Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Абрамова Елена Владимировна

• Абрамова Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Абрамова Елена Владимировна

Оглавление

Введение

Предварительные сведения

Глава 1. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости по неточным данным на двух прямых

1.1 Постановка задачи

1.2 Формулировка основного результата

1.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

1.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальные методы

1.5 Оптимальный метод

1.6 Случай точно заданных измерений

1.7 Линейная интерполяция

Глава 2. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости по п (п > 2) измерениям

2.1 Постановка задачи

2.2 Формулировка основного результата

2.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

2.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальные методы

Глава 3. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости по неточно заданному преобразованию Фурье граничной функции в метрике Ьж

3.1 Постановка задачи

3.2 Формулировка основного результата

3.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

3.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальный метод

Глава 4. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости по неточно заданному преобразованию Фурье

граничной функции в метрике Ь2

4.1 Постановка задачи

4.2 Формулировка основного результата

4.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

4.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальные методы

4.5 Пример оптимального метода

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным»

Введение 1. Исторический обзор

На практике часто возникают задачи, связанные с восстановлением какой-либо характеристики объекта по информации (часто не полной и/или не точной) о других характеристиках этого объекта. К примеру, рассматривается задача о восстановлении функции или ее производной в точке, или интеграла от нее по информации о наборе ее значений в других точках, либо по приближенно заданному преобразованию Фурье, или требуется восстановить решение дифференциального уравнения по неточно известным начальным данным и так далее. Применяются различные подходы к решению подобного класса задач. Автор следует подходу, который предполагаей наличие некоторой априорной информации об объекте, характеристики которого подлежат восстановлению. Это дает возможность поставить задачу о нахождении наилучшего метода восстановления данной характеристики среди всех возможных методов восстановления. Такой подход к задаче восстановления базируется на работах А. Н. Колмогорова [15] 30-годов XX века, посвященным нахождению наилучших средств приближения для различных классов функций. Математическая теория, в которой рассматриваются задачи восстановления, основывающиеся на этом подходе, плодотворно развивается, начиная с 60-годов XX века.

Задача Колмогорова-Никольского о наилучших квадратурах послужила, в определенном смысле, отправной точкой для постановки общей проблемы нахождения оптимальных методов восстановления значений линейных функционалов и операторов. Простейший вариант задачи Колмогорова-Никольского формулируется так. Определен некоторый класс W в линейном пространстве непрерывных функций на отрезке [а, Ь] и заданы точки а ^ Х\ < ... < хп ^ Ь. Для любой функции ](•) € W мы хотим

вычислить интеграл /аЬ /(х) йх, используя с этой целью приближенную формулу (хг), при этом коэффициенты цг, 1 ^ г ^ п, мы хотим

определить таким образом, чтобы полученная формула давала наилучшее приближение сразу для всех функций /(•) из W. Точная постановка задачи такова: требуется найти величину

-ь

inf sup

qi,...,qn f ,ew

f (x) dx Qif (xi)

i=1

где нижняя грань берется по всем наборам (qi,...,qn), и определении такого набора, на котором нижняя грань достигается. Полученный набор, очевидно, будет искомым.

Постановки такого типа задач о наилучших квадратурах впервые стали рассматриваться в работах A. Sard [61] и C. М. Никольского [36].

Дальнейшее развитием этой тематики, связанное с общей постановкой задачи о оптимальном восстановлении линейного функционала на классе элементов, получило в работе С. А. Смоляка [47]. Пусть X — линейное пространство, W — непустой класс элементов в X и /i, i = 0,1,... , n, — линейные функционалы на пространстве X. Предполагается, что элементы множества W известны приближенно, а именно, о каждом ж Е W известен набор чисел li(x), i = 1,...,n (значения линейных функционалов /i, i = 1,... , n, на элементе ж). Имея эту информацию, мы будем восстанавливать значения линейного функционала l0 на элементах W наилучшим образом. Заметим, что любой способ (метод) m восстановления сопоставляет набору (l1(x),..., ln(x)) некоторое число, т. е. m — это функция на Rn. Погрешность метода m определяется величиной

e(l0, W,l1,..., ln, m) = sup |lo(x) — m(l1(x),..., ln(x))|.

xEW

Это «наихудший» результат из всех, которые можно получить, используя данный способ восстановления. Погрешностью оптимального восстановления

будет величина

Е (1о, W,lí,...,ln)= 1п£ е(1о, W,lí ,...,1п,т),

т:

а те методы, на которых достигается эта нижняя грань будут оптимальными методами восстановления. Понятно, что нас интересуют именно эта погрешность и полученные методы.

