Ультраразрешимые накрытия и смежные вопросы теории Галуа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Киселев Денис Дмитриевич

• Киселев Денис Дмитриевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Киселев Денис Дмитриевич

0.1 Актуальность темы

0.2 Цель работы

0.3 Научная новизна

0.4 Методы исследования

0.5 Теоретическая и практическая ценность

0.6 Апробация работы

0.7 Публикации

0.8 Структура и объем диссертации

0.9 Содержание работы

1 О проблеме Яковлева

1.1 Описание главы

1.1.1 Терминология и обозначения

1.2 Вспомогательные утверждения

1.2.1 Общие результаты

1.2.2 Об одной теореме существования

1.2.3 Описание ядра

1.2.4 Элементарные классы

1.2.5 Усиление результата А. Ледета

1.2.6 Разрешимость задач погружения для ядер

1.3 О минимальных р

1.3.1 Случай ¿(Г) =

1.3.2 Случай ¿(Г) = 2: расширения типа п —

1.3.3 Случай ¿(Г) = 2: расширения типа г < п —

1.3.4 Случай ¿(Г) >

1.3.5 Случай ¿(Г) > 2: расширения типа г ^ п —

1.3.6 Некоторые обобщения

1.4 Ультраразрешимые накрытия

1.4.1 Подготовительные результаты

2

1.4.3 Ультраразрешимость расширений

1.5 О кватернионных расширениях

1.5.1 Условия согласности в кватернионных расширениях

1.5.2 Кватернионные расширения с циклическим ядром порядка

1.5.3 Кватернионные расширения с циклическим ядром порядка

1.5.4 Кватернионные расширения с кватернионным ядром по-

8

1.5.5 Ряд примеров

1.5.6 Ультраразрешимость некоторых

1.6 Групповые расширения с нециклическим ядром

1.6.1 Примеры

1.7 Постановка задачи вложения

2 Равномерные оценки индекса Шура

2.1 Описание главы

2.1.1 Равномерные оценки

2.1.2 Реализуемость представлений

2.1.3 Обозначения

2.2 Оптимальная оценка

2.2.1 Вспомогательные утверждения

2.2.2 Описание функций 'ф(-) и y(•)

2.3 Вопросы реализации

2.3.1 Обобщение результата Б. Фейна

2.3.2 Усиление результата Грюнвальда-Ванга

3 Исследования группы Дженнингса

3.1 Описание главы

3.1.1 Обозначения

3.2 Явные вложения

3.2.1 Случай произвольной абелевой p

3.2.2 Вложение элемента порядка

3.3 О задаче вложения

4 О проблеме Зеликина-Локуциевского

4.1 Описание главы

4.1.1 Обобщенная задача Фуллера

4.1.2 Обозначения

4.1.3 О числах Бернулли

4.2 Редукции

4.2.1 Редукция к вопросу о группе Галуа

4.2.2 Редукция к неприводимости

4.3 Обмотка тора

2

4.3.2 Торы высших размерностей

5 Заключение 195 Список литературы 196 Публикации автора по теме диссертации

О Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ультраразрешимые накрытия и смежные вопросы теории Галуа»

0.1 Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию ряда трудных вопросов теории Галуа

(как классической, так и обратной задаче), теории представлений конечных

р

в группу Дженнингса J(^).

Одним из возможных подходов к решению обратной задачи теории Галуа построение расширений Галуа поля рациональных чисел с наперед заданной группой Галуа была и остается задача погружения. Задача погружения, ассоциированная точной последовательностью конечных групп,

1 -> А -> С Г = Са1(К/к) -> 1,

состоит в том, чтобы построить fc-алгебру Галуа L с группой G, содержащую поле K, таким образом, чтобы эпиморфизм ограничения автоморфизмов L на K совпадал бы с У истоков задачи погружения стояли А. Шольц (см. [95, 96]), X. Райхард (см. [88]) и Д. К. Фаддеев (см. [6]). А. Шольц в [95] решил задачу погружения (в смысле полей) для полей алгебраических чисел в случае, когда группа G есть полупрямое произведение F X Ac абелевым ядром A, что в конечном счете позволило ему в [ ] решить обратную задачу теории Галуа для ргрупп нечетного порядка над полем Q. Более простыми средствами этот результат был независимо установлен X. Райхардом в [88]. Д. К. Фаддеев в своей совместной с Б.Н. Делоне фундаментальной работе [6] ввели понятие алгебры Галуа на основе элегантного геометрического подхода, что позволило в дальнейшем решать задачу погружения с абелевым ядром с привлечением гомологических методов. Было установлено важнейшее необходимое условие разрешимости задачи погружения условие согласности, которое состояло в "аддитивной" разрешимости задачи, т.е. в качестве "решения" допускались не только алгебры Галуа, но и так называемые модули согласно-GK обладающие A-нормальным базисом над K. При этом A не обязательно абе-лева группа. Д. К. Фаддеев в [6] дает критерии существования таких модулей согласности. Один из них состоит в следующем. Рассмотрим скрещенное произведение G х K, т.е. fc-алгебру, составленную из сумм вида идхд-> гДе хд е K с

дес

правилами умножения ugiug2 = ugig2 и xug = ugx^(g) при x е K, a g е G. Существование модуля согласности оказалось равносильно изоморфизму скрещенного произведения G х K алгебре матриц по рядка |F | над некоторой подалгеброй. В той же работе [6] показано, что условие согласности достаточно для разрешимости задачи погружения в смысле алгебр Галуа в случае, если ядро является

8

использовалось утверждение, сводящее решение задач погружения с абелевым

p

установлено Р. Кохердорфером в [81]. Кроме того, без всяких ограничений (в отличие от работы А. Шольца [95]) была показана равносильность решения задачи погружения с абелевым ядром над полями алгебраических чисел в смысле

