Оптимальное восстановление операторов мультипликаторного типа и решения волнового уравнения по неточным начальным данным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Выск, Наталия Дмитриевна

• Выск, Наталия Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Выск, Наталия Дмитриевна

Введение

Краткое содержание работы

Доклады и публикации

Глава 1. Общая постановка задачи восстановления и используемые результаты

1.1. Общая постановка задачи восстановления

1.2. Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из Ь

Глава 2. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным

2.1. Оптимальное восстановление линейного оператора мультипликаторного типа по неточным значениям первых N компонент

2.2. Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике

2.3. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике

2.4. Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью

Глава 3. Оптимальное восстановление решения многомерного уравнения гиперболического типа

3.1. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения на сфере

3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре 75 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное восстановление операторов мультипликаторного типа и решения волнового уравнения по неточным начальным данным»

При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.

Первый этап теории приближений состоял в приближении индивидуаль-ных элементов некоторого множества с помощью элементов линейного подпространства, то есть в определении величины min lire — z\\, zeL 11 11 где x e X, X — нормированное пространство, L — аппроксимирующее подмножество X.

Теория приближений функций берет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами, а именно: наилучшим приближением непрерывной функции / на отрезке [а,Ь] обобщенными полиномами вай(ж) в метрике С([а,Ь]) называется величина п

En(f)c = min ||/ - ^a^fc(:r)||c([a,b]), к=1 где cpi,.,(pn — некоторая система непрерывных на [а,Ь] линейно независимых функций, а минимум берется по всем числам ai,.,an. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения. В частности, Чебышев установил, что наилучшее приближение функции хп+1 на отрезке [—1,1] в метрике С([—1,1]) алгебраическими многочленами степени п равно 1/2", а многочлен наилучшего приближения таков, что для него п хп+1 - ^afc:cfc = (1/2)" cos(п + 1) arccosz. к=О

На следующем этапе теории приближений изучалось приближение на классе, то есть ставилась задача приблизить функцию из некоторого класса W функциями заданной системы L (например, многочленами), и определить величину sup min Ц/ — z\\. few zeL

Примерами таких задач являются приближение функции из соболевского класса W* многочленами степени не выше п, или

Eng{w;)= sup inf||/-P„|U?. f€W£ Pn

A.H. Колмогоров начал изучение задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций <pi ,.,срп, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами Y^k-i ahlPk{x) были бы наименьшими. В 1936 г. работой [2] был открыт новый этап исследований в теории приближений. В этой работе были определены аппроксимативные характеристики нового типа — поперечники. Поперечником называется величина, характеризующая уклонение множества в нормированном пространстве от некоторой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества:

Рч>(с>х) = lnf SUP II® - /(ж)11> где X ~ нормированное пространство с единичным шаром В, С С X — аппроксимируемое подмножество в X, А с X, — некоторая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(C, А) некоторая совокупность отображений / : С —У А, <р заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множество. В частности, поперечник по Колмогорову: dn(C,X) = iDf{d{C,LN,X)\LN е LinN(X)} = inf sup |]ж — .РЧяОН, F£F(C,LinN(X)) Х£С где Ыпк{Х) — совокупность подпространств X размерности < N, Т{С1Ып^{Х)) — совокупность всех отображений F из С во всевозможные линейные подпространства Ljy G Ып^(Х).

Идея поиска самого лучшего поперечника лежит в основе задачи, сформулированной С.А.Смоляком [3]. С.А.Смоляк рассматривал вопросы оптимального восстановления линейного функционала L на некотором множестве W линейного пространства X по значениям линейных функционалов 1г,., 1п. Положим для х E.W

Ix := (kx,., lnx).

Оператор / : W -> Кп, где К = R или С, называется информационным оператором. Величина e(L,W,I) := inf sup \Lx - S(Ix)\

S:Kn-±K xeW называется погрешностью оптимального восстановления функционала L на множестве W. Всякий метод So, для которого sup \Lx-S(Ix)\ =e{L,W,I), xew называется оптимальным методом восстановления. В [3] было доказано, что в вещественном случае для выпуклого и центрально-симетричного множества W среди оптимальных методов восстановления существует линейный и имеет место равенство e(L,W,I) = sup \Lx\. xew Ix=0

С работами, посвященными исследованию задач восстановления на классах гладких функций, можно познакомиться по статье [4] и монографии [5].

