Снг, £')<? для любого характера F-сопряженного к ибо (#г лежит в F. Если di := (-Р(£г) : F), то существует ровно di таких F-сопряженных характеров. Поэтому г = ^2 (Снг) £,г)Нг- Так как р { г, то найдется такое j, что р \ dj((H}, Cj)- Заметим

г

теперь, что di = ^ G Z^o- Откуда = 1.

Итак, -Р(^) = F, р\ (Chj, €j)Hj, что и требовалось. □

Лемма 1.2. Пусть £ G IrrG, -fi(C) — К. Пусть далее, С, — ф° для некоторого линейного характера ф группы N<G. Положим $ := Gal(K (ф) / К): Gq := {х G G | хф = т(х)ф, т(ж) G (здесь обозначено хф(п) := ф(хпх~1)М п G А/"). Положим, наконец, фо := Тогда фо G IrrGo, К(фо) = К, про-

стая компонента А(К, ^о) алгебры KGq является циклотомической алгеброй (К(ф)/К, /) для некоторого множества факторов /.

Доказательство. Разобьем доказательство на несколько шагов.

Шаг i. Пусть сначала G Irr 7V (не обязательно линейный). Заметим, что

(хф)п = ф(пх), {ху)ф=х (уф).

d

Имеем: G = U АГж*. Так как С = Ф° G IrrG, то I(^) = 7V (здесь I(^)

г=1

обозначает подгруппу инерции характера z/>). Это означает, что все характеры из набора {х'ф } попарно различны. Более того, по теореме Клиффорда d ' d £ = ф° = где -0° := . В частности, £дг = XI ХгФ-

i=l г=1

Заметим теперь, что отображение х т(х) задает гомоморфизм групп

t

Go —> $ с ядром А/". Положим Со = |J где t = (Go : А/"). Пусть также

г=1

Ti \= r(xi) G Тогда Gq/N = { гг,..., rt} ^ Полагая фо := фс°, докажем.

что фо G Irr G0, К(фо) = К { ть ..., rt } =

t t

Итак, фо = Х1Ф = тг ' Ф°■ Более того,

г=1 ¿=1

тгфо = Фо, Vi, г, G Gal(tf ИО/ЯШ).

Обратно, если а Е Ог1(К (ф) / К (фо)), то а ■ фо = фо, причем а • ф = т^ ■ ф для некоторого г. Поэтому о = Т{. Так как £ = ф° Е 1ггС, то фо £ 1ггСо- Значит, {т1,...,п} = С^(К(ф)/К(ф0)).

Достаточно теперь доказать, что К(фо) = К. Пусть <т £ тогда а • С = С Иными словами, сг переставляет С-сопряженные характеры {Хгф \ г = 1, где д = (С : ./V). В частности, о • ф — Хгф для некоторого г. Но тогда Х{ Е Со, откуда вытекает равенство а = т*. В итоге ва \(К (ф) / К (фо)) = Са1(К(ф)/К) => К(ф0) = К.

Шаг 2. Теперь будем считать, что ф( 1) = 1. Итак, Со = ЦЛ^, £ = (Со :

г

Ы). Можно также записать, что Х{Х^ = п^х^^, где п^ £ N, тт(г, у) Е 1, Положим /: ^ х 5 —> (значения ф) по правилу: /Т1)Т := ф(пг, ^ £ 1, Тогда / образует множество факторов со значениями в некоторой конечной циклической подгруппе, порожденной каким-то примитивным корнем из единицы.

