Метод инвариантных эллипсоидов для подавления ограниченных внешних возмущений в линейных системах управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Хлебников, Михаил Владимирович

• Хлебников, Михаил Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хлебников, Михаил Владимирович

Введение.

1. Задача подавления ограниченных внешних возмущений

2. Структура и содержание диссертации.

3. Список обозначений.

1. Управление по состоянию.

1.1. Управление по состоянию для непрерывных систем.

1.1.1. Задача анализа.

1.1.2. Синтез оптимального управления.

1.2. Управление по состоянию для дискретных систем.

1.2.1. Задача анализа.

1.2.2. Синтез оптимального управления.

1.3. Примеры.

1.4. Выводы.

2. Управление по выходу.

2.1. Фильтрация.

2.2. Управление по выходу

2.2.1. Управление по выходу: непрерывный случай.

2.2.2. Управление по выходу: дискретный случай.

2.3. Примеры.

2.4. Выводы.

3. Управление при наличии неопределенностей.

3.1. Лемма Питерсена и ее обобщения.

3.1.1. Лемма Питерсена.

3.1.2. Радиусы знакоопределенности и невырожденности

3.1.3. Лемма Питерсена для нескольких неопределенностей

3.2. Управление по состоянию: робастный вариант.

3.2.1. Непрерывный случай.

3.2.2. Дискретный случай.

3.3. Фильтрация: робастный вариант.

3.4. Нехрупкий регулятор.

3.5. Примеры.

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод инвариантных эллипсоидов для подавления ограниченных внешних возмущений в линейных системах управления»

1. Задача подавления ограниченных внешних возмущений

Задача подавления внешних возмущений является одной из основных в теории управления и рассматривается в различных ее разделах. В линейно-квадратичной оптимизации рассматриваются задачи со случайными гауссов-скими помехами (т. н. линейно-квадратичная гауссовская задача, Ь0,О). Проблема Нос-оптимизации связана либо с гармоническими внешними возмущениями, либо со случайными гауссовскими, либо с возмущениями из класса ¿2 (т. е., по-существу, убывающими с течением времени). Однако во многих практических случаях внешние возмущения являются просто ограниченными; какая-либо дополнительная информация о них отсутствует.

Задачей о подавлении неслучайных ограниченных внешних возмущений стали интересоваться еще в середине прошлого века. В 1940-е годы т. н. проблемой о накоплении возмущений занимался Б.В. Булгаков [10]. Однако основное внимание тогда уделялось проблеме анализа — каково максимальное отклонение, вызываемое произвольными ограниченными внешними возмущениями, что, по сути, являлось задачей программного оптимального управления, поскольку внешние возмущения рассматривались как управления. Лишь значительно позже появляются работы по компенсации ограниченных возмущений (см. [42]), в которых, впрочем, не предлагались методы синтеза оптимальных регуляторов.

Отметим еще, что ранее чаще употреблялся термин управление при постоянно действующих возмущениях или возмущенное движение', термин подавление внешних возмущений (заимствованный из западной литературы оборот rejection of external perturbations) появился позже.

Впервые задача об оптимальном подавлении неслучайных ограниченных возмущений в дискретном случае была сформулирована в работе Е.Д. Якубович [52] и, для некоторых частных случаев, решена в [7,52, 96]. Полное решение было построено в работах А.Е. Барабанова и О.Н. Граничина [8] и, позже, — М. Далеха и Дж. Пирсона [66]. Впоследствии эта теория получила название ^-оптимизации. Однако методы /¡-оптимизации имеют ряд существенных недостатков: ее применение к задаче синтеза оптимального управления часто приводит к регуляторам очень высокого порядка; отметим и асимптотический характер получающихся оценок. Наконец, решение важной задачи описания достижимых множеств для систем, подверженных действию ограниченных внешних возмущений, достаточно сложно. Обобщение приведенные результатов на непрерывный случай (т.н. L{-оптимизация) вызывает дополнительные сложности.

