Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Баграмян, Тигран Эммануилович

• Баграмян, Тигран Эммануилович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баграмян, Тигран Эммануилович

Оглавление

Стр.

Введение

0.1. Предварительные сведения

Глава 1. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования

1.1. Восстановление функций из пространства Харди /12 по информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной неточно в среднеквадратичной метрике

1.2. Восстановление функций из пространства Харди /12 по информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной в виде конечного набора коэффициентов Фурье, вычисленных с погрешностью в среднеквадратичной метрике

1.3. Восстановление функций из пространства Харди /12 по информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной в виде конечного набора коэффициентов Фурье, вычисленных с погрешностью в равномерной метрике

Глава 2. Оптимальное восстановление функции по ее неточно заданному

преобразованию Радона

2.1. Оптимальное восстановление функций из пространства Харди /г2

по неточно заданному преобразованию Радона

2.2. Оптимальное восстановление функций из по неточно заданному преобразованию Радона

2.3. Оптимальное восстановление функций на сфере по неточно заданному преобразованию Минковского-Функа

Глава 3. Оптимальное восстановление производной функции и одно

неравенство для производных на отрезке

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторов»

Введение

Диссертация посвящена применению теории оптимального восстановления к ряду задач, возникающих в компьютерной томографии, а также изучению неравенств для производных. Различные задачи восстановления функций, функционалов и операторов на некоторых множествах (классах) по неточной или неполной информации об элементах этих множеств исследуются в рамках теории оптимального восстановления - современного раздела теории приближений. Задача оптимального восстановления берет свое начало от работ А.Н. Колмогорова [1], где рассматриваются наилучшие (на всем классе) методы приближений. Развитие численных методов привлекло внимание к проблеме численного интегрирования. Различные квадратурные формулы представляют собой методы восстановления интеграла /а& f(x)dx по информации, являющейся значениями функции f(x) в точках {xj}"=1 интервала [а, Ь]. Их точность напрямую зависит от рассматриваемого класса функций. Интеграл является примером линейного функционала, поэтому задача о квадратурных формулах получила естественное обобщение на общий случай линейного функционала в векторном пространстве. Важные результаты в этом направлении были получены в работах A. Sard [2], где рассматривается приближение интеграла линейными методами и обсуждается обобщение результатов на произвольный линейный функционал, и С.М. Никольского [3], где указывается оптимальный выбор точек, в которых необходимо вычислить значения подынтегральной функции. Точная постановка задачи оптимального восстановления впервые появилась в кандидатской диссертации С.А. Смоляка [4], в которой показано, что среди всех оптимальных методов восстановления действительнозначного линейного функционала по информации, являющейся значениями конечного числа других линейных функционалов, всегда имеется линейный метод

(аналогичное утверждение для комплекснозначных функционалов получено в работе К. Ю. Осипенко [5]). В работе Н.С. Бахвалова [6] рассмотрена задача восстановления линейного оператора на выпуклом централыюсимметричном классе по информации, являющейся значениями конечного числа линейных функционалов в случае, когда погрешность оценивается в равномерной метрике, и показано существование линейного метода. Во всех описаных задачах считается, что используемая информация известна точно. В статье А. Г. Марчука и К. Ю. Осипенко [7] решена задача приближения линейного функционала на выпуклом центрально-симметричном классе функций по значениям п линейных функционалов, известным с погрешностью. Множество результатов в теории оптимального восстановления приведены в обзорах С. А. М1сЬе1Н и Т. Л. ШуНп [8,9]. В них разработана терминология, в рамках которой формулируются различные задачи оптимального восстановления. В работе А. А. Ме1ктап, С. А. М1сЬе1Н [10], в которой рассматриваются линейные методы восстановления линейных операторов в гильбертовом пространстве по неточно заданной информации, представлено соотношение двойственности для задачи оптимального восстановления. Позднее, в работах К. Ю. Осипенко и М. И. Стесина ( [11] и др.) рассмотрена негильбертова постановка этой задачи. На современном этапе развития теории оптимального восстановления в работах Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко ( [12,13] и др.) разработан подход, основанный на общей теории экстремума. В работах [14,15] общая теория оптимального восстановления применена к задачам восстановления решений уравнений математической физики.