полей и в смысле алгебр Галуа, делающая таким образом условие согласности чрезвычайно полезным инструментом в исследовании обратной задачи теории Галуа. Дальнейшие исследования в области обратной задачи теории Галуа были проведены в цикле работ И. Р. Шафаревича (см. [57]- [60]), где была решена обратная задача теории Галуа для полей алгебраических чисел и разрешимых групп. В [57] подход А. Шольца-Х. Райхарда существенно улучшается с введением шольцевых расширений полей широкого класса расширений, которые (как выяснилось впоследствии) обладают свойством универсальной согласности (подробнее см. [16]), т.е. когда условие согласности выполнено для достаточно широкого класса задач погружения с абелевым р-ядром. Это позволило решить обратную задачу теории Галуа для 2-групп (случай, не поддающийся исследованию методом А. Шольца-Х. Райхарда) и существенно расширить класс полей, которые можно брать в качестве решений обратной задачи теории Галуа для р-груии нечетного порядка. В [ , ] рассмотрены теоремы существования в полях алгебраических чисел и полупрямая задача погружения с нилыютентным ядром над полями алгебраических чисел, решенная в смысле полей при некоторых ограничениях (например, когда порядки ядра и факторгруппы взаимно просты; подробнее см. [59]). Наконец, в [60] замечается, что обратная задача теории Галуа для разрешимых групп сводится к полупрямой задаче погружения с нилыютентным ядром, а, значит (в силу первой теоремы Кохендорфера [ ]), к полупрямой задаче погружения ср-ядром; далее используется конструкция Д. К. Фаддеева "пяти полей" и методы работ [57]- [59]. Отметим, что без всяких ограничений полупрямая задача погружения числовых полей с нилыютентным ядром была решена В. В. Ишхановым в [18].

В [61, 62] задача погружения с абелевым ядром была полностью решена А. В. Яковлевым в гомологических терминах. Выяснилось, в частности, что если факторгруппа действует на ядре как циклическая группа автоморфизмов, а примитивный корень степени периода ядра лежит в K (это не является существенным ограничением, равно как и неявное предположение о том, что char k не делит период ядра в силу результата Э. Витта [ ] и И.Р. Шафаревича [56]). В работе [63] задача погружения с абелевым ядром решается для числовых полей и оказывается, что в широком классе случаев дополнительное

условие погружаемости несущественно: если, например, тривиально пересечение ядер гомоморфизмов ограничения вндагр: H2(F, A) ^ H2(Fp, A), где F -группа Галуа расширения числовых полей К/k с условием en G K (и период абелева ядра A), A = Hom(A, К*), а Fp - группа разложения точки p поля k в К, то дополнительное условие погружаемости несущественно. Это позволило в [64] решить обратную задачу теории Галуа для разрешимых групп над числовыми полями практически без использования арифметики полей алгебраических чисел (в отличие от работ [60] и [18]), а только используя теорему Д. К. Фаддеева-А. Шольца о разрешимости в смысле полей полупрямой задачи погружения числовых полей с абелевым ядром (см. [95, 6]). Таким образом, условие согласности оказалось довольно сильным в случае абелева ядра, если задача погружения ставится над числовыми полями. Напомним, что С. П. Де-мушкиным и И. Р. Шафаревичем ранее в [7] было показано, что условие согласности достаточно для разрешимости задачи погружения с абелевым ядром над локальными полями (что, впрочем, вытекает из работы A.B. Яковлева [62]).

Мы видим, таким образом, что для решения задачи погружения в смысле полей необходимо сначала решить такую же задачу в смысле алгебр Галуа, а потом преодолеть ряд технических условий для доказательства разрешимости такой задачи в смысле полей (что особенно важно для обратной задачи теории Галуа). Отметим, что эти технические условия особенно существенны в случае, когда задача погружения ставится над локальными полями1: если задача погружения р-расширения K/k рлокальных полей разрешима в смысле алгебр Галуа, то из-за конечности факторгруппы k*/k*p вполне возможно, что не удастся найти решение этой же задачи в смысле полей. Систематические исследования разрешимости задачи погружения над локальными полями в собственном смысле2 были проделаны Б. Б. Лурье (см. [19, Гл. 4]). Поэтому особенно интересен случай, когда априори можно гарантировать, что все решения задачи погружения окажутся полями (такие задачи мы в дальнейшем, следуя [25], называем ультраразрешимыми). Простейшее условие таково: ядро задачи погружения лежит в группе Фраттини накрывающей группы (см. [19, Гл. 1, §6, Следствие 5]). Первые нетривиальные примеры (когда указанное усло-

1В данном случае конечными расшнрениями поля Qp.

2Т.е. когда решение ищется в классе полей.

вие на группу Фраттннн не выполняется) были построены в [25, 30]. В связи с работами [25, 30] A.B. Яковлев поставил следующую проблему.

Проблема 0.1 (A.B. Яковлев). Пусть

1 -► A -► G F -► 1 (0-1)

- расширение конечных групп с абелевым ядром A. При каких условиях существует расширение Галуа числовых полей K/к с группой F, такое что получившаяся задача погружения ультраразрешима?

Существенный прогресс в проблеме 0.1 диссертанту удалось достигнуть благодаря использованию результатов Б. Б. Лурье (см. [19, Гл. 4, §1 Теорема 4.1.2'] и [19, Гл. 4, §2, Теорема 4.2.4]), ряду редукционных результатов В. В. Ишха-нова и Б. Б. Лурье (см. [22, Лемма]), так называемому локально-глобальному принципу A.B. Яковлева в теории ультраразрешимости (см. [65]), его обобщению (см. [27, Предложение 1]) и ряду работ диссертанта (см. [26, 35] а также [79]). Стоит отметить, что работа [65] "родилась" в процессе довольно интенсивной переписки диссертанта по электронной почте с петербургскими коллегами Б. Б. Лурье и A.B. Яковлевым3. Глава 1 целиком посвящена результатам диссертанта по проблеме 0.1, которую удалось решить для широкого класса групповых расширений (в частности, полностью для расширений нечетного порядка с циклическим ядром). Таким образом, актуальность главы 1 не вызывает сомнений.