Наряду с /¡-оптимальным управлением хорошо известны также методы динамического программирования для подобных задач [57,68,70]. Ограниченные возмущения также изучаются в работах, посвященных исследованию собственно множеств достижимости (отметим здесь работы JI.C. Гноенско-го [13], Д. Бертсекаса и И. Родеса [57], A.M. Формальского [44]), а также в теории дифференциальных игр [11,27,54]. Специальные методы борьбы с внешними возмущениями предложены в теории систем переменной структуры. Управление на скользящих режимах для решения этой проблемы изучается в работах C.B. Емельянова и С.К. Коровина [17,20,26], В.И. Уткина [43], В.А. Уткина и других. В целом, подавление ограниченных возмущений традиционно считается трудной задачей в теории управления [36,37].

Существует иной подход к данной проблематике, основанный на методе эллипсоидального оценивания. Эллипсоиды довольно широко используются в различных задачах теории гарантированного оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах при наличии неопределенностей. Принципиальными в этом направлении можно считать работы Ф. Швеппе [92], Д. Бертсекаса и И. Родеса [57, 58], А.Б. Куржанского [30], Ф.Л. Черноусько [47]. Отметим, что во многих случаях эллипсоиды оказываются удобными аппроксимациями для областей достижимости динамических систем; это позволяет широко их использовать в задачах анализа; например, работа А.В. Назина, С.А. Назина и Б.Т. Поляка [32] посвящена эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости линейной дискретной системы.

В теории систем и автоматического управления также активно применяется концепция инвариантности (см. обзорную статью Ф. Бланкини [60] и недавнюю монографию Ф. Бланкини и С. Миани [61]). Среди различных форм инвариантных множеств особо выделяются эллипсоиды из-за их простой структуры и прямой связью с квадратичными функциями Ляпунова. Ввиду этого, в рамках эллипсоидального описания, в качестве технического средства может быть использован мощный аппарат линейных матричных неравенств {Linear Matrix Inequality, LMI) и полуопределенного программирования (Semidefinite Programming, SDP). Первой работой, в которой систематически изложена техника LMI, является книга С. Бойда с соавторами [62], а первой монографией на русском языке, посвященной этому вопросу, является книга Д.В. Баландина и М.М. Когана [5].

Необходимо упомянуть, что техника LMI, очень популярная в последнее время, уже использовалась в целях подавления возмущений [5,53,59,62]. Однако в большинстве работ не рассматривались задачи подавления Loo-ограниченных возмущений. В [67] L.2-ограниченные возмущения рассматривались в пространстве состояний на языке уравнений Риккати; в [74] для задач с L2-ограниченными возмущениями была впервые применена LMI-техника. В [5, гл. 8] техника LMI также применялась для подавления возмущений, ограниченных в /^-норме. В статье Дж. Абедора с соавторами [53] решаются задачи анализа и синтеза при ограниченных внешних возмущениях, но в ней рассматривается лишь непрерывный случай; кроме того, в [53] не используется явно техника LMI.

Отметим, что в западной литературе рассматриваемый круг вопросов называется peak-to-peak gain minimization. Это означает, что целью является уменьшение максимального {пикового) значения выхода при ограниченных максимальных значениях возмущений (речь идет о системах с одним входом - одним выходом; эллипсоидальная техника обобщает этот подход на многомерный случай).

В диссертации предлагается общий подход к широкому классу задач, связанных с подавлением неслучайных ограниченных внешних возмущений. Он основан на методе инвариантных эллипсоидов и систематическом использовании техники LMI. Применение этой концепции позволяет свести синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эллипсоида замкнутой динамической системы. Такой подход приводит к простым оптимальным (или субоптимальным) регуляторам; он имеет большой потенциал,и возможности для обобщений и в равной мере распространим как на непрерывный, так и на дискретный вариант задачи.

