Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Унучек Светлана Александровна

• Унучек Светлана Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Унучек Светлана Александровна

Оглавление

Введение

Предварительные сведения

Глава 1. Восстановление оператора разделенной разности по преобразованию Фурье последовательности в среднеквадратичной норме

Глава 2. Восстановление оператора разделенной разности последовательности по её преобразованию Фурье в равномерной норме

Глава 3. Восстановление оператора разделенной разности по

неточно заданным разностям других порядков

Глава 4. Восстановление производной функции по неточно заданным производным других порядков и самой функции

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации»

Введение

Работа посвящена вопросам оптимального восстановления оператора разделенной разности последовательности по информации о самой последовательности или ее разделенных разностей других порядков, известных точно или приближенно (в той или иной метрике).

В различных прикладных задачах часто нужно восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой (как правило, неполной и неточной) информации о других его характеристиках. Например, требуется восстановить производную функции или интеграл от нее, или саму функцию в той или иной метрике, или ее значение в некоторой фиксированной точке по приближенно известным значениям в других точках или по приближенно известному преобразованию Фурье этой функции. Существуют различные подходы к решению аналогичных задач. Одним из наиболее распространенных является регуляризация по А.Н. Тихонову. В данной работе используется другой подход, основанный на идеях А. Н. Колмогорова [1] о наилучших средствах приближения классов функций конечномерными подпространствами, суть которого заключается в том, что ищется наилучший метод восстановления данной характеристики по априорной информации об объекте среди всех возможных методов восстановления.

Одними из первых решались задачи о построении наилучшей квадратурной формулы. Пусть дан класс Ш функций, непрерывных на отрезке [а, Ь] и зафиксированы точки а < ¿1 < ¿2 ... < ¿п < Ь.

Для каждой функции f (•) G W известны значения в данных точках. Требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла

b

j f (t) dt.

a

В качестве методов приближения предлагаются следующие квадратурные формулы

b

/и

f (t)dt ^ ^ pif (ti ). a j=1

Набор весовых коэффициентов pi, p2,... pu, на котором достигается нижняя грань

' fb

inf sup

Pl,...,Pn f

f (t) dt -J] рг/(гг) j=i

задает наилучшую квадратурную формулу. Важные результаты в решении данной задачи были получены С.М. Никольским [2], который указал оптимальный выбор точек, в которых вычисляется подынтегральная функция.

Точная постановка задачи оптимального восстановления впервые была сформулирована С.А. Смоляком [3], который исследовал оптимальное восстановление линейного функционала на некотором множестве W линейного пространства по значениям других линейных функционалов. Он же получил первый результат в этой постановке, доказав, что, если W- выпуклое, центрально-симметричное множество (W = — W), то среди всех оптимальных методов восстановления вещественного линейного функционала на W существует линейный. Аналогичное утверждение для комплекснозначных функционалов было доказано К.Ю. Осипенко [4]. В дальнейшем этот результат обобщался многими авторами. В обзорах C.A. Michelli и T.J. Rivlin [5, 6] формулируются и

решаются различные задачи оптимального восстановления. В работе A.A. Melkman и C.A. Michelli [7] рассматриваются линейные методы восстановления линейных операторов в гильбертовом пространстве.

В работе Смоляка объекты были заданы точно, на практике часто приходится иметь дело с объектами, информация о которых известна приближенно, с некоторой погрешностью. В начале 2000-х годов в работах Г.Г. Магарила-Ильяева и К.Ю. Осипенко был разработан метод оптимального восстановления линейных операторов по приближенной информации ([8, 9, 10, 11] и др. ). Получен критерий существования линейного оптимального метода [12] в достаточно общей постановке.

В конкретных задачах восстановления в качестве информационного оператора обычно рассматривают линейные функционалы или операторы, сопоставляющие функции или ее производной значения в точках, коэффициенты Фурье или просто саму функцию. При обработке данных различной природы часто приходится иметь дело с дискретной информацией. В этом случае производные заменяются на конечные разности, интегралы - на конечные суммы. В диссертации рассматриваются различные задачи восстановления операторов разделенной разности последовательности. Во всех задачах информация о последовательности дана неточно. Получены оптимальные методы восстанвления.

Приведем общую постановку задачи оптимального восстановления. Пусть X — линейное пространство, W С X — класс элементов, Y, Z — нормированное пространство, I — линейный оператор такой, что I : X ^ Y. Элементы из W известны приближенно, то есть Ух Е W известен y Е Y : ||Ix — y||Y < 8, 8 > 0. По этой информации хотим восстановить значение линейного оператора Л : X ^ Z. Схематично задачу можно изобразить так:

W С X Z

I \ /v

Y

Методом восстановления назовем любое отображение v ■ Y ^ Z. Его погрешностью называем величину

e(W,Л, Y, 8, v) = sup ||A(x) - v(y)||z.

xew,yeY \\Ix-y\\y <s

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(W,Л,Y,8) = inf e(W,A,Y,8,v),

tp:Y ^Z

где нижняя грань берется по всевозможным методам v. Методы, на которых достигается нижняя грань, называются оптимальными методами восстановления.