Дальнейшее развитие теории оптимального восстановления связано с работами В.М. Тихомирова, Г.Г. Магарил-Ильяева и К.Ю. Осипенко. Ими разработан единый подход к решению задач оптимального восстановления, использующий принцип Лагранжа.

Была показана связь задачи опимального восстановления значения линейного функционала х' на классе С, принадлежащем линейному пространству X, по информации у = Fx, где F : С —» Y — линейный оператор из X в другое линейное пространство Y, то есть задачи определения погрешности оптимального восстановления

E(x',C,F)= inf sup | (а;', ж) — ip(Fx)\ с выпуклой экстремальной задачей

Re(rr', х) —> max, Fx = 0, х е С.

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид х, А, А0) = AoRe^',:!;) + Re(A,Fx), где А0 < 0 и А £ Y' (У — алгебраически сопряженное к У) — множители Лагранжа. В [6] доказана следующая теорема:

Теорема 1 (Принцип Лагранжа для задач восстановления). Пусть X и У — линейные пространства над Ж или С, С — выпуклое уравновешенное подмножество X и F : X —ь Y — линейный оператор. Тогда для того чтобы допустимая в рассматриваемой экстремальной задаче точка х была решением этой задачи, необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой множитель Лаграноюа А е Y', что min£(a;, Л, —1) = С{х, А, —1). хЕС

При этом х — оптимальный метод восстановления и

E(x',C,F) = Re(x',x).

В [7], [8] разработан метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью (теорема 7, глава 1).

Краткое содержание работы

В 1-й главе рассматривается общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора: для векторного про-странства X, нормированного пространства Z и оператора Т требуется восстановить значения Т на некотором множестве W с X по неточной информации о каждом элементе х е W, задаваемой с помощью некоторого информационного отображения 1(х), вообще говоря, многозначного, из W в векторное пространство Y. Даются определения понятий погрешности восстановления для данного метода <р, погрешности оптимального восстановления и оптимального метода восстановления. Описывается метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью, разработанный в работах Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко. Формулируются следствия из этих работ для задач восстановления некоторых линейных операторов.

Определяется такое понятие, как обобщенное решение гиперболического уравнения в частных производных.

Во 2-й главе строится метод оптимального восстановления решения обобщенного волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из L2

Рассматривается общая задача оптимального восстановления некоторого линейного оператора мультипликаторного типа Q: X —У ^2) заданного равенством

Qx = (7]iX1,rj2X2, .), где х = (xi, гс2,.) € X, а

X = |ж= (жьж2,.) : ||®||* = ^^^l^'l2) < 00 }'

Vj > 0, хj е R, j g N. Пусть fij = г/J. Предполагется, что ^j/uj —> О при j —> оо. Тогда при всех х Е X Qx Е h- Требуется восстановить оператор Q по приближенным значениям первых N компонент Xi, . .,xN. Положим

W = {хеХ : < 1}

Будем считать, что для каждого х G W нам известен вектор у — (Уъ ■ ■ •, Vn) такой, что N \ 1/2 \\Inx ~ y\\i» = ( Y1 \xi -Уз?) ^ 5 здесь /дjx = (жх,. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения <р: —>

Погрешность восстановления для данного метода у? определяется равенством e(Q, W,IN,6,(p) = sup \\Qx - tp(y)\\h. x€W, yel? WlNX-yW^^S

Погрешностью оптимального восстановления называется величина E(Q,W,In,6)= inf e(Q,W,IN,6,<p),

Ч>: -И2 а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации In, заданной с погрешностью в норме

Предположим, что l>i < . < им, uN+l < и^+г < . и Нт^^+оо Hjjvj = 0. Обозначим через ej, j = 1,2,., — стандартный базис в 12 k = .

Введем следующие обозначения л Из „ АЧ

A — max —, В = max—. l<j<N Vj j>N Vj

Пусть l<p<N,q>Nnp<r<N таковы, что = A, — = В, \ir-BvT = max - Buj).

