Неприводимые ковры аддитивных подгрупп над полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Франчук Светлана Константиновна

• Франчук Светлана Константиновна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Франчук Светлана Константиновна

Введение

1 Ковры и ковровые подгруппы

над коммутативными кольцами

1.1 Матричные ковры

1.2 Группы Шевалле и их подгруппы

1.3 Ковры лиева типа

1.4 Примеры неприводимых незамкнутых ковров

2 Описание ковров над локально конечными

полями

2.1 Предварительные результаты

2.2 Основная теорема и ее доказательство

2.3 Полный матричный ковер

над локально конечным полем

3 Ковры типа С2 над полями

3.1 Примеры неприводимых ковров,

параметризуемых двумя различными полями

3.2 Неприводимые ковры типа С2

Заключение

Глоссарий

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неприводимые ковры аддитивных подгрупп над полями»

Введение

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению подгрупп групп Шевалле, определяемых коврами — наборами аддитивных подгрупп основного кольца определения.

Наборы идеалов и в общем случае аддитивных подгрупп

6 = {6j | 1 < i,j < n} (0.1)

определенного ассоциативного, необязательно коммутативного, кольца с условиями

6ir6rj с 6ij, 1 < i,r,j < n, (0.2)

возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Аддитивные подгруппы возникают в силу определения сложения матриц, а включения (0.2) происходят из матричного умножения и согласуются с коммутированием трансвекций, что и определяет различные приложения наборов (0.1) с включениями (0.2). Первыми, кто систематически применял в своих исследованиях такие наборы, были Ю.И. Мерзляков [18], Н.С. Романовский [23], З.И. Боревич [1], [2].

Понятия ковра и ковровой подгруппы были перенесены на группы Шевалле нормальных и скрученных типов различными способами (К. Сузуки [28], Н.А. Вавилов [5], В. М. Левчук [14, вопрос 7.28], [15]). Убрав из набора (0.1) все диагональные подмножества 6ii, мы получим элементарный ковер. Тогда элементарная ковровая подгруппа по определению совпадает с группой, порожденной всеми трансвекциями tij (u),

u E &ij. Элементарная группа Шевалле типа An-1 над коммутативным кольцом K изоморфна подгруппе специальной линейной группы SLn(K), порожденной всеми трансвекциями tij(u), u. При этом изоморфизме корневым элементам xr (u) определенным образом соответствуют трансвекции tij (u). Учитывая данный изоморфизм, К. Сузуки для каждой системы корней Ф называет ковром (в оригинале "carpet") типа Ф над кольцом K всякий набор его идеалов A = {Ar | r E Ф} с условием

ArAs С Ar+S, при r,s,r + s E Ф, (0.3)

и описывает в терминах ковровых подгрупп параболические подгруппы групп Шевалле над локальными кольцами с некоторыми ограничениями на их мультипликативные группы [28]. Перенося эти результаты на полулокальные кольца, Н.А. Вавилов называет наборы идеалов с условиями (0.3) сетями, а затем, описывая параболические подгруппы скрученных групп Шевалле, вводит аналог понятия сети для данных групп [5], [6]. В.М. Левчук заменил условия (0.3) в определении ковра на следующие включения

Cij>sArAS С Air+js, при r, s, ir + js e ф, i> 0, j > 0, (0.4)

где Cijrs — структурные константы из коммутаторной формулы Шевалле, которые могут принимать значения ±1, ±2, ±3, а Ar = {ai|a E Ar} [15]. При этом набор {Ar | r E Ф} не обязан состоять только из идеалов, в общем случае его элементами являются аддитивные подгруппы. Данное определение оказалось более естественным и позволило снять возникающие ранее ограничения на мультипликативную группу основного кольца в различных задачах, в частности, при описании параболических подгрупп. Отметим также, что в случае когда в системе корней, ассо-

циированной с группой Шевалле, все корни имеют одинаковую длину, то условия (0.3) и (0.4) совпадают.

С одной стороны, определения ковра и ковровой подгруппы возникали как инструмент при вычислении центральных и коммутаторных рядов определенных матричных групп над кольцами, а также при описании различных промежуточных подгрупп в группах Шевалле, в первую очередь, при описании параболических подгрупп, надгрупп диагональной подгруппы и групп, лежащих между группами лиева типа над кольцом и его подкольцом. С другой стороны, ковровые подгруппы можно рассматривать как обобщение исходных групп Шевалле и изучать их структуру, что и делается в настоящей диссертации. Ключевыми понятиями для ковров являются неприводимость и замкнутость. По определению ковер называется замкнутым, если его ковровая подгруппа не содержит новых корневых элементов, и он неприводим, если все его аддитивные подгруппы ненулевые.