Задачу нахождения оптимального метода и оптимальной погрешности будем называть задачей оптимального восстановления оператора Л на классе W по информации I.

Краткое содержание работы

В диссертации рассматриваются задачи оптимального восстановления операторов разделенной разности последовательности по неточной информации об этой последовательности.

В первой главе рассматриваются две задачи одновременного восстановления операторов разностей различных порядков в среднеквадратичной норме на классе последовательностей с ограниченной п-ой разделенной разностью. В первой задаче преобразование

6

Фурье последовательности приближенно задано на отрезке. Аналогичная задача восстановления производной какого-либо порядка ( или самой функции) на соболевском классе рассмтривалась в работе [13]. Во второй задаче неточно задана сама последовательность. Задача, когда к-ая разделенная разность восстанавливалась в фиксированной точке, расссматривалась в работе [14]. Некоторый частный случай рассматриваемой задачи был получен в работе [15]. В диссертации используется другой метод, позволяющий найти семейство оптимальных методов для одновременного восстановления сразу нескольких операторов разделенной разности любого порядка. Предельным переходом из полученных результатов вытекает непрерывный случай, исследованный в работах [11], [13] и [16]. Решение данной задачи изложено автором в работе [21].

Перед формулировкой теорем дадим определения. Пусть к > 0 - пространство последовательностей х = {х, таких, что

^ |xj |2 < то, с нормой jez

к £ I х |2)

ч jez )

X 1/2

2

тк^) = | I х,

jez

Оператор разделенных разностей определяется равенством: Д^х = Д^х = {^^ , Д—х = Д^(ДГ-1х).

Преобразованием Фурье последовательности х = {xj € является функция

(^х)М = к £ х,е-г]Нш € ¿2([-п/к,п/к]),

jez

а оператора разделенной разности - функция

^(ДЛх)М = к £ е-г^ = ^^^х(ш),

(ргНш _ 1) —

^ (Д—х)М = ( к— ) Fx(ш).

Пусть п Е N. Рассмотрим класс последовательностей

™пл = {х Е МЖ : Шх\\12т < 1}.

Ставится задача одновременного оптимального восстановления операторов всех разностей

(Ах А2нх, ..., Д'П-1х)

последовательности х Е "Н^, при условии, что её преобразование Фурье на отрезке [—а; а], 0 < а < п/Н нам известно с точностью до 8 :

- у(Ш)\\Ь2([-а;а]) < 8, 8>

В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможные отображения

Щ(у) = (Щl(У), <P2(У), Щn-l(У)),

Щк(у) : Ь2([-а; а]) ^ 1^(%), 1 < к < п - 1. Обозначим

Д = (Дь Д2, ..., Дп-1).

Погрешностью метода щ называется величина

е(№п,н,р, Д,8,щ)= вир ,

\\Рх{ш)-у{ш)\\Ь,2([-а;а])<&

п—1

т.РХ\\Д£х - Щк(У)\г22Л(Ж). к=1

Здесь р = (р1,р2,... ,рп-1), рк > 0, 1 < к < п — 1, — весовые

коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение

более точному восстановлению оператора какой-либо разности.

8

Погрешностью оптимального восстановления называется вели-

чина

EF, Д, 8) = Inf e(W2n„ F, А, 8, p).

L2(i-a;a])^(l2,h(Z))

Метод ф, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.

Пусть x - положительный корень уравнения

n— 1

n— 1

£Pkx k = Pk

k /82

k=1

ф = <

k=1

n V 2n

2 . hx 2n 2

— arcsm-, x 2n < —

h 2 ' h

n

t(w)

2 wh 4 sin2 —

_2_

h2

^ 2 x 2n > — h

wCT = t (а).

Теорема 1.1. Пусть n e N, 8 > 0. Тогда

E(Wnh ,F, А, 8)

2 4 ^ X 1/2

ШЧ Э

/n=11 uf 82 f k\ n-k n-k

n

ЛЁ pk

+ w:

1/2

а > ф,

а < ф.

Все методы фk (у)

A^F-1(«k(w)y(w)), w e (-а; а)

0,

w e (-а; а)

где

а (w)

, w e (-а; а)

Л1+Л2 tnM' ^ ' '

0,

w e (-а; а)

а 0k(-) для почти всех w e (-а; а) удовлетворяют условию

n-1 / n—1 ч

£Pktk(w)|0fc(w)|2 < ф1ф2£»( ф1 + ^(w) - £Pktk(wH , k=1 ^ k=1 '

k

n

в котором

А1

п-1 /82\ - п

£ 22) <1 - п

а аА ,

п-1 м(к

к

п — к

'-) С1 - п) , а < а,

к=1 \п-

А 2

п—1 к_( = ркп{ 2п

п- 1

е р_ и к=1

к-п а 1

а аА ,

а < А

являются оптимальными.