С. А. Смоляк доказал, что для центрально-симметричного множества W (то есть W = — W), среди оптимальных методов обязательно есть линейный (лемма Смоляка). Задача Колмогорова-Никольского является частным случаем данной постановки. Действительно, пусть X — пространство непрерывных функций на отрезке [а, Ь], 10 — линейный функционал, определенный на пространстве на X, сопоставляющий функции ее интеграл по отрезку [а,Ь], — линейные функционалы на пространстве X, сопоставляющие функции ее значение соответственно в точках Х{, 1 ^ г ^ п. В качестве методов восстановления рассматриваются только линейные методы.

В дальнейшем математическая теория, связанная с оптимальным восстановлением, развивалась и обобщалась в различных направлениях. Значительное внимание уделялось задачам восстановления, в которых начальная информация об элементах W задана неточно (например, в приведенной постановке числа Ь(х), г = 1,... ,п, известны приближенно) и, быть может, бесконечномерна. Для такого рода задач находились условия существования линейного оптимального метода, т. е. справедливость леммы Смоляка для них (см., например, [34], [17], [8]). В работе [18] получен окончательный результат — необходимые и достаточные условия существования линейного оптимального метода восстановления для достаточно общей постановки задачи оптимального восстановления линейного функционала. Помимо этого, было решено значительное количество конкретных задач, связанных с нахождением оптимальных

методов восста- новления (см. по этому поводу обзоры [57], [58], [63] и монографию [62]). Подход к нахождению оптимальных методов восстановления линейных функционалов по неточным исходным данным с позиций теории экстремаль- ных задач впервые был предложен в работе [31].

В приведенных обзорах была поставлена более общая задача восстановления, а именно, задача об оптимальном восстановлении значений линейного оператора на классе элементов по неполной и неточной информации о самих элементах. Общая ее постановка такова.

Пусть X — линейное пространство, У и 2 — нормированные пространства, Т : X ^ 2 и I : X ^ У — линейные операторы, и W — некоторое непустое множество (класс) элементов из X. Рассматривается задача о восстановлении значения оператора Т на множестве W по неточной информации об элементах этого множества. О любом элементе х £ W нам известен элемент у £ У такой, что \\1х — у\\у ^ 5 (если 5 = 0, то известен элемент 1х). Под методами восстановления понимаются произвольные отображения m : У ^ 2. Следующая диаграмма иллюстрирует действия введенных отображений.

W С Z

I fm

Y

Погрешностью метода m называется величина

e(T,W,I,5,m) = sup \\Tx — m(y)\\z.

xeW, yeY, \\Ix—y\\y a

Нас интересуют те методы in, на которых эта величина принимает наименьшее значение, т. е. методы, для которых справедливо равенство

e{T,W,I,5,rn)= inf e(T, W, I, 5, m).

m: Y —yZ

7

Такие методы будем называть оптимальными.

Величина справа называется погрешностью оптимального восстановления (независимо от того, достигается нижняя грань или нет) и обозначается E(T, W, I, J).

2. Краткое содержание работы

В данной работе решается задача об оптимальном восстановлении решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости по следующей информации: известны (с некоторой погрешностью) решения на двух или более прямых, либо информация о граничной функции задана не точно и не полностью.