В конкретных задачах восстановления в качестве информационного оператора обычно рассматривают линейные функционалы или операторы, сопоставляющие функции ее значения в точках, ее коэффициенты Фурье или просто саму функцию. В диссертации рассматривается преобразование Радона (понимаемое в широком смысле) - оператор, переводящий функцию

на многообразии в множество ее интегралов по некоторому семейству подмногообразий. Такого рода операторы применяются для моделирования различных томографических процессов и изучаются в интегральной геометрии и компьютерной томографии, которая занимается численным восстановлением функций по их линейным или плоскостным интегралам. В конкретных случаях, когда преобразование Радона известно точно, существуют формулы обращения, позволяющие произвести однозначное восстановление. Во всех рассматриваемых в данной работе задачах преобразование Радона измерено неточно, но с известной погрешностью. В теории оптимального восстановления подобные операторы рассматривались ранее в работе B.F Logan и L.A. Shepp [16], где для функции, заданной в единичном круге на плоскости, известно преобразование Радона в некотором конечном числе направлений, а также в диссертации A.J. Degraw [17,18], где рассматриваются задачи восстановления голоморфной функции в единичном круге плоскости по неточно заданному преобразованию Радона и значениям оператора радиального интегрирования.

В работах Г.Г. Магарил-Ильяева и К.Ю. Осипенко ( [19]) методами теории оптимального восстановления получены некоторые точные неравенства для производных и показано, что задача нахождения точных констант в таких неравенствах может быть сформулирована и эффективно решена как соответствующая задача оптимального восстановления. Более того, такое решение является более тонким инструментом исследования подобных неравенств. Этот подход развивается в диссертации на примере одного неравенства для производных функций на отрезке.

Цель исследования. Основными целями диссертации являются: 1) исследование оптимальных методов восстановления функций по неточно заданной томографической информации (множеству интегралов по некоторому семейству многообразий);

2) исследование оптимальных методов восстановления производной функции и связанная с этим задача нахождения точных констант в неравенствах для производных.

Задачи исследования. В диссертации рассматриваются следующие задачи:

1) исследование оптимальных на классе гармонических функций в единичном шаре «i-мерного пространства методов восстановления по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования

Kf=[1f(rÇ)dr, Ces"-1; J о

2) исследование оптимальных на классе гармонических функций в единичном шаре d-мерного пространства методов восстановления по неточно заданному преобразованию Радона (интегрирование по пересечениям гиперплоскостей и шара);

3) исследование оптимальных на пространстве ^(М'О методов восстановления по неточно заданному преобразованию Радона (в классическом смысле - интегрирование по гиперплоскостям)

Rf(0,s)= ( f{x)dx, 9eSd'\ se M;

4) исследование оптимальных на классе функций на сфере Sd_1, у которых ограничена Z/2-норма степени сферического Лапласиана (—As)'*/2, методов восстановления по неточно заданному преобразованию Минковского-Функа (интегрирование по "большим кругам")

мдо = [ f(x)dx, X е s"-1, É € s""1; Jx(,=О

5) нахождение точной константы в одном неравенстве для производных функций на отрезке путем исследования соответствующей задачи восстановления.

Методика исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории экстремальных задач, функционального анализа, теории функций вещественной переменной, теории представлений, интегральной геометрии.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1) Для пространства Харди Л-2 гармонических функций в единичном шаре (¿-мерного пространства найдено семейство оптимальных методов восстановления и соответствующая им погрешность восстановления по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования;

2) Для пространства Харди /12 гармонических функций в единичном шаре (¿-мерного пространства найдено семейство оптимальных методов восстановления и соответствующая им погрешность восстановления по неточно заданному преобразованию Радона,

3) Для класса функций из пространства £2 (М'7), имеющих ограниченную Ьг-норму степени оператора Лапласа (—Д)й//2 найдено семейство оптимальных методов восстановления и соответствующая им погрешность восстановления по неточно заданному преобразованию Радона. В качестве следствия приведено одно неравенство для норм преобразования Радона и степени оператора Лапласа;

4) Найдено семейство оптимальных методов и погрешность оптимального восстановления на классе функций на сфере у которых ограничена 1/2-норма степени оператора Лапласа-Бельтрами (—по неточно заданному преобразованию Минковского-Функа;