Затем рассмотрим задачу одновременного оптимального восстановления операторов всех разностей (Д^х, Д^х, ... , Дп-1х) последовательности х Е Щн, при условии, что последовательность х задана неточно, то есть известна последовательность у е 12,н(Ж) такая, что

\\х - у\кл(й) < 81 8> °.

В качестве методов восстановления снова рассмотрим всевозможные отображения

Щ(у) = (Щ1(у)1 Щ2(у)1 Щп-1(у))1

Щк (у): 12 ь(Ъ) ^ 12 ,н(%), 1 < к < п - 1.

Положим

Д = (Д1, Д2,

Дп-1).

Погрешностью метода щ назовем величину

в(Щь, Д,8,щ)= 8ПР ,

хе^пЛ, у&2,н(ж) \

п1

т.рк\Дх - Щк (у)\^2,Н(Ж)1

к=1

где р = (р1,р2,... ,рп-1), рк > 0, 1 < к < п - 1, — весовые коэффи-

циенты.

п — к

Погрешностью оптимального восстановления назовем величину

ЕД,5) = 1п£ е(^, Д,5,р).

Метод Л, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.

Теорема 1.2. Пусть —,п е М, 1 < — < п - 1 и 5 > 0. Тогда

Е Д,5) = <

Г(1 »51/2, 5, (*, ,

Л! ^ (IГ Г-« (!>.

/IV

При 5 < ( — ) метод Л(у) = Д/у является оптимальным. При

(IV

5 > ( — 1 все методы фк(у) = Д/^— Дак(ш)Ту(ш)), где

2 ш1

( ) Ах + ^(ш) .( ) 481П Т

(ш) = А-А-ГТ, 1 (ш) = -Тл-,

Ах + (ш) 12

а 0к(-) для почти всех ш удовлетворяют условию

п— 1 / п— 1

£Ркгк(ш)|0к(ш)|2 < (ш)( Л1 + Л2^(ш) - £Рк 1к(ш)

к=1 4 к=1 в котором

^ п— 1 ^ ( к \ ^ п—1 к й

= У^ Рк 5—2 к (1--), ф2 = У^ Рк—52

пп к=1 4 7 к=1

являются оптимальными.

Во второй главе рассматривается задача, аналогичная тем, которые рассматриваются в первой главе. Разница в том, что здесь преобразование Фурье последовательности известно приближенно в равномерной норме. Задача восстановления функции и ее к-ой

производной по неточно заданному преобразованию Фурье этой

11

функции в равномерной норме рассматривалась в работе [11]. Результат, полученный в данной главе, приведен автором в работе [23] и в предельном случае переходит в результат, полученный в работе [11].

Перед формулировкой теоремы вновь введем некоторые обозначения. Снова рассмотрим пространство последовательностей 12,к(Ж), Н > 0. Обозначим класс последовательностей

Пусть для каждой последовательности х Е №'пкоо (Ж) также приближенно известно её преобразование Фурье на множестве (-а; а) , а < п/Н, в метрике Ь^(-а; а), то есть известна некоторая функция у е Ь^(-а; а) такая, что

Задача состоит в оптимальном восстановлении либо самой последовательности, либо оператора разделенной разности к- го порядка последовательности х Е (Ж). Любое отображение

объявляем методом восстановления и погрешностью этого метода называем величину

^п^(Ж) = {х Е : (^х)О Е Ьж([-п/Н,п/Н])}.

\\(Рх)(-) - у(-)\\ьж-*а) < 8.

щ(у) : Ьж(-а; а) ^ 12,к(%)

вир

уеЬ^(-а;а) \\(^х)(.)-у(.)\\Ьто(—.а)<6

Нас интересует величина

Е(ЩАж(Ъ), Д_,8)

т£

р: Ь((-а; а)^12,н (Ж)

которая называется погрешностью оптимального восстановления и метод Л, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления. Положим

¿(ш)

| еггеш _ 11

I2

/о • 1ш\

2 вт —

_2_

I

V /

2

Л— решение уравнения / ¿п(ш)^ш = ^г, ао = тт(а, Л).

—ст

Теорема 2.1. Погрешность оптимального восстановления равна

л/П,

Оо < п/1,

ЕД/,5)

2П / ¿к (ш)^ш, Оо = п/1,

Н<7г//

где

П = £ / ¿к(ш)ЛШ + шк—^ 1 _ ^ J Г(Ш)^Ш

Н<оо М<°о

2 вт

ш,

сто

2

V

I

/

При оо < п/! метод Л(у) такой, что

а(ш)у(ш), |ш| < Оо |ш| > Оо

^Л(у) =

0,

где

а(ш) =11 _

¿(ш)

п—к\ / Ццш 1\к

_ 1)'

является оптимальным. При оо = п^ метод Л(у) такой, что

^Л(у)

_ 1)'

■y(ш),

является оптимальным.

В третьей главе изучается задача восстановления оператора k-ой разделенной разности последовательности в среднеквадратичной норме по неточно заданным разделенным разностям ki,k2,... kn порядков. В этой главе используются результаты, опубликованные автором в работах [22, 25, 26]. Аналогичная задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности по приближенным измерениям в другие моменты времени рассматривалась в работе [17]. Задача оптимального восстановления k-ой производной функции по приближенно известным производным других порядков рассматривалась в работе [18]. Результат, полученный в диссертации, в предельном случае переходит в результат, полученный в работе [18]. Снова перед фдомулировкой теоремы введем некоторые обозначения.