Рассмотрим следующую постановку задачи Дирихле: Au (x,y) = 0, (x,y) Е R2, y > 0

(pi)

u (x, 0) = f (x), Vx Е R, f (■) Е L (R),

заключающуюся в нахождении гармонической функции u(-, ■) в верхней полуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, которое понимается так: u(-,y) ^ f (■) при y ^ 0 в метрике L2(R) и, кроме того,

sup ||u(-,y)||L2(R) < ОО.

y>0

В этом случае, как следует из [48], решение данной задачи единственно и задается интегралом Пуассона:

u (x, y) = u (x, y, f (■)) = P (x — t, y) ■ f (t) dt = P (x, y) * f (x), (1)

где P (x,y) = —r-^ — ядро Пуассона.

22

1

п ж2 + у2

1. В первой главе мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) решение задачи (Р1) на прямой у = У по неточным его измерениям на прямых у = у1 и у = у2, где 0 ^ у1 < У < у2.

Точная постановка задачи такова. Пусть и(, •) — решение задачи (Р1) и известны функции хг (•) Е Ь2 (К) такие, что

\\и (-^г) - Х (-)||Ь2(М) ^ ¿¿, ¿г > ° г = 1, 2; 0 ^ у1 <у2.

По этой информации мы хотим восстановить решение задачи Дирихле на прямой у = У, у1 < У < у2 в метрике Ь2 (К).

Мы действуем в соответствии с общей схемой, изложенной во введении. Любое отображение т : Ь2 (К) х Ь2 (К) ^ Ь2 (К) является методом восстановления, при этом величина

е (т) = е (У, у1, у2, ¿1, ¿2,т) =

вир \|и (•, y, /()) - т (х1(^ ^^^(М)

/ (^(Ое^М),

г=1,2

есть погрешность метода т. Тот метод

т: ь2 (к) х ь2 (К) ^ ь2 (К) ,

на котором погрешность восстановления минимальна, то есть

е (У,уЪу2,^2,т) = ^^^(К) е (У.уЬу2,^,т) ,

называется оптимальным методом восстановления, а величина

Е (У,у1.у2> = „,: ^2(к)х^2(к) е ^Й.»,«1,«^)

будет погрешностью оптимального восстановления.

Свяжем с числами 0 < у1 < У < у2, ¿1 > 0, ¿2 > 0 следующие величины:

ч -2(У-У1) ч 2(У2-У)

л = у2 - У / ¿Л У2-У1 л = У - у1 / ¿Л У2-У1 1 у2 - у1 V ¿V , 2 у2 - у1 V ¿V .

Теорема 1. 1) Пусть 0 ^ у1 < У < у2, ¿1 > ¿2 > 0. Тогда погрешность оптимального восстановления имеет вид:

У2-У у-У1

Е(У, у1, у2, ¿1, ¿2) = ¿1У2-У1 • ¿2У2-У1. 9

Для любых функций ai(•) £ (К) ,г = 1, 2, таких, что

е—У|е| = ах (£) е-У1|е| + а2 (£) е—У2^\ для п.в. £ £ К

и

22

I а1 (•) |2 + | а2 (•) |:

Лх Л 2

< 1,

Ьоо (К)

линейный оператор

та1,а2 : Ь2 (К) х Ь2 (К) ^ Ь2 (К) ,

действующий в образах Фурье по правилу:

^[т(*(•), ^2(-))](£) = ах(£) • ^[л(•)](£) + а2(£) • ^[^2(-)](£) для п.в. £ £ К, является оптимальным методом.

2) Пусть 0 ^ ух < У < у2, 0 < 5х ^ 62. Тогда погрешность оптимального восстановления имеет вид:

Е(У,ух,у2,61,62) = 5х.

При этом метод вида

т(гх,г2)(£) = е—У1^ • ^[*(•)](£)

является оптимальным.

Как будет показано далее, множество оптимальных методов не пусто. 2. Во второй главе рассматривается аналогичная задача для случая п (п > 2) измерений. Также получено значение погрешности оптимального восстановления для различных случаев расположения прямой. В каждом случае указан оптимальный метод.

Дадим точную постановку задачи. Пусть и(, •) — решение задачи (Рх Нам известны функции (•) £ Ь2 (К) такие, что

\\и (-,у^ — Zi (•)\ь2(М) < 5г, 5г > 0, г = 1,...,п; 0 < ух < у2 < ... < уп.

