Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Басалаев, Сергей Геннадьевич

• Басалаев, Сергей Геннадьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Басалаев, Сергей Геннадьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Локальная геометрия многообразий Карно

1.1. Определение многообразия Карно

1.2. Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори

1.3. Координаты второго рода

1.4. Соединимость точек многообразия Карно горизонтальным кривыми

1.5. Метрические свойства многообразий Карно

Глава 2. Неравенство Пуанкаре

2.1. Доказательство неравенства Пуанкаре

2.2. Следствия из неравенства Пуанкаре

Глава 3. Аппроксимативная дифференцируемость отображений

многообразий Карно

3.1. Дифференцируемость в субримановой геометрии

3.2. Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость

3.3. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости

3.4. Приложения теоремы об аппроксимативной дифференцируемости

Глава 4. Свойства поверхностей уровня слаборегулярных функций на группах Карно

4.1. Непрерывно дифференцируемые отображение

4.2. Гиперповерхности в группах Карно

4.3. Свойства параметризаций ^-регулярных поверхностей

Заключение

118

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации .

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии»

Введение

Настоящая работа посвящена геометрическим и аналитическим свойствам субримановых пространств при минимальной гладкости распределения допустимых направлений. Основным объектом изучения является многообразие Кар-но — обобщение эквирегулярного пространства Карно—Каратеодори, образованное С1-гладкими векторными полями. В диссертации доказывается, что любые две точки такого пространства можно соединить абсолютно непрерывной горизонтальной кривой, т.е. выполнен результат, аналогичный классической теореме Рашевского—Чоу. Как следствие, показано, что на многообразии Кар-но определены метрика Карно—Каратеодори и мера, удовлетворяющая условию удвоения. Далее, показано, что при некоторой дополнительной регулярности выполнен аналог неравенства Пуанкаре, который мы доказываем для - областей Джона—Также -исследуется регулярность отображений многообразий Карно. Мы определяем аппроксимативно дифференцируемые отображения и доказываем эквивалентные критерии аппроксимативной дифференцируемости. частичные аналоги известных в классическом анализе теорем Степанова и Уит-ни. Наконец, в заключительной части диссертации исследуются параметризации регулярных в субримановом смысле гиперповерхностей на группах Карно.

Обзор темы диссертационного исследования

Напомним, что субримановым пространством называется С°°-гладкое ри-маново многообразие М с заданным на нем распределением Н С ТМ меньшей размерности и скалярным произведением (•, •) : Н х Н —> М. Распределение Н называется горизонтальным и задает допустимые направления движения, т. е. допустимыми траекториями в субримановом пространстве являются абсолютно непрерывные кривые 7 такие, что 7 Е Н почти всюду.

Впервые объекты такого типа появились в работе К. Каратеодори 1909 г. [1], в которой термодинамический процесс моделируется как кривая в Мп, а

изменение тепла — как интеграл подходящей 1-формы в вдоль этой кривой. Физик С. Карно доказал, что существуют состояния, между которыми нельзя перейти по адиабатических процессам. В терминах Каратеодори это означает, что их нельзя соединить кривой, вдоль которой в вырождается. В честь этих ученых, метрику, возникающую как точную нижнюю грань длин некоторого класса допустимых кривых, называют метрикой Карно—Каратеодори. а соответствующие метрические пространства — пространствами Карно—Каратеодори. Приложения субримановых пространств и более общих пространств Кар-но^Каратеодори достаточно обширны, они естественным образом возникают в теории гипоэллиптических операторов [2-4], теории оптимального управления [5], а также находят приложения в экономике [6, 7], квантовом управлении [8-10], нейробиологии [11-13] и многих других инженерно-прикладных задачах [14-23].

В математической модели термодинамического процесса, построенной Каратеодори, существовали состояния, недостижимые по допустимым путям. Естественным был вопрос о том, какими условиями должно обладать распределение допустимых направлений. Ответ на этот вопрос был независимо получен в 1938-39 гг. П. К. Рашевским [24] и В. Л. Чоу [25]. Рассмотрим на многообразии М набор С°°-гладких векторных полей Х\,... ,Хп. Коммутатор двух векторных полей X и У определяется как величина [X, У] — ХУ — УХ. Коммутатором порядка г назовем итеративный коммутатор

. . . [Х^^Х^] ...]].

Теорема 1 (Рашевский, Чоу). Пусть М — связное многообразие. Если существует такое натуральное г, что векторные поля ... .Хп и их коммутаторы до порядка г включительно порождают все касательное расслоение ТМ. то любые две точки х, у Е М можно соединить абсолютно непрерывной кривой, составленной из конечного числа отрезков интегральных линий векторных полей Х\,..., Хп.

Эта теорема имеет важное значение для задач управления, поскольку, если векторные поля ..., Хп удовлетворяют условиям теоремы 1, то для краевой задачи

= Щ^Х^Ь) + • • • + ип(1)Хпд{1), д(0) = ч{Т) = (1)

найдутся управляющие параметры щ, доставляющие решение уравнения.

В анализе значительный интерес к субримановым пространствам возник после работы Хёрмандера [26] 1967 г. Исследуя гипоэллиптичность операторов определенного вида, он пришел в точности к тому же условию, что и в теореме Рашевского—Чоу.

Теорема 2 (Хёрмандер). Пусть С00-векторные поля Х\,... ,Хп удовлетворя-

п

ют условиям теоремы 1. Тогда оператор Ь = ^ Хг2 + Х\ является гипоэллип-

1=1

тическим, т. е. если и — решение дифференциального уравнения _ ____

п

Ьи = ^ Х}и + Хги = / (2)

г=2

в смысле распределений и / £ С°°, то и Е С°°.

Одним из важных примеров уравнений типа (2) является уравнение Колмогорова

д2и ^ ди ди дх2 ду дЬ описывающее процесс диффузии.