Пусть n Е N. Предположим, что для каждой последовательности x Е l2,h(Z) неточно известны разделенные разности kl,k2,... ,kn порядков (0 < kl < k2 < ... < kn), то есть известны последовательности yl,y2,... ,yn такие, что

llAhj x - yj lkh(z) < 8j ,3 = l,...,n.

Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора k-той разделенной разности Ahx (k Е Z+) последовательности x Е l2,h(Z). В качестве метода восстановления рассмотрим всевозможные отображения

<р : (l2,h(Z))n ^ l2,h(Z).

Погрешностью этого метода называется величина

e(l2,h(Z),K,6,<p)= sup ||Ahx - <p(Y)h,h(z),

x&2 ,h(Z) Y e(h,h (Z))n

к ■

WAh x-yj\\i2,h(Z)<<j,j=l,...,n где K = (ki,k2,... ,k,n),S = (81,82,... ,8,n),Y = (yi,y2,... ,yn).

14

Погрешность оптимального восстановления будет значением экстремальной задачи

а метод ф, на котором достигается нижняя грань - оптимальный метод.

Пусть к, &1, к2,..., е 0 < < к2 < ■ ■ ■ < ^ > 0. Положим

Ь

М = со{(к, 1п1/^-), 1 < ^ < п} + {(Ь,Ь 1п-) : Ь > 0},

где со А обозначает выпуклую оболочку множества А. Пусть функция #(•) на промежутке [0, задана равенством

0(к) = шах{х : (к,х) е М},

, ,... - ее точки излома,

2 к-ка]

- _ k - ksj / \ 2 fcj+i-fcsj

jR kSj+l - ksA <W

, • 2 hw 4 sin2 —

'M _ •

Теорема 3.1. Для любого k > 0 погрешность оптимального восстановления равна

(1) Если ki > 0, 0 < k < ki, то любой метод является оптимальным;

(2) если k _ ksj, 1 < j < r, то метод ф такой, что

£(7)_ ysj,

является оптимальным;

3) если г > 2, к € (ksj, kSj+1), 1 < ] < г — 1, то любой метод вида А(У) = вSjL * + вSjR * УSj+1 является оптимальным, где вSjL ,вSjR - последовательности, преобразование Фурье которых удовлетворяет условиям:

(Гв^ )М —

■ е^Ьш_1 \ к ksj

Asj^ ¡г

JsjL)^J) А -,-к sj

А ^ {ш) + а

<

AsjL AsR гк-к^+1 (и)

+ V1 ] (и)

As,L ^-к (и) + As,R гк*>+1-к (и) — 1

е^ш_к ksj+l / е^Ьш_ksj ksj+l

(Гвч* )(и)= (—^ (и),

птимальным, (4) если к > к^, то метод а такой, что

А (У) = д£-к" уаг,

является оптимальным.

В четвертой, заключительной главе изучается задача одновременного восстановления производных функций к1-го и к2-го порядков в среднеквадратичной норме по неточно заданным производным п1-го и п2-го порядков и самой функции. Решение приводится при некоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция ([27]) . Полностью задача решена ([24]) для случая к1 = к, п1 = 2к, к2 = 3к, п2 = 4к, к € N. Этот случай показался интересен тем, что в задачах восстановления производных при задании погрешности в среднеквадратичной норме не встречался случай, когда более двух множителей Лагранжа отличны от нуля. Для заданной погрешности в равномерной норме ситуация, когда много множителей Лагранжа отлично от нуля, достаточно

16

распространен (см [10], [11]). Ранее задача оптимального восстановления к-ой производной функции по приближенной информации о самой функции и ее п-ой производной рассматривалась в работе [16].

Рассмотрим соболевское пространство функций

= {ж(-) е ¿2(К) : ж(га-1)(-) - локально абсолютно непрерывна, ж(га)(-) е ¿2(К)}, п е N.

Пусть п0 = 0, п1, п2, к1, к2 е М, 0 < к1 < п1 < к2 < п2. Предположим, что для каждой функции х(-) е "Н^?2 (К) приближенно известны её производные п1-го и п2-го порядков и сама функция, то есть известны функции у0(-), у1(-) и у2(-) е ¿2(К) такие, что

Н*(п')(-) - у(ОНад < , 3 = 0,1, 2.

Задача состоит в одновременном оптимальном восстановлении производных к1-го и к2-го порядков функции я(-) е (К), 0 < к1 < п1 < к2 < п2.