10

По этой информации мы хотим восстановить наилучшим образом решение задачи Дирихле на прямой у = У, У ^ 0 в метрике Ь2 (К). Обозначим

у=Ы0,...,уп(0), ¿ = (¿1(0,...А(0), * = (Х1(-),...,Х„(-)).

Аналогично предыдущему, любое отображение

т : (Ь2(К))П = ¿2 (К) х ... х ¿2 (К) ^ ¿2 (К) есть метод восстановления. Погрешность этого метода задается величиной

е (т) = е(У,у,(^,т = виР \|и (,У,7()) - т (^(^))\ь2(М) .

1К-,Уг)-гг(-)||ь2(К)<й, г=1,2,...,п

Тот метод

тт : (¿2 (К))п ^ ¿2 (К) ,

на котором погрешность восстановления минимальна, будем называть оптимальным методом восстановления, а соответствующую погрешность

Е (У,у^) = е (У,уЛт) = г * (У,у,^,т)

назовем погрешностью оптимального восстановления. Построим на плоскости (у,£) множество

М = Со { (у,., 1п (¿1^ , 1 ^ 3 ^ п} + {(у, 0) | у ^ 0} ,

(где Со А обозначает выпуклую оболочку множества А), которое представляет собой алгебраическую сумму выпуклого многогранника и положительной полупрямой.

Определим функцию #(•) на [0, то) по формуле:

|шах{£ | (у,*) Е М}, %) = <

I -то, если (у, £) Е М.

Ясно, что на [у1, +то) график функции #(•) — вогнутая ломаная. Обозначим точки ее излома через у51 < ув2 < ... < у^ (будем считать, что у51 = у1).

в

1п ^

д.

1п

я3

1п ^

в2

1п 1

д1

у

Свяжем с числами 0 < у8 <У < уа+г, 5Sj > 0, 53+ > 0, 1 ^ ] ^ к—1,

следующие величины:

—2(У — у.ь)

у^+1 — У (Уsi+l — у5,-

Л1 =

Л2 =

у — Уs

5.

2(у^-+1 — У) Уsj+1 — Уsj

ySj+1 ySj \5Sj+l^ ySj+1 ySj

Теорема 2. Для любого У ^ 0 справедливо равенство:

Е(У, у, 6) = е~в(¥).

1) Если 0 ^ У < ух, то Е(У, г, 6) = и любой метод является оптимальным;

2) если У = у3, 1 ^ ] ^ к, то метод

т (г(-)) (•) = (•),

является оптимальным;

3) если к ^ 2 и Ьа. < У < Ьа.+г, 1 ^ ] ^ к — 1, то для любых функций а^-) £ (К) ,г = 1, 2, таких, что

е—у^ = ах (£) е—уз|е| + а2 (£) е"^^|е|, для п.в. £ £ К

и

I а1 (•) |2 + | а2 (•) |2

Лх

Л2

^ 1.

линейный оператор

таьа,2 : (Ь (К))п ^ Ь (К) ,

действующий в образах Фурье по правилу:

^[тп0,1,0,2 Ы0^2(0)](£) = ах(£)^^[Z1(•)](£)+а2(£[;**(•)](£) для п.в.£ £ К,

является оптимальным методом; 4) если У > уак, то метод

т (б«)(-) = р (;У — уйк) * ^ (•).

является оптимальным.

Сделаем некоторые замечания по поводу сформулированной теоремы.

1) Если 0 ^ У < у1, то в(У) = —то. Значит Е(У, г, 5) = то есть невозможно восстановить значение функции до поступления какой-либо информации о ней.

2) Если точка восстановления совпадает с одной из точек излома графика в(-), то берем значение г(-) в этой точке.

3) Оптимальный метод линеен, сглаживает наблюдения и использует информацию не более, чем о двух измерениях до и после значения У.

4) В случае, когда У > у3к, оптимальный метод — решение задачи Дирихле с начальной функцией г3к(•).