5) Для рассматриваемого неравенства для функций на отрезке найдена точная константа. Более того, для некоторых подмножеств рассматриваемого класса функций показано, что константа может быть уменьшена. Приведены явные описания этих подмножеств и точные константы на них.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации показано, что конкретные задачи компьютерной томографии, а также задача нахождения точных констант в неравенствах для производных, могут быть эффективно исследованы в рамках теории оптимального восстановления. Указаны соответствующие методы исследования подобных задач. Приведен пример численного восстановления функции в задаче восстановления по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования. Аналогично, другие полученные результаты могут представлять интерес для решения прикладных задач компьютерной томографии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

1) Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии. ЭКС)МОД"2009;

2) Международная конференция, посвященная памяти Г.В. Дорофеева "Традиции гуманизации и гуманитаризации математического образования"2010;

3) Научный семинар "Вопросы оптимального восстановления линейных операторов"(рук. проф. Г.Г. Магарил-Ильяев, проф. К.Ю. Осипенко, проф. В.М. Тихомиров), 2011;

4) Научный семинар "Квазилинейные уравнения и обратные задачи "МФТИ, Ecole Polytechnique, Paris VI (рук. проф. A.A. Шананин, проф. Р.Г. Новиков, проф. Г.М. Хенкин ), 2012;

5) Научная конференция МГУ "Ломоносовские чтения"2012;

6) Научный семинар "Дифференциальные и функционально-

дифференциальные уравнения"РУДН (рук. проф. Скубачевский А.Л.), 2013

и отражены в шести публикациях [20-25].

0.1. Предварительные сведения

Пространство Шварца состоит из гладких функций, вместе со

своими производными убывающих на бесконечности быстрее любой степени

М,

вир \хаО^(х) | < оо, V«, (3 е Ъ%.

Если / е Ь^),

то преобразование Фурье / и обратное преобразование Фурье / задаются формулами

№ = (2тт)-л'2 [ е-^Дх)^, JШLd

№ = (27Г)^/2 / е^Д*)^.

Jшd

Формула обращения для преобразования Фурье имеет вид

/ = ?=/, /е^).

Преобразованием Радона называется интегральный оператор

Я/(в, 5) = [ /(я)сЬ, в е 5 е М. (1)

Функция Я/ определена на единичном цилиндре = §с/~1 х М. Гильбертово пространство задается скалярным произведением

(д, Ь)ь2{2) = I [ д(в, зЩв, 8)<18М. Известно следующее соотношение, связывающее преобразование Радона

функции и ее преобразование Фурье (проекционная теорема [26]) Лемма 1 Для функции / Е 5'(R'i) верно

Ш)(а) = (2^!~1У2Т(ав), а 6 Ж1, в е

где Rof(s) = Rf(0, s). Доказательство.

Щ){ст) = (2ТГ)-1/2 [ e^sR0f(s)ds = [ е~™[ f{se + y)dyds.

JE i JRl JO1-

Выполним замену х = s9 + у и получим s = вх, dx = dyds, следовательно

= (2ТГ)-1/2 [ e~^xf(x)dx = (2n)^/2f(a9).

■

Если g G то по теореме Планшереля

{д, = {д, Ль2т, f е U(Rd),

где д - некоторая функция из L2(Md), которая называется преобразованием Фурье функции д. Можно показать, что

£(0 - (2тг)^/2 lim [ e-ix^g(x)dx,

J\x\<T

где предел понимается в смысле сходимости в L2(ßLd). Также выполнено и,д)ь2(ш«) = и,д)ь2(ж<1), т.е. преобразование Фурье на L2(Rd) представляет собой изометрию.

Чтобы определить преобразование Радона на L2(M.d) потребуется следующий частный случай теоремы Фубини

Лемма 2 Пусть (X, О,/л) и (У, П, Л) два полных пространства с а-конечными мерами. Обозначим v = ц х Л полную а- конечную меру на

минимальной а- алгебре 5 = 0 х Если /(х,у) — в-из меримая функция на X х У, то \/х €Е X функция

что \/хп функция /(-,хп) —- измерима на М6'-1. Таким образом ограничения / на гиперплоскости с нормальным вектором в = (0, ...,0,1) являются измеримыми функциями. Для произвольного в существует собственное ортогональное преобразование, переводящее его в (0,...,0,1), поэтому в силу инвариантности меры Лебега, ограничение / на любую гиперплоскость будет измеримо. Тогда, чтобы определить преобразование Радона, достаточно потребовать сходимости интеграла в формуле (1). Пусть / € /^(М^), тогда Я/ определено почти всюду на X. Это следует из того, что для функции, отличающейся от нуля на множестве меры ноль, мера множества пар (в, в) где Я/(9, б) Ф 0, равна нулю.