Важный класс субримановых пространств представляют так называемые эквирегулярные субримановы пространства. Горизонтальное распределение Н индуцирует на ТМ фильтрацию

н = #1 с я2 с • • • с нг = тм, (з)

где Нк = 8Рап{[Х<1, ... [Х^Х^] ... ]] : т = 0,... , к} и {Х^=1 - базис Н. Если в окрестности некоторой точки жо размерности постоянны,

точка называется регулярной. Пространство Карно—Каратеодори, состоящее только из регулярных точек называется эквирегулярным. В 1976 г. Л. П. Ротшильд и И. М. Стейн [2] доказали, что в окрестности регулярной точки субрима-ново пространство может быть приближено нильпотентной стратифицированной группой Ли (группой Карно), так же как риманово многообразие локально приближается евклидовым пространством. В этой же работе ими показано, что произвольное пространство Карно—Каратеодори можно расширить до некоторого эквирегулярного пространства большей размерности. В дальнейшем были разработаны различные обобщения и модификации этого метода [27-29], позволяющие свести исследование многих задач на произвольных пространствах Карно—Каратеодори к изучению эквирегулярных пространств.

Задачи (1) и (2) достаточно хорошо изучены для С°°-гладких векторных полей, однако практические задачи как правило имеют куда меньшую регулярность. В связи с этим только естественно изучать субриманову геометрию, возникающую при пониженной регулярности векторных полей. В работах М. Браманти, Л. Брандолини и М. Педрони [29-31] изучены базовые свойства векторных полей и соответствующих операторов Хёрмандера гладкости Ст~1,а. где г — глубина пространства Карно—Каратеодори, т. е. при минимально возможной гладкости, при которой еще имеют смысл классические условия Рашевско-го—Чоу (см. теорему 1). Некоторые классы негладких векторных полей также изучены в работах [32-34].

Новый подход к изучению пространств Карно—Каратеодори пониженной гладкости предложили С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова. Основываясь на идеях работы М. Громова [35], в работе [36] 2009 г. они определили эквирегу-лярное пространство Карно—Каратеодори для С1,а-гладких векторных полей, 0 < а < 1. следующим образом:

Определение 1. А^-мерное С°°-гладкое риманово многообразием назовем пространством Карно—Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ фикси-

рована последовательность С1,а-гладких подрасслоений

Н = #1 С Я2 с • • • С Ям = тш.

постоянной размерности таких, что [Hi, Hj] С Hi+j для г + j < М. Кроме того, пространство Карно—Каратеодори называется многообразием Карно, если

Hk = span{#fc_i, [Щ, Hj) : i+j = к}. (4)

Заметим, что в окрестности х G М можно выбрать базис из С1,а-гладких векторных полей Х\,... ассоциированный с расслоением (4), т.е. такой,

что Hi = span{Xi,..., Adimtf,}- М. Громов в работе [35] сформулировал следующее утверждение:

Теорема 3. Положим degXj = min{m : Х{ £ Hm} и рассмотрим семейство векторных полей. {edeg^Xi}. Если это семейство-масштабировать ее-раз относительно точки д G М. т. е. взять подходящие локальные координаты вд и осуществить растяжение

Д? : вд(хъ ...,xN)^ вд{е-^хъ ... ,£-d^XNxn),

то существует равномерный предел (A%)*edegXtXi —> Xf, где векторные поля Xf образуют базис нильпотентной градуированной группы Ли.

Таким образом, нильпотентная градуированная группа Ли (группа Карно в случае многообразия Карно) является в определенном смысле касательным пространством к пространству Карно—Каратеодори. Громов сформулировал эту теорему для С1-гладких векторных полей, однако В. Берестовский показал (см. [36, Example 2.2.15]), что его рассуждения даже для гладкого случая требуют исправлений. С. К. Водопьянов и М.Б. Карманова предложили иное доказательство этой теоремы для С1-гладких векторных полей, а также получили оценки расхождения геометрий исходного пространства и приближающей его локальной группы. Эти результаты позволили им в случае а > 0 доказать

ряд свойств, привычных для классических пространств Карно—Каратеодори, в том числе:

• любые две точки связного многообразия Карно можно соединить абсолютно непрерывной кривой, состоящей из счетного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей (аналог теоремы 1);

• шар Карно-Каратеодори можно вписать в параллелепипед и описать вокруг параллелепипеда контролируемых размеров (так называемая Ball-Box теорема [37]).

Заметим, что при доказательстве этих результатов существенно использовалась регулярность С1,а. а > 0. Авторы недавних работ [38-42] предложили новые доказательства тонких свойств многообразий Карно и более слабые оценки без использования дополнительной регулярности (т.е. при а = 0). Эти результаты используются в настоящей диссертации для доказательства метрических свойств С1-гл"адких^ногообразий Карно.

Одним из приложений результатов настоящей диссертации является построение адекватной теории пространств Соболева на многообразиях Карно. Пространства Соболева на пространствах Карно—Каратеодори служат для определения классов решений субэллиптических уравнений [43, 44]. В настоящее время стремительно развивается теория Соболева в достаточно общих метрических пространствах (см., напр., [45-47] и ссылки в них). В работе [46] показано, что для получения оценок соболевского типа на метрическом пространстве с мерой достаточно потребовать условие удвоения меры и выполнение некоторого аналога неравенства Пуанкаре. Таким образом, для получения оценок соболевского типа на многообразиях Карно ключевыми шагами являются:

1) доказать существование метрики Карно—Каратеодори dcc;

2) доказать, что мера Хаусдорфа где v — хаусдорфова размерность многообразия Карно, удовлетворяет условию удвоения;

3) доказать, что выполнено неравенство Пуанкаре следующего вида:

||/-/п1ир(П) < II№/,••• ,^п/)|и,(п), (5)

где ..., Хп — базис горизонтального распределения Н, а Г2 — область определенного класса.