В теории представлений конечных групп весьма интересна и актуальна проблема оценки индекса Шура неприводимых комплексных характеров над полем рациональных чисел. Данная проблема имеет довольно длинную историю. Упомянем результаты О. Шиллинга (см. [92, 93]) и П. Рокетта (см. [90, 91]), в которых показано, что индекс Шура любого неприводимого комплексного характера конечной р-группы при р > 2 над полем рациональных чисел равен 1; в случае р = 2 имеется пеулучшаемая оценка mq(x) | 2. Далее, в работе Д. М. Голдшмидта-И. М. Айзекса [74] данный результат получил объяснение: если п - экспонента группы G, а х £ Irr G - неприводимый комплексный ха-

хк щем Q(x), таком что Gal(k(sn)/k) - циклическая группа нечетного порядка.

3В статье [ ] отмечен в определенной степени вклад диссертанта.

В работах Б. Фейыа [71, 73] данный результат был обобщен на случай, когда Gal(k(en)/k) - циклическая группа не обязательно нечетного порядка; при этом необходимо наложить дополнительное условие: уравнение — 1 = u2 + v2 разрешимо в поле к. Естественно поставить вопрос о поиске равномерных наилучших оценок индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп на определенных классах конечных групп. В связи с этим можно отметить работы4 диссертанта [28, 29], где строились данные оценки и, в частности, усиливалась теорема Д. М. Голдшмидта-И. М. Айзекса. В главе 2 строятся наилучшие оценки индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп на классе всех конечных групп порядка n (класс Gord(n)) и на классе всех конечных групп заданной экспоненты (класс Gexp (n)) - эти результаты многократно усиливают известные результаты Б. Фейна-Т. Ямады (см. [98, Ch. 9, theorem 9.1]).

Gn

плексный характер х с индексом Шура m ^ 3 над пол ем Q. Б. Фейн в своей

L

Q(x) С L с Q(en), такого что (L : Q(x)) = m, но тем не менее mL(x) = 1-Он же показал, что для случая n = paqe таких примеров построить нельзя (см. [72, Theorem]). Позднее Р. Моллин в [87] и Е. Шпигель совместно с А. Тройном в [97] построили ряд достаточных признаков того, что указанное поле L все-таки обладает свойством т^(х) = 1- Однако их достаточные усло-

х

пусть r - минимальное натуральное число, такое что Q(x) ^ Q(^r) a h(Q(x)) - число классов поля Q(x) тогда одним из достаточных условий будет такое (см. [97, Corollary 6])

(m<Q>(x), (Q(^r): Q(X)), h(Q(x))) = 1.

П. Шмид в своей замечательной работе [94] определил так называемые группы Шура типа G(pa, q) и G(pa, q, r) а также пять исключительных типов групп Шура. Эти группы обладают таким свойством: пусть для данной конечной группы G pкомпонента m<(x)p индекса Шура неприводимого комплексного характера х наД полем Q равна pa ^ 2. Тогда в группе G существует секция

4 Эти работы не входят в диссертацию.

H, изоморфная одной из групп Шура (см. [ , 1. Introduction]), и неприводимый комплексный характер ф G Irr H такой что ш<^(х)Р = ш<о>(ф); при этом H является с точностью до изоморфизма одной из исключительных групп Шура в том и только в том случае, когда pa = 2, и г4 G Q(x) (см- [ ? 6. Conclusion, (6.1)]). Используя группы Шура, мы даем обобщение результата Б. Фейна на случай, когда n не обязательно делится только на два различных простых числа.

Хорошо известно, что если индекс Шура неприводимого комплексного характера х конечной группы G относительно поля алгебраических чисел k равен m, то можно найти циклическое расширение K/k(x) степей и ш, такое что шк(х) = 1- Этот результат составляет содержание известной теоремы Грюнвальда-Ванга (см. [89, Theorem (32.18)]).

Пусть K/k(x) - циклическое расширение полей алгебраических чисел степени ш, где m | ш. Мы изучаем достаточные условия того, что найдется циклическое расширение L/k(x) степей и ш, причем, во-первых, K Ç L, а, во-вторых, шь(х) = 1- Такие условия найдены в теореме

Пусть k - коммутативное кольцо с единицей. Рассмот рим множество J (k) формальных степенных рядов относительно переменной x с коэффициентами в кольце k, причем коэффициент при x ряда f (x) G J (k ) равен едини-

J(k)

(f * g)(x) = f (g (x)) такое определение корректно, так как ряд g(x) G J (k) не содержит свободного члена. Впервые ряды такого вида рассмотрел Джен-нингс, который в своей работе [77] установил, что относительно так введенной J(k)

k

В случае k = Fp групп a J (Fp) обладает рядом интересных свойств, самым важным из которых, по-видимому, является универсальность: любая про-р-группа не более чем счетного ранга изоморфно вкладывается в J(Fp). Этот результат был впервые установлен Р. Каминой в [68, Corollary 2]. Из этого результата следует, что произвольная конечная р-группа допускает изоморфное вложение в группу J(Fp). Однако доказательство наличия такого вложения даже для абелевых р-групп весьма далеко от конструктивного. И. К. Бабенко в своем обзоре (см. [1, Замечание 4.11]) отмечает, что даже явные вложения

групп Zp2 и Zp х Zp в ^неизвестны! В тоже время вложение группы Zp в ^строится очевидным образом: надо взять ряд/(ж) = ж/(1 — ж), который имеет порядок р. В главе мы строим явные вложения произвольной конечной абелевой ргруппы в ^Также вполне естественно в связи с проблемой сформулировать задачу вложения (см. 1.7), которая в частном случае решается в главе 3. Учитывая обзор Бабенко [1], актуальность главы 3 не вызывает сомнений.