Целью диссертационной работы является описание неприводимых ковров лиева типа при определенных ограничениях на аддитивные подгруппы ковра и основное поле коэффициентов.

Основные задачи работы:

1. Построить примеры незамкнутых ковров любого лиева типа над коммутативными кольцами.

2. Описать ковры над локально конечными полями ранга больше единицы.

3. Описать ковры типа С2 над полем К характеристики р > 0, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является Я-модулем, в

случае, когда К — алгебраическое расширение поля Я.

Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры, теории полей и теории групп.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами. В работе впервые указаны примеры неприводимых незамкнутых ковров любого лиева типа, в которых все подковры ранга 1, за исключением одного, замкнутые. С другой стороны, установлено, что любой неприводимый ковер лиева ранга больше единицы над локально конечным полем, с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадает с ковром, все аддитивные подгруппы которого равны некоторому фиксированному подполю основного поля, в частности, он является замкнутым. Оказалось, что для любых ковров типа С2 над полем характеристики р > 0 исключением является только р = 3.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации представляют теоретический интерес и вносят заметный вклад в теорию линейных групп и групп лиева типа. Кроме того, результаты можно ввести в учебный процесс в виде материала для проведения специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Красноярском алгебраическом семинаре (Сибирский федеральный университет, 2016-2021 гг.) и следующих конференциях:

1. Международная конференция "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2016 г., 2020 г.);

2. Российская научная конференция "Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2017г.);

3. Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (Москва, 2018г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [29] — [39]. Основные результаты диссертации опубликованы в [29] — [32] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, глоссария и списка литературы. Список цитированной литературы состоит из 28 наименований, а список работ автора из 11 наименований. Вся работа изложена на 62 страницах и включает в себя 11 рисунков. Главы подразделяются на параграфы. Основные результаты сформулированы в виде теорем.

В первой главе рассматриваются ковры и ковровые подгруппы над произвольным коммутативным кольцом. В параграфах 1.1 - 1.3 приводятся определения ковра и ковровой подгруппы, а также приведены два примера, которые дают отрицательный ответ на следующий вопрос: будет ли подгруппа М, порожденная своими пересечениями МПХг, г Е Ф ковровой? [20]. В параграфе 1.4 доказана следующая теорема, которая является основным результатом данной главы

Теорема 1.1. Пусть К — коммутативное кольцо с единицей 1,

Ж — кольцо целых чисел и пусть в К существуют ненулевой идеал I и аддитивная подгруппа J такие, что

Ж + I = Ж + I + 3.

Тогда для любой системы корней Ф существует неприводимый незамкнутый ковер типа Ф над К.

Теорема 1.1 обобщает методы построения примеров незамкнутых неприводимых матричных ковров, предложенных в 2011 году В.А. Кой-баевым [11] и переносит их на ковры лиева типа. Она дает примеры незамкнутых неприводимых ковров любого типа Ф над различными коммутативными кольцами. В этих примерах все подковры {Аг, А-г}, г € Ф, ранга 1 замкнутые, за исключением лишь одного. Поэтому данные примеры являются предельными в связи со следующим известным вопросом В. М. Левчука [14, вопрос 15.46].

Верно ли, что для замкнутости ковра А типа Ф над полем К необходима и достаточна замкнутость его подковров {Аг, А-г}, г € Ф, ранга 1 ?

Глава два посвящена описанию неприводимых ковров над локально конечным полем. В параграфе 2.1 приведены две следующие леммы, которые существенно используются при доказательствах основных результатов, как главы 2, так и главы 3.

Лемма 2.1. Сопрягая диагональным элементом Н(х) ковровую подгруппу Е(Ф, А) получим ковровую подгруппу

Н(х)Е (Ф, А)Н(х)-1 = Е (Ф, А), определяемую ковром А = {Аг | г € Ф}, где А'г = х(г)Аг.

Лемма 2.3. Пусть {a, b} — фундаментальная система корней для системы корней Ф типа A2, B2 или G2, A = {Ar | r G Ф} — неприводимый ковер типа Ф над локально конечным полем K, причем 1 G A-a П A-b. Тогда Ar = P, r G Ф, для некоторого подполя P поля K.

В [16] лемма 2.3 доказана В. М. Левчуком, исключая случай Ф = B2 при charK = 2 и случай Ф = G2 при charK = 2, 3.