В настоящей диссертации пункты 1) и 2) доказаны для С1-гладких векторных полей, неравенство Пуанкаре вида (5) получено для С1,а-гладких векторных полей, а > 0, если 1<р = д<ооиГ2 — область Джона.

Неравенство Пуанкаре вида (5) на пространствах Карно—Каратеодори впервые было получено в работе Д. Джерисона [49] для шаров Карно—Каратеодори и Р — Ч — 2. Результаты и методы этой работы были затем использованы многими авторами в исследовании субэллиптических уравнений [50-52], для получения оценок соболевского типа [53-56] и других приложений. Упомянем также работу [57], в которой получено неравенство Пуанкаре на группах Карно для производных произвольной степени, работы [33, 34], в которых неравенство Пуанкаре получено для некоторых классов негладких векторных полей и [30], в которой данный результат получен для Сг_1,1-гладких полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.

Третья глава диссертации посвящена вопросам дифференцируемости отображений многообразий Карно. В классическом анализе хорошо известен результат, доказанный X. Радемахером в 1919 г.:

Теорема ([58]). Пусть II — открытое множество в М11 и и —> Мт — липшицево отображение. Тогда / дифференцируемо почти всюду в II.

Условие липшицевости является лишь достаточным и В. В. Степанов в 1923 г. доказал дифференцируемость почти всюду более общего класса функций:

Теорема 4 ([59]). Если множество АсКп измеримо и отображение /:£/—>

Rm удовлетворяет условию

— \f(x)-f{a)\

lim-:-:-<00 в каждой точке а G А,

х-^а \х — а\

то f дифференцируемо почти всюду в А.

Дальнейшее обобщение стало возможно благодаря введенному Степановым понятию аппроксимативного дифференциала, т. е. дифференциала, который рассматривается не в классическом смысле а в смысле предела по мере, аппроксимативного предела. Поясним это понятие. Плотностью измеримого множества Y С Шп в точке х G Rn называется предел

\Y П В{х, г)|

lim -гт77-п-•

г—>+о \В(х,г)\

Известно, что почти все точки измеримого множества Y являются точками плотности (т.е. их плотность равна 1), а почти все точки множества Rn \ Y

имеют плотность 0. Значение у € RTO называется аппроксимативным пределом отображения / : Е С Rn —)• Rm в точке плотности xq G Е (обозначается у = ар lim f(x)). если множество {х G B(xo,r) : |f(x) —у\ > е} имеет нулевую

х—>Жо

плотность в точке Xq для любого г > 0.

Идея аппроксимативного предела тесно связана с фундаментальным понятием геометрической теории меры — понятием измеримости. Известно (см., напр., [60]), что отображение евклидовых пространств измеримо тогда и только

тогда, когда оно аппроксимативно непрерывно почти всюду.

ffx tv\ _ f(x\

Если мы рассмотрим сходимость отношения- к значению

t

L{v) линейного отображения L : Rn —» Rm в различных топологиях единичного шара .0(0,1) С Rn, то мы придем к различным понятиям дифференцируемости. Сходимость к L в равномерной топологии C(J3(0,1)) дает нам классическую дифференцируемость. Сходимость к L по мере дает понятие аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах (см.. напр.. [61]).

Следует отметить, что если отображение имеет классический дифференциал, то оно имеет и совпадающий с ним аппроксимативный, т.е. понятие ап-

проксимативной дифференцируемости обобщает классическое понятие дифференцируемое™.

Используя понятие аппроксимативного дифференциала В. В. Степанов доказал [62], что отображение аппроксимативно дифференцируемо почти всюду тогда и только тогда, когда оно имеет аппроксимативные частные производные по каждой переменной почти всюду. Это утверждение является аппроксимативным аналогом классического результата о том, что отображение непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно имеет непрерывные частные производные. Различные критерии аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах были получены Г. Федерером [60, 63] и X. Уитни [64].

Подходящее понятие дифференцируемости на группах Карно, называемое теперь "Р-дифференцируемостью, было определено П. Пансю в работе [65]. Отображение групп Карно V-дифференцируемо, если оно приближается гомоморфизмом групп в метрике Карно—Каратеодори. Это понятие было введено для доказательства некоторых результатов теории квазиконформных отображений [65, 66]. Некоторые классы V-дифференцируемых отображений групп Карно были описаны в [67-69] с целью получения некоторых формул геометрической теории меры и некоторых важных результатов квазиконформного анализа [70-75].

В работах [36, 76] понятие V-дифференцируемости было расширено для отображений Карно—Каратеодори для доказательства теорем Радемахера и Степанова. В настоящей диссертации вводится понятие аппроксимативной дифференцируемости отображений многообразий Карно и доказываются критерии аппроксимативной дифференцируемости.

В четвертой главе диссертации изучаются поверхности уровня непрерывно дифференцируемых (в субримановом смысле) вещественнозначных отображений групп Карно. Классическая теорема математического анализа о неявной функции утверждает, что поверхность уровня (прообраз точки) непрерывно дифференцируемого отображения / : Мп —У Шк. п > к. с дифференциалом максимального ранга является графиком С1-гладкого отображения д : Ш.п~к —> Шк

над некоторой (п — /с)-мерной гиперплоскостью. Если же мы рассмотрим отображение субримановых пространств, непрерывно дифференцируемое в субри-мановом смысле, то в римановой метрике такое отображение как правило лишь гёльдерово, и его поверхности уровня зачастую имеют фрактальную структуру. Общей теории для для поверхностей уровня отображений субримановых пространств не существует до сих пор. Для некоторых классов отображений групп Карно удается доказать, что поверхность уровня можно параметризовать как «внутренний график» над некоторой гиперплоскостью. Более точно, в окрестности любой точки хо найдётся левоинвариантное векторное поле X. лежащее в горизонтальном распределении и проходящая через Хо гиперплоскость П такие, что поверхность уровня непрерывно дифференцируемого в субримановом смысле отображения групп Карно есть множество точек вида ехр((/?(д,)Х)(д), д Е II С П, где : П —>• М — некоторая непрерывная функция. Такой результат получен в [77] для вещественнозначных отображений группы Гейзенберга / : И1 —» М, в [78] для вещественнозначных отображений произвольных групп Карно / : С —К, в [79] для вещественнозначных отображений пространств Карно—Каратеодори / : М —>• М, в [80] для отображений / : ЕР —> М^, где к < п, и в [81] для отображений групп Карно, связанных специальными условиями. Однако, существование такой параметризации в общем случае является скорее исключением, чем правилом. Например, уже в случае отображений / : Н1 —» М2, которые были исследованы в работах [82. 83], это неверно, и их анализ оказывается куда более трудной задачей.