Наконец, в классической теории Галуа вполне естественно ставить вопросы о линейной независимости над основным полем собственного подмножества корней некоторого сепарабельного многочлена. Примечательно, что такие вопросы (вполне естественные для теории Галуа) находят применение в теории оптимального синтеза траекторий задач оптимального управления. Актуальность таких задач не вызывает сомнения; например, в работе [15] ставится гипотеза 1 (которую мы в дальнейшем называем проблемой М.И. Зеликина-Л.В. Локуциевского) о линейной независимости над Q некоторой подсистемы корней вполне определенного многочлена с целыми коэффициентами: линейная независимость таких корней позволяет строить траектории оптимального управления, проходящие за конечное время всюду плотную обмотку тора достаточно высокой размерности. Примечательно, что такие топологические особенности типичны и не уничтожаются "малым шевелением" (см., например, [100]). Таким образом, актуальность понимания структуры оптимального синтеза в таких задачах для прикладных исследований (и, как следствие, актуальность исследования с помощью теории Галуа линейной независимости корней многочленов) не вызывает сомнения. Этим вопросам посвящена глава 4.

0.2 Цель работы

Целью диссертации является:

1. решение проблемы А. В. Яковлева, посвященной характеризации ультраразрешимых групповых расширений (см., например, [35, Проблема 1]), для групповых расширений нечетного порядка с циклическим ядром (полностью) а также в достаточно широких классах групповых расширений с циклическим ядром (см. случаи 1.1);

2. выяснение, что локально-глобальный принцип А. В. Яковлева (см. [65, Тео-

p

p

ром, для которых проблема A.B. Яковлева решается отрицательно;

4. получение наилучших равномерных оценок индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп порядка n (класс Gord(n)), конечных групп заданной экспоненты n (класс Gexp(n)) над пол ем Q;

p

нингса J(Fp), дающих ответ на вопрос И. К. Бабенко (см. [ , Замечание 4.11]);

6. отыскание критерия разрешимости уравнения xpm = y0 в труппе J(Fp) при заданных натуральном m и элементе yo £ J(Fp) порядка p;

7. сведение проблемы Зеликипа-Локуциевского (см. [15, Гипотеза 1] и проблема ) к неприводимости над Q многочлена /p+i(x) для почти всех

p

n

ния (4.1) решений с управлением, проходящим за конечное время всюду плотную обмотку k-мерного тора для любого натурального k ^ 249 998 919 (отметим, что такая оценка на текущий момент принципиально неулучша-ема в силу замечания 4.10);

n

ментов множества B (см. ( ) и ( ) и также проблему ), линейно независимых над Q и, как следствие, построение в задаче оптимального управления ( ) для любого n > 3 решений с управлением, проходящим

2

9. доказательство неприводимости многочленов f(q-1)/2(x) над Q для всех простых q > 3 с дополнительным условием на число Бернулли: Bq-3 ф 0(mod q); вычисление группы Галуа многочлена fn(x) над Q при условии,

5 Предположительно бесконечного.

что для n > ^жла р = n — 1, q = 2n + 1 r = 2n + 7 являются простыми, 889 не квадрат по модулю r, а Bq—3 ф 0(mod q);

10. доказательство вложения An—1 ^ Gal<qi(/n) при условии, что числа р = n — 1, q = 2n + 1 являются простыми, причем Bq—3 ф 0(mod q), а р принадлежит арифметической прогрессии {26 + 69k | k G N} и не представпмо в виде дроби (rst — 1)/(rs — 1) ни для какого простого r и натуральных s, t.

0.3.Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основными из них являются следующие.

1. решена проблема А. В. Яковлева, посвященная характеризации ультраразрешимых групповых расширений (см., например, [35, Проблема 1]), для групповых расширений нечетного порядка с циклическим ядром (полностью) а также в достаточно широких классах групповых расширений с циклическим ядром (см. случаи 1.1);

2. выяснено, что локально-глобальный принцип A.B. Яковлева (см. [65, Тео-

р

р

для которых проблема А. В. Яковлева решается отрицательно;

4. получены наилучшие равномерные оценки индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп порядка n (класс Gord(n)), конечных групп заданной экспоненты n (класс Gexp(n)) над пол ем Q;

р

нингса J(Fp), дающие ответ на вопрос И. К. Бабенко (см. [ , Замечание 4.11]);

6. найден критерий разрешимости уравнения xpm = y0 в груипе J(Fp) при заданных натуральном m и элементе y0 G J(Fp) порядка р;

7. проблема Зеликипа-Локуциевского (см. [15, Гипотеза 1] сведена к проблеме неприводимости над Q многочлена fp+1(x) для почти всех простых р;

решена проблема Зеликина-Локуциевского для ряда6 натуральных п и, как следствие, в задаче оптимального управления (4.1) построены решения с управлением, проходящим за конечное время всюду плотную обмотку к-мерного тора для любого натурального к ^ 249 998 919 (отметим, что такая оценка на текущий момент принципиально неулучшаема в силу замечания 4.10);

8. доказано существование при любом п > 3 по крайней мере двух элементов множества В (см. ( ) и ( ) и также проблему ), линейно независимых над Q и, как следствие, в задаче оптимального управления ( ) для

п > 3

2

9. установлена неприводимость многочленов /(?-1)/2(ж) над Q для всех простых д > 3 с дополнительным уеловием7: В?-3 ф 0(mod д); показано, что группа Галуа многочлена /п(ж) над ^ ^^^^рфна при условии, что для п > 4 числа р = п _ 1, д = 2п + 1 г = 2п + 7 являются простыми, 889 не квадрат по модулю г, а В^_3 ф 0(mod д);

10. установлено вложение Ап-1 ^ GalQ(/n) при условии, что числар = п_ 1, д = 2п + 1 > 3 являются простыми, причем В?-3 ф 0(mod д), а р принадлежит арифметической прогрессии {26 + 69к | к € М} и не представимо в виде дроби (г^ _ 1)/(гв _ 1) ни для какого простого г и натуральных й,

0.4 Методы исследования

В работе использованы методы алгебраической теории чисел, элементарной теории чисел, локальной теории полей классов, теории Галуа, теории погружения, гомологической теории, теории представлений конечных групп, классификации конечных простых групп, теории индекса Шура, аналитической теории чисел.