Up Vq P<]<N

Пусть, кроме того, sfc+1 — наибольшее из чисел таких, что < Sk+l <г и Ы д max т - »sk к = 0,1,. ,т — 1, Vsk+l - Vsk °k<j<r Uj - VSk где s0 = p, sm = r. Положим к = 0,. ,m — 1,

I Vj uSk+l - u3k J

Jm = |jGNn[l,iV]:^>B|.

Теорема 2. При В > А для всех 8 > О

E(Q,W,IN,6) =

V V4 а метод ф(у) = 0 — оптимальный. Если В < А, то г) при 5 > —^ y/Vp

E(Q,W,IN,5) = V а метод ф(у) = 0 — оптимальный;

1 1 (и) при < S < , к = 0,1,., т — 1,

E(Q,W,IN,6) = J»Sk k+> v + /i<M,

V ^Jfc+l u*k uSk+\ ut>k а метод m=£«(i+„y ч)«* оптимальный; (Hi) при 5 <

E(Q, W, IN, 6) = x Lr6* + /i/ ^ у ия а метод m = £ m (i + -it*^?) ул

Jc«/m оптимальный.

Полученный результат используется для поиска оптимального метода восстановления решения обобщенного волнового уравнения.

Далее рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике. Предполагается, что для каждого х Е W нам известен вектор у = (yi,., y?f) такой, что xj-yj\<Sj, j = 1, .,iV.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения <р: /2- Погрешность восстановления для данного метода (р определяется равенством e{Q, W, IN, S, (р) = sup \\Qx - y{y)\\h xew, xj-yj\<6j, j=l,.,N здесь 5 = (Si,., SN),INx = ., a^)).

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

1) E(Q,W,In,6)= inf e(Q,WjN,S,v), ч>- tSo->12 а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации /дт, заданной с погрешностью в норме Пусть Uj монотонно возрастает, lim Uj — +оо, lim ш/и* = 0. j-++oo оо

Выбирается q > N такое, что цд uj = max—.

Vq j>N Uj

Если щ51

V\ Vq положим р0=р0(5) = тах{р:^2и$<1, 1<P<N),

I ,-=1 VV V4 J

3=1 в противном случае считаем, что ро — 0. Положим Я, qo =

Ро +1,

Теорема 3. Имеет место равенство

2) E(Q,W,fN,S) =

Vpo+l vq ~ UP0+1

Ei ^ Vpo+l

V4 ^po+l ро / \

ЯО j=1 \ Яо / при этом метод

РО / \

3) = j=1 \ "чоН-з/ является оптимальным.

Полученный результат применяется для построения оптимального метода восстановления решения одномерных волновых уравнений.

Результат теоремы 2 используется для решения задачи оптимального восстановления к-й производной функции из следующих классов:

1) Соболевский класс (Т), состоящий из 27г-периодических функций, у которых (г — 1)-я производная абсолютно непрерывна И ||®W(-)lk(D < 1.

2) Класс Харди- Соболева (Т) — множество 27Г-периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp = {z е С : /3} и удовлетворяющих условию l|z(r)(-)lk(T) < 1. где %2(T) — пространство Харди 27г-периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию

1И-)И«£(Т) = f^ +г»I2 + - г»\2)d\ оо.

3) Класс Бергмана-Соболева — множество 2тг - периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию ll*(r)(-)IU(T) ^ L

Здесь Л? (Т) — пространство Бергмана 27г-периодических функций ж(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию р у/2

IK-)IUf(T)= \^fTdtJ № +

Оптимальный метод восстановления строится по информации I$N+1, заключающейся в том, что нам известны числа {yj}\j\<N такие, что для коэффициентов Фурье {xj}\j\<N функции х(-) или по информации Ig, если мы располагаем числами {yj}jez такими, что для коэффициентов Фурье {%j}jez функции х(-) jez

Оператор дифференцирования обозначается через Dk. В качестве метода восстановления допускается любое отображение уз : ► Ь2{ Т). Обозначим nj — j2k, j2 rf w = WZ(T),

J2r ch 2j/3, W = HT/{T), j2 rsh2M W = Ar/(T). I i

Найдем при vs+\(W) < 5 < vs 2{W), s > 1, такое iV0, что дг r, Hk V-S+1 — Ms

N0 = max{/c : — > -}. k Vs+l ~ Vs

Тогда справедлива следующая Теорема 4. При 1'7+(2(W) <5 < v7l,2(W), s > 1, метод ie[-JV0,JVb] 4 s+i ^+1 s/ является оптимальным.