Нормализованными полиномами Гегенбауэра СгА, Л > — степени I называютя полиномы, ортогональные на отрезке [—1,1] с весовой функцией (1 — х2)х~1/2 и удовлетворяющие условию СгЛ( 1) = 1. Для них (см. [27])

где Г — гамма-функция. Если Л = 0, то нужно перейти к пределу. В этом случае полиномы Гегенбауэра представляют собой полиномы Чебышева первого рода

/(ж, •)— О-измерима на У.

Для функции /, измеримой на М^ = М0' 1 х М по лемме 2 получаем

7)(ж) = С®{х) = сое(7агссоэж), \х\ < 1

а при Л = 1 — полиномы Чебышева второго рода

зт((7 + 1) агссовх)

Щх) = (I + 1)С (х) = ;-—< 1.

4 4 у ' Бн^агссоэгс)

1 /сл

При А = | полиномы Гегенбауэра являются полиномами Лежандра Р; — С/ . Полиномы Гегенбауэра являются частным случаем полиномов Якоби а > —1, ¡3 > —1, ортогональных на отрезке [-1,1] с весом (1 — £)а(1 + , для которых РГ]{ 1) = А именно, С} =

Рассмотрим множество сферических гармоник — ограничений однородных гармонических полиномов на сферу б1'7-1. Сферические гармоники разных степеней ортогональны между собой в /^(б^-1). Существует N(1) линейно независимых сферических гармоник степени I, где

[) 1\{й — 2)! ' - ' N(0) = 1.

Обозначим через к = 1,..., N(1, д) элементы ортонормированного базиса пространства сферических гармоник степени I. Важную роль при рассмотрении сферических гармоник играет теорема Функа-Хекке ( [28])

Лемма 3 Для функции интегрируемой на отрезке [—1,1],

/ №и>)УЦи>)сЬ = с(<1,1)УЦ(0),

1§а-1

с(с1,1) = j №су-2)/2Ш1 -

где = - площадь поверхности сферы Ч 2 '

Пространство }\2 состоит из гармонических в шаре

= {х е : < 1}, с/ > 2, функций, для которых конечна

норма

ll/lk = sup ||/(r-)|U2(S«-i),

0<r<l

= {xeRd: \x\ = 1}.

Следуя [29], будем называть h,2 пространством Хардн гармонических функций. Известно представление функций из в виде разложения в ряд по ортонормированной системе сферических гармоник:

оо N(l,d) , Ч

= (о • (2)

1—0 к=1 41 |У

Через Bh2 обозначим класс функций / £ h2l таких что ||/||/,2 < 1.

Функциии Бесселя Jv первого рода вещественного порядка v можно получить как фурье-образы полиномов Гегенбауэра. Точнее, при а > О

= Т^(27Г)1/22-Xi-m<r-XJr,l+x(°), (3)

где ш(х) — (1 — х2)х~1!2 (формула 7.321 из [30], поделенная на ГЩ2\) с Учетом нормализации полиномов Гегенбауэра). В случае Л = 0 необходимо перейти к пределу.

Другой подход к определению сферических гармоник заключается в рассмотрении представления специальной ортогональной группы SO(d) в пространстве L2(Sii_1) ( [31-33]).

Линейным представлением (или просто представлением) абстрактной группы G называется ее гомоморфизм в группу обратимых линейных операторов произвольного линейного пространства V. Т.е. каждому элементу д G G ставится в соответствие линейный оператор Тд, действующий в пространстве V, причем IT — Т Т 2- Те = /,

где / - тождественный оператор в У. Размерность пространства, в котором действует представление, называется также размерностью этого представления. Далее все представления предполагаются конечномерными. Подпространство Уо с У называется инвариантным, если ТдУ0 с Уо или (в виду обратимости Тд) ТдУц = Уо для всех д е С. Представление называется неприводимым, если инвариантны только (0) и У. Условимся рассматривать линейные (конечномерные) пространства над полем комплексных чисел. Сформулируем и докажем один вариант леммы Шура.