Для решения полученных задач существуют мощные вычислительные методы [33,63,83] и соответствующие пакеты программ, среди которых особо отметим свободно распространяемые программные пакеты YALMIP [79], SeDuMi [93] для системы MATLAB [3,48], а также пакет cvx [71], разработанный под руководством С. Бойда.

Мы ограничиваемся случаем линейных стационарных систем, для которого предлагаемая техника особенно проста и наглядна. Однако идеология инвариантных эллипсоидов может быть применена и в более общих ситуациях, см. по этому поводу [60-62,89].

В каждой из глав диссертации дан обзор литературы по соответствующей тематике.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Хлебников, Михаил Владимирович

3.6. Выводы

В главе предложен простой и универсальный подход к решению задачи робастного подавления произвольных ограниченных внешних возмущений с помощью статической линейной обратной связи по состоянию. Как и в предыдущих главах, применение концепции инвариантных эллипсоидов позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств и свести ее к задачам полуопределенного программирования и одномерной минимизации, легко решающихся численно.

Эффективность полученных результатов продемонстрирована на примерах систем достаточно большого порядка.

Сравним полученные результаты с ранее известными, в частности, с результатами, полученными в наиболее близкой по тематике работе [81].

1) Работа [81] посвящена вопросам устойчивости и стабилизации интервальной системы. В диссертации рассмотрена задача в существенно более общей постановке; при этом: разработан простой и универсальный подход к решению задачи робастного подавления ограниченных внешних возмущений в линейной динамической системе с помощью линейной обратной связи по состоянию; предложен метод решения задачи робастной фильтрации для линейной стационарной системы с ограниченными внешними возмущениями; предложен способ построения нехрупкого регулятора, т. е. допускающего вариации его параметров.

2) Получены разнообразные обобщения и уточнения леммы Питерсена о ро-бастной матричной знакоопределенности, которая часто привлекается при решении задач квадратичной устойчивости, построении робастно квадратично стабилизирующих регуляторов, в робастной LQR-задаче и др.; необходимые условия устойчивости системы, полученные в [81], являются ошибочными (см. [82]).

3) В равном объеме рассмотрен как непрерывный, так и дискретный вариант задачи; в [81] исследован только непрерывный случай.

4) В качестве целевой функции выбран критерий следа; это позволило свести соответствующую проблему к стандартной задаче SDP; в работе [81] не рассматривается понятие инвариантного эллипсоида и тем более авторы не задаются целью его минимизации.

5) Введено понятие "наихудших" матричной неопределенности и внешнего возмущения и получены соотношения для их определения в непрерывном и дискретном случае.

Заключение

В диссертации исследован комплекс вопросов, связанных с проблемой подавления неслучайных ограниченных внешних возмущений в линейных управляемых системах. Для решения поставленной проблемы используется метод инвариантных эллипсоидов, который сводит синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эллипсоида замкнутой динамической системы.

Применение концепции инвариантных эллипсоидов позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств, а сам синтез регулятора непосредственно свести к задачам полуопределенного программрхрования и одномерной выпуклой минимизации, легко решающихся численно.

В диссертации решены следующие основные задачи.

1) Разработан метод синтеза оптимального управления с помощью статической линейной обратной связи по состоянию для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями. Исходные задачи сведены к эквивалентным условиям в виде линейных матричных неравенств и задаче полуопределенного программирования.

2) Предложенный подход учитывает возможную неопределенность в начальном состоянии системы, а также наличие ограничений на управление.

3) Помимо случая евклидовых ограничений исследован случай интервальных ограничений на допустимые возмущения.

4) Предложен метод решения задачи фильтрации (оценки состояния динамической системы по измерениям) для непрерывных и дискретных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями. Построен оптимальный фильтр и найдена равномерная оценка состояния.

5) Разработан способ подавления ограниченных внешних возмущений для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с помощью линейной обратной связи по выходу с использованием наблюдателя. При этом используется оценка состояния, получаемая с помощью наблюдателя Люенбергера.