Таким образом, для оптимального метода восстановления можно использовать только значения yj € [—7V0, Nq], то есть ограничиться только частью исходной информации.

В 3-й главе получены оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на единичной сфере в d-мерном пространстве:

Sd1 = {xeRd: |z| = 1}.

Рассмотрим обобщенное волновое уравнение с нулевой начальной скоростью utt + (-As)a^u = 0,

4) u\t=0 = /, t|t=o = 0, где / G L2(Sd~l).

Здесь AsY — сферический лапласиан или оператор Лапласа-Бельтрами.

Решение этой задачи имеет вид оо ак

5) u(x',t) = sA£/4tlf V), fc=o j=i где система однородных сферических гармоник к =

0,1,., j = 1,., является ортонормированным базисом в Ak = к(к + d — 2) — собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, а оо ajfc fc=0 j=1

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции f(x) yi,.,yN, причем ко—1 ко ко—1

Еа* < N <Ea*> N = N-^ak. к—0 к=0 fc=0

При ЭТОМ fcp-1 ак N fc=o j=i j=i

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (4) в момент времени г на классе

S"-1) = {/ € Ы^-1) : ||(-A5)^/2/||L2(S<'-1) < 1, / X 1 } по информационному оператору Fg*, который каждой функции f(x) G Wf (Sd1) сопоставляет множество векторов у = (у1}., у^), удовлетворяющих условию (88).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы <р: lN —> L2(Sd~1). Погрешностью восстановления для данного метода ip назовем величину eCr.a.WftS*-1),*/^) sup ||и(-,т) - ^(j/)||La(S"-i)enf (S'*-1), Al1 Zjii \ckj(/)-»,-l2+£f=1 К-1,ДЯ-ад12<<^

Величина

E(r, a, WHS*-1), FSN) = inf e(r, a, WjCS""1), FSN, <p) ip: 1% -+L2{Sd-1) называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

Положим cos2 Л ?/4т cos2 Л£/4т

А = max -/— —-£-, i<*<*o Aj Л£ cos2A?/4t cos2A°/4t

Б = max--ё— =-4-, o A* г определяется из условия cos2 Л°/4г - В A? = max (cos2 Л£/4т - BA%), p<k<ko последовательность si определяется равенствами cos2 Aaf+i т - cos2 Л?/4т cos2 A^4r — cos2 Л°/4т -5-a-— шах л n щ

S+i-A J si<k<r Af-Aj

I = 0,1,., m где s0 = p, sm = r, a J, . < * 6 N n [1 До] : fT >cos2 -cos; X-!'T

ЛI

I = 0,. ,m

I , X.T r, , 1 COS2 ttt^T „ 1

Jm = { A; G N П [1, k0] :-^->B\.

Тогда из теоремы 2 вытекает Теорема 5. При В > А для всех 5 > 0

B(T,a>w£(Sd-1)>J/r) = IcosAfrl/^, и метод ф(у) = 0 является оптимальным. Если В < А, то г) при S > —

Л"

E(T,a,Wi( Sd~1),F5N) = |cosA«/V|/^, и метод ф(у) = 0 является оптимальным; (м) при —, < S < —j=, I = 0,1 ,.,771 rfafW*(S-1)f*,/r) 4 /cos2 л^А'*"1 + cos2 A*'4 tlzlhL — \l cos лв, i-^I +cos д^ >

Ф(у) = fceJ,j=i V Asi+1 cos2 As,t — Л?, cos2 Asl+1t J оптимальный метод; iii) при 6 < J—* V К

E{r, a, Wf (S^1), F?) = у cos2 A?/4t S2 + cos2 ^, p(v) = оптимальный метод.