3. Третья глава посвящена проблеме наилучшего восстановления решения задачи Дирихле в метрике Ь2 на прямой в верхней полуплоскости, параллельной оси абсцисс, по следующей информации о граничной функции: граничная функция принадлежит некоторому соболевскому пространству функций, а ее преобразования Фурье известно приближенное (в метрике Ьто) на конечном отрезке, симметричном относительно нуля. Построен

оптимальный метод восстановления и найдено точное значение погрешности оптимального восстановления.

Точная постановка задачи следующая. Рассмотрим пространство функций:

WUR) = {f(•) Е L2(R): f(r)() Е L2(R),F[f](•) Е Lo(R)},

где производные функции f (•) и ее преобразование Фурье F[f](•) понимаются в обобщенном смысле.

Обозначим через (R) соболевский класс функций на прямой:

WUR) = {f(•) o(R), f(r)() гш^ 1}.

L2(R)

Ставится задача о наилучшем восстановлении функции u(,Y) — решения задачи Дирихле на прямой y = Y, где Y > 0, по следующей информации о граничной функции f (•) Е WJ^(R): задано приближенно ее преобразование Фурье F[f]() на отрезке [—а, а], а > 0, в метрике L0([—а, а]). То есть известна функция д(-) Е L0([—а, а]) такая, что

l|F[f](•) — g(-)|LTO([—.,.]) ^

где £ > 0.

Задача оптимального восстановления u(,Y) понимается следующим образом. Как и ранее, любое отображение

m: Lo[—а, а] ^ L2(R)

объявляется методом восстановления. Погрешность этого метода определяется величиной

e(Y, W2o^)Да,т) = sup ||u(^,Y) — m(g(^))|L2(R).

f(-jeW^(R), 9(-)еЬм[—а1а]

||F [f ко—^он^-^а Нас интересует величина

E (Y,W2o(R),M= r inf e^WURU^m),

которая называется погрешностью оптимального восстановления и, конечно, те методы тп, на которых нижняя грань достигается:

Е(У, ЖТто (К) , 5, а) = е (У, (К), 5, а, тп).

Эти методы мы называем оптимальными методами восстановления.

( п(2г + 1) \1/(2г+1)

Теорема 3. Пусть 5 > 0, а > 0, п = (--) , а0 = шт{а, п}.

Метод т: Ьто[—а, а] ^ Ь2(К), действующий в образах Фурье по правилу:

е—У|е| (1 — е—2У(£/ао)2г) д(£), |£| ^ ао,

Р[т(д(•))](£)=< 1 (£/ ) } ), 1£ 1 ,

0, |£| > ао,

является оптимальным.

Погрешность оптимального восстановления имеет вид:

52 1 52 а0

Е(У, ^(К), 5, а) = , — (1 — е—2Уа°) + е—

2пУ у \аог п(2г + 1)/'

Следует отметить, что оптимальный метод использует, вообще говоря, не всю доступную информацию, а ту, которую использует, определенным образом «сглаживает».

4. В четвертой главе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости по точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничной функции в метрике Ь2. Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Абрамова Елена Владимировна

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены вопросы восстановления решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости. Во всех случаях построены оптимальные методы восстановления и найдены точные значения соответствующих погрешностей оптимального восстановления. Важно отметить, что оптимальные методы, вообще говоря, используют не всю доступную для измерения информацию, а та (полезная) информация, которая участвует в построении метода, подвергается определенному «сглаживанию».

Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Личный вклад автора заключается в получении всех результатов, приведенных в работе. Достоверность этих результатов обеспечивается приведением их полных доказательств.

Во многих областях науки и прикладных задачах возникает необходимость восстанавливать функции или какие-либо функционалы и операторы от них по частотным характеристикам этих функций, которые, как правило, заданы неполно а возможно, и не точно (например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондировании Земли, спектральном анализе и т.п.). Полученные в диссертации явные выражения для оптимальных методов восстановления решения задачи Дирихле могут служить основой для разработки эффективных численных алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абрамова Елена Владимировна, 2018 год

Список литературы

[1] Абрамова Е. В. Об оптимальном восстановлении решения задачи Дирихле по неточным начальным данным // Вестник Тамбовского Университета, Серия: естественные и технические науки. — 2009. — Т. 14, вып. 4 — С. 654-655.