Теорема 2.1. Пусть a = {Ar | r G Ф} — неприводимый ковер типа Ф ранга l > 2 над локально конечным полем K. Тогда с точностью до сопряжения диагональным элементом из расширенной группы Шевалле Ф^) все аддитивные подгруппы ar, r G Ф, совпадают с некоторым подполем P поля K, в частности, ковер a замкнут.

Теорема 2.1 доказана в параграфе 2.2, а в параграфе 2.3 получен аналогичный результат (теорема 2.2) для полного матричного ковра любого ранга (степени). Этот результат был получен В. М. Левчуком в 1983 году, исключая случаи, когда система корней типа Bi, Ci и F4 и характеристика поля равна 2 и система корней типа G2, характеристика поля равна 2 и 3 [16]. С другой стороны, в этой же статье [16] установлен критерий замкнутости любого ковра лиева типа над локально конечным полем. Теорема 2.1 усиливает этот результат для неприводимых ковров, так как в предположениях теоремы не накладывается условие замкнутости ковра A. Отметим также, что аналогичный результат доказали Р. Ю. Дряева, В. А. Койбаев и Я. Н. Нужин [8], где говорится, что любой неприводимый матричный ковер степени n > 3 над полем рациональных чисел замкнут. Для всех групп лиева типа подобный результат анонсировался С. А. Зюбиным в 2016 году в трудах Международной

конференции "Алгебра и логика: теория и приложения"[9].

Основным результатом главы три является Теорема 3.1. Пусть А = {Аг | г € Ф} — неприводимый ковер типа С2 над полем К характеристики p > 0. Предположим, что хотя бы одна из аддитивных подгрупп Аг является Я-модулем, где К — алгебраическое расширение поля Я. Тогда с точностью до сопряжения диагональным элементом из группы Шевалле С2(К) при p = 3 все Аг совпадают с некоторым подполем Р поля К, а при p = 3

{Р, если г — короткий корень, Q, если г — длинный корень.

для некоторых полей Р и Q, удовлетворяющих следующим включениям

Я С Р^ С К, (0.5)

Р3 С Q С Р. (0.6)

Ранее при р > 3 утверждение теоремы установил В. М. Левчук [16, следствие 3.2] и в этом случае ковер А параметризуется только одним полем. Теорема 3.1 снимает ограничение р > 3 для типа С2. В параграфе 3.1 приводятся примеры замкнутых ковров типа С2, параметризуемых двумя различными несовершенными полями, большее из которых является алгебраическим расширением меньшего, в частности,

Пример 3.2. Пусть Г — поле характеристики р и пусть 1,п алгебраически независимы над Г. Положим Р = Г(£,п), Q = Г(£3,п3) и

определим ковер А = {Аг | г Е Ф} типа С2 следующим образом

I Р, если г — короткий корень, Аг — \

I Q, если г — длинный корень. Тогда А является неприводимым замкнутым ковром. Более того, в [22]

доказано, что все такие ковровые подгруппы допускают разложение Брюа и являются простыми группами. Доказательство теоремы 3.1 приведено в параграфе 3.2.

Основные результаты:

1. Для коммутативных колец с единицей, ненулевым идеалом I и аддитивной подгруппой J такими, что Ъ + I — Ъ + I + J, доказано существование незамкнутых неприводимых ковров лиева типа, ассоциированных с любой системой корней [29].

2. Доказано, что любой ковер ненулевых аддитивных подгрупп, ассоциированный с группой Шевалле лиева ранга больше единицы над локально конечным полем, с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадает с ковром, все аддитивные подгруппы которого равны некоторому фиксированному подполю основного поля [30].

3. Описаны неприводимые ковры типа С2 над полем К характеристики р > 0, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является Я-модулем, в случае когда К — алгебраическое расширение поля Я. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут параметризоваться двумя различными полями только при р — 3, а для других р они определяются одним полем и в этом случае соответствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения

диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа С2 над промежуточными подполями Р, Я С Р С К [32].

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Нужину Якову Нифантьевичу за неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Автор благодарен всему коллективу Кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики СФУ за внимание и бесценные советы по написанию диссертации.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов: 16-01-00707 и 19-01-00566) и Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2021-1388).

1 Ковры и ковровые подгруппы над коммутативными кольцами

В первых трех параграфах данной главы приводятся определения ковра и ковровой подгруппы и другие основные определения диссертации. В четвертом параграфе для коммутативных колец с единицей, ненулевым идеалом I и аддитивной подгруппой J такими, что Ъ + I = Ъ + I + 3, доказано существование незамкнутых неприводимых ковров, ассоциированных с любой системой корней.