Заметим, что во всех предыдущих результатах доказано лишь, что параметризация непрерывна. Регулярность параметризаций поверхностей уровня отображений / : ИР —>• М изучена в диссертациях Д. Виттоне [84] и Ф. Биголи-на [85]. При этом обнаружена интересная связь между поверхностями уровня отображений и нелинейными законами сохранения. Показано, что непрерывное отображение (р : М2 —> М параметризует поверхность уровня дифференцируемого отображения И1 —>• М2 тогда и только тогда, когда она является слабым

решением уравнения Хопфа ^ + = м для некоторой непрерывной пра-

вой части т. Это наблюдение оказалось очень удачным, поскольку позволило с новых позиций изучать как задачи теории поверхностей на группе Гейзенберга [86, 87], так и вопросы регулярности решений систем уравнений типа Хопфа при минимальной гладкости правой части [88].

Структура диссертации и обзор результатов

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Список литературы содержит 101 наименование и приведен в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объем диссертации: 131 страниц.

В главе 1 диссертации мы вводим основной объект исследования — пространства Карно—Каратеодори и многообразия Карно сС1-гладкими векторными полями (см. определение 1) — и доказываем их базовые метрические свойства. В разделе 1.1 приводится определение и примеры таких пространств. В разделе 1.2 мы приводим вспомогательные определения и используемые в дальнейшем тонкие свойства пространств Карно—Каратеодори. Определим на пространстве Карно—Каратеодори локальные координаты двух типов:

Определение. Пусть М — пространство Карно—Каратеодори с С1-гладкими векторными полями. Фиксируем точку д € М. Отображение

вд : (жь ..., хм) 1-> ехр^Л Н-----Ь хмХм)(д)

назовем координатами 1-го рода, а отображение

фд : (хг,..., Хм) ^ ехр(хмХк) о ■■■ о ехр(х1Х1)(д) назовем координатами 2-го рода.

Оба отображения являются С1-гладкими диффеоморфизмами некоторой окрестности нуля на окрестность точки д. По локальным координатам можно построить функцию расстояния следующим образом:

Определение. Если у = 9Х(#1,..., ждг). то положим

(100(Х, у) = тах{\хг\1^е^ : г = 1,..., М}.

Аналогично, если у = фх{у1, ■ ■ ■, Уы), положим

<12(х,у)=т*х{\у1\1'*е*х*:{ = 1,

Для достаточно близких хну эти величины определены корректно. В работе [36] авторы доказывают, что величина с^(х: у) является квазиметрикой, т. е. неравенство треугольника выполнено в обобщенном смысле:

(ж, у) < (¿(¿.^(х, г) + ¿00(2, у)),

где постоянная (5 > 0 ограничена при х. у, г, принадлежащим компактному множеству. В работе [36] квазиметрика это основная величина, через которую выражены оценки, с помощью которых доказана теорема Громова 3. Однако сам Громов формулирует теорему 3 в координатах 2-го рода. В разделе 1.3 мы показываем, что величины и сI^ эквивалентны, как следствие этого, теорема 3 верна в изначальной формулировке, данной Громовым. Сформулируем основной результат раздела 1.3.

Теорема. Пусть д € М. Существуют компактная окрестность и(д) С М и постоянные 0 < С\ < С2 < оо такие, что

С^^х.у) < <к{х,у) < С2(100{х,у)

для всех х. у Е и(д).

Раздел 1.4 посвящен исследованию соединимости точек многообразия Карно горизонтальными кривыми. Мы доказываем, что любые две точки связного многообразия Карно с С1-гладкими векторными полями можно соединить конечнозвенной ломаной, причем локально число отрезков интегральных линий и их длины контролируются. Основной результат раздела 1.4 следующий.

Теорема. Фиксируем точку до G М. Пусть Xi,..., Х^н^ — базис Н\ в . Тогда существует окрестность U(до) такая, что для любой пары точек д, v G U(до) существует представление

v = exp(abXjL) о ••• о exp(a2Xj2) о exp(aiXn)(g),

где 1 < jl < dim Н\, г — 1,..., L, L < N(2N —1), \аг\ < с2 d00(g, v), постоянные L и С2 не зависят от v, g.

Данная теорема является аналогом теоремы 1 для многообразий Карно и улучшает результат работы [36], в которой доказано, что любые две точки связного многообразия Карно с С^-гладкими векторными полями, а > 0, можно соединить счетнозвенной ломаной.

В разделе 1.5 мы определяем метрику Карно—Каратеодори dcc и соответствующую ей меру Хаусдорфа и приводим их основные свойства. Из результатов раздела 1.4 следует, что локально можно выбрать постоянную С > О такую, что dcc(x,y) < Cdoo(x,y). C.K. Водопьянов и М.Б. Карманова в работе [42] используют результаты раздела 1.4, чтобы получить также обратную оценку. Таким образом, верно следующее утверждение

Утверждение ([42]). Для любой точки g многообразия Карно М найдутся компактная окрестность U(д) и постоянные 0 < С\ < < оо такие, что

Cidoo(x,y) < dcc(x, у) < C2d0Q(x,y)

для всех х. у G U(g).