6Предположительно бесконечного.

7Бт^ ш-е число Бернулли.

0.5 Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории погружения, теории Галуа, теории представлений конечных групп, теории оптимального управления. Материалы диссертации могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории погружения, теории Галуа, теории представлений конечных ГруПп.

0.6 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах. Механико-математический факультет МГУ:

2013 2018

гг., неоднократно); 2. Избранные вопросы алгебры (2013-2018 гг., неоднократно);

14 2012 01

2016

20

2014

17 2017

10 2017

Математический институт им. В. А. Стеклова:

1. Современные проблемы теории чисел (23 апреля 2015 г., 22 сентября 2016 г.);

20 2017

Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова:

1. Общеинститутский математический семинар (20 февраля 2017 г.);

2. Городской алгебраический семинар им. Д. К. Фаддеева (20 февраля 2017 г.).

Результаты диссертации докладывались на следующих российских и международных конференциях.

1. Алгебраический коллоквиум, посвященный 85-летию чл.-корр. РАН проф. А. И. Кострикина и 90-летию проф. Л. А. Скорнякова (Москва, МГУ, 17 февраля 2014 г.);

2. Международная конференция "Алгебра и комбинаторика", посвященная 60-летию чл.-корр. РАН проф. А. А. Махнева (Екатеринбург, ИММ УРО

03 07 2013

3. VI школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Москва, МГУ, 30 января - 04 февраля 2017 г.);

4. Международная школа-конференция "Современные проблемы математи-

05 11 2017

5. Международная конференция "Математическая теория оптимального управ-

90

01 02 2017

6. Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со

23 25

2018

0.7 Публикации

16

рубежных журналах перечня RSCI WebOfScience, WebOfScience, Scopus: все работы, опубликованные в русскоязычных журналах, входят в перечень RSCI WebOfScience; все переводные версии опубликованных работ а также все англоязычные работы входят в Scopus; в WebOfSicence входят все переводные версии опубликованных работ (за исключением [26], [33], [35], [37] и [40]), а также ан-

12

[33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [78], [79].

В работе [14] М.И. Зедикиыу и Л. В. Локуциевскому принадлежат доказательство теоремы 3, формулировка теорем 1 и 2 а также текст введения, все остальные результаты принадлежат Д. Д. Киселеву.

В работе [26] текст введения и замечание 1 принадлежат 14. А. Чубарову. Все остальные результаты работы [26] принадлежат Д. Д. Киселеву.

В работе [67] С. 14. Богатой и С. А. Богатому принадлежат введение, все результаты параграфов §2-§5. Д. Д. Киселеву принадлежит параграф §6 ([67, 6. Elements of finite order]).

В работе [27] А. В. Яковлеву принадлежит [27, Предложение 1] и [27, Следствие 1], Д. Д. Киселеву принадлежат [27, Теорема 1] и [27, Теорема 2].

0.8 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Главы подразделяются на разделы и пункты. Все результаты глав 1 4 получены диссертантом самостоятельно.

Диссертация написана на 201 странице. Список литературы состоит из 101 наименования.

0.9 Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, кратко излагаются история вопроса и основные результаты диссертанта, даются сведения о публикациях диссертанта по теме диссертации, о структуре и апробации работы.

В главе 1 (которая с точки зрения диссертанта наиболее важна) исследуется проблема А. В. Яковлева (проблема 1.1) о характеризации ультраразрешимых групповых расширений. В разделе 1.1 дается описание главы, мотивировки исследования. Излагается применяемая терминология, дается список используемых обозначений8. В разделе 1.2 излагаются полученные автором вспомогательные утверждения, необходимые в дальнейшем. Ряд общих результатов

8Отметим, что в главе все группы считаются конечными, если не оговорено противное или если противное не очевидно из контекста.

изложен в 1.2.1. В 1.2.2 излагается лемма 1.4 о существовании в полях алгебраических чисел элементов с выполненными условиями (1.4).

Предположим, что А - циклическая р-группа с порождающим элементом а порядка рп для некоторого п ^ 2. Пусть К - некоторая р-группа. Превратим А в ^-модуль с помощью гомоморфизма 7: К ^ А^ А. Вложение К-модулей Ф(А) ^ А индуцирует гомоморфизм когомологий а: Н2 (К, Ф(А)) ^ Н2 (К, А). В дается в удобных для дальнейшего терминах описание ядра кег а. Для этого по группе К строится абелева ргруипу Ко с тем же числом образующих, что и К. При этом действие группы Ко па А будет "таким же" как и действие К1. Более точно это выражено в условиях . Далее, искомое описание строится с помощью лемм , и описании ядра кег в нижней строки диаграммы (1.5), указанном в леммах 1.7 и 1.8. Отметим также интересное следствие 1.1 из леммы 1.6. В 1.2.4 определяется понятие "плохого класса" (см.

определение 1.1). Доказывается лемма 1.9, используемая в 1.3.4 и 1.3.5.

р

обладающие свойством минимальности9. При этом существенно используется результат В. В. Ишханова и Б Б. Лурье [22, Лемма] и результат Б. Б. Лурье [19, Гл. 4, §1, Теорема 4.1.2]. В 1.3.1 исследуется случай минимальных центральных р-расширений ( ) нечетного порядка с ¿(К) = 2: устанавливается лемма В 1.3.1 исследуется случай р-расширений (1.1) типа п — 1 нечетного порядка с

¿(К) = 2: устанавливается лемма . Наконец, в завершается исследова-

р

с циклическим ядром и ¿(К) = 2: в лемме 1.19 исследуется случай г < п — 1;

при этом существенно используется локальная теория полей классов (см. замер

поля, полученное С. П. Демушкиным [8, Теорема]. Наконец, в теореме 1.1 уль-

р

порядка с циклическим ядром и ¿(К) = 2.