Любой метод метод (отображение ) р: (¿2(К))3 ^ (¿2(К))2 объявляется методом восстановления и его погрешность вычисляется по формуле

в(^2га2 (К), К, 5, р) =

вир

ж(0е^2П2(к), Уе(Ь2(К))3

(•)Уь2(К)<й^, ¿=0,1,2

\

Ёрн*(кчо - ^(у)(-)111,т,

¿=1

где К = (кькз), 5 = (5о,51,52), У = (уо(-),У1 (-),У2(-)), у = (р1(У), р2(У)). Здесь р = (р1,р2), р1,р2 > 0 — весовые коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точному

восстановлению производной какого-либо порядка.

17

Погрешностью оптимального восстановления называется вели-

чина

Е(Я), К, 6) = Ы е(ЖП2 (Я),К,6,р).

Методы А, на которых достигается нижняя грань, будем называть оптимальными методами.

П1 1_ П1

Теорема 4.1. Если ^ > 622 60 П2, погрешность оптимального восстановления равна

Е (Ж?2 (Я), К, 6) = х/АО^+Аз!,

где

А (§2\2к1/П2 ( к1 N (62\2к2/П2 ( к2

Ао = Р1( ТО) I1 — П2) + Р2{ ТО) I1 — П"

к1 ( §2 \2(к1/П2-1) к2 ( 62 \2(к2/П2-1)

А2 = Р1- "Г + Р2—\Т

П2 \ §0/ П2 \ §0

Метод (А = (^Т(У(У)) такой, что его преобразование Фурье ) = (1 — )) Гуо(0 + (¿£)к*-П2^(0РУ2(£), 8 = 1, 2,

где

А2е2п2 + Os(е жг^

^(о =-у ^ ^--,

Ао + А2е 2?2 ,

а произвольные функции из Ьте(И), удовлетворяющие усло-

вию

Р1^2к1 о2ло+Р2^2к2 т) < 1,

является оптимальным.

Положим

Ж =\/р?52 + 2Р1Р252 + р252, 1 /52 , 52

^у^о (3р1 + р2<г) , 51 >^505

г 1 ' Г2 г I , "1 > V "оио,

Ло = 5о'

, 51 <

/

0, 51 > ^5052,

Л1 = < ,

р2Ж2 + 2р1ро52 , ^ „ к--, 51 <^5052

\\пт 1р1 + 3рЛ , 51 >^5050,

Ло = <у 52 /

, 51 <

Теорема 4.2. Пусть к е М, к1 = к, п1 = 2к, к2 = 3к, п2 = 4к. Тогда

(\/й^рк^ + р2^2, 51 > У5с52,

51 < ^5052.

Метод Л = (РТ(У(У)) такой, что его преобразование Фурье

2

) = Ё (£),* = 1, 2, ¿=0

где о^(-)— любые функции из Ьте(И), удовлетворяющие в случае 61 > V6062 условиям

аО(е)

= (гО(2^1)к •

аао — е.3(е )е4к уа^^^

Ао + (2 е8к

а1 (е) = 0,

*2(0 = (¿0^-5)к •

%ек + ^(е )е4к

Ао + (2 е

8к

в = 1, 2,

а 9ц(^)— произвольные функции из Ьте(И), удовлетворяющие условию

Р1е 2кв2(е)+ Р2е6к *2(е) < 1,

в случае 61 < л/6062 условиям

^:2=о(ге)2к^' «ж ) = (*е )(2s-1)k ,8 = 1,2,

К(е )12

I ^2 laj(е)| \ 1^2 |а2(е)|2

Р1\ Т>2=0 - + Р2[ Т.3=0—-

1

Aj

Aj

является оптимальным .

Предварительные сведения

Обозначения

Пусть N, Z, Z+, R и C — множества соответственно натуральных, целых, неотрицательных целых, действительных и комплексных чисел.

Пусть d G N. Через Rd (R1 = R) обозначим евклидово пространство всех упорядоченных наборов из d вещественных чисел со скалярным произведением (x, y) = d=1 x^, где x = (x1,..., xd) , y = (y1,... , yd). Длину (евклидову норму) вектора x = (x1,... , xd) G Rd обозначим |x| = \Jx2 + ... + x2.

Пусть 1 < p < то. Обозначим через Lp(Rd) совокупность измеримых комплекснозначных функций f (•) на Rd с конечной нормой

II/OllMRd) = У If (x)|pdx) /Р , 1 < p< то,

|f (•)|LTO(Rd) = inf{a > 0 I mes {x G Rd | |f (x)| > a} = 0 }.

Скалярное произведение в L2(Rd) определяется по формуле

(£(•),/(•))=/ $(*)/(х) ах.

Оператор разделенной разности

Пусть I > 0 - пространство последовательностей х

{х,таких, что ^ |2 < то, с нормой

h £ I x |2)

ч jez )

1/2

lx|l2,h(Z) = I xj 12

Оператор разделенных разностей определим равенством:

д^х = д^х = {х'+1, , д^х = д^(д;т-1х

I 1 ) ¿еж

Гармонический анализ

Пусть /(■) е (Е^). Функция (Е/)(■), заданная на и определенная равенством

(Е/)(£)=/ /(х)е-^ ах, £ е №*, (0.1)

называется преобразованием Фурье функции /(■).