Прямым следствием этого утверждения являются следующие свойства меры Хаусдорфа:

Теорема. 1) Хаусдорфова размерность М в метрике dcc равна

N М

v = deg Xk = г (dim Нг — dim Яг_х), где Щ = {0}.

к=1 г=1

2) В компактной окрестности II(д), д Е М; определены постоянные 0 < С\ < С2 и Го > 0 такие, что

для всех х £ и(д), О < г < г0.

Глава 2 посвящена доказательству неравенства Пуанкаре на многообразиях Карно и следствиям из него. Неравенство Пуанкаре доказано дляС1,а-гладких векторных полей, а > 0, на областях Джона — обобщении областей с липшице-вой границей.

Определение. Область С М называется областью Джона класса «/(а, 6), О < а < Ь, если существует точка хо Е О, такая, что каждую х Е П можно соединить с хо спрямляемой кривой 7 : [0,1} —>■ Г2, параметризованной длиной дуги, такой что

ав

7(0) = х, 7(7) = хо, I < 6, и с11з1сс(-7(5), дП) > — для всех в Е [0, /].

6

Шары в метрике Карно—Каратеодори являются одним из примеров областей Джона.

Определение. Определим горизонтальный градиент \7#/ функции / Е С1(М) как

Определение. Под /^-нормой ||/||р,в локально интегрируемой функции / по открытому множеству V С М мы понимаем норму по субримановой мере Хау-сдорфа

и

В разделе 2.1 мы доказываем неравенство Пуанкаре, основной результат этого раздела следующий:

Vtf/ = (Хх/,..., Х^тщ/)-

✓Шт Нг ч I

По определению полагаем |Уя/| = ( X] (^г/)2) •

^ 1=1 '

Теорема. Пусть д£Ши1<р<оо. Тогда найдутся такие Ср > 0 и г о > 0; что для каждой области Джона О, С В(д,го) класса 3(а,Ъ), 0 < а < Ъ, и для любой функции / Е С°°(Г2) выполнено

||/- /п||р,п < ||Уя/||Р>П,

где /с1 = [Н"т-1 ¡а/(у)<тЪ)-

В разделе 2.2 мы применяем результаты метрической теории Соболева [46, 57], чтобы получить оценки соболевского типа:

Теорема. Пусть д Е Ш и 1 < р < оо. Тогда найдется радиус г о > 0 такой, что для любой области Джона О, С В(д, гд) класса 7(а, Ь), 0 < а < Ь, и любой функции / Е Ьр(0,) такой, что |У#/| Е Ьр(0), выполнено

(1) если р < V, то для д = -¡^ выполнено

У-Ыкп^С^УИХ/нП^

(2) если р = V > 1, то выполнено

+exptUrdi;n^rv,/j

n

(3) если p > и, то функция f локально непрерывна по Гёльдеру

yen

в частности,

\f(x)-f(y)\ ^С^У+Ч^уУ-ЦЧнДрА

для всех х,у Е Здесь постоянные С\, С2, Сз, С4 не зависят от выбора области fl.

Глава 3 посвящена результатам по аппроксимативной дифференцируемо-сти отображений многообразий Карно. В разделе 3.1 мы вводим понятие дифференцируемое™ на многообразиях Карно и приводим известные результаты.

В разделе 3.2 мы определяем аппроксимативный предел и аппроксимативную дифференцируемость, а также доказываем несколько вспомогательных результатов.

Определение. Аппроксимативным дифференциалом отображения многообразий Карно / : М —)• М в точке g Е М называется горизонтальный гомоморфизм L : Q9 —»• Qлокальных групп Карно такой, что множество

{v Е Bcc(g,r)nQ9 : dcc(f(v),L(v)) > edcc{g,v)}

имеет нулевую 7^-плотность в точке v = g для любого е > 0.

В разделе 3.3 мы формулируем и доказываем основной результат третьей главы. Этот результат получен для многообразий Карно с С1-гладкими векторными полями, но является новым и для С°°-гладких векторных полей.

Теорема. Пусть Е С М — измеримое множество в многообразии Карно М и пусть отображение f : Е —>■ М измеримо. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Отображение f имеет аппроксимативные производные ар X3f вдоль базисных горизонтальных векторных полей Xi,... ^Х^Нг почти всюду в Е.

2. Отображение f аппроксимативно дифференцируемо почти всюду в Е.

3. Для почти всех g Е Е выполнено

— dCc(f(g)J(v)) ,

ар lim-—-—^-< оо.

dcc(g, v)

4. Существует последовательность попарно непересекающихся множеств

оо

Q1, Q2,... таких, что %V(E \ (J Qt) = 0 и каждое ограничение f\Qt липшице-

г=\

во.

В разделе 3.4 в качестве приложений теоремы аппроксимативной дифференцируемое™ мы даем альтернативное доказательство теорем типа Радемахе-ра и Степанова, а также формулу площади для аппроксимативно дифференцируемых отображений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Басалаев, Сергей Геннадьевич, 2014 год

Список литературы

1. Caratheodory С. Untersuchungen iiber die Grundlagen der Thermodynamik // Mathematische Annalen. - 1909. - V. 67. - P. 355-386.

2. Rothschild L. P., Stein E. M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Mathematica. - 1976. - V. 137, N. 3-4. - P. 247-320.

3. Fefferman C., Phong D.H. Subelliptic eigenvalue problems // In: Proceedings of the conference in harmonic analysis in honor of Antoni Zigmund.

- Wadsworth Math. Ser. - Wadsworth: Belmont, California. - 1981. -P. 590-606.

4. Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacians / Berlin: Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2007.

5. Аграчев А. А., Сачков Ю. JI. Геометрическая теория управления / М.: Физ-матгиз, 2004.

6. Hobson D. G., Rogers L. С. G. Complete models with stochastic volatility // Mathematical Finance. - 1998. - V. 8, N. 1. - P. 27-48.