1.1 Матричные ковры

Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей 1, а п — натуральное число. Под аддитивной подгруппой кольца К мы понимаем любую подгруппу всей его аддитивной группы. Назовем полным (матричным) ковром степени п над кольцом К набор аддитивных подгрупп

А = {Ау | 1 < г] < п} кольца К, если выполняется следующее условие

А^Аку С Ау, 1 < г,], к < п.

Множество матриц

Мп(а) = {(ау) | аг] € Ау, 1 < г,] < п}

является кольцом, относительно обычных матричных операций сложения, умножения и называется ковровым кольцом.

Элементарным ковром называется набор аддитивных подгрупп

А = {Ау | 1 < г = ] < п} 13

(1.1)

кольца К, если выполняется следующее условие

АкА? С Агз, 1 < г — з — к < п. (1.2)

Отличие элементарного ковра от полного в том, что в первом диагональные элементы Агг не определены.

Далее е — единичная матрица, ег? — матрица, у которой на позиции (г,з) стоит 1, а на остальных местами нули. Матрицы

tгj(и) — е + иег?, и е Аг?, 1 < г,з < п, г — з

называются (элементарными) трансвекциями. Справедлива коммутаторная формула для трансвекций

е 3 — к,г — т,

\tгj(п),икт(у)} — ^ ит(ш), 3 — к,г — т, (1.3)

tkj(—уи), з — к,г — т Здесь и далее

\Х,У} — х—1у—1ху.

Формула (1.3) согласуется с условиями элементарной ковровости (1.2). Группа ЕП(А), порожденная трансвекциями

tгj (uгj ), П? е Аг?, 1 < г — 3 < П,

называется элементарной ковровой подгруппой. Для элементарного ковра А рассмотрим набор аддитивных подгрупп А — (Аг?), индуцированный трансвекциями из элементарной подгруппы ЕП(А). А именно для любых г — з положим

Аг? — {к е К | и?(к) е Еп(а)}.

В силу коммутаторной формулы (1.3) набор А — (Аг?) является элементарным ковром. Элементарный ковер А назовем замыканием ковра А.

Если А = А, то ковер А называется замкнутым (или допустимым). В действительности справедливо более общее утверждение, а именно, для любой подгруппы О общей линейной группы ОЬп(К) набор аддитивных подгрупп 0 = ) является элементарным ковром, если

= {к € К | ^(к) € О}.

Будем говорить, что элементарный ковер (1.1) степени п > 2 дополняется до полного ковра

А = {Ау | 1 < г,] < п}, (1.4)

если можно доопределить диагональные множества А^, 1 < г < п, так, чтобы

А^АГу С Ау, для всех г,г,]. (1.5)

Хорошо известно, что элементарный матричный ковер (1.2) дополняется до полного ковра (1.4) тогда и только тогда, когда

АуАуДу С Ау, 1 < г,] < п, г = ] (1.6)

(см., например, [3, с. 25] или [15, лемма 6]). Это дополнение можно получить, положив

п

^Ац — ^ ^ ^Ау, 1 < г < п^, з=1,

3 =

и в этом случае множество матриц вида е + Пу=1 пеу, где п € Ау, является полугруппой относительно матричного умножения. Как было уже сказано, элементарная ковровая подгруппа Е(А) по определению порождается трансвекциями

tij(п) = е + пеу, п € Ау, 1 < г,] < п, г = ].

Поэтому, если элементарный ковер дополняется до полного ковра, то он является замкнутым ковром. В частности, элементарный ковер, полученный из полного ковра отбрасыванием диагональных элементов, замкнут.

В 2011 году В.А. Койбаев построил пример незамкнутого элементарного ковра, все аддитивные подгруппы которого ненулевые [11]. Приведем его с подробными выкладками.

Пример 1.1. Пусть Г — произвольное поле, Г[х] — кольцо многочленов, Г(х) — поле рациональных функций с коэффициентами из Г. Для многочлена / Е Г[х] через йед] обозначим его степень. В поле Г(х) рассмотрим подкольцо

Я — {¡/д Е Г(х) | йедд — йед/ > 4} и аддитивные подгруппы

А — Г/х + Г + Я,

В — Г/х2 + Г + Я. Определим элементарный ковер А — (Аг?) порядка п следующим обра-

зом:

для остальных г, з — 1 , 2

А12 — А, А21 — В,

В силу определения элементарного и задания конкретного ковра А при з, к — 1, 2, должны выполнятся следующие импликации:

А12А2? С А? ^ АЯ С Я, (1.7)

А21АЦ С А2у ^ ВЯ С Я,

(1.8)

А^Аку С Aij ^ ЯЯ С Я,

(1.9)

А1кАк2 С А12 ^ ЯЯ С А

(1.10)

А2кАк1 С А21 ^ ЯЯ С В.