Теорема 0.1 (Планшереля). Существует единственный линейный непрерывный оператор, отображающий на (также называемый преобразованием Фурье и также обозначаемый через Е), который на П совпадает с (0.1) и при этом, справедливо равенство

II/(ОНм*) = И^/ХОНм*). (0.2)

Из (0.2) следует, что Е — взаимно однозначное отображение. Обратный оператор к Е называется обратным преобразованием Фурье и обозначается Е-1. Это линейный непрерывный оператор. Преобразованием Фурье последовательности х = {х, е называется функция

(Ех)(и) = К £ х,е ¿о([-п/К,п/К]). 22

Преобразованием Фурье оператора разделенной разности первого порядка последовательностей называется функция

(ГД^)(и) = к £ ^^ jez

1 (к £ х3+1е-г(]+1),гш егНш — к £ Xj е-г^ш V jez jez

ег1гш 1 егЬш _ 1

• к £ х+1е-г(^ш — ^ • к £ xjе-г^ш = е-Г- (Гх)М. jez jez

Следовательно,

(eгhш _ 1)т

(Г Дтх)(и) = ( к— ) (Гх)(и).

По теореме Планшереля получаем

1

дм^ = 2П иг (дтх)(и)гЫ[-ж/Кж/Щ),

1 г | егЬш _ 11 2т

НА^Н^) = 2П У к—2т. |Гх(и)|2 ^

-п^

Свертка последовательностей х и у определяется следующим образом:

(х * У)j = 5^ хкУj-k.

Теорема 0.2 (о свертке). Преобразование Фурье переводит, свертку последовательностей в произведение преобразований фурье этих последовательностей:

(Г (х * У))(и) = (Гх) (и) • (ГУ) (и).

Соболевским пространством И^(Я^), п € N называется совокупность таких функций f (•) € Ь2(Яа), что для любого к = (к1,... ,ка) € для которого к1 + ... + < п, производная

д/к1+..+к" (х)

х м Бк/ (х)

дх11 •... • дхк/

также принадлежит L2 (Rd). Пусть

d = 1, Wn(R) = (x(-) G L2(R) : x(n-1)(-) - локально абсолютно непрерывна, ж(га)(-) G L2(R)}.

Преобразованием Фурье производной ж'(-) функции ж(-) G W2?(R) является функция

(Fx')(£) = i£(Fr)(£) G L2(R),

(Fx(m))(£) = (i£)m (Fx)(£). По теореме Планшереля получаем

iix(m)(e )iii2(R) = iFx(m))(e)H2(R) =

¿^ iKienFxxoi^R) = -Л/ e2mi(Fx)(oi2 de.

R

Выпуклая оптимизация

Пусть X — линейное пространство, функция f: X ^ R. Над-графиком функции f называется множество

epi f = { (ж, а) G X х R | а > f (ж) }

Функция f: X ^ R называется выпуклой, если ее надграфик epi f является выпуклым множеством.

Пусть A — выпуклое подмножество X, функции f: X ^ R, i = 0,1,..., m, — выпуклые , aj G R , i = 1,..., m.

Выпуклой задачей, или задачей выпуклого программирования называется следующая задача ортимизации:

f0(x) ^ min, fj(x) < aj, i =1,...,m, ж G A. (0.3)

Точки x Е A , удовлетворяющие неравенствам fi(x) < ai, i = 1,...,m, называются допустимыми точками. Точки минимума функции fo(x) называются решениями данной задачи.

Функция L: X х Mm+1, заданная равенством

m

C(x,X) = Aifi(x),

i=0

где Л = (Л0, Л1,..., Am), называется функцией Лагранжа задачи (0.3), а числа Л0, Л1,..., Am — множителями Лагранжа.

Теорема 0.3 (Каруша-Куна-Таккера). Пусть Л — решение задачи (0.3). Тогда существует такой ненулевой набор множителей Лагранжа Л = (Л0, Л1,..., Лт), что

(a) min^eA L(x,Л) = L(x,Л);

(b) xi > 0, i = 0,1,...,m;

(c) xi(fi(x) - ai) = 0, i = 1,... ,m.

Если существуют Л - допустимая в задаче (0.3) точка, и набор множителей Лагранжа Л = (Л0, Л1,..., Лт), которые удовлетворят условиям (a), (b) и (c) и при этом Л0 > 0, то x — решение задачи (0.3).

Если найдется по крайней мере одна допустимая в задаче точка x Е A, такая, что fi(x) < ai, i = 1,... ,m (условие регулярности или условие Слейтера), то Л0 = 0.

Если выполнено условие Слейтера, то ограничения (a), (b) и (c) - необходимые и достаточные условия того, что допустимая в задаче (0.3) точка Л является решением этой задачи.

Очевидно, что, если условия (a), (b) и (c) выполнены для некоторого набора Л, то они выполнены и для набора cA, где c > 0. То есть при Л0 > 0 будем полагать, что Л0 = 1.

25

Значением задачи (0.3) называется нижняя грань чисел /о(х) по всем допустимым х. Если ж — решение задачи (0.3), то, очевидно, значение задачи равно /0(ж).