р

ного порядка с циклическим ядром и ¿(К) > 2 со свойством минимальности. Ключевую роль при этом играет лемма 1.9. Исследование проходит по той же

9Напоминаем, что терминология главы разъясняется в

схеме, что в случае ) = 2, однако становится существенно более сложным: сначала показывается ультраразрешимость вспомогательных расширений (см. леммы 1.20 и 1.23), после чего применяются предложения 1.2 и 1.3, основанные, соответственно, на леммах 1.22 и 1.24. Наконец, в теореме 1.2 устанавливается ультраразрешимость произвольного минимального ^-расширения нечетного порядка с циклическим ядром.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Киселев Денис Дмитриевич, 2018 год

Список литературы

[1] И. К. Бабенко, "Алгебра, геометрия и топология группы подстановок формальных степенных рядов", УМН, 68:1 (2013), 3-76.

[2] Ю.Л. Баранник, "О телах, возникающих в разложении рациональных групповых алгебр конечных групп порядка Изв. вузов. Матем., 187:12 (1977), 13-18.

[3] М.И. Башмаков, "О задаче погружения полей", Матем. зам., 4:2 (1968), 137-140.

[4] С. Д. Берман, "Представления конечных групп над произвольным полем и над кольцами целых чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 30:1 (1966), 69-132.

[5] З.И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, М., 1972.

[6] Б.Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, "Исследования по геометрии теории Галуа", Матем. сб., 15:2 (1944), 243-284.

[7] С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич, "Задача погружения для локальных полей", Изв. АН СССР, сер. матем., 23:6 (1959), 823-840.

[8] С. П. Демушкин, "Группа максимального р-расширения локального поля", Изв. АН СССР, сер. матем., 25:3 (1961), 329-346.

[9] С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич, "Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 26:6 (1962), 911-924.

[10] С. П. Демушкин, "О 2-расширениях локального поля", Сиб. мат. ж., 4:4 (1963), 951-956.

[11] С. П. Демушкин, "Топологические 2-группы с четным числом образующих и одним полным определяющим соотношением", Изв. АН СССР, сер. м am ем., 29:1 (1965), 3-10.

[12] Н.В. Дуров, "Вычисление группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. I", Зап. научн. сем. ПОМИ, 319"(2004), 117-198.

[13] Н.В. Дуров, "Вычисление группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. II", Зап. научн. сем. ПОМИ, 321*(2005), 90-135.

[14] М. И. Зеликин, Д. Д. Киселев, Л. В. Локуциевский, "Оптимальное управление и теория Галуа", Матем. сб., 204:11 (2013), 83-98.

[15] М. И. Зеликин, Л. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277 (2012), 74-90.

[16] Н. П. Зяпков, A.B. Яковлев, "Универсально согласные расширения Галуа", Зап. научн. сем,. ЛОМИ, 71 (1977), 133-152.

[17] В. В. Ишханов, "Задача погружения с данными локализациями", Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3 (1975), 512-522.

[18] В. В. Ишханов, "О полупрямой задаче погружения с нильпотентным ядром", Изв. АН СССР, сер. м,am,ем,., 40:1 (1976), 3-25.

[19] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задача, погружения в т,еории Галуа, Наука, М., 1990.

[20] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "Условие согласности для задачи погружения с р-расширением", Зап. научн. сем. ПОМИ, 236 (1997), 100-106.

[21] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "О задаче погружения над р-расширением", Алгебра и анализ, 9:4 (1997), 87-97.

[22] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "Универсально разрешимые задачи погружения с циклическим ядром", Зап. научн. сем. ПОМИ, 265 (1999), 189-197.

[23] В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, "О задаче погружения с ядром PSL(2, р2)", Зап. научн. сем. ПОМП, 349 (2007), 135-145.

[24] Дж. Касселс, А. Фрелих (ред.), Алгебраическая теория чисел, Мир, \!.. 1969.

[25] Д. Д. Киселев, Б. Б. Лурье, "Ультраразрешимость и сингулярность в проблеме погружения", Зап. научн. сем. ПОМИ, 414 (2013), 113-126.

[26] Д. Д. Киселев, И. А. Чубаров, "Об ультраразрешимости некоторых классов минимальных неполупрямых р-расширений с циклическим ядром дляр > 2", Зап. научн. сем,. ПОМИ, 452 (2016), 132-157.

[27] Д.Д. Киселев, A.B. Яковлев, "Ультраразрешимые и силовские расширения с циклическим ядром", Алгебра, и анализ, 30:1 (2018), 128-138.

[28] Д. Д. Киселев, "Поля разложения конечных групп", Изв. РАН. Сер. матем., 76:6 (2012), 95106.

[29] Д. Д. Киселев, "Об оценке индекса Шура неприводимых представлений конечных групп", Матем. сб., 204:8 (2013), 73-82.

[30] Д. Д. Киселев, "Примеры задач погружения, у которых решения только поля", УМН, 68:4 (2013), 181-182.

[31] Д. Д. Киселев, "Оптимальные оценки индекса Шура и реализуемость представлений", Матем. сб., 205:4 (2014), 69-78.

[32] Д. Д. Киселев, "Явные вложения конечных абелевых р-групп в группу J(Fp)", Матем. зам., 97:1 (2015), 74-79.

[33] Д. Д. Киселев, "Ультраразрешимые накрытия группы Z2 группами Zs, Zi6 и Qs", Зап. научн. сем. ПОМИ, 435 (2015), 47-72.

[34] Д. Д. Киселев, "О всюду плотной обмотке 2-мерного тора", Матем. сб., 207:4 (2016), 113-122.

[35] Д. Д. Киселев, "Об ультраразрешимости групповых р-расширений абелевой группы с помощью циклического ядра", Зап. научн. сем. ПОМИ, 452 (2016), 108-131.

[36] Д. Д. Киселев, "Ультраразрешимые задачи погружения с циклическим ядром", УМН, 71:6 (2016), 165-166.

2

шимости", Зап. научн. сем. ПОМИ, 460 (2017), 114-133.

[38] Д. Д. Киселев, "Теория Галуа, классификация конечных простых групп и всюду плотная обмотка тора", Матем. сборник, 209:6 (2018), 65-74.