г

Построим циклотомическую алгебру (Ь/К, /) = ф Ьщ, где Ь = К(ф),

г=1

= (т,-а)г^, где а Е I/. Осталось доказать, что -0О) =

/)•

Так как т/>(1) = 1, то можно Ь рассмотреть как простой левый KN-мoJ\yлъ,

где п Е N действует на Ь как левое умножение на ф(п). Таким образом,

Ь порождает представление ф на N. фо порождается тогда (ибо фо = фс°)

г

модулем V = КСо ®ки Ь = @ Х{ ® Ь. Заметим, что А(К, фо) = (КСо)/-

г=1

алгебра левых умножений на V. (КСо)г натянута над К на ¿2 произведений вида г, у £ 1, Но тогда ^ С другой стороны,

найдется эпиморфизм (ХСо)/ —>• (Ь/К, /), где !->■ щ, щ !->• а. Но тогда = (Ь/К, /) ^о) = (Ь/К, /). □

Применим результаты к (К, р)-элементарной группе С, £ £ 1ггС : К(£) = К. Наша цель состоит в доказательстве того, что С = фс для некоторого линейного характера ф некоторой подгруппы N ^ С, причем фн лежит в К для некоторой подходящей подгруппы Н ^ С, Н ^ N.

Лемма 1.3. Пусть С = (а) X Р-(К, р)-элементарная группа, где (а) -р'-группа, Р -р-группа. Положим £ Е 1ггС : К((/) — К. Тогда найдется башня подгрупп N ^ Н ^ С, характер ф Е 1п N : ф(1) = 1 такие, что:

(1 )( = фс, (а) ^ N < Н]

(2) любой Н-сопряженный характер к характеру ф является сопряженным в смысле Галуа над полем К

(3) К(фн) - К.

Доказательство. Проведем индукцию по порядку группы G. Пусть Т-такая нормальная подгруппа в G с условием минимальности, что £ = 6G для некоторого 9 Е Irr Т с условием совпадения понятий С-сопряженного к 9 характера и Галуа-сопряженного над К к 9 характера.

Так как G удовлетворяет условию на Т, то такая подгруппа необходимо найдется. Если 0(1) = 1, то выберем N = Т, Н = G, ф = 9.

Итак, можно считать, что 0(1) > 1. Так как G-M-группа (см. [26]), то 9 - результат индуцирования с некоторой собственной подгруппы в Т. Отсюда заключаем, что 9 = рт для некоторого р G IrrS1, S < Т, (Т : S) = р. Так как £ = 9G = pG, то (а) ^ S. Поэтому S < Т.

Построим теперь Е < G, X G Irr Е такие, что £ = XG, К(А) = К. Если данное построение можно осуществить, что по индукции лемма будет доказана.

Итак, S<T, (Т : S) = р, 9 = рт G Irr Т. Заметим, что 9\T_S = 0. Заменим S на некоторую подгруппу То < Т также индексар с условием Tq<\G. Для этого рассмотрим X = Пяес Х^ ^ Более того, (о) ^ X, поэтому G/X-p-группа. Можно выбрать Tq<G : X ^ Tq < T<G, причем (Т : То) = р. Так как 9\T_S = 0, то любой G-сопряженный к 9 характер является Галуа-сопряженным к 9. Это означает, что 9\т_х = 0. Но тогда 9\т_т = 0. Сосчитаем скалярный квадрат характера 9т0 ■

По теореме Клиффорда 9т0 является суммой р различных Т-сопряженных характеров к некоторому характеру ip (Е Irr То, причем в = (рт. Но это означает, что С = (fG.

Из условия минимальности подгруппы Т получаем, что Ga\(K(ip)/K) не транзитивна на множестве G-сопряженных характеров к ip. Положим, наконец,

Е := {х £ G | х<р> = т(х) ■ <р>, для некоторого т(х)

е Gal{К(ф)/К)}.

По доказанному (а) ^ Tq ^ Е ^ G, To<G. Из шага 1 доказательства леммы 1.2 получаем, что K(ipE) = К, причем £ = ((¿г6')6' = <pG, (рЕ G IrrE1. Теперь уже можно применить индукцию. □

Определение 1.3. Будем обозначать В(К)р группу р-кручения в группе В{К).

Ясно, что любая конечномерная центрально-простая ^-алгебра (входящая в разложение некоторой групповой алгебры конечной группы над полем К) расщепляется в некотором конечном расширении L/K. Это означает, что V х Е В (К) однозначно представим в виде произведения элементов р-кручения для различных р.