Глава 1

Восстановление оператора разделенной разности по преобразованию Фурье последовательности в

В данной главе рассматриваются задачи одновременного восстановления операторов разностей последовательности различных порядков в среднеквадратичной норме на классе последовательностей с ограниченной п-ой разделенной разностью. В первой задаче преобразование Фурье последовательности приближенно задано на отрезке. Во второй задаче неточно задана сама последовательность. Предельным переходом из полученных результатов вытекает непрерывный случай, исследованный в работах [13], [11] и [16]. Решение второй задачи изложено автором в работе [21].

Перед формулировкой основных результатов данной главы введем некоторые обозначения. Пусть п Е N. Рассмотрим класс последовательностей

Преобразованием Фурье последовательности х = {х, € /2,^(ж) является функция

а оператора разделенной разности первого порядка - функция

среднеквадратичной норме

= {х € М^) : НДПхН,^) < 1}.

(Ех)М = Ь^х,€ ¿2([-п/ММ]),

¿еж

преобразованием Фурье оператора разделенной разности порядка т - функция

(eгhш _ 1)т

(Г дтх)(и) = ( к— ) (Гх)(и).

Ставится задача одновременного оптимального восстановления операторов всех разностей

(Дhx, Дhx, ..., ДП-1х)

последовательности х € "И^, при условии, что её преобразование Фурье на отрезке [—а; а], 0 < а < п/к нам известно с точностью до 6 :

||Гх(и) — У(и)\\и([-^]) < 6, 6>

В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможные отображения

Р(У) = (Ыу), ^2(У), ..., Рn—l(У)),

Рк(у) : Ы[—а; а]) м ^(Я), 1 < к < п — 1. Обозначим

Д = (Д1, Д2, ..., Дп-1). Погрешностью метода р называется величина

е(Щл,Г, Д,6,р) =

вИр д

п— 1

^Рк ||дhx — Рк ш?2^).

к=1

Здесь р = (р1,р2,... ,рп—1), рк > °, 1 < к < п — 1, — весовые

коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение

более точному восстановлению оператора какой-либо разности.

28

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(WU, F, Д, 5) = inf e(W2nh, F, Д, p).

Метод а, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.

Пусть x -положительный корень уравнения

n—1 n—1

Р..

"n \ 2п

v-^ а k f 52

x n = Pfc

fc=i

fc=i

x.

n1

Рассмотрим обе части уравнения. Функция у = ^ р.х« вогнута,

к=1

п — к

11Ш у = 0. Функция у = — х - прямая с положитель-

к=1 п \ 2п/

ным угловым коэффициентом, проходящая через начало координат. Это означает, что при х > 0 графики этих функций имеют единственную точку пересечения, то есть данное уравнение всегда имеет единственный корень. Введем обозначения:

а

hx г1™

2

— arcsin — h 2

п

t(w)

, • 2 ^h 4 sin2 —

_2_

h2

i 2

X 2n < —

h

^ 2 X 2n > — h

= t (a).

Теорема 1.1. Пусть n e N, 5 > 0. Тог^а

E(W?h ,F, Д, 5)

~ n-

Ш 4 S ^

(-1 fc ( 52 ( k E Pfc^ [tt -

1/2

k \fc=1

2п \ n

~fc n — k

+ ч—

n

1/2

а > а,

а < а.

n

Все методы рк (у)

—1(«к(и)у(и)), и € (—а; а)

0,

и € (—а; а)

где

ак (и)

А1+6>к: (ш) \1+\2гп(ш)

0,

, и € (—а; а) и € (—а; а)

'1.4)

а вк(-) для почти всех и € (—а; а) удовлетворяют условию

П— 1 / п—1 ч

£ Рк гк (и)|^к(и)|2 < А1А2Г(и)( (1 + А2^п(и) — £ Рк ¿к (и) 1, (1.5 к=1 ^ к=1 '

в котором

А1

к

п—1 /62\ — П

<£ Ч22) ^— п

п—1 / к \ п-к

Ер^ к (1 — п).

к=1 \п/

а > А,

а < а

А2 = <

п-1 ^ ^

Ркп I 2п

к=1 п1

Е Рк и

к-п, а 1

к=1

а > А,

а < а

являются оптимальными.

Доказательство.

Докажем , что

Е(ЩЛ,Р, Д,6) > вир

\

п1

ЦД£

Ьх\12>к(1) .

к=1

:1.б)

Для любой последовательности х € такой, что

||Гх(и)|Ь2([—а;а]) < 6

30

п — к

хе^Пм

и для любого метода ^ имеем

га—1 ^ 1/2

к х||2

2^ Рк II Дк х112

к=1

/п—1 \ 1/2 = (ЕРкЦД^(х) - Д^(-х) + р(0) - ¥>(0)||?21кда) <

/га— 1 га—1 ч

< ЕРк|№) -^(0)|?2Л(ж) + ЕРк 11Д£(—х)-^(0)|?2Л(ж) ^к=1 к=1 7 / га—1 \ 1/2

< 2 Е Рк ^^го) <

\ к=1 /

1/2

-.2 (л л т

То есть, для любого метода ^

\

га— 1

'^х|122л(й).