6) Получены разнообразные обобщения и уточнения леммы Питерсена о ро-бастной матричной знакоопределенности, которая часто используется при решении задач квадратичной устойчивости, построении робастно квадратично стабилизирующих регуляторов, в робастной ЬСЖ-задаче и др.

7) Предложен способ построения нехрупкого (допускающего вариации параметров) регулятора в форме статической линейной обратной связи по состоянию для подавления ограниченных внешних возмущений в непрерывных и дискретных линейных динамических системах.

8) Разработаны методы решения робастных вариантов задач синтеза оптимального управления с помощью линейной обратной связи по состоянию, задачи фильтрации, а также задачи построения нехрупкого регулятора для непрерывных и дискретных линейных динамических систем с ограниченными внешними возмущениями.

9) Введено понятие "наихудшего" внешнего возмущения и матричной неопределенности и получены соотношения для их определения в непрерывном и дискретном случае.

10) Доказательства полученных утверждений основываются на новой технике, использующей модифицированный вариант 5-процедуры — с двумя ограничениями.

Эффективность полученных результатов продемонстрирована на примерах систем достаточно большого порядка.

Для линейных стационарных систем предлагаемая в диссертации техника особенно проста и наглядна, однако, идеология инвариантных эллипсоидов может быть применена и в более общих ситуациях.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хлебников, Михаил Владимирович, 2009 год

1. АНДРЕЕВ Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // Автоматика и телемеханика. 1982. №10. С. 5-46.

2. Андронов A.A., Понтрягин JI.C. Грубые системы // Андронов A.A. Собрание трудов. М.: АН СССР, 1956. С. 183-187.

3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова E.H. Matlab 7 в подлиннике. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.4. баландин Д.В., Коган М.М. Синтез грубых регуляторов на основе линейных матричных неравенств // Автоматика и телемеханика. 2006. №12. С. 154-162.

4. Барабанов А.Е. Оптимальное управление неминимально-фазовым дискретным объектом с произвольным ограниченным шумом // Вестник ЛГУ. Серия: математика. 1980. Т. 13. С. 119-120.

5. Барабанов А.Е., Граничин О.Н. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом // Автоматика и телемеханика. 1984. №5. С. 39-46.9. беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. — 368 с.

6. B.В. Александрова. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1993. С. 7-29.

7. Голуб Дж., Ван Лоан Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. — 548 с.

8. Гусев C.B., Лихтарников А.Л. Очерк истории леммы Калмана-Попо-ва-Якубовича и 5-процедуры // Автоматика и телемеханика. 2006. №11.1. C. 77-121.

9. ДАВЫДОВ A.A. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах // Успехи математических наук. 1982. Вып. 37. №3. С. 183-184.

10. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. — 336 с.

11. Емельянов C.B., Коровин С.К., Сизиков В.И. Бинарные системы управления свободным движением динамических объектов. М.: Меж-дунар. НИИ проблем управления. Серия: Бинарные динамические системы. 1983. Вып. 3. 90 с.

12. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического управления. М.: Междунар. НИИ проблем управления. Серия: Бинарные динамические системы. 1984. Вып. 1. — 313 с.

13. Емельянов C.B., Коровин C.K. Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности. М.: Наука, 1997. — 352 с.

14. Емельянов C.B. Избранные труды по теории управления. М.: Наука, 2006. 450 с.

15. Жермоленко В.Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы // Автоматика и телемеханика. 2001. №2. С. 122-134.

16. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Известия РАН. ТиСУ. 2007. №3. С. 75-80.

17. ЗУБОВ В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Суд-промгиз, 1962. — 630 с.26. коровин с.к., фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. — 224 с.

18. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. — 456 с.

19. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. — 520 с.

20. КУНЦЕВИЧ В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. Киев: Нау-кова думка, 2006. — 261 с.

21. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. — 392 с.

22. Малкин И.г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. — 432 с.

23. Назин A.B., Назин с.а., Поляк Б.Т. О сходимости внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости линейных дискретных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2004. №8. С. 39-61.

24. Нестеров Ю.Е. Методы выпуклой оптимизации. М.: МЦНМО, 2009.

25. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. 303 с.

26. Семенов Ю.М. Введение в теорию достижимости линейных систем. — Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 2006. — 134 с.

27. Сиротин А.Н., Формальский A.M. Области достижимости и управляемости линейных дискретных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. №4. С. 5-16.

28. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях // Автоматика и телемеханика. 2003. №12. С. 17-32.

29. Уланов Г.М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971. — 318 с.

30. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления.1. М.: Наука, 1981.- 368 с.

31. Формальский А.М. Об угловых точках границ областей достижимости // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 4. С. 566-574.45. фурасов В.Д. Задачи гарантированной идентификации. М.: Бином, 2005. 152 с.

32. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. — 656 с.

33. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. — 320 с.

34. Чурилов А.Н., ГЕССЕН A.B. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2004. 148 с.

35. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский матем. журнал. 1973. Т. 14. №2. С. 384-419.

36. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1975. №9. С. 73-79.

37. Abedor J., Nagpal К., Poolla К. A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain minimization // Int. J. of Robust and Nonlinear Control. 1996. No. 6. P. 899-927.

38. Basar Т., Olsder G. Dynamic Noncooperative Game Theory. N.Y.: Acad. Press, 1982.

39. Basar Т., bernhard P. Яоо-Optimal Control and Related Minimax Design Problems: a Dynamic Game Approach. Boston: Birkháuser, 1995.56. ben-tal A., Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization. Philadelphia: SIAM, 2001.

40. Blanchini E, Sznaier M. Persistent disturbance rejection via static state feedback// IEEE Trans. Automat. Control. 1995. No. 40. P. 1127-1131.

41. BLANCHINI F. Set invariance in control — a survey // Automatica. 1999. No. 35. P. 1747-1767.

42. Blanchini R, Miani S. Set-Theoretic Methods in Control. Birkhauser, 2008.

43. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

44. Boyd S., Vandenberge L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.64. brickman L. On the field of values of a matrix // Proceedings of the American Mathematical Society. 1961. No. 12. P. 61-66.

45. Chernousko F., polyak B. (eds) Special issue: Set-membership Modelling of Uncertainty in Dynamical Systems. Math, and Comp. Modelling of Dyn. Syst., 2005. Vol. 11. No 2.

46. Dahleh M.A., Pearson J.B. /i-Optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1987. No. 32. P. 314-322.

47. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and H°° control problem // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. Vol. 34. No 8. P. 831-847.

48. Elia N., Dahleh M.A. Minimization of the worst case peak-to-peak gain via dynamic programming: state feedback case // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. No. 45. P. 687-701.

49. Freeman R.A., Kokotovic P.V. Robust Nonlinear Control Design. StateSpace and Lyapunov Techniques. Boston: Birkhauser, 1996.

50. Glover D., Schweppe F. Control of linear dynamic systems with set constrained disturbances // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. No. 16. P. 411-423.

51. Grant M., Boyd S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming (web page and software). URL http://stanford.edu/~boyd /cvx

52. Hao F., Chu T., Huang L., Wang L. Non-fragile controllers of peak gain minimization for uncertain systems via LMI approach // Dynamics of Continuous, Discrete, and Impulsive Systems. 2003. Vol. 10. P. 681-694.

53. Hao F., Chu T., Wang L., Huang L. An LMI approach to persistent bounded disturbance rejection for uncertain impulsive systems // Proceedingsof the 42nd IEEE Conference on Decision and Control (CDC'03). Hawaii, USA, December 9-12, 2003. P. 4068-4073.