Лемма 4 Если линейный оператор А перестановочен со всеми операторами неприводимого представления Тд, то он кратен единичному. Доказательство. Ясно, что КегА и 1тА инвариантны в У. Если Аф 0, то равенства КегА — У и 1тА = 0 исключаются. Следовательно,

КегА = 0, 1т А = У,

в силу неприводимости Т. Рассмотрим оператор XI — А, где Л - корень уравнения 6еЬ(Х1 — А) = 0. Он также перестановочен со всеми операторами Тд, но вырожден, поэтому А = XI. ш

Путь дано множество X, в котором действует группа О как группа преобразований. Результат преобразования точки х е X элементом д е С обозначим символом хд. Таким образом, имеем 1- хдхд2 = {хд1)д2, 2« х с — оо •

Дополнительно, наложим еще одно условие: 3. Ух,уеХ, ЗдеС:у = хд.

Если выполняется последнее условие, то говорят, что X является однородным пространством с группой движений С. Пусть Ь - линейное пространство, составленное из функций на множестве X. Допустим, что Ь

вместе с каждой функцией /(ж) содержит также функцию

1ЛХ) = 1(хэ)

при любом значении д € С. Тогда преобразования точек в пространстве X порождают семейство линейных преобразований

V = Л

в линейном пространстве Ь. Как следует из построения, операторная функция Тд обладает мультипликативным свойством Тдгд2 = ТдгТд2, т.е. отображение д —> Тд является гомоморфизмом группы С.

Рассмотрим пространство Ь2(Е>а~1). Группа БО{д) состоит из унитарных матриц с единичным определителем, действия которых переводят это пространство в себя. Таким образом возникает унитарное представление Т группы Б О {в) в Ь2(^с1~1). Пусть Р„ - пространство всех функций на которые являются ограничениями на всевозможных однородных полиномов степени п в М^. Пусть Нп означает ортогональное дополнение к Рп-2 в Рп. Можно показать, что Нп является пространством сферических гармоник степени п и верно следующее утверждение (см. [33]) Лемма 5 Разложение пространства на неприводимые

(относительно группы БО(с1)) подпространства имеет вид

оо п=О

Доказательство. Прежде

всего ясно, что Нп - инвариантные подпространства и что алгебраическая сумма этих пространств совпадает с объединением пространств Рп. По теореме Стоуна-Вейерштрасса последнее пространство плотно в С(§с!_1) и, следовательно, в Ь2ф>й~]~)-Остается проверить неприводимость Нп. Она следует из того, что в любом

конечномерном инвариантном подпространстве существует хотя бы одна функция, инвариантная относительно действия подгруппы, сохраняющей фиксированную точку, а в Нп такая функция единственная. Тогда, если V' С Нп - инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнение V'1- также инвариантно, однако указанная функция может содержаться лишь в одном из подпространств, откуда следует, что одно из них (0), а другое совпадает с Нп и последнее неприводимо.

Докажем необходимые утверждения. Пусть V - конечномерное подпространство размерности п, инвариантное относительно действия 50 (а!) и (/1,..., /„) - его ортонормированный базис. Тогда

п

Тд/г = Агз/з 3 = 1

и

матрица А = (Агз) является унитарной, т.к.

^ I ® =

2_^А13Аг1 ^ =< Тд/г,Тд/г> > =

^=1 Ю, ьф з•

в силу инвариантности скалярного произведения. Положим

F =

V

/

и рассмотрим функцию 2(х,г) = Р1(х)Р(г), где Е 1. Она

инвариантна относительно 50 (¿¿), т.к. \/д Е 50(б?)

^(ая,*/) = ^(хд)Р(гд) = (ТдГ(х)УТдР(г) = Е\х)А1АР{г) = г(х,г).

Тогда функция /г(х) = 2(х,г) принадлежит У и Уд € 50(с?) такого что

zg = z следует Tgfz = Z(xg, z) = Z(xg, zg) = Z(x, z) = fz.