7. Foschi P., Pascucci A. Path dependent volatility // Decisions in Economics and Finance. - 2008. - V. 31, N. 1. - P. 13-32.

8. Khaneja N., Luy В., Glaser S. J. Boundary of quantum evolution under de-coherence // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA.

- 2003. - V. 100, N. 23. - P. 13162-13166.

9. Khaneja N., Reiss Т., Kehlet C., Schulte-Herbriiggen Т., Glaser S. J. Optimal control of coupled spin dynamics: design of NMR pulse sequences by gradient ascent algorithms // Journal of Magnetic Resonance. - 2005. - V. 172. -P. 296-305.

10. Grace M.D., Dominy J., Witzel W. M., Carroll M.S. Combining dynamical-decoupling pulses with optimal control theory for improved quantum gates // Препринт. - 2011. - arXiv: 1105.2358vl.

11. Petitot J. The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian structure // The Journal of Physiology, Paris. - 2003. - V. 97. - P. 265-309.

12. Citti G., Sarti A. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space // Journal of Mathematical Imaging and Vision. -2006. - V. 24. - P. 307-326.

13. Hladky R. K., Pauls S.D. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model // Journal of Mathematical Imaging and Vision. - 2010. - V. 36, N. 1. - P. 1-27.

14. Wiens E. G. Egwald Mathematics: Optimal Control / Электронный ресурс: http://www.egwald.ca/optimalcontrol/index.php

15. Laumond J. P. Controlability of a multibody mobile robot / Proceedings of the International Conference of Advanced Robotics, 1991. - P. 1033-1038.

16. Tilbury D., Murray R., Sastry S. Trajectory generation for the n-trailer problem using Goursat normal form // IEEE Transaction of Automatic Control.

- 1995. - V. 40, N. 5. - P. 802-819.

17. Rouchon P., Fliess M., Levine J., Martin P. Flatness and motion planning: a car with n trailers / In: European Control Conference (Groningen), 1993.

- P. 1518-1522.

18. Jean F. The car with n trailers: Characterisation of the singular configurations // Control, Optimisation and Calculus of Variations. - 1996. - V. 1.

- P. 241-266.

19. Bryant R., Hsu L. Rigidity of integral curves of rank-2 distributions // Inventions Mathematicae. - 1993. - V. 114. - P. 435-461.

20. Sussmann H., Liu W. Shortest paths for sub-Riemannian metrics of rank-2 distributions // Memoirs of the American Mathematical society, V. 564. -1995.

21. Zhitomirskii M. Rigid and abnormal line subdistributions of 2-distributions // Journal of Dynamical Control Systems. - 1995. - V. 1.

- P. 253-294.

22. Трушкова Е. А. Синтез оптимальных траекторий, подчиненных граничным условиям, в линейно-квадратической задаче // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. - 2008.

- Вып. 9. - С. 60-66.

23. Гурман В. И., Трушкова Е. А., Блинов А. О. Приближенная глобальная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта // Автоматика и телемеханика. - 2009. - N. 4.

24. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Уч. Зап. Пед. Инст. им. Либкнехта, Сер. Физ. Мат. - 1938. - Т. 2. - С. 83-94.

25. Chow W. L. Uber systeme von linearen partiallen differentialgleichungen erster ordnung // Mathematische Annalen. - 1939. - V. 117. - P. 98-105.

26. Hôrmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math-ematica. - 1967. - V. 119. - P. 147-171.

27. Hôrmander L., Melin A. Free systems of vector fields // Arkiv for Matematik.

- 1978. - V. 16, N. 1. - P. 83-88.

28. Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1978. - V. 57. - P. 77-86.

29. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. On the lifting and approximation theorem for nonsmooth vector fields // Indiana University Mathematics Journal. - 2010. - V. 59, N. 6. - P. 1889-1934.

30. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hôrmander's vector fields and Poincaré's inequality // Forum Mathe-maticum. - 2013. - V. 25, N. 4. - P. 703-769.

31. Bramanti M., Brandolini L., Manfredini M., Pedroni M. Fundamental solutions and local solvability of nonsmooth Hôrmander's operators // Preprint.

- 2013. - arXiv: 1305.3398

32. Montanari A., Morbidelli D. Almost exponential maps and integrability results for a class of horizontally regular vector fields // Preprint. - 2012. -

arXiv:1201.5228 [math.DG]

33. Montanari A., Morbidelli D. Step-s involutive families of vector fields, their orbits and the Poincaré inequality // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 2013. - V. 99, N. 4. - P. 375-394.

34. Lanconelli E., Morbidelli D. On the Poincaré inequality for vector fields // Arkiv for Matematik. - 2000. - V. 38, N. 2. - P. 327-342.

35. Gromov M. Carnot-Carathéodory spaces seen from within // Sub-Riemannian Geometry. - V. 144 of Progress in Mathematics. - Basel: Birkhàuser, 1996. - P. 72-323.

36. Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carnot-Carathéodory spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas / Analysis and Mathematical Physics. - Basel: Birkhàuser, 2009. - P. 284-387.

37. Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Mathematica. - 1985. - V. 155. - P. 130-147.

38. Karmanova M. The New Approach to Investigation of Carnot-Carathéodory Geometry // Geometric and Functional Analysis. - 2011. - V. 6. - P. 13581374.

39. Карманова M. Б. Сходимость масштабированных векторных полей и локальная аппроксимационная теорема на пространствах Карно — Каратео-дори и приложения // Доклады Академии Наук. - 2011. - Т. 440, N. 6. -С. 736-742.

40. Грешнов А. В. Доказательство теоремы Громова об однородной нильпо-тентной аппроксимации для С1-гладких векторных полей // Математические Труды. - 2012. - Т. 15, N. 2. - С. 72-88.

41. Карманова М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно—Каратеодори в условиях максимальной гладкости // Сибирский Математический Журнал. - 2014. - Т. 55, N. 1. - С. 109-123.