54. Iwasaki T., Skelton R.E. All controllers for the general H,x control problem: LMI existence conditions and state space formulas // Automatica. 1994. Vol. 30. No. 8. P. 1307-1317.

55. Jadbabaie A., Abdallah C., Dorato P., Famularo D. Robust, nonfragile, and optimal controller design via linear matrix inequalities // Proceedings of the American Control Conference (ACC'98). Philadelphia, USA, June 24-26, 1998. P. 2842-2846.

56. Khargonekar P.P., Petersen I.R., Zhou K. Robust stabilization of uncertain linear systems: Quadratic stabilizability and H^ control theory // IEEE Trans. Automat. Control. 1990. Vol. 35. P. 356-361.

57. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Robust, fragile, or optimal? // IEEE Trans. Autom. Control. 1997. Vol. 42. P. 1098-1105.

58. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.

59. Lófberg J. YALMIP: Software for solving convex (and nonconvex) optimization problems // Proceedings of the American Control Conference (ACC'06). Minneapolis, USA, June 14-16, 2006. URL http:// control.ee.ethz.ch/~joloef/wiki/pmwiki.php

60. Luenberger D.G. An introduction to observers // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. Vol. 35. P. 596-602.

61. Mao W.-J., Chu J. Quadratic stability and stabilization of dynamic interval systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2003. Vol. 48. No. 6. P. 1007-1012.

62. MAO W.-J., Chu J. Corrections to "Quadratic stability and stabilization of dynamic interval systems" // IEEE Trans. Automat. Control. 2006. Vol. 51. No. 8. P. 1404-1405.

63. Nesterov Yu., Nemirovsky A. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Philadelphia: SIAM, 1994.

64. Petersen I.R. A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems // Syst. Contr. Lett. 1987. Vol. 8. P. 351-357.

65. Petersen I.R., Hollot C.V. A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems // Automatica. 1986. Vol. 22. No. 4. P. 397-411.

66. Polyak B.T. Convexity of quadratic transformations and its use in control and optimization // J. Optim. Theory and Appl. 1998. V. 99. P. 553-583.

67. Polyak B.T., Nazin S.A., Durieu C., Walter E. Ellipsoidal parameter or state estimation under model uncertainty // Automatica. 2004. Vol. 40. P. 1171-1179.

68. Polyak B.T., Nazin S.A. Invariant ellipsoids technique for persistent disturbance rejection // Proceedings of the 13th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (CAO'06). Kachan, France, April 26-28, 2006. P. 422-427.

69. Polyak B.T., Shcherbakov PS. Ellipsoidal approximations to attraction domains of linear systems with bounded control // Proceedings of the American Control Conference (ACC'09). St. Louis, USA, June 10-12, 2009. P. 5363-5367.

70. Reinelt W. Robust control of a two-mass-spring system subject to its input constraints // Proceedings of the American Control Conference (ACC 2000). Chicago, USA, June 28-30, 2000. P. 1817-1821.

71. ROHN J. Positive definiteness and stability of interval matrices // SIAM J. Matrix Analysis Appl. 1994. Vol. 15. No. 1. P. 175-184.

72. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. NJ: Prentice Hall, 1973.

73. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a Matlab toolbox for optimization over symmetric cones (updated for version 1.05). URL http: //sedumi. ie. lehigh.edu/

74. Alamo Т., Tempo R., Ramirez D.R., Camacho E.F. A new vertex result for robustness problems with interval matrix uncertainty // Proceedings of the European Control Conference (ECC'07). Kos, Greece, July 2-5, 2007, paper ThC07.3.

75. Venkatesh S., Dahleh M. Does star norm capture l\ norni? // Proceedings of the American Control Conference. 1995. P. 944-945.

76. Vidyasagar M. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. No. 31. P. 527-535.

77. Yang G.-H., Wang J.L. Nonfragile H^ output feedback controller design for linear systems // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2003. Vol. 125. No. 1. P. 117-123.