[2] Абрамова Е. В. Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным. //Владикавк. матем. журн. —2015.

— Т. 17, вып. 1. — С. 3-13.

[3] Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле по неточно заданному спектру граничной функции. // Владикавк. матем. журн. — 2017. — Т. 19, вып. 4. — С. 3-11.

[4] Абрамова Е. В. О наилучшем восстановлении решения задачи Дирихле в полуплоскости // Тезисы докладов XIII междунар. конф. «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» / ЮМИ ВНЦ РАН. — Владикавказ, 2016. — С. 45-46.

[5] Абрамова Е. В. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле в полуплоскости // Материалы XII Белорусской математической конференции / Институт математики НАН Беларуси. — Минск, 2016. — Часть 1. — С.3-4.

[6] Аваков Е. Р., Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. О

принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений.

— Успехи мат. наук. — 2013. — Т. 68, вып. 3(411). — С. 5-38.

[7] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление, 2-е изд. — М.: Физматлит, 2005.

[8] Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. — 1989. — Т. 189. — С. 3-20.

[9] Баграмян Т. Э. Оптимальное восстановление гармонических в шаре функций по неточно заданному преобразованию Радона // Матем. заметки. - 2015. - Т. 98, вып. 2. - С. 163-172.

[10] Баграмян Т. Э. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования // Владикавк. матем. журн.- 2012. — Т. 14, № 1. — С. 22-36.

[11] Введенская Е. В., Осипенко К. Ю. Дискретные аналоги неравенства Л. В. Тайкова и восстановление последовательностей, заданных неточно // Матем. заметки. — 2012. — Т. 92, вып. 4. - С. 515-527.

[12] Выск Н. Д. О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны // Владикавк. матем. журн. - 2006. - Т. 8, № 4. - С. 13-18.

[13] Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Матем. заметки. - 2007. - Т. 81, вып. 6. - С. 803-815.

[14] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974.

[15] Колмогоров А. Н. О наилучшем приближении функций заданного функционального класса // Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. - М.: Наука, 1985. - С. 186-189.

[16] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд-е 4-е. - М.: Наука, 1976.

[17] Магарил-Ильяев Г. Г., Чан Тхи Ле. К задаче оптимального восстановления функционалов // Успехи мат. наук.- 1987. - Т. 42.

Выпуск 2(254). — С. 237-238.

[18] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем. заметки.— 1991.— Т. 50. Выпуск 6. — С. 85-93.

[19] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сборник.— 2002. — Т. 193. № 3. — С. 79-100.

[20] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его приложения. — 2003. — Т. 37, вып. 3. — С. 51-64.

[21] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сборник. — 2009. — Т. 200, № 5. — С. 37-54.

[22] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН. — 2010. — Т. 269. — С. 181-192.

[23] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его приложения. — 2010. — Т. 44, вып. 3. — С. 76-79.

[24] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и восстановление производных по неточной информации // ДАН. — 2011. — Т. 438, № 3. — С. 300-302.

[25] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру? // Матем.

заметки. - 2012. - Т. 92, вып. 1. - С. 59-67.

[26] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О наилучшем гармоническом синтезе периодических функций // Фундамент. и прикл. матем.-2013. - Т. 18, вып. 5. - С. 155-174.

[27] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О наилучших методах восстановления производных на соболевских классах // Изв. РАН. Сер. матем.- 2014. - Т. 78, вып. 6. - С. 83-102.

[28] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Точность и оптимальность методов восстановления функций по их спектру. // Тр. МИАН. -2016. - Т. 293. - С. 201-216.

[29] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Сивкова Е. О.

Наилучшая аппроксимация множества, элементы которого известны приближённо // Фундамент. и прикл. матем. - 2014. - Т. 19, вып. 5. - С. 127-141.

[30] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Тихомиров В. М.

Неопределенность знания об объекте и точность методов его восстановления // Пробл. передачи информ.- 2003. - Т. 39, вып. 1. - С. 118-133.

[31] Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. О неравенствах для производных колмогоровского типа // Матем. сборник. - 1997. -Т. 188. № 12. - С. 73-106.

[32] Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Метод Ньютона, дифференциальные уравнения и принцип Лагранжа для необходимых условий экстремума // Тр. МИАН. - 2008. - Т. 262. - С. 156-177.

[33] Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 3-е. — М.: Эдиториал УРСС, 2011.

[34] Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Матем. заметки.— 1975.— Т. 17. Выпуск 3. — С. 359-368.

[35] Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

[36] Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук. — 1950. — Т. 5, вып. 2(36). — С. 165-177.

[37] Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Матем. заметки. — 1972. — Т. 12, вып. 4. — С. 465-476.

[38] Осипенко К. Ю. О наилучших квадратурных формулах на классах Харди-Соболева // Изв. РАН. Сер. матем. — 2001. — Т. 65, вып. 5.

— С. 73-90.

[39] Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление аналитических функций по их значениям в равномерной сетке на окружности // Владикавк. матем. журн. — 2003. — Т. 5, № 1. С. 48-52.

[40] Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавк. матем. журн.— 2004. — Т. 6, № 4. — С. 55-62.

[41] Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева // Матем. сборник.

— 2006. — Т. 197, №3. — С. 15-34.

[42] Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках // Матем. сборник.— 2014. — Т. 205, № 10.

- С. 77-106.

[43] Понтрягин Л. С. Обыкновенные ифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1965.

[44] Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

[45] Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление лапласиана функции и точные неравенства // Фундамент. и прикл. матем. - 2013. - Т. 18, вып. 5. - С. 175-185.

[46] Сивкова Е. О. Об оптимальном восстановлении лапласиана функции по ее неточно заданному преобразованию Фурье // Владикавк. матем. журн.- 2012. - Т. 14, № 4. - С. 63-72.

[47] Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них.: Дисс.канд. ф.-м. наук. - М.: МГУ, 1965.

[48] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.

[49] Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. -М.: МГУ, 1976.

[50] Унучек С. А. Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности // Дифференциальные уравнения. - Т. 51, № 7. - 2015. - С.951-957.

[51] Унучек С. А. О восстановлении оператора разделенной разности по неточно заданному преобразованию Фурье // Владикавк. матем. журн.- 2015. -Т. 17, №3. - С. 84-92.

[52] Унучек С. А. Оптимальное восстановление производной функции по неточно заданным производным других порядков и самой функции // Владикавк. матем. журн.- 2016.-Т. 18, №3. - С. 60-71.

[53] Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. — М.: Мир, 1985.

[54] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970

[55] Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic Function Theory. Second edition. — Graduate Texts in Mathematics, 137. — New York: SpringerVerlag, 2001.

[56] Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal.— 1979. — С. 87-105.

[57] Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery. // Optimal estimation in approximation theory. Proc. Internat. Sympos., Freudenstadt, 1976 / Plenum Press. — New York. — 1977. — P. 1-54.

[58] Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery // Numerical analysis, Proc. SERC Summer School, Lancaster, 1984 / Lect. Notes Math., 1129. — Springer. — Berlin. — 1985. — P. 21-93.

[59] Osipenko K.Yu., Wedenskaya E.V. Optimal recovery of solutions of the generalized heat equation in the unit ball from inaccurate data // Journal of Complexity. — V. 23 No 4-6. — P. 53 - 661.

[60] Osipenko K. Y., Stessin M. I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx.— 2010. — V. 31 No 1 . — P. 37-67.

[61] Sard A. Best approximate integration formulas; best approximation formulas // Amer. J. Math. — 1949. — V. 71. — P. 80-91.

[62] Traub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. — New York: Academic Press, 1980.

[63] WoZniakowski H. A survey of information-based complexity // Journal of Complexity. — 1985. — Volume 1, No 1. — P. 11-44.