(1.11)

В силу задания аддитивных подгрупп А, В и кольца Я включения

из импликаций (1.7) — (1.11) легко проверяются. Таким образом, набор А является элементарным ковром. Однако, он не является замкнутым. Действительно, положим

В силу построения ковра А элемент Ь лежит в ковровой подгруппе Е(А)

поэтому 1/х € (А21), но 1/х не содержится в группе А21 = В. Следовательно, исходный ковер не является замкнутым.

В параграфе 1.4 пример 1.1 переносится на все группы лиева типа и для более широких классов колец.

1.2 Группы Шевалле и их подгруппы

Группы Шевалле возникают как группы автоморфизмов простых алгебр Ли, которые в свою очередь определяются системой корней. Далее Ф — приведенная неразложимая система корней ранга I, П = {г1,...,г/} — множество ее фундаментальных корней, W — группа Вейля типа Ф,

АЯ С Я, ВЯ С Я, ЯЯ С Я, ЯЯ С А, ЯЯ С В

Ь = *12( —1)*21(1)*12( —1).

Ь—1^12(1/х)Ь = ¿21 ( 1/х) € Е(А),

которая порождается фундаментальными отражениями гшГ1, г — 1,...1. Всегда считаем, что г1 — короткий корень и сумма гг + г? ,г < ], является корнем тогда и только тогда, когда: (%,]) — (I — 3,1) или (г, г + 1), 1 < г < I — 2, если Ф — Е{;(г,з) — (1,3) или (г, г + 1), 2 < г < I — 1, если Ф — Д/;(г,]) — (г, г + 1) — в остальных случаях. Тогда на схеме Дынкина фундаментальные корни расположатся следующим образом (рисунки 1-7):

Рисунок 1. Схема Дынкина типа А/

Рисунок 2. Схема Дынкина типа В/

Рисунок 3. Схема Дынкина типа С/

Рисунок 4. Схема Дынкина типа О/

Рисунок 5. Схема Дынкина типа Е/ 18

Г1 Г 2 г3 Г4 о-о о-о

Рисунок 6. Схема Дынкина типа

П г2

о о

Рисунок 7. Схема Дынкина типа О2

Системы корней ранга 2 исчерпываются следующими четырмя системами, изображенных на рисунках 8-11, причем система корней на рисунке 8 разложима.

Рисунок 8. Система корней типа А1 х А1

Рисунок 9. Система корней типа А2

Рисунок 10. Система корней типа В2

Рисунок 11. Система корней типа С2

Через ф(К) обозначим группу Шевалле типа Ф над полем К. Группа Ф(К) порождается своими корневыми подгруппами Х3,в Е Ф. При в Е Ф имеем Х8 — х8(К), где х8 — изоморфизм аддитивной группы К + поля К на Х8.

В группе Шевалле нормального типа для любых линейно независимых корней г, в и любых Ь,п из поля К справедлива коммутаторная формула Шевалле

[х8(и),хг — Хгг+?в(Сг?,гв(—)гиг)

(1.12)

г,?>0

где произведение берется в порядке возрастания г + ] по всем парам

положительных целых чисел г и ], для которых гг + ]в является корнем. Константа Оу,^ совпадает с одним из чисел ±1, ±2, ±3.

В применении результатов по линейным группам степени 2 к группам Шевалле мы будем использовать гомоморфизм группы БЬ2(К) на подгруппу (Хг ,Х-Г), продолжающий отображение

Пусть £ € К *, где К * — мультипликативная группа К, тогда образы матриц

обозначаются соответственно через Нг (£) и пг (£). При этом для любых г, в € Ф,£,п € К * имеем

— отражение относительно корня г.

Выделим некоторые подгруппы в группе Ф(К). По определению

пг х5(п)пг 1 = хШг (.?)(±п),

кг (г)х3(п)К (£-1) = х5(п£2(г,5)/(г,г)),

где

пг = пг (1),

и = (Хг|г € Ф^ ,

V = (Хг|г € Ф-) , Н = (Нг(£)|г € Ф,£ € К*) ,

N = (пг(£)|г € Ф,£ € К*) .

Эти подгруппы будем называть соответственно верхней унипотентной, нижней унипотентной, диагональной и мономиальной.