42. Karmanova M., Vodopyanov S. On Local Approximation Theorem on Equiregular Carnot-Carathéodory spaces // Geometric Control and Sub-

Riemannian Geometry. - V. 5 of Springer INdAM Series. - Springer International Publishing, Switzerland, 2014. - P. 241-262.

43. Chernikov V. M., Vodopyanov S.K. Sobolev spaces and hypoelliptic equations. I // Siberian Advances in Mathematics. - 1996. - V. 6, N. 3. -P. 27-67.

44. Chernikov V. M., Vodopyanov S.K. Sobolev spaces and hypoelliptic equations. II // Siberian Advances in Mathematics. - 1996. - V. 6, N. 4. -P. 64-96.

45. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps on metric spaces with controlled geometry // Acta Mathematica. - 1998. - V. 181. - P. 1-61.

46. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev Met Poincaré // Mem. Amer. Math. Soc. -2000. - V. 145, N. 688. x+101 pp.

47. Hajlasz P. Sobolev spaces on metric-measure spaces // Contemporary Mathematics. - 2003. - V. 338. - P. 173-218.

48. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. - Т. 1. - М.: ВИНИТИ, 1985.

49. Jerison D. The Poincaré inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Mathematical Journal. - 1986. - V. 53, N. 2. - P. 503523.

50. Jerison D., Sanchez-Calle A. Subelliptic, second order differential operators / Complex analysis, III (College Park, Md. 1985-86). - P. 46-77. - Lecture Notes in Mathematics. - V. 1277. - Springer, 1987.

51. Varopoulos T. Fonctions harmoniques sur les groupes Lie // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Paris. - Series I - Mathematics. - 1987. - V. 309. - P. 519-521.

52. Franchi В., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of non-uniformly elliptic operators with measurable coefficients // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. - 1983. - V. 10. - P. 523-541.

53. Lu G. Weighted Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hörmander's condition and applications // Revista Matemática Iberoamericana. - 1992. - V. 8, N. 3. - P. 367-439.

54. Lu G. The sharp Poincaré inequality for free vector fields: an endpoint result // Revista Matemática Iberoamericana. - 1994. - V. 10, N. 2. -P. 453-466.

55. Franchi В. Weighted Sobolev-Poincaré inequalities and pointwise inequalities for a class of degenerate elliptic equations / / Transactions of the American Mathematical Society. - 1991. - V. 327. - P. 125-158.

56. Franchi В., Gutiérrez C.E., Wheeden R. L. Weighted Sobolev-Poincaré inequalities for Grushin type operators // Communications in Partial Differential Equations. - 1994. - V. 19. - P. 523-604.

57. Isangulova D.V., Vodopyanov S.K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Mathematical Journal. -2010. - V. 1, N. 3. - P. 58-96.

58. Rademacher H. Uber partielle und totalle Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale. I // Mathematische Annalen. -1919. - V. 79. -P. 340-359.

59. Stepanoff W. Uber totale Differenzierbarkeit // Mathematische Annalen. -1923. - V. 90. - P. 318-320.

60. Federer H. Geometrie measure theory / Series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. - New York: Springer-Verlag New York Inc., 1969.

61. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость почти всюду // Математический сборник. - 1968. - Т. 75(117), N. 3. - С. 323-334.

62. Stepanoff W. Sur les conditions de ¡'existence de la différentielle totale (Об условиях существования полного дифференциала) // Математический сборник. - 1925. - Т. 32. - С. 511-527.

63. Federer Н. Surface Area (I), (II) // Transactions of the American Mathe-

matical Society. - 1944. - V. 55. - P. 420-456.

64. Whitney H. On totally differentiable and smooth functions // Pacific J. Math. 1 1951. - V. 1. - P. 143-159.

65. Pansu P. Metriqués de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Annals of Mathematics. - 1989. - V. 119. -P. 1-60.

66. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Advances in Mathematics. - 1995. -V. 111. - P. 1-87.

67. Vodop'yanov S.K., Ukhlov A. D. Approximately differentiable tranformations and the change of variables on nilpotent groups // Siberian Mathematical Journal. - 1996. - V. 37, N. 1. - P. 62-78.

68. Vodop'yanov S. K. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.). - Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000. - P. 603670.

69. Magnani V. Differentiability and area formula on stratified Lie groups // Houston Journal of Mathematics. - 2001. - V. 27, N. 2. - P. 297-323.

70. Vodop'yanov S. K. Monotone functions and quasiconformal mappings on Carnot groups // Siberian Mathematical Journal. - 1996. - V. 37, N. 6. -P. 1113-1136.

71. Vodop'yanov S.K., Ukhlov A. D. Sobolev spaces and (P, Q)-quasiconformal mappings of Carnot groups // Siberian Mathematical Journal. - 1998. -V. 39, N. 4. - P. 665-682.

72. Vodop'yanov S. K. Mappings with bounded distortion and with finite distortion on Carnot groups // Siberian Mathematical Journal. - 1999. - V. 40, N. 4. - P. 644-677.

73. Vodop'yanov S. K. Differentiability of mappings in the geometry of Carnot manifolds // Siberian Mathematical Journal. - 2007. - V. 48, N. 2. -

P. 197-213.

74. Vodopyanov S. K. Foundations of the theory of mappings with bounded distortion on Carnot groups // In: The interaction of analysis and geometry, P. 303-344. - Contemporary Mathematics. - V. 424. - American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

75. Pauls S. A notion of rectifiability modeled on Carnot groups // Indiana University Mathematical Journal. - 2004. - V. 53. - P. 49-82.

76. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Carathéodory Spaces and Differentiability of Mappings // Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. -P. 247-302.

77. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Rectifiability and perimeter in the Heisenberg group // Mathematische Annalen. - 2001. - V. 321. -P. 479-531.

78. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Regular hypersurfaces, intrinsic perimeter, and implicit function theorem in Carnot groups // Communications in Analysis and Geometry. - 2003. V. 11, N. 5. - 909-944.