[39] Д. Д. Киселев, "Ультраразрешимые накрытия некоторых нильпотентных групп циклической группой над числовыми полями и смежные вопросы", Изв. РАН. Сер. матем., 82:3 (2018), 69-89.

[40] Д. Д. Киселев, "Оптимальное управление, всюду плотная обмотка тора и простые числа Воль-стенхольма", Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех., 73:4 (2018), 60-62.

[41] А. И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры, Физматлит, \!.. 2001.

[42] X. Кох, Теория Галуа р-расширений, Мир, М., 1973.

[43] Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Наука, \!.. 1969.

[44] Б. Б. Лурье, "К задаче погружения с ядром без центра", Изв. АН СССР, сер. м am ем., 28:5 (1964), 1135-1138.

[45] Б. Б. Лурье, "Об условии согласности в проблеме погружения полей", Зап. научн. сем,. ЛОМИ, 71 (1977), 155-162.

[46] Б. Б. Лурье, "Об универсально разрешимых задачах погружения", Тр. МИАН, 183 (1990), 121126.

[47] Б. Б. Лурье, "Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени", Докл. РАН, 388:4 (2003), 447-448.

[48] С. Маклейн, Гомология, Мир, \!.. 1966.

[49] A.A. Милютин, А.Е. Илютович, Н.П. Осмоловский, C.B. Чуканов, Оптимальное управление в линейных системах, Наука, М., 1993.

[50] В. В. Прасолов, Многочлены, МЦНМО, М., 2003.

[51] Ж.-П. Серр, Когомологии Галуа, Мир, \!.. 1968.

[52] Д. А. Супруненко, Группы, подстановок, Наука и техника, Минск, 1996.

[53] С. А. Сыскин, "Абстрактные свойства простых спорадических групп", УМН, 35:5 (1980), 181— 212.

[54] Д. К. Фаддеев, "Об одной гипотезе Хассе", ДАН СССР, 94:6 (1954), 1013-1016.

[55] М. Холл, Теория групп, Изд. иностр. лит., \!.. 1962.

р

[57] И. Р. Шафаревич, "О построении полей с заданной группой Галуа порядка Р", Изв. АН СССР, сер. мam,ем., 18:3 (1954), 261-296.

[58] И. Р. Шафаревич, "Об одной теореме существования в теории алгебраических чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 18:4 (1954), 327-334.

[59] И. Р. Шафаревич, "О задаче погружения полей", Изв. АН СССР, сер. м,am,ем,., 18:5 (1954), 389-418.

[60] И. Р. Шафаревич, "Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа", Изв. АН СССР, сер. матем., 18:6 (1954), 525-578.

[61] A.B. Яковлев, "Задача погружения полей", ДАН СССР, 150:5 (1964), 1009-1011.

[62] A.B. Яковлев, "Задача погружения полей", Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:3 (1964), 645-660.

[63] A.B. Яковлев, "Задача погружения для числовых полей", Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:2 (1967), 211-224.

[64] A.B. Яковлев, "Расширения Галуа с разрешимой группой", Тр. МИАН, 183 (1990), 204-215.

[65] А. В. Яковлев, "Ультраразрешимые задачи погружения для числовых полей", Алгебра, и анализ, 27:6 (2015), 260-263.

[66] M. Benard, M. Schacher, "The Schur subgroup. II", J.Algebra, 22 (1972), 378-385.

[67] S.I. Bogataya, S.A. Bogatyi, D.D. Kiselev, "Powers of elements of the series substitution group J(Z2)", Topology appl., 201 (2016), 29-56.

[68] R. Camina, "Subgroups of the Nottingham group", J. Algebra, 196:1 (1997), 101-113.

[69] Ch. W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, v.1, Wiley, New York, 1981.

[70] Ch. W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, v.2, Pure Appl. Math. (N.Y.), Wiley, New York, 1987.

[71] B. Fein, D. Gordon, J. Smith, "On the representation of -1 as sum of two squares in an algebraic number field", J. Number Theory, 3 (1971), 310-315.

[72] B. Fein, "Minimal spliting fields for group representations", Pacific J. Math., 51:2 (1974), 427-431.

[73] B. Fein, "Schur indices and sums of squares", Proc. Ams. Math. Soc., 51:1 (1975), 31-34.

[74] D.M. Goldschmidt, I. M. Isaacs, "Schur indices in finite groups", J. Algebra,, 33 (1975), 191-199.

[75] F. Hajir, "Algebraic properties of a family of generalized Laguerre polynomials", Canad. J. Math., 61:3 (2009), 583-603.

I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic press, New York, 1976.

[77] S.A. Jennings, "Substitution groups of formal power series", Canad. J. Math., 6 (1954), 325-340.

[78] D.D. Kiselev, "Applications of Galois Theory to Optimal Control", CEUR Workshop Proceedings, 1897 (2017), 50-56.

[79] D.D. Kiselev, "Minimal p-extensions and the embedding problem", Comm. Algebra, 46:1 (2018), 290-321.

[80] B. Klopsch, "Automorphisms of the Nottingham group", J. Algebra, 223 (2000), 37-56.

[81] R. Kochendörffer, "Zwei Reduktionssatze zum Einbettungsproblem für Abelsche Algebren", Math. Nachr., 10:1-2 (1953), 75-84.

[82] I. Kupka, Generic properties of extremals in optimal control problems, In: Differential geometric control theory (Houghton, Mich.), Progr. Math., 1982.

[83] A. Ledet, "On 2-groups as Galois groups", Canad. J. Math., 47:6 (1995), 1253-1273.

[84] J. Lubin, J. Tate, "Formal complex multiplication in local fields", Ann. Math., 81 (1965), 330-387.

[85] G. Malle, B.H. Matzat, Inverse Galois theory, Springer-Verlag, N.Y., 1999.

[86] R. J. McIntosh, EL. Roettger, "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes", Math. Computation, 76 (2007), 2087-2094.

[87] R. Mollin, "Splitting fields and group characters", J. Reine Angew. Math., 315 (1980), 107-114.