Пусть Р — 2Ф — линейная оболочка системы корней Ф над кольцом целых чисел. Р является свободной абелевой группой ранга I с базой, состоящей из фундаментальных корней П. Гомоморфизм аддитивной группы Р в мультипликативную группу К * называется К-характером группы Р. Таким образом, К-характер группы Р есть отображение из Р в К*, удовлетворяющее условиям:

Х(а + ъ) — X(a)X(ъ), а,ъ Е Р;

Х(-а) — Х(а)-1,а Е Р. Ясно, что К-характеры однозначно определяются своими значениями на фундаментальных корнях. С каждым К-характером х можно связать автоморфизм Н(х) простой алгебры Ли типа Ф над полем К и все такие автоморфизмы порождают коммутативную группу Н, которая нормализует группу Шевалле Ф(К). Более того, для любого К -характера Х

н(х)хг(г)Н(х)-1 — хг(х(г)г), г е ф. (1.13)

Диагональная подгруппа Н является подгруппой группы Н, причем нг (г) — Н(х), X — Хт,и г е ф,г е к *,

а

Хт,г(в) — г2(г,')/(г,г) г Е ф,г Е к*.

Отметим также, что через будем обозначать один из прообразов элемента и) из группы Вейля в мономиальной подгруппе N группы

Ф(К), коэффициенты которого лежат в простом подполе поля К.

1.3 Ковры лиева типа

Пусть Ф — приведенная, неразложимая система корней ранга I, Е(ф,К) — элементарная группа Шевалле типа Ф над коммутативным кольцом К с единицей. Группа Е(Ф, К) порождается своими корневыми подгруппами

Хг = хг(К) = {хг(£) | г € Ф, £ € К}.

Подгруппы Хг абелевы для каждого г € Ф и любых £,и € К справедливы соотношения

хг (£)хг (и) = хг (£ + и). (1.14)

Следуя В.М. Левчуку [15], назовем ковром типа Ф ранга I над К всякий набор аддитивных подгрупп

А = {Аг | г € Ф},

кольца К с условием

Оу^АГА^ С А^.^, при г, в, гг + ]в € Ф, г,] > 0, (1.15)

где

АГ = {а | а € Аг},

а константы Оу,^ = ±1, ±2, ±3 определяются коммутаторной формулой Шевалле

[хДи),хг(£)] = П Xir+js(Оij,rs(—£)iui), г, в, г + в € Ф. (1.16)

Всякий ковер А типа Ф над К определяет ковровую подгруппу

Е(Ф, А) = (хг(Аг) | г € Ф), 23

группы Шевалле Е(ф,К), где (М) — подгруппа, порожденная множеством М.

Замечание 1.1. Условие ковровости обеспечивает следующий факт: в правой части коммутаторной формулы Шевалле каждый из сомножителей лежит в ковровой подгруппе.

В работе Я.Н. Нужина [20] рассматривается следующий вопрос: будет ли подгруппа М, порожденная своими пересечениями МПХт, г Е Ф ковровой?

Если Ф — А1, или Е1, то для любой пары линейно независимых корней г, в и любых г, и Е К

I хт+,(±ги), если г + в Е Ф,

[хт (г) ха (и)] — <

I 1, если г + в Е Ф, и, следовательно, подгруппа М, порожденная пересечениями

М П Хт — хт(Ат), г Е Ф, является ковровой и определяется ковром аддитивных подгрупп

А — {Ат | г Е Ф}.

Однако, в общем случае, как показывают примеры 1.2 и 1.3, ответ на указанный выше вопрос отрицательный.

Пример 1.2. [20] Пусть М — подгруппа группы Шевалле типа В2 над полем характеристики 2, порожденная двумя корневыми элементами ха(1) и хь(1), где а и Ъ — фундаментальные корни. Так как в этом случае корневые элементы ха(1) и хь(1) являются инволюциями и их произведение имеет порядок 4, то М является диэдральной группой порядка 8. Коммутатор этих корневых элементов совпадает с квадратом

произведения и

[ха(1),хЬ(1)] = ха+Ъ (1)х2а+б(1),

но по отдельности элементы ха+ъ(1) и х2а+ъ(1) не лежат в М и, следовательно, М не является ковровой подгруппой.