79. Citti G., Manfredini M. Implicit function theorem in Carnot-Carathéodory spaces // Communications in Contemporary Mathematics. - 2006. - V. 8., N5. - P. 657-680.

80. Magnani V., Area implies coarea // Indiana University Mathematical Journal. - 2011. - V. 60. - P. 77-100.

81. Magnani V., Towards Differential Calculus in stratified groups // Preprint. - 2007. - arXiv:0701.3222 [math.DG].

82. Leonardi G.P., Magnani V. Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group // Preprint. - 2010. - arXiv: 1009.5302 [math.AP],

83. Kozhevnikov A. Rugosité des lignes de niveau des applications différenti-ables sur le groupe d'Heisenberg // Preprint. - 2011. - arXiv: 1110.3634 [math.MG].

84. Vitonne D. Submanifolds in Carnot groups / Publications of the Scuola

Normale Superiore, V. 7. - Pisa: Edizioni délia Normale, 2008.

85. Bigolin F. Intrinsic regular hypersurfaces in Heisenberg groups and weak solutions of non linear first-order PDEs / PhD thesis. - Trento: Universita Degli Studi di Trento, 2009.

86. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D.M., Pauls S.D. Instability of graphical strips and a positive answer to the Bernstein problem in the Heisenberg group И1 // Journal of Differential Geometry. - 2009. - V. 81, N. 2. P. 251295.

87. Ritoré M., Rosales С. Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H1 // Advances in Mathematics. - 2008. - V. 219, N. 2. P. 633-671.

88. Bigolin F., Serra Cassano F. Distributional solutions of Burgers' equation and intrinsic regular graphs in Heisenberg groups // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2010. - V. 366, N. 2. P. 561-568.

89. Metivier G. Fonction spectrale et valeurs propres d'une classe d'opérateurs non elliptiques // Communications in Partial Differential Equations. - 1976. - V. 1. - P. 467-519.

90. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen / Bd 1-3. Leipzig, 1888-93.

91. Постников M. M. Лекции по геометрии. Семестр V: Группы и Алгебры Ли. / М: «Наука», 1982.

92. Folland G. В., Stein Е. M. Hardy spaces on homogeneous groups / Mathematical notes. - V. 28. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1982.

93. Agrachev A., Barilari D., Boscain U. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian geometry (from Hamiltonian viewpoint) / 2011. - URL: http://people.sissa.it/agrachev/agrachev_files/notes.html

94. Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions / Princeton: Princeton Univ. Press, 1970.

95. Buckley S., Koskela P., Lu G. Boman equals John // Proceedings of the XVI Rolf Nevanlinna colloquium. (Joensuu 1995). - 1996. - Berlin: de Gruyter.

- P. 91-99.

96. Garofalo N., Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Carathéodory spaces and the existence of minimal surfaces // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1996. - V. 49, N. 10. P. 10811144.

97. Vodop'yanov S.K., Greshnov A.V. On the differentiability of mappings of Carnot-Carathéodory spaces // Doklady Mathematics. - 2003. - V. 67, N. 2. - P. 246-251.

98. Karmanova M. The Area Formula for Lipschitz Mappings of Carnot-Carathéodory Spaces // Preprint. - 2010. - arXiv:1110.5483vl [math.MG]

99. Franchi В., Serapioni R., Serra Cassano F. On the structure of finite perimeter sets in step 2 Carnot groups // Journal of Geometric Analysis. - 2003. -V. 13., N. 3. - P. 421-466.

100. Franchi В., Serapioni R., Serra Cassano F. Regular Hypersurfaces, Intrinsic Perimeter and Implicit Function Theorem in Carnot Groups // Communications in Analysis and Geometry. - 2003. - V. 11., N. 5. - P. 909-944.

101. Водопьянов С. К., Пупышев И. M. Теоремы типа Уитни о продолжении на группах Карно // Сибирский математический журнал. - 2006. - Т. 47, N. 4.

- С.731-752.

Публикации автора по теме диссертации

AI. Басалаев С. Г. Параметризации поверхностей уровня вещественнозначных отображений групп Карно / С. Г. Басалаев // Математические труды. -2012. - Т. 15, N. 2. - С. 3-29.

А2. Basalaev S. G. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Caratheodory spaces / S.G. Basalaev, S.K. Vodopyanov // Eurasian Mathematical Journal. - 2013. - V. 4, N. 2. - P. 10-48.

A3. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С1-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 451, N. 6. -С. 607-611.

A4. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С^-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Сибирский математический журнал. - 2014. - Т. 55, N. 2. - С. 267-284.

А5. Басалаев С. Г. Аппроксимативная дифференцируемость отображений пространств Карно—Каратеодори / С. Г. Басалаев // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 50-летию НГУ. - Новосибирск: НГУ. -2009. - С. 121-122.

А6. Басалаев С. Г. О регулярности параметризаций поверхностей уровня непрерывно горизонтально дифференцируемых вещественнозначных отображений групп Карно / С. Г. Басалаев// Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу (электронное издание). - Кемерово. - 2011. - 2 с. - URL: http://conference.kemsu.ru/conf/GA2011/ (дата обращения: 1.06.2014)

А7. Басалаев С. Г. Аппроксимативная дифференцируемость на пространствах Карно—Каратеодори / С. Г. Басалаев, С. К. Водопьянов // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2012. - С. 8-10.

А8. Basalaev S. On geometry of Carnot-Caratheodory spaces with C^-smooth vector fields / S. Basalaev, S. Vodopyanov // The Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov. Abstracts. - Saint-Petersburg: SPbSU, 2012. - P. 7.

A9. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С1-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань: КФУ. - 2012. Т. 45. - С. 20-23.

А10. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С1 -гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем». Тезисы докладов. - Переславль-Залес-ский: изд. «Университет города Переславля». - 2013. - С. 28-30.