Лемма 1.4. Пусть Н ^ G, £ Е Irr Я, £ Е IrrG, причем ((н, £)я > 0. Пусть далее поле К удовлетворяет условию: К(£) = К(() = К. Пусть А(К, £), £) - простые компоненты групповых алгебр KG, КН, соот-

ветственно. Тогда [А(К, = [А(К, в В(К) для любого простого числа р такого, что р \ (£я, Он-

Доказательство. Шаг 1. Пусть г = (£#, £), р-простое число со свойством р \ г. Обозначим также е-примитивный корень степени expG =: п из единицы. В этих обозначениях найдется единственное поле F в башне К С F С К(е), где р \ (F : К), (К(е) : F) = ps. Так как К (С) = К(£) = К по условию, то корректно рассматривать классы [А(К, £)], [А(К, £)] в В(К). Более того, F ®к А(К, () ^ A(F, (). Аналогично С) = A(F, (). Заметим,

что Х(г)-поле разложения рассматриваемых алгебр. Также очевидно, что index [A(F, £)], index [A(F, £)] являются степенями p.

Заметим, что если [A] Е В(К)Р : [F <£>к А] = [1], то р f index [А]. Поэтому достаточно доказать, что [A(F, £)] = [A(F, £)] в B(F).

Шаг 2. Пусть G\, Gi~ конечные группы. Заметим, что FG\ FG2 = F(G\ х G2). Поэтому A(F, (\)®fA(F, (2) — A(F, (1(g)(2) в смысле тензорного произведения представлений. Используя контраградиентные представления, получаем A(F, () ^ A(F, ()ор. Вспомним, что [A(F, ()ор] = [A(F, С)]"1. Но тогда A(F, () ®F A{F, С) = MZ(F), где I = dimF A(F, ().

В итоге можно заключить, что представление с характером ((<S>() Е Irr(Gx G) реализуется над полем F. Далее, характер (£ <8> £) £ Irr(üT х G) лежит в

F. Поэтому mF(£ ® С) I (£ ® С, Ся <8> С )hxG- Но (f ® С, Ся <8> С)яхс = К, Ся)я • (С, C)g = г. Значит, (mF(f ® С), р) = 1. Однако, f <g> С) = 0

С)- Поэтому index [Л(F, £ <8> £)] является степенью числа р. Но тогда тР(£ <g> С) = 1, поэтому £ <8> С)] = [1] в B(F).

Итак, £)] = [A(F, С)] в 5(F), что и требовалось. □

Теорема 1.2 (Р. Брауэр, Э. Витт). Пусть С Е IrrG, К-поле алгебраических чисел такое, что К(Q = К. Пусть далее для всякого простого числа р определено поле F С К(е), отвечающее по соответствию Галуа си-ловской р-подгруппе в Gal(Ä"(e)/К). Тогда существует (F, р)-элементарная подгруппа Н ^ G, характер £ Е Irr Н, нормальная подгруппа N < Н, характер ф £ Irr N : ф(1) = 1 такие, что выполнены следующие условия:

(1М(Ся, Оя, F(0 = F-,

(2) £ = фн, причем любой Н-сопряженный характер к характеру ф является Галуа-сопряженным к ф над полем F\

(3) A(F, £) = (F{$)/F, /), где множество факторов f принимает значения в корнях из единицы поля Р(ф)]

(4) [A(F, С)] = [A(F, 0] - ШФ)/F, /)] в B(F);

(5)р-часть числа тк{С) Va6Ha числу mF(£).

Доказательство. По лемме 1.1 найдутся (F, р)-элементарная подгруппа Н\ группы G, и Е 1ггЯь такие что р \ (£, F(£i) = F. Теперь применим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Киселев, Денис Дмитриевич, 2013 год

Список литературы

[1] Ю.Л. Баранник, "О телах, возникающих в разложении рациональных групповых алгебр конечных групп порядка paq^\ Изв. вузов. Матем., 187:12, (1977), 13-18.