Пример 1.3. Пусть М — подгруппа группы Шевалле типа С2 над полем из трех элементов Fз, порожденная двумя корневыми элементами ха(1) и хЪ(1), где а и Ь — фундаментальные корни, М = (ха(1),хЪ(1)) . Тогда

[ха(1),хЪ(1)] = ха+Ъ(£1)х2а+Ъ(£2)х3а+Ъ(£з)х3а+2Ъ(£4)

для некоторых £-1 = ±1. Покажем, что по отдельности элементы ха+ъ(£1) и х3а+ъ(£3) не лежат в М. Очевидно, любой диагональный элемент Н(х) (см. параграф 1.2) из группы Шевалле С2^3) нормализует группу М. Отметим также, что для типа С2 расширенная группа Шевалле совпадает с элементарной группой. Любой F3-характер х однозначно задается значениями на фундаментальных корнях и для любых г € Ф и £ € F3

Н(Х)хг (£)Н(х) — 1 = хг (х(г)£). Пусть х(а) = х(Ь) = —1. Тогда

Н(х)[ха(1), хъ(1)]Н(х)—1 = ха+Ъ(£1)х2а+Ъ(—£2)х3а+Ъ(£3)х3а+2Ъ(—£4). Следовательно, в М лежат произведения

ха+ъ(£1)х3а+ъ(£3) и х2а+ъ(£2)х3а+2ъ(£4). Полагая х(а) = 1, х(Ь) = —1, получаем

Н(х)х2а+ъ(£2)х3а+2ъ(£4)Н(х)—1 = х2а+ъ( — £2)х3а+2ъ(£4).

Следовательно, в М лежат оба корневые элементы х2а+ь(^2) и х3а+2ь(е4). Подгруппа М1, порожденная этими двумя корневыми элементами вместе с произведением ха+ъ(£1)х3а+ъ(£3), является нормальной элементарной абелевой подгруппой порядка 27. Это вытекает из следующих равенств:

[ха(1),х2а+ь(1)] — х3а+б(±3) — 1,

[ха(1),хэа+б(1)] — 1,

[ха(1),ха+б(£1)х3а+б(£з)] — х2а+б(±2)х3а+б(±3)х3а+2б(±3) — х2а+ь (±1),

[хЬ(1),х2а+б(1)] — 1,

[хЬ(1),х3а+2б(1)] — 1,

[хЬ(1),ха+Ь (£1)х3а+ь(£3)} — х3а+2б(±1).

Таким образом, произведение ха+ь(£1)х3а+ь(£3) в группе М не расщепляется, то есть по отдельности элементы ха+ь^) и х3а+ь(^3) не лежат в М. Следовательно, в силу замечания 1.1 условия ковровости нарушаются и поэтому группа М не является ковровой.

По произвольному ковру А типа Ф вводим новый набор аддитивных подгрупп

А — {Ат| г Е Ф},

где

Ат — {г Е К| хт(г) Е Е(Ф, А)},

и называем его замыканием ковра А. Элементарный ковер А типа Ф ранга I называется замкнутым (в статье В. М. Левчука допустимым[15]), если его ковровая подгруппа Е(Ф, А) не имеет новых корневых элементов, то есть, если А — А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Франчук Светлана Константиновна, 2021 год

Список литературы

1 Боревич З. И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ.— 1976.—Т. 13.—№ 3.— С. 16-24.

2 Боревич З. И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ.— 1976.— Т. 19.—№ 4.—С. 29-34.

3 Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвек-циями // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР.—1978.— Т. 75.—С. 22-31.

4 Боревич З. И., Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом // Доклады АН СССР.—1982.— Т. 267—С. 777-778.

5 Вавилов Н.А. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. — Т. 75.—1978. — С. 43-58.

6 Вавилов Н.А. О параболических подгруппах групп Шевалле скрещенного типа над полулокальным кольцом // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. — Т. 94.—1979. — С. 21-36.

7 Вавилов Н.А. Весовые элементы групп Шевалле // Алгебра и анализ. — 2008. —Т. 20:1.—С. 22-85.

8 Дряева Р.Ю., Койбаев В.А., Нужин Я.Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2017. — Т. 455. — С. 42-51.

9 Зюбин С. А. Ковры аддитивных подгрупп над полем рациональных чисел // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 70-летию А.Ю. Ольшанского (г. Красноярск, 27 июля -2 августа 2016 года). — С. 24-25.

10 Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавказский математический журнал. — 2010.— Т. 12. № 4.— С. 39-43.

11 Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2011.— Т. 17. № 4.— С. 134-141.

12 Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольца Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца // Фундамент. и прикл. матем. — 2013. — Т. 18. — № 1. — С. 75-84.

13 Койбаев В. А., Нужин Я.Н. к-Инвариантные сети над алгебраическим расширением поля к. // Сибирский математический журнал. — 2017. — Т. 58. № 1. — С. 143-147.