[88] H. Reichardt, "Konstruktion von Zahlkorpern mit gegebener Galoisgruppe von Primzahlpotenzordnung", J. reine angew. Math., 177 (1937), 1-5.

[89] I. Reiner, Maximal orders, Oxford, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 28, Oxford Univ. Press, 2003.

[90] P. Roquette, "Arithmetische Untersuchung des Charakterringes einer endlichen Gruppe", J. fUr Math., 190 (1952), 148-168.

[91] P. Roquette, "Realisierung von Darstellungen endlicher nilpotenter Gruppen", Arch. der Math., 9 (1958), 241-250.

[92] O.F. G. Schilling, "Über die Darstellungen endlicher Gruppen", J. fUr Math., 174 (1936), 188.

[93] O.F. G. Schilling, The theory of valuations, New York, Amer. Math. Soc. (N.Y.), 1950.

[94] P. Schmid, "Schur Indices and Schur Groups", J. Algebra, 169 (1994), 226-247.

[95] A. Scholtz, "Über die Bildung algebraischer Zahlkorper mit auflösbarer Galoischer Gruppe", Math. Z, 30 (1929), 332-356.

[96] A. Scholtz, "Konstruktion algebraischer Zahlkorper mit beliebiger Gruppe von Primzahlpotenzordnung", Math. Z, 42 (1936), 161-188.

[97] E. Spiegel, A. Trojan, "Minimal splitting fields in cyclotomic extensions", Proc. Ams. Math. Soc., 87:1 (1983), 33-37.

[98] T. Yamada, The Schur Subgroup of the Brauer Group, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[99] E. Witt, "Konstruktion von Galoischen Körper der Charakteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung pf", J. reine angew. Math., 174:4 (1935), 237-245.

[100] M. I. Zelikin, V. F. Borisov, Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering, Birkhöauser, Boston, 1994.

[101] J. Zhao, "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p5 variations of Lucas' theorem", J. Number Theory, 123 (2007), 18-26.

Публикации автора по теме диссертации

[1] М. И. Зеликин, Д. Д. Киселев, Л. В. Локуциевекий, "Оптимальное управление и теория Галуа", Матем. сборник, 204:11 (2013), 83-98; Sbornik Math., 204:11 (2013), 1624-1638.

В работе [ ] Д. Д. Киселеву принадлежит доказательство гипотезы 1 для всех 4 < q < 17 а также теоремы 4 и 5.

[2] Д. Д. Киселев, И. А. Чубаров, "Об ультраразрешимости некоторых классов минимальных неполупрямых р-расширений с циклическим ядром для р > 2", Записки научн. сем,. ПОМИ, 452 (2016), 132-157; Journal of Math. Sciences (N. Y.), 232:5 (2018), 677-692.

В работе [2] Д. Д. Киселеву принадлежит основная теорема 1.

[3] Д. Д. Киселев, А. В. Яковлев, "Ультраразрешимые и силовские расширения с циклическим ядром", Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 128 138.

В работе [3] Д. Д. Киселеву принадлежат теорема 1 и основная теорема 2.

[4] Д. Д. Киселев, "Оптимальные оценки индекса Шура и реализуемость представлений", Матем. сборник, 205:4 (2014), 69-78; Sbornik Math., 205:4 (2014), 522-531.

[5] Д. Д. Киселев, "Явные вложения конечных абелевых ргрупп в rpvnnv J(Fp)", Матем. заметки, 97:1 (2015), 74-79; Math. Notes, 97:1 (2015), 63-68.

[6] Д. Д. Киселев, "Ультраразрешимые накрытия группы Z2 группами Zs, Ziß и Qe") Зап. научн. сем. ПОМП, 435 (2015), 47-72; Journal of Math." Sciences (N. Y.), 219:4 (2016), 523-538.

[7] Д. Д. Киселев, "О всюду плотной обмотке 2-мерного тора", Матем,. сборник, 207:4 (2016), 113-122; Sbornik Math., 207:4 (2016), 581-589.

[8] Д. Д. Киселев, "Об ультраразрешимости групповых р-расширений абелевой группы с помощью циклического ядра", Зап. научн. сем. ПОМИ, 452 (2016), 108-131; Journal of Math. Sciences (N. Y.), 232:5 (2018), 662-676.

[9] Д. Д. Киселев, "Об ультраразрешимых задачах погружения с циклическим ядром", Успехи мат. наук, 71:6 (2016), 165-166; Russian Math. Surveys, 71:6 (2016), 1149-1151.

2

решимости", Зап. научи, сем,. ПОМИ, 460 (2017), 114 133.

[11] Д. Д. Киселев, "Теория Галуа, классификация конечных простых групп и всюду плотная обмотка тора", Матем. сборник, 209:6 (2018), 65-74; Sbornik Math., 209:6 (2018), 840-849.

[12] Д. Д. Киселев, "Ультраразрешимые накрытия некоторых нилыютентных групп циклической группой над числовыми полями и смежные вопросы", Изв. РАН. Сер. матем., 82:3 (2018), 69-89; Izv. Math., 82:3 (2018), 512-531.

[13] Д. Д. Киселев, "Оптимальное управление, всюду плотная обмотка тора и простые числа Воль-стенхольма", Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех., 73:4 (2018), 60-62; Moscow Univ. Math. Bull., 73:4 (2018), 162-163.

[14] D. D. Kiselev, "Applications of Galois Theory to Optimal Control", CEUR Workshop Proceedings, 1897 (2017), 50-56; Scopus: 85029102049.

[15] D. D. Kiselev, "Minimal p-extensions and the embedding problem", Comm. Algebra, 46:1 (2018), 290-321.

[16] S. I. Bogatava, S. A. Bogatvi, D. D. Kiselev, "Powers of elements of the series substitution group J(Z2)", Topology and its applications, 201 (2016), 29-56.

В работе [16] Д. Д. Киселеву принадлежит параграф §6 ([16, 6. Elements of finite order]).