Покажем, что в Hn такая функция единственна, с точность до константы. Пусть р - однородный полином степени п, инвариантный относительно стационарной подгруппы в SO(d), сохраняющей вектор 2 € Обозначим

х = reo, г > 0,ш б Sd_1. Если у 6 Sd_1 и < uj,z >=< у, 2 >, то существует преобразование д g SO(d), сохраняющее 2 и переводящее ш в у. Отсюда р(у) — р(шд) = р{ш). Рассмотрим функцию q : [—1,1] —> М, определенную по формуле q{< oj,z >) = р(и). Тогда q - полином степени п. В силу однородности р, имеем

п п

р(х) = гпр{и) = rnq{< Ш, Z >) = Гп < >п_г= ^ с,у < X, z >п~г .

г=0 г=0

Заметим, что c¿ = 0 для нечетных г, т.к. в этом случае г1 не является полиномом от х. Таким образом, в Рп имеется [п/2] + 1 линейно независимых функций, инвариантных относительно вращений, сохраняющих г, а именно

< X, г >п, < Ж, 2 >п"2,. . . , < Ж, 2 >"-2f"/2l .

Соответственно, в Рп_2 таких функций [п/2], откуда следует, что в Нп она одна. ■

Преобразованием Минковского-Функа называется интегральное преобразование, переводящее функцию во множество ее интегралов по всевозможным большим кругам на сфере. Каждый большой круг на S2 получается как пересечение этой сферы с плоскостью, проходящей через 0:

<£,х>=0, |f| = i.

Этим же равенством определим семейство подмногообразий сферы S^-1, параметризованное точками единичной сферы £ 6 Заметим, что

диаметрально противоположным точкам отвечает одно и то же многообразие. Соответствующее интегральное преобразование будем, по аналогии, называть преобразованием Минковского-Функа. Из равенства

TgMf{0 = f f(x)dx = í f(x)dx

J<Zg,x>=Q J >=0

= í f(yg)dy = мтд№

J<S,v>=o

следует, что оператор Минковского-Функа перестановочен с вращениями сферы. Отсюда, по лемме Шура,

Mf = mnf, V/ е Нп. (4)

d — 2

Для вычисления тпп рассмотрим полином Гегенбауэра Сп2 (t) и функцию

d-2

Ln € Рп, заданную формулой Ln(x) = Сп2 t(u>x), со = (0,. .., 0,1). Покажем, что Ln лежит в Нп. Пусть р{х) - полином степени т < п. После перехода к сферическим координатам

х\ — г sin e¿-\ ... sin sin #2 sin 9\ , X2 = r sin 9(1-1 • • • sin 6*3 sin 62 eos 61, Ж3 = Г sin 9(1-1 • • • sin 93 COS #2,

Xd-1 = r sin 6>d_ 1 COS 0d-2, Xd = Г COS 0d_b

имеем

7Г fir [>2lt

d-2

/ Ln(x)p(x)dx= ... / Ln(cos^i)p(x)(sin0fi„1 's^1 7o Jo ./o

...(sin 03)2sin 92d9±... d9d-i

(I-3

/ ... {8тва_2у-3 ...зтв2 =

Уо Уо ¿-1

где мы сделали замену £ = сое и воспользовались соотношением ортогональности для полиномов Гегенбауэра. Тогда, подставив Ьп в (4) в

а-2 4-2

точке (0,.. . , 0,1), получим |§сг_2|Сп2 (0) = тпС„2 (1), откуда

тп= |8*-2|С^(0).

Воспользовавшись формулой 22.4.2 (с учетом нормализации) из [27], запишем в явном виде (см. [34])

0, если п нечетно

(-1)»/22тг(^-2)/21^;+1У)2/)2), если п четное.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баграмян, Тигран Эммануилович, 2013 год

Список использованных источников

1. Kolmogorov А. N. Uber die beste annaherurtg von functionen einer gegebenen functionenklasse // Ann. of Math.,. - 1936. - Vol. 37. - Pp. 107-110.

2. Sard A. Best approximate integration formulas; best approximation formulas // Amer. J. Math. - 1949.-Vol. 71, no. 80-91.

3. Никольский С. M. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук. — 1950. — Т. 5, № 2(36). — С. 165-177.

4. Смоляк С. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них.: Ph.D. thesis / МГУ, - 1965.

5. Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат. заметки. - 1976. - Т. 1, № 29-40.

6. Бахвалов Н. С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1971. - Т. И, № 4. - С. 1014-1018.

7. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки. — 1975. - Т. 17, № 3. - С. 359-368.