14 Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 18-е изд. Новосибирск, ИМ СО РАН, 2014, 253 с.

15 Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Математические заметки. — 1982. — Т. 31. — № 4. — С. 509-525.

16 Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика. — 1983. — Т. 22. № 5. — С. 504-517.

17 Ленг С. Алгебра // Москва, Наука, 1965, 431 с.

18 Мерзляков Ю. И. Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп // Алгебра и логика. Семинар — Т. 3. — № 4 — 1964. — C. 49-59

19 Нужин Я. Н. О подгруппах групп Шевалле типа Bi, Ci, F4 и G2, параметризуемых двумя несовершенными полями характеристики 2 и 3. // Математика в современном мире. — 2017. — С. 90.

20 Нужин Я. Н. Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами // Журн. Сибирского федерального ун-та.—2011.—Т. 4, № 4.— С. 527-535.

21 Нужин Я. Н. Разложение Леви для ковровых подгрупп групп Шевалле над полем // Алгебра и логика. — 2016. — Т. 55. — № 5. — С. 558-570.

22 Нужин Я. Н., Степанов А.В. Подгруппы групп Шевалле типов Bi и Ci, содержащие группу над подкольцом, и связанные с ними ковры // Алгебра и анализ. — 2019. — Т. 31. — № 4. — С. 198-224.

23 Романовский Н.С. О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом. // Математические заметки. — Т. 9. — № 6. — 1971. — С. 699-708.

24 Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле // Москва, Мир, 1975.

25 Carter R. W. Simple Groups of Lie Type. — John Wiley and Sons, 1972.

26 Dickson L. E. Linear Groups with an Exposition of the Galois FieldTheory. — Leipzig: Teuber, 1901.

27 Steinberg R. Generators for simple groups // Canad. J.Math., 1962, Vol. 14, p. 277-283.

28 Suzuki K. On parabolic subgroups of Chevalley groups over local rings, Tohoku Math. J., 29(1976), №1, p. 57-66.

Работы автора по теме диссертации:

29 Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. О замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2015. — Т. 21. — № 3.—С. 192-196.

30 Койбаев В.А., Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. Подгруппы групп Шевалле над локально конечным полем, определяемые набором аддитивных подгрупп // Математические заметки. — 2017. — Т. 102. — С. 857-865.

31 Франчук С. К. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа С2 // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». — 2019. — Т. 27. — С. 80-86.

32 Франчук С. К. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа С2 над полями характеристики р > 0 // Владикавказский математический журнал — 2020. — Т. 22. № 1.— С. 77-83.

33 Куклина С.К., Лихачева А.О. Примеры незамкнутых ковров аддитивных подгрупп // Молодежь и наука: сборник материалов Х Юбилейной Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 80-летию образования Красноярского края. Красноярск, 15-25 апреля 2014. [Электронный ресурс] — Красноярск: Сибирский федеральный университет. — 2014. — С. 76-78.

34 Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. Примеры незамкнутых ковров // Алгебра и приложения: труды международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина. — Нальчик: издательство КБГУ. — 2014. — С. 54-57.

35 Куклина С.К. О замкнутости ковров типа С2 над коммутативными кольцами // Сборник материалов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука: проспект Свободный- 2015», посвященной 70-летию Великой Победы. Красноярск, 15-25 апреля 2015. [Электронный ресурс] — Красноярск : Сибирский федеральный университет. — 2015.— С.11-12.

36 Куклина С.К. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа С2 // Сборник материалов международной кон-ференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Проспект Свободный - 2016», посвященной Году образования в Содружестве Независимых Государств. «Математика, информатика: алгебра, математическая логика и дискретная математика». Красноярск, 15-25 апреля 2016. [Электронный ресурс] — Красноярск : Сибирский федеральный университет. — 2016. — С. 32-33.

37 Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. О замкнутости ковров аддитивных подгрупп над локально конечным полем // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 70-летию А.Ю. Ольшанского (г. Красноярск, 27 июля - 2 августа 2016 года). — С. 3637.

38 Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп над локально конечными полями // Маль-цевские чтения: Международная конференция: Тезисы докладов (Новосибирск, 21-25 ноября 2016 года). — Новосибирск: Издательство Института математики. — 2016. — С. 93. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/16/malmeet16.pdf

39 Kuklina S.K. On irreducible carpets of additive subgroups of type G2 // Тезисы докладов, представленных на международную алгебраическую конференцию, посвященную 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша — Москва: издательство МГУ — 2018. — С. 247-248.