78. XlE L. Output feedback control of systems with parameter uncertainty // Int. J. Control. 1996. Vol. 63. P. 741-750.

79. Zhou K., Doyle J., Glover K. Robust and Optimal Control. NJ: Prentice Hall, 1996.

80. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

81. Хлебников М.В. Нехрупкий регулятор для подавления внешних возмущений // Автоматика и телемеханика. 2010. №4. С. 106-119.

82. Хлебников М.В. Робастная фильтрация при неслучайных возмущениях: метод инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. 2009. №1. С. 147-161.

83. Поляк Б.Т., Топунов2 М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. 2008. №5. С. 72-90.

84. Polyak B.t., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Robust rejection of exogenous disturbances via invariant ellipsoids technique // Advances in2Топунов — прежняя фамилия м.в. Хлебникова.

85. Mechanics: Dynamics and Control / Eds. F.L. Chernousko, G.V. Kostin, V.V. Saurin. Moscow: Nauka, 2008. P. 247-254.

86. Khlebnikov M.V., shcherbakov P.S. Ramifications of Petersen's lemma of uncertain matrices // Advances in Mechanics: Dynamics and Control / Eds. F.L. Chernousko, G.V. Kostin, V.V. Saurin. Moscow: Nauka, 2008. P. 296-302.

87. ПОЛЯК Б.Т., ТОПУНОВ M.B. Фильтрация при неслучайных возмущениях: метод инвариантных эллипсоидов // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 418. №6. С. 749-753.

88. Хлебников М.В., Щербаков П.С. Лемма Питерсена о матричной знакоопределенности и ее обобщения // Автоматика и телемеханика. 2008. №11. С. 125-139.

89. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. 2007. №3. С. 106-125.

90. Топунов М.В. Новые методы в линейной задаче управления с ограниченными внешними возмущениями // Труды II школы-семинара "Управление большими системами". Воронеж, 9-12 июля 2007 г. Воронеж: Научная книга, 2007. Т. 1. С. 58-63.

91. Shcherbakov P.S., Topunov M.V. Optimal stabilization of uncertain system via invariant ellipsoids approach // Proceedings of the Lyapunov Memorial Conference (LMC2007). Kharkiv, Ukraine, June 24-30, 2007. P. 149-150.

92. Shcherbakov P.S., Topunov M.V. Ramification of Petersen's lemma on uncertain matrices // Abstracts of the 14th International Workshop on Dynamics and Control. Zvenigorod, May 28 June 2, 2007. P. 66.

93. Polyak B.T., Nazin S.A., Topunov M.V. The invariant ellipsoids technique for analysis and design of linear control systems // Abstracts of the 14th International Workshop on Dynamics and Control. Zvenigorod, May 28 June 2, 2007. P. 58.

94. Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Topunov M.V. Robust rejection of exogenous disturbances via invariant ellipsoids technique // Abstracts of the 14th International Workshop on Dynamics and Control. Zvenigorod, May 28 June 2, 2007. P. 59.

95. Polyak В.Т., Nazin А.V., Topunov M.V., Nazin S.A. Rejection of bounded disturbances via invariant ellipsoids technique // Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and Control (CDC'06). San Diego, USA, December 13-15, 2006. P. 1429-1434.

96. Топунов М.В. Достаточное условие вложенности множеств достижимости двух гладких управляемых систем постоянного ранга, линейных по фазовым переменным // Автоматика и телемеханика. 2005. №12. С. 114-124.

97. Топунов М.В. О выпуклости множества достижимости гладкой управляемой системы, линейной по фазовым переменным // Автоматика и телемеханика. 2004. №11. С. 79-85.

98. Топунов М.В. О выпуклости множества достижимости квазикоммутативной билинейной системы // Автоматика и телемеханика. 2003. №8. С. 44-53.

99. Топунов М.В. О выпуклости множества достижимости билинейной управляемой системы // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 5. С. 752-758.