[2] М.И. Башмаков, "О задаче погружения полей", Мат. заметки, 4:2, (1968), 137-140.

[3] С. Д. Берман, "Представления конечных групп над произвольным полем и над кольцами целых чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 30 (1966), 69-132.

[4] З.И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, М., 1972.

[5] Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, "Исследования по геометрии теории Галуа", Мат. сб., 15:2, (1944), 243-284.

[6] С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич, "Задача погружения для локальных полей", Изв. АН СССР, сер. матем., 23:6 (1959), 823-840.

[7] С. П. Демушкин, "Группа максимального р-расширения локального поля". Изв. АН СССР, сер. матем., 25:3 (1961), 329-346.

[8] С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич, "Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 26:6 (1962), 911-924.

[9] С. П. Демушкин, "О 2-расширениях локального поля", Сиб. мат. ж., 4:4 (1963), 951-956.

[10] С. П. Демушкин, "Топологические 2-группы с четным числом образующих и одним полным определяющим соотношением", Изв. АН СССР, сер. матем., 29:1 (1965), 3-10.

[11] Н. В. Дуров, "Вычисление группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. I", Записки научных семинаров ПОМИ, 319, (2004), 117198.

[12] Н. В. Дуров, "Вычисление группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. II", Записки научных семинаров ПОМИ, 321, (2005), 90-135.

[13] М. И. Зеликин, JI. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИ АН, 277, (2012), 74-90.

[14] Н. П. Зяпков, А. В. Яковлев, "Универсально согласные расширения Галуа", Зап. научн. сем. ЛОМИ, 71 (1977), 133-152.

[15] В. В. Ишханов, "О полупрямой задаче погружения с нильпотентным ядром", Изв. АН СССР, сер. матем., 40:1 (1976), 3-25.

[16] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задача погружения в теории Галуа, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1990.

[17] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "О задаче погружения над р-расширением", Алгебра и анализ, 9:4 (1997), 87-97.

[18] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "О задаче погружения с ядром PSL(2, р2)", Зап. научн. сем. ПОМИ, 349, (2007), 135-145.

[19] Д. Касселс, А. Фрелих, Алгебраическая теория чисел, Мир, М.. 1969.

[20] Д. Д. Киселев, "Поля разложения конечных групп", Изв. РАН. Сер. мат., 76:6, (2012), 95-106.

[21] Д. Д. Киселев, Б. Б. Лурье, "Ультраразрешимость и сингулярность в проблеме погружения", Зап. научн. сем. ПОМИ, 414, (2013), 113-126.

[22] Д. Д. Киселев, "Об оценке индекса Шура неприводимых представлений конечных групп", Мат. сб., 204:8, (2013), 73-82.

[23] Д. Д. Киселев, "Примеры задач погружения, у которых решения только поля", УМН, 68:4, (2013), 181-182.

[24] А. И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры, Физико-математическая литература, М., 2001.

[25] X. Кох, Теория Галуа р-расширений, Мир, М., 1973.

[26] Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1969.

[27] Б. Б. Лурье, "К задаче погружения с ядром без центра", Изв. АН СССР, сер.матем., 28:5 (1964), 1135-1138.

[28] Б. Б. Лурье, "Об условии согласности в проблеме погружения полей", Зап. научн. сем. ЛОМИ, 71 (1977), 155-162.

[29] Б. Б. Лурье, "Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени", Докл. РАН, 388:4, (2003), 447-448.

[30] С. Маклейн, Гомология, Мир., М., 1966.

[31] А. А. Милютин, А. Е. Илютович, Н. П. Осмоловский, С. В. Чуканов, Оптимальное управление в линейных системах, Наука, М., 1993.

[32] С. А. Сыскин, "Абстрактные свойства простых спорадических групп", УМН, 35:5 (1980), 181-212.