8. Michelli С. A., Rivlin Т. J. A Survey of Optimal Recovery. — New York: IBM Yorktown Heights, 1977.

9. Michelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Numerical Analysis. — 1984,— Vol. 1129,— Pp. 21-93.

10. Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. — 1979. — Vol. 16, no. 87-105.

11. Osipenko K. Y., Stessin M. Hadamard and schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx. — 2010. — Vol. 31, no. 1.- Pp. 37-67.

12. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб. - 2002. - Т. 193, № 3. - С. 79-100.

13. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. — 2003. — Т. 37,- С. 51-64.

14. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавказский мат. э/сурн. — 2004. — Т. 6, № 4. - С. 55-62.

15. Mag aril-IVу aev G. G., Osipenko К. Y., Tikhomirov V. M. On optimal recovery of heat equation solutions. — Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2004. - Pp. 163-175.

16. Logan B. F., Shepp L. A. Optimal reconstruction of a function from its projections // Duke mathematical journal. — 1975.— Vol. 42, no. 4.— Pp. 645-659.

17. Degraw A. J. Optimal recovery of holomorfic functions from inaccurate information about integration type operators: Ph.D. thesis / University at Albany, State University of New York. — 2012.

18. Degraw A. J. Optimal recovery of holomorphic functions from inaccurate information about radial integration // American Journal of Computational Mathematics. - 2012. - no. 2. - Pp. 258-268.

19. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и восстановление производных по неточной информации // Докл. РАН. - 2011. - Т. 438, № 3. - С. 300-302.

20. Баграмян Т. Э. Кольцевые артефакты в томографии // Сборник трудов IV Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии". ЭКОМОД-2009. - Киров: ВятГУ, 2009.

21. Баграмян Т. Э. Аналог теоремы Кормака для экспоненциального преобразования Радона / / Тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти Г.В. Дорофеева "Традиции гуманизации и гуманитаризации математического образования".— Москва: ГОУ Педагогическая академия, 2010.

22. Баграмян Т. Э. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования // Владикавказский математический журнал.— 2012.— Т. 14, № 1.— С. 22-36.

23. Баграмян Т. Э. Применение теории оптимального восстановления к некоторым задачам компьютерной томографии / / Материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2012". - Москва: МАКС Пресс, 2012.

24. Баграмян Т. Э. Оптимальное восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона на классах, задаваемых степенью оператора Лапласа // Вестник РУДН. Математика. Информатика. Физика. - 2013. — № 1. — С. 19-25.

25. Баграмян Т. Э. Оптимальное восстановление функций по их неточно заданному преобразованию Радона // Вестник Тамбовского Университета, Серия: Естественные и технические пауки. — 2013. — Т. 18, № 1,- С. 15-17.

26. Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography.— Stuttgart: John Wiley & Sons., 1986.

27. Abramovitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover Publications, 1964.

28. Seeley R. T. Spherical harmonics // Amer. Math. Monthly. — 1966. — Vol. 73.

29. Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. Second edition. — New York: Springer-Verlag New York, Inc., 2001.

30. Градштпейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.). — Москва: Наука, 1963.

31. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — Москва: Наука, 1970.

32. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — Москва: Наука, 1978.

33. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. — Москва: Наука, 1965.

34. Rubin В. Generalized cosine transforms and classes of star bodies.

35. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной информации // Итоги пауки. Юэ/сный федеральный округ. Математический форум. Исследования по выпуклому анализу. — 2009. — Т. 2. — С. 158-192.

36. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — Москва: Наука, 1966.

37. Неравенства для производных и их приложения / В. Бабенко, Н. Корнейчук, В. Кофанов, С. Пичугов. — Киев: Наукова Думка, 2003.

38. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. — Москва: Наука, 1987.

39. Helgason S. Integral geometry and Radon transform. — Springer, 2010.

40. Epstein C. L. Introduction to the mathematics of medical imaging. — 2 edition. - Philadelphia: SIAM, 2008.

41. Магарил-Илъяев Г. Г., Тихомиров В. О неравенствах для производных колмогоровского типа. // Матем. сб. — 1997. — Т. 12, № 188. — С. 73-106.

42. Магарил-Илъяев Г. Р., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функ. анал. и его прил. — 2010. - Т. 44, № 3. - С. 76-79.

сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН. — 2010. — Т. 269,- С. 181-192.

44. Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Мат. заметки. - 1972. - Т. 12, № 4. - С. 465-476.