Аналогичным образом найдены оптимальные методы восстановления для обобщенного волнового уравнения с нулевым начальным значением и и ненулевой начальной скоростью utt + = О,

7) о = О, t|t=o = /; и для обобщенного волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике.

Получен оптимальный метод восстановления решения обобщенного волнового уравнения в d-мерном шаре Bd.

Пусть / € L2( Bd). Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению

8) ии + (-А)а/2и = О с начальными условиями

9) = L W ищ=о = О и граничным условием it|§d-i = 0.

Точное решение этой задачи имеет вид

ОО ОО Ofc ю) и(х) = £ Е сыcos ((^r72*) к=О S=1 j=1 где Cksj — коэффициенты Фурье функции /.

Поставим задачу оптимального восстановления решения уравнения (8) в момент времени т по неточно заданному набору коэффициентов Фурье функции / на соболевском классе Bd), определяемом как множество функций / £ L2 (®d), для которых

-Д5У/2/11ыв<) < 1.

Будем считать, что нам известны приближенные значения N коэффициентов Фурье функции }{х) y^sj € Yn такие, что s < so, к < ко. При этом для некоторых фиксированных s и к могут быть известны все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1а*,, а для других s и к известна только часть приближенных значений коэффициентов. Доказана следующая

Теорема 6. При В > А для всех 5 > О td\ tpN\ /^fcisi ukisi

Е(т, a, Wj (В ), Fg) = и ф{у) = 0.

Если В < А, то г) при S > и ф{у) = 0, гг) при < 5 < , I = 0,1,.,т

Vmi+i у ^т/ flfc / ,9 ,9 \ к7шп=1 V - У ггг) при S < —7= s/Vr

E(r, a, ) = < + 1

9 4 p{v) = ak , a \ -1 £ cos((tf))°/4t) 1 + „ , w*).

МбЛ/, j=l ^ r q q r /

Доклады и публикации

Основные результаты работы были представлены на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.; Международной конференции EPCoRA2007, Москва, 2007 г.; 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", Москва, 2008 г.; научном семинаре кафедры "Высшая математика" МАТИ-РГТУ им. К.Э.Циолковского; научном семинаре кафедры "Общие проблемы управления" механико-математического факультета МГУ; научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН и отражены в пяти публикациях ([15]-[19]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Выск, Наталия Дмитриевна, 2009 год

1. Колмогоров А. Н. О наилучшем приближении функций заданного функционального класса. Ann. Math. 1936, v. 37, p. 107-

2. Смоляк А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс. М., МГУ, 1

3. Miccelli Ch. A., Rivlin Th. J. Optimal estimations in approximation theory. New York: Plenum Press, 1976, 300 p. Трауб Док., Вожнъяковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1980, 664 с. Магарил-Илъяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М., Эдиториал УРСС, 2

4. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью. Матем. сб. 2002. Т. 193, с. 79-

5. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных. Функ. анализ и его прил., 2003. Т. 37, с. 51-

6. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Тихомиров В. М. On optimal recovery of heat equation solutions. In: Approximation Theory: A volume dedicated to B. Bojanov (D. K. Dimitrov, G. Nikolov, and R. Uluchev, Eds.), 163-175, Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2

7. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1

8. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным Владикавказский мат. журн. 2004. Т. 6, вып. 4. 5

9. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных Функ. анализ и его прил. 2003. Т. 37. 51-

10. Стейн И., Вейс Г. Введение

11. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева Матем. сб. 2006. Т. 197. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Матем. заметки, 2007, 81, вып. 6, с. 803-

12. Выск Н.Д. О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны. Владикавказский матем. журнал, 2006, 8, вып. 4, с. 12-

13. Выск Н.Д. Об оптимальном восстановлении решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Ростовна-Дону, 2006, с. 221-

14. Vysk N. Optimal recovery of solutions of the wave equation from inaccurate initial conditions, External Problems in Complex and Real Analysis, Albany, NY, 2007, 52 p. Выск Н.Д. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным, заданным с погрешностью в равномерной