[33] Д. К. Фаддеев, "Построение алгебраических областей, группой Галуа которых является группа кватернионов", Уч. зап. ЛГУ, 3:17 (1937), 17-23.

[34] Д. К. Фаддеев, "Построение полей алгебраических чисел, группой Галуа которых является группа кватернионных единиц", ДАН СССР, 47:6, (1945), 404-407.

[35] И. Р. Шафаревич, "О р-расширениях", Мат. сб., 20:2 (1947), 351-363.

[36] И. Р. Шафаревич, "О построении полей с заданной группой Галуа порядка Г'\ Изв. АН СССР, сер.матем., 18:3 (1954), 261-296.

[37] И. Р. Шафаревич, "Об одной теореме существования в теории алгебраических чисел", Изв. АН СССР, сер.матем., 18:4 (1954), 327-334.

[38] И. Р. Шафаревич, "О задаче погружения полей", Изв. АН СССР, сер.матем., 18:5 (1954), 389-418.

[39] И. Р. Шафаревич, "Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа", Изв. АН СССР, сер. матем., 18:6 (1954), 525-578.

[40] А. В. Яковлев, "Задача погружения полей", ДАН СССР, 150:5 (1964), 1009-1011.

[41] А. В. Яковлев, "Задача погружения полей", Изв. АН СССР, сер. матем., 28:3 (1964), 645-660.

[42] А. В. Яковлев, "Задача погружения для числовых полей", Изв. АН СССР, сер.матем., 31:2 (1967), 211-224.

[43] М. Benard, "The Schur subgroup. I", J. Algebra, 22 (1972), 374-377.

[44] M. Benard, M. Schacher, "The Schur subgroup. II", J. Algebra, 22 (1972), 378-385.

[45] Ch.W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, v.l, Wiley, New York, 1981.

[46] Ch.W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, v.2, Pure Appl. Math. (N.Y.), Wiley, New York, 1987.

[47] B. Fein, D. Gordon, J. Smith, "On the representation of -1 as sum of two squares in an algebraic number field", J. Number Theory, 3, (1971), 310-315.

[48] B. Fein, "Schur indices and sums of squares", Proc. Ams. Math. Soc., 51:1, (1975), 31-34.

[49] D. M. Goldschmidt, I.M. Isaacs. "Schur indices in finite groups", J. Algebra, 33 (1975), 191-199.

[50] I.M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic press, New York, 1976.

[51] G. J. Janusz, "The Schur index and roots of unity", Proc. Am. Math. Soc., 35 (1972), 387-388.

[52] F. Hajir, "On the Galois group of generalized Laguerre polynomials", J. Theor. Nombres Bordeaux, 17:2, (2005), 517-525.

[53] F. Hajir, "Algebraic properties of a family of generalized Laguerre polynomials", Canad. J. Math., 61:3, (2009), 583-603.

[54] H. Hasse, "Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers", Math. Nachr., 1:1, (1948), 40-61.

[55] H. Hasse, "Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers", Math. Nachr., 1:4, (1948), 213-217.

[56] I. Kupka, Generic properties of extremals in optimal control problems, Differential geometric control theory, Progr. Math., Houghton, Mich., 1982.

[57] G. Malle, B. H. Matzat, Inverse Galois theory, Springer-Verlag, N.Y., 1999.

[58] I. Reiner, Maximal orders, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 28, Oxford Univ. Press, Oxford, 2003.

[59] P. Schmid, "Schur Indices and Schur Groups", J. Algebra, 169, (1994), 226247.

[60] P. Schmid, "Schur Indices and Schur Groups, II", J. Algebra, 182, (1996), 183-200.

[61] E. Spiegel, A. Trojan, "Minimal splitting fields in cyclotomic extensions", Proc. Ams. Math. Soc., 87:1, (1983), 33-37.

[62] T. Yamada, The Schur Subgroup of the Brauer Group, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 397, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[63] M.I. Zelikin, V.F. Borisov, Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics. Robotics. Economics, and Engineering, Birkhäuser. Boston. 1994.