к=1

Из данного неравенства следует неравенство (1.6).

Это означает, что квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения экстремальной задачи

га—1

ЕРк^ шах, ^х^^) < 1, (1.7)

к=1

||^х(^)|Ь2([—а;а|) <

Перейдем к квадрату задачи и применим теорему Планшереля. Задача (1.7) принимает вид:

1 п—1 I_1|2к

2Л^Рк —^2к 1^х(ш)Г ^ ^шax, (1.8) к=1

—п/й

п/й

1 /* — 1

2га

2 1 ^ — I 2

!Ех(ш)Г< 52, — I -———!— |Ех(^)1 < 1. I V л < , 2^ у 1 1 л <

—п/й 31

а

Рассмотрим расширение этой задачи на пространство всех положительных мер на окружности. Положим

1 | ,2 (ц(ш) = — |(Гж)(ш)| (ш > 0.

Тогда задачу (1.8) можно переписать в виде:

п-1 _ 1|2к

к=1 -ж/Н

а

2п (ц(ш) < б2,

Ь2к

ж/Н

I

-ж/Н

(ц(ш) ^ шт,

'1.9)

е^Ьш_1

Ь2^

2п

Ш) < 1.

Это выпуклая задача. Сопоставим ей функцию Лагранжа:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Унучек Светлана Александровна, 2018 год

Литература

[1] Колмогоров А. Н., "О наилучшем приближении функций заданного функционального класса", Ann. Math., 37, 107-110 (В "А. Н. Колмогоров. Избранные труды, том 1. Математика и механика", с. 209-212).

[2] Никольский С. М. Квадратурные формулы, M.: Наука, 1988.

[3] Смоляк С. А., Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

[4] Осипенко К. Ю., "Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек ", Матем. заметки, 19:1, (1976), 29-40.

[5] Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C. A. Micchelli and T. J. Rivlin, Eds.). P. 1-54. New York: Plenum Press, 1977.

[6] Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, V. 1129, ( 1985), P. 21-93.

[7] Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in hilbert spaces from inaccurate data SIAM J. Numer. Anal. , V. 16, (1979), P. 87-105.

[8] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Тихомиров В.М. "Оптимальное восстановление и теория экстремума", Докл. РАН, 379:2 (2001), 161-164.

[9] Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2011 (3-е изд.)

[10] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., "Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью", Матем. сб., 193:3 (2002), 79-100.

[11] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., "Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных", Функц. анализ и его прилож., 37 (2003), 51-64.

[12] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным", Мат. заметки, 50:6 (1991), 85-93.

[13] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации", Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум, 2, (2009), 158—192.

[14] Введенская Е. В., Осипенко К. Ю." Дискретные аналоги неравенства Л.В. Тайкова и восстановление последовательностей, заданных неточно ", Математические заметки , (2012), 92:4, 18-29.

[15] Чудова С. С. " Оптимальное восстановление разностей последовательностей ", Вестник ТГУ: Сер. естеств. и техн. науки, (2010), 15: 1, 437-447.

[16] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. " Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и восстановление производных по неточной информации", Доклад РАН, (2011), 438: 3, 300-302.

[17] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям", Матем. сб., 200:5 (2009), 37—54.

[18] Osipenko K.Yu. " Optimal recovery of linear operators from inaccurate information ", Mathematical Analysis and Mathematical Modeling, Proceedings of the International Conference of Young Scientists, Vladikavkaz, (2015), 4368.

[19] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?", Мат. заметки, 92:1 (2012), 59—67.

[20] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976 (4-е изд.)

[21] Унучек С. А. " Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности ", Дифференциальные уравнения , (2015), 51: 7, 951-957.

[22] Унучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданным разностям ", Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XII Межд. научная конф., Владикавказ, (2015), 110-111.

[23] Унучек С. А. " О восстановлении оператора разделенной разности по неточно заданному преобразованию Фурье ", Владикавказский мат. журн., (2015), 17: 3, 84-92.

[25]

[26]

[27]

[28]

Унучек С. А. " Оптимальное восстановление производной функции по неточно заданным производным других порядков и самой функции ", Владикавказский мат. журн., (2016), 18: 3, 60-71.

Унучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданным разностям " , Математический форум (Итоги науки. Юг России), Владикавказ, ЮМИ ВНЦ РАН, (2016) 10: 1, 215-225. Унучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по двум неточно заданным разностям ", XII Белорусская Математическая Конференция, Межд. научная конф. , Материалы конференции, Минск, (2016), часть 1, 27-28.

Унучек С. А. " Восстановление производной функции по производным других порядков", Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование. Межд. научная конф., тезисы докладов XIII Международной научной конференции, Владикавказ, ЮМИ ВНЦ РАН, (2016), 78-80.

Унучек С. А. " Одновременное восстановление операторов разделенной разности неточно заданной последовательности по преобразованию Фурье в среднеквадратичной норме", Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XIV Межд. научная конф., с. Цей, (